CAC CAP DO HIEU BIET TOAN HOC CUA SHARMA

VẬN DỤNG CÁC CẤP ĐỘ HIỂU BIẾT TOÁN HỌC
CỦA MAHESH C. SHARMA
VÀO GIÁO DỤC TOÁN HỌC VIỆT NAM
Tập thể nhóm tác giả
[ Võ Thanh Hùng, Lại Thị Thùy Linh, Nguyễn Thị Thu Hiền, Nguyễn Ngọc Huy, Nguyễn Thị Xuân Chi, Đỗ Văn Bắc]

Qua nghiên cứu các cấp độ hiểu biết toán học của Mahesh C. Sharma, chúng tôi nhận thấy
đây là một vấn đề hữu ích và có thể ứng dụng vào giáo dục toán học tại Việt Nam. Trong bài viết
này, chúng tôi tìm hiểu về 6 cấp độ hiểu biết toán học của Mahesh C. Sharma, phân tích cách thức
vận dụng 6 cấp độ này vào giáo dục toán học ở Việt Nam nhằm định hướng cho giáo viên trong
việc chọn lựa phương pháp dạy học phù hợp với từng cấp học, bậc học theo chương trình hiện
hành.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Quốc Chung – ĐHSP Hà Nội đã cung cấp tư
liệu và hướng dẫn chúng tôi hoàn thành bài viết này.
1. Các cấp độ hiểu biết toán học của Mahesh C. Sharma:
Theo Mahesh C. Sharma, có 6 cấp độ nhiểu biết toán học:
Cấp độ trực giác/mô phỏng:
+ Trẻ học hỏi ở cấp độ vận động. Việc học được diễn ra qua các hoạt động tác động trực tiếp
vào đồ vật trong môi trường, trải nghiệm cảm giác của trẻ là kết quả của những hoạt động đó; việc
học diễn ra mang tính chất thử và sai nhiều hơn.
+ Ngoài các hoạt động đơn lẻ, trẻ còn được học về mối quan hệ giữa các hoạt động vận
động khác. Trẻ bắt đầu hình thành sự liên kết với các hoạt động khác nhau.
+ Cấp độ này trẻ bị thu hút vào trải nghiệm học tập mà không cần mục tiêu cụ thể liên quan
tới khái niệm.
Cấp độ cụ thể (hình tượng):
+ Trẻ phải tương tác với đồ vật cụ thể rồi hình thành hình ảnh của chúng trong trí não.
+ Năng lực hay khả năng nắm bắt ở cấp độ cụ thể của trẻ bị giới hạn trong việc thể hiện và
trình bày hiện tượng qua các vật dụng cụ thể.
+ Trí nhớ hình ảnh, tổ chức nhận thức miêu tả và chi phối cấp độ hiểu biết này.
Cấp độ biểu diễn (hình ảnh):
+ Sự biểu diễn minh họa các khái niệm qua đồ vật cụ thể là bước then chốt trong việc lĩnh

hội khái niệm toán học ở cấp độ trừu tượng.
+ Ý tưởng chính ở đây là việc các mô hình bằng hình ảnh được sử dụng như những công cụ
trừu tượng hóa.
+ Hình ảnh làm các dự liệu thông tin trừu tượng trở nên cụ thể hơn, vì vậy cải thiện quá
trình học hơn là không có hình ảnh hỗ trợ.
Hình ảnh và ý niệm không tách rời mà hợp thành thể thống nhất. Hoạt động nhận thức và hoạt
động miêu tả một đồ vật không phải là hai hoạt động tách biệt hoàn toàn.
Cấp độ trừu tượng:
Trang 1


