su dung luong giac chung minh bdt

Sử dụng lượng giác chứng minh BDT
Một số trường hợp thường gặp

 x = sin α
Dạng 1 : Nếu x2 + y2 =1 thì ñặt 
với α ∈ [ 0; 2π ]
 y = cosα
 x = a sin α
Dạng 2 : Nếu x2 + y2 =a2(a>0) thì ñặt 
với α ∈ [ 0; 2π ]
 y = acosα

 −π π 
 x = sin α , α ∈  2 ; 2 
Dạng 3 : Nếu x ≤ 1 thì ñặt 


 x = cosα , α ∈ [ 0; π ]


 −π π 
 x = m sin α , α ∈  2 ; 2 
Dạng 4 : Nếu x ≤ m thì ñặt 


 x = mcosα , α ∈ [ 0; π ]
Dạng 5 :Nếu x ≥ 1 hoặc bài toán có chứa

x 2 − 1 thì ñặt x=

1

 π   3π 
với α ∈  0;  ∪ π ; 
cosα
 2  2 

Dạng 6 :Nếu x ≥ m hoặc bài toán có chứa x 2 − m2 thì ñặt x =

m
 π   3π 
với α ∈ 0;  ∪ π ; 
cosα
 2  2 

Dạng 7 :Nếu bài toán không ràng buộc ñiều kiện biến số và có biểu thức
 −π π 
α ∈
; 
 2 2
Dạng 8 : Nếu bài toán không ràng buộc ñiều kiện biến số và có biểu thức
 −π π 
α ∈
; 
 2 2

I. chứng minh ñẳng thức , bất ñẳng thức
Bài 1:

Chứng minh rằng với mọi số a, b ta ñều có:

−

1
( a + b )(1 − ab )
1
≤
≤
2 (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2

Giải:
ðặt:

a = tgα , b = tgβ với

Khi ñó: A =

 π π
; .
 2 2

α, β ∈  −

( a + b )(1 − ab )
( tg α + tg β )(1 − tg α tg β )
=
(1 + a 2 )(1 + b 2 )
(1 + tg 2 α )(1 + tg 2 β )
= cos2α cos2 β .

sin α sin β 
sin(α + β) 

.1 −

cos α cos β  cos α cos β 

= sin (α + β) . cos (α + β) =

1
sin (2α + 2β)
2

x 2 + 1 thì ñặt

x = tan α với

x 2 + m2 thì ñặt

x = m tan α với


Suy ra:

A =

Vậy:

-

1
1
sin (2α + 2β) ≤

2
2

1
1
( a + b )(1 − ab )
≤
≤
2 (1 + a 2 )(1 + b 2 )
2

(ñpcm).

Bài 2:
Chứng minh rằng nếu |x| < 1 thì với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 ta có:
(1 + x)n + (1 – x)n < 2n

(1)

Giải:
Vì |x| < 1 nên có thể ñặt x = cost với t ∈ (0; π)
và bất ñẳng thức (1) ñược viết thành:
(1 + cos t)n + (1 – cos t)n < 2n

(2)

t

t

Thay trong (2) 1 + cos t = 2cos2 2 và 1 – cost = 2sin2 2 ta ñược

t

2n t
+ sin 2 n  < 2n
2
2

t π
t
t
Bởi vì 0 < 2 <
nên 0 < sin 2 , cos 2 < 1 nên chắc chắn:
2
n
t 
t
2 t 
2n
2
cos 2 =  cos
 < cos 2 ∀n > 1. Tương tự ta có:
2

2n  cos

(3)

t

t
2
sin 2 < sin 2 ∀n > 1. Do ñó
2n




2n  cos

2n

t
t
t
t

+ sin 2 n  < 2n  cos 2 + sin 2  = 2n
2
2
2
2


Vậy bất ñẳng thức (3), cũng có nghĩa là bất ñẳng thức (1) ñược chứng minh.
Bài 3: Chứng minh rằng từ 4 số thực cho trước ta luôn luôn chọn ñược hai số x, y trong 4 số ñó sao cho:
0≤

x−y
≤1

1 + xy

(1)

