Chuyen de con lac lo xo

Trường THPT Ngô Sỹ Liên
TỔ LÝ – KĨ THUẬT

-----o0o-----

Giáo viên: Vũ Tiến Thành
Tổ : Vật lí_Kĩ thuật công nghiệp
Email:
Điện thoại: 0977616415

NĂM HỌC 2015 - 2016
1


Mục lục
Mục lục......................................................................................................................................................2

CHUYÊN ĐỀ –BÀI TẬP CON LẮC LÒ XO
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Cấu tạo con lắc lò xo.
Con lắc lò xo là hệ thống gồm một lò xo có độ cứng k, có khối lượng không đáng kể, một đầu
cố định, đầu còn lại gắn với vật nặng có khối lượng m được đặt theo phương ngang hoặc phương thẳng
đứng.
2. Phương trình dao động.
Khi bỏ qua mọi ma sát và biên độ dao động trong giới hạn đàn hồi thì CLLX dao động điều hòa
- Phương trình dao động của con lắc lò xo: x = Acos ( ωt + ϕ ) với ω =

k
m

3. Chu kì, tần số của con lắc lò xo

N
k
2π
m
- Theo định nghĩa: ω =
→T=
và ω = 2πƒ = 2π.
= 2π
t
m
ω
k
- Theo độ biến dạng:
+ Treo vật vào lo xo thẳng đứng: k.∆ℓ = m.g → k → ω, T, ƒ
+ Treo vật vào lò xo đặt trên mặt phẳng nghiêng góc α: k.∆ℓ = mg.sinα → k → ω, T, ƒ.
- Theo sự thay đổi khối lượng:
+ Gắn vật khối lượng m = m1 + m2 → T = T12 + T22
+ Gắn vật khối lượng m = m1 - m2 → T =

T12 − T22

+ Gắn vật khối lượng m = m1m 2 → T = T1T2
4. Năng lượng của con lắc lò xo:
• Động năng:
1
K(A 2 − x 2 )
Wđ = mv 2 =
= W sin 2 ( ωt + ϕ ) ;J
2
2

• Thế năng:

1
1
Wt = kx 2 = Wcos 2 ( ωt + ϕ ) ;J
2
2

Nhận xét: Động năng và thế năng của con lắc lò xo (hay vật
dao động điều hòa) biến thiên điều hòa cùng tần số góc là

ω ' = 2ω , tần số f ' = 2f , chu kì T ' =
• Cơ năng:

T
.
2

1
1
W = Wđ + Wt = mω2 A 2 = kA 2 = hằng số.
2
2

• Vị trí động năng gấp n lần thế năng:
 x = ± A / 1 + n
Wd = nWt => 
v = ± Aω / 1 + 1/ n
Nhận xét:
- Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với bình

phương biên độ dao động.

2


- Cơ năng của con lắc lò xo được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.

5. Chiều dài, độ biến dạng của lò xo
• Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB: ∆l0 =

mg
sinα;
k

(α là góc của mặt phẳng nghiêng so với mặt ngang)
• Chiều dài của lò xo tại VTCB: lCB = l0 + ∆l0
(với ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo)
• Chiều dài lớn nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí thấp nhất):

lmax = l0 + ∆l0 + A = lCB + A

• Chiều dài nhỏ nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí cao nhất):

lmin = l0 + ∆l0 + A = lCB − A ⇒ lCB =

lmax + lmin
l − lmin
;A = max
2
2

• Khi A > ∆l0 (với Ox hướng xuống) xét trong 1 chu kì dao động:

- Thời gian lò xo nén, tương ứng với vật đi trong đoạn [ −∆l0 , −A ]
- Thời gian lò xo dãn, tương ứng với vật đi trong đoạn [ −∆l0 ,A ]

• Khi A < ∆l0 lò xo luôn bị giãn trong quá trình dao động.
6. Lực đàn hồi và lực phục hồi
a. Lực hồi phục (luôn hướng về vị trí cân bằng)
r
r
r
2
- Lực hồi phục F = − kx = ma .
Độ lớn: F = k x = mω x

- Lực hồi phục đạt giá trị cực đại: Fmax = kA (khi vật qua các vị trí biên x = ± A ).

- Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu: Fmin = 0 (khi vật qua VTCB x = 0).
b. Lực đàn hồi (luôn hướng về vị trí lo xo không biến dạng).
- Là lực lò xo tác dụng lên vật hoặc tác dụng lên điểm treo lò xo
Biểu thức: Fdh = − k∆l
Độ lớn: F = k ∆l0 + x
- Lực đàn hồi cực đại là: Fmax = k ( ∆l0 + A ) → l = lMax

- Lực đẩy đàn hồi cực đại là:  Fdh  Max = k ( A − ∆l0 ) → l = lMin
day

- Lực đàn hồi cực tiểu là:
+ Nếu ∆l0 > A thì: Fmin = k ( ∆l0 − A ) → l = lMin

+ Nếu ∆l0 ≤ A thì: Fmin = 0 → l = lcb

II. KIẾN THỨC NÂNG CAO
1. Cắt, ghép lò xo
+ Cắt lò xo: lò xo có độ cứng k0, chiều dài ℓ0 được cắt thành nhiều lò xo thành phần có chiều dài ℓ 1,
ℓ2, …Độ cứng của mỗi phần: k0ℓ0 = k1ℓ1 = k2ℓ2 = …
Hệ quả: Cắt lò xo thành n phần bằng nhau
T0
- Độ cứng mỗi phần k = n.k0
- Chu kì, tần số: T =
↔ f = n f0
n
+ Ghép lò xo:
- Ghép song song: k = k1 + k2 + …→ Độ cứng tăng, chu kì giảm, tần số tăng.

3


1 1
1
=
+
+ .... → Độ cứng giảm, chu kỳ tăng, tần số giảm.
k k1 k 2
Hệ quả: Vật m gắn vào lò xo k1 dao động với chu kì T1, gắn vào lò xo k2 dao động với chu kì T2
- m gắn vào lò xo k1 nối tiếp k2: Tnt = T12 + T22
- Ghép nối tiếp:

- m gắn vào lò xo k1 song song k2:

1
1
1
=
+ 2
2
T//
T1 T2

2. Lò xo đang dao động bị giữ lại một phần.

lgiu

l

O
VTCB

xgiu

A0

+x

+ Độ cứng của hai phần lò xo:
l
l
K giu =
K 0 ; K dđ =
K 0 ; l = l0 + xgiu

lgiu
l − lgiu
2

x

K giu  giu lgiu ÷
2
2
+ ĐLBT cơ năng: K 0 A0
 l
 + K dđ A
=
2
2
2

+ A0: là biên độ ban đầu của hệ
khi lò xo chưa bị giữ.
+ A: là biên độ của hệ sau khi lò
xo bị giữ.
+ xgiu: Là li độ của vật tại thời
điểm lò xo bị giữ lại.
+ lgiu : Là chiều dài phần lò xo bị
giữ lại.
+ l : Là chiều dài cả lò xo ở thời
điểm lò xo bị giữ.
+ K0: Là độ cứng ban đầu của lò
xo khi chưa bị giữ.
+ Kgiu: Là độ cứng của phần lò xo

bị giữ lại.
+ Kdđ: Là độ cứng của phần lò xo
tiếp tục dao động.

