Sự tồn tại và dáng tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân điều kiện không cục bộ (LV01758)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THẾ KỶ

SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM
THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
KHÔNG CỤC BỘ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THẾ KỶ

SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM
THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN
KHÔNG CỤC BỘ
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THÀNH ANH

HÀ NỘI, 2015


Lời Cảm Ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thành Anh người thầy đã luôn tận tình
hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô phòng sau đại
học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học
tập tại trường.
Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè và người thân trong
gia đình đã luôn động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi mặt trong
suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuy
nhiên khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được sự đóng góp
ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 1 tháng 12 năm 2015
Học viên

Bùi Thế Kỷ


Lời Cam Đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm

ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Tác giả

Bùi Thế Kỷ

2


Mục lục
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mở đầu

1
2
3
4

1 Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach . . . . .
1.2 Độ đo không-compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén . . . . . . .
1.5 Toán tử m-tiêu tán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện ban đầu cục bộ
2 Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với bao hàm
thức vi phân với điều kiện không cục bộ
2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) đồng liên tục . . .

2.3 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) không compact,
không đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

7
7
8
10
11
13
14

16
16
17
22
25
28
32


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân
đa trị là lĩnh vực nghiên cứu được phát triển rất mạnh trong lý thuyết
tổng quát về phương trình vi phân hiện nay. Như chúng ta đã biết, mọi

lĩnh vực mới trong toán học đều xuất hiện và phát triển, hoặc là do mục
đích phát triển tự nhiên của toán học hướng đến các khái niệm và kết quả
ngày càng tổng quát hơn, hoặc là do nhu cầu ứng dụng đòi hỏi. Lý thuyết
bao hàm thức vi phân không phải là trường hợp ngoại lệ của qui luật này.
Xuất hiện ban đầu như là sự mở rộng của khái niệm phương trình vi
phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày càng thâm nhập mạnh
mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác
nhiều ứng dụng to lớn của nó.
Trong lịch sử phát triển của lý thuyết bao hàm thức vi phân trước
hết phải kể đến các công trình nghiên cứu của Marchaud và Zaremba từ
những năm 30 đã đề cập đến bài toán tồn tại nghiệm và các tính chất
tập nghiệm của bao hàm thức vi phân trong không gian hữu hạn chiều.
Các công trình chủ yếu đặt nền móng cho sự phát triển mạnh mẽ của lý
thuyết bao hàm thức vi phân như một lĩnh vực nghiên cứu độc lập được
công bố tập trung vào những năm 60 bởi các tác giả như Filippov, Plis,
Wazewsk. . . Lý thuyết này tiếp tục được đẩy mạnh nghiên cứu vào những
năm 70, 80 trong hàng loạt các công trình nghiên cứu của các tác giả như
Castaing, Valadier, Aubin, Tolstonogov. . .
Các vấn đề được nghiên cứu trong bao hàm thức vi phân là vấn đề tồn
tại nghiệm, các tính chất định tính và cấu trúc của tập nghiệm. Các tính
chất phụ thuộc liên tục vào tham số và điều kiện ban đầu, các nghiệm tuần
hoàn, lý thuyết rẽ nhánh. . . Trong đó sự tồn tại nghiệm là một trong những
vấn đề chính được nhiều nhà khoa học quan tâm. Với mong muốn tìm hiểu
4


sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy TS.Nguyễn Thành
Anh tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm đối với bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục
bộ”. Luận văn sẽ được hoàn thành dựa chủ yếu vào các kết quả được

công bố trong bài báo “Existence and asymptotic properties of solutions
of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions”,
J. Math. Anal. Appl. 390 (2012) 523–534, của các tác giả Lanping Zhu,
Qianglian Huang, Gang Li.

2. Mục đích nghiên cứu
Chứng minh được sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bao
hàm thức vi phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Tìm hiểu về không gian Banach.
+ Tìm hiểu về lý thuyết nửa nhóm, toán tử m-tiêu tán.
+ Tìm hiểu lý thuyết về độ đo không compact.
+ Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động.
+ Chứng minh sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán
tổng quát.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục
bộ.
+ Phạm vi nghiên cứu: sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của
bài toán.

5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ giải tích bao gồm:
+ Lý thuyết nửa nhóm
+ Lý thuyết điểm bất động.
5

6. Dự kiến đóng góp
Chứng minh chi tiết và trình bày hệ thống những kết quả trong bài báo
trích dẫn trên.

6


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số tính chất hình học của không gian Banach

Cho X là không gian Banach với chuẩn . và X ∗ là đối ngẫu của nó.
Chúng ta kí hiệu hội tụ yếu trong X bởi ”
”. Ánh xạ đa trị đối ngẫu
∗
J : X → X được định nghĩa bởi

J(x) = {x∗ ∈ X : x∗ (x) = x

2

= x∗ 2 }, ∀x ∈ X.

