Phổ của toán tử laplace

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ HẢI

PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Nguyễn Thị Hải

PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội - 2015


Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy
chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ,
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Vì vậy, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, 09 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hải


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của cá nhân tôi,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Luận văn là sự tổng hợp
các kết quả trong các tài liệu tham khảo xoay quanh chủ đề Phổ của toán
tử Laplace đối với điều kiện biên Dirichlet.
Hà Nội, 09 tháng 06 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Hải


i

Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Không gian Sobolev W m,p ♣Ωq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2. Các định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2. Không gian Sobolev W0m,p ♣Ωq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2.1. Một số tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

W01,p ♣Ωq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.3. Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không gian vết . . . . . . . . . .

16

1.2.2. Bất đẳng thức Poincaré trong không gian

1.3. Bài toán biên đối với phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.1. Các loại bài toán biên cơ bản của phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2. Nghiệm của bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Chương 2. Phổ của toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet: tập hợp các phiếm hàm . . . . . .

24
24
24

2.1.2. Sự tồn tại của một cơ sở Hilbert của toán tử Laplace với điều kiện biên Dirchlet
31

2.2. Công thức min-max và max- min Courant–Fisher . . . . . . . . .

37

2.3. Bội và tính chất tiệm cận của các giá trị riêng của toán tử Laplace
với điều kiện biên Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Các tính chất của giá trị riêng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50


ii
2.3.2. Dáng điệu tiệm cận của các giá trị riêng của toán tử Laplace với điều kiện biên
Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Sự phân tích phổ của bài toán giá trị biên elliptic . . . . . . . . .

52

59

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65


iii

Danh mục kí hiệu
∆u ✏

n 2
➦
❇ u2 : toán tử Laplace của u.
i✁
✏ 1 ❇ xi
✠

∇u ✏ ❇❇xu1 , ..., ❇❇xun

: gradient của u.

C ♣Ωq : không gian các hàm liên tục trên Ω.
  ✟

C Ω : không gian các hàm liên tục trên Ω.
C k ♣Ωq ✏ tu € C ♣Ωq ⑤Dα u € C ♣Ωq , ❅ ⑤α⑤ ↕ k ✉.
  ✟

Ck Ω

✥

✭

u € C k ♣Ωq ⑤Dα u liên tục đều trên Ω .

✏

Dα u : đạo hàm suy rộng cấp α của u
Dα u ✏
với ⑤α⑤ ✏

N
➦
i✏1

C ✽ ♣Ωq ✏

αi ; xα

✽
➇

✥k✏0

Lp ♣Ωq ✏ f

❇⑤α⑤u
❇xα1 ❇xα2 ☎ ☎ ☎ ❇xαN
1

✏ xα1 xα2 ☎ ☎ ☎ xαN .

C k ♣Ωq;

1

2

2

N

N

  ✟

C✽ Ω

✏

✽
➇

k ✏0

  ✟

Ck Ω .
✭

✁ đo được, lũy thừa bậc p khả tích trên Ω

với chuẩn

⑥f ⑥ ✏ ⑤f ⑤ ✏

☎
➺
✆ f x

☞1

p

⑤ ♣ q⑤ dx✌ , p ➙ 1.
p

Ω

D ♣Ωq : không gian các C ✽ - hàm với giá compact trong Ω.
D✶ ♣Ωq : không gian các hàm suy rộng trên Ω.

S: không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh trong RN .

S ✶ : không gian của các hàm suy rộng tăng chậm trên RN .
W m,p ♣Ωq : không gian Sobolev với 1 ↕ p ↕  ✽.
H01 ♣Ωq : bao đóng của D ♣Ωq trong H 1 ♣Ωq.


iv

W0m,p ♣Ωq : bao đóng của D ♣Ωq trong W m,p ♣Ωq.

W m,2 ♣Ωq ✏ H m ♣Ωq;
W 0,p ♣Ωq ✏ Lp ♣Ωq;

W0m,2 ♣Ωq ✏ H0m ♣Ωq.

W 0,2 ♣Ωq ✏ L2 ♣Ωq.

Hs ♣F q : độ đo Hausdorff s-thứ nguyên của F

trong đó
u 

Hδs

✏ u ❴ 0;