Giải:
Giả sử 4 số thực cho trước

y1

là a ≤ b ≤ c ≤ d
ðặt a = tgy1, b = tgy2, c = tgy3, d = tgy4 với
-

π
π
< y1 ≤ y2 ≤ y3 ≤ y4 <
< y5 = π + y1
2
2

y2

y3

y4 y5


Các ñiểm y1, y2, y3 chia ñoạn [y1; y1 + π] thành 4 ñoạn [y1; y2], [y2; y3], [y3; y4] , [y4; y5]. Trong số 4 ñoạn
này phải có ít nhất một ñoạn có ñộ dài không lớn hơn
0 ≤ tg (y2 – y1) ≤ 1 ⇔ 0 ≤

π
π
. Giả sử 0 ≤ y2 – y1 ≤ . Thế thì:
4
4

tgy 2 − tgy1
b−a
=
≤ 1
1 + tgy 2 tgy1 1 + ab

ðặt x = b, y = a ta ñược ñiều cần chứng minh.
Bài 4: Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh:

 2 1   2 1  17
x + 2  + y + 2  ≥
y  2
x  

Giải:
Ta có: x + y =

( x ) + ( y ) = 1, theo mệnh ñề IV thì có một số a với
2

2

0 ≤ a ≤ 2π ñể

y = sina.
Bất ñẳng thức ñã cho ñược viết thành:

1   4
1  17

4
+ sin a +
 cos a +
≥
4  
sin 4 a  2
cos a  

cos4a +

Ta có:

1
1
1

4
4
4 
+
sin
a
+

=
(cos
a
+
sin
a)
+
1


cos4 a
sin4 a
 sin 4 a cos4 a 



= (1 – 2sin2acos2a) 1 +
Vì 0 < sin22a ≤ 1 nên 1 -

và 1 +

1
16 
  sin 2 2a 
= 1 −
1+





sin 4 a cos4 a  
2  sin 4 2a 

sin2 2a
1
≥
2
2

16
≥ 17. Từ ñó suy ra ñiều cần chứng minh.
sin 4 2a

Bài 5: Chứng minh với mọi cặp số thực x, y ta luôn có:

(

)

x2 + (x – y)2 ≥ 4 x 2 + y 2 sin2

π
.
10

Giải:
Theo cách tính giá trị biểu thức lượng giác không dùng bảng ta có:
4sin2

π 3− 5

π

= 2 1 − cos  =
.
5
2
10


Bất ñẳng thức ñã cho có thể viết:

x = cosa và


3− 5 


2



x2 + (x – y)2 ≥ (x2 + y2) 

(1)

Nếu y = 0 bất ñẳng thức (1) hiển nhiên ñúng.
Nếu y ≠ 0. Chia hai vế (1) cho y2 và ñặt

– 1)2 ≥

−π
π
x
= tga với
thì bất ñẳng thức có dạng: tg2a + (tga
2
2
y

3− 5
(1 + tg2a)
2
⇔ sin2a + (sina – cosa)2 ≥

3− 5
2

⇔ sin2a + 1 – 2sinacosa ≥

3− 5
2

⇔ cos2a + 2sin2a ≤
⇔

5

2
1

sin 2a ≤ 1
cos 2a +
5
5
2

(2)

2

 1   2 
Bởi vì 
 =1
 +
5
5

 

vì vậy

1
2
π
= cosβ và
= sinβ. Với 0 < β <
2
5
5

Bất ñẳng thức (2) có thể viết là: cos(2a - β) ≤ 1. ðiều này hiển nhiên.
Vậy bất ñẳng thức ñã cho ñúng. (ñpcm)
Bài 6: Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn ñiều kiện
a, b > c > 0 ta có bất ñẳng thức:

c(a − c) + c(b − c) ≤ ab

(1)

Giải:
Vì a > 0, b > 0,

ab > 0 nên bất ñẳng thức (1) tương ñương với
c ( a − c)
c( b − c)
+
≤1
ab
ab
2

2

 c   a −c
 =1
 +
Nhận xét rằng 

 
a

a

 


(2)


Nên ñặt

π
a −c
= sinu với 0 ≤ u ≤
2
a

c
= cosu ,
a
2

2

 c   b − c
 = 1
 + 
Ta cũng thấy 
b
b


  
Nên ñặt

π
b−c
= sinv với 0 ≤ v ≤ .
2
b

c
= cosv ,
b

Khi ñó (2) có thể viết thành

c a−c
+
b
a

c b−c
= cosv sinu + cosusinv ≤ 1
a
b

(3)

Bởi vì cosusinv + sinucosv = sin(u + v) ≤ 1 nên (3) luôn luôn ñúng có nghĩa là (1) ñúng.

