cm cong thuc doc tong hop dao dong hay thuvienvatly com 6451d 44860

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

CHỦ ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN CỦA
HAI DAO ĐỘNG CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ.
1. Chứng minh công thức “Độc”.
*Xét mộ vật tham gia tham đồng gia hai dao động điều hòa cùng phương
cùng
tần
số:

 x1 = A1 cos ( ω t + ϕ1 )
⇒ x = A cos ( ω t + ϕ )

 x2 = A2 cos ( ω t + ϕ 2 )
Bây giờ ta đi khử t của hai dao động cùng tần số này bằng công cụ toán
học như sau:
Cách chứng minh 1:
Hai dao động được viết lại như sau:
 x1
 A = cos ω t cos ϕ1 − sin ω t sin ϕ1 ( 3 )
 1

 x2 = cos ω t cos ϕ − sin ω t sin ϕ ( 4 )
2
2
 A2
*Nhân hai vế của phương trình (3) cho
phương trình (4) cho

cos ϕ 2 và

cos ϕ1

 x1
 A cos ϕ 2 = cos ω t cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ω t sin ϕ1 cos ϕ 2
 1

 x1 cos ϕ = cos ω t cos ϕ cos ϕ − sin ω t sin ϕ cos ϕ
1
2
1
2
1
 A2
Tiếp tục trừ vế theo vế ta được:
x1
x
cos ϕ 2 − 1 cos ϕ1 = sin ω t sin ( ϕ 2 − ϕ1 ) ( 5 )
A1
A2
*Nhân hai vế của phương trình (3) cho
phương trình (4) cho

sin ϕ 2 và

sin ϕ1

 x1
 A sin ϕ 2 = cos ω t cos ϕ1 sin ϕ 2 − sin ω t sin ϕ1 sin ϕ 2
 1


 x1 sin ϕ = cos ωt cos ϕ sin ϕ − sin ω t sin ϕ sin ϕ
1
2
1
2
1
 A2
Tiếp tục trừ vế theo vế ta được:
1


Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập 1 - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu

Từ

(5)

x1
x
sin ϕ 2 − 1 sin ϕ1 = cos ω t sin ( ϕ 2 − ϕ1 ) ( 6 )
A1
A2
và
(6)
ta
được
x1
 x1
 A cos ϕ 2 − A cos ϕ1 = sin ω t sin ( ϕ 2 − ϕ1 )
 1

2

 x1 sin ϕ − x1 sin ϕ = cos ω t sin ( ϕ − ϕ )
2
1
2
1
 A1
A2

hệ:

Tiếp tục bình phương hai vế và cộng lại ta được:

x12 x22 2 x1 x2
+ 2−
cos ∆ϕ = sin 2 ∆ ϕ ( *)
2
A1 A2 A1 A2

( ∆ ϕ = ϕ 2 − ϕ1 )

,

Với

Cách chứng minh 2: (Cách của thầy Hoàng Michael)
*Từ phương trình: của x1 ta biến đổi.





x1 = A1 cos ω t + ϕ1 − ϕ 2 + ϕ 2 ÷ = A1 cos ( ω t + ϕ 2 ) cos ∆ϕ − A1 sin ( ω t
123

÷
∆ϕ



A1
x2
x2 x2 2x x
x2 cos ∆ϕ − A1 1 − 22 sin ∆ϕ ⇔ 12 + 22 − 1 2 cos ∆ϕ =
A2
A2
A1 A2 A1 A2
Xét các trường hợp đặc biệt:
+
Nếu
hai
dao
động
cùng
pha
thì
:
2
2
x

x 2x x
∆ϕ = k 2π ⇒ 12 + 22 − 1 2 = 0
A1 A2 A1 A2
+Nếu
hai
dao
động
ngược
pha
thì:
2
2
x
x 2x x
∆ϕ = ( 2k + 1) π ⇒ 12 + 22 + 1 2 = 0
A1 A2 A1 A2
+nếu
hai
dao
đông
vuông
pha
thì:
2
2
x
x
π
∆ϕ = ( 2k + 1) ⇒ 12 + 22 = 1
2

