Biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng SU(2) biến dạng (LV01751)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
======

TRẦN THỊ ÁNH TUYẾT

BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY
CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(2) BIẾN DẠNG
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS - TS Nguyễn
Thị Hà Loan về sự quan tâm chỉ bảo, tận tình hƣớng dẫn của cô trong suốt
quá trình học tập đến hoàn thành luận văn này. Chính sự quan tâm tận tình chỉ
bảo của cô đã tạo động lực và cho em thêm niềm tin, sự cố gắng để thực hiện
luận văn này và mong muốn có sự phát triển tiếp theo.
Em xin chân trọng cảm ơn ban chủ nhiêm khoa, các thầy giáo, cô giáo
khoa Vật Lí - Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy, quan
tâm chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn
sát cánh bên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận
văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Học viên

Trần Thị Ánh Tuyết


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu riêng của tôi.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn sâu
sắc nhất.
Những vấn đề trình bày trong luận văn là sự tìm hiểu của riêng tôi và
không trùng lặp với luận văn khác.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Học viên

Trần Thị Ánh Tuyết


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu........................................................................... 2
6. Những đóng góp mới của đề tài. ............................................................... 2
CHƢƠNG 1. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM .......................................................... 3
1.1. Biểu diễn của nhóm [3] .......................................................................... 3

1.2 Biểu diễn khả quy của nhóm [3] ............................................................. 5
1.3. Biểu diễn bất khả quy của nhóm [3] ...................................................... 7
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 13
CHƢƠNG 2. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) ............................................. 14
2.1 Biểu diễn của nhóm SU(2) [5, 6] .......................................................... 14
2.1.1 Nhóm SU(2) ................................................................................... 14
2.1.2 Biểu diễn của nhóm SU(2) ............................................................. 15
2.2 Biểu diễn khả quy của nhóm SU(2) [5, 6] ............................................ 16
2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) [5, 6] ...................................... 18
KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 21
CHƢƠNG 3. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2) BIẾN DẠNG ...................... 22
3.1 Biểu diễn của nhóm SU(2)q [4] ............................................................ 22
3.1.1 Nhóm SU(2)q ................................................................................. 22
3.1.2 Biểu diễn nhóm SU(2)q ................................................................. 22
3.1.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2)q ....................................... 24
3.2 Biểu diễn của nhóm SUp,q(2) [4] ......................................................... 26
3.2.1 Nhóm SUp,q(2) .............................................................................. 26


3.2.2 Biểu diễn của nhóm SUp,q(2) ....................................................... 27
3.2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SUp,q(2) ................................... 28
KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 32


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khi nghiên cứu các hệ vật lý, ta thƣờng gặp các tính chất đối xứng của
chúng. Đối xứng đóng vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại. Đối xứng

chuẩn dẫn đến những lý thuyết trƣờng chuẩn, tính đối xứng của không gian và
thời gian trong hệ quy chiếu quán tính, tính đối xứng của cấu trúc vật chất:
tinh thể, phân tử, hạt cơ bản. Các tính đối xứng kể trên đã đƣợc tính toán bằng
ngôn ngữ môn toán học là lý thuyết nhóm. Và một số mặt của vấn đề chỉ có
thể giải quyết bằng lý thuyết nhóm đặc biệt là lý thuyết biểu diễn nhóm.
Các tính đối xứng tƣơng ứng với các phép biến đổi đối xứng và do đó
liên quan đến khái niệm nhóm. Các lý thuyết chuẩn đƣợc xây dựng trên cơ sở
nhóm chuẩn U(1), SU(2) và SU(3) đã đƣợc mô tả thành công trong các tƣơng
tác điện từ, yếu và mạnh của các hạt cơ bản.
Sau sự phát triển của mẫu quark và lý thuyết Gauge không abelian của
tƣơng tác mạnh và tƣơng tác điện yếu sự hiểu biết của nhóm Lie đã trở thành
cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản. Nhóm Lie ngày càng trở
thành công cụ chủ yếu của vật lý lí thuyết hiện đại nhƣ giải tính phức, phƣơng
trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn….
Nhóm lƣợng tử là sự mở rộng của nhóm Lie đã xâm nhập vào nhiều lĩnh
vực của vật lý. Phát minh của Macfarlane và Biedenham về sự thực hiện, đại
số lƣợng tử SUq(2) trong thuật ngữ q dao động tử điều hòa đã làm nảy sinh
việc áp dụng đối xứng lƣợng tử trong các vấn đề hiện thực của vật lý. Nhìn
vào lịch sử vật lý ta thấy rằng các nhà vật lý đã nhiều lần biến dạng (deform)
các quy luật vật lý cơ bản. Lý thuyết mới (đã biến dạng) là tổng quát hơn và
chứa lý thuyết ban đầu nhƣ là một trƣờng hợp giới hạn khi tham số biến dạng
tiến đến một giá trị đặc biệt. Nhóm lƣợng tử và nhóm đối xứng lƣợng tử đƣa
lý thuyết thoát khỏi phạm vi các nhóm cổ điển, điều này đã dẫn đến nhiều


