Chứng minh công thức độc dùng để trị bài khó của tổng hợp hai dao động cùng phương cùng tần số

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

CHỦ ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH ĐỘC LẬP VỚI THỜI GIAN CỦA HAI
DAO ĐỘNG CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ.
1. Chứng minh công thức “Độc”.
*Xét mộ vật tham gia tham đồng gia hai dao động điều hòa cùng phương cùng


 x1  A1 cos t  1 
 x  A cos t   

 x2  A2 cos t  2 

tần số: 

Bây giờ ta đi khử t của hai dao động cùng tần số này bằng công cụ toán học như
sau:
Hai dao động được viết lại như sau:

 x1
 A  cos t cos 1  sin t sin 1  3
 1

 x2  cos t cos   sin t sin   4 
2
2
 A2
*Nhân hai vế của phương trình (3) cho cos  2 và phương trình (4) cho cos 1

 x1
 A cos 2  cos t cos 1 cos 2  sin t sin 1 cos 2

 1

 x1 cos   cos t cos  cos   sin t sin  cos 
1
2
1
2
1
 A2
Tiếp tục trừ vế theo vế ta được:

x1
x
cos 2  1 cos 1  sin t sin 2  1   5 
A1
A2
*Nhân hai vế của phương trình (3) cho sin 2 và phương trình (4) cho sin 1

 x1
 A sin 2  cos t cos 1 sin 2  sin t sin 1 sin  2
 1

 x1 sin   cos t cos  sin   sin t sin  sin 
1
2
1
2
1
 A2
Tiếp tục trừ vế theo vế ta được:

x1
x
sin 2  1 sin 1  cos t sin 2  1   6 
A1
A2

x1
 x1
 A cos 2  A cos 1  sin t sin 2  1 
 1
2
Từ (5) và (6) ta được hệ: 
 x1 sin   x1 sin   cos t sin    
2
1
2
1
 A1
A2
1


Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập 1 - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu

Tiếp tục bình phương hai vế và cộng lại ta được:

x12 x22 2 x1 x2
 2
cos   sin 2  * , Với    2  1 

2
A1 A2 A1 A2
Xét các trường hợp đặc biệt:
+ Nếu hai dao động cùng pha thì :   k 2 

x12 x22 2 x1 x2


0
A12 A22 A1 A2

+Nếu hai dao động ngược pha thì:    2k  1  
+nếu hai dao đông vuông pha thì:    2k  1


2



x12 x22 2 x1 x2


0
A12 A22 A1 A2
x12 x22

1
A12 A22

+Nếu tại mọi thời điểm t mà x1  x2  x0 thì thay vào phương trình (*) ta đươc:

A1 A2 sin 

x0 

A  A22  2 A1 A2 cos 
2
1

(Công thức của Phùng Lão).

Nhận xét: Công thức (*) có tính chất tổng quát. Công thức của bạn Phùng Lão
là một trường hợp riêng của công thức tổng quát ở trên.
2. Bài tập ví dụ:
Ví dụ 1: hai vật dao động điều hòa cùng phươnng cùng tần số, biên độ dao
động thứ nhất là A1 = 10cm . Khi x1 = -5cm thì li độ tổng hợp x = - 2cm. Khi x2
= 0 thì x = 5 3 cm. Độ lệch pha của dao động của hai chất điểm nhỏ hơn
 / 2 . Tính biên độ của dao động tổng hợp.
A.14cm.

C. 20 / 3 cm.

B.20cm.

D. 10 3  cm 

Hướng dẫn:
Ta có công thức độc lập với thời gian:

x12 x22 2 x1 x2

 2
cos   sin 2  *
2
A1 A2 A1 A2

* x = x1 + x2, x2 = 0 suy ra x1 = x = 5 3 thay vào công thức (*) ta được:
2


 5 3 
 
x12
3
1
2
2
2

sin




sin



 sin  
 cos  



2
A1
2
2
 10 

(1)
*Khi x1 = -5cm và x = - 2cm thì x2 = x – x2 = 3cm. Thay vào công thức (*):

 5   3  2.  5  .3 1 3
.   A2  6  cm  (Dùng máy tính Fx- 570..)
   
