Dãy fibonacci và đa thức fibonacci tổng quát

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHÀN

DÃY FIBONACCI VÀ
ĐA THỨC FIBONACCI TỔNG QUÁT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Tạ Duy Phượng

HÀ NỘI, 2015


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Tạ Duy Phượng,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Dãy Fibonacci
và đa thức Fibonacci tổng quát” do tôi tự làm. Các kết quả và tài
liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát
triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Nhàn

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, Viện Hàn
lâm Khoa học và Công nghệ Quốc gia.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS. TS. Tạ Duy Phượng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi hoàn thành
luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người
thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Nhàn


Mục lục
Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. Dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Các tính chất cơ bản của dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . .

7

1.2.1. Tính chất cơ bản của số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2. Tính chất số học của dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.3. Tính chất chính phương của dãy Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3. Các vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.1. Ma trận Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.2. Véc tơ Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1. Đa thức Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.1. Định nghĩa đa thức Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.2. Một số tính chất cơ bản của đa thức Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2. Một số đa thức dạng Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.1. Đa thức Jacobsthal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.2. Đa thức Kn (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.3. Đa thức Morgan - Voyce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

2.3. Đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1. Định nghĩa đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.2. Một số tính chất chung của đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.3.3. Tính chất chia hết của đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.3.4. Tính chất hàm của đa thức Fibonacci tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55


Bảng kí hiệu

N
R
Q
Z
P
∅

(a, b)
Cnk
[a]
int(R)

Tập số tự nhiên
Tập số thực
Tập số hữu tỷ
Tập số nguyên
Tập số nguyên tố
Tập rỗng
Ước chung lớn nhất của a và b
Tổ hợp chập k của n
Phần nguyên của a
Phần trong của R

Kết thúc chứng minh

1


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Dãy Fibonacci là dãy được xác đinh bởi công thức truy hồi dạng
F0 = 0, F1 = 1;
Fn+1 = Fn + Fn−1 , n = 1, 2, ...
Dãy Fibonacci lần đầu tiên được nhà toán học Ý Fibonacci nghiên cứu và
trình bày trong cuốn sách Liber Abaci của Ông xuất bản năm 1202. Dãy
Fibonacci được nhiều nhà toán học khác nghiên cứu và phát triển (xem,
thí dụ [7]). Thậm chí có cả một hội Fibonacci (Fibonacci Association)
và một tạp chí The Fibonacci Quaterly từ năm 1964 (xem [8]).
Một phát triển trong nghiên cứu dãy Fibonacci là Đa thức Fibonacci,
tức là đa thức fn (x), n ≥ 0, t ∈ R được xác định bởi công thức truy hồi
sau:
f0 (x) ≡ 0, f1 (x) ≡ 1;
fn+1 (x) = xfn (x) + fn−1 (x), n ≥ 1.
Nhiều tính chất hay của đa thức Fibonacci đã được nghiên cứu, xem,
thí dụ, [7].
Dãy Fibonacci đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và phát triển
thành dãy Fibonacci tổng quát. Dãy Fibonacci tổng quát là dãy được
xác định bởi một trong hai công thức truy hồi sau:
U0 (a, b) = 0, U1 (a, b) = 1;
Un+1 (a, b) = aUn (a, b) − bUn−1 (a, b), n ≥ 1.
Hoặc
V0 (a, b) = 2, V1 (a, b) = a,
Vn+1 (a, b) = aVn (a, b) − bVn−1 (a, b), n ≥ 1.