Đầu tiên, chúng ta đưa vào khái niệm tính lồi của không gian Banach X .
Không gian Banach X được gọi là lồi ngặt khi và chỉ khi

S(X) = {x ∈ X : x = 1}không chứa các đoạn không tầm thường nào.
Không gian Banach được gọi là lồi đều khi và chỉ khi cho ε > 0 tồn tại

δ > 0 sao cho ∀x, y ∈ S(x) mà x − y ≥ ε ta có

x+y
≤ 1 − δ.
2
Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu

ρX (t)
= 0.
0
t

ρX (0) = lim
t→

X ∗ là lồi đều khi và chỉ khi X là trơn đều.
Một số tính chất hình học của không gian Banach X .
i) Nếu X là trơn đều, thì J là đơn trị và liên tục đều trên các
tập con bị chặn của X .
7


ii) Nếu X là phản xạ và lồi ngặt, mỗi tập con khác rỗng lồi
đóng K của X là một tập Chebyshev. Trong trường hợp
này, chúng ta gọi PK là phép chiếu điểm gần nhất ánh xạ từ
X lên K .
iii) Chuẩn của X là khả vi Fréchet với mọi x ∈ S(X),
x + ty − x
tồn tại đều theo y ∈ S .
lim

t→ 0
t
iv)Không gian đối ngẫu X ∗ có chuẩn khả vi Fréchet nếu và chỉ
nếu X là phản xạ, lồi ngặt và thỏa mãn tính chất sau: Nếu
xn
x khi n → +∞ và xn → x khi n → +∞, thì
xn − x → 0 khi n → +∞. Khi đó X có chuẩn Kadec-Klee
Kí hiệu C([0, T ]; X) là không gian của hàm liên tục từ [0, T ] tới X với
chuẩn
u ∞ = sup{ u(t) : t ∈ [0, T ]}.
và L1 ([0, T ]; X) là không gian của hàm khả tích Bochner X từ [0, T ] tới
X với chuẩn
T

u

1

=

u(t) dt.
0

1.2

Độ đo không-compact

Cho X là không gian Banach. Kí hiệu:

P(X) = {B ⊂ X : B = ∅},

Pb (X) = {B ∈ P(X) : B bị chặn},
Pf X = {B ∈ P(X) : B đóng},
Pbf X = {B ∈ Pf (X) : B bị chặn},
Pbf X = {B ∈ Pf (X) : B lồi},
K(X) = {B ∈ P(X) : B compact},
Kv (X) = {B ∈ K(X) : B lồi}.
Định nghĩa 1.1. Hàm β : Pb (X) → R+ được gọi là một độ đo không
compact trên X nếu

β(coΩ) = β(Ω) với ∀Ω ∈ Pb (X),
trong đó, coΩ là bao lồi đóng của Ω. Độ đo không-compact β được gọi là
8


i) đơn điệu nếu Ω0 , Ω1 ∈ Pb (X), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra
β(Ω0 ) ≤ β(Ω1 );
ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì
a ∈ X, Ω ∈ Pb (X);
iii) bất biến với hợp các tập compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω)
với mọi tập compact tương đối K ⊂ X và Ω ∈ Pb (X);
iv)nửa cộng tính đại số nếu β(Ω0 + Ω1 ) ≤ β(Ω0 + β)(Ω1 ) với
mọi Ω0 , Ω1 ∈ Pb (X);
v)chính quy nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact
tương đối .
Định nghĩa độ đo Hausdorff χ : Pb (X) → R+ bằng

χ = inf{r > 0 : B có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính r}
Mệnh đề 1.1. Cho χ là độ đo không-compact Hausdorff trong X và Ω ⊂
X là một tập bị chặn. Khi đó, với ∀ > 0, ∃ {xn } ⊂ Ω sao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn }) + .
Chúng ta cần kết quả sau mà phép chứng minh có thể tìm thấy trong
([14]).
Mệnh đề 1.2. ([14]). Nếu {w}n ⊂ L1 (0, T ; X) sao cho :

wn (t)

≤ v(t), với hầu khắp t ∈ [0, T ]

X

và v ∈ L1 (0, T ) nào đó. Khi đó, ta có
t

t

χ

wn (s)ds

≤2

χ

wn (s)

ds

0

0

với t ∈ [0, T ].
Sử dụng Mệnh đề 1.1 và 1.2, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3. ([15]). Cho D ⊂ L1 (0, T ; X) sao cho:
1. ξ(t) ≤ v(t), với mọi ξ ∈ D và với hầu khắp t ∈ [0, T ],
2. χ(D(t)) ≤ q(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ], trong đó v, q ∈ L1 (0, T ). Khi
đó,
t

t

D(s)ds ≤ 4

χ
0

trong đó

t
0 D(s)ds

={

t
0 ξ(s)ds

q(s)ds,
0

: ξ ∈ D}.
9


Chứng minh. Cho

> 0, từ Mệnh đề 1.1 suy ra ∃ {ξn } ⊂ D sao cho:
t

t

D(s)ds ≤ 2χ

χ

ξn (s)ds

0

+ .

