Cách xác định tích các hàm suy rộng của mikusinski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHỊ

CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM
SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHỊ

CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM
SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí .
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS. Tạ Ngọc Trí. Sự giúp đỡ
và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác
giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán
giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện
thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Nhị


LỜI CAM ĐOAN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Nhị


Mục lục

Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Không gian Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Không gian các hàm thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.5

Không gian Lp

9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Không gian hàm suy rộng Schwartz
2.1

2.2

12

Không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2

Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3

Cấp của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.4

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D (Ω) . . . . . . 17

Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng và tính chất . . . . . . . 18
2.2.1

Tích hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3

Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát theo
nghĩa thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Cách xác định tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski

1

24


1

3.1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2

Ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski . . . . . . . . . . 25

3.3

Tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách của Mikusinski . . . 28
3.3.1

Hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2

Số Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.3

Ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách xác
định của Mikusinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học, bài toán tìm đạo hàm các hàm số là một bài toán phổ biến.
Tuy nhiên ta có thể gặp những hàm như f (x) = |x| là hàm số liên tục trên toàn
bộ R nhưng nó chỉ có đạo hàm tại những điểm x = 0, còn tại x = 0 thì ta không
thể lấy đạo hàm của hàm số này. Như vậy không phải lúc nào bài toán tìm đạo
hàm của một hàm số cũng được giải quyết. Trong Vật lý có những hiện tượng
vật lý mà ta không thể toán học hóa một cách chính xác bằng một hàm thông
thường đã biết. Chẳng hạn như việc đo mật độ điện tích ρ của một nguồn đặt
tại một điểm. Chính từ hiện tượng này vào năm 1926, nhà vật lý người Anh là
Paul Dirac đã đề xuất khái niệm một hàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay
đơn giản hơn là hàm Dirac. Chúng ta có thể hiểu khái niệm hàm Dirac như sau:
δ(x) =

0
∞

(x = 0)
(x = 0)
+∞

và đồng thời thoả mãn đẳng thức tích phân

δ(x)dx = 1.
−∞

Với cách định nghĩa như trên thì vấn đề trong Toán học và Vật lý đã được
giải quyết. Về sau có rất nhiều cách định nghĩa hàm Dirac theo các cách tương
đương khác nhau, nhưng rõ ràng hàm Dirac không phải là những hàm thông
thường mà ta đã biết. Điều này làm nảy sinh vấn đề là phải mở rộng khái niệm

hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy được đạo hàm bao gồm cả những
hàm đã biết và những hàm mới như hàm Dirac. Từ đó trong Toán học đã xuất
hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng”. Đầu tiên phải kể


2

đến “Lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz”. Lý thuyết Hàm suy rộng phát
triển bởi L.Schwartz đã mở cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học
hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Với
lý thuyết đó, L.Schwartz đã nhận được giải thưởng Fields vào năm 1950. Tuy
nhiên, chẳng bao lâu sau khi giới thiệu về lý thuyết hàm suy rộng, L.Schwartz
đã đưa ra kết luận về một “kết quả không thể” trong việc lấy tích hai hàm suy
rộng tổng quát. Trong kết luận đó, L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai
hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thoả mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của
một tích. Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng. Rất
nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu tìm kiếm một con đường xung quanh “kết
quả không thể” của L.Schwartz để có thể giải quyết vấn đề này. Họ đã cố gắng
để tìm phương pháp xác định tích của hai hàm suy rộng bất kỳ. Mikusinski đã
đưa ra một cách xác định tích hai hàm suy rộng và cách này đã giải quyết được
một phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng. Khi tham gia nghiên cứu, tác giả đã
lựa chọn vấn đề xem xét lấy tích hai hàm suy rộng và tập trung vào tìm hiểu
phương pháp xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn đề liên
quan. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của Toán học hiện đại, dưới
sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài “Cách
xác định tích các hàm suy rộng của Mikusinski” cho luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ của mình. Trong luận văn này, tôi sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản
về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz cùng với kết quả không thể của ông.
Tiếp theo, luận văn sẽ trình bày một cách xác định tích hai hàm suy rộng của
Mikusinski và các tính chất, ví dụ tương ứng. Từ đó cho thấy sự phát triển của

vấn đề và ý nghĩa của việc xây dựng đại số hàm suy rộng Colombeau.


