Luận văn bao hàm thức tựa biến phân pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan

PHAN ANH SƠN

BAO HÀM THỨC TựA BIEN PHÂN PARETO HỗN H0P VÀ MỘT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG
sư PHẠM
HÀ NỘI 2
SỐ
VẤN ĐẠI
ĐỀHỌC
LIÊN
QUAN

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC
PHAN ANH SƠN

BAO HÀM THỨC TựA BIEN PHÂN PARETO HỗN H0P VÀ MỘT
SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN


Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH.
Nguyễn Xuân Tấn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2


Trudc khi trinh bay noi dung chinh cua luan van, toi xin bay to long biet On sau sac tdi GS.

TSKH. Nguyin Xuan Tan ngiidi da tan tinh hudng di,n de toi co the hoan thanh de tai nay.
Toi cung xin bay to long biet On chan thanh t(3i toan the cac thay co giao trong khoa Toan,
ONtoi trong suot qua trinh hoc tap va
phong Sau Dai hoc Trildng Dai hoc Sii pham Ha NoiLCJl
2 da CAM
giup dS

nghien ctiu.
Nhan dip nay toi cung xin duoc gijfi ldi cam On chan thanh tdi gia dinh, ban be da luon dong
vien, giup d0 toi trong suot qua trinh hoc tap va thiic hien de tai nghien ciiu nay.
Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien

Phan Anh Sdn
Luan van Thac si Toan hoc "Bao ham thufc ttfa bi§n phan Pareto h6n hdp va mot so van de lien
quan " diiOc hoan thanh do sir co gang, nQ luc tim hieu, nghien ciiu cua ban than cung vdi sU giup
dQ tan tinh cua GS. TSKH. Nguyfin Xuan Tan.
Toi xin cam doan luan van nay khong trimg lap vdi ket qua cua tac gia khac.


Ha Noi, thang 08 nam 2015 Hoc vien

Phan Anh Scfn

LCJl CAM ON


Mục lục

1.1.1

Bài toán bao hàm

thức tựa biến

phân Pareto

hỗn

BẢNG KÍ HIỆU VÀ VIẾT TAT
Trong luận văn này ta dùng những kí hiệu với các ý nghĩa xác định dưới đây:
N*: tập hợp các số tự nhiên khác không Q : tập hợp các số
hữu tỷ R : tập hợp các số thực M+ :

tập hợp các số

thực không âm
M_ : tập

hợp các số thực không dương

: không gian vector Euclid n - chiều
: tập
R” : tập
Mn

hợp các vector có các thành phần không âm củakhông gian

Mn

hợp các vector có các thành phần không dương của không gian

X* : không gian đối ngẫu tôpô của không gian tôpô tuyến tính X
2 X : tập các tập con của tập hợp X

(£, X ) : giá trị của £ e X* tại X G X
i = 1, n i = 1, 2,n
{a;a} : dãy suy rộng
x n —¥ X : x n

hội tụ yếu tới X

0 : tập rỗng
F : X —>■ 2y : ánh xạ đa trị từ tập X vào tập Y domF : miền định

nghĩa của ánh xạ F GrF : đồ thị của ánh xạ đa trị F C' : nón đối ngẫu
của nón c
C'+ : nón đối ngẫu chặt của nón c
C'~ : nón đối ngẫu yếu của nón c
A ç B : A là tập con của B
A<Ệ-B\A không là tập con của B
Au B : hợp của hai tập hợp A và B
A n B : giao của hai tập hợp A và B
A\B : hiệu của hai tập hợp A và B


A + B : tổng đại số của hai tập hợp A và B
A X B : tích Descartes của hai tập hợp A và B

co A : bao lồi của tập A

cone^4 : bao nón lồi của tập hợp A
CỈA : bao đóng tôpô của tập hợp A

int^4 : phần trong tôpô của tập hợp A
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Brouwer - Minty đã phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân một
cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của
Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Brouwer - Minty nặng về tính đơn điệu của
hàm số. Cho D c K n , T : D —> • M n . Tìm X sao cho (T(x),x — x) > 0, Va; ẽ D.
Bài toán này được mở rộng cho không gian vô hạn chiều và ánh xạ đa trị.
Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian vô hạn
chiều này sang không gian đối ngẫu của nó và thứ tự sinh ra bởi nón. Khái niệm ánh xạ đa trị đã
được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển toán học và các lĩnh vực khác. Từ đó người ta tìm
cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân được


nhiều nhà toán học nghiên cứu trong những năm gần đây và gọi chúng là bài toán bao hàm thức biến
phân.
Ví dụ, ta xét các bài toán sau:
Cho X , Y, z là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Haus- dorff, D c X , K c z là
các tập khác rỗng, c c Y là nón lồi đóng nhọn. Cho các ánh xạ:
s : D X K ->
F : K X D X D -> 2y.