[

Bài 7: Chứng minh rằng: 4 a 3 −

] (

)

(1 − a 2 ) 3 − 3 a − 1 − a 2 ≤

Giải:
ðiều kiện: 1 – a2 ≥ 0 ⇔ a ≤ 1
ðặt a = cosα, với α ∈ [0; π]
Khi ñó bất ñẳng thức ñược biến ñổi về dạng:

[

4 cos 3 α −

]

(1 − cos 2 α) 3 - 3(cosα - 1 − cos 2 α ) ≤

⇔ 4(cos3α - sin3α) – 3 (cosα - sinα) ≤
⇔ (4cos3α - 3cosα) + (3sinα - 4sin3α)≤
⇔ cos (3α -

2
2 ⇔cos3α + sin3α≤ 2

π

)≤ 1, luôn ñúng.
2

Bài 8: Chứng minh rằng:

a 2 − 1 + 3 ≤ 2a
Giải:
ðiều kiện:

a2 – 1 ≥ 0 ⇔ a ≥ 1.

ðặt

a =

2

π
1
, với α ∈ [0 ; ).
2
cos α

Khi ñó bất ñẳng thức ñược biến ñổi về dạng:

1
2
2
−
+

≤
⇔
α
+
≤
1
3
tg
3
cos 2 α
cos α
cos α

2


3
1
sinα +
cosα ≤ 1
2
2

⇔ sinα +

3 cosα ≤ 2 ⇔

⇔ sin (α +

π

) ≤ 1, luôn ñúng.
3

Bài 9: Cho x2 + y2 = 1 ; u2 + v2 = 1. Chứng minh
a) xu + yv≤ 1.
b) xv + yu≤ 1.
c) –2 ≤ (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) ≤ 2.
d) –2 ≤ (x + y) (u + v) – (x – y) (u – v) ≤ 2.
Giải:
Áp dụng mệnh ñề IV. ðặt x = cosa ; y = sina ; u = cosb ; v = sinb
và 0 ≤ a, b ≤ 2π. Khi ñó
a) xu + yv=cos(a – b)≤ 1.
b) xv + yu=sin(a + b)≤ 1.
c) (x – y) (u + v) + (x + y) (u – v) = (cos a – sin a) (cos b + sin b) +
+ (cos a + sin a) (cos b – sin b) =
=

π
2 sin  − a  2 sin

4

 π + b +



4

π
π

2 cos  − a  2 cos  + b 


4
4

= 2cos (a + b)
Rõ ràng –2 ≤ 2cos (a + b) ≤ 2.
Bài 10:

(ñpcm)

Chứng minh:
a) (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4)
b) 32(a6 + b6) ≥ (a + b)6
c) (a + b)8 ≤ 64(a8 + b8)

Giải:
a) Với a = 0 bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng. Nếu a ≠ 0 chia hai vế cho a và ñặt tgx =
Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với: (1 + tgx)4 ≤ 8(1 + tg4x)
⇔ (cos x + sin x)4 ≤ 8(cos4x + sin4 x)
Vì sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 – 2sin2x cos2x =
=1-

sin 2 2 x 3 + cos 4 x
=
2
4

(sin x + cosx)4 = (1 + sin2x)2 =

3 + 4 sin 2 x − cos 4 x
2

(1)

π
π
b
với
2
2
a


(1) ⇔ 8(cos4x + sin4x) – (sin x + cos x)4
=

9 5
+ cos4x – 2sin2x ≥ 0.
2 2

ðiều này hiển nhiên vì cos4x ≥ -1 và - sin2x ≥ -2.
b) c) Làm tương tự như a).
Bài 11: Chứng minh rằng

[

a 1 − b 2 + b 1 − a 2 + 3 ab − (1 − a 2 )(1 − b 2 )

]

≤2

Giải:

1 − a 2 ≥ 0
 a ≤ 1
⇔


 b ≤ 1
1 − b 2 ≥ 0

ðiều kiện:

a = sin α
, với α , β ∈ [0; π]