0

Áp dụng Mệnh đề 1.2, ta có
t

χ

t

≤2

ξn (s)ds
0

χ

ξn (s)

ds.

0

Do đó
t

t

D(s)ds ≤ 4

χ
0

Vì

t

χ

ξn (s)

ds + ≤ 4

0

q(s)ds + .
0

là bất kì nên suy ra điều phải chứng minh.

Bổ đề 1.1. ([7]) Cho Y là một không gian Banach tách được và {Ym }m≥1
là một dãy tăng của không gian con hữu hạn chiều sao cho Y = ∪∞
m=1 Ym .
Khi đó
χ(A) = lim lim sup d(xk , Ym ),
m→∞

đối với bất kỳ A = {xk : k

k→∞

1} ⊂ Y.

Bổ đề 1.2. ([7], Bổ đề 2) Cho X là không gian Banach và W ⊂ L1 ([0, T ]; X)
là khả tích đều. Giả sử rằng tồn tại tập compact tương đối yếu C(t) ⊂ X
sao cho f (t) ∈ C(t) hầu khắp nơi trên [0, T ], với mọi f (t) ∈ W . Khi đó
W là compact tương đối yếu trong L1 ([0, T ]), X).

1.3

Lý thuyết nửa nhóm

Định nghĩa 1.2. Cho X là không gian Banach. Xét ánh xạ

S : R+ → L(X)
t → S(t)
thỏa mãn:
1. S(0) = I,
2. S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0,
3. t → S(t)x liên tục với mỗi x ∈ X.
Khi đó, S được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay C0 -nửa nhóm trên X .
Nếu thay (3) bởi (3’): t → S(t) liên tục thì ta nói S là nửa nhóm liên tục
đều.
10


Định nghĩa 1.3. (Phần tử sinh của C0 -nửa nhóm)
Giả sử S là C0 -nửa nhóm trên X .

S(h)(x) − x
};
0
h

D(A) := {x ∈ X : ∃ lim
h→

với x ∈ D(A), định nghĩa

S(h)(x) − x

.
0
h

A(x) = lim
h→

Khi đó, (A, D(A)) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S.
Định nghĩa 1.4. Giả sử S(t) là một C0 -nửa nhóm trên X . Khi đó, S
được gọi là nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.
Định nghĩa 1.5. C0 -nửa nhóm S(t) trên không gian Banach X gọi là co
nếu
S(t) ≤ 1, ∀t ≥ 0.

1.4

Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén

Cho A, B ∈ Pbf (X) và cho x ∈ A. Khi đó

d(x, B) = inf{d(x, y) : y ∈ B}
và

ρ(A, B) = sup{d(x, B) : x ∈ A}.
Hàm H : Pbf (X) × Pbf (X) → R+ định nghĩa bằng

H(A, B) = max{ρ(A, B), ρ(B, A)}
là một metric và được gọi là metric Hausdorff trên X .
Định nghĩa 1.6. Cho X, Y là hai tập con bất kì và F : X → 2Y là ánh
xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y . Khi đó, ta nói F là ánh

xạ đa trị từ X vào Y , tức là với mỗi x ∈ X, F(x) là tập con của Y .
Định nghĩa 1.7. ([6]) Một ánh xạ đa trị F : [0, T ] → Pf (X) được gọi là
đo được, nếu d(x, F(.)) là đo được với mọi x ∈ X .

11


Định nghĩa 1.8. Tập con B ⊂ X, B = ∅, gọi là khả co nếu tồn tại x0 ∈ B
và hàm liên tục
h : [0, 1] × B → B
sao cho

h(0, x) = x0 , h(1, x) = x trên B.
Cho Y là một không gian metric.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ đa trị F : Y → P(X) được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu F −1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∪ V = ∅} là
tập con đóng của Y với mọi tập đóng V ⊂ X ;
ii)nửa liên tục trên yếu nếu F −1 (V ) là tập con đóng của Y với
mọi tập đóng yếu V ⊂ X ;
iii)đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập con
đóng của Y × X ;
iv)compact nếu F là compact tương đối trong X ;
v) tựa compact nếu hạn chế của F trên A là compact với
A ⊂ Y là tập compact bất kì.
Định nghĩa 1.10. ([6]) Một ánh xạ đa trị F : X → Pf (X) gọi là
(1) γ − Lipschitz khi và chỉ khi tồn tại γ > 0 sao cho

H(F(x), F(y)) ≤ γd(x, y), với mỗi x, y ∈ X,
(2) co nếu và chỉ nếu nó là γ -Lipschitz với γ < 1,
(3) có điểm bất động nếu có x ∈ X sao cho x ∈ F(x). Tập hợp các điểm

bất động của ánh xạ đa trị F được kí hiệu bởi F ixF .
Bổ đề 1.3. ([7], Bổ đề 1) Cho X là một không gian Banach, ∅ = D ⊂ X
compact lồi và F : D → P (D) nửa liên tục trên với giá trị co đóng. Khi
đó F là điểm cố định.
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra một ánh xạ đa trị là
nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới).
Bổ đề 1.4. ([14], Định lí 1.1.12). Cho G : Y → P(X) là một ánh xạ đa
trị đóng tựa compact với giá trị compact. Khi đó, G là nửa liên tục trên.

