Luận văn về phương pháp điểm bất động cho bài toán bất đẳng thức biến phân

B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2
_______________ * _________________

N G U Y Ễ N VĂN TÚ

VỀ PHƯƠNG PH Á P ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PH Â N

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C

H À N Ộ I , 2015


B Ộ G I Á O D Ụ C V À Đ À O TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2
_______________ * _________________

N G U Y Ễ N VĂN TÚ

VỀ PHƯƠNG PH Á P ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BIẾN PH Â N

Chuyên nghành: To á n giải tích
Mã số: 60 46 01 02

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
Người hướng dẫn khoa học: G S. T S K H . Lê D ũ n g M ư u

H À N Ộ I , 2015


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lời
cảm ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Lê Dũng Mưu người thầy đã luôn tận
tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô phòng sau đại
học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình
học tập tại trường.
Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp
trường TH PT Lương Tài và người thân trong gia đình đã luôn động
viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi mặt trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn này.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuy
nhiên khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong được sự đóng
góp ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn.
X in tr â n tr ọ n g cảm ơn!

Hà Nội, tháng 07 năm 2015
Học viên

N g u y ễn V ăn T ú


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được

cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

N g u y ễn V ăn T ú


iii

Các kí hiệu và chữ viết tắt

H

Không gian Hilbert thực

0

Tập rỗng

\/x

Với mọi X

Эх

Tồn tại X

B{0,R)

Hình cầu đóng tâm 0 bán kính R

с CH

С là tập con thực sự của H

С Ç H

С là tập con của H

X

:=

X được định nghĩa bằng у

у

(x,y)

Tích vô hướng của hai véctơ

INI

Chuẩn của véctơ X

{•En}

Dãy các phần tử X\, X2 , ...

F :C

H

Ánh xạ F đi từ С vào H

F ỉx(T)

Tập các điểm bất động của ánh xạ T

domF

Miền hữu hiệu của ánh xạ F

V/

Đạo hàm của hàm /

p c (ж)

Tập các hình chiếu của X lên tập с

N c (x)

Nón pháp tuyến ngoài của tập с tại điểm X

VI(C, F)

Bất ĐT biến phân xác định bởi tập с và ánh xạ F

M ục lục
Lời cảm ơn
Lời cam đoan

11

Các kí hiệu và chữ viết tắ t

iii

Mục lục

iii

M ở đầu

6

C hư ơ n g 1. Đ iểm b ấ t đ ộ n g c ủ a á n h x ạ co và á n h x ạ k h ô n g g iãn
9
1 . 1 . Không gian Hilbert

1.1.1. Không gian tiền Hilbert
1 . 1 . 2 . Không gian Hilbert

9
9
12

y

1 . 2 . Anh xạ co và ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

16

1.3. Sự tồn tại điểm bất động

19

1.3.1. Bài toán điểm bất động

19

1.3.2. Nguyên lý ánh xạ co Banach

20

1.3.3. Phương phán lặp Mann

25

1.3.4. Phương pháp lặp Halpern

26


V

C hư ơ n g 2. B ài to á n b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iế n p h â n

28

2.1. Phát biểu bài toán và ví dụ

28

2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán (VI)

31

2.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh

37

2.3.1. Tính co của ánh xạ nghiệm

38

2.3.2. Mô tả thuật toán hội tụ

43

2.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu

48

2.4.1. Thuật toán

48

2.4.2. Kết hợp nguyên lý ánh xạ co và thuật toán điểm gần kề

50

2.4.3. Mô tả thuật toán

52

K ế t lu ậ n

57

T ài liệu th a m k h ảo

58


6

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của toán học như giải tích số, phương trình vi phân,
phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, bài toán cân bằng, bài toán bất
đẳng thức biến phân,...
Bài toán bất đẳng thức biến phân đã được nhiều nhà khoa học quan
tâm và nghiên cứu mà một trong những hướng nghiên cứu đó là đi xây
dựng phương pháp giải bài toán bằng cách tiếp cận điểm bất động. Với
mong muốn tìm hiểu sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của
G S. T S K H . Lê D ũ n g M ư u, tác giả đã chọn nghiên cứu đề tài: "Về

p h ư ơ n g p h á p đ iểm b ấ t đ ộ n g cho b à i to á n b ấ t đ ẳ n g th ứ c b iến
phân".

2. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm có 2 chương:
Chương 1: Điểm bất động của ánh xạ co và ánh xạ không giãn.
Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân.

3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân theo cách tiếp cận điểm
bất động dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach, các phương pháp lặp


7

Mann, Hapern cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và định
lý điểm bất động Brouwer để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cũng như
các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tổng hợp lại những kiến thức cơ bản về điểm bất động đối với ánh xạ
co, ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Tiếp đến là giới thiệu
bài toán bất đẳng thức biến phân, cụ thể là sự tồn tại nghiệm của bài
toán bất đẳng thức biến phân, các phương pháp giải lớp một số bài toán
bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh, đơn điệu dựa trên phương pháp
điểm bất động.

5. Đối tượng và phạm vi nghiền cứu
Đối tượng nghiên cứu: Không gian Hilbert, các định lý điểm bất động
của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, bất đẳng thức biến phân.

Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo, các cuốn sách và các tài liệu có liên
quan đến việc nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân bằng cách
tiếp cận điểm bất động.

6. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng công cụ giải tích hàm, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết tối
ưu để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và các phương pháp giải bài toán
bất đẳng thức biến phân.


7. Đóng góp mới
Tổng hợp lại những kiến thức cơ bản nhất về các định lý điểm bất
động cho ánh xạ co, ánh xạ không giãn, định lý điểm bất động Brouwer
trong không gian Hilbert.
Trình bày các phương pháp tính điểm bất động theo nguyên lý ánh
xạ co Banach, theo các phương pháp lặp Mann, Hapern.
Trình bày những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức biến phân và đặc
biệt là đi sâu vào nghiên cứu, trình bày các cách tính điểm bất động cho
bài toán bất đẳng thức biến phân.


9

Chương 1
Đ iểm bất động của ánh xạ co và
ánh xạ không giãn
Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản về
không gian Hilbert thực: định nghĩa, tính chất, ví dụ; định nghĩa tập lồi,
tập đóng, hàm lồi, ánh xạ co và ánh xạ không giãn. Tiếp đó là một số
kết quả về sự tồn tại điểm bất động như nguyên lý ánh xạ co Banach,

phương pháp lặp Mann, Halpern. Các kiến thức trong chương này chủ
yếu được lấy từ các tài liệu [1], [2], [4], [5], [7], [8].

1.1. Không gian Hilbert
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về
không gian Hilbert thực R.
1.1.1. K h ô n g g ian tiề n H ilb e rt
Đ ịn h n g h ĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính trên M. Hàm số
:H

X

H —¥ M được gọi là một tích vô hướng trên H nếu:


10

V (x ,y) = (y, x) , Vz,ĩ/ € H;
2) (Xx,y) = X ( x , y ) , Mx, y G H, X e M;
3) (x + y, z) = (x, z) + (y, z ) , V x , y , z & H ;
4) (x, X) > 0 , Vx & H; (x,x) = O ^ x = 0.
Các phần tử X, y, z, ...gọi là các nhăn tử của tích vô hướng; số (x,y)
được gọi là tích vô hướng của hai véctơ X, y; các tiên đề 1), 2), 3), ị )
gọi là hệ tiên đề tích vô hướng.
Không gian tuyến tính H cùng với tích vô hướng

.) được gọi là

không gian tiền Hilbert hay không gian Unita.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng

là một dạng song tuyến tính

trên H.
Đ ịn h lý 1.1. Nếu (H , (.,.)) là một không gian tiền Hilbert thì hàm số
||x|| = y / {X, X), Va; £ H là một chuẩn trên H.
Vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn.
Đ ịn h lý 1.2 (Đ ẳng th ứ c h ìn h b ìn h h à n h ). Nếu H ỉà không gian tiền
Hilbert thì
\\x + y\\2 + \\x - y\\2 = 2 (\\x\\2 + ịịyịị2')

,

Vx,yeH.