Dưới đây là một số trường hợp đặc biệt của dãy Fibonacci tổng quát:
2


1) Dãy Fibonacci: Un (1, −1).
2) Dãy Lucas: Vn (1, −1).
3) Dãy Pell: Un (2, −1).
4) Dãy Pell-Lucas: Vn (2, −1).
5) Dãy Jacobsthal: Un (1, −2).
6) Dãy Jacobsthal-Lucas: Vn (1, −2).
7) Dãy Mersenne: Un (3, 2).
8) Dãy Fermat tổng quát: Vn (3, 2).
9) Đa thức Fibonacci: Un (x, −1).
10) Đa thức Lucas: Vn (x, −1).
Rất nhiều tính chất toán học thú vị của dãy Fibonacci tổng quát đã
được phát hiện. Dãy Fibonacci tổng quát cũng có nhiều ứng dụng thực
tế, liên quan đến đường cong elliptic và mật mã (xem, thí dụ, [9]).
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một lớp dãy số và đa thức, tuy cụ
thể, nhưng cũng đủ phong phú và thú vị, đồng thời có thể sử dụng trực
tiếp trong giảng dạy và ứng dụng toán học, dưới sự hướng dẫn của PGS
TS Tạ Duy Phượng, tôi chọn đề tài Dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci
tổng quát làm đề tài luận văn cao học.

2. Mục đích nghiên cứu
1) Tìm hiểu và trình bày các kiến thức về dãy Fibonacci và đa thức
Fibonacci tổng quát.
2) Tìm hiểu và trình bày một số vấn đề và bài toán liên quan đến dãy
Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát.

3

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Nghiên cứu dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát.
• Nghiên cứu một số bài toán liên quan đến dãy Fibonacci và đa thức
Fibonacci tổng quát.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Dãy Fibonacci, đa thức Fibonacci tổng quát và một số bài toán liên
quan.

5. Phương pháp nghiên cứu
1) Thu thập các tài liệu liên quan tới dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci
tổng quát.
2) Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới dãy
Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát dưới dạng một luận văn cao
học.

6. Đóng góp mới của luận văn
Cố gắng xây dựng Luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đề tài
Dãy Fibonacci và đa thức Fibonacci tổng quát.

4


Chương 1
Dãy Fibonacci tổng quát
1.1. Định nghĩa dãy Fibonacci tổng quát
Số Fibonacci Fn được định nghĩa bởi công thức:
Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2,

F0 = 0, F1 = 1.
Số Lucas Ln được định nghĩa bởi công thức:

Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2,
L = 2, L = 1.
0

1

Dãy Fibonacci tổng quát được định nghĩa bởi công thức sau:
Un+1 = aUn − bUn−1 ,
trong đó U0 = A, U1 = B, a, b là các số thực cho trước.
Dãy Fibonacci có thể được coi như là nghiệm của phương trình sai phân
tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng:
un+1 − un − un−1 = f (n),
với f (n) là hàm số cho trước.
Nếu f (n) ≡ 0 thì ta có dãy Fibonacci
un+1 − un − un−1 = 0, với n = 1, 2, ...

(1.1.1)

Phương trình đặc trưng của (1.1.1)
λ2 − λ − 1 = 0,
5

(1.1.2)


có hai nghiệm là
√

1+ 5
=: ϕ;
λ1 =
2√
1− 5
λ2 =
=: 1 − ϕ = −ϕ−1 .
2
Ta có công thức nghiệm tổng quát của (1.1.1) là
un = C1 λn1 + C2 λn2 , với n = 1, 2, ...,

(1.1.3)

trong đó C1 , C2 hằng số bất kì.
Với u0 = 0, u1 = 1, từ (1.1.3) ta có
C1 + C2 = 0,
C1 λ1 + C2 λ2 = 1.
Giải hệ này ta được:
C1 =

1
1
1
= √ , C2 = − √ .
λ1 − λ2
5
5

Do đó nghiệm tổng quát của (1.1.1) có dạng
√ n

√ n
1
1+ 5
1− 5
1
un = √
−
= √ ϕn − −ϕ−1
2
2
5
5
Vì

n

√
√
1+ 5
1− 5
λ1 =
và λ2 =
.
2
2

nên ta có λ1 + λ2 = 1 và λ1 λ2 = −1. Do đó
λ21 = λ1 (1 − λ2 ) = λ1 − λ1 λ2 = λ1 + 1,
λ31 = λ1 (λ1 + 1) = λ21 + λ1 = 2λ1 + 1,
λ41 = λ1 (2λ1 + 1) = 2λ21 + λ1 = 2 (λ1 + 1) + λ1 = 3λ1 + 2, ...