♣F q ✏ inf

✧

Hs ♣F q ✏ limδÑ0 Hδs ♣F q

 ✽
➦
i✏1

✯

⑤Ui⑤ : tUi✉i€N là δ- phủ của F
s


1

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các bài toán biến phân đã xuất hiện từ rất lâu, thu hút được sự quan
tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng trong các thế kỷ XVII – XIX và
có ảnh hưởng rất lớn đối với sự phát triển của Giải tích toán học. Nhưng
phải đến thế kỷ XX bài toán biến phân mới được hình thành với tư cách
là một lý thuyết toán học độc lập, với nhiều hướng nghiên cứu khác
nhau. Cho tới ngày nay, nghiên cứu các bài toán biến phân chủ yếu được
tập trung vào ba vấn đề chính:
- Nghiên cứu định tính (điều kiện cần và đủ để có nghiệm, các định
lý đối ngẫu, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiệm, . . . );
- Nghiên cứu định lượng (xây dựng các thuật toán tìm nghiệm thỏa
mãn các tiêu chuẩn cho trước, xác định tập nghiệm, . . . );
- Ứng dụng (giải quyết các bài toán về kinh tế, bất đẳng thức biến
phân, bài toán cân bằng, phương trình đạo hàm riêng,. . . ).
Một trong những ứng dụng quan trọng của bài toán biến phân là
nghiên cứu các bài toán giá trị riêng cũng như phổ của các toán tử, đặc

biệt là phổ của toán tử Laplace. Ngay từ đầu thế kỉ XIX, đã có rất nhiều
các công trình toán học nghiên cứu về vấn đề này trong đó phải kể đến
Fourier, Hilbert... Từ đó đến nay, lý thuyết phổ không ngừng được mở
rộng không những trong lý thuyết mà còn trong toán ứng dụng cũng
như trong vật lí.


2

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phổ của toán tử Laplace, dưới
sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề
tài “Phổ của toán tử Laplace”.
Luận văn được chia thành hai chương:
Chương 1 được giành để trình bày một số khái niệm và kết quả cơ
bản về nghiệm yếu của phương trình Laplace và không gian Sobolev.
Chương 2 trình bày tổng quan về phổ của toán tử Laplace.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về phổ của toán tử Laplace.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian Sobolev, nghiệm suy rộng của bài toán biên
Dirichlet đối với toán tử Laplace.
Tìm hiểu về phổ của toán tử Laplace.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: phổ của toán tử Laplace.
Phạm vi nghiên cứu: phép phân tích phổ của toán tử Laplace với điều
kiện biên Dirichlet.

5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tư liệu trong sách, báo có liên quan;


3

Sử dụng các phương pháp của giải tích;
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài.

6. Đóng góp của đề tài
Trình bày một cách hệ thống các kết quả có liên quan về phổ của
toán tử Laplace, làm rõ các chứng minh, lấy ví dụ minh họa cho một số
khái niệm, kết quả.


4

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này được dùng để trình bày các khái niệm và kết quả cơ bản
cần thiết cho việc trình bày các kết quả của Chương 2. Các kết quả về
không gian Sobolev được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2],[5]-[8].
Các khái niệm về bài toán biên và nghiệm của bài toán biên được tham
khảo từ các tài liệu [3]-[6],[8].

1.1. Không gian Sobolev W m,p♣Ωq
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trong mục này ta sẽ nghiên cứu một vài tính chất quan trọng của
không gian Sobolev – cần thiết để nghiên cứu phương trình đạo hàm

riêng ở chương sau. Từ nay trở về sau ta quy ước Ω là một tập mở trong
RN và ❇ Ω là biên của nó.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Sobolev H 1 ♣Ωq được định nghĩa bởi
✧

với ❇❇xvi

✯
❇
v
H 1 ♣Ωq ✏ v € L2 ♣Ωq :
€
L2 ♣Ωq i ✏ 1, ..., N ,
❇xi
được cho theo nghĩa suy rộng. Không gian H 1 ♣Ωq được trang bị

tích vô hướng

①u, v② ✏

➺ ✄

uv  

Ω

❇ ❇v
❇xi ❇xi
i✏1
N

➳
u

☛

dx


5

và chuẩn tương ứng
✔

⑥ v ⑥ H ♣ Ωq ✏ ✕

➺ ✄

v2  

1

Ω

N ✂
➳
i✏1

❇v
❇xi

✡2 ☛

✜1④2

dx✢

.

Nhận xét 1.1.1. Theo định nghĩa đạo hàm suy rộng, các điều kiện sau
là tương đương:

€ H 1♣Ωq;
b. v € L2 ♣Ωq và tồn tại g1 , g2 , ..., gN € L2 ♣Ωq sao cho
➺
➺
❇
ϕ
❅ϕ € D♣Ωq v ❇x dx ✏ ✁ gi ϕdx.
i
a. v

Ω

Khi đó theo định nghĩa, ❇❇xvi

Ω

✏ gi theo nghĩa suy rộng.

Định nghĩa trên có thể được mở rộng khi thay thế không gian L2 ♣Ωq

bằng không gian tổng quát Lp ♣Ωq, 1 ↕ p ↕  ✽.