C h ứ n g m in h . Với tùy ỷ x , y £ H , ta có
||z + y\\2 = (x + y ,x + y) = ||a;||2 +

(x,y)

+

\\x - y\\2 = {x - y ,x - y) = Ị|z||2 -

(x , y ) -

(y,x)

+ \\y\\2,

(y , x ) + ||y||2.

(1.1)


11

Cộng hai vế ta được
\x + y\\2 + \\x - y\\2 = 2 (|M I2 + llyll2) , Vx, y G H.
Vậy đẳng thức hình bình hành được chứng minh.

■

C h ú ý 1.1. Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véctơ X —y và
X

— z ta được
2

ị\\x

- y\\2 + \\x - z\\2>j = \\2x - y - z\\2 + IIy - z\\2, \fx, y, z G H.

Hay
2 ( ik - y\\2 + \\x - z \\2) = 4

X —

y+z

+ \ \ y - z \ \ 2, V x , y , z e H .

(Đẳng thức Apollonius)
Đ ịn h lý 1.3 (B ất đ ẳ n g th ứ c S chw arz). Nếu H ỉà không gian tiền
Hilbert thì
1(^5y)\ < \\x\\. ||y ||, Vx, y e H.
Dấu đẳng thức xảy ra khỉ và chỉ khi

X

( 1.2 )

và y phụ thuộc tuyến tính.

C h ứ n g m in h . Nếu (x , y ) = 0 thì bất đẳng thức (1.2) hiển nhiên đúng
Nếu {x, y) ^ 0 thì với VÀ G R ta có
0 < ( x - A (x, y) y, X - A (x, y) y)
= INI2 - A (z, y) (y, x) - X (X, y ) (y , X)+ X2 {X, y) {X, y)\\y\\2
= INI2 - 2X\(x,y)\2 + A2|(x ,y )|2||y||2.
Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với A không âm vớimọi giá trị
A ẽ M.


12

Do đó

\(x,y ) \ 4 - K z , y ) | 2 | | a ; | | 2 | | ỉ / | | 2 < 0
\{x,y)\2 <

||^||2||?/||2

\(x,y)\

< N1 \\y\\ .

Vì vậy
\(x,y)\ < ||z|| . ||z/|| , V x , y e l .
Định lý được chứng minh.
1.1.2. K h ô n g g ian H ilb e rt
Đ ịn h n g h ĩa 1.2. Tập H Ỷ 0 được gọi là không gian Hilbert nếu tập H
thỏa mãn các điều kiện sau:
1) H là không gian tuyến tính;
2) H trang bị một tích vô hướng;
3) H là không gian Banach với chuẩn ||zỊỊ = y / {X, X), Vx £ H.
V í d ụ 1.1.
1) Rn là không gian véctơ thực n chiều, với
Mx

=

( x n) e Mn ,

My

=

{yn)

Ta đặt
n

ix iV) = ^ X i V i .
i=1

(1.3)

Dễ dàng thấy rằng hệ thức (1.3) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng.
Chuẩn sinh bởi tích vô hướng (1.3)
n

||x|| = \ J (X, X) =

\

ỵ 2 x i ’ x = (xn) e R n.
i=1


13

Do vậy, không gian véctơ thực Mn cùng với tích vô hướng (1.3) là một
không gian Hilbert.
2) L 2[a, b] là không gian Hilbert với tích vô hướng được xác định là
6

(x,y) = Ị x ( t ) y ( t ) d t ,

x( t ) , y( t ) e L 2[a,b].

a

3) Xét không gian

oo

f

l2 =< X = (x n) c c \ ^ 2 Ix n\2 < + °°
<
n=1
>
Ta đã biết ỉ2 là không gian Banach với chuẩn
00

A

\

lXn|2’