3. Điều kiện dao động điều hòa.
- Con lắc lò xo nằm ngang có vật nằm trên:
Điều kiện để vật bên trên nằm yên so với vật bên dưới
µ (m + m0 ) g
Fqtmax ≤ Fms → m0amax ≤ μm0g => A ≤
K
- Con lắc lò xo thẳng đứng có vật nằm trên:
Điều kiện để vật bên trên nằm yên so với vật bên dưới
(m + m0 ) g
Fqtmax ≤ m0g→ m0amax ≤ m0g => A ≤
K
- Con lắc lò xo thẳng đứng gắn trên đế M:
Điều kiện để vật M không bị nhấc bổng
+ Để M bị nhấc bổng khi có lực đàn hồi lò xo kéo lên do bị giãn
+ Fđhcao_nhat ≤ M.g → k(A - ∆ℓ) ≤ M.g (Vì lò xo phải giãn: A > ∆ℓ)
- Hệ gồm lò xo nối với dây không giãn:
Điều kiện hệ dao động điều hòa là dây luôn căng
<=> Lò xo không vị nén
<=> A ≤ ∆l0

4

m

m0

k

m
m0
m

m0
k

k

m

m


4. Con lắc va chạm
- Công thức va chạm: m0 chuyển động v0 đến va chạm vật m
m0 v0
k
+ Mềm (dính nhau): v =
và ω =
m + m0
m + m0
2m 0 v 0

v = m + m

0
+ Đàn hồi xuyên tâm (rời nhau): 

và ω =
 v' = m 0 − m v
0

m0 + m
Con lắc lò xo nằm ngang
- Va chạm tại VTCB: v = vmax = Aω → biên độ
- Va chạm tại vị trí biên: A’ =

m

m0

k
m

v2
A + 2 → biên độ
ω
2

Thả rơi vật
- Tốc độ ngay trước khi va chạm: v = g.t
- Rơi va chạm đàn hồi → VTCB không đổi : v = vmax = Aω → Biên độ
mg
- Rơi va chạm mềm → VTCB thấp hơn ban đầu 1 đoạn x0 = ∆ℓm0 = 0 →
k
A’ =

v2

x + 2 → biên độ
ω
2
0

5. Vật gắn lò xo dẩy vật khác trên mặt ngang.
- Giai đoạn 1: Hai vật cùng dao động điều hòa từ biên về
k
A = ∆ℓ0; ω =
m1 + m 2
- Khi tới vị trí cân bằng thì hai vật bắt đầu rời nhau.
+ Tốc độ của 2 vật ngay trước khi rời nhau: vMax = A.ω = ∆ℓ0.

r
Fñh

r r
F12 F21 VTCB với
m1 m2

•
-A

•
O

•
x

k

m1 + m 2

+ Sau khi rời nhau vật 1 tiếp tục dao động điều hòa: vMax = A’.ω’ = A’

k
=> A’ = ?
m1

+ Sau khi rời nhau vật 2 tiếp tục chuyển động thẳng đều ( nếu có ma sát thì chuyển động chậm dần
đều) với tốc độ ban bầu v0 = vMax
- Khoảng cách khi lò xo dài nhất lần đầu tiên: Vật m1 ở biên dương, vật m1 đi quãng đường A, thời gian
T
T
chuyển động T/4, quãng đường chuyển động m2: v2. → Khoảng cách: v2. - A’.
4
4
- Khoảng cách khi lò xo ngắn nhất lần đầu tiên: Vật m 1 ở biên âm, vật m1 đi quãng đường 3A, thời gian
3T
chuyển động 3T/4, quãng đường chuyển động m2: v2.
4

5


Khong cỏch: v2.

T
+ A.
4

6. Con lc lũ xo trong trng lc l
a. Con lc lũ xo trong thang mỏy
Chu kỡ khụng i ch lm thay i VTCB k l0 = mg '
ur
r
Trong ú g = g + a ( nu g a )
ur
r
g = g - a ( nu g a )

uuu
r
Fh

uur
uur
P ' = mg '

b. Con lc lũ xo trờn ụ tụ hoc quay
- Con lc lũ xo nm ngang t trong ụ tụ i trờn
mt phng nm ngang:
Chu kỡ khụng i ch lm thay i VTCB k l0 = ma
dh
- Con lc lũ xo quay trong mt phng nm ngang
Chu kỡ khụng i ch lm thay i VTCB k l0 = maht k.0 = m2R
- Con lc lũ xo thng ng treo trn ụ tụ trờn ng ngang hoc quay
uuu
r
phng trc ca lũ xo to vi phng thng ng gúc :
Fdh

Chu kỡ khụng i ch lm thay i VTCB
(k l0 ) 2 = ( mg ) 2 + ( Fla ) 2

Fla

VTCB : tan =
P


ur
Ban _ kinh _ quay : R = l.sin = ( l0 + l) .sin
c. Con lc lũ xo trong in trng.
P
Tng t nh con lc lũ xo trong ụ tụ lỳc ny vt chi tỏc dng thờm ca lc l
uur
ur
uur uur
ur q > 0 thỡ F E
U ẹieọn aựp giửừa hai baỷn kim loaùi
Fla = F = qE =>
uur
ur Trongú :E = =
d
Khoaỷng caựch giửừa hai baỷn
q < 0 thỡF E

uuur
F

uur

Fqt



7. Dao ng ca vt sau khi ri khi giỏ chuyn ng.
- Nu giỏ chuyn ng t vi trớ lũ xo khụng bin dng thỡ
quóng ng t lỳc bt u chuyn ng n lỳc giỏ ri khi vt: S = ri
- Nu giỏ bt u chuyn ng t v trớ lũ xo ó dón mt on b thỡ:
m (g a )
S = - b vi ri =
: bin dng khi giỏ ri khi vt.
k
mg
- Li ti thi im giỏ ri khi vt: xri = S - 0 vi 0 =
k
- Tc ca vt ti thi im vt ri khi giỏ : vroi = 2 gS
- Biờn dao ng iu hũa ca vt sau khi ri: A =

6

( xroi ) 2 + vroi


2

v
a

uur
Fqt

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
♦PHẦN 1: CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN CÓ LỜI GIẢI
Dạng 1: Bài toán xác định các đại lượng đặc trưng của con lắc lò xo:
Ví dụ 1: Con lắc lò xo gồm vật có khối lượng m = 200 g và lò xo có độ cứng là k = 50 N/m. Tính chu
kì dao động của con lắc lò xo. Lấy π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc lò xo:

T = 2π

m
0,2
= 2π
= 2π 4.π2 .10 −4 = 2π.2.π.10 −2 = 0,4 ( s )
k
50

Ví dụ 2: Một con lắc lò xo dao động với chu kì là 0,5 s, khối lượng của quả nặng là m = 400 g. Lấy
π2 = 10 . Tính độ cứng của lò xo ?
Hướng dẫn giải:

m
4π2 m 4.10.0,4
2
2 m
Ta có: T = 2π
⇔ T = 4π
⇒k=

=
= 64 ( N/m )
k
k
T2
0,25
Ví dụ 3: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng. Vật có khối lượng m = 200 g. Trong 20 s con lắc
thực hiện được 50 dao động toàn phần. Tính độ cứng của lò xo. Lấy π2 = 10
Hướng dẫn giải:
Chu kì dao động của con lắc lò xo:

T=

t 20
=
= 0,4 ( s )
n 50

Mặt khác:

m
4π2 m 4.10.0,2
2
2 m
T = 2π
⇔ T = 4π
⇒k=
=
= 50 ( N/m )
k

k
T2
0,4 2
Ví dụ 4: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, kích thích cho con lắc dao động theo phương thẳng đứng.
Chu kì và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm, chọn trục Ox thẳng đứng, chiều
dương hướng xuống, gốc tọa độ O tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị trí cân bằng theo

(

chiều dương. Lấy g = 10 m/s

2

) =π

có độ lớn cực tiểu là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:
Tại vị trí cân bằng: mg = k∆l ⇔