12


Bổ đề 1.5. ([3], Mệnh đề 2). Cho X là một không gian Banach và Ω là
tập con khác rỗng của một không gian Banach khác. Giả sử

F : Ω → P(X)
là ánh xạ đa trị có giá trị compact yếu và lồi. Khi đó, F là nửa liên tục
trên yếu nếu và chỉ nếu {xn } ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ F(xn ) suy ra
yn
y0 ∈ F(x0 )(theo một dãy con nào đó).
Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị nén.
Định nghĩa 1.11. Ánh xạ đa trị F : Z ⊆ X → P(X) được gọi là nén
với độ đo không-compact β (β -nén) nếu với tập bị chặn bất kì Ω ⊂ Z,

β(Ω) ≤ β(F(Ω))
thì Ω là tập compact tương đối
Cho β là độ đo không-compact đơn điệu, không suy biến trong X . Lý
thuyết về bậc tô-pô đối với định lý ánh xạ nén đưa đến nguyên lý điểm
bất động sau đây (xem[1, 11]).
Định lý 1.1. ([14], Hệ quả 3.3.1) Cho M là tập con đóng lồi, bị chặn của

X và cho F : M → Kv (M) là nửa liên tục trên và β -nén. Khi đó, tập
điểm bất động F ix(F := {x ∈ F(x)} khác rỗng và compact.
Từ đó ta có kết quả sau sẽ được sử dụng cho định lí tồn tại nghiệm.
Bổ đề 1.6. ([19]) Cho (X, d) là không gian metric đầy. Nếu

N : X → Pf (X)
là một ánh xạ đa trị co, thì F ixN = ∅ .

1.5

Toán tử m-tiêu tán

Định nghĩa 1.12. ([5]) Một ánh xạ đa trị A với miền xác định D(A)
được gọi là tiêu tán nếu x1 − x2 ≤ x1 − x2 − λ(y1 − y2 ) với mọi
λ > 0, xi ∈ D(A), yi ∈ Axi , i = 1, 2. Hơn nữa nếu R(I − A) = X , thì A
được gọi là m−tiêu tán.
13


Theo [9], nếu A là m−tiêu tán, thì A sinh ra nửa nhóm co

{S(t) : t ≥ 0} trên D(A).
Nửa nhóm {S(t) : t ≥ 0} được gọi là đồng liên tục nếu

{S(.)x : x ∈ A}
là đồng liên tục với bất kì t > 0 với mọi tập con bị chặn A ⊂ X .

1.6

Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện

ban đầu cục bộ

Cho A là m−tiêu tán, cho x0 ∈ D(A) và f ∈ L1 ([0, T ]; X), ta xét bài
toán sau
u (t) ∈ Au(t) + f (t), 0 < t ≤ T,
(1.1)
u(0) = x0 .
Định nghĩa 1.13. Một hàm u : [0, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân
của bài toán (1.1) trên [0, T ] nếu u ∈ C([0, T ]; X) với u(0) = x0 và bất
đẳng thức
t

u(t) − x

2

≤ u(s) − x

2

u(τ ) − x, f (τ ) + y s dτ

+
s

đúng với mọi [x, y] ∈ A (nghĩa là : y ∈ Ax) và 0 ≤ s ≤ t ≤ T .
Ở đây hàm
, s :X ×X →R
được định nghĩa bởi

x, y

s

= sup{x∗ (y) : x∗ ∈ J(x)}.

Hơn nữa, chúng ta kí hiệu u bằng u = Kx0 f , trong đó Kx0 f là từ L1 ([0, T ]; X)
tới C([0, T ]; X).
Bổ đề 1.7. ([17]) Cho X là không gian Banach và cho

A : D(A) ⊆ X → X
là m−tiêu tán. Khi đó với mỗi x0 ∈ D(A) và f ∈ L1 (0, T ]; X), tồn tại
nghiệm tích phân duy nhất của (1.1) trên [0, T ] mà thỏa mãn u(0) = x0 .
14


Bổ đề 1.8. ([17]) Cho X là không gian Banach và cho

A : D(A) ⊆ X → X
là m−tiêu tán. Nếu f1 , f2 ∈ L1 ([0, T ]; X) và u, v là nghiệm tích phân của
(1.1) lần lượt tương ứng với f1 và f2 . Khi đó ta có bất đẳng thức
t

u(t) − v(t) ≤ u(s) − v(s) +

f1 (τ ) − f2 (τ ) dτ.