=
β
b
sin


ðặt

Khi ñó bất ñẳng thức ñược biến ñổi về dạng:
sinα . 1 − sin 2 β + sin β. 1 − sin 2 α +

+ 3[sin α. sin β −
⇔ sinα.cosβ + sinβ.cosα +

(1 − sin 2 α )(1 − sin 2 β)

≤2

3 (sinα.sinβ - cosα.cosβ)≤ 2

⇔ sin(α + β) - 3 cos(α + β)≤ 2

1
2

⇔  sin(α + β) -

3
cos(α + β)≤ 1
2

π
3

⇔sin(α + β - )≤ 1 , luôn ñúng.
Bài 12: Cho a1, a2,… a17 là 17 số thực ñôi một khác nhau. Chứng minh rằng ta luôn chọn ñược hai số aj, ai từ 17
số ñó sao cho
0<

a j − ai
1 + a ia j

< 4 − 2 2 −1

Giải:
Không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử a1 < a2 < … < a17
ðặt tgvi = ai với -

π
π
< vi <
i = 1, 2,…, 17
2
2


 π ; π  nên từ a < a < … < a suy ra - π
1
2
17

2
 2 2

Do tính chất ñồng biến của hàm số y = tgx trong khoảng  −

< v1 < v2 < … < v17 <

π
< v1 + π
2

Các ñiểm v2 , v3 , …, v17 chia ñoạn [v1 ; v1 + π] thành 17 ñoạn trong ñó có ít nhất một ñoạn có ñộ dài
không vượt quá

π
.
17

a) Nếu có một i với 1 ≤ i ≤ 16 sao cho 0 < vi+1 – vi ≤

π
17

thì

π
π
π
π
8 =1
< tg . Vì tg =
0 < tg(vi+1 -vi) ≤ tg
4
π
17
16
1 − tg 2
8
2 tg

π
π
π
16 =
suy ra tg = 2 - 1, tg =
π
8
8
1 − tg 2
16
2 tg

2 - 1 ⇒ tg

π
=
16

4 − 2 2 −1

Khi ñó ta có
0 < tg(vi+1 – vi) =

tgv i +1 − tgv i
1 + tgv i +1 tgv i

=

a i +1 − a i
1 + a i a i +1

< 4 − 2 2 −1

Chọn aj = ai+1 ta ñược ñiều cần chứng minh.
b) Nếu 0 < v1 + π - v17 <

π
π
<
thì
17 16

0 < tg [(v1 + π) – v17] = tg(v1 – v17) < tg

π
16

Lúc này ta chọn aj = a1 và ai = a17 ta ñược ñiều cần chứng minh.
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x, y ta ñều có:

1 ( x 2 − y 2 )(1 − x 2 y 2 ) 1
≤
− ≤
4 [(1 + x 2 )(1 + y 2 )]2
4
Giải:
ðặt x = tgu , y = tgv với -

A=

π
π
< u, v <
thì biểu thức
2
2

( x 2 − y 2 )(1 − x 2 y 2 )

[(1 + x 2 )(1 + y 2 )]2

=

( tg 2 u − tg 2 v)(1 − tg 2 utg 2 v)
.
(1 + tg 2 u ) 2 (1 + tg 2 v) 2


sin 2 u sin 2 v 
 sin 2 u sin 2 v  
−
−
1



 cos 2 u cos 2 v   cos 2 u cos 2 v 

= cos4u. cos4v 

= (sin2u cos2v – sin2v cos2u) (cos2u cos2v – sin2u sin2v)
= (sinu cosv + sin v cos u)(sin u cos v – sin v cos u) ×
× (cos u cos v + sin u sin v) (cos u cos v – sin u sin v)
= sin(u + v) sin(u – v) cos(u – v) cos(u + v)

1
sin2(u + v) sin2(u – v)
4
1
1
Suy ra A = sin2(u + v)sin2(u – v) ≤
4
4
−1
1
≤A≤
Tức
4
4
1
Biểu thức A ñạt giá trị lớn nhất bằng khi
4
=