2
thống kê mới với các hạt đƣợc đoán nhận: thống kê phân số (hạt anyon),
thống kê q- biến dạng (hạt quon), thống kê para (parafermion, paraboson ….).
Nhóm lƣợng tử và đối xứng lƣợng tử đƣa đến một phát triển mới trong lý
thuyết trƣờng lƣợng tử, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ học.

Trong luận văn này tôi nghiên cứu biểu diễn bất khả quy của nhóm đối
xứng lƣợng tử, biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm Lie, nhóm đối
xứng SU(2)q, SU(2)p,q.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của một số nhóm đối xứng lƣợng tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về biểu diễn bất khả quy của nhóm đối xứng lƣợng tử SU(2),
SU(2)q, SU(2)p,q.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết biểu diễn nhóm.
Nghiên cứu về biểu diễn khả quy và bất khả quy của một số nhóm đối xứng
lƣợng tử.
Nghiên cứu biểu diễn khả quy và bất khả quy của nhóm đối xứng lƣợng
tử SU(2)q , SU(2)p,q
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu của VLLT - VLT.
Các phƣơng pháp của nhóm đối xứng lƣợng tử.
6. Những đóng góp mới của đề tài.
Nghiên cứu và viết tổng quan về các biểu diễn khả quy và bất khả quy
của nhóm Lie, nhóm đối xứng SU(2)q, SU(2)p,q.
Cung cấp tài liệu tham khảo về một số biểu diễn bất khả quy của nhóm
đối xứng lƣợng tử.


3
CHƢƠNG 1
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM
1.1. Biểu diễn của nhóm [3]
Cho một biểu diễn T của nhóm G trong một không gian tuyến tính L nào
đó nghĩa là ứng với mỗi phần tử g của nhóm G ta làm tƣơng ứng toán tử T(g)

trong không gian L sao cho
T  g1  T  g2   T  g1 g2 

(1.1)

Thứ nguyên của không gian L gọi là thứ nguyên của biểu diễn. Một
nhóm có thể có biểu diễn hữu hạn chiều cũng nhƣ biểu diễn vô hạn chiều.
Ví dụ 1:
Xét nhóm tịnh tiến không gian dọc theo trục z thì một phần tử của nó là
tg phép tịnh tiến một chiều.
Gọi L là không gian một chiều
T là toán tử nhân với eikz
Nếu chọn tƣơng ứng z  T  z   eikz

(1.2)

T  z1   eikz1
T  z2   eikz2
T  z1 z2   eik  z1  z2 

(1.3)

z1 z2  z1  z2

Tƣơng ứng z  T  z  là đồng cấu nên T  z  là biểu diễn của nhóm tịnh
tiến.
Ví dụ 2:
Xét một hạt có năng lƣợng E và nằm trong một trƣờng ngoài có thế
năng là U  r  và trạng thái của nó đƣợc biểu diễn bởi hàm số sóng   r  thỏa
mãn phƣơng trình Schodinger.

  r  

2m
2

 E  U  r   r   0

(1.4)