3

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz, cách xác định tích hai
hàm suy rộng của Mikusinski. Từ đó cho thấy ý nghĩa của việc xây dựng đại số
hàm suy rộng Colombeau và xem xét ví dụ cụ thể về xác định tích hai hàm suy
rộng theo cách của Mikusinski.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz.
• Tìm hiểu cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn

đề liên quan.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: lý thuyết hàm suy rộng và việc lấy tích hai hàm suy rộng.
• Phạm vi: các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến hàm suy

rộng và tích hai hàm suy rộng.

5. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để tiếp

cận vấn đề.
• Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới

về vấn đề tích hai hàm suy rộng.

6. Đóng góp mới
Luận văn là tài liệu liên quan đến vấn đề tích hai hàm suy rộng trong không
gian các hàm suy rộng Schwartz và vấn đề xác định tích của hai hàm suy rộng
theo Mikusinski.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về những
không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương tiếp theo. Các
kiến thức sau đây được tham khảo trong [1].

1.1

Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Ta gọi mỗi phần tử α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn là một n- chỉ số (hay đa chỉ số)
với bậc |α| = α1 + α2 + ... + αn .
Với mỗi đa chỉ số α , toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂ α1 ∂ α2 ...∂ αn , ở đây ∂j =
và toán tử Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn , trong đó Dj =

∂
i∂xi

∂
∂xj

= −i∂j , j = 1, 2, ..., n.

Với mỗi α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn , β = (β1 , β2 , ..., βn ) ∈ Nn thì β ≤ α nghĩa là
βj ≤ αj , j = 1, 2, ..., n . Nếu β ≤ α ta viết:
Cαβ = Cαβ11 Cαβ22 ...Cαβnn ,

trong đó
β

Cαjj =

αj !
; j = 1, 2, ..., n.
βj !(αj − βj )!

Ta ký hiệu C k (Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k . Với f, g ∈
C k (Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz
∂ α (f g) =
β≤α

α!
∂ β f ∂ α−β g,
β! (α − β)!

(1.1)


5

Dα (f g) =

β≤α

α!
Dβ f Dα−β g,
β! (α − β)!

(1.2)

trong đó α! = α1 !α2 !... αn !.

1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (R hoặc C).
Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau:
(i) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ X,
p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X );
(ii) p(λx) = |λ| p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;
(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X.

Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(x), thông thường ta kí hiệu
x thay cho p(x). Không gian vectơ X cùng với chuẩn . trong nó được gọi là

một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, . ).
Định lý 1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X , đặt
ρ(x, y) = (x − y) .

Khi đó, ρ là một metric trên X .

Định nghĩa 1.2. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ
đến x0 ∈ X nếu
lim xn − x0 = 0.

n→∞

Khi đó, ta kí hiệu
lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞.

n→∞


6

Định lý 1.2. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ
bản (hay dãy Cauchy) nếu
lim

m,n→∞

xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.3. Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy
đều hội tụ.
Định nghĩa 1.4. Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy
với khoảng cách ρ(x, y) = (x − y) . Khi đó X được gọi là một không gian

đủ

định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.

1.3

Không gian Fréchet

Định nghĩa 1.5. Một không gian Fréchet là một không gian vectơ lồi địa
phương, khả metric và đầy đủ.