2 D , T : D X K 2 K , p u p 2 : D 2 D , Q : K X D - > 2*,

1, Bài toán: Tìm (x,y) £ D X K
a) X e S(x,ỹ)]
b) ỹ£

T(Ẽ,ỹ);

c) F(ỹ, ã, z) c F(ỹ, X, ĩ) + ơ,
tương ứng, (F(ỹ,x,x) n F(ỹ,x,x) + c/ 0), Va? e S(x,ỹ) được gọi là bài toán bao hàm thức tưa
biến phân lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 1.
2, Bài toán: Tìm X e D sao cho
a) X e P\ (x );
b) F(y,x,x ) c F(y,x,x ) + C(y,x),
(tương ứng, (F(y,x,x) n F(y,x,x ) + C(y,x ) 7^ 0)), với mọi X € P2(^)j y € Q(^, a?) được gọi là


bài toán bao hàm thức tựa biến phân lý tưởng trên (tương ứng, dưới) loại 2. Bài toán bao hàm
thức tựa biến phân lý tưởng trên (dưới) hỗn hợp là bài toán bao gồm cả 2 bài toán trên.
3, Bài toán: Tìm (x, ỹ) e D X K sao cho:
a) X € S(x,ỹ)\
b) ỹ e T(x,ỹ);
c) F(ỹ,x,x) <£. F(ỹ,x,x-C\{ 0}), (F(ỹ,x,x)nF(ỹ,x,x)-C\{ 0} =
1) ,Vx G S(x,ỹ) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên (dưới) loại 1. Tương
tự, ta có bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 và bài toán bao hàm thức tựa biến
phân
Pareto hỗn hợp trên (dưới).
Tương tự, như vậy ta cũng phát triển các loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân loại 1,2 và hỗn
hợp cho trường hợp thực sự và yếu. Các bài toán này tổng quát các bài toán đã biết như cân bằng,
tối ưu đa trị.
Như vậy, trong trường hợp đa trị ta có 9 loại bài toán bao hàm thức tựa biến phân khác nhau.
Các loại bài toán đã được các nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm và nghiên cứu rất nhiều có
thể kể đến như GS. TSKH. Đinh Thế Lục, GS. TSKH. Phan Quốc Khánh, GS. Lai Jill Lin, ...

Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc về vấn đề này, cùng sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của thầy
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài "Bao hàm thức tựa biến phân
Pareto hỗn hợp và một số vấn đề liên quan " làm luận văn Thạc sĩ của mình.

2. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm 2 chương:
1. Chương 1: Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị
1.1 Nón và ánh xạ đa trị
1.2 Tính liên tục của ánh xạ đa trị
1.3 Tính lồi của ánh xạ đa trị
1.4 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị
2. Chương 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp
2.1 Đặt vấn đề
2.2 Sự tồn tại nghiệm
2.3 Một số vấn đề liên quan
3. Mục đích nghiên cứu


+ Tìm hiểu về bao hàm thức tựa biến phân.
+ Đi sâu vào bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên, dưới, hỗn hợp.
+ Giới thiệu cơ bản về sự tồn tại nghiệm của chúng và các vấn đề liên quan.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
+ Trình bày định nghĩa, định lý và các khái niệm có liên quan đến ánh xạ đa trị.
4- Nghiên cứu bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp, xét sự tồn tại nghiệm của nó và

các bài toán liên quan.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa trị cụ thể là bài
toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp và sự tồn tại nghiệm của nó.
+ Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên quan đến bao hàm thức tựa

biến phân Pareto hỗn hợp và một số bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị.
6. Phương pháp nghiên cứu
+ Sử dụng kiến thức cơ bản của giải tích đa trị: khái niệm và tính chất của ánh xạ đa trị, kiến thức
về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp.