4
Xét trƣờng hợp E < 0 ứng với một giá trị của E đã cho thì phƣơng trình
tìm đƣợc nghiệm  1 (r), 2 (r), 3 (r)...., n (r) các nghiệm là độc lập tuyến tính.
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình:
 (r)  c1 1 (r)  c2  2 (r)  .... cn  n (r)

(1.5)

Nghiệm tổng quát đƣợc coi là một véc tơ trƣờng không gian n chiều có các
véc tơ cơ sở  1 (r), 2 (r), 3 (r)...., n (r) không gian này gọi là LE.
Xét nghiệm G bao gồm các phần tử g. G là tập hợp các phép quay và
quay gƣơng của không gian mà không làm thay đổi giá trị của trƣờng U nghĩa
là U (gr)  U(r) lúc ấy trƣờng phải có một tính chất đối xứng nào đó và G là
nhóm quay.
Biểu diễn nhóm G trong không gian LE: ứng với một phần tử g làm
tƣơng ứng với một toán tử Tg . Toán tử Tg trong không gian LE. Muốn cho Tg
là biểu diễn của G thì nó phải thỏa mãn:
T (g1 ) T(g 2 )  T(g1 g2 )

(1.6)

g  T  g  mà T (g) (r)   (g 1 r)

(1.7)

Ta đi chứng minh :  (g 1r) là một véc tơ trong không gian LE và T (g)
phải thỏa mãn tính chất đồng cấu.
 (g 1 r) nằm trong không gian LE thì nó phải là nghiệm của phƣơng trình

Schodingger:
 (g 1 r) 

2m
2

 E  U (g 1r)  (g 1r)  0

U (g 1 r)  U(gg 1 r)  U(r)

(1.8)
(1.9)

 (g 1 r) là nghiệm của phƣơng trình Schodingger.
T (g) thỏa mãn tính chất đồng cấu:
T (g2 ) (r)   (g 21 r)   2 (r)

(1.10)

T (g1 ) T(g 2 ) (r)  T(g 1) 2 (r)   2 (g11r)   (g 21g11r)

(1.11)


5
T (g1g 2 ) (r)   ((g1g 2 )1 r)   (g 21g11r)

(1.12)

Vậy T (g) là biểu diễn của nhóm G trong không gian của các hàm số sóng.
1.2 Biểu diễn khả quy của nhóm [3]
Biểu diễn T của nhóm G tác dụng trong không gian L gọi là khả quy
( hay không tối giản ) nếu trong L tồn tại một không gian con L1 không vô vị
bất biến đối với tất cả các toán tử T(g)
T(g) x1 = y1

x1 , y1  L1

(1.13)

Nếu trong L không tồn tại L1 nhƣ trên thì T(g) đƣợc gọi là biểu diễn tối
giản ( biểu diễn bất khả quy) và đƣợc ký hiệu

T(g)

Nếu T là biểu diễn khả quy của nhóm G tác dụng trong không gian L
L1 là không gian con thực sự của L
Trong L1 xây dựng biểu diễn T1(g) mà T1(g) x1 = T(g) x1 và thảo mãn với mọi x1
thuộc L1 là biểu diễn của G tác dụng trong không gian L1, T(g) là biểu diễn của
G tác dụng trong không gian L ( T(g) là cảm ứng trong không gian L1 cho T1(g)).
Nếu T(g) là Unita thì T1(g) cũng là Unita.

Nếu trong L1 tồn tại không gian con không vô vị thì T1(g) là biểu diễn khả
quy.
Cho T là biểu diễn khả quy Unita của nhóm G trong không gian L và
L1 là không gian con bất biến thì phần phụ trực giao với L1 là không gian con
L2 cũng bất biến.
Không gian L: L = L1 + L2 +…..