1.4

Không gian các hàm thử

Cho Ω là một tập khác rỗng và Ω ⊂ Rn . Ta ký hiệu C ∞ (Ω) là tập hợp những
hàm f giá trị phức xác định trên Ω sao cho ∂ α f tồn tại với mọi đa chỉ số α.
Giá của hàm liên tục f : Ω → C là tập hợp ký hiệu suppf , được xác định bởi
suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) = 0}. Nếu K là một tập compact trong Rn , ta ký hiệu
DK là tập hợp {f ∈ C ∞ (Rn ) : suppf ⊆ K}. Ta thừa nhận các bổ đề sau

Bổ đề 1.1. Cho Ω ⊂ Rn , Ω = ∅. Khi đó tồn tại các tập compact {Kj } , j =
∞

1, 2, 3, ... thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 , ∪ Kj = Ω .
j=1

Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact của
Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ Kj nói trong bổ đề trên.

Bổ đề 1.2. C ∞ (Ω) là một không gian Fréchet và DK là không gian con đóng
của C ∞ (Ω) với mọi K ⊂ Ω .

7

Chọn các tập compact Kj , j = 1, 2, ... , sao cho Kj nằm trong phần trong của
∞

Kj+1 (ký hiệu intKj+1 ) và Ω = ∪ Kj . Họ các nửa chuẩn pN với N = 1, 2, ..., xác

định bởi pN (f ) =

j=1
α
max {|∂ f (x)| : x

∈ KN , |α| ≤ N } có tính chất: các điểm tách

thuộc C ∞ (Ω) và tạo một tôpô với một cơ sở địa phương đếm được. Từ đó ta có
định nghĩa 1.6 và định lý 1.3
Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK (Ω) là một không gian Fréchet.
Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử.
Định nghĩa 1.6. Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp
D(Ω) = {φ ∈ C ∞ (Ω) : suppφ là tập compact trong Ω }

Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function).
∞

Ta thấy D(Ω) = ∪ DK j (Ω) , nên D(Ω) là không gian vectơ, đó còn là không
j=1

gian vectơ lồi địa phương. Điều này được thể hiện qua định lý sau

Định lý 1.3. Không gian các hàm thử D(Ω) là một không gian vectơ tôpô lồi
địa phương.
Chứng minh. Theo nhận xét trên ta có DK (Ω) là không gian Fréchet. Ta ký hiệu
τK là tôpô trên không gian DK (Ω) , β là họ tất cả các hợp W tập cân, lồi của
D(Ω) sao cho DK ∩ W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω . Gọi τ là họ tất cả các

tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β .
a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D(Ω) và β là một cơ sở lân cận của τ
Thật vậy, với V1 , V2 ∈ τ và φ ∈ V1 ∩ V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại W ∈ β
sao cho φ + W ∈ V1 ∩ V2 . Ta có, do φ ∈ Vi , (i = 1, 2) nên tồn tại φi ∈ D(Ω) và
Wi ∈ β sao cho
φ ∈ φi + Wi , i = 1, 2

Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK , i = 1, 2 . Do DK ∩ Wi mở trong DK
nên tồn tại δi > 0, i = 1, 2 sao cho
φ − φi ∈ (1 − δi )Wi .


8

Do Wi là tập lồi nên
φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi )Wi + δi Wi = Wi .

Suy ra
φ + δi Wi ⊂ φi + Wi , i = 1, 2.

Từ đó ta chọn W = (δ1 W1 ) ∩ (δ2 W2 ) thì φ + W ∈ V1 ∩ V2 . Vậy τ là một tôpô trong
D(Ω) . Hiển nhiên β là một cơ sở của τ . Giả sử φ1 , φ2 là hai phần tử tùy ý của
D(Ω) . Với mỗi φ ∈ D(Ω) ta đặt
φ

0

= sup |φ(x)|
x∈Ω

và
W = {φ ∈ D(Ω) : φ

0

< φ1 − φ2 0 }

thì W ∈ β và φ1 ⊂ φ2 + W . Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong D(Ω) theo
tôpô τ .
b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên D(Ω) liên tục với tôpô τ . Với mọi
1
φ1 , φ2 ∈ D(Ω) và φ1 + φ2 + W ∈ τ với W ∈ β . Khi đó, do W là cân nên W ∈ β ,
2
1
1
1
1
suy ra φ1 + W ∈ τ và φ2 + W ∈ τ và φ1 + W ∈ τ + φ2 + W ∈ τ ⊆ φ1 + φ2 + W .
2
2
2
2
Vậy phép cộng hai phần tử trong D(Ω) là liên tục theo τ .