= M

e

(1.4)

n=1

Nhờ bất đẳng thức Bunhiakowski ta có
00

< Ik irily ir < + 0°, Vx = {xn) e í2,Vy = {yn) e í2.
71—1
00

Dễ dàng kiểm tra rằng (X, y) = Ỵ2 x nVn xác định một tích vô hướng
n= 1
»A cảm oiv,!,
y|h Vậy l72 IX
trong l72 và V
nó
sinh /h
(1.4).
là một không gian Hilbert.
Đ ịn h lý 1.4. Cho H là một không gian Hilbert. Khi đó,

: H x H —>M

là một hàm liên tục.
C h ứ n g m in h . Cho {x n} , {yn} là hai dãy trong không gian tiền Hilbert
H lần lượt hội tụ về x Q,y Q.
Khi đó, ta có:
\(Xn, yn} - (xo,yo}\ < \(Xn,yn) - ( x n, yo} \ + \( x n , y o ) -

( x 0, y 0}\ .

14

Suy ra

I( х п, Уп) - ( хо, Уо) \

<

I( х п,Уп

<

||s„|| • Ь п

-Уо)\ +
-

I( Хп

Уо\\ +

-

х 0 , у 0)\

I\хп - Soll • M l •

Theo giả thiết {ícn} hội tụ trong H nên nó bị chặn,nghĩa là tồn tại số
M > 0 sao cho ||znỊỊ < M,

Vn Ể N.

Vì vậy, ta có:
\(хп,Уп) - (x0, y0) \ < M IIyn - 2/0 II + \\xn - ж0|| • \\Уо\\ ■
Cho n —> oo, theo giả thiết, ta có:
lim I(xn, yn) - (x0, y0) \ = 0.
n—
>00
Hay
lim (x n,yn} = (x0, y0) •
n—
>00
Như vậy, tích vô hướng là một hàm liên tục.

■

Đ ịn h n g h ĩa 1.3. Tập с с H được gọi là một tập lồi nếu
Ух, y G ơ , VA G [0; 1] => \ x + (1 — X) y e C.

V í d ụ 1.2. Trong không gian hữu hạn chiều thì đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác, hình tròn, hình cầu, mặt phẳng, toàn bộ không gian là
những tập lồi.
Đ ịn h n g h ĩa 1.4. Tập

сс

H được gọi là tập đóng nếu mọi dãy {жп} с

С hội tụ tới điểm X thì X £ c . Tức là
{xn} С ơ , n = 0,1, 2 , lim ||æn —æ|| = 0

n—
>OQ

Æe с .


15

V í d ụ 1.3.
1) Trong M, С = [а, 0] là tập đóng.
2) Trong M2, С = { (x,y) G M2| X2 + y2 < 1} là tập đóng.
3) Trong M3, С = { (x, y, z) £ M31X2 + y2 + z 2 < l} là tập đóng.
Đ ịn h n g h ĩa 1.5. Cho tập с с H.
1) Tập С được gọi là nón nếu
Vx G С, VA > о => Aæ g C.
Một nón được gọi là lồi nếu nó là nón và là tập lồi.
2) Nón pháp tuyến ngoài của с tại Ж* là tập
N c (ж*) := {y € H : (y, X - ж*) < о Ух € С} .
Đ ịn h n g h ĩa 1.6. Choс с H là một tập lồi, khác rỗng, hàm F : с —>■H.
1) Miền hữu hiệu của F, kí hiệu là domF, được xác định bởi
domF

{x E С : F (ж) < +oo} .

2) F được gọi là lồi trên с nếu
F (Xx + (1 - Л) у) < ЛF (x) + (1 3) F được gọi là lồi mạnh với hệ số ß

Л)

F ( y ) ,Vx,y e C , A e

> 0 trên c, nếu Vx, y G Ơ,Ằ G

(0; 1), ta có:
F (Xx + (1 - Л) у) < ЛF (x) + (1 - Л) F (у) - л (1 - Л) 011* - у\\2.

[0; 1].