(1.14)

Gọi x là vec tơ của L1
Gọi y là vec tơ của L2
Gọi X là vec tơ của L
T(g) cảm ứng trong L1 cho T1(g)
T(g) cảm ứng trong L2 cho T2(g)
Nếu X = x + y thì T(g)X = T1(g)x + T2(g)y

(1.15)


6
Biểu diễn T(g) tách thành hai biểu diễn T1(g), T2(g) và T = T1 + T2
Xét trong L1 và L2 có tồn tại không gian con bất biến đối với T1, T2 không,
nếu tồn tại, tiếp tục tách không gian. Cứ tiếp tục nhƣ vậy tất cả các biểu diễn
là bất khả quy.
L = L1 + L2 + .............+ Ln

(1.16)

T(g) = T1(g) + ................+ T n (g)

(1.17)

Có thể có nhiều không gian con biến đổi theo cùng một biểu diễn, mỗi biểu
diễn T có thể tham gia vào biểu diễn T một số lần gọi là:

T 1 tham gia vào T

n1 lần

T 2 tham gia vào T

n2 lần

.

.

.

.

.

.
n  lần thì ta nói rằng có

T  tham gia vào T



không gian con

biến đổi theo T  .
Mọi biểu diễn khả quy có thứ nguyên hữu hạn và unita thì tách ra đƣợc
thành các biểu diễn bất khả quy unita và từ các biểu diễn ấy có thể hợp thành
các biểu diễn khả quy.
L = L1 + L2 + ........
 T1 
 0

T   

0 
T2  

x

 y

X  

 T1 0  x 
 
 0 T2   y 

T  X   

 T 0  x   0 0   x 
 1
 

   
 0 0  y   0 T2   y 

 T1  x   T2  y 

(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)


7
Ta thấy rằng không gian biểu diễn khả quy là biểu diễn của nhóm tác
dụng trong không gian L còn có thể tách thành các không gian con.
1.3. Biểu diễn bất khả quy của nhóm [3]
Biểu diễn

T (g) tác động trong không gian L là bất khả quy nếu không

tồn tại một không gian con thực sự L1 không vô vị, bất biến đối với tất cả các
toán tử T thì

T đƣợc gọi là bất khả quy của nhóm G.

Nếu biểu diễn

T (g) của nhóm G là bất khả quy thì mọi toán tử tuyến

tính A giao hoán với T (g) sẽ bằng bội số của đơn vị.
A là toán tử tuyến tính thì A   E

(1.22)

 là một số

E là toán tử đơn vị
A T (g) = T (g)A

(1.23)

Ta đi chứng minh : x thuộc L
A T(g)x = T(g)Ax = T(g)
x = 

T(g)x

(1.24)

Đặt Ax   x

T (g)x và x đều là trị riêng của A ứng với trị riêng



suy ra A là bội số của toán tử đơn vị.
A  E

Hàm sinh bởi biểu diễn :
Cho nhóm G, T là biểu diễn của G tác dụng trong không gian L. Trong
L chọn một hệ véc tơ cơ sở e1 , e2 ....es . Hệ véc tơ cơ sở xác định thì phần tử ma

trận của toán tử Tˆ cũng xác định.
Phần tử ma trận của Tˆ :
Nếu

Tik (g)
s

T (g) ek   Tik (g) ei
i 1

(1.25)


8
Mỗi phần tử ma trận là một hàm trên nhóm. Có s2 hàm trên nhóm,
những hàm ấy là hàm sinh ra bởi biểu diễn. Từ hệ thức
T (gh)  T(g).T(h)

(1.26)

Ta suy ra hệ thức của các phần tử ma trận
Tik (gh)   Tij (g) Tjk (h)

(1.27)

j

S2 hàm trên nhóm tuân theo biểu thức (1.27)
Tích vô hƣớng của hàm trên nhóm:
Giả sử có hai hàm nhóm trên nhóm  (g), (g),g  G , G là nhóm hữu hạn

Tích vô hƣớng của hai hàm trên nhóm đƣợc thể hiện:

  g  ,  g    N1    g   g 

(1.28)

gG

 (g) : liên hợp phức của  (g)

N

: số phần tử của nhóm

Nếu tích của hai hàm trên nhóm bằng 0 thì hai hàm trên nhóm trực giao.
* Biểu diễn tối giản  có thứ nguyên s thì sinh ra s2 hàm trên nhóm
 ik (g),(i, k  1  s) trực giao với nhau



ik



1
, i,k ,   ii,  kk ,
s

(1.29)