Với α0 ∈ C và φ0 ∈ D(Ω) ta có
αφ − α0 φ0 = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0 .
1
2

1
, do W là
2 (|α0 | + δ)
tập lồi và cân nên ta có αφ − α0 φ0 ∈ W với mọi |α − α0 | < δ và φ ∈ φ0 + cW . Vậy

Với mọi W ∈ β tồn tại δ > 0 sao cho δφ0 ∈ W . Đặt c =

phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong D(Ω) theo tôpô τ . Điều này
chứng tỏ không gian các hàm thử D(Ω) là không gian vectơ tôpô và hơn nữa còn
là không gian lồi địa phương.


9

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện
đại. Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng các khái
niệm đã có. Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của D(Ω).
Định lý 1.4. Cho không gian D(Ω) với tôpô τ . Ta có
1. Dãy các hàm thử {φl }∞
l=1 hội tụ theo tôpô τ tới φ0 trong D(Ω) khi và chỉ khi
tồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl → φ0 trong DKj (Ω),
nghĩa là
sup |∂ α φl (x) − ∂ α φ0 (x)| → 0 khi l → ∞

(1.3)

x∈Kj

với mọi đa chỉ số α.
2. Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con bị chặn trong
∗
DKj (Ω). Đặc biệt, nếu {φl }∞
l=1 là dãy Cauchy trong D(Ω) thì tồn tại j ∈ N sao

cho φl hội tụ trong DKj (Ω) và do đó hội tụ trong D(Ω).
3. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khi với mọi j ∈ N
tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho
sup

|Λ(φ)| ≤ cj sup {|∂ α φ(x)| : |α| ≤ Nj } .

φ∈DKj (Ω)

(1.4)

x∈Kj

Định lý 1.5. Trong không gian các hàm thử
1. Phép lấy vi phân ∂ α : φ → ∂ α φ là tuyến tính và liên tục trên D(Ω) với mọi đa
chỉ số α.
2. Với mọi f ∈ C ∞ (Ω) thì ánh xạ Mf : φ → f φ cũng là tuyến tính liên tục trên
D(Ω).

1.5

Không gian Lp

Định nghĩa 1.7. Cho (X, G, µ) là một không gian đo được, nghĩa là X là một
tập và
(i) G là một σ− đại số trong X, nghĩa là G là một họ những tập con của X sao
cho:


10

a. ∅ ∈ G,
b. A ∈ G ⇒ Ac ∈ G, Ac là phần bù của A,
∞

c. An ∈ G, ∀n ⇒

An ∈ G.
n=1

(ii) µ là một độ đo chính xác trên G, nghĩa là µ : G → [0, ∞) thỏa mãn:
a. µ(∅) = 0,
b. Nếu (An ) là họ đếm được các phần tử rời nhau của G thì
∞

µ

∞

An

=

n=1

µ (An ).
n=1

Phần tử của G gọi là tập đo được. Đôi khi ta viết |A| thay cho µ(A). Tập
A ∈ G với tính chất µ(A) = 0 gọi là tập có độ đo không. Ta nói rằng, một tính

chất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó đúng khắp nơi trên X
ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X .
Hàm f : X → R gọi là đo được trên A nếu
∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ G.

Trong trường hợp X = Rn và G là những tập hợp đo được theo nghĩa Lebesgue
thì ta nói tắt f (x) là hàm đo được. Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f (x)
trên tập đo được A được kí hiệu là
f (x)dµ(x) hoặc
A

f (x)dn (x).

f (x)d(x) hoặc
A

A

f (x)d(x) < ∞ thì ta nói f (x) khả tích trên A. Ta luôn quy ước hai hàm

Nếu
A

f, g đo được trên X là bằng nhau nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X ,

nghĩa là
µ {x ∈ X : f (x) = g(x)} = 0.