+ Sử dụng phương pháp và kiến thức của giải tích đa trị để tiếp cận vấn đề.
7. Dự kiến đóng góp mới
+ Luận văn trình bày các kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết tới ưu.
+ Nghiên cứu sâu về bao hàm thức tựa biến phân Pareto hỗn hợp.


Chương 1
Kiến thức bổ trợ từ giải tích đa trị
Ánh xạ đa trị được nhiều nhà toán học nghiên cứu từ lâu
do nhu cầu phát triển của toán học và nhiều ngành khoa
học khác. Để nghiên cứu các bài toán liên quan đến ánh xạ
đa trị ta cần phải nghiên cứu các tính chất của ánh xạ đa
trị. Trong chương này ta xét một số khái niệm của ánh xạ
đa trị. Dựa trên các khái niệm này, ta tìm các điều kiện
cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục trên, liên tục dưới.
Một số kết quả về mối liên quan giữa tính liên tục trên
và dưới của ánh xạ đa trị lồi (lõm) cũng được đưa ra.
Phần cuối của chương trình bày về tính lồi theo nón, mói
liên quan giữa tính c - tựa lồi thực sự, c - tựa lồi trên
của ánh xạ đa trị với tính lồi của hàm vô hướng. Kiến
thức của chương này sẽ được sử dụng cho việc nghiên cứu
các phần của chương sau.

1.1

Nón và ánh xạ đa trị

Trong toán học và trong thực tế, ta gặp nhiều bài toán liên quan đến phép
tương ứng một điểm của tập hợp này với một tập con của tập hợp kia. Một phép
tương ứng như vậy được gọi là ánh xạ đa trị. Để xác định thứ tự trong không gian
và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có giá trị là vector hoặc ánh xạ đa trị,
người ta đưa ra khái niệm nón. Từ đó, ta mở rộng được khái niệm đã biết của
không gian số thực hoặc số phức cho không gian tôpô tuyến tính. Mục này dành
cho các khái niệm, tính chất của nón, ánh xạ đa trị và các khái niệm có liên quan.
Các kiến thức của mục này được tham khảo từ cuốn sách của GS. Nguyễn Xuân
Tấn và PGS. Nguyễn Bá Minh ([2]).

1.1.1

Nón
Để đưa vào thứ tự từng phần trong không gian tuyến tính người ta đưa vào


khái niệm nón.
Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và c c Y. Ta nói rằng c là nón có
đỉnh tại gốc (gọi tắt là nón) trong Y nếu tc € c, Vc €E

c, t> 0.
Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính, c là nón trong Y, ta kí hiệu CỈC, intc,
coneC lần lượt là bao đóng, phần trong, bao lồi của nón c.
Ta thường quan tâm tới các loại nón sau:

i) . Nón c là nón lồi (nón đóng) nếu tập c là tập lồi (tập đóng);
ii). Ta kí hiệu 1(C) = c n (-C) là phần trong tuyến tính của nón c. Nón c được

gọi là nón nhọn nếu 1(C) = 0;
Với nón c cho trước, ta có thể định nghĩa quan hệ thứ tự trong Y như sau:
2) .

Va;, y G Y, X y Cy nếu X — y £ c , (có thể viết X >z y nếu không sợ nhầm

lẫn);
3) .

\/x, y € Y, kí hiệu X

y y nếu X — y G C\l(C );

4) .

\/x, y G Y, kí hiệu Xy nếu I-Ị/Ễ inte.

Nếu c là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính và nó là quan hệ thứ tự
từng phần trên Y. Hơn
trên có tính chất phản

nữa, nếu c là nón nhọn thìquan
đối xứng, có nghĩa là nếu

X y

y

và X ^

thì
x = y.
Ví dụ 1.1.1.
1. Cho Y —
c =

M”

= {x — (xi,x 2 ,. ■ ■ ,x n )\xj G R,Vj = l,n},tập
= {x = {xi,x2,... ,xn) £

là nón lồi, đóng, nhọn.
Trên c ta xác định quan hệ thứ tự như sau:

MnỊxj > 0= 1 ,n},

hệ
y


X = {xux2,.. .,xn), y =

(2/1,2/2, • • • , y n ) thuộc Mn

X > y khi và chỉ khi Xj > yj, với mọi j = 1, n.