Định nghĩa 1.1.2. Với bất kì 1 ↕ p ↕  ✽, không gian Sobolev W1,p ♣Ωq
được xác định bởi
✧

với ❇❇xvi

✯
❇
v
€
Lp ♣Ωq i ✏ 1, 2, ..., N ,
W1,p ♣Ωq ✏ v € Lp ♣Ωq :
❇xi
được cho theo nghĩa suy rộng. Không gian W1,p ♣Ωq được trang

bị chuẩn
✔

⑥v⑥W

1,p

♣Ωq ✏ ✕

➺ ✄

⑤v⑤p  

Ω

⑥v⑥W

✧

✽ ♣ Ωq

1,

✜1④p
✞p ☛
✞ v✞
✞
✞
✢
✞ x ✞ dx

N ✞
➳
i✏1

❇
❇i

với 1 ↕ p ➔  ✽,

✎
✎

✎ ✯
✎
✎ v✎
✎ v ✎
✎ ; ...; ✎
✎
v ✽ ; ✎✎
✎ x ✎
x1 ✎✽
N ✽

✏ max ⑥ ⑥

❇
❇

❇
❇

với p ✏  ✽.

Khi p ✏ 2, không gian W1,2 ♣Ωq thường được kí hiệu bởi H 1 ♣Ωq.


6

→ 0 là một số nguyên và 1 ↕ p ↕  ✽.
Không gian Sobolev W m,p ♣Ωq được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.1.3. Cho m

W m,p ♣Ωq ✏ tu € Lp ♣Ωq ⑤ Dα u € Lp ♣Ωq ,

❅ ⑤α⑤ ↕ m ✉ ,

(1.1.1)

với Dα u là đạo hàm suy rộng cấp α của u:

⑤α⑤ u
❇
D u✏ α α
❇x1 ❇x2 ☎ ☎ ☎ ❇xαN
trong đó α ✏ ♣α1 , ☎ ☎ ☎ , αN q, ⑤α⑤ ✏ α1   ☎ ☎ ☎   αN .
α

1

N

N

Nói cách khác, W m,p ♣Ωq là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp ♣Ωq sao

cho các đạo hàm suy rộng lên tới cấp m cũng thuộc Lp ♣Ωq. Rõ ràng
W m,p ♣Ωq là không gian vectơ. Ta trang bị cho nó với chuẩn

⑥u⑥W

m,p

♣Ωq ✏

hay tương đương với 1 ➔ p ➔  ✽,
☎

⑥u⑥W

m,p

♣ Ωq ✏ ✆

➳ ➺

⑤α⑤↕m Ω

➳

⑤α⑤↕m

☞1④p

⑥Dαu⑥L ♣Ωq

(1.1.2)

p

☎

⑤Dαu⑤p✌ ✏ ✆

➳

⑤α⑤↕m

☞1④p

⑥Dαu⑥pL ♣Ωq✌
p

. (1.1.3)

Sau này ta sẽ không phân biệt giữa hai chuẩn này mặc dù chúng chỉ
tương đương và không bằng nhau. Ta sẽ sử dụng ký hiệu giống nhau cho
cả hai và để ý trong bất kỳ tính toán nào ta sẽ chỉ dùng một trong hai
công thức.
Ký hiệu
i, Trường hợp p ✏ 2 :
W m,2 ♣Ωq ✏ H m ♣Ωq ,

(1.1.4)


7

và với u € H m ♣Ωq, ta ký hiệu chuẩn của nó bởi ⑥u⑥H m ♣Ωq , tức là

⑥u⑥H

m

♣Ωq ✏ ⑥u⑥W m,2 ♣Ωq .

(1.1.5)

ii, Trường hợp p ✘ 2

⑤u⑤W

m,p

♣Ωq ✏

➳

⑤α⑤✏m

⑥Dαu⑥L ♣Ωq

(1.1.6)

p

trong đó ⑤.⑤W m,p ♣Ωq là nửa chuẩn của W m,p ♣Ωq bao gồm Lp - chuẩn của
đạo hàm cấp cao nhất.
Nếu p ✏ 2: ⑤.⑤W m,2 ♣Ωq

✏ ⑤.⑤H ♣Ωq.
iii, Không gian Lp ♣Ωq được xét như là trường hợp đặc biệt của không

gian Sobolev ứng với m ✏ 0. Đặc biệt, ký hiệu Lp - chuẩn của hàm bởi
⑤.⑤W ♣Ωq (vì trong trường hợp này nửa chuẩn và chuẩn giống nhau).
Không gian H m ♣Ωq có tích vô hướng được định nghĩa bởi
m

0,p

①u, v②H

m

♣ Ωq ✏

➳ ➺

⑤α⑤↕m Ω

Dα u Dα v,

u, v

€ H m ♣Ωq .

(1.1.7)

Tích vô hướng này sinh ra chuẩn được xác định bởi công thức (1.1.3)
khi p ✏ 2.

 

✟

✏ RN , không gian H m RN cũng có thể được định
 
✟
nghĩa theo biến đổi Fourier. Giả sử u € H m RN . Khi đó theo định
 
✟
nghĩa, Dα u € L2 RN , với ❅ ⑤α⑤ ↕ m. Do đó biến đổi Fourier của Dα u
Trường hợp Ω

là

♣④
♣,
Dα uq ✏ ♣2πiq⑤α⑤ ξ α u
 

✟

 

✟

♣ ♣ξ q € L2 RN ,
và vì vậy ξ α u

❅ ⑤α⑤ ↕ m.