 10   A2  10. A2 2 4
2

Từ đó: A 

A12  A22  2 A1 A2 cos   14  cm  Chọn A.

Bình luận: Đây là cách giải độc đáo nhất, phù hợp với tất cả các đối tượng học
sinh. chưa một tác giả hay sách nào giải theo cách này, ngược lại các sách tham
khảo khác giải theo kiểu vẽ hình và ;ập luận rất phức tạp.

2


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 2: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có biên độ

lần lượt là A1 và A2 = 3cm, lệch pha nhau một góc  sao cho

 / 2     

. khi t = t1 thì dao động 1 có li độ -2cm và dao động tổng

hợp có li độ -3,5cm. Khi t = t2 thì dao động 2 và dao động tổng hợp đều có li độ
1, 5 3 cm. Tìm biên độ dao động tổng hợp.
A.6,1cm.
B.4,4cm.
C.2,6cm.
D.3,6cm
Hướng dẫn:
Ta có công thức độc lập với thời gian:

x12 x22 2 x1 x2


cos   sin 2  *
A12 A22 A1 A2

Khi t = t2 ta có: x2 = x = 5 3 suy ra x1 = 0 thay vào công thức (*) :
2


 1,5 3 
 
x22
3
1

2
2
2

sin





sin



  cos   


2
A2
4
2
 3 

*Khi t = t1 ta có x1 = -2cm, x = -3,5 cm suy ra x2 = -1,5cm. Thay vào CT (*):

 2   1,5  2.  2  .  1,5   1  3
.      A1  4  cm 
  

3. A1

 2 4
 A1   3 
2

(Dùng

máy

tính Fx- 570..)
Từ đó: A 

A12  A22  2 A1 A2 cos   3,6  cm  Chọn D.

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng
tần

số

với

phương

trình

lần

lượt

là

x1  2 3 cos t  1  cm,

x2  A2 cos t  2  cm. Với ( / 2     ) . Biết Tại thời điểm t1, li độ

x1  2 3 cm, x2  2 3 cm. Tại thời điểm t2 li độ của vật x1  3 cm ,
x2  0 . Tại thời điểm li độ của vật là x  1 cm thì li độ x1 có độ lớn bằng:
A.

3

B. 2

C.3.
Hướng dẫn:

D. 2 3

x12 x22 2 x1 x2
cos   sin 2  (1)
Ta có công thức Độc: 2  2 
A1 A2 A1 A2
Tại thời điêm t2 ta có: x1  3, x2  0 , thay vào công thức (1) ta đươc:
2

 3  1
x12
3
2
2
( / 2     )


sin




   sin   cos   
2
A1
4
2
2 3
Tại thời điểm t1 ta có:





 2 3   2 3  2.2 3 2 3 
3 1
.  

  
 
   A2  2 (cm)
2 3 A2
 2 3   A2 
 2  4
2

2

3


Tuyệt đỉnh công phá chuyên đề Vật Lí, tập 1 - Đoàn Văn Lượng & Hoàng Sư Điểu

*tại thời điểm x = 1cm thì: x2 = 1- x1, Áp dụng CT (1).

x12 1  x1  2 x1 1  x1 


cos   sin 2  (2) . Thay các giá trị vào (2):
2
2
A1
A2
A1 A2
2

x12

2 3

2

1  x1 

2

2

2



 x1  0
2 x1 1  x1  
3 1
 
   
2 3.2  2  4
 x1  3

Chọn A.

ĐÓN ĐỌC:
1.TUYỆT ĐỈNH CÔNG PHÁ CHUYÊN ĐỀ VẬT LÝ ĐIỆN XOAY
CHIỀU 2016-2017. (Phát hành tháng 9 -10)
Tác giả: Đoàn Văn Lượng ( Chủ biên) - Hoàng Sư Điểu

Nhà sách Khang Việt phát hành.
Website: WWW.nhasachkhangviet.vn

4