Nón c = M" được gọi là nón Orthant dương trong M71.
2. Cho Y = R n
c = {x = {x u x 2 ,.. .,x n )\x n > 0}
c là nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì

1(C) = {x = (x u x 2,..., Zn-1,0) e Mn} Ỷ {0}-

Định nghĩa 1.1.2. Cho Y là không gian tuyến tính, Y* là không gian tôpô đối
ngẫu của Y,< £,y > là giá trị của £ e Y* tại y e Y. Nón đối ngẫu C’ và
nón đối ngẫu chặt c l + của c lần lượt dược định nghĩa là ơ = {£ G Y* : (£,

c) > 0, với mọi c € C},
C' + = G Y* : (^, c) > 0, với mọi c € C\l(C)}.
Từ quan hệ thứ tự sinh bởi nón, ta có thể định nghĩa được điểm hữu
hiệu của một tập hợp bất kì, cụ thể như sau:
Định nghĩa 1.1.3. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi
nón c, A là tập con của Y.
1) . Điểm X G điíơc goi let điGĩĩi hĩỄu hieu ly tiJ/CfTLQ cua tap đoi
VCJ1 nón c nếu y — X € c với mọi y € A.
Tập điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón c kí hiệu là IMin(AịC).
2) . Điểm X G A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của
tập Ả đối với nón c nếu không tồn tại y € A, y Ỷ x để x-ye C\l(C.)
Tập điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón c kí hiệu là PMin(AịC)
hoặc đơn giản hơn là Min(AịC).
3) . Điểm X G A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của tập A đối với nón c
(trong trường hợp ỉntc ^ 0 và c ^ Y ) nếu X G Min(A\ỉntC\J{0}). Tức
là X là điểm hữu hiệu Pareto của tập A đối với nón (¿níơu{0}).


Tập điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón c kí hiệu là WMin(A\C ) hay
WMin(A).

4) . Điểm X e A được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với
nón c nếu tồn tại nón lồi c khác hoàn toàn không gian và chứa C\l(C )
trong phần trong của nó sao cho X £ Min(AịC).

Tập điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón c kí hiệu là PrMin(AịC).
Từ định nghĩa trên ta có IMin(AịC) Ç PrMin(AịC) ç Min(A\C) Ç

WMin{A\C).
Ví dụ 1.1.2. Trong M2 lấy hai tập
A = {( x , y ) G M 2 |(x-l) 2 +(y-l) 2 < 1 , y < l}u{(a:,y) G R 2 |a; > 1 , y e

[0,1]}

B=

{(0,0)}.

a)Lấy thứ tự sinh bởi nón c = Mị, ta có
IM in A = 0,
PrMinA = {(æ,î/) e M2 : (x — ĩ) 2 + (y — l)2 = 1,X < 1, y <
1}, M i n A =PrM ỉ n A u {(0,1), (1,0)},
W M i n A = M ỉ n A u {(æ, y ) : y = o, X > 1},
IMinB =Pr MỉnB=MỉnB = WMinB = {(0,0)}.

b) Lấy thứ tự sinh bởi nón c = (M1,0) ç M2, ta có
IM in A = 0,
Pr MinA = Min A = w Min A = A,

IMinB = 0,
Pr MinB = MinB = WMinB = B.

1.1.2

Ánh xạ đa trị

Cho hai tập hợp Ầ, y, Ö ç X là tập con.

Định nghĩa 1.1.4. Ánh xạ F : D —»• Y biến mỗi điểm X £ D thành một tập con
F(x ) của Y, (F(x ) có thể bằng rỗng), được gọi là ánh xạ đa trị. Ta kí hiệu 2y là

họ các tập con của Y và F : D —> 2 Y là ánh xạ đa trị từ tập D vào tập Y.
Nếu với mỗi X G X, F(x) chỉ gồm một phần tử thì F gọi là ánh xạ đơn trị, ta
sử dụng kí hiệu quen thuộc F : X —»■ Y.
Định nghĩa 1.1.5. Cho D ç X, ta gọi miền xác định và đồ thị của ánh xạ G : D
—> 2 Y tương ứng là các tập hợp