(1.2)

s

t

u(t)−v(t)

2

≤ u(s)−v(s) 2 +2

u(τ )−v(τ ), f1 (τ )−f2 (τ ) s dτ. (1.3)
s

với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
Bổ đề 1.9. ([22]) Nếu X là một hàm trơn đều, Y ⊂ X là một không gian
con hữu hạn chiều, A thỏa mãn (HA ) và B ⊂ L1 ([0, T ]; Y ) là khả tích đều,
thì Kx0 ⊂ C([0, T ]; X) là tiền compact.
Định nghĩa 1.14. Tập con G ⊂ L1 ([0, T ); X) được gọi là khả tích đều
nếu E f dt hội tụ về 0 đều theo f ∈ G khi µ(E) → 0, trong đó µ(E) là
độ đo Lebesgue trên [0, T ].
Bổ đề 1.10. ([23], Định lí 2.1) Nếu A sinh ra nửa nhóm đồng liên tục
S(t), B ∈ L1 ([0, T ]); X) là khả tích đều và C ⊂ D(A) là compact, thì tập
Π = {u : u là nghiệm tích phân của (1.1) với f ∈ B và u0 ∈ C} là đồng
liên tục và bị chặn trong C([0, T ]; X).
Bổ đề 1.11. ([9], Bổ đề 2.3.2) Cho X là một không gia Banach mà tô
pô đối ngẫu là đều lồi, và cho {un }, {vk } là hai dãy trong C([a, b]; X), và
{fn }, {fk } là hai dãy trong L1 ([a, b]). Nếu lim un = u, lim vk = v hội
n→+∞

k→+∞

tụ mạnh trong C([a, b]; X), và lim fn = f, lim fk = f hội tụ yếu trong

n→+∞

k→+∞

1

L ([a, b]; X), khi đó
b

lim

n,k→+∞

b

un (s)−vk (s), fn (s)−fk (s) s ds =
a

u(s)−v(s), f (s)−f (s) s ds.
a

15


Chương 2
Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm đối với bao hàm thức vi
phân với điều kiện không cục bộ
2.1

Phát biểu bài toán

Giả sử X là một không gian Banach với chuẩn . .
Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau đây:

u (t) ∈ Au(t) + F (tu(t)), 0 < t ≤ T,
u(0) = g(u),

(2.1)

trong đó A : D(A) ⊆ X → X là toán tử phi tuyến m−tiêu tán sinh nửa
nhóm S(t) và F là hàm đa trị nửa liên tục trên yếu theo biến thứ hai của
nó trong không gian Banach thực X và g : C([0, T ]; X) → X là hàm nửa
liên tục.
Định nghĩa 2.1. Một hàm u : [0, T ] → X được gọi là nghiệm tích phân
của bài toán (2.1) trên [0, T ] nếu u ∈ C([0, T ]; X) với u(0) = g(u) và tồn
tại f ∈ L1 ([0, T ], X) sao cho f (t) ∈ F (t, u(t)) hầu khắp nơi trên [0, T ] và
bất đẳng thức
t

u(t) − x

2

≤ u(s) − x

2

u(τ ) − x, f (τ ) + y s dτ

+
s

đúng với mọi [x, y] ∈ A (nghĩa là : y ∈ Ax) và 0 ≤ s ≤ t ≤ T .
Ở đây hàm
, s :X ×X →R
16


được định nghĩa bởi

x, y

s

= sup{x∗ (y) : x∗ ∈ J(x)}.

Hơn nữa, chúng ta kí hiệu u bằng u = Kg f , trong đó Kg là từ L1 ([0, T ]; X)
tới C([0, T ]; X).
Định nghĩa 2.2. Một hàm liên tục u(t) gọi là nghiệm tích phân của (2.1)
nếu tồn tại f ∈ L1 ([0, T ]; X) với f (t) ∈ F (t, u(t) trên [0, T ] sao cho u là
nghiệm tích phân của (1.1) với u0 = g(u).

2.2

Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) đồng
liên tục

Trong mục này, giả sử X ∗ là lồi đều. Chúng tôi đưa ra một số giả thiết
(HA ) Cho A là m-tiêu tán sao cho A sinh ra nửa nhóm liên tục {S (t) : t > 0}

trên D (A)
(Hg ) g :C([0, T ]; X) → X thỏa mãn:
(1) g là liên tục và compact;
(2) tồn tại hằng số a, b sao cho với u ∈ C([0, T ]; X),

g(u) ≤ a u

∞

+b

(HF ) F : [0, T ] × X → Pf c (X) thỏa mãn:
(1) với x ∈ X , hàm F (., x) là hàm đo được;
(2) t ∈ [0, T ], hàm F (t, .) là hàm nửa liên tục trên yếu;
(3) tồn tại α, η ∈ L1 ([0, T ]; R+ ) sao cho

|F (t, x)| := sup{ y : y ∈ F (t, x)}

α(t) x + η(t).