+ Ở cấp độ này, khả năng lĩnh hội khái niệm của trẻ đã đạt đến cấp độ trừu tượng, có thể
thoát khỏi những hình ảnh tham chiếu.
+ Kinh nghiệm của trẻ thu được cấp độ cụ thể và hình ảnh càng nhiều thì khung tham chiếu
cho khả năng hình dung liên tưởng mà trẻ đạt được cho các hoạt động trừu tượng sẽ càng vững
chắc.
+ Trừu tượng hóa không phải là giai đoạn đầu tiên mà nó gần với giai đoạn cuối cùng của
quá trình khái niệm hóa và phát triển của toán học.
Cấp độ ứng dụng:
+ Ở cấp độ này, trẻ có thể hiểu rõ khái niệm toán học được học đồng thời có thể ứng dụng
các khái niệm đó. Quá trình lĩnh hội và ứng dụng khái niệm có quan hệ mật thiết với nhau. Theo
quan điểm của chúng tôi, khi một học sinh thực sự nắm vững được một khái niệm thi em cũng có
thể áp dụng nó. Theo Luriya, các ứng dụng của khái niệm có thể được hiểu theo hai cách: là công
cụ làm khái niệm sáng tỏ hơn và là tiêu chuẩn đánh giá xem học sinh đã thực sự lĩnh hội được khái
niệm hay chưa.
+ Ứng dụng khái niệm có thể diễn ra ở 4 cấp độ khác nhau: ứng dụng bên trong toán học,
ứng dụng bên ngoài toán học, tạo lập ý tưởng và khái niệm mới và giải quyết vấn đề gặp phải ngoài
xã hội.
Cấp độ truyền đạt:
+ Khi trẻ trải qua các giai đoạn khác nhau của sự phát triển nhận thức, trẻ phát triển các công

cụ và chiến lược mới để xử lý, tương tác với môi trường xung quanh; các cấp độ lĩnh hội cùa trẻ sẽ
dần trở nên tinh tế, phức tạp hơn.
+ Ở cấp độ này, trẻ có khả năng nhận thức tốt hơn, có khả năng và cơ hội truyền đạt lại khái
niệm cho các bạn mình; trẻ sẽ phải động não về những phương thức, mô hình cho cách giải thích
khái niệm mà trẻ đã hiểu. Trẻ phải ngẫm nghĩ về khái niệm để có thể giải thích cho người khác và
hoạt động này (dạy cho người khác) sẽ củng cố kiến thức của trẻ về khái niệm đó.
2. Ứng dụng vào giáo dục toán học tại Việt Nam.
Ở Việt Nam, các bậc học được chia thành: bậc học mầm non, cấp tiểu học, cấp trung học cơ
sở, cấp trung học phổ thông, bậc đại học và sau đại học. Chúng tôi phân chia các cấp độ hiểu biết
toán học ứng với các bậc học như sau:
Bậc mầm non và cấp tiểu học

Cấp độ trực giác
/ mô phỏng

Cấp độ
cụ thể

Cấp THCS, THPT, bậc CĐ-ĐH và sau ĐH

Cấp độ biểu diễn
/ hình ảnh

Cấp độ
trừu tượng

Cấp độ
ứng dụng

Cấp độ

truyền đạt

Bậc học mầm non:
Cô giáo phát triển kiến thức toán học của trẻ thông qua các hoạt động trò chơi, chẳng hạn cô
giáo giao cho mỗi trẻ một trong các biểu tượng    tượng trưng cho các chìa khóa và lập 3
khoảng không gian có các biểu tượng tương ứng tượng trưng cho 3 ngôi nhà. Cô giáo yêu cầu:
Trang 2