2

. Thời gian ngắn nhất kể từ lúc t = 0 đến lực đàn hồi của lò xo

m ∆l
=
k
g

m
∆l

T 2 .g 0,4 2.10
= 2π
⇒ ∆l =
=
= 0,04 ( m ) = 4 ( cm )
k
g
4π2
4.10
A
⇒ x = A − ∆l = 8 − 4 = 4 ( cm ) =
2
⇒ T = 2π

Thời gian ngắn nhất lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương đến lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực
tiểu là:

7


t=

T T T 7T 7.0,4 2,8 28
7
+ + =
=
=
=
= ( s)
4 4 12 12

12
12 120 30

Dạng 2: Bài toán thay đổi chu kì T, tần số f của con lắc lò xo khi thay đổi vật nặng.
♦ Phương pháp:
- Cho một lò xo có độ cứng là k.

m1
m
⇔ T12 = 4π2 1
k
k
m2
m
• Gắn vật m2 vào lò xo k ta được chu kì dao động là: T2 = 2π
⇔ T22 = 4π2 2
k
k
• Gắn vào lò xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng là ( m1 + m 2 ) thì chu kì dao động là:
• Gắn vật m1 vào lò xo k ta được chu kì dao động là: T1 = 2π

m1 + m 2
m 
m
m
 m + m2 
2  m1
⇔ T 2 = 4π 2  1
+ 2 ÷ = 4π 2 1 + 4π 2 2
÷ = 4π 

k
k
k 
k
k


 k
2
2
2
⇒ T = T1 + T2
• Gắn vào lò xo k đồng thời hai vật có tổng khối lượng là ( m1 − m 2 ) với ( m1 > m 2 ) thì chu kì dao
T = 2π

động là:

m1 − m 2
m 
m
m
 m − m2 
2  m1
⇔ T 2 = 4π 2  1
− 2 ÷ = 4π 2 1 − 4 π 2 2
÷ = 4π 
k
k
k 
k

k


 k
2
2
2
⇒ T = T1 − T2
T = 2π

Ví dụ 23: Một lò xo có độ cứng k gắn với vật nặng m 1 có chu kì dao động là T1 = 1,8 s. Nếu gắn lò xo
đó với vật nặng m2 thì chu kì dao động là T2 = 2,4 s. Tìm chu kì dao động khi gắn đồng thời hai vật đó
vào lò xo trên.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức trên:

T 2 = T12 + T22 ⇒ T = T12 + T22 = 1,82 + 2,42 = 3 ( s )

Ví dụ 24: Viên bi có khối lượng m1 gắn vào lò xo k thì hệ dao động với chu kì 0,6 s, viên bi có khối
lượng m2 gắn vào lò xo k thì hệ dao động với chu kì 0,8 s. Nếu gắn cả hai viên bi m 1 và m2 với nhau và
gắn vào lò xo k thì hệ có chu kì dao động là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải: Ta có: T =

T12 + T22 = 0,62 + 0,82 = 1( s )

Ví dụ 25: Cho một con lắc lò xo có độ cứng k và vật nặng có khối lượng m, dao động điều hòa với chu
kì là 1 s. Muốn tần số dao động của con lắc là 0,5 Hz thì khối lượng của vật phải là bao nhiêu ?
Hướng dẫn giải:



1 k
f =
f
m'
f2

2π m
1 1
⇒
=
⇒
m
'
=
m
; Với: f = = = 1( Hz ) và f ' = 0,5 ( Hz )

2
f'
m
f'
T 1
f ' = 1 k

2π m '
8


Vậy: m ' = m

12
= 4m
0,52

Ví dụ 26: Lần lượt treo vật có khối lượng m1 và m2 vào một lò xo có độ cứng 40 N/m và kích thích cho
chúng dao động. Trong cùng một khoảng thời gian nhất định, vật m1 thực hiện được 20 dao động và vật
m2 thực hiện được 10 dao động. Nếu treo cả hai vật vào lò xo trên thì chu kì dao động của hệ bằng

π
( s ) . Khối lượng m1 và m2 lần lượt bằng bao nhiêu ?
2

Hướng dẫn giải:
- Chu kì dao động của hai vật là: T1 =

∆t1
∆t
⇒ ∆t1 = n1T1 ; T2 = 2 ⇒ ∆t 2 = n 2T2
n1
n2

m2
T n
k = n 1 ⇔ m 2 = n1
Theo đề bài, ta suy ra: ∆t1 = ∆t 2 ⇔ n1T1 = n 2T2 ⇔ 2 = 1 ⇔
T1 n 2
m1 n 2
m1 n 2
2π
k

2π

2

m  n   20 
⇒ 2 =  1 ÷ =  ÷ = 4 ⇒ m 2 = 4m1
m1  n 2   10 
2

Mặt khác:

m1
4π 2
4π 2
2 m2
2
2
T = T + T ⇔ T = 4π
+ 4π
⇔T =
( m1 + m 2 ) ⇔ T = 5m1
k
k
k
k
2
π
40. ÷
2
kT

 2  = 0,5 ( kg )
⇒ m1 =
=
2
20π
20π2
⇒ m 2 = 4m1 = 4.0,5 = 2 ( kg )
2

2
1

2
2

2

2

Dạng 3: Viết phương trình dao động của con lắc lò xo.
♦ Phương pháp:
Cách tìm tần số góc:
ω=

2ω
k
= 2πf =
T
m

ω=

v Max
a
= Max
A
A

Cách tìm pha ban đầu:
Phương trình dao động có dạng:

x0
= ±α + k2π
A
Khi : v 0 < 0 => ϕ = α
=> 
Khi : v 0 > 0 => ϕ = −α

ϕ = arccos

Cách tìm biên độ:

L Chiều dài quỹđạo
A= =
2
2
S Quãng đường trong 1 chu kì
A= =
4
4

2
( Fph ) Max = 2W
v
v
a
A = x 2 + 2 = Max = Max2 =
ω
ω
ω
K
K

Ví dụ 5: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo có khối lượng khơng
đáng kể, có độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 5 cm và
thả nhẹ cho vật dao động điều hòa. Chọn trục Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng, chiều
dương là chiều vật bắt đầu chuyển động, gốc thời gian là lúc thả vật. Lấy g = 10 m/s 2. Viết phương
trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:

9


Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )

k
40
=
= 400 = 20 ( rad/s )
m
0,1

Chọn t = 0 lúc x = − A = −5 ( cm ) , khi đó:
− x −5
cosϕ =
=
= −1 ⇒ ϕ = π
A
5
Vậy phương trình dao động của vật là: x = 5cos ( 20t + π ) (cm)
Ta có: ω =

Ví dụ 6: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 400 g, lò xo có khối lượng không đáng kể, có
độ cứng 40 N/m. Kéo vật nặng ra khỏi vị trí cân bằng 4 cm và thả nhẹ. Chọn chiều dương cùng chiều
với chiều kéo vật, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )

k
40
=
= 100 = 10 ( rad/s )
m
0,4
4 = 4cosϕ ⇒ cosϕ = 1 ⇒ ϕ = 0
Chọn t = 0 lúc x = A = 4 (cm), khi đó:
Vậy phương trình dao động của vật là: x = 4cos10t (cm)
Ta có: ω =

Ví dụ 7: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g dao động trên trục Ox với chu kì 0,2 s và
chiều dài quỹ đạo là 40 cm. Viết phương trình dao động của con lắc. Chọn gốc thời gian là lúc con lắc
qua vị trí cân bằng theo chiều âm.

Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )

2π 2π
L 40
=
= 10π ( rad/s ) ; Biên độ dao động: A = =
= 20 ( cm )
T 0,2
2 2
0 = Acosϕ
cosϕ = 0
π
⇔
⇒ϕ=
Chọn t = 0 lúc x = 0 và v < 0, khi đó: 
2
−ωAsin ϕ < 0 sin ϕ > 0
π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 20cos  10πt + ÷ (cm)
2

Ta có: ω =

Ví dụ 8: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào lò xo có khối
lượng không đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc tọa độ tại vị trí cân
bằng, chiều dương từ trên xuống. Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 5 2 cm và
truyền cho nó vận tốc 20π 2 cm/s theo chiều từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hòa với tần số
2 Hz. Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầu dao động. Cho g = 10 m/s 2 = π2. Viết phương trình dao động

của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Ta có: ω = 2πf = 2π.2 = 4π ( rad/s )
Từ công thức liên hệ:

A2 = x 2 +

v
v
2
⇒
A
=
x
+
=
ω2
ω2
2

2

( 5 2)
(

Chọn t = 0 lúc x = 5 2 ( cm ) và v = 20π 2 cm/s

10

2

2

+

(

20π 2

( 4π )

) , khi đó:

2

)

2

= 50 + 50 = 10 ( cm )



2
cosϕ =
5 2 = 10cosϕ
2 ⇒ϕ=−π
⇔


4
−4π.10.sin ϕ = 20π 2
sin ϕ = − 2

2
π

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 10cos  4πt − ÷ (cm)
4

Ví dụ 9: Một lò xo có độ cứng 50 N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào tường, đầu còn lại gắn vào
vật có khối lượng 500 g. Kéo vật ra khỏi vị cân bằng một đoạn x =

3 ( cm ) và truyền cho vật một

vận tốc v = 10 cm/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật.
Hướng dẫn giải:
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Acos ( ωt + ϕ )
Ta có: ω =

k
50
=
= 100 = 10 ( rad/s )
m
0,5

Từ hệ thức độc lập:

( )

2
v2
v2
102
2
A =x + 2 ⇒A= x + 2 =
3 + 2 = 3 + 1 = 2 ( cm )
ω
ω
10
Chọn t = 0 lúc x = 3 ( cm ) và v = 10 cm/s, khi đó:
2

2


3
cosϕ =
 3 = 2cosϕ
2 ⇒ϕ=−π
⇔

6
1
−10.2.sin ϕ = 10 
sin ϕ = −

2
π

5π 


Vậy phương trình dao động của vật là: x = 2cos  10t − ÷ (cm) hoặc: x = 2cos  10t +
÷ (cm)
6
6 


Dạng 4: Bài toán liên quan đến động năng, thế năng của con lắc lò xo.
*Phương pháp:
• Động năng:
1
K(A 2 − x 2 )
Wđ = mv 2 =
= W sin 2 ( ωt + ϕ ) ;J
2
2
• Thế năng:

1
1
Wt = kx 2 = Wcos 2 ( ωt + ϕ ) ;J
2
2

Nhận xét: Động năng và thế năng của con lắc lò xo (hay vật dao động điều hòa) biến thiên điều hòa
cùng tần số góc là ω ' = 2ω , tần số f ' = 2f , chu kì T ' =
• Cơ năng:

T
.
2

1
1
W = Wđ + Wt = mω2 A 2 = kA 2 = hằng số.
2
2
 x = ± A / 1 + n
• Vị trí động năng gấp n lần thế năng: Wd = nWt => 
v = ± Aω / 1 + 1/ n
Nhận xét:
- Cơ năng của con lắc lò xo tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động.
- Cơ năng của con lắc lò xo được bảo toàn nếu bỏ qua mọi ma sát.

11


Ví dụ 10: Một con lắc lò xo có biên độ dao động 5 cm, có tốc độ cực đại là 1 m/s và cơ năng là 1 J.
Tính độ cứng của lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Lưu ý: khi áp dụng các công thức tính động năng, thế năng và cơ năng thì các đại lượng đều đổi về hệ
SI.
Từ công thức tính cơ năng: W =

Từ công thức: v max

f=

1 2
2W
2.1
2
kA ⇒ k = 2 =
=
= 800 ( N/m )
2
−4
−2
2
A
25.10
5.10
(
)

k
kA 2 800.( 5.10
= ωA =
A⇒m= 2 =
m
v max
12

−2

)

2

= 2 ( kg )

1 k
1 800
=
= 3,18 ( Hz )
2π m 2π 2

Ví dụ 11: Một con lắc lò xo có độ cứng 150 N/m và có năng lượng dao động là 0,12 J. Khi con lắc có
li độ 2 cm thì vận tốc của nó là 1 m/s. Tính biên độ và chu kì dao động của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Năng lượng dao động của con lắc chính là cơ năng:

1
2W
2.0,12
W = kA 2 ⇒ A =
=
= 0,04 ( m ) = 4 ( cm )
2
k
150
Từ hệ thức độc lập:

v2
v2
1002
100 50
A = x + 2 ⇒ω=

= 2
=
=
( rad/s ) ≈ 28,87 ( rad/s )
2
2
2
ω
A −x
4 −2
2 3
3
2π 2π π 3
T=
=
=
( s ) ≈ 0,22 ( s )
Chu kì dao động:
ω 50
25
3
2

2

Ví dụ 12: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu
kì 0,2 s và chiều dài quỹ đạo là 40 cm. Tính độ cứng của lò xo và cơ năng của con lắc. Lấy π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:

L 40

=
= 20 ( cm )
2 2
m
4π2 m 4.10.0,05
⇒k=
=
= 50 ( N/m )
Từ công thức tính chu kì: T = 2π
2
k
T2
( 0,2 )
Chiều dài quỹ đạo: L = 2A ⇒ A =

Cơ năng của con lắc: W =

1 2 1
2
kA = .50.( 0,2 ) = 1( J )
2
2

Ví dụ 13: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m và lò xo có khối lượng
không đáng kể, có độ cứng 100 N/m. Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 5 2 cm và
truyền cho nó vận tốc 20π 2 cm/s thì vật dao động điều hòa với tần số 2 Hz. Cho g = 10 m/s 2 = π2
m/s2. Tính khối lượng của vật nặng và cơ năng của con lắc.
Hướng dẫn giải:

1 k

k
100
⇒m= 2 2 =
= 0,625 ( kg ) = 62,5 ( g )
2π m
4π f
4.10.22
mà: ω = 2πf = 2π.2 = 4π ( rad/s )
Từ công thức tính tần số: f =

Từ hệ thức độc lập:

12


A2 = x 2 +

2

(

v
= 5 2
ω2

)

Cơ năng của con lắc: W =

2

+

(

20π 2

( 4π )

2

)

2

= 50 + 50 = 100 ⇒ A = 10 ( cm ) = 0,1( m )

1 2 1
2
kA = .100.( 0,1) = 0,5 ( J )
2
2

Ví dụ 14: Một con lắc lò xo dao động điều hòa. Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối
lượng 100 g. Lấy π2 = 10 . Xác định chu kì và tần số biến thiên tuần hoàn của động năng của con lắc.
Hướng dẫn giải:

m
0,1 2 2
1

= 2π
=
π .0,1 = ( s )
k
36 6
3
1 1
f = = = 3 ( Hz )
Tần số dao động của con lắc:
T 1
3
1
T
1
Vậy:
chu kì dao động của động năng:
T ' = = 3 = ( s)
2 2 6
tần số dao động của động năng: f ' = 2f = 2.3 = 6 ( Hz )
Chu kì dao động của con lắc: T = 2π

Ví dụ 15: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng 50 g. Con lắc lò xo dao động điều hòa
theo phương trình x = Acosωt . Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại
bằng nhau. Lấy π2 = 10 . Tính độ cứng của lò xo.
Hướng dẫn giải:
Trong 1 chu kì có 4 lần động năng và thế năng của vật bằng nhau, do đó khoảng thời gian giữa hai lần
liên tiếp động năng và thế năng của vật lại bằng nhau là

T
.