A1 A2
x1 =

+Nếu tại mọi thời điểm t mà
phương trình (*) ta đươc:
2

x1 = x2 = x0 thì thay vào


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

A1 A2 sin ∆ϕ

x0 =

A + A22 − 2 A1 A2 cos ∆ϕ (Công thức của Phùng
2
1

Lão).
Nhận xét: Công thức (*) có tính chất tổng quát. Công thức của bạn
Phùng Lão là một trường hợp riêng của công thức tổng quát ở trên.
2. Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: hai vật dao động điều hòa cùng phươnng cùng tần số, biên độ
dao động thứ nhất là A1 = 10cm . Khi x1 = -5cm thì li độ tổng hợp x = -

− 5 3 cm. Độ lệch pha của dao
π / 2 . Tính biên độ

2cm. Khi x2 = 0 thì x =
động của hai chất điểm nhỏ hơn
của dao động tổng hợp.
A.14cm.

B.20cm.

10 3 ( cm )

D.
Ta

có

công

20 / 3 cm.

C.

thức

Hướng dẫn:
độc
lập

với

thời

gian:

x12 x22 2 x1 x2
+
−
cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ ( *)
A12 A22 A1 A2

− 5 3 thay vào

* x = x1 + x2, x2 = 0 suy ra x1 = x =
công thức (*) ta được:
2

π
 −5 3 
∆ϕ <
x12
3
2
2
2
=
sin
∆
ϕ
⇔
=
sin
∆

ϕ

→ sin ∆ϕ =
⇒ cos

÷÷
2
A1
10
2



(1)
*Khi x1 = -5cm và x = - 2cm thì x2 = x – x2 = 3cm. Thay vào công thức
(*):

 −5   3  2. ( −5) .3 1 3
. = ⇒ A2 = 6 ( cm )
 ÷ +  ÷−
 10   A2  10. A2 2 4
(Dùng máy tính Fx- 570..)
2

A = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos ∆ ϕ = 14 ( cm ) Chọn
Từ đó:
A.
Bình luận: Đây là cách giải độc đáo nhất, phù hợp với tất cả các đối
tượng học sinh. chưa một tác giả hay sách nào giải theo cách này, ngược
lại các sách tham khảo khác giải theo kiểu vẽ hình và ;ập luận rất phức

tạp.
2

2

3


Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập 1 - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu

Ví dụ 2: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có
biên độ lần lượt là A1 và A2 = 3cm, lệch pha nhau một góc

( π / 2 < ∆ϕ < π )

∆ ϕ sao cho

. khi
t = t1 thì dao động 1 có li độ -2cm và dao động tổng hợp có li độ -3,5cm.
Khi t = t2 thì dao động 2 và dao động tổng hợp đều có li độ

1,5 3 cm. Tìm biên độ dao động tổng hợp.
A.6,1cm.
Ta

có

B.4,4cm.
C.2,6cm.
Hướng dẫn:

công
thức
độc
lập
với
2
1
2
1

D.3,6cm
thời

gian:

2
2
2
2

x
x 2 x1 x2
+
−
cos ∆ϕ = sin 2 ∆ ϕ ( *)
A A
A1 A2
Khi t = t2 ta có: x2 = x =
công thức (*) :

− 5 3 suy ra x1 = 0 thay vào
2

π
 −1,5 3  3
<∆ϕ < π
x22
2
2
2
= sin ∆ϕ ⇔ 
→ ⇒ cos ∆ϕ
÷÷ = = sin ∆ϕ 
2
A2
3
4


*Khi t = t1 ta có x1 = -2cm, x = -3,5 cm suy ra x 2 = -1,5cm. Thay vào CT
(*):

 −2   −1,5  2. ( −2 ) . ( −1,5 )  1  3
.  − ÷ = ⇒ A1 = 4 ( cm )
 ÷ +
÷−
A
3
3.
A



 2 4
 1
1
(Dùng máy tính Fx- 570..)
2

A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ ϕ = 3, 6 ( cm ) Chọn
Từ đó:
D.
Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng
phương cùng tần số với phương trình lần lượt là

x1 = 2 3 cos ( ω t + ϕ1 ) cm,
x2 = A2 cos ( ω t + ϕ 2 )

thời điểm t2

Với

(π / 2 < ∆ ϕ < π ) . Biết Tại thời điểm t1, li độ
x1 = 2 3 cm,
x2 = − 2 3 cm. Tại
x1 = 3 cm ,
li độ của vật
x2 = 0 . Tại thời điểm

4

cm.

li

độ

của

vật

là


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

x1 có độ lớn

x = 1 cm thì li độ
bằng:

3 B. 2

A.