(4) tồn tại µ ∈ L1 ([0, T ]; R+ ) sao cho β(F (t, B))

µ(t)β(B).

Chú ý 2.1. Dưới điều kiện (HF )(1) − (3), với mọi u ∈ C([0, T ]; X),

Sel(u) := f ∈ L1 ([0, T ]; X) : f (t) ∈ F (t, u(t)) trên [0, T ]
là tập lồi đóng và khác rỗng của L1 ([0, T ]; X).

17

Bổ đề 2.1. Nếu X ∗ là một hàm lồi đều và A thỏa mãn (HA ), thì đối với
1
bất kỳ dãy khả tích đều {wk }∞
k=1 ⊂ L ([0, T ); X), nghĩa là

lim sup

wk (t) dt = 0,

λ→∞

{ wk ≥ λ}
và tập compact tương đối {xk }∞
k=1 ⊂ D(A), chúng ta có
t

χ({(Kxk wk ) : k ≥ 1}) ≤

χ({wk (s) : k ≥ 1})ds, t ∈ [0, T ].
0

Chứng minh. Vì wk ∈ L1 ([0, T ]; X) là dãy đo được mạnh với k = 1, chúng
ta có thể giả sử x0 = span(∪∞
k=1 wk ([0, T )) là tách được.
Do X là phản xạ, theo Định lí V.2.3 trong [11], có một không gian con
đóng tách được Y của X chứa X0 , và một phép chiếu tuyến tính liên tục
P từ X vào Y với P = 1.
Với tập bị chặn B ⊂ Y , chúng ta có χ(B) = χY (B). Do Y là tách được,

tồn tại một dãy tăng {Ym }∞
m=1 các không gian con hữu hạn chiều sao cho
Y = ∪∞
m=1 Ym .
Định nghĩa Pm : Y → Ym bởi

Pm x = {y ∈ Ym : x − y = d(x, Ym )}.
là tập compact lồi và

Pm x ≤ 2 x

với bất kì x ∈ Y.

Cho w(t) ∈ L1 ([0, T ]; Y ),

Pm w(t) = Ym ∩ (w(t) + d(w(t), Ym )S(Y ).

(2.2)

trong đó S(Y ) là hình cầu đơn vị của Y .
Điều đó suy ra

SP1 m w(.) = {v ∈ L1 ([0, T ]; Ym ), v(t) ∈ Pm w(t)} = ∅.
Định nghĩa Qm : L1 ([0, T ]; Y ) → P (L1 ([0, T ]; Ym )) bởi Qm = SP1 m w(.)
Từ (2.2) và bất đẳng thức (1.2) trong Bổ đề 1.8 chúng ta có được
t

d((Kxk wk )(t), (Kxk Qm wk )(t) ≤

d(wk (s), Ym )ds.

0

18


với bất kỳ k ≥ 1.
Từ {Kχk wk : k < n} ⊂ C([0, T ]; X) là compact, chúng ta có

χ({(Kxk wk )(t) : k

1}) = χ({Kxk wk : k

n}).

Theo Bổ đề 1.9 và Định lí 2.1 trong [4], ta có điều sau

χ({(Kχk wk )(t) : k

1})

ρ({Kxk wk (t) : k

n}.

t

{(Kxk (Qm wk ))(t) : k

1}) ≤ sup

d(wk (s)), Ym )ds, k

n .

0

Cho n, m → ∞, áp dụng Bổ đề 1.1 ta có

{(Kxk (wk ))(t) : k

1}) ≤
=

χY ({wk (s) : k ≥ 1})ds
χ({wk (s) : k ≥ 1})ds.

Bổ đề đã được chứng minh
Định lý 2.1. Giả sử các giả thiết (HA ), (Hg )(1) − (2) và (HF )(1) − (4)
được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm tích phân với
điều kiện
a+ α 1 <1
trong đó α

1

=

T
0

α(t)dt.

Chứng minh. Cho G : C([0, T ]; X) → C([0, T ]; X) xác định bởi

G(v) = {u ∈ C([0, T ]; X) :u là nghiệm tích phân của (1.4) với
f ∈ Sel(v) và u(0) = g(v)}
Nghĩa là, G(v) = {Kg(v) f : f ∈ Sel(v)}.
Với mọi [x, y] thuộc A cố định và u ∈ G(v), ta có
T

u(t) ≤ a v + b + 2 x + T y + η

1

+

α(s) v(s) ds
0

với t ∈ [0, T ] ,khi a + α

r=

1

< 1, đặt

2 x +b+T y + η
1−a− α 1
19

1

,


trong đó η
Đặt

1

=

t
0 η(s)ds.

Khi đó u

∞

≤ r khi v

W0 = {u ∈ C([0, T ]; X) : u

∞

∞

≤ r.