 

✟

♣ ♣ξ q € L2 RN ,
Ngược lại, nếu u € L2 RN sao cho ξ α u

❅ ⑤α⑤ ↕ m, ta có


8

Dα u

 

€ L2

✟

 

❅ ⑤α⑤ ↕ m và vì vậy u € H m

RN ,

✟

RN . Sử dụng bổ đề đại

số sau ta có thể biểu thị điều này dưới dạng tốt hơn.

Bổ đề 1.1.1. Tồn tại hằng số dương M1 và M2 chỉ phụ thuộc vào m sao
cho
✁

M1 1   ⑤ξ ⑤

2

✠m

↕

➳

✁

⑤ξ ⑤ ↕ M2 1   ⑤ξ ⑤
α 2

⑤α⑤↕m

2

✠m

❅ ξ € RN .

,

 

(1.1.8)

✟

Theo Bổ đề trên, ta có thể xác định không gian H m RN như sau:
H

 
m

R

✟
N

✧

✏

✞✁
✞
✟
RN ✞✞ 1

 
2

u€L

  ⑤ξ ⑤2

✠m④2

 
2

♣ ♣ξ q € L
u

R

✟
N

✯

.

(1.1.9)
 

Hơn nữa, từ Định lý Plancherel suy ra chuẩn ⑥.⑥H m ♣RN q trên H m RN
tương đương với chuẩn

⑥u⑥H

m

✂➺

♣RN q ✏

✁
RN

1   ⑤ξ ⑤2

✠m

⑤u♣ ♣ξ q⑤2dξ

✡1④2

.

Ưu thế của định nghĩa này có thể khái quát với ❅s
 

✟

định nghĩa H s RN bởi
H

 
s

R

✟

N

✧

✏

u€L

 
2

với chuẩn tương ứng

⑥u⑥H ♣R q ✏
s

✞✁
✞
✟
RN ✞✞ 1

✂➺

✁

N

RN

  ⑤ξ ⑤2

1   ⑤ξ ⑤

2

✠s④2

✠s

♣ ♣ξ q € L
u

⑤u♣ ♣ξ q⑤ dξ

(1.1.10)

➙ 0. Nếu s ➙ 0 ta

 
2

2

✟

R

✟
N

✯

(1.1.11)

✡1④2

.

(1.1.12)

Trở lại không gian W m,p ♣Ωq. Ánh xạ
✂

✡
❇
u
❇
u
, ...,
€
♣
Lp ♣Ωqqn 1
(1.1.13)
u € W ♣Ωq Ñ u,
❇x1 ❇xn
là một phép đẳng cự của W 1,p ♣Ωq vào ♣Lp ♣Ωqqn 1 nếu ta trang bị không
1,p

gian cuối với chuẩn

⑥u⑥ ✏

n➳
 1
i✏1

⑤ui⑤W

0,p

♣Ωq

hoặc

⑥u⑥ ✏

✄

n➳
 1
i✏1

⑤ui⑤pW

☛1④p
0,p

♣ Ωq

9

✏ ♣uiq € ♣Lp ♣Ωqqn 1, tùy thuộc vào việc ta sử dụng công thức
(1.1.2) hoặc (1.1.3) cho chuẩn trên W 1,p ♣Ωq.
với u

↕  ✽, W 1,p ♣Ωq là không gian Banach.
W 1,p ♣Ωq là phản xạ nếu 1 ➔ p ➔  ✽, và tách được nếu 1 ↕ p ➔  ✽.
Đặc biệt, H 1 ♣Ωq là không gian Hilbert tách được.
Định lý 1.1.1. Với 1

↕

p

Nhận xét 1.1.2. i, Các kết quả của Định lý 1.1.1 cũng đúng đối với
W m,p ♣Ωq với mọi số nguyên m

➙ 2. Sau này, trừ khi thực sự cần thiết,
ta sẽ chỉ thiết lập các định lý cho không gian W 1,p ♣Ωq . Mở rộng đến
không gian cấp cao hơn sẽ là hiển nhiên.

Ñ u trong Lp ♣Ωq và ❇❇ux Ñ vi trong Lp ♣Ωq với 1 ↕ i ↕ N ,
thì u € W 1,p ♣Ωq và ❇❇xu ✏ vi .
ii, Nếu um

m
i

i

Định lý 1.1.2. Cho I

⑨ R là một khoảng mở và u € W 1,p ♣I q. Khi đó,

u liên tục tuyệt đối.
Ta có thể kết luận một tính chất quan trọng của W 1,p ♣I q từ Định lý
trước, khi I là một khoảng mở bị chặn. Chẳng hạn, I
nếu u € W 1,p ♣I q, ta có thể viết
u ♣xq ✏ u ♣0q  

➺x
0

✏ ♣0, 1q. Khi đó

u✶ ♣tq dt.