Ta đi chứng minh: gọi B là một toán tử tuyến tính tùy ý chọn tác dụng
trong không gian L (L là không gian biến đổi theo biểu diễn tối giản B)
Xuất hiện toán tử A:
A

1
B(h) B(h 1 )

j hJ

(1.30)

Suy ra A cũng là biểu diễn trong L
A giao hoán với  (g)
 (g) A  A  g 

(1.31)


9
 g A 

1
N

  g   h  B  h   N   gh  B  h 
1

1

hG

1

(1.32)

hG

  g  thỏa mãn tính chất đồng cấu:

h lần lƣợt là tất cả các phần tử của nhóm G nên có thể thay h bằng g-1h
 g A 

1
N

  h  B  h   g 
1

(1.33)

hG

   g  A  A  g 

(1.34)

 A  E

Với E : toán tử đơn vị

  h  B  h 

(1.35)

1
N

  h  B  h     B  E

(1.36)

1
N

   h  B   h     B  

A

1
N

1

hG

1

hG

Chuyển thành ma trận
1

hG

i

k

ik

  h1   h     e   E

(1.37)

  e   g     eg     g 

(1.38)

   h   h   E

(1.39)

  h1      h    c  h 

(1.40)

Mặt khác  là unita nên

  k  h1    k   h  thay vào (1. 37)

Ta có:
1
N

   h    h  B    B  
hG

i

k

ik

(1.41)

Sự phụ thuộc của  vào B.
Nếu i = k thì
  B 

1
N

   h    h  B
hG

i

i

(1.42)


10
Cho i = 1, 2, 3,... rồi cộng lại (i lặp lại nhƣng không lấy tổng)
  B  .s  B

(1.43)

B là tùy ý nhƣng chọn B nhƣ thế nào để   B  có dạng đơn giản. Chọn B là toán
tử mà các phần tử ma trận đều bằng 0 trừ phần tử ở hàng thứ p và cột thứ q.
Bpq  1

B  0

(1.44)
 #p hoặc q # 

  B  .s  B

(1.45)

1
s

      pq

(1.46)

Thay vào (1.41):





B



  1s 

i k 



ip kq



1
  pq ik
s
ik

 pq

(1.47)

(1.29) và (1.47) trùng nhau có nghĩa là đối với biểu diễn tối giản có thứ
nguyên s thì sinh ra s2 hàm trên nhóm trực giao với nhau.

Giả sử nhóm G có bậc N (N phần tử)
Cho   g  là một hàm trên nhóm,   g  có N giá trị độc lập tuyến tính
đối với nhau. Ta chọn N hàm trên nhóm   g  làm hệ véc tơ cơ sở. Một hàm
trên nhóm bất kỳ có thể viết dƣới dạng tổ hợp tuyến tính của N hàm
1  g1  , 2  g2  ,.... mặt khác  ik  g  cũng là hàm trên nhóm có s hàm nhƣ vậy và
2

s2 hàm này trực giao với nhau, tức là cũng độc lập tuyến tính, s2 hàm đƣợc xác
định trong không gian tuyến tính N chiều . Vậy s 2  N
** Hàm  ik1  g  sinh ra bởi biểu diễn tối giản  1 thì trực giao với những
hàm  i 2k   g  sinh ra bởi biểu diễn   2 bất kỳ tối giản và không tƣơng đƣơng
, ,

với  011

     0
1
ik

2
i, k ,

(1.48)


11
Bổ đề Schur: Cho  1 và   2 là hai biểu diễn tối giản không tƣơng đƣơng
của nhóm G toán tử  1  g  tác dụng trong không gian L1 còn   2  g  tác dụng
trong không gian L2, nếu một toán tử tuyến tính A để chuyển một véc tơ từ
không gian L2 sang không gian L1 nghĩa là

x1  L1 , x2  L2 thì x1 =Ax2

 1g A  A g2 thì A = 0

Nếu ta có hệ thức:

(1.49)

Ta đi chứng minh:
Gọi s1 là thứ nguyên của không gian L1
Gọi s2 là thứ nguyên của không gian L2
Trƣờng hợp s1 > s2
Nếu giá trị M của toán tử A là không gian con của L1  M  L1  .
Ta có thể chứng minh đƣợc M là một không gian con bất biến đối với  1
 1g x1   1g Ax2  A g2 x2