≤ r}

và

W1 = conv(GW0 )
trong đó conv là bao đóng của bao lồi trong C([0, T ); X), thì W1 ⊂ W0 .
Khi g là compact, {S(t) : t > 0} là đồng liên tục và (HF ) là đúng, và W1
là đồng liên tục theo Bổ đề 1.10.
Hơn thế nữa, chúng ta đặt Wn+1 = conv(GWn ), với n = 1, 2, ..., thì
chúng ta có đươc Wn+1 ⊂ Wn với n = 1, 2, ... khi W1 ⊂ W0 . Rõ ràng
là {Wn }∞
n=1 là dãy giảm của tập đồng liên tục lồi đóng và bị chặn của
W0 ⊂ C([0, T ]; X).Theo bất đẳng thức (2) trang 673 của [3] ,với bất kỳ
+∞
1
ε > 0, tồn tại dãy {uk }+∞
k=1 ⊂ Wn và {fk }k=1 ⊂ L ([0, T ]; X) sao cho
fk ∈ Sel(uk ) ∀k ≥ 1 và

χ(Wn+1 (t)) = χ({Kg(u) f : f ∈ Sel(u), u ∈ Wn })
≤ 2χ({Kg(uk fk : k ≥ 1}) + ε.
Do g là ánh xạ compact, kết hợp Bổ đề 2.1 ta có
t

χ({fk (s)ds : k ≥ 1})ds + ε

χ(Wn+1 (t)) ≤ 2
0
t

≤ 2

χ(F (s, Wn (s)))ds + ε
0
t

≤ 2

µ(s)χ(Wn (s))ds + ε
0

Do ε > 0 tùy ý, chúng ta có
t

χ(Wn+1 (t)) ≤ 2

µ(s)χ(Wn (s))ds.
0

Cho n → ∞, cho nên
t

lim χ(Wn (t) ≤ 2

n→∞

µ(s)( lim χ(Wn (s)))ds, với t ∈ [0, T ].
0

n→∞

từ bất đẳng thức Gronwall, cho ta kết quả

lim χ(Wn (t) ≡ 0 với mọi t ∈ [0, T ].

n→∞

20


Hơn thế nữa, chúng ta biết rằng {Wn }n≥0 là dãy giảm các tập con bị chặn
và đồng liên tục của C([0, T ]; X). Điều này có nghĩa là

lim χc (Wn ) = 0.

n→∞

trong đó χc là độ đo Hausdorff của C([0, T ]; X).
Từ Chương 2 trong [4], chúng ta có được W = ∩n≥0 Wn là tập compac lồi,
khác rỗng trong C([0, T ]; X) và G(W ) ⊆ W .
Bây giờ chúng ta hãy kiểm tra graph(G) đóng. Chứng minh được chia
làm 3 bước.
Đầu tiên, cho vn ⊂ W với vn → v trong C([0, T ]; X) và un → u trong
C([0, T ]; X) và cho
1
{fn }∞
n=1 ⊂ L ([0, T ]; X)
là dãy thỏa mãn fn ∈ Sel(vn ) với n ≥ 1 và un = Kg(vn ) fn .
1
Theo (HF )(3),{fn }∞

n=1 ⊂ L ([0, T ]; X) là khả tích đều.
Hơn nữa, fn thỏa mãn fn (t) ∈ C(t) := F (t, {vn (t) : n ≥ 1}).
Do X ∗ là lồi đều, chúng ta biết rằng X là phản xạ, vì thế F có giá trị
compact yếu và tập C(t) là compact yếu với mọi t ∈ [0, T ] theo Bổ đề 1.5.
Vì thế chúng ta có thể giả thiết rằng fn
f trong L1 ([0, T ); X) theo Bổ
đề 1.2.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng f ∈ Sel(v).
Thật vây f n ∈ conv{fk : k ≥ n} sao cho f n → f trong L1 ([0, T ]; X) theo
Định lí Mazur. Vì thế có dãy con f nk , f nk → f (t) trên [0, T ].
Giả sử t ∈ [0, T ] thỏa mãn fn (t) ∈ F (t, vn (t) với mọi n ≥ 1 và f nk (t) →
f (t). Vì x∗ ∈ X ∗ , x∗ ◦ F (t, .) là nửa liên tục trên yếu với giá trị compact
lồi. Do đó với bất kỳ ε > 0, chúng ta có

x∗ (fn (t)) ∈ x∗ (F (t, v(t))) + (−ε, ε) với mọi n đủ lớn.
Hơn nữa, do g là liên tục, nên g(vn ) → g(v). Theo (1.3) trong Bổ đề
1.8, chúng ta có

un (t) − (Kg(v) f )(t)

2

= (Kg(vn ) fn (t) − (Kg(v) f )(t)

2

t

≤ g(vn ) − g(v)

2

un (τ ) − (Kg(v) f )(τ ), fn (τ ) − f (τ ) s dτ.