(1.1.14)

Theo Bất đẳng thức H¨older, nếu q là số mũ liên hợp của p, tức là p✁1  
q ✁1

✏ 1 thì ta có

⑤u ♣0q⑤ ↕ ⑤u ♣xq⑤   ⑤u✶⑤W

0,p

1④q

♣I q ⑤x⑤

.

Như vậy nhờ lấy tích phân hai vế ta có
✁

⑤u ♣0q⑤ ↕ C ⑤u⑤W

0,p

♣I q

  ⑤u✶⑤

W 0,p ♣I q

✠

✏ C ⑥u⑥W

1,p

♣I q

(1.1.15)


10

→ 0 là hằng số không phụ thuộc vào u. Lúc này sử dụng
(1.1.14) và (1.1.15) ta cũng kết luận rằng: với bất kỳ x € I,
trong đó C

⑤u ♣xq⑤ ↕ C ⑥u⑥W

1,p

♣I q ,

C

→ 0, độc lập với u.

(1.1.16)

Gọi B là hình cầu đơn vị trong W 1,p ♣I q. Khi đó
B
Nếu i : W 1,p ♣I q

✏

ÑC

✦

u€W

1,p

✞
✞
I ✞ u

♣ q ⑥ ⑥W

✮

1,p

♣I q ↕ 1 .

(1.1.17)

  ✟

I là phép nhúng (được thiết lập trong Định lý

1.1.2 và liên tục theo (1.1.16)) thì B
  ✟

C I . Hơn nữa, nếu x, y

⑤u ♣xq ✁ u ♣yq⑤ ↕ ⑤u✶⑤W

✏ i ♣B q là tập bị chặn đều trong

€ I thì từ (1.1.14), ta có
0,p

1④q

♣I q ⑤x ✁ y ⑤

↕ ⑥u⑥W

1,p

1④q

♣I q ⑤x ✁ y ⑤

.

(1.1.18)

  ✟

Từ đây suy ra rằng B là liên tục đồng bậc trong C I . Theo Định lý
  ✟

Ascoli – Arzela suy ra B là compact tương đối trong C I ; nói cách
khác, ánh xạ i : W 1,p ♣I q

ÑC

  ✟

I là toán tử compact. Đây là một tính

chất quan trọng của không gian Sobolev.
Định lý 1.1.3. Cho 1

↕ p ↕  ✽. Giả sử Ω ✏ ♣a, bq là một khoảng mở

của R.

€ W 1,p♣a, bq và kí hiệu v✶ € Lp♣a, bq là đạo hàm suy rộng cấp
một của nó. Khi đó, tồn tại một phiếm hàm liên tục v˜ € C ♣ra, bsq sao
(i) Cho v

cho

✩
✬
✫v x

♣ q ✏ v˜♣xq với hầu hết x € ♣a, bq,
✬
✪v˜♣xq ✁ v˜♣y q ✏ ➩ x v ✶ ♣tqdt ❅x, y € ra, bs.
y
Trong trường hợp này ta thừa nhận v là một biểu diễn liên tục của v˜. Thật
vậy v˜ là duy nhất, và khi p → 1 thì v˜ € C0,α ♣ra, bsq với α ✏ p1✶ , p1   p1✶

✏ 1,


11

tức là

⑤v˜♣xq ✁ v˜♣yq⑤ ↕ C ⑤x ✁ y⑤α ❅x, y € ra, bs.
Như một hệ quả
v ♣xq ✁ v ♣y q ✏
(ii) Ngược lại, nếu giả thiết v
Lp ♣Ωq sao cho
v ♣xq ✁ v ♣y q ✏
Khi đó v

➺x
y

v ✶ ♣tqdt

x, y

€ ♣a, bq.

€ Lp♣Ωq và tồn tại một phiếm hàm g €
➺x
y

g ♣tqdt

x, y

€ ♣a, bq.

€ W 1,p♣a, bq và v✶ ✏ g theo nghĩa hàm suy rộng.

Định lý 1.1.4. Cho Ω là một tập mở tùy ý trong RN và cho 1 ↕ p ➔  ✽.

€ W 1,p♣Ωq thì v  € W 1,p♣Ωq và
❇ v  ✏ 1
❇v , i ✏ 1, ..., N.
t
v ➙0 ✉
❇ xi
❇ xi
Ngoài ra, nếu v € W01,p ♣Ωq thì v   € W01,p ♣Ωq.

Khi đó với bất kì v

Định lý 1.1.5. Cho v

€ W 1,p♣Ωq, 1 ↕ p ➔  ✽. Khi đó, với mỗi i ✏

1, ..., N
1 tv✏0 ✉
Nói cách khác ❇❇xvi

✏

❇v ✏ 0.
❇ xi

0, nghĩa là trong E

✏ tx € Ω : v♣xq ✏ 0✉ , i ✏

1, ..., N.