λn1 − λn2
Đặt un = √
, ta có
5
6

.


λ1 − λ2
λ21 − λ22
u1 = √
= 1, u2 = √
= 1.
5
5
Với n ≥ 3 ta có
un−1 + un−2

λ1n−1 − λn−1
λn−2
− λn−2
λn−2
(λ1 + 1) − λn−2
(λ2 + 1)
2
1
2
1
√

√
√ 2
=
+
=
5
5
5
n−2 2
n−2 2
λn − λn
λ λ1 − λ2 λ2
√
= 1 √ 2 = un .
= 1
5
5

Vậy un cũng chính là dãy Fibonacci thỏa mãn điều kiện ban đầu u0 =
0, u1 = 1. Nói cách khác, un = Fn và ta có
λn1 − λn2
λn1 − λn2
√
Fn =
=
,
λ1 − λ2
5

(1.1.4)

trong đó λ1 , λ2 là các nghiệm của phương trình bậc hai λ2 − λ − 1 = 0.
Dãy Lucas thực chất cũng là nghiệm của phương trình sai phân (1.1.1),
tức là các số Lucas cũng có dạng
un = C1 λn1 + C2 λn2 , với n = 1, 2, ...,

(1.1.5)

trong đó

√
√
1+ 5
1− 5
λ1 =
và λ2 =
.
2
2
Thay u0 = 2, u1 = 1 vào công thức un = C1 λn1 + C2 λn2 ta được:
C1 + C2 = 2,
C1 λ1 + C2 λ2 = 1.
Giải hệ này ta được C1 = 1, C2 = 1. Vậy ta có
Ln = λn1 + λn2 .

1.2. Các tính chất cơ bản của dãy Fibonacci tổng
quát
1.2.1. Tính chất cơ bản của số Fibonacci
Để tiện nghiên cứu, ta đưa vào
7

Định nghĩa 1.2.1. Số Fibonacci với chỉ số âm
F−n = (−1)n+1 Fn , n = 1, 2, ....

(1.2.1)

Nhận xét 1.2.1. Từ công thức truy hồi:
Fn = Fn−1 + Fn−2 , n = 2, 3, ...
F0 = 0, F1 = 1,
ta suy ra:
Fn−2 = Fn − Fn−1 , n = 2, 3, ...
Một cách hình thức, từ công thức trên, cho n = 1, 0, −1, −2, −3, ... ta
được:
F−1 = F1 − F0 = 1 − 0 = 1,
F−2 = F0 − F1 = 0 − 1 = −1,
F−3 = F−1 − F−2 = 1 − (−1) = 2,
F−4 = F−2 − F−3 = −1 − 2 = −3,
F−5 = F−3 − F−4 = 2 − (−3) = 5,
...,
F−n = (−1)n+1 Fn .
Ta có thể chứng minh Nhận xét trên theo phương pháp quy nạp như
sau:
Với n = 1 ta có: F−1 = 1 = (−1)1+1 F1 = F1 .
Giả sử công thức F−n = (−1)n+1 Fn đúng với n

2. Ta sẽ chứng minh

công thức đúng với n + 1. Thật vậy theo công thức (1.2.1)
F−n = (−1)n+1 Fn và giả thiết quy nạp ta có:

F−(n+1) = F−(n−1) − F−n = (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn
= (−1)n+2 Fn + (−1)n+2 Fn−1 = (−1)n+2 (Fn + Fn−1 ) = (−1)n+2 Fn+1 .
Như vậy, Định nghĩa 1.2.1 là có cơ sở.
8


Định lý 1.2.1. [9, trang 9] Tổng các số Fibonacci đầu tiên:
n

Fk = Fn+2 − 1.

(1.2.2)

k=1

Chứng minh. Xem Hệ quả 2.1.1
Định lý 1.2.2. [9, trang 9] Tổng của các số Fibonacci với chỉ số lẻ đầu
tiên:
n

F2k−1 = F2n .