+2
0

Do đó, khi n → ∞, kết hợp bất đẳng thức ở trên với Bổ đề 1.11 cho thấy
u = Kg(v) f với f ∈ Sel(v). Nghĩa là u ∈ G(v). Do đó G là nửa liên tục
21


trên trên W
Tiếp theo chúng ta sẽ cho thấy G có giá trị khả co. Giả Sử C = G(v) với
mọi v ∈ M nào đó, cố định f ∈ Sel(v) và định nghĩa h : [0, 1] × C → C
bởi
u(t),
nếu t ∈ [0, sT ],
h(s, u)(t) =
u(t; sT, u(sT )), nếu t ∈ [sT, T ],
trong đó u(t; t0 , x0 ) là nghiệm của w (t) ∈ Aw(t)+f (t) trên [t0 , T ], w(t0 ) =
x0 . Từ u = Kg(v) f với mọi f ∈ Sel(v), chúng ta có h(s, u) = Kg(v) f với

f := f χ[0,sT ] + f χ[sT,T ] ∈ Sel(v).
do đó h ánh xạ vào C . Hơn nữa, h là liên tục do sự phụ thuộc liên tục của
u(t; t0 , x0 ) vào điều kiện ban đầu (t0 , x0 ) ∈ [0, T ] × D(A) và

h(0, u) = Kg(v) f , h(1, u) = Kg(v) f = u
Cuối cùng, kết hợp với Bổ đề 1.1 cho thấy G có một điểm cố định
u ∈ C([0, T ]; X). Rõ ràng điểm cố định u cũng là nghiệm tích phân của

bài toán (2.1). Định lí được chứng minh.
Chú ý 2.2. Đối với trường hợp phi tuyến không cục bộ, Bổ đề 2.1 là
mới trong không gian Banach không tách được, mà cũng rất quan trọng để
chứng minh Định lí 2.1.

2.3

Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) không
compact, không đồng liên tục

Trong phần này chúng ta giả sử X là tách được, chúng ta tập trung
chú ý vào trường hợp S(t) không compact và không đồng liên tục, đó là
mối quan tâm lớn trong lý thuyết bao hàm thức vi phân không cục bộ.
Bây giờ chúng ta chuẩn bị trình bày kết quả chính.
Định lý 2.2. Cho X ∗ là lồi đều. Giả thiết điều kiện (HF )(1) − (2) và các
điều kiện sau (Hg ) và (H1 ) thỏa mãn:
(Hg ) g : C([0, T ]; X) → D(A) là Lipschitz liên tục với hệ số Lipschitz k ;
(H1 ) tồn tại p(t), q(t) ∈ L1 ([0, T ]; R+ ) sao cho

H(F (t, x), F (t, y)) ≤ p(t) x − y ,
22


và

F (t, x) ≤ q(t)(1 + x )
với mọi t ∈ [0, T ] và x, y ∈ X
Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm tích phân trên [0, T ] với
T
điều kiện k + Q < 1,trong đó Q = 0 p(s)ds.

Chứng minh. Chúng ta kí hiệu toán tử

N : C([0, T ]; X) → C([0, T ]; X)
bằng
N v = {y ∈ C([0, T ]; X) : y là nghiệm tích phân của (2.1) với u(0) = g(v)
và f ∈ Sel(v)}.
Rõ ràng điểm cố định của N là nghiệm tích phân của bài toán (2.1). Vì
vậy ta chỉ cầm chỉ ra tồn tại một điểm u ∈ C([0, T ]; X) sao cho u ∈ F ixN .
Với mục đích này, trước hết ta thấy rằng, bởi (HF )(1) và phần thứ hai
của (H1 ), với mỗi v ∈ C([0, T ]; X), Sel(v) = ∅ vì F có hàm chọn đo được
([15], Định lí III.6).
Ngoài ra, sử dụng lập luận tương tự với cách chứng minh của Định lí 2.1,
chúng ta có thể dễ dàng suy ra rằng toán tử đa trị N định nghĩa ở trên có
giá trị đóng.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh rằng N là co được.
Cho v1 , v2 ∈ C([0, T ]; X) và u1 ∈ N (v1 ). Khi đó tồn tại f1 (t) ∈
F (t, v1 (t)) sao cho u1 là nghiệm tích phân của (1.1) trên [0, T ] với u1 (0) =
g(v1 ) và f = f1 .
Theo (H1 ) có

H(F (t, v1 (t), F (t, v2 (t))) ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) .
Vì vậy nên có z ∈ F (t, v2 (t)) sao cho

f1 (t) − z ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) , t ∈ [0, T ].
Bây giờ chúng ta kí hiệu toán tử φ : [0, T ] → P (X) xác định bởi

φ(t) = {z ∈ X : f1 (t) − z ≤ p(t) v1 (t) − v2 (t) }.
Chúng ta cũng có thể viết

φ(t) = f1 (t) + p(t) v1 (t) − v2 (t) S(X).

23