€ W 1,p♣Ωq, 1 ↕ p ➔  ✽. Khi đó ⑤v⑤ € W 1,p♣Ωq và
❇ ⑤v⑤ ✏ 1 ❇v ✁ 1 ❇v .
♣v➙0q ❇ x
♣v➔0q ❇ x
❇xi
i
i

Hệ quả 1.1.1. Cho v


12

1.1.2. Các định lý nhúng
Trong Mục 1.1.1 ta đã thấy rằng không gian W 1,p ♣I q có thể được
nhúng trong không gian các hàm liên tục tuyệt đối, khi I là khoảng mở
trong R. Trong mục này ta sẽ nghiên cứu các tính chất của phép nhúng
như vậy của không gian W 1,p ♣Ωq, Ω là tập mở trong RN .
Định lý 1.1.6. (Bất đẳng thức Sobolev) Giả sử Ω là một tập con
mở, bị chặn của RN với biên ❇ Ω. Cho 1

↕ p ↕  ✽ và xét không gian

Sobolev W 1,p ♣Ωq. Khi đó, ta có các phép nhúng liên tục sau:

↕ p ➔ N , khi đó W 1,p♣Ωq Ñ Lp✝ ♣Ωq với p1✝ ✏ p1 ✁ N1 . Một
✝

cách chính xác hơn, bất kì phần tử v € W 1,p ♣Ωq đều thuộc Lp ♣Ωq và tồn
tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào p, N, Ω sao cho với mọi v € W 1,p ♣Ωq,
i) Nếu 1

ã

⑥v⑥L ✝ ♣Ωq ↕ C ⑥v⑥W
p

1,p

♣Ωq .

ii) Nếu p ✏ N, khi đó W 1,p ♣Ωq ãÑ Lq ♣Ωq với mọi 1 ↕ p ➔  ✽.

¯ q. Một cách chính xác hơn, ta
iii) Nếu p → N , khi đó W 1,p ♣Ωq ãÑ C♣Ω

có W 1,p ♣Ωq

Ñ C0,α♣Ωq với α ✏ 1 ✁ Np , tức là mỗi phần tử v € W 1,p♣Ωq

ã

là liên tục H¨older với số mũ α và tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào
p, N, Ω sao cho với mọi v

€ W 1,p♣Ωq,

⑤v♣xq ✁ v♣yq⑤ ↕ C ⑥v⑥W

1,p

α
♣Ωq ⑤x ✁ y ⑤ .

  ✟

Ta đã thấy phép nhúng của W 1,p ♣I q trong C I là compact khi I là
một khoảng bị chặn. Vậy trong các phép nhúng liên tục đã nêu ở trên,
phép nhúng nào là compact? Ví dụ sau cho thấy, khi miền không bị chặn
thì phép nhúng không compact.


13

Ví dụ 1.1.1. Cho I

✏ ♣0, 1q ⑨ R và Ij ✏ ♣j, j   1q. Lấy f € C1 với giá

trong I. Ta định nghĩa fj là hàm f nhưng xác định trên Ij nhờ phép
tịnh tiến. Ta có thể chuẩn hóa f một cách thích hợp sao cho

⑥f ⑥W

1,p

♣I q ✏ 1.

Điều đó cũng đúng đối với mỗi fj và như vậy tfj ✉ cũng là dãy bị chặn

trong W 1,p ♣Rq. Vì f

 ✽. Ngoài ra, nếu

€ C1 và có giá compact nên f € Lq ♣Rq với 1 ↕ q ↕

⑤f ⑤W
thì với bất kỳ j

0,q

♣Rq ✏ ⑤f ⑤W 0,q ♣I q ✏ a → 0,

✘ k,
⑤fj ✁ fk ⑤W

0,q

♣Rq ✏ 2

1④q

a

nên tfj ✉ không thể có dãy con hội tụ trong Lq ♣Rq. Vì vậy không có

phép nhúng của W 1,p ♣Rq vào không gian Lq ♣Rq là compact. Ví dụ này
có thể dễ dàng được khái quát đến RN và đối với các tập mở giống như
nửa không gian.
Định lý 1.1.7. Cho Ω ⑨ RN là tập mở bị chặn của lớp C1 . Khi đó các

phép nhúng sau là compact

♣iq Nếu p ➔ N thì W 1,p ♣Ωq Ñ Lq ♣Ωq , 1 ↕ q ↕ p✝, với p1✝ ✏ p1 ✁ N1 ,
♣iiq Nếu p ✏ N thì W 1,N ♣Ωq Ñ Lq ♣Ωq , 1 ↕ q ➔  ✽,
  ✟
♣iiiq Nếu p → N thì W 1,p ♣Ωq Ñ C Ω .
ã

ã

ã

Định lý 1.1.8. Cho Ω là một tập mở, bị chặn trong RN của lớp C1 .
Với 1 ↕ p ↕  ✽, phép nhúng chính tắc W 1,p ♣Ωq Ñ Lp ♣Ωq là compact.