domG = {x € D\G(x ) 7^ 0}, Gr(G) =
{(x,y)£DxY\y£G(x)}.
1) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu đồ thị Gr(G ) của
nó là tập con đóng (mở) trong không gian X X Y.
2) Ánh xạ G được gọi là ánh xạ compact, nếu bao đóng CỈG(D) của G(D ) là
một tập compact trong không gian Y.
3) Ánh xạ G gọi là có nghịch ảnh mở, nếu với mọi y e Y, tập G~ 1 (y) = {x G D\y
G G(x)} là mở.
Nếu G(x ) là tập đóng (compact) với mọi X G D thì ta nói ánh xạ G có giá trị
đóng (tương ứng, có giá trị compact).
Từ Định nghĩa ta thấy,
i) G là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy suy rộng {æa} Ç D.{y a } cy,ĩa4
x,y a
ii)Khi X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh xạ F : X —► 2y có ảnh
ngược tại mỗi điểm là tập mở trong X thì ánh xạ bao lồi coF : X —»■ 2y của
nó, (coF)(x ) = coF(x), cũng có tính chất như vậy.

1.2

Tính liên tục của ánh xạ đa trị
Cho X,Y là các không gian tôpô, D ç X. Ta biết rằng, ánh xạ đơn trị / từ D

vào Y được gọi là ỉ ỉ ê n t ụ c tại điểm X G X nếu với mọi tập mở V chưa f ( x ) đều
tồn tại tập mở u chứa X sao cho f ( x ' ) £ V với mọi x' G u n D. Đối với ánh xạ
đa trị, f(x ) € V tương ứng với khả năng: F(x) ç V hoặc F(x) nv ^ 0. Từ đó có
thể mở rộng từ khái niệm liên tục đối với ánh xạ đơn trị sang ánh xạ đa trị theo hai
cách khác nhau và ta có hai khái niệm hoàn toàn khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên
tục trên và nửa liên tục dưới. Hai khái niệm này được đưa ra đầu tiên năm 1932
bởi B.Bouligand và K.Kuratowski (theo Aubin và Frankowska (1990)). Sau đó,
Berge (1959) ([7]) đã khảo sát khá kĩ về vấn đề này, ta nhắc lại định nghĩa của
Berge.
Định nghĩa 1.2.1. Cho tập con D ç X, ánh xạ đa trị F : D —»• 2y.


1. F được gọi là nửa liên tục trên (dưới) (viết gọn là u.s.c (tươngứng, l.s.c)) tại
X £ D nếu mỗi tập mở V chứa Fix ) (tương ứng, F(x ) n V Ỷ 0 )ì tồn tại lân

cận mở u của X sao cho F(x ) ç V (tương ứng, F(x ) n V Ỷ 0), với mọi X £ u
n D.
2. F được gọi là u.s.c (l.s.c) trên D nếu nó là u.s.c (tương ứng, l.s.c) tại mọi
điểm X € D.

Các ví dụ sau đây chỉ ra rằng hai khái niệm ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, nửa
liên tục dưới là hoàn toàn khác nhau.
Ví dụ 1.2.1. Lấy X = Y = M, D = [—a,a], với aẽt, a > 0. Ánh xạ

nếu X = 0;
[—a, a], nếu X Ỷ 0'
1. F nửa liên tục dưới tại X = 0. Thật vậy, V là tập mở bất kì,
V n F(0)

^ 0 (trong trường hợp này

V chưa 0 = F( 0)). Khi đó,

Ví dụ 1.2.2. Tương tự ta chứng minh được rằng ánh xạ
[—a, a], nếu X = 0;
{0},

nếu x^O,

rõ


nửa liên tục trên nhưng không nửa liên tục dưới tại X = 0.
Tiếp theo, cho X và Y là các không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương
Hausdorff, D ç X, K ç Y. Các mệnh đề sau nêu lên các điều kiện cần, đủ để ánh
xạ đa trị là nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới.
Mệnh đề 1.2.1. ([18]) Giả thiết F : D —> 2 Y là ánh xạ đa trị với giá trị

compact. Khi đó F là nửa liên tục dưới tại X G D nếu và chỉ nếu với
mọi y G F (x) và với mọi dẫy {xa} trong D hội tụ tới X, tồn tại dãy
{y a },ya e F{x a ) với mọi a vày a -> y.
Mệnh đề 1.2.2. ([20]) Ánh xạ đa trị F có nghịch ảnh mở thì nửa liên tục

dưới.
Ngược lại không đúng, chẳng hạn trong ví dụ trên, ánh xạ F nửa liên tục dưới
nhưng các nghịch ảnh {0}, [— a, 0], (o, a] không mở.
Mệnh đề 1.2.3. ([6]) Nếu F : D —»■ 2 K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên

với giá trị đóng thì F là ánh xạ đóng. Ngược lại nếu F là ánh xạ
đóng và K là tập compact, thì F là ánh xạ nửa liên tục trên.
Cho X và y là các không gian tôpô tuyến tính, các tập con không rỗng D ç
X , K Ç Y.