(1.2.3)

k=1

Chứng minh. Ta có:
F1 = F2 ,
F3 = F4 − F2 ,
F5 = F6 − F4 , ...,

F2n = F2n − F2n−2 .
Cộng vế với vế ta được:
F1 + F3 + F5 + ... + F2n−1 = F2n .
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.3. [9, trang 10] Ta có:
F12 + F22 + ... + Fn2 = Fn Fn+1 .
Chứng minh. Chúng ta biết rằng:
Fk Fk+1 − Fk−1 Fk = Fk (Fk+1 − Fk−1 ) = Fk2 ,
F12 = F1 F2 ,
F22 = F2 F3 − F1 F2 , ...,
Fn2 = Fn Fn+1 − Fn−1 Fn .
9

(1.2.4)


Cộng vế với vế ta được:
F12 + F22 + F32 + ... + Fn2 = Fn Fn+1 .
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.4. Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn đầu tiên, (Lucas,
1876)
n

F2k = F2k+1 − 1.

(1.2.5)

k=1

Chứng minh. Chứng minh tương tự tổng các số Fibonacci với chỉ số

lẻ.
Định lý 1.2.5. Ta có:
F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n Fn+1 = (−1)n Fn + 1.

(1.2.6)

Chứng minh. Với n = 2k chẵn, từ tính chất (1.2.3) và (1.2.5) ta có:
F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n Fn+1
= (F1 + F3 + ... + F2k−3 + F2k+1 ) − (F2 + F4 + ... + F2k )
= F2k+2 − (F2k+1 − 1)
= F2k + 1
= (−1)n Fn + 1.
Với n = 2k + 1 lẻ, từ tính chất (1.2.3) và (1.2.5) ta có:
F1 − F2 + F3 − F4 + ... + (−1)n−1 Fn−1
= (F1 + F3 + ... + F2k−3 + F2k+1 ) − (F2 + F4 + ... + F2k+2 )
= F2k+2 − (F2k+3 − 1)
= −F2k+1 + 1
= (−1)n Fn + 1.
Định lý được chứng minh.
10


Định lý 1.2.6. Ta có:
n−1

kFk = nFn+2 − Fn+3 + 2.

(1.2.7)

k=1

Định lý 1.2.7. [9, trang 10] Ta có hệ thức:
Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 .

(1.2.8)

Chứng minh. Ta có công thức truy hồi của số Fibonacci
Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2,
F0 = 0, F1 = 1.
Cố định n, ta sẽ chứng minh Định lý đúng với m theo quy nạp.
Vì F1 = F2 = 1 nên từ công thức truy hồi của số Fibonacci ta có:
Fn+1 = Fn−1 + Fn = Fn−1 F1 + Fn F2 . Vậy (1.2.8) đúng với m = 1 và với
mọi n
Giả sử quy nạp Định lý đúng với m ≤ k. Ta phải chứng minh Định lý
đúng với m = k + 1. Theo quy nạp, ta có:
Fn+k = Fn−1 Fk + Fn Fk+1 ,
và
Fn+(k−1) = Fn−1 Fk−1 + Fn Fk .
Cộng vế với vế của hai phương trình trên ta được:
Fn+k + Fn+(k−1) = Fn−1 (Fk + Fk−1 ) + Fn (Fk+1 + Fk )
Fn+(k+1) = Fn−1 Fk+1 + Fn Fk+2 .
Vậy công thức (1.2.8) đúng với m = k + 1 và với mọi n.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.8. [9, trang 10-11]
2
Fn+1
= Fn Fn+2 + (−1)n .

11

(1.2.9)


Chứng minh. Ta chứng minh Định lý đúng với mọi n theo quy nạp.
Với n = 1 ta có: F22 = 1 = F1 F3 − 1 nên Định lý đúng với n = 1.
Giả sử rằng, Định lý đúng với n = 1, 2, ..., k. Ta phải chứng minh Định
lý đúng với n = k + 1 Thật vậy, ta có
2
Fk+1
= Fk Fk+2 + (−1)k .