Đ ịn h lý 1.5. Cho c c H là một tập lồi, khác rỗng. Giả sử F : c —»• H
là hàm khả vi. Khi đó, F là hàm lồi khi và chỉ khi
F (x) - F ụ ) > (V F {x')

Va;,x' G c .

1.2. Ánh xạ co và ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert
Đ ịn h n g h ĩa 1.7. Cho c c H, c / 0, ánh xạ T : c —»• c được gọi là
liên tục Lipschitz nếu tồn tại một hằng số L > 0 thỏa mãn
\\T{x) - T(y)\\ < L \\x - y\\ , V x , y e C .
Số L được gọi là hằng số Lipschitz của T.
Nếu L

< 1 thì T là ánh xạ co.

Nếu L

= 1 thì T là ánh xạ không giãn. Tức

là

\\T (x) - T (y)\\ < \\x - y\\ ,V x , y e C .
Đ ịn h n g h ĩa 1.8. Cho c c H, c Ỷ 0, X là một véctơ bất kỳ thuộc H.
Nếu tồn tại y £ c sao cho ||a; —y II := inf ||z —2 II thì ta nói y là hình
z£C
chiếu của X trên c.
Tập tất cả các hình chiếu của

X

trên

c được kí hiệu là Pc ( z ) .

Đ ịn h lý 1.6. Cho c là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian
Hilbert H. Khi đó, với mỗi X G H, tồn tại duy nhất y € c sao cho
||z - y II := inf ||z - z\\ hay p c (x) = {ỵ} .
zeC

C h ứ n g m in h . Đặt d := inf IIX —z II. Theo tính chất cận dưới đúng, ta


Theo (1.1) ta lại có

II®+

y\\2= 2 (|MI2 +

\\x - y\\2-

b l l 2) -

Với Vm, n G N, ta được
II2a:

zm

znII — 2||x

■Zmll

2|ỊÍC

£nỊỊ

\\zm

zn

Suy ra
IIzm - zn\ị2 = 2\\x - zmII2 + 2\\x - zn\\2 - 4
Do tập

X —

c lồi nên
zm ~ị~ zn

e

c

X —

zm ~ị~ zn

> d.

Từ (1.5) và (1.6) suy ra
1

\zm - zn\I < 2\\x - zm\I + 2\\x - znII - 4d .

Cho m, n —»■00 , ta được
Ikm - z „ ||-» 0 =► lim \\zm - zn\\ = 0.
m , n —»00

Như vậy, {zn} là một dãy cơ bản trong không gian Hilbert H.
Suy ra
3y e

c : y = nlim
zn
—>oo

=>• ||x - y II = d.

Hay
|x —y II := inf ||a; —2:II .
Z£C

Ta chứng minh tính duy nhất: Giả sử y,y' €

c thỏa mãn


18

Ta có
\\y - y 'II2 = 2\\x - y\\2 + 2\\x - y'W2 - 4 X < 2d2 + 2d2 - 4d2 = 0.
Suy ra y = y ’.

m

Đ ịn h lý 1.7. Cho tập

c là

tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian

Hilbert H. Khi đó, ta có y = Pc (X) nếu và chỉ nếu
( x - y , z - y } < 0, Mz Đ ịn h lý 1.8. Cho tập

c là

(1.7)

tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian

Hilbert H. Khi đó, ánh xạ Pc '■H —»■c là ánh xạ không giãn, nghĩa là
\\pc {x) - p c {y)\\ < \\x - y\ \, V x , y £ H .
C h ứ n g m in h . Lấy tùy ỷ x , y £ H, theo (1.7) ta có
(Pc ( x ) , z - p c {x)) > (x, z - p c {x) ) , \ / z £ C .

(1.8)

(Pc (y ) , z - p c (y)> > ( y , z - p c (y) ) ,

(1.9)

Và

Vì 2 tùy ý thuộc

c nên ta thay z trong

(1.8) bởi Pc (y ) và thay 2 trong

(1.9) bởi Pc (X) , ta được:
(Pc {x) , p c (y ) - Pc {x)) > (X, p c (y) - p c (aO).
Và
(Pc ( y ) , p c (®) - Pc (y)) > (y, Pc (x) - Pc (y )).