M

Suy ra M1 bất biến và thứ nguyên của M phải nhỏ hơn thứ nguyên của L 1 1
là tối giản trong L1 có nghĩa là không tồn tại không gian con không vô vị mà
M là không gian con cũng bất biến đối với  1 , suy ra M chỉ chứa véc tơ 0 tức
là x1  0 có nghĩa là A = 0
Trƣờng hợp s1 = s2
A phải dị thƣờng (có nghĩa là không tồn tại A-1)
Nếu A không dị thƣờng thì
    tƣơng đƣơng  
1

2

 1g A  A g2   1g  A g2 A1

(1.50)

mà theo giả thuyết thì  1 không tƣơng đƣơng với   2

nên A phải dị thƣờng.
Nếu A dị thƣờng thì A phải là miền M có thứ nguyên nhỏ hơn s2, tức là cũng
nhỏ hơn s1 tức là A = 0
Trƣờng hợp s1 < s2 thì A dị thƣờng.
Sẽ có A # 0 mà tác dụng vào véc tơ thì nó bằng 0.


12
Gọi N là miền mà Ax2  0 x2  N
N: tập hợp véc tơ sao cho Ax2  0
Thứ nguyên của N # 0 (vì A dị thƣờng)
Mặt khác: không gian N là bất biến đối với   2
Ta xem   2 x2  N hay không.
A  2 x2 = 1 Ax2  0

(1.52)

Suy ra N bất biến đối với   2
N  L2 là không gian con của L2, nhƣng theo giả thuyết    là tối giản trong
2

L2 tức là tồn tại không gian con không vô vị trong L2 bất biến với    , nên N
2

phải là không gian con vô vị (N trùng L2 hoặc N là véc tơ 0) nhƣng N không
trống rỗng dẫn đến N phải trùng L2 mà trong L2 Ax2  0 nên A = 0 ( vì x2 bất
kỳ thuộc L2).
Bây giờ ta phải chứng minh : Hàm  ik1  g  sinh ra bởi biểu diễn tối giản
 1 thì trực giao với những hàm  i 2k   g  sinh ra bởi biểu diễn   2 bất kỳ tối
, ,

giản và không tƣơng đƣơng với  011

     0
1
ik

2
i, k ,

Chọn một toán tử B tuyến tính tùy ý chuyển véc tơ từ không gian L2 về L1.
Xây dựng toán tử
A

1
N

  h  B  h 
1

(1.53)

hG

A là một toán tử tuyến tính chuyển véc tơ từ không gian L2 sang L1.
Ax2 

1
N

    h  B    h  x
1

hG

Trong đó
 1  h  : véc tơ trong không gian L1

B: thuộc không gian L1
  2  h1  x2 : véc tơ trƣờng L2

2

1

2

(1.54)


13
Và A thỏa mãn hệ thức:
 1g A  A g2

(1.55)

Ta thấy rằng không gian biểu diễn bất khả quy là không thể tách đƣợc nữa
hay là không gian tối giản .
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong chƣơng 1 tôi đã nghiên cứu, trình bày về lý thuyết biểu diễn
nhóm, biểu diễn khả quy và biểu diễn bất khả quy của nhóm đồng thời đã
chứng minh đƣợc rằng mọi biểu diễn khả quy có thứ nguyên hữu hạn và unita
thì có thể tách ra đƣợc thành các biểu diễn bất khả quy unita và từ các biểu
diễn ấy có thể hợp thành biểu diễn khả quy.