Cộng vào cả 2 vế hệ thức trên với Fk+1 Fk+2 ta được:
2
Fk+1
+ Fk+1 Fk+2 = Fk+1 Fk+2 + Fk Fk+2 + (−1)k

Fk+1 (Fk+1 + Fk+2 ) = Fk+2 (Fk + Fk+1 ) + (−1)k
2
Fk+1 Fk+3 = Fk+2
+ (−1)k .

Vậy ta có:
2
Fk+2
= Fk+1 Fk+3 + (−1)k+1 .

Định lý được chứng minh.
Từ Định lý 1.2.8 ta có công thức Cassini (Cassin’s Formula):
Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n , n = 1, 2, 3, ....

(1.2.10)

Định lý 1.2.9. (L.Carlitz, 1964)
Fm = Fk Fm+1−k + Fk−1 Fm−k .

(1.2.11)

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo k.
Vì F0 = 0, F1 = 1, nên từ công thức truy hồi của số Fibonacci ta có:
Fm = Fm + Fm−1 = Fm F1 + Fm−1 F0 . Vậy (1.2.11) cũng đúng với k = 1
và với mọi m
Giả sử công thức (1.2.11) đúng với mọi k

q, nghĩa là

Fm = Fq Fm+1−q + Fq−1 Fm−q .

12


Ta phải chứng minh (1.2.11) đúng với k = q + 1. Thật vậy, ta có:
Fm = Fq Fm−q+1 + Fq−1 Fm−q
= Fq (Fm−q + Fm−q−1 ) + Fq−1 Fm−q
= (Fq + Fq−1 ) Fm−q + Fq Fm−q−1
= Fq+1 Fm−q + Fq Fm−q−1
Vậy (1.2.11) đúng với k = q + 1 và với mọi m.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.10. (Tính chất D’Ocagne)
Fm Fn+1 − Fm+1 Fn = (−1)n Fm−n .
Định lý 1.2.11. Với k

(1.2.12)

2 ta có:

2
F2n+k = Fk Fn+1
+ 2Fk−1 Fk+1 Fn + Fk−2 Fn2 .

(1.2.13)

Định lý 1.2.12.
F3n = 2Fn3 + 3Fn Fn+1 Fn−1 = 5Fn3 + 3 (−1)n Fn .

(1.2.14)

Chứng minh. Theo công thức (1.2.13) với k = n, ta có:
F3n = F2n+n
2
= Fn Fn+1
+ 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2

= Fn (Fn + Fn−1 )2 + 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2
2
= Fn3 + 2Fn2 Fn + Fn Fn−1
+ 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2
2
= Fn3 + Fn2 (Fn − Fn−2 ) + Fn2 Fn−1 + Fn Fn−1
+ 2Fn−1 Fn+1 Fn + Fn−2 Fn2

= 2Fn3 + Fn−1 Fn (Fn + Fn−1 ) + 2Fn−1 Fn+1 Fn
= 2Fn3 + Fn−1 Fn Fn+1 + 2Fn−1 Fn+1 Fn
= 2Fn3 + 3Fn−1 Fn Fn+1 .
Mặt khác, theo công thức Cassini (1.2.10) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n ta có:
Fn2 − Fn−1 Fn+1 = (−1)n−1
13


hay
Fn−1 Fn+1 = Fn2 + (−1)n−1 .
Vậy
F3n = 2Fn3 +3Fn Fn+1 Fn−1 = 2Fn3 +3Fn Fn2 + (−1)n = 5Fn3 +3 (−1)n Fn .
Định lý được chứng minh.
1.2.2. Tính chất số học của dãy Fibonacci
Định lý 1.2.13. [9, trang 11] Cho dãy Fibonacci , với mọi n

1 thì hai

số hạng Fn và Fn+1 của dãy Fibonacci nguyên tố cùng nhau, tức là
(Fn , Fn+1 ) = 1.