2 ( u + v ) = π
u = π

x = 1
sin 2(u + v) = 1


2
⇔ 
⇔ 
4 ⇔ 

y = 0
sin 2(u − v) = 1
2 ( u − v ) = π
v = 0

2

hoặc

2(u + v) = − π
u = − π

 x = −1
sin 2(u + v) = 1

2
⇔ 
⇔ 
4 ⇔ 

y = 0
sin 2(u − v) = 1
 v = 0
2(u − v) = − π


2

Biểu thức A nhận giá trị nhỏ nhất bằng -

1
khi:
4

2(u + v) = π
u = 0

x = 0
sin 2(u + v) = 1

2
⇔ 
⇔ 

π ⇔ 
y = 1
sin 2(u − v) = −1
2(u − v) = − π
v = 4

2

hoặc

2(u + v) = − π
u = 0


sin 2(u + v) = −1
x = 0

2
Bài 14: Cho các số
⇔ 
⇔ 

−π ⇔ 
y
1
π
=
−
v
=
sin 2(u − v) = 1

2(u − v) =

4

2

thực x, y không ñồng thời bằng 0. Chứng minh rằng

x 2 − ( x − 4 y) 2
−2 2−2≤
≤ 2 2−2

x 2 + 4y 2

(1)


Với các giá trị của x, y như thế nào thì dấu ñẳng thức xảy ra.
Giải:
1) Nếu x = 0 , y ≠ 0 thì − 2 2 − 2 < −4 =

Nếu x ≠ 0, y = 0 thì

x 2 − ( x − 4 y) 2
<2 2−2
x 2 + 4y 2

x 2 − ( x − 4 y) 2
= 0 bất ñẳng thức cũng ñúng.
x 2 + 4y 2

Giả sử x ≠ 0, y ≠ 0 thì (1) tương ñương với
2

2

 x  −  x − 2
  

2y   2y

 ≤ 2 2−2

−2 2−2≤
2
 x  +1
 
 2y 

(2)

x
= tga thì (2) trở thành:
2y

ðặt

tg 2 a − ( tga − 2) 2
≤2 2 -2
-2 2 − 2 ≤
1 + tg 2 a
⇔

- 2 2 - 2 ≤ cos2a [4tga – 4] ≤ 2 2 - 2

(3)

Vì cos2a[4tga – 4] = 4sinacosa – 4cos2a = 2sin2a – 2(1 + cos2a)
= 2(sin2a – cos2a – 1) =2

[



 2a − π  − 1 ∈ − 2 2 − 2; 2 2 − 2
2
sin



4  


nên (3) ñúng, nghĩa là bất ñẳng thức (1) ñúng.
2) Từ các phép biến ñổi trên ñây cho thấy:

π
x
x 2 − ( x − 4 y) 2

= -2 2 - 2 khi sin  2a −  = -1 với tga =
2y
x 2 + 4y 2
4

Vì

-

π
π
− 5π
π 3π
π


⇒
< 2a <
nên sin  2a −  = -1
2
2
4
4 4
4


⇒ 2a-

π −π
x
π
−π
=
⇒a=
⇒
= tg −  = 1 8
4
2
2y
 8

2

⇒ x + 2y( 2 - 1) = 0

x 2 − ( x − 4 y) 2
π

= 2 2 - 2 khi sin  2a −  = 1
Tương tự như trên:
x 2 + 4y 2
4


]


π
π
2
tg
tg
+
3π
x
 3π 
4
8 = 1+ 2 −1 = 2 +1
a=
⇒
= tg   =
8
2y
 8  1 − tg π tg π 1 − ( 2 − 1)

4 8
⇒ x – 2y( 2 + 1) = 0
Bài 15: Chứng minh rằng với các số thực x, y, z tuỳ ý ta có

x−y

≤

1+ x 2 1+ y2

x−z

+

1+ x2 1+ z2

z−y
1 + z2 1 + y2

Giải:
ðặt x = tgα , y = tgβ , z = tgγ với -

π
π
< α, β, γ < .
2
2

Ta có:

x−y
1+ x

2

1+ y

2

=

tgα − tgβ

= cosαcosβ sin α − sin β
cos α cos β
1 + tg α 1 + tg β
2

2

=sinαcosβ - sinβcosα=sin(α - β)
Tương tự ta có:

x−z
1+ x2 1+ z2

= sin(α - γ),

z−y
1 + z2 1 + y2

=sin(γ - β)