14
CHƢƠNG 2
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM SU(2)
2.1 Biểu diễn của nhóm SU(2) [5, 6]
2.1.1 Nhóm SU(2)
Tập hợp các ma trận (2x2) hai unita, có định thức bằng một và thỏa mãn
các tích chất của nhóm tạo thành một nhóm đối xứng SU(2).
g là ma trận (2x2) và g  SU  2 thì :
gg+ = I
det g = 1

(2.1)

g

g 

g =  11 12 

 g 21 g 22 
Khi thông số biến đổi của SU(2) là vô cùng bé thì :
g=

eia Ia

,

 

a  1,3

(2.2)

Trong đó: a là số thực
Ia là ma trận (2x2)
Từ điều kiện gg+ = I khai triển Fourie đến gần đúng bậc nhất
g=

eia Ia

 I  ia I a  ...


g

+

 ia I a
=e

 I  ia I a  ...

 gg   I

 (I i a I a  .....)(I  i a I  a )  I
 I i a Ia  i a I  a  .....  I
 i  (Ia  I  a )  0

(2.3)

 I a  Ia
Từ điều kiện det g = 1 suy ra spI a  0

(2.4)


15
Để g  SU  2 thì Ia phải thỏa mãn các điều kiện (2.3) và (2.4). Có thể chọn Ia
trùng với  a  1,3 ba ma trận Pauli:
0 1
I1   1  

1 0
 0 i 
I2   2  

i 0 
1 0 
I3   3  


 0 1

(2.5)

Ba ma trận Pauli thỏa mãn tính chất:
 a   a

 a  1,3

sp a  0

c
 a  b 
,


i

abc
2 2
2



(2.6)

2.1.2 Biểu diễn của nhóm SU(2)
Giả sử có các toán tử Boson ai (i = 1,2) thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
 ai , a j    ij

 ai , a j   0

(2.7)

Đƣa vào định nghĩa toán tử số hạt:
Ni  ai ai

(2.8)

 Ni , N j   0

Các véc tơ riêng trực chuẩn của toán tử số hạt là:
n  n1 , n2

a  a 

 n1
1

 n2
2

n1 !n2 !

0

(2.9)

Xét toán tử:
Ji 

Trong đó  i là ma trận Pauli.

 a1 
1  
a1 a2   i  

2
 a2 

(2.10)


16
Viết tƣờng minh ta có dạng của các vi tử J1, J2, J3 là:
1    01  a1 
 a1 a2  10   a 
2
  2 

J1 


1    a1 
 a2 a1   a 
2
 2



1 
a2 a1  a1 a2 

2

 J1 

Tƣơng tự

J2 
 J2 

J3 

1 
a1 a2  a2 a1 

2

1    0 i   a1 
 a1 a2   i 0   a 
2

 2 
1 
a1 a2  a2 a1 

2i

1    1 0   a1 

 a1 a2   0 1  a 
2

 2 

 J3 

1 
 a1 a1  a2a2 
2

Tức là:
1 
a1 a2  a2 a1 

2
1
J 2   a1 a2  a2 a1 
2
1
J 3   a1 a1  a2 a2 
2
J1 

(2.11)

Có thể thấy rằng dựa vào các hệ thức giao hoán (2.7) ta tìm đƣợc hệ thức giao
hoán của Ji
 J i , J j   i ijk J k

(2.15)

Đây chính là đại số SU(2). Vậy có thể biểu diễn nhóm SU(2) qua các toán tử
Boson. Biểu thức (2.9) chính là hệ véc tơ cơ sở trong không gian Hilbert.
2.2 Biểu diễn khả quy của nhóm SU(2) [5, 6]
Trong biểu diễn dao động thì các vi tử của nhóm đối xứng SU(2) có dạng:


17
1 
 a1 a2  a2 a1 
2
1
J 2   a1 a2  a2 a1 
2
1
J 3   a1 a1  a2 a2 
2
J1 

Trong không gian Fock với véc tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số
dao động tử N:

a  a 

 n1
1

n  n1 , n2

 n2
2

n1 !n2 !