14

Định lý 1.1.9. Cho Ω ⑨ RN là một tập mở, liên thông, bị chặn và thuộc
C1 . Cho V

⑨ W 1,p♣Ωq là không gian con tuyến tính, đóng của W 1,p♣Ωq

sao cho mọi hàm hằng chỉ thuộc vào V đều đồng nhất bằng 0. Khi đó,
tồn tại một hằng số C sao cho
☎

⑥v⑥L ♣Ωq ↕
p

☞1④p
✞p
➺ ➳
N ✞
✞ v✞
✞
✞
✌
C✆
✞ x ✞ dx
Ω

i✏1

❇
❇i

❅v € V.

Hệ quả 1.1.2. (Bất đẳng thức Poincaré-Wirtinger) Cho Ω ⑨ RN
là một tập mở, liên thông và bị chặn của lớp C1 . Khi đó, tồn tại một
hằng số Cp

→ 0 sao cho

✎
✎
Ω , ✎✎v

❅v € W ♣ q

1,p

✁

1
⑤Ω⑤

➺
Ω

✎
✎
v x dx✎✎

♣q

Lp

♣ Ωq

↕ Cp⑥Dv⑥L ♣Ωq.
p

1.2. Không gian Sobolev W0m,p♣Ωq
Bên cạnh đó, ta phải nhắc đến không gian con quan trọng của W m,p ♣Ωq.
1.2.1. Một số tính chất cơ bản
Nếu 1 ↕ p ➔  ✽, ta biết rằng D ♣Ωq trù mật trong Lp ♣Ωq. Hơn nữa,

€ D ♣Ωq thì mọi đạo hàm của φ cũng thuộc D ♣Ωq nên D ♣Ωq ⑨
W m,p ♣Ωq, đối với bất kỳ m và p. Nếu 1 ↕ p ➔  ✽, ta định nghĩa

không gian W0m,p ♣Ωq như là bao đóng của D ♣Ωq trong W m,p ♣Ωq . Như
vậy W0m,p ♣Ωq là một không gian con đóng của W m,p ♣Ωq và các phần tử
của nó có thể được lấy xấp xỉ theo chuẩn trong W m,p ♣Ωq bởi các C✽ nếu φ

hàm với giá compact. Nói chung đây là một không gian con thực sự của
W m,p ♣Ωq, ngoại trừ khi Ω ✏ RN như được chỉ ra dưới đây.


15

Định lý 1.2.1. Cho 1 ↕ p ➔  ✽. Khi đó với m ➙ 0 nguyên bất kỳ,
 

W m,p RN

✟

✏ W0m,p

 

✟

RN .

(1.2.1)

Thông thường, khi p ✏ 2 ta viết H0m ♣Ωq thay cho W0m,2 ♣Ωq và vì vậy
 

H0m RN

✟

✏ Hm

 

✟

RN .

(1.2.2)

Mệnh đề 1.2.1. Cho Ω là một tập mở trong RN và cho u

€ W0m,p♣Ωq.

Khi đó, phiếm hàm u˜ bằng u trên Ω và bằng 0 trên RN ③Ω sẽ thuộc vào
W m,p ♣RN q. Ánh xạ tuyến tính p xác định bởi p♣uq ✏ u˜ là một phép đẳng
cự từ W0m,p ♣Ωq vào W m,p ♣RN q.

Định lý 1.2.2 (Rellich-Kondrakov ). Cho Ω là một tập con mở, bị
chặn trong RN . Khi đó phép nhúng chính tắc: W01,p ♣Ωq

Ñ Lp♣Ωq là
compact. Nói cách khác, mọi tập con bị chặn của W01,p ♣Ωq là compact
tương đối trong Lp ♣Ωq.
ã

1.2.2. Bất đẳng thức Poincaré trong không gian W01,p ♣Ωq
Bất đẳng thức Poincaré là một thành phần cơ bản của phương pháp
biến phân cho bài toán Dirichlet. Nó cung cấp các hệ số của tích phân
Dirichlet

➩
Ω

⑤Dv⑤2dx trên không gian H01♣Ωq.

Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Poincaré ). Cho Ω là tập mở bị chặn
một phía trong RN . Khi đó, với mỗi 1 ↕ p ➔  ✽ tồn tại hằng số dương
C

✏ Cp,N ♣Ωq sao cho
✂➺

✡1④p

Ω

⑤v♣xq⑤pdx

✄➺

↕ Cp,N ♣Ωq

☛1④p
✞
N ✞

➳
✞ v ✞p
✞
✞
v
✞ x ✞ dx

Ω i ✏1

❇
❇i

❅ € W01,p♣Ωq.
(1.2.3)


16

Định nghĩa 1.2.1. Hằng số Poincaré là hằng số C bé nhất để bất đẳng
thức (1.2.3) đúng với mọi v
C¯p,N ♣Ωq ✏ inf

✩
✫

✂➺

C:

✪

Ω

€ W01,p♣Ωq, kí hiệu là C¯p,N ♣Ωq

⑤v⑤pdx

✡1④p

↕C

✄➺

Ω i✏1

✱
✳

☛1④p
✞
✞ v ✞p
✞
✞
v
✞ x ✞ dx

N ✞
➳

❇

❇i

❅ € W01,p♣Ωq✲ ,

tương đương với

✏
C¯p,N ♣Ωq
1

✩✄
☛1④p ➺
✞
N ✞
✫ ➺ ➳
✞ v ✞p
✞ dx
✞
v p dx
:
inf
✞
✞
✪
x
Ω i✏1

❇
❇i

Ω

⑤⑤

✱
✳

✏ 1, ❅v € W01,p♣Ωq✲ .