4

T
⇒ T = 4t = 4.0,05 = 0,2 ( s )
4
m
4π2 .m 4.10.0,05
T
=
2
π
⇒
k
=
=
= 50 ( N/m )
mà:
2
k
T2
( 0,2 )
⇒t=

Dạng 5: Bài toán về độ biến dạng, chiều dài lò xo khi vật dao động.
* Phương pháp:
• Độ biến dạng của lò xo khi vật ở VTCB: ∆l0 =

mg
sinα;
k

(α là góc của mặt phẳng nghiêng so với mặt ngang)
• Chiều dài của lò xo tại VTCB: lCB = l0 + ∆l0
(với ℓ0 là chiều dài tự nhiên của lò xo)
• Chiều dài lớn nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí thấp nhất):

lmax = l0 + ∆l0 + A = lCB + A

• Chiều dài nhỏ nhất của lò xo (ứng với vật ở vị trí cao nhất):

lmin = l0 + ∆l0 + A = lCB − A ⇒ lCB =

lmax + lmin
l − lmin
;A = max
2
2

• Khi A > ∆l0 (với Ox hướng xuống) xét trong 1 chu kì dao động:

- Thời gian lò xo nén, tương ứng với vật đi trong đoạn [ −∆l0 , −A ]
- Thời gian lò xo dãn, tương ứng với vật đi trong đoạn [ −∆l0 ,A ]

• Khi A < ∆l0 lò xo luôn bị giãn trong quá trình dao động.

13


Ví dụ 17: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s, biên độ 6 cm, khi chưa
treo vật lò xo dài 44 cm. Lấy g = π 2 m/s2. Xác định chiều dài cực đại và cực tiểu của lò xo trong quá

trình vật dao động.
Hướng dẫn giải:

2π
2 π 2π
⇒ω=
=
= 5π ( rad/s )
ω
T 0,4
mg g
π2
= 2=
Tại vị trí cân bằng: mg = k∆l ⇒ ∆l =
2 = 0,04 ( m ) = 4 ( cm )
k
ω ( 5π )
Ta có: T =

- Chiều dài cực đại của lò xo: lmax = l0 + ∆l + A = 44 + 4 + 6 = 54 ( cm )

- Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin = l0 + ∆l − A = 44 + 4 − 6 = 42 ( cm )
Ví dụ 18: Một lò xo có độ cứng 25 N/m. Một đầu của lò xo gắn vào điểm O cố định. Treo vào đầu còn
lại của lò xo hai vật có khối lượng là 100 g và 60 g. Tính độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng và
tần số góc của dao động. Lấy g = 10 m/s2.
Hướng dẫn giải:
Tại VTCB: ( m1 + m 2 ) g = k∆l ⇒ ∆l =
Ta có: ω =

(m

1

+ m 2 ) g 0,16.10
=
= 0,064 ( m ) = 6,4 ( cm )
k
25

k
25
5
=
=
= 12,5 ( rad/s )
m1 + m 2
0,16 0,4

Ví dụ 19: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, khi vật ở vị trí cân bằng lò xo giãn 6 cm. Kích thích cho vật
dao động điều hòa thì thấy thời gian lò xo giãn trong một chu kì là 2T/3 (T là chu kì dao động của vật).
Tính độ giãn lớn nhất của lò xo trong quá trình vật dao động.
Hướng dẫn giải:
Giải. Thời gian lò xo giãn trong một chu kì là 2T/3 => Thời gian lò xo nén là T/3
=> ∆l0 = A / 2 = 6=>A = 12cm.
Do đó đọ giãn lớn nhất của lò xo là: ∆lMax = ∆l0 + A = 18cm
Ví dụ 20: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ 8 cm. Trong
một chu kì, tỉ số thời gian dãn và nén của lò xo là 2. Tính tần số dao động của con lắc. Lấy g = π2
m/s2.
Hướng dẫn giải:
∆tdan + ∆tnen = T

Giải: Ta có: 
=>Thời gian lò xo bị nén bằng T/3 => ∆l0 = A / 2 = 4cm
∆tdan = 2∆tnen

Tần số dao động của con lắc:
1
1
1
k
g
f=
=
=
2π m 2π ∆l 2π

π2
= 2,5Hz.
0,04

Ví dụ 21: Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu kia của lò xo
gắn chặt vào tường. Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng kể. Đặt vật thứ hai có
khối lượng m2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm. Khi thả nhẹ chúng
2
ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía. Lấy π =10, khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa
nhau một đoạn là bao nhiêu

Hướng dẫn giải:
Khi thả nhẹ chúng ra, lúc hai vật đến vị trí cân bằng thì chúng có cùng vận tốc:
k
200

.A =
.8 = 40.8 = 16π (cm/s)
v = vmax = ωA =
m1 + m 2
1,25 + 3,75

14


Sau đó, vật m1 dao động với biên độ A1 , m2 chuyển động thảng đều (vì bỏ qua ma sát) ra xa vị trí cân bằng với
vận tốc v = vmax. Khi lò xo dãn cực đại thì độ dãn bằng A1 và áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho hệ hai vật:
1
1
1
W = W1 + W2 => kA 2 = kA12 + m 2 v 2max
2
2
2
m2 2
m2 2
3,75
2
2
2
2
A = A1 +
v max ⇒ A1 = A −
v max = 64.10−4 −
.256π2 .10 −4 => A1 = 4.10-2m = 4cm
k

k
200
T
Quãng đường vật m2 đi được kể từ khi rời vật 1 đến khi vật 1 ở biên ứng với thời gian bằng t = 1 là:
4
m1
1
1, 25
2,5 −1
s = vmaxt = 16π. .2π
= 8π2
= 8π 2 6,25.10−3 = 8π 2
.10 = 2π (cm)
4
k
200
π
Khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là: L = s – A 1 = 2π – 4 (cm)

Dạng 6: Bài toán về lực phục hồi, lực đàn hồi của lò xo.
* Phương pháp:
a. Lực hồi phục (luôn hướng về vị trí cân bằng)
r
r
r
- Lực hồi phục F = − kx = ma .

Độ lớn: F = k x = mω x
2

- Lực hồi phục đạt giá trị cực đại: Fmax = kA (khi vật qua các vị trí biên x = ± A ).

- Lực hồi phục đạt giá trị cực tiểu: Fmin = 0 (khi vật qua VTCB x = 0).
b. Lực đàn hồi (luôn hướng về vị trí lo xo không biến dạng).
- Là lực lò xo tác dụng lên vật hoặc tác dụng lên điểm treo lò xo
Biểu thức: Fdh = − k∆l
Độ lớn: F = k ∆l0 + x
- Lực đàn hồi cực đại là: Fmax = k ( ∆l0 + A ) → l = lMax

- Lực đẩy đàn hồi cực đại là:  Fdh  Max = k ( A − ∆l0 ) → l = lMin
day

- Lực đàn hồi cực tiểu là:
+ Nếu ∆l > A thì: Fmin = k ( ∆l − A ) → l = lMin
+ Nếu ∆l ≤ A thì: Fmin = 0 → l = lcb