0

(2.16)

Ta tác dụng toán tử ai , ai lên véc tơ trạng thái n ta đƣợc
a1 n  n1  n1  1 , n2

(2.17)

a1 n  n1  1 (n1  1), n2

(2.18)

a2 n  n2 n1 ,  n2  1

(2.19)

a2 n  n2  1 n1 ,(n2  1)

(2.20)

Với

N1  a1 a1
N 2  a2 a2

Tác động toán tử số dao động tử N lên véc tơ trạng thái n
N1 n  n1 n
N 2 n  n2 n

J1 n 

J2 n 


(2.21)

1 
a1 a2  a2 a1  n1 , n2

2
1
2



n1  1 n2

  n  1 ,  n 1 
1

2

n1 n2  1  n1  1 ,  n2  1

(2.22)

n1 n2  1  n1  1 ,  n2  1

(2.23)

1 
a1 a2  a2 a1  n1 , n2

2
1
2



n1  1 n2

  n  1 ,  n 1 
1

2


18
J3 n 


1 
 a1 a1  a2a2  n1 , n2
2

1
 n1  n2  n1 , n2
2

(2.24)

Nhƣ vậy ta đã biểu diễn đại số SU(2) qua các toán tử Boson, biểu thức (2.16)
chính là các véc tơ trong không gian Hilbert của biểu diễn.
2.3 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) [5, 6]
Để đƣa ra biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2), ta xét từ không gian
biểu diễn (2.9) tìm ra các không gian con bất khả quy.
Xét toán tử Casimir:
C  J12  J 22  J 32

Đặt
J


1
 N1  N 2 
2
1 
a1 a1  a2 a2 

2

(2.25)

Ta có:
C = J(J + 1)

(2.26)

Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Casimir có giá trị xác định cho
nên từ dạng (2.26) của C ta có thể đặc trƣng cho biểu diễn SU(2) bởi các giá
trị riêng của toán tử J mà ta ký hiệu là j
Theo định nghĩa của Ni thì từ (2.25) ta có
j

1
 n1  n2 
2

(2.27)

Ta thấy j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm.
Để xác định các véc tơ riêng của không gian con của không gian Hilbert
(1.26), biểu diễn bất khả quy của nhóm SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này
đƣợc xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung đƣợc xác định bởi
hai số n1, n2). Ta nhận xét rằng toán tử J3 giao hoán với J tức là nó có giá trị


19
riêng xác định. Ta ký hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của J 3 ở (1.14)
ta có:
m

1
 n1  n2 
2

(2.28)

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong không gian các véc tơ cơ sở (2.12)
có thể đặc trƣng bởi j và m liên hệ với n1 , n2 nhƣ sau :
n1  j  m

(2.29)

n2  j  m

Từ không gian con các véc tơ cơ sở của biểu diễn bất khả quy là:

a  a 

1

j, m 

j m


2

j m

 j  m ! j  m !

(2.30)

0

Từ (2.17) và (2.18) ta thấy rằng với một j xác định thì m lấy 2j + 1 giá trị:
m =j, j - 1, …., -j + 1, -j

(2.31)

vậy không gian biểu diễn bất khả quy có 2j + 1 chiều.
ta có:

1

a


1

j, m  a

a


2

j, m  a



j m


2

j m

0

 j  m ! j  m !

(2.32)

a  a 

1

j m


2

j m

 j  m ! j  m !

0

(2.33)

1
1

j  m 1 j  , m 
2
2

a1 j , m  a1




1

1
1
j  m 1 j  , m 
2
2




2

a  a 

a  a 

1

j m


2

j m

 j  m ! j  m !
1
1
j  m j  ,m 
2
2

0

(2.34)


20

a  a 
j m


1

a2 j , m  a2


2

j m

 j  m ! j  m !

0

1
1
j  m j  ,m 
2
2



Từ đó ta tính đƣợc:
1
1
a1 a1 j , m  a1 j  m j  , m 
2
2




1

j  ma

a 


1

j  m 1

a 

2

j m

 j  m  1! j  m !

0

(2.35)

  j  m  j, m

Hay:
N1 j, m  n1 j, m

(2.36)

Và:
1
1
a2 a2 j, m  a2 j  m j  , m 
2
2




2

j  ma

a  a 

1

j m


2

(2.37)
j  m 1

 j  m ! j  m  1!

0

  j  m  j, m

Hay :
N2 j, m  n2 j, m

(2.38)

Ta có :
1
 N1  N2 
2

(2.39)

J 3 j, m  m j, m

(2.40)

J3 

Nên :

Nên đặt :
J   J1  iJ 2  a1 a2