"trong vòng 30 giây, các con tìm ngôi nhà đúng với chìa khóa mình hiện có và ngồi vào đấy". Tiếp
theo, cô giáo chỉ từng biểu tượng và nêu tên chúng. Sau đó, cô giáo thu lại các biểu tượng trên tay
trẻ lại, tráo các biểu tượng trên các căn nhà và yêu cầu trẻ vào đúng căn nhà ứng biểu tượng trên
tay mình vừa bị thu lại.
Qua ví dụ trên, cô giáo dạy cho học sinh về hình vuông, hình tròn và hình tam giác. Rõ ràng
trẻ chưa có khái niệm về các loại hình này nhưng trẻ hoàn toàn có thể chọn đúng ngôi nhà có biểu
tượng minh đang cầm trên tay. Chứng tỏ trẻ đã hình thành được kiến thức hình học qua trực giác,
hình thành khái niện toán học qua trò chơi.
Cấp tiểu học:
Ở các cấp lớp 1 và 2, thầy giáo có thể dạy cho trẻ các phép toán cộng, trừ hai số tự nhiên
thông qua hoạt động ghép hai vật giống hệt nhau, chẳng hạn: thầy giáo mang vào lớp 5 viên bi, hai
viên bi thầy giáo cầm trên tay và 3 viên bi đặt trong hộp để bản. Thầy giáo cho học sinh quan sát và
đếm số bi trong hộp, tiếp theo thầy giáo bỏ thêm 2 viên bi trên tay vào hộp và yêu cầu học sinh
đếm lại. Học sinh dễ dàng đếm được có tất cả 5 viên bi trong hộp. Tiếp theo thầy giáo thực hiện
hoạt động tương tự, nhưng để lại trong hộp 2 viên bi và cầm trên tay 3 viên bi. Yêu cầu học sinh
nhận xét kết quả 2 viên bi cộng thêm 3 viên bi với việc cộng 3 viên bi với 2 viên bi.
Qua hoạt động trên, thầy giáo dạy cho học sinh 2 vật giống nhau cộng thêm 3 vật như thế thì
sẽ được 5 vật giống nhau, hình thành khái niệm cộng hai số tự nhiên và tính chất giao hoán đối với
phép toán cộng. Rõ ràng học sinh chưa có khái niệm về phép toán cộng hai số tự nhiên nhưng học
sinh hoàn toàn có thể thực hiện được phép cộng này bằng việc tương tác với vật cụ thể thông qua
hoạt động.

Tiếp theo, thầy giáo thay thế các vật thật như các viên bi thành các que tính và nâng dần giá
trị các phép toán. Từ đó hình thành được khái niệm cộng, trừ hai đối tượng giống nhau (cùng đơn
vị đo) nhưng vẫn qua các hoạt động cụ thể.
Ở cấp lớp 3 - 5, giáo viên thay thế viên bi thành hình vẽ các viên bi, các quả táo thành hình
vẽ các quả táo và yêu cầu học sinh thực hiện các phép toán cộng, trừ qua hình ảnh các viên bi, quả
táo,... Rõ ràng ở cấp độ hiểu biết này, học sinh đã tách biệt với các hoạt động với các vật thật, thay
thế các vật thật thành các hình biểu diễn của chúng.
Bậc học trung học cơ sở:
Ở bậc học này, một số khái niệm toán đã được hình thành mà không cần thông qua những
vật thật hay những hình vẽ. Chẳng hạn, ở các cấp độ trước khi thầy giáo phát biểu: "cho tam giác"
thì thầy giáo phải vẽ hình tam giác hoặc lấy những vật có hình tam giác để minh họa. Nhưng ở bậc
học này, thầy giáo chỉ cần ghi lên bảng "cho ABC " là học sinh nghĩ ngay đến hình có ba cạnh và
ba đỉnh được đánh dấu lần lượt là A, B, C theo cùng một chiều.
Quá đó, ta thấy rằng định nghĩa tam giác được định nghĩa một cách trừu tượng qua hệ thống
các kí hiệu toán học độc lập với hình ảnh, vật thật hay học sinh đã đạt được đến cấp độ trừu tượng.
Hẳn nhiên, khái niệm này có đươc là nhờ trãi qua các hoạt động cụ thể ở các bậc học trước đó.
Cũng ở cấp học này, học sinh đã biết vận dụng lí thuyết đã học vào việc giải các bài toán
giáo viên giao nhưng vẫn dựa vào những bài mẫu của giáo viên. Chẳng hạn, ứng dụng định lí
Trang 3