Ví dụ 22: Một con lắc lò xo gồm quả nặng có khối lượng 100 g, lò xo có độ cứng là 100 N/m, khối
lượng không đáng kể, treo thẳng đứng. Cho con lắc dao động với biên độ 5 cm. Lấy g = 10 m/s 2 và
π2 = 10 . Xác định tần số và tính lực đàn hồi cực đại và cực tiểu trong quá trình vật dao động.
Hướng dẫn giải:

k
100
ω 10π
=
= 10π ( rad/s ) ; ω = 2πf ⇒ f =
=
= 5 ( Hz )
m
0,1

2π 2 π
mg g
10
1
= 2=
= 0,01( m ) = 1( cm ) < A
Tại VTCB: ∆l =
2 =
k
ω ( 10π )
100
Ta có: ω =

- Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k ( ∆l + A ) = 100 ( 0,01 + 0,05 ) = 6 ( N )

- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin = 0 .
Ví dụ 23: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật m dao động với biên độ 10 cm và tần
số 1 Hz. Tính tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình vật dao
động. Lấy g = 10 m/s2 và π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
Ta có: ω = 2πf = 2π.1 = 2π ( rad/s ) ; ∆l =

mg g
10
= 2=
2 = 0,25 ( m ) = 25 ( cm ) > A
k
ω ( 2π )

- Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k ( ∆l + A ) ; - Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin = k ( ∆l − A )

15


Vậy tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình vật dao động là:

Fmin k ( ∆l + A ) ∆l + A 25 + 10 35 7
=
=
=
=
=
Fmax k ( ∆l − A ) ∆l − A 25 − 10 15 3

Ví dụ 24: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g. Kích thích cho con lắc
dao động theo phương thẳng đứng thì thấy con lắc dao động điều hòa với tần số 2,5 Hz và trong quá
trình vật dao động, chiều dài của lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm. Xác định chiều dài tự nhiên của lò
xo và tính lực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu trong quá trình vật dao động. Lấy g = 10 m/s 2 và
π2 = 10 .
Hướng dẫn giải:
Ta có: ω = 2πf = 2π.2,5 = 5π ( rad/s )
Tại VTCB: ∆l =

mg g
10
1
= 2=
= 0,04 ( m ) = 4 ( cm )
2 =
k

ω ( 5π )
25

Chiều dài của lò xo thay đổi từ 20 cm đến 24 cm tức lmin = 20 ( cm ) và lmax = 24 ( cm )

⇒A=

lmax − lmin 24 − 20
=
= 2 ( cm ) < ∆l
2
2

Mặt khác:

lmax = l0 + ∆l + A ⇒ l0 = lmax − ∆l − A = 24 − 4 − 2 = 18 ( cm )
Hoặc có thể sử dụng công thức lmin rồi suy ra l0
k
2
⇒ k = mω2 = 0,1.( 5π ) = 25 ( N/m )
m
- Lực đàn hồi cực đại: Fmax = k ( ∆l + A ) = 25 ( 0,04 + 0,02 ) = 1,5 ( N )
- Lực đàn hồi cực tiểu: Fmin = k ( ∆l − A ) = 25 ( 0,04 − 0,02 ) = 0,5 ( N )
ω=

Ví dụ 25: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm và độ cứng 100
N/m, vật nặng có khối lượng 400 g. Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 6 cm rồi thả nhẹ

(

cho con lắc dao động điều hòa. Lấy g = π = 10 m/s
2

2

) . Xác định độ lớn của lực đàn hồi của lò xo

khi vật ở vị trí cao nhất và thấp nhất của quỹ đạo.
Hướng dẫn giải:

k
100
100.10
100.π2 10.π
Ta có: ω =
=
=
=
=
= 5π ( rad/s )
m
0,4
4
4
2
mg g
10
1
= 2=
= 0,04 ( m ) = 4 ( cm ) < A

Tại VTCB: ∆l =
2 =
k
ω ( 5π )
25
- Độ biến dạng của lò xo khi vật ở vị trí cao nhất: A − ∆l
Vậy lực đàn hồi của lò xo khi vật ở vị trí cao nhất là:

Fcn = k A − ∆l = 100. 0,06 − 0,04 = 2 ( N )

- Lực đàn hồi của lò xo khi vật ở vị trí thấp nhất:

Ftn = k ( ∆l + A ) = 100 ( 0,04 + 0,06 ) = 10 ( N )

Dạng 7: Bài toán về ghép lò xo.
*Phương pháp:
+ Cắt lò xo: lò xo có độ cứng k0, chiều dài ℓ0 được cắt thành nhiều lò xo thành phần có chiều dài ℓ 1, ℓ2,
…Độ cứng của mỗi phần: k0ℓ0 = k1ℓ1 = k2ℓ2 = …
Hệ quả: Cắt lò xo thành n phần bằng nhau
T0
- Độ cứng mỗi phần k = n.k0
- Chu kì, tần số: T =
↔ f = n f0
n

16


+ Ghép lò xo:
- Ghép song song: k = k1 + k2 + …→ Độ cứng tăng, chu kì giảm, tần số tăng.

1 1
1
+
+ .... → Độ cứng giảm, chu kỳ tăng, tần số giảm.
- Ghép nối tiếp: =
k k1 k 2
Hệ quả: Vật m gắn vào lò xo k1 dao động với chu kì T1, gắn vào lò xo k2 dao động với chu kì T2
- m gắn vào lò xo k1 nối tiếp k2: Tnt = T12 + T22
- m gắn vào lò xo k1 song song k2:

1
1
1
=
+ 2
2
T//
T1 T2

Ví dụ 26: Hai lò xo nhẹ k1, k2 cùng độ dài được treo thẳng đứng đầu trên cố định, đầu dưới có treo các vật m 1
và m2 (m1=4m2) Cho m1 và m2 dao động với biên độ nhỏ theo phương thẳng đứng, khi đó chu kì dao động của
chúng lần lượt là T1 = 0,6s và T2 = 0,4s. Mắc hai lò xo k 1, k2 thành một lò xo dài gấp đôi, đầu trên cố định, đầu
dưới treo vật m2. Tần số dao động của m2 khi đó bằng bao nhiêu

Hướng dẫn giải:
m1
4m2
= 0, 6 s mà m1=4m2  T1 = 2π
= 0, 6 s
* T1 = 2π

k1
k1
* T2 = 2π

m2
= 0, 4 s
k2

(1)
(2)

* Từ (1) và (2) (chia 2 vế và rút gọn )  k2=

9
k1
16

(3)

* Mắc hai lò xo k1, k2 thành một lò xo dài gấp đôi, đầu trên cố định, đầu dưới treo vật m2 thì được một lò xo mới

9
k1
k1.k2
9
16
=
= k1 = 0,36k1 ( công thức ghép nối tiếp lò xo )
có độ cứng là k =
k1 + k2 k + 9 k 25

1
1
16
m2
m2
T = 2π
= 2π
(4)
k
0,36k1
k1.

* Từ (4) và (1)  T=0,5s  Tần số f=2HZ

Ví dụ 27: Hai lò xo có độ cứng lần lượt là k1=100N/m và k2=150N/m. Treo vật khối lượng m=250g
vào hai lò xo ghép song song. Treo vật xuống dưới vị trí cân bằng 1 đoạn 4/ π cm rồi thả nhẹ. Khi vật
qua vị trí cân bằng thì lò xo 2 bị đứt. Vật dao động dưới tác dụng của lò xo 1. Tính biên độ dao động
của con lắc sau khi lò xo 2 đứt
Hướng dẫn giải:
*
O là vị trí cân bằng của hệ 2 lò xo em sẽ tìm được hệ giãn
1cm
O1 là vị trí cân bằng của vật khi chỉ còn k 1 em sẽ tìm được
độ giãn là 2,5cm  OO1 = 1,5cm
x ⊕
k1
k2 k1
*
=

1,5cm

O
O1

Đối với hệ 2 lò xo, kéo m xuống dưới VTCB đoạn 4/ π cm
rôi thả nhẹ thì
A hệ =4/ π cm  Lúc đi qua VTCB O thì vận tốc là v=vhệ max

Ahe .ωhe = Ahe .