Định nghĩa 1.8. Cho (X, G, µ) là một không gian đo được. Kí hiệu L1 (X, µ),
(hoặc L1 ) là không gian các hàm khả tích trên X với
f

L1

= f

1

|f | dµ =

=
X

|f |.


11

Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiệu Lp là không gian các hàm f (x) có lũy thừa
bậc p khả tích trên X , nghĩa là |f (x)|p ∈ L1 với

1
p

p

f

Lp

= f

p

|f | dµ

=

.

X

Kí hiệu L∞ là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tại hằng số C
để |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X với
f

L∞

= f

p

= int C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X .

Định nghĩa 1.9. (Không gian Lp ). Cho (X, G, µ) là một không gian đo được.
Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p ( 1 ≤ p < ∞) của modun khả tích
trên X , tức là
p

f

p

|f | dµ(x)

=

1
p

<∞

X

gọi là không gian Lp (X, µ).
Khi đó Lp (X, µ) là tập hợp các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu khắp
nơi). Khi X là một tập đo được Lebesgue trong Rk , µ là độ đo Lebesgue thì ta
viết Lp (X). Nếu X = [a, b] ⊂ R1 , µ là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp (a, b) hoặc
Lp[a,b] và nếu X = [0, 1] thì ta viết đơn giản Lp .

Định lý 1.6. Các không gian Lp với chuẩn cho bởi f

trên là những không gian Banach.

Lp

như trong định nghĩa


12

Chương 2
Không gian hàm suy rộng Schwartz
Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm
suy rộng Schwartz. Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [2], [5] và [8].

2.1
2.1.1

Không gian hàm suy rộng D (Ω)
Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính liên tục với tôpô
trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz. Không gian
các hàm suy rộng trên Ω được kí hiệu D (Ω). Với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (Ω)
tác động lên mỗi φ ∈ D(Ω) được viết là u, φ . Hai hàm suy rộng u, v ∈ D (Ω)
được gọi là bằng nhau nếu
u, φ = v, φ , ∀φ ∈ D(Ω).

Chú ý 2.1.1. D (Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên
C như sau:
. Phép công: Với mọi u, v ∈ D (Ω) ta định nghĩa u + v như sau: u + v, φ =

u, φ + v, φ , ∀φ ∈ D(Ω). Khi đó u + v ∈ D (Ω).

. Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi u ∈ D (Ω) và mọi số λ ta định
nghĩa λu như sau: λu, φ = λ u, φ , ∀φ ∈ D(Ω). Khi đó λu ∈ D (Ω).
Định nghĩa 2.2. Cho u ∈ D (Ω)


13

1. Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, kí hiệu u |K = 0 nếu
u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K).

2. Giá của hàm suy rộng u được kí hiệu là suppu và được xác định bởi:
suppu = Ω\ ∪ K K mở

⊂ Ω và u |K = 0 .

Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có giá
compact.
Ví dụ 2.1. Mỗi hàm f ∈ Lloc (Ω) là một hàm suy rộng được xác định như sau:
f : φ → f, φ =

f (x)φ(x)dx. Thật vậy, với mỗi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm
Ω

φ ∈ D(Ω) sao cho suppφ ⊂ K ta có
| f, φ | =

f (x)φ(x)dx =
Ω

≤

f (x)φ(x)dx
K

|f (x)| |φ(x)| dx ≤ sup |φ(x)|
K

K

|f (x)| dx.

(2.1)

K

Tương tự, mọi hàm f ∈ Lp (Ω) cũng là một hàm suy rộng.
Ví dụ 2.2. (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là δ được xác định như sau
δ : D(Rn ) → C và δ, φ = φ(0)

là một hàm suy rộng. Thật vậy, ta có φ ∈ D(Rn ) nên φ là hàm khả vi liên tục
mọi cấp và
(δ, φ) = |φ(0)| ≤ 1. sup |φ(x)| , ∀φ ∈ D(Rn ).