C.3.

D.

2 3
Ta

Hướng dẫn:
công

có
2
1
2
1

thức

Độc:

2
2
2
2

x
x 2 x1 x2
+
−
cos ∆ϕ = sin 2 ∆ϕ
A A
A1 A2
(1)

x1 = 3, x2 = 0 , thay vào công

Tại thời điêm t2 ta có:
thức (1) ta đươc:

2

 3  1
x12
3
2
= sin 2 ∆ϕ ⇔ 
÷÷ = = sin ∆ϕ ⇒ cos ∆ϕ = −
2
A1
2
2 3 4

(π / 2 < ∆ ϕ < π )
Tại thời điểm t1 ta có:
2

2

(

)

 2 3   −2 3  2.2 3 −2 3 
3 1
+
−

.
−

÷

÷

÷  A ÷
 2 ÷
÷ = 4 ⇒ A2 = 2
2
3
2
3
A

  2 
2


(cm)
*tại thời điểm x = 1cm thì: x2 = 1- x1, Áp dụng CT (1).

2 x1 ( 1 − x1 )
x12 ( 1 − x1 )
+
−
cos ∆ ϕ = sin 2 ∆ϕ
2
2

A1
A2
A1 A2
Thay các giá trị vào (2):
2

x12

( 2 3)

2

( 1 − x1 )
+
22

2

−

(2)

.

 x1 = 0
2 x1 ( 1 − x1 ) 
3 1
=
⇒
 −

÷

2 3.2  2 ÷
 4
 x1 = 3

Chọn A.
Ví dụ 4 (Chuyên Vinh lần 3 – 2015): Một vật thực hiện một dao động điêu
hòa x = Acos(2πt + φ) là kết quả tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương có phương trình dao động x1 = 12cos(2πt + φ1) cm và x2 = A2cos(2πt
+ φ2) cm. Khi x1 = - 6 cm thì x = - 5 cm; khi x 2 = 0 thì x = 6
3 cm.Giá trị của A có thể là
A. 15,32cm
B. 14,27cm
C. 13,11cm
D. 11,83cm
Hướng dẫn:
5


Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập 1 - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu

x12 x22 2 x1 x2
+ 2−
cos ∆ ϕ = sin 2 ∆ϕ
2
A1 A2 A1 A2

Ta có công thức Độc:
(1)

*Ở thời điểm t2 x2 = 0, x =

6 3 suy ra x1 =

6 3 tahy vào (1):
2

6 3 3
 1
2

÷÷ = = sin ∆ϕ ⇒ cos ∆ϕ =  ± ÷
 2
 12  4
Ở thời điểm t1 : x1 = -6 c, x = -5cm suy ra x2 = 1, thay vào (1) ta được:
2
 −6   1  2 ( −6 ) .1  1  3  A2 = 1( cm )
. ± ÷ = ⇒ 
 ÷ + ÷ −
12 A2  2  4  A2 = 2 ( cm )
 12   A2 
1
cos ∆ϕ = ⇒ A2 = 2
2
2

Với

⇒ A = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ∆ ϕ = 13,11( cm )

Chọn C.
ĐÓN ĐỌC:
1.TUYỆT ĐỈNH CÔNG PHÁ CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ ĐIỆN XOAY
CHIỀU 2016-2017. (Phát hành tháng 9 -10)
Tác giả: Đoàn Văn Lượng ( Chủ biên) - Hoàng Sư Điểu

Nhà sách Khang Việt phát hành.
Website: WWW.nhasachkhangviet.vn

6