Thales chứng minh hai đường thẳng song song. Vậy ở bậc học này, học sinh đã phát triển hiểu biết
toán học đạt đến cấp độ ứng dụng.
Bậc học trung học phổ thông:
Ở bậc học này, học sinh hoàn toàn có thể vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống
lí thuyết vào giải quyết các bài toán trong nội bộ toán học hay các vấn đề liên quan đến thực tiễn
cuộc sống. Chẳng hạn, khi học khái niệm tập xác định của hàm số y  f ( x) là D  {x  f ( x) có
nghĩa}, học sinh hoàn toàn giải quyết được bài toán tìm tập xác định của hàm số y  x  1 . Qua
đó, minh chứng cho lí luận học sinh đã đạt đến cấp độ vận dụng toán học.
Bên cạnh, học sinh hoàn toàn có thể truyền đạt lại kiến thức của mình cho những học sinh

cấp học dưới hay là hướng dẫn lại cho các học sinh cùng cấp lớp hiểu. Chẳng hạn, giáo viên tổ
chức hoạt động như sau trong quá trình dạy học: Giáo viên giao cho học sinh một số bài tập và yêu
cầu học sinh giải quyết các bài toán. Sau đó, yêu cầu học sinh đại diện trình bày và giảng giải lại
những gì mình thể hiện trong bài giải. Qua thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy học sinh cấp 3 hoàn
toàn làm được và thậm chí có những học sinh làm rất tốt.
Bậc học Cao đẳng, Đại học, Sau Đại học:
Ở bậc học này, con người đã được đào tạo để ứng dụng kiến thức toán học vào giải quyết
các công việc trong cuộc sống, trong xã hội; đào tạo những chuyên gia để truyền đạt lại kiến thức
toán học cho các thế hệ sau. Vậy con người đã đạt đến cấp độ cao nhất của nhận thức toán học, cấp
độ truyền đạt.
3. Kết luận và kiến nghị:
Sự hình thành các khái niệm toán học theo các giai đoạn phát triển trí tuệ của một người
hoàn toàn phù hợp với 6 cấp độ hiểu biết toán học của Mahesh c. Sharma. Việc nghiên cứu các cấp
độ hiểu biết toán học của con người là rất quan trọng, qua đó có cơ sở và phương pháp giáo dục
toán học thích hợp, mang lại hiệu quả cao nhất trong giáo dục. Qua đó, chúng tôi đưa ra một số
kiến nghị sau:
Thứ nhất, trong dạy học, ta cần chú ý đến các cấp độ hiểu biết toán học của trẻ để có phương
pháp dạy học thích hợp, chẳng hạn ở cấp Tiểu học ta không thể hình thành các khái niệm toán học
cho học sinh bằng định nghĩa trừu tượng vì đa số học sinh chưa đạt đến cấp độ này, làm phá vỡ
nhận thức tự nhiên của học sinh, làm hỏng kiến thức tóan học của học sinh.
Thứ hai, đối với cấp Trung học cơ sở, là cấp học chuyển tiếp giữa nhận thức cảm tính sang
nhận thức lí tính nên khi dạy học ở cấp này giáo viên phải hết sức chú ý đế sự tiếp thu của trẻ. Một
số trẻ chưa đạt đến cấp độ tư duy trừu tượng nên giáo viên phải áp dụng các biện pháp dành cho
học sinh tiểu học. Nói chung, người thầy phải vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học dành
cho các cấp độ nhận thức từ cấp độ cụ thể đến cấp độ ứng dụng một cách linh hoạt, phù hợp với
các loại đối tượng học sinh mà mình giảng dạy.
Thứ ba, trong quá trình giảng dạy, người thầy cần kết hợp vận dụng kiến thức toán học vào
các tình huống cụ thể trong cuộc sống hàng ngày, giúp học sinh có kỹ năng sống tốt khi bước vào
cuộc sống tự lập.

Trang 4


Tài liệu tham khảo:
1. Bài giảng LÝ LUẬN DẠY HỌC TOÁN - PGS.TS. Vũ Quốc Chung - Đồng Tháp, 6/2016.
2. Levels of knowing mathematics - Mahesh C. Sharma - Center for teaching/learning of
mathematics - January/February 1988 .

Trang 5