Định nghĩa 1.2.2. Cho F : K X D X D ^ 2ylà một ánh xạ đa trị và c : K X D —
> 2 y là ánh xạ nón đa trị (với mỗi (y, x) € K X D, C(y , X ) là một nón trong Y ).
i)

. F được gọi là c - liên tục trên (dưới) tại điểm (ỹ,x,ĩ) G domF nếu với mọi
lân cận V của gốc trong Y, tồn tại lân cận u của điểm
(■y,x,t ) sao cho:
F{y, X , t ) c F(ỹ, X , t) + V + C(ỹ, x)
(tương ứng, F(ỹ, X, ĩ) c F(y, X, t) + V - C(ỹ, x)) với
mọi (y, X, t) G u n domF.


ii)

. Nếu F đồng thời là c - liên tục trên và c - liên tục dưới tại (ỹ , X, ỉ), ta nói
F là c - liên tục tại (ỹ,x,ĩ).

iii)

. Nếu F là c - liên tục trên, dưới, ... tại mọi điểm thuộc domF, ta nói F là c

- liên tục trên, dưới,... trên D.

Chú ý 1.2.1.
i)

. Nếu ánh xạ nón c = {0} trong Y (C(x , y ) = 0, V(y, x) £ K X D ), ta nói
rằng F là liên tục trên (dưới) thay vì {0} - liên tục trên (dưới). Và F là liên
tục nếu nó đồng thời liên tục trên và dưới. Nếu thêm giả thiết F(ỹ,x,ĩ) là tập
compact thì phần ỉ) của Định nghĩa 1.2.2 trùng với định nghĩa về tính nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới của Berge.

ii) . Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm c - liên tục trên và c - liên
tục dưới là một và ta nói F là c - liên tục. (Đặt biệt, nếu F là c - liên tục tại
(ỹ,x,ĩ) vầY = M, c = M+(hoặc, C(y,x ) = M_), thì F nửa liên tục dưới (tương

ứng, nửa liên tục trên) tại (ỹ,x,ĩ) theo nghĩa thông thường).
Ví dụ 1.2.3. Cho f : D ^ K là một ánh xạ đơn trị. c là ánh xạ nón hằng (giá trị tại
mọi điểm đều bằng nhau) trong Y. Khi ấy ánh xạ đa trị F(x ) = f(x) + c vừa là c liên tục trên, vừa là c - liên tục dưới tại điểm mà / liên tục. Trong [14], N.x. Tấn
và Lin, L.J. đã đưa ra các điều kiện cần và đủ để một ánh xạ là c - liên tục trên
(dưới).

1.3

Tính lồi của ánh xạ đa trị
Trong mục này, chúng tôi giả thiết X, Y là các không gian tuyến tính, D là

tập con lồi trong X. Với các ánh xạ đơn trị, ta đã biết đến các khái niệm hàm lồi,
hàm tựa lồi, hàm vector lồi, giống tựa lồi theo nón. Các khái niệm này được mở

rộng tương ứng trong trường hợp ánh
Định nghĩa 1.3.1. Cho F : D —> 2 Y là ánh xạ đa trị và c

xạ đa

trị.

lànóntrong

Y.
1. Ánh xạ F được gọi là c - lồi trên (dưới) trên D nếu với mọi XI,X 2 ẽ D, a
ẽ [0,1], ta có aF(xi) + (1 — a)F(x 2 ) ç F(axi + (1 — a)x 2 ) + c (tương
ứng, F{ax i) + (1 — à)x2 ç aF(x i) + (1 — a)F(x2) — c ).
2. Ánh xạ F được gọi là c - giống như tựa lồi trên (dưới) trên D nếu với
mọi X ị , x 2 G D, a £ [0,1],
F(x 1) Ç F(ax 1 + (1 - a)x2) + c hoặc, F(x2) ç F(ax
1 + (1 — à)x2) + c (tương ứng, F(ax 1 + (1 —
Oi)x2) Ç F(x 1) — c hoặc, F(ax 1 + (1 — à)x2) Ç
F(x 2) — c ).
Chú ý. Ta dễ thấy rằng:

1. Trong trường hợp F là ánh xạ đơn trị, khái niệm c - lồi trên (dưới) (hoặc, c giống tựa lồi trên (dưới)) là như nhau và ta nói F là c
-

lồi (hoặc, c - giống tựa lồi).