17

k1 + k2
= 40 cm / s
m


* Ngay tại vị trí O này k2 đứt, con lắc bây giờ là con lắc mới gồm k 1 và m. Đối với con lắc này VTCB
k
mới là O1 và vật m qua vị trí O có x= +1,5cm với v=40 cm/s tần số góc mới ω1 = 1 = 20 rad / s
m
 Áp dụng công thức độc lập thời gian em sẽ có A1=2,5cm
* Bài mà em hỏi chính là bài trên mà thầy đã giải cho em chỉ thêm 1 ý: tìm lmax
Công thức đây lmax =l01 + ∆l01 +A1 = 30 + 2,5 + 2,5 = 35 cm

Dạng 8. Bài toán lò xo đang dao động bị giữ lại một phần.
*Phương pháp:

lgiu

l

O
VTCB

xgiu

A0

+ Độ cứng của hai phần lò xo:
l
l
K giu =
K 0 ; K dđ =
K 0 ; l = l0 + xgiu
lgiu
l − lgiu
2

x

K giu  giu lgiu ÷
2
2
+ ĐLBT cơ năng: K 0 A0
 l
 + K dđ A
=
2

2
2

+x

+ A0: là biên độ ban đầu của hệ
khi lò xo chưa bị giữ.
+ A: là biên độ của hệ sau khi lò
xo bị giữ.
+ xgiu: Là li độ của vật tại thời
điểm lò xo bị giữ lại.
+ lgiu : Là chiều dài phần lò xo bị
giữ lại.
+ l : Là chiều dài cả lò xo ở thời
điểm lò xo bị giữ.
+ K0: Là độ cứng ban đầu của lò
xo khi chưa bị giữ.
+ Kgiu: Là độ cứng của phần lò xo
bị giữ lại.
+ Kdđ: Là độ cứng của phần lò xo
tiếp tục dao động.

Ví dụ 28: Con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ A. Đúng lúc con lắc qua vị
trí có động năng bằng thế năng và đang giãn thì người ta cố định một điểm chính giữa của lò xo, kết
quả làm con lắc dao động điều hòa với biên độ A’. Hãy lập tỉ lệ giữa biên độ A và biên độ A’.
Hướng dẫn giải:
kx 2 1 kA 2
A 2
Vị trí Wđ = Wt --->
=

-----> x =
2 2
2
2
•
Khi đó độ dài của lò xo ( vật ở M)
O
A 2
l = l0 +
(l0 là độ dài tự nhiên của lò xo)
• •
2
O’ M
l
Vị trí cân bằng mới O’ cách điểm giữ một đoạn 0
2
1
l
A 2
A 2
Tọa độ của điểm M (so với VTCB mới O’): x0 = ( l0 +
)- 0 =
2
2
2
4
2
1 kA
Tại M vật có động năng Wđ =
=> Con lắc lò xo mới có độ cứng k’ = 2k.

2 2
k ' A' 2 k ' x 02 1 kA 2
kA 2
A2
A2
A2
2
Ta có
=
+
------> A’2 = x0 +
=
+
=3
2 2
2
2
2k '
8
4
8

18


A
2 2
8
=
=

A'
3
3
Ví dụ 29: Con lắc lò xo có độ cứng k, chiều dài l , một đầu gắn cố định, một đầu gắn vào vật có khối
l
lượng m. Kích thích cho lò xo dao động điều hoà với biên độ A = trên mặt phẳng ngang không ma
2
sát. Khi lò xo đang dao động và bị dãn cực đại, tiến hành giữ chặt lò xo tại vị trí cách vật 1 đoạn l , khi
đó tốc độ dao động cực đại của vật là bao nhiêu
Hướng dẫn giải:
Khi con lắc đang có chiều dài lò xo cực đại lmax = l + A
Khi lò xo bị chặn cách vật 1 đoạn l đồng nghĩa lò xo bị chặn mất 1/3 chiều dài l. Vậy chiều dài lò xo
chỉ còn 2lmax/3 (do tính chất phân bố đều của độ dãn lò xo)
Hay: lmới = 2l/3 + 2A/3
 Tìm Amới 2 = xmới 2 + ( v/ω)2
Vì vật đang ở vị trí biên ( v = 0 )
 nên biên độ mới Amới = xMAX mới = 2A/3= l / 3
 Theo công thức độ cứng của lò xo k1l1 = k2l2 = ES = không đổi
 Nên độ cứng mới của con lắc là với lmới = 2 lMAX /3 => kmới = 3k/2
km
3k
k
=>Tần số góc mới ωm =
Tốc độ cực đại sau đó v = ωm A m = l
=
m
2m
6m
Ví dụ 30: Một con lắc lò xo có tần số góc riêng ω = 25 rad/s, rơi tự do mà trục lò xo thẳang đứng, vật
nặng bên dưới. Ngay khi con lắc có vận tốc 42cm/s thì đầu trên lò xo bị giữ lại. Tính vận tốc cực đại

của con lắc.
Hướng dẫn giải:
Giải: Khi hệ rơi tự do, lò xo ở trạng thái không bị biến dạng (trạng thái không trọng lượng). Lúc vật
đang có vân tốc v0 = 42 cm/s thì đầu trên lò xo bị giữ lại, vật sẽ dao động quanh VTCB với tần số góc
ω = 25 rad/s; vTCB cách vị trí của vật lúc lò xo được giữ là
mg
x0 = ∆l =
.
k
Vận tốc cực đại của con lắc được xác định theo công thức:
2
mvmax
mv02 k (∆l ) 2
k (∆l ) 2
2
2
v
v
=
+
-----> max = 0 +
2
2
2
m
k
1
mg
g
1000

k
Với ω =
------> = 2 và ∆l =
.= 2 =
(cm)
m
k
ω
ω
ω2
m
g 2
1000 2
k (∆l ) 2
2
2
2
v max
v
) = 422 + 402 = 3364
= 0 +
= v0 + ( ) = 422 + (
ω
25
m
------> vmax = 58 cm/s.
----->

Dạng 9. Bài toán điều kiện dao động điều hòa.
*Phương pháp:

- Con lắc lò xo nằm ngang có vật nằm trên:
Điều kiện để vật bên trên nằm yên so với vật bên dưới
µ (m + m0 ) g
Fqtmax ≤ Fms → m0amax ≤ μm0g => A ≤
K
- Con lắc lò xo thẳng đứng có vật nằm trên:
Điều kiện để vật bên trên nằm yên so với vật bên dưới
(m + m0 ) g
Fqtmax ≤ m0g→ m0amax ≤ m0g => A ≤
K
- Con lắc lò xo thẳng đứng gắn trên đế M:
Điều kiện để vật M không bị nhấc bổng
+ Để M bị nhấc bổng khi có lực đàn hồi lò xo kéo lên do bị giãn
+ Fđhcao_nhat ≤ M.g → k(A - ∆ℓ) ≤ M.g (Vì lò xo phải giãn: A > ∆ℓ)