( 1 . 10 )


19

Cộng hai vế của (1.10) và (1.11) ta được:

(Pc {x) - Pc (y ) , Pc {y) - Pc

0*0) > { x - y , Pc {y) - Pc 0*0)

& (Pc ix ) - p c {y) , Pc {x) - Pc (:V)) > ( x - y , Pc (x) - Pc {ỳ)) ■
Hay
\\pc (x) - Pc (y) ll2 < { x - y , Pc (x) - Pc (y)) ■
Dùng bất đẳng thức Schwarz, ta có:

IIp c

(x)

-

pc

(y)||2 <

\\x - y\\ . \\pc (x)

-

p c {y )II •

Suy ra

IIp c

(x) - p c

(y)|| <

\\x -

2/11 .

Định lý được chứng minh.

■

1.3. Sự tồn tại điểm bất động
1.3.1. B ài to á n đ iểm b ấ t đ ộ n g
Đ ịn h n g h ĩa 1.9. Phần tử X* G c trong không gian Hilbert H được gọi
là điểm bất động của ánh x ạ T : c —»■H nếu T x * = X*.
Kí hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là F ix ( T ) .
Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Cho c là tập con lồi
của không gian Hilbert H, T : c ^ H ỉầ một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử X* G c sao cho Tx* = X*.

( 1. 12)

Việc tìm nghiệm của bài toán (1.12) tương đương với việc giải phương
trình toán tử
Tx* — X* = 0.


20

1.3.2. N g u y ên lý á n h x ạ co B a n a c h

Định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất
là nguyên lý ánh xạ co Banach. Nguyên lý đã dựa trên quá trình lặp để
tìm điểm bất động của ánh xạ co và đánh giá được độ chính xác tại mỗi
bước lặp. Trước khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, chúng ta sẽ nhắc
lại một số kiến thức về không gian metric.
Đ ịn h n g h ĩa 1.10. Ta gọi là không gian metric một tập hợp 1 ^ 0 cùng
với ánh xạ d : X X X —>• R thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1) (Va;, y e X ) d (x, y) > 0, d (x, y) = 0

X = y\

2) (Va;, y e X ) d ( x , y ) = d (X, y );
3) (\/x, y ,z e X ) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y ).
Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cáchgiữa
hai phần tử X và y. Các phần tử của X được gọi là các điểm; cấc tiên đề
1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric.
Không gian metric được kí hiệu M = (X , d).
Đ ịn h n g h ĩa 1.11. Cho không gian metrỉc M = ( X, d) dãy điểm {xn} c
X , điểm

Xo

£ X . Dãy điểm {xn} gọi là hội tụ tới điểm

Xo

trong không

gian M khi n —> oo, nếu:
(Ve > 0) ( 3n0 e N *) (Vn > n 0) d ( x n , a:0) < e.

Kỉ hiệu:
lỉm x n = Xq, hay x n —» Xo (n —> 00).

n—>oo

Điểm X q c ò n được g ọ i là gi ới hạn của d ã y { x n } t r o n g k h ô n g gian M.


21

Đ ịn h n g h ĩa 1.12. Cho không gian metric M = (X,d). Dẫy điểm
{zn} c X gọi là dãy cơ bản trong M, nếu:
(Ve > 0) ( 3 n 0 e N *) (Vm, n > 710) , d ( x n, x m) < £.