2. Trong trương hợp Y = M, c = M+ và F là ánh xạ đơn trị, nếu F là ánh xạ ơ giống tựa lồi đơn trị thì F là hàm tựa lồi.
Các khái niệm ánh xạơ- lồi trên (dưới) hay c - giống tựa lồi trên (dưới) là sự tổng
quát các khái niệm tương ứng đối với ánh xạ đơn trị. Có thể thấy rằng, ánh xạ c lồi trên (dưới) không phải là ánh xạ c - giống tựa lồi trên (dưới) và ngược lại.
Ví dụ 1.3.1.([12]) Xét các ánh xạ F : G : R —¥ R1, với F(x ) = (^3, x) và G(x ) =

1

F là (Q, ơ) -

ịựa iQi dưới theo đường chéo đối với biến thứ ba

nếu với bất kì tập điểm hữu hạn {xi, ..., x n } £ D , X

£ co{x 1,..., x n }

tồn tại chỉ số j = {l,...,n} sao cho F(y,x,x ) Ç F(y,x,xj) — C(y,x), với mọi y £


(x, 1 — x). Với nón c — ta dễ dàng chỉ ra được rằng, F là ánh xạ c - giống như

tựa lồi nhưng không phải là c - lồi và ánh xạ G là c - lồi nhưng không là c giống như tựa lồi.
Định nghĩa 1.3.2. Cho D là tập lồi trong X, F : D X D —> 2 Y là ánh xạ đa trị và
c : D —>• 2y là ánh xạ nón.

1. F được gọi là c - lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai
nếu với mọi tập hữu hạn {xi,..., x n } c D, X € co{x 1,..., x n }, X =
TI

Y, c t j X j ,
j=i

n

aj

>0, ^2 C í j = 1, ta có
j=i
n
ajF(x, Xj) c F(x, X) + C(x)
j =1
tương ứng, F(x,x) Ç ^2ajF(x : Xj) — c.
3 =1

2. F được gọi là c - giống tựa lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với
biến thứ hai nếu với mọi tập hữu hạn {x\,... ,£2} ç D, X e
co{x 1,...,

x2},

X

n

=

Y! a i x ii a j

j=1

^

0 ; Y! a j

n

l j tồ n tạ i c hỉ số
j=i
=

j

€

{1,..., n} sao cho F(x, Xj ) ç F(x, X ) + C(æ) (tương ứng, F(x , æ) Ç F(a:,
Æj) — ơ(x)).

Ví dụ 1.3.2. Cho D là tập hợp con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa
phương X với đối ngẫu X*, T : D —»■ X* là ánh xạ đơn trị. Ta dễ dàng chỉ ra
rằng, ánh xạ đơn trị F : D X D —»• R, F(x,t ) =
('T(x ), X — t ), G -D là M+ - /ồi trên (dưới) theo đường chéo và cũng là M+
- giống tựa lồi trên (dưới) theo đường chéo đối với biến thứ hai.

Định nghĩa 1.3.3. Cho các ánh xạ đa trị F : K X D X D —> 2y, Q : D X D
—»■ 2 K . Cho c : K X D —»■ 2y là ánh xạ đa trị. Ta gọi
Trong các phần tiếp theo, ta sử dụng rất nhiều khái niệm ánh xạ KKM và các
Q(x,xj).