(1.2.15)

Chứng minh. Giả sử (Fn , Fn+1 ) = d, nghĩa là Fn+1 = pd và Fn = qd. Suy
ra Fn−1 = Fn+1 − Fn = pd − qd = (p − q) d, tức là Fn−1 cũng chia hết cho
d. Tương tự Fn−2 ,Fn−3 , ... cũng chia hết cho d, cuối cùng F1 = 1 chia
hết cho d. Suy ra d = 1.
Vậy (Fn , Fn+1 ) = 1.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.2.14. [9, trang 11] Cho m

1, n ≥ 1

.
Fmn .. Fm .

(1.2.16)

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh Định lý đúng với n theo quy nạp.
.
Với n = 1 thì Fm .. Fm Định lý đúng với n = 1 và với mọi m .
.
Giả sử Định lý đúng với mọi số nguyên n = k, tức là Fmk .. Fm . Ta phải
.
chứng minh Định lý đúng với n = k + 1, để chứng minh Fm(k+1) .. Fm , ta
sử dụng công thức (1.2.8):
Fn+m = Fn+1 Fm + Fn Fm−1 .
Áp dụng công thức này, ta được:
Fm(k+1) = Fmk+m = Fmk−1 Fm + Fmk Fm+1 .
14


.
.
Vì Fmk .. Fm theo giả thiết quy nạp nên ta suy ra Fm(k+1) .. Fm .
Định lý được chứng minh.
Bổ đề 1.2.1. [9, trang 11] Nếu m = nq + r, thì
(Fm , Fn ) = (Fr , Fn ) .

(1.2.17)

Chứng minh. Từ công thức (1.2.8)
Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fn+1 .
ta có:
(Fm , Fn ) = (Fnq+r , Fn ) = (Fnq−1 Fr + Fnq Fr+1 , Fn )
= (Fnq−1 Fr , Fn ) .
Ta có (Fnq−1 , Fn ) = 1. Thật vậy, giả sử d = (Fnq−1 , Fn ), nghĩa là Fnq−1 =
.
.
pd và Fn = qd. Vì Fnq .. Fn , mà Fn = qd nên Fnq .. d. Vậy d là ước chung
của Fnq và Fnq−1 . Nhưng theo Định lý 1.2.13 (Fnq−1 , Fnq ) = 1. Vậy d = 1.
Bổ đề được chứng minh.
Định lý 1.2.15. [9, trang 12] Ước chung lớn nhất của hai số Fibonacci
là một số Fibonacci:
(Fm , Fn ) = F(m,n) .
Chứng minh. Giả sử rằng Fm và Fn là hai số Fibonacci. Ta chứng minh
(Fm , Fn ) = Fd , ở đó d = (m, n). Giả sử rằng m

n. Áp dụng thuật toán

Euclid cho m và n ta có phương trình sau:
m = q1 n + r1 , 0 ≤ r1 ≤ n,
n = q2 r1 + r2 , 0 ≤ r2 ≤ r1 ,
r1 = q3 r2 + r3 , 0 ≤ r3 ≤ r2 , ...,
rn−2 = qn rn−1 + rn , 0 ≤ rn ≤ rn−1 ,
rn−1 = qn+1 rn + 0.
15


Từ Bổ đề 1.2.1 ta có:

(Fm , Fn ) = (Fr1 , Fn ) = (Fr1 , Fr2 ) = ... = Frn−2 , Frn .
.
.
Từ rn−1 .. rn , thì Frn−1 .. Frn . Suy ra Frn−1 , Frn = Frn Nhưng rn =
(m, n) = 0. Vậy (Fm , Fn ) = Fd , với d = (m, n).
Định lý được chứng minh.
.
Định lý 1.2.16. [9, trang 12] Trong dãy Fibonacci Fn .. Fm khi và chỉ
.
khi n .. m.
Chứng minh. Xem Hệ quả (2.3.1)
Định lý 1.2.17. [9, trang 12] Tỷ lệ của hai số Fibonacci liên tiếp hội
tụ đến tỷ số vàng, tức là
Fn+1
= ϕ.
n→∞ Fn
lim