Hay
lim d ( x n:x m) = 0.

n,m—
>00

Dễ dàng thấy rằng mọi dãy điểm { x n} c X hội tụ trong M đều là dẫy
cơ bản.
Đ ịn h n g h ĩa 1.13. Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian đầy
(đầy đủ), nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.14. ; Cho hai không gian metric Mị = ( X , d 1) , M 2 =
(Y, d2) ■ T là ánh xạ từ không gian Mị vào không gian M 2 gọi là ánh xạ
co, n ế u t ồ n t ạ i s ố k , 0 < k <

1 s a o cho:

d ( Tx , Ty ) < kd ( x , y ) , \/x,y £ X .
Cho X là một tập bất kì và ánh xạ T : X —»• X . Lấy bất kì x ữ e X,
ta định nghĩa dãy { T nx o} bằng quy nạp như sau:
Đặt Xq = T ữx ữ, ta có T x ữ = T (T°xo) , T 2Xq = T [Txo ), ...Cứ tiếp
tục quá trình đó ta được T nx ữ = T (Tn_1x0) . Ta gọi T nx Q là bước lặp
thứ n của T x 0, và tập { T nx 0 : n = 0, 1, 2, ...} là quỹ đạo của x 0 bởi T.
Đ ịn h lý 1.9 (B an ach 1922). Cho (X, d) là một không gian Metric đầy
đủ và T là một ánh xạ co trong X. Khi đó, tồn tại duy nhất X* G X mà
T x * = X*. Ngoài ra, với mọi x 0 E X ta có T nx 0 —>X* khỉ n —> 00 .


22

C h ứ n g m in h . Lấy XQ tùy ý trong X và đặt Xn + 1 = T x n với n = 0, 1,
2 ,...

Do T : X —>X là một ánh xạ co nên tồn tại hằng số k € [0; 1) sao cho
d (T x , T y ) < kd (X, y ) , \/x, y ẽ X .
Ta có
d(

+i) = d ( Txn_u T x n) < kd (xn- i , x n)

d ( x n:x n+1) = d ( T x n_u T x n) < k2d ( x n_ 2 , Xn-i)
<

. . .

< knd (Xq, X i).

Như vậy, ta được
d (xn, x n+ì) < knd (ar0, X i ) .
Lấy m > n, ta có
d (x n, 3?j7í) ^ d (xn, £n-|_i) + ... + d (Xm—1,
< (fcn + kn+ỉ + ... + km~l ) d (x0, Xl)
Hay
d (xn, x m) < kn (l 4- k + ... + km~n~l + ...) d (x0, Xi)
=

k
Y ~ ị ^ d ( x

o ,Z i).

Do đó, {xn} là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ. Suy ra, dãy
x n —>£* € X khi n —»■00 .
Với mỗi n, ta có
0 < d (x*, Tz*) < d (x*, z„) + d (xn,Tx*)
< d { x *5

) + fcd(a; n—1 ) *£*) ■

Vì dãy {xn} hội tụ về I , € X nên d( x*, xn) + A;d (:rn_i, £*) —>■ 0 khi

77, —
>•oo


23

Từ đó 0 < d (ж*, Тж*) < 0, suy ra d (ж*, T x t ) = 0, tức là Tæ* = Æ*. Vậy
ж* là điểm bất động của ánh xạ T.
Nếu còn у* €E X mà Ty* = y* thì ta có
d (ж*,у*) < d (Tx*,Ty*) < kd (z*,y*) .
Vì к < 1 nên d

= 0 và ж* = y*.

Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý được chứngminh. ■
V í d ụ 1.4. Cho ánh xạ T : M —¥ Ш xác định bởi T x — —X + 2. Khiđó,
3
ánh xạ T là ánh xạ co. T hật vậy
Với tùy ý X, у € M, ta có
\Tx - Т у I =

j i + 2 )

■

G y + 2 '

1
Suy ra
\ T ( x ) - T ( y ) \ < k \ x - y\,

Vk €

1 ) С [0; 1).

Do đó, T là ánh xạ co và T có điểm bất động duy nhất

chọn

Xo

I*

= 3 G к . Ta

= 0 G R , dãy {жп} được xác định bằng quy nạp như sau:
Xi

Tx 0

2,

x2

Tx 1

2+ ’

Tx2
Xị

Tx3

2 + 3 + 3 ^ + 3^’

x n — T x n- 1 — 2 + - + — + ...+
ỏ âr

lĩ—2

Qn—1