Mà suppφ ⊂ K − compact ⊂ Rn . Do đó δ là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy
rộng Dirac hay hàm Delta Dirac).
Ví dụ 2.3. Hàm
|x| : D(R) → C
φ → |x| , φ =

|x| φ(x)dx
R


14

là một hàm suy rộng.
Thật vậy, với suppφ ⊂ K, K là tập compact trong R ta có:
| |x| , φ | =

|x| φ(x)dx
R

≤

|x| |φ(x)| dx
R

≤

|x| sup |φ(x)| dx = sup φ(x)
R

R

|x| dx

R

|x| dx .

= sup φ(x)
K

R

K

Vậy |x| là một hàm suy rộng.
Ví dụ 2.4. Với mỗi hàm f ∈ L1loc (Ω) và với α ∈ Nn ,
ánh xạ uf,α : φ →

Ω

f (x)(∂ α φ)(x)dx là một hàm suy rộng.

Định lý 2.1. Một phiếm hàm tuyến tính u xác định trên D(Ω) là một hàm suy
rộng khi và chỉ khi
lim u, φj = 0,

j→∞

với mọi dãy {φj } hội tụ tới 0 khi j → ∞.

2.1.2

Đạo hàm suy rộng

Trong không gian D (Ω) ta có:

Bổ đề 2.1. Cho u ∈ D (Ω) là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ số
α ∈ Nn toán tử tuyến tính được ký hiệu ∂ α u xác định bởi
∂ α u, φ = (−1)|α| u, ∂ α φ , φ ∈ D(Ω)

là một hàm suy rộng.
Chứng minh. Vì u ∈ D (Ω) nên | u, φ | ≤ c. φ , ∀φ ∈ D(Ω). Do đó
| ∂ α u, φ | ≤ c ∂ α φ

Vậy ∂ α u ∈ D (Ω).

N

≤c φ

N +|α| .

(2.2)


15

Định nghĩa 2.3. Cho u ∈ D (Ω). Hàm suy rộng xác định bởi (2.2) được gọi là
đạo hàm cấp α của hàm suy rộng u .
Ví dụ 2.5. Hàm Heaviside xác định bởi
1 nếu x ≥ 0
0 nếu x < 0

H(x) =

có ∂H = δ . Thật vậy, với Ω = R, ∀φ ∈ D(Ω) ta có

∞

∂φ(x)dx = −φ(x) |∞
0 = φ(0) = δ, φ ,

∂H, φ = (−1)1 H, ∂φ = −
0

do đó ∂H = δ .
Trong trường hợp Ω = R , với u, U ∈ D (R), ta nói U là nguyên hàm suy rộng
của hàm suy rộng u nếu đạo hàm suy rộng của U là u , nghĩa là ∂U = u.
Mệnh đề 2.1. Mọi hàm suy rộng u ∈ D (R) đều có nguyên hàm suy rộng.
Chứng minh. Với mỗi ϕ ∈ C0∞ (R) đặt
+∞

ψ(x) = ϕ(x) − ρ(x)

ϕ(t)dt,
−∞

x

Ψ(x) =

ψ(t)dt.
−∞

Có Ψ(x) ∈ C0∞ (R) nên với mỗi hàm suy rộng u ∈ D (R), ta có thể đặt U, ϕ =
u, Ψ . Khi đó U ∈ D (R) và
x

∂U, ϕ = U, ϕ

+∞

u, ϕ(x) −

=

ρ(y)
−∞

ϕ (t)dtdy
−∞

Nếu hàm suy rộng U có đạo hàm suy rộng ∂U = 0 thì
+∞

U, ϕ = U, ψ +

ϕ(t)dt

U, ρ

−∞
+∞

= ∂U, Ψ +

ϕ(t)dt

−∞

+∞

=

ϕ(t)dt
−∞

U, ρ .

U, ρ

= u, ϕ .