(1.2.18)

Chú ý Tỷ số vàng ϕ (số phi) được định nghĩa là tỷ số khi chia đoạn
thẳng thành hai phần (a và b) sao cho
a+b a
= = ϕ.
a
b
Khi ấy
a+b
b
1

=1+ =1+
a
a
ϕ
1
⇔1+ =ϕ
ϕ
⇔ ϕ2 = ϕ + 1
⇔ ϕ2 − ϕ + 1 = 0
√
1+ 5
⇒ϕ=
≈ 1.61803398874989 ≈ 1.618.
2
Chứng minh. Với n = 1, 2, ... đặt
rn =

Fn+1
.
Fn

16


Áp dụng công thức truy hồi của số Fibonacci ta có
rn =

Fn+1
Fn + Fn−1
1

=
=1+
.
Fn
Fn
rn−1

Khi n → ∞ ta có thể viết phương trình trên dưới dạng giới hạn
1
x=1+ ,
x
⇔ x2 = 1 + x
⇔ x2 − x − 1 = 0
√
1+ 5
⇒x=
= ϕ.
2
Vậy
Fn+1
= ϕ.
n→∞ Fn
lim

Định lý được chứng minh.
1.2.3. Tính chất chính phương của dãy Fibonacci tổng quát
Cho dãy số {xn } được xác định như sau:
x0 = a, x1 = b,
xn+2 = mxn+1 − xn , n ∈ N,

(1.2.19)

ở đây a, b, m là các số nguyên dương cho trước. Dãy số này có các tính
chất sau:
1) xn+2 xn − x2n+1 = xn+1 xn−1 − x2n = ... = x2 x0 − x21 = abm − a2 − b2
với mọi n ∈ N.
2) mxn+1 xn = x2n+1 + x2n − a2 − b2 + abm , với mọi n ∈ N.
Thật vậy, áp dụng công thức (1.2.19) ta có
1)
xn+2 xn − x2n+1 = (mxn+1 − xn ) xn − x2n+1 = mxn+1 xn − x2n+1 − x2n
= xn+1 (mxn − xn+1 ) − x2n = xn+1 xn−1 − x2n .
17


Tương tự ta có
xn+1 xn−1 − x2n = xn xn−2 − x2n−1 = ... = x2 x0 − x21
= (mx1 − x0 )x0 − x21 = abm − a2 − b2 .
2)
x2n+1 + x2n − mxn+1 xn = x2n+1 + xn (xn − mxn+1 )
= x2n+1 − xn xn+2 = a2 + b2 − abm.
Vậy các tính chất trên được chứng minh.
Bây giờ, ta xây dựng dãy số với các số hạng là số chính phương.
Dựa vào công thức truy hồi của dãy số đã cho và áp dụng tính chất 2)
ta có:
x2n+2 = (mxn+1 − xn )2
= m2 x2n+1 − 2mxn+1 xn + x2n
= m2 x2n+1 − 2(x2n+1 + x2n + abm − a2 − b2 ) + x2n
= (m2 − 2)x2n+1 − x2n + 2(a2 + b2 − abm).
Đặt an = x2n , ta được dãy số {an } xác định bởi
a0 = a2 , a1 = b2 ,

an+2 = (m2 − 2)an+1 − an − 2(a2 + b2 − abm), n ∈ N
Dãy số {an } có các số hạng đều là số chính phương (gọi là dãy chính
phương).
Bằng cách cho a, b, m những giá trị cụ thể, ta sẽ được các dãy chính
phương.
Ví dụ 1.2.1. Với a = 1, b = 1, m = 7 và với mọi n ∈ N, dãy số {an }
xác định bởi
a0 = 1, a1 = 1,
an+2 = 7an+1 − an − 2,
là số chính phương.
18