Ví dụ 1.2.1. (BĐT Poincaré không đúng trong miền không bị chặn
 

✟

✏ RN và xét ζ € D RN sao cho ζ ✑ 1 trên
⑤x⑤ ↕ 1 và ζ ✑ 0 trên ⑤x⑤ ➙ 2 và 0 ↕ ζ ↕ 1. Đặt ζm ♣xq ✏ ζ ♣x④m q. Khi
đó ⑤ζm ⑤W ♣R q Ñ 0 (nếu n ➔ p) khi m Ñ  ✽, trong khi ⑤ζm ⑤W ♣R q ➙
meas ♣B ♣0; mqq Ñ  ✽ khi m Ñ  ✽.

theo mọi hướng). Cho Ω

1,p

N

0,p

N

1.2.3. Không gian đối ngẫu, không gian bậc phân số và không

gian vết
Trong mục này ta sẽ định nghĩa không gian Sobolev đối với các tham
số thực s thay cho số tự nhiên n.
Định nghĩa 1.2.2. Cho 1 ↕ p ➔  ✽, p✶ là số mũ liên hợp của p. Không

gian dối ngẫu của không gian W0m,p ♣Ωq được ký hiệu W ✁m,p ♣Ωq với
✶

➙ 1 là số nguyên. Nếu p ✏ 2, H ✁m ♣Ωq là đối ngẫu của không gian
H0m ♣Ωq.

m

Nhận xét 1.2.1. H0m ♣Ωq là không gian Hilbert nên theo Định lý biểu
diễn Riesz, nó có thể được đồng nhất với đối ngẫu của nó. Tuy nhiên


17

✏ 0, tức là trong trường hợp của L2 ♣Ωq, ta không thể
đồng nhất H0m ♣Ωq với đối ngẫu của nó. Ta có phép nhúng liên tục và
ngoại trừ khi m

trù mật sau:
H01 ♣Ωq Ñ L2 ♣Ωq Ñ H ✁1 ♣Ωq .
Không gian Sobolev W s,p ♣Ωq với s không nguyên cũng có thể được
định nghĩa theo một số cách. Sau đây là một cách: cho 1
0 ➔ s ➔ 1. Khi đó, định nghĩa
W s,p ♣Ωq ✏
Đặt s ✏ m   σ,

★

✞
✞
u y
✞u x
Ω ✞
✞ x y s ♣n④p q

q ⑤ ♣ q ✁ ♣ q⑤ € Lp ♣Ω ✂ Ωq
⑤ ✁ ⑤
m ➙ 0, m - nguyên, 0 ➔ σ ➔ 1,
u € Lp ♣

W s,p ♣Ωq ✏ tu € W m,p ♣Ωq ⑤ Dα u € W σ,p ♣Ωq ,

↕ p ➔  ✽ và

✰

.

(1.2.4)

❅ ⑤α⑤ ✏ m✉ .

(1.2.5)

Ký hiệu W0s,p ♣Ωq là bao đóng của D ♣Ωq trong W s,p ♣Ωq và W ✁s,p ♣Ωq là

✶

đối ngẫu của W0s,p ♣Ωq.
Nếu p

✏ 2 ta có không gian H s ♣Ωq. Nếu Ω ✏ RN , ta đã gặp định
 

✟

nghĩa của không gian H s RN (xem (1.1.11)). Có thể chỉ ra rằng các

→ 0. Cũng
 
✟
 
✟
như vậy ta có H s RN như là đối ngẫu của H ✁s RN khi s ➔ 0. Lúc

định nghĩa này xác định cùng một không gian đối với mỗi s

này ta chứng tỏ định nghĩa dựa theo biến đổi Fourier cũng đúng cho các
chỉ số âm.
Định lý 1.2.4. Cho s → 0 là số thực. Khi đó
H

✁s  

R

✟
N

✏

✧

u€S

✶ 

✞✁
✞
✟
RN ✞✞ 1

  ⑤ξ ⑤2

✠✁s④2

 
2

♣ ♣ξ q € L
u

R

✟
N

✯

. (1.2.6)

Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa không gian vết H s ♣Γq, trong
đó Γ

✏ ❇Ω - biên của tập con mở bị chặn của RN , n ➙ 2. Giả thiết Ω