mở rộng của nó, cụ thể ta có các định nghĩa sau: Cho X là không gian lồi địa
phương Hausdorff, X, z là các không gian tôpô tuyến tính. Các tập con không
rỗng D ç X, K ç z.
Định nghĩa 1.3.4. Ánh xạ G : D —»■ 2° được gọi là ánh xạ KKM nếu vơi mọi
tập con hữu hạn {ti ,..., n} ç D và X € co{tị ,

tồn tại

tj € {tị, ...t n } sao cho X G F(tj).
Định nghĩa 1.3.5.
1. Cho F : K X D X D —> 2 X , Q D X D 2 K ỉầ các tập ánh xạ đa trị. Ta nói
rằng ánh xạ F là Q — KKM nếu với mọi tập hữu hạn {tị, ..., n} ç D và X £
co{tị,t n }, tồn tại tj £ {¿1, ...t n } sao cho 0 e F(y,x,tj), với mọi y e Q(x,tj );

2. Cho 7z là một quan hệ hai ngôi trên K X D. Ta nói rằng quan hệ 1Z là quan
hệ đóng nếu với mọi dãy suy rộng (y a ,x a) hội tụ tới (y,x ) và TZ(y a , x a ) xảy

ra với mọi a thì 7Z(y, X ) xảy ra;
3. Cho 1Z là một quan hệ ba ngôi trên K X D X D. Ta nói 1Z là quan hệ Q KKM nếu với mọi tập hữu hạn {ti,... ,n} ç D và X e co{ti,t n }, tồn tại tj e
{tị,...t n } sao cho 7z(y,x,tj) xảy ra, với mọi y G Q(x,tj).

Chú ý.
1. Nếu F là ánh xạ Q — KKM thì 0 £ F(y, X , X ) với mọi y £ Q(x, x).
2. Ta định nghĩa ánh xạ G : D —Ï 2D , G{t ) = {x G D : 0 € F(y,x,t ) với mọi y
G Q(a;,í)}. Khi đó F là ánh xạ Q - KKM nếu và chỉ nếu G - là ánh xạ KKM.
Ví dụ 1.3.3. Cho D là tập hợp con trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa
phương X với đối ngẫu X*, K là tập con của không gian tôpô tuyến tính lồi địa
phương Z,Q : D X D K tùy ý. T : K X D —¥ X* là ánh xạ đơn trị. Ta dễ dàng
chỉ ra rằng ánh xạ đơn trị F : K X D X D —»• M, F(y, X, t ) = (T(y, x), X — t ),


x,t £ D, y G K,ìầ Q - KKM. Hơn vậy, nếu ta định nghĩa quan hệ ba ngôi 7 Z(y,
X , t ) nếu và chỉ nếu 0 G F (y, X , t). Ta chứng minh được: 7z là quan hệ Q -

KKM.

1.4

Một số định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị
Năm 1972, Browder đã chứng minh rằng, mọi ánh xạ liên tục từ một hình cầu

đơn vị đóng trong R n vào chính nó có điểm bất động. Năm 1922, Banach đã
chứng minh nguyên lý ánh xạ co chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co.
Hơn nữa, ông còn xây dựng được dãy lặp hội tụ tới điểm bất động đó. Năm 1941,
Kakutani, nhà toán học Nhật Bản đã đưa ra kết quả về điểm bất động của ánh xạ
đa trị nửa liên tục trên trong không gian hữu hạn chiều. Sau đó, năm 1952 Ky Fan
đã mở rộng kết quả trên trong không gian lồi địa phương Hausdorff. Trong chứng
minh của các kết quả trong các chương tiếp theo, ta sử dụng các định lý sau.
Định lý 1.4.1. ([10] Định lý điểm bất động Ky Fan ) Cho D là một tập
con lồi, compact trong không gian lồi địa phương HausdorỊỊ X, ánh
xạ F : D 2° nửa liên tục trên với giá trị không rỗng, lồi đóng. Khi đó
F có điểm bất động.
Định lý 1.4.2. ([11] Bỗ đề Fan - KKM ) Giả sử D là tập con không

rỗng của không gian tôpô tuyến tính X, F : D 2 X là ánh xạ KKM với
giá trị đóng. Nếu tồn tại x 0 G D sao cho F(x ữ) là tập compact trong X
thì
n F ( x ) í 0Định lý 1.4.3. ([7] Định ỉý điểm bất động Fan - Browder ) Cho D là

tập con không rỗng lồi compact của không gian lồi địa phương
Hausdorff X và F : D —>• 2 D là ánh xạ đa trị thỏa mẫn các điều kiện
sau đẫy:
1. Với X

G D,F(x) là tập không rỗng

và lồi trong D;