Nhận xét 1.2.2. Theo cách xác định trên, ta biết an = x2n với dãy {xn }
xác định bởi
x0 = 1, x1 = 1,
xn+2 = 3xn+1 − xn , n ∈ N.
Hiển nhiên xn ∈ N với với mọi n ∈ N. Do đó, ta có:
x2n+1 + x2n − 3xn+1 xn = x2n+1 + xn (xn − 3xn+1 ) = x2n+1 − xn xn+2 .
Và
x2n+1 + x2n − 3xn+1 xn = x2n + xn+1 (xn+1 − 3xn ) = x2n − xn+1 xn−1 .
Suy ra:
x2n+1 − xn xn+2 = x2n − xn+1 xn−1 = .... = x21 − x2 x0 = −1.
Do đó, với mọi n ∈ N thì:
x2n+1 − x2n − 3xn+1 xn = −1

(1)

Ta sẽ chứng minh, với mọi n ∈ N thì
an = x2n

(2)

Bằng phương pháp quy nạp
Ta có: với n = 0, n = 1 thì (2) đúng.
Giả sử (2) đúng với n ≤ k, (k ∈ N), tức là ak = x2k .
Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1 nghĩa là chứng minh ak+1 =
x2k+1
Thật vậy, ta có:
ak+1 = 7ak − ak−1 − 2 = 7x2k − x2k−1 − 2
= 7x2k − x2k−1 + 2(x2k + x2k−1 − 3xk xk−1 )
= 9x2k − 6xk xk−1 + x2k−1 = (3xk − x2k−1 )2 = x2k+1
Suy ra điều phải chứng minh.

19


1.3. Các vấn đề liên quan
Có thể sử dụng ma trận và véctơ để nghiên cứu dãy Fibonacci như sau.
1.3.1. Ma trận Fibonacci
Cho ma trận
Q=

1 1
1 0

Ký hiệu định thức của Q là |Q|. Ta có: |Q| = −1.
Từ tính toán trực tiếp
Q2 =

2 1
1 1

, Q3 =

3 2

, ...

2 1

ta đi đến
Định lý 1.3.1. Cho n ≥ 1 thì
Qn =

Fn+1

Fn

Fn

Fn−1

.

(1.3.1)

Chứng minh. Với n = 1, ta có:
Q1 =

Giả sử Qk =

Fk+1

Fk

Fk Fk−1
Định lý được chứng minh.

F2 F1
F1 F0

=

1 1
1 0

= Q.

thì Qk+1 = Qk Q ==

Hệ quả 1.3.1. Cho n ≥ 1. Khi ấy
Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n .
Điều này suy ra từ |Q| = 1. Do đó [Q]n = (−1)n .
20

Fk+2 Fk+1
Fk+1

Fk

.


Hệ quả 1.3.2. Vì Qm Qn = Qm+n nên ta có:
Fm+n+1 = Fm+1 Fn+1 + Fm Fn ,
Fm+n = Fm+1 Fn + Fm Fn−1 = Fm Fn+1 + Fm−1 Fn ,
Fm+n−1 = Fm Fn + Fm−1 Fn−1 .
Hệ quả 1.3.3.
2Fm+n = Fm Lm + Fn Ln
2Fm+n = Lm Ln + 5Fm Fn .
Xét phương trình đăc trưng
|Qn − xI| =

Fn+1 − x

Fn

Fn

Fn−1 − x

= x2 − Ln x + (−1)n

Vì L2n − 4 (−1)n = 5Fn2 . Suy ra
x=
Từ λn1 − λn2 =

√

Ln ±

√

5Fn

2

5Fn và λn1 − λn2 = Ln ta suy ra
√
√
5F
L
−
5Fn
L
+
n
n
n
; λn2 =
λn1 =
2
2

1.3.2. Véc tơ Fibonacci
Xét véctơ
Un = (Fn+1 ; Fn ) ; Vn = (Ln+1 ; Ln ) .
Ta có
2

|Un |2 = Fn+1
+ Fn2 = F2n+1 ,

|Vn |2 = L2n+1 + L2n = 5F2n+1 ,
Fn
Ln
tanθ =
; tanγ =
.
Fn+1
Ln+1
21