16

Do đó nếu hàm suy rộng U có đạo hàm suy rộng ∂U = 0 thì U tương ứng
với hàm hằng U ≡ U, ρ trong lớp hàm khả tích địa phương L1loc (R) Khi đó, với
mỗi hàm suy rộng u ∈ D (R), luôn có một họ các nguyên hàm suy rộng mà hai
nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng có thể biểu diễn dưới
dạng hàm khả tích địa phương hằng.

2.1.3

Cấp của hàm suy rộng

Định nghĩa 2.4. Cho K ⊂ Ω, u ∈ D (Ω). Ta nói hàm suy rộng u có cấp hữu
hạn trên K nếu ∃c > 0, ∃k ∈ N sao cho

sup |∂ α ϕ(x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), suppϕ ⊂ K.

| u, ϕ | ≤ c
|α|≤k

(2.1)

x∈K

Số tự nhiên k nhỏ nhất trong các số tự nhiên mà ta có bất đẳng thức (2.1)
được gọi là cấp của hàm suy rộng u trên tập K .
Nếu không có số tự nhiên k nào để có (2.1) với số dương c nào đó thì ta nói
rằng hàm suy rộng u có cấp vô hạn trên K .
Để đơn giản, ta nói rằng hàm suy rộng u ∈ D (Ω) có cấp k nếu nó có cấp k
trên Ω.
Ví dụ 2.6. Mọi hàm suy rộng u ∈ L1 (Ω) đều có cấp 0.
Ví dụ 2.7. Trên R xét hàm suy rộng u xác định như sau
+∞

φ(j) (j), ∀φ ∈ C0∞ (R),

u, φ =
j=0

thế thì u là hàm suy rộng có cấp vô hạn. Thật vậy, chọn φ ∈ C0∞ (R) sao cho
1 1
x−j
φ(x) = 1, x ∈ − ;
, suppφ ⊂ (−1; 1 ). Đặt φj (x) = (x − j)j φj
, với

2 2
εj
εj > 0 chọn thích hợp. Ta có Dk φj (k) = 0 nếu k = j và Dj φj (j) = j! nên
u, φj = j!. Nhưng nếu |x − j| > εj thì φj (x) = 0 nên sup Dk φj (x) ≤ cεj−k
j , k < j,
x∈R

ta chọn εj sao cho
j−1

sup Dk φj (x) .

| u, φj | = j! > j
k=1

x∈R


17

Do đó, với mỗi k > 0, c > 0, chọn j = max {k + 1, c + 1} ta có
j−1

k
l

| u, φj | = j! > j

sup Dl φj (x) .

sup D φj (x) > c
l=1

x∈R

l=1

x∈R

Vì vậy u có cấp vô hạn.
Định lý 2.2. Mỗi phiếm hàm tuyến tính u trên D(Ω) là một hàm suy rộng khi
và chỉ khi trên mỗi tập compact K ⊂ Ω, có một số nguyên không âm k và một
số dương c sao cho
sup |∂ α ϕ(x)| = c ϕ

u, ϕ ≤ c
|α|≤k

x∈Ω

C k (Ω) , ∀ϕ

∈ C0∞ (Ω), suppϕ ⊂ K.

Chứng minh. Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chứng minh tính liên tục
∞
của u tại gốc, nghĩa là nếu có một dãy {ϕj }∞
j=1 ∞ trong C0 (Ω) mà D _ lim ϕj = 0
j→∞

thì lim u, ϕj = 0. Điều này dễ thấy từ giả thiết. Để chứng minh điều kiện cần
j→∞

ta dùng phản chứng, nghĩa là giả sử có một tập compact K ⊂ Ω, với mỗi k ∈ Z+
ta đều có
sup
ϕ∈C0∞ (Ω)
suppϕ⊂K,ϕ=0

| u, ϕ |
= +∞.
ϕ C k (Ω)

Do đó tồn tại ϕk ∈ C0∞ (Ω), suppϕ ⊂ K, ϕk
Chọn ψk (x) =

k 1/2

1
ϕk

C k (Ω)

> 0 sao cho | u, ϕk | > k ϕk

C k (Ω) .