Như vậy, chứng minh bất ñẳng thức ñã cho, ñưa về chứng minh bất ñẳng thức:
sin(α - β)≤ sin(α - γ)+ sin(γ - β)
với mọi

(*)

 π; π

 2 2

α, β, γ ∈  −

Ta có sin(u + v)=sinucosv + sinvcosu≤sinucosv+sinvcosu
≤ sinucosv+sinvcosu≤ sinu+ sinv
ðể ý rằng α - β = (α - γ) + (γ - β).
Từ bất ñẳng thức cuối cùng ta suy ra (*). (ðpcm)

Bài 16: Cho các số thực x, y thoả mãn
x2 + y2 = x 1 − y 2 + y 1 − x 2
Chứng minh:

3x + 4y ≤ 5

Giải:
ðiều kiện xác ñịnh: 1 – y2 ≥ 0, 1 – x2 ≥ 0 tương ñương –1 ≤ x, y ≤ 1
Nếu x ∈[-1; 0] hoặc y ∈ [-1; 0] hoặc x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0 bất ñẳng thức hiển nhiên ñúng. Ta chỉ
cần xét 0 < x < 1 và 0 < y < 1.

π
π
<α<
; 0 < β < π.
2
2

ðặt

x = cosα , y = sinβ với -

Từ

x2 + y2 = x 1 − y 2 + y 1 − x 2

Ta có:

cos2α + sin2β = cosα cosβ + sinα sinβ = cos(α - β) ≤ 1

⇒ cos2α ≤ cos2β hoặc sin2β ≤ sin2α

π
π
π
hoặc - < α < 0 và 0 < β < ta có cosα > 0, cosβ > 0.
2
2
2

a) Nếu 0<α,β <

cos2α ≤ cos2β ⇔ cosα ≤ cosβ

3
5

3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 2cosβ + 4sinβ = 5  cos β +
= 5cos(β - ϕ) ≤ 5 trong ñó cosϕ =

b) Nếu 0 < α <

4
sin β 
5


3
.
5

π π
,
< β < π ta có sinα > 0 , sinβ > 0 thì
2 2

sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ sinα
3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα + 4sinα = 5cos(α - ϕ) ≤ 5

c) Nếu -

π
π
<α<0,
< β < π thì sin α < 0 , sinβ > 0.
2
2

sin2β ≤ sin2α ⇔ sinβ ≤ -sinα
3x + 4y = 3cosα + 4sinβ ≤ 3cosα - 4sinα = 5cos(α + ϕ) ≤ 5.

III. Một số bài tập ñề nghị
Bài 1: Cho x2 + y2 = 1 chứng minh

1
≤ x6 + y6 ≤ 1
4

Bài 2: Cho ab + bc + ca = 1 , chứng minh rằng:
4abc = a(1- b2)(1 – c2) + b(1 – c2)(1 – a2) + c(1 – a2)(1 – b2)

Bài 3: Cho 0 ≤ ai ≤ 1 , i = 1, 2, …, n. Chứng minh
(1 + a12)(1 + a22)… (1 + an2) + (1 – a12) (1 – a22)… (1 – an2) ≤ 22

Bài 4: Cho 4 số dương a1, a2, a3, a4 phân biệt. Chứng minh rằng có thể chọn ñược ít nhất 2 trong 4 số ñó sao
cho:
0≤

ai − a j

1 + a i + a j + 2a i a j

<2- 3


Bài 5: Cho x, y thoả mãn 2x + 5y = 7. Chứng minh rằng: x2 + y2 ≥

49
29

Bài 6: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, x và y thoả mãn ax + by = c.
Chứng minh rằng:

x2 + y2 ≥

c2
a 2 + b2

Bài 7: Cho 4a2 + 9b2 = 25. Chứng minh 6a + 12b ≤ 25
Bài 8: Cho x2 + y2 = 1. Chứng minh
16 (x5 + y5) – 20 (x3 + y3) + 5(x + y) ≤

Bài 9: Cho xy + yz + zx = 1. Chứng minh

x
y
z
3 3
+
+

≥
2
1 − x 2 1 − y2 1 − z2
Bài 10: Cho a ≥ 1. Chứng minh
–2 ≤

a2 −1 + 3
≤ 2.
a

2