ϕk (x) ta có
C k (Ω)

ψk ∈ C0∞ (Ω), suppψk ⊂ K,
1

D_ lim ψk = 0, | u, ψk | ≥ k 2 .
k→∞

Nên u ∈
/ D (Ω), trái với giả thiết. Như vậy, điều giả sử sai hay ta có điều phải
chứng minh.

2.1.4

Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D (Ω)

Định nghĩa 2.5. Cho uk , u ∈ D (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rằng dãy {uk }∞
k=1 hội tụ
đến u trong D (Ω) khi k → ∞ nếu
lim uk , φ = u, φ , ∀φ ∈ D (Ω).

k→∞


18

Khi đó ta viết D _ lim uk = u.
k→∞

Ví dụ 2.8. D _ lim ρ k1 = δ.
k→∞

Thật vậy, với mỗi φ ∈ C0∞ (Rn ) ta có
| f, φ | =
≤

K

|f (x)| |φ(x)| dx ≤ sup |φ(x)|
K

K

Nên lim

k→∞

2.2
2.2.1

f (x)φ(x)dx

f (x)φ(x)dx =
Ω

|f (x)| dx.

(2.2)

K

ρ 1 , φ − φ(0) = 0 hay ta có điều phải chứng minh.

k

Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng và tính
chất
Tích hai hàm suy rộng

a. Tích chập của hai hàm suy rộng

Định nghĩa 2.6. Cho u, v ∈ D (Rn ), tích chập của hai hàm suy rộng u, v là một
phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v , xác định bởi:
u ∗ v, φ = u(y), v(x), φ(x + y) , φ ∈ D(Rn ).

Chú ý 2.2.1. (i) u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D (Rn ). Thật vậy, ta có δ có giá
compact và
u ∗ δ, φ = u(y), δ(x), φ(x + y)

= u(y), φ(y) = u, φ .

δ ∗ u, φ = δ(y), u(x), φ(x + y)

= u(x), φ(x) = u, φ .

Mặt khác

Vậy nên u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D (Rn ).
(ii) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f, g ∈ L1 (Rn ). Thật vậy, với
φ ∈ D(Rn ) tùy ý đặt:
h(y) =

g(x)φ(x + y)dx,

n


19

thì ta có h ∈ L1 (Rn ), hơn nữa ta có
|h(x)| ≤

|g(x)φ(x + y)| dx =
Rn

|g(t − y)| |φ(t)| dt
Rn

≤ sup |φ(t)|

|g(t − y)| dt = c g

t∈suppφ

Rn

L1 .

Với y ∈ Rn thì
f (y), g(x), φ(x + y)

= f (y), h(y) =

f (y)h(y)dy

Rn

và |f (y)h(y)| ≤ c g

L1

|f (y)|. Do đó f (y), g(x), φ(x + y)

luôn tồn tại nên f ∗ g

tồn tại. Mặt khác theo Fubini ta có
f ∗ g, φ =

f (y)g(x)φ(x + y)dxdy
Rn ×Rn

f (y)g(t − y) φ(t)dt

=
Rn

Rn

f (y)g(t − y)dy, φ(t)

=
Rn

nên (f ∗ g) (x) =

Rn

f (y)φ(t − y)dy xác định.

b. Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng

Định nghĩa 2.7. Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ D (Ω) tùy ý. Tích của hàm f và hàm suy
rộng u ký hiệu là f u được xác định như sau:
f u, φ = u, f φ

∀φ ∈ D(Ω).

(2.5)

Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω). Do đó vế phải của (2.5) hoàn toàn xác
định một hàm suy rộng. Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn xác định trong
D (Ω).

Ví dụ 2.9. 1. Với δ ∈ D (R) thì ta có xδ, φ = δ, xφ = (xφ) (0) = 0, ∀φ ∈ D(R)
nên xδ = 0 trong D (R).
2. Với u =

1
1
thì x = 1 trong D (R).
x
x