19

m0

k

m
m0
m

k

m0
k
m

- Hệ gồm lò xo nối với dây không giãn:
Điều kiện hệ dao động điều hòa là dây luôn căng
<=> Lò xo không vị nén
<=> A ≤ ∆l0

m

m
Ví dụ 31: Một vật có khối lượng m = 400g được gắn trên một lò xo dựng thẳng
đứng có độ cứng k = 50 (N/m) đặt m 1 có khối lượng 50 g lên trên m. Kích thích cho
m dao động theo phương thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ qua lực ma sát và lực cản.
Tìm hiên độ dao động lớn nhất của m, để m1 không rời m trong quá trình dao động
(g = 10m/s2)

m1
m

Lời giải
Khi m1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω2x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (amax = ω2 A)
Nếu m1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g
Vậy điều kiện để m1 không rời khỏi m là: amax < g ⇔ ω2A < g ⇒ A<
+ω=

g
ω2

50

10
k
= 125 → A <
→ ω2=
= 0,08 (m) = 8cm
0,4
125
m

→ Amax = 8cm
Ví dụ 32: Một quả cầu có khối lượng M = 0,2kg gắn trên một lò xo nhẹ thẳng đứng có độ cứng 20N/m,
đầu dưới của lò xo gắn với đế có khối lượng M đ. Một vật nhỏ có khối lượng m = 0,1 kg rơi từ độ cao h
= 0,45m xuống va chạm đàn hồi với M. Lấy gia tốc trọng trường g = 10m/s 2. Sau va chạm vật M dao
động điều hòa theo phương thẳng đứng trùng với trục của lò xo. Muốn để không bị nhấc lên thì M đ
không nhỏ hơn
Hướng dẫn giải:
Giải: Gọi O là VTCB .
Vận tốc của m trước khi chạm M: v0 = 2 gh = 18 = 3 2 m/s
Gọi V và v là vận tốc của M và m sau va chạm
x
m
MV + mv = mv0 (1) với v0 = - 3 2 m/s
h
mv02
MV 2
mv 2
+
=
(2)
M

2
2
2
O
2
Từ (1) và (2) V = v0 = - 2 2 m/s----> Vmax = 2 2 m/s
3
Tần số góc của dao động :

20

Mđ


20
k
=
= 10 2 rad/s
0,2
M
Độ nén của lò xo khi vật ở VTCB
mg 0,2.10
∆l =
=
= 0,1m = 10 cm
k
20
V
2 2
Biên độ của dao động: A = max =

= 0,2 m = 20 cm
ω
10 2
Muốn để không bị nhấc lên Fđhmax ≤ gMđ
Fđhmax = k (A - ∆l) = 20.0,1 = 2 N
Fđh max
Do đó Mđ ≥
= 0,2 kg = 200g. Chọn đáp án B
g

ω=

Dạng 10: Bài toán con lắc lò xo va chạm
*Phương pháp:
- Công thức va chạm: m0 chuyển động v0 đến va chạm vật m
m0 v0
k
+ Mềm (dính nhau): v =
và ω =
m + m0
m + m0
2m 0 v 0

v = m + m

0
+ Đàn hồi xuyên tâm (rời nhau): 
và ω =
 v' = m 0 − m v
0


m0 + m
Con lắc lò xo nằm ngang
- Va chạm tại VTCB: v = vmax = Aω → biên độ
- Va chạm tại vị trí biên: A’ =

A2 +

m
k
m

v2
→ biên độ
ω2

Thả rơi vật
- Tốc độ ngay trước khi va chạm: v = g.t
- Rơi va chạm đàn hồi → VTCB không đổi : v = vmax = Aω → Biên độ
mg
- Rơi va chạm mềm → VTCB thấp hơn ban đầu 1 đoạn x0 = ∆ℓm0 = 0 →
k
A’ =

x 02 +

v2
→ biên độ
ω2

Ví dụ 33: Con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng
200 N/m, quả cầu M có khối lượng 1 kg đang dao
động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên
độ 12,5 cm. Khi quả cầu xuống đến vị trí thấp
nhất thì có một vật nhỏ khối lượng 500 g bay theo
phương trục lò xo, từ dưới lên với tốc độ 6 m/s tới
dính chặt vào M. Lấy g = 10 m/s2. Sau va chạm,
hai vật dao động điều hòa. Biên độ dao động của
hệ hai vật sau va chạm là bao nhiêu
Hướng dẫn giải:
♦ Tại vị trí thấp nhất, bào toàn động lượng: m.v =
(M + m).V ⇒ V = 2 (m/s). (Trong đó: v là vận tốc
của vật m trước va chạm, V là vận tốc của hệ 2
vật sau va chạm).

21

m0


M×g
+ A1 = 17,5 (cm).
k
(M + m) × g
= 7, 5 (cm).
♦ Sau khi 2 vật dính vào nhau, hệ có vị trí cân bằng mới nên ta có: ∆l02 =
k
(khoảng cách từ VTCB mới đến chiều dài tự nhiên).
♦ Vị trí thấp nhất của vật cách vị trí cân bằng mới 1 đoạn: x = ∆l − ∆l02 = 17,5 − 7,5 = 10 (cm). (Ly độ
của hệ vật).

♦ Tại vị trí thấp nhất vật M dãn 1 đoạn: ∆l = ∆l01 + A1 =

2

k
V
.
♦ Áp dụng hệ thức độc lập: A 2 = x 2 +  / ÷ = 20 (cm). (với ω/ =
M+m
ω 

Ví dụ 34: Một lò xo có độ cứng k = 16N/m có một đầu được giữ cố định còn đầu kia gắn vào quả cầu
khối lượng M =240 g đang đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. Một viên bi khối lượng m = 10 g bay
với vận tốc vo = 10m/s theo phương ngang đến gắn vào quả cầu và sau đó quả cầu cùng viên bi dao
động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang. Bỏ qua ma sát và sức cản không khí. Tính biên độ dao động
của hệ.
Hướng dẫn giải:
Va cham mềm nên động lượng của hệ 2 vật ( M và m) bảo toàn:
mv0 = (m+M) V.
Suy ra vận tốc của hệ 2 vật ngay lúc va chạm:
mv0
0, 01.10
0,1
=
=
= 0, 4m / s = 40cm / s
v=
(m + M ) 0, 01 + 0, 240 0, 25
Hệ 2 vật dao động với tần số góc mới ω =

k
16
=
= 8rad / s
(m + M )
(0, 01 + 0, 24)

Vì hệ nằm ngang nên biên độ dao động được tính theo công thức: A2 = x 2 +
Vậy biên độ dao động: A = 10cm .

v2
v 2 402
2
=
0
+
=
= 100
ω2
ω 2 16

Ví dụ 35: Một con lắc lò xo dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang với chu kì T = 2π (s), vật
nặng là một quả cầu có khối lượng m 1. Khi lò xo có chiều dài cực đại và vật m 1 có gia tốc – 2 cm/s2 thì
m
một quả cầu có khối lượng m2 = 1 chuyển động dọc theo trục của lò xo đến va chạm đàn hồi xuyên
2
tâm với m1 và có hướng làm cho lò xo bị nén lại. Vận tốc của m 2 trước khi va chạm 3 3 cm/s. Tính
khoảng cách giữa hai vật kể từ lúc va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động lần đầu tiên
Hướng dẫn giải:

2π
Giải: Biên độ dao động ban đầu của vât: amax = ω2A0 ω =
= 1 rad/s ------> A0 = 2cm
T
Vận tốc của hai vật ngay sau khi va chạm là v1 và v2:
m1v1 + m2v2 = m2v0 (1) với v0 = - 3 3 cm/s
m v2
m1v12
m v2
+ 2 2 = 2 0 (2)
2
2
2
2
2v1 + v2 = v0 (1’) ; 2 v12 + v 22 = v0 (2’)
v
v
Từ (1’) và (2’) :v1 = 2 0 = - 2 3 cm/s v2 = - 0 = 3 cm/s.
3
3
v2
Biên độ dao động của m1 sau va chạm: A2 = A02 + . 12 = 0,022 + (0,02 3 )2 = 0,0016 (m2)
ω

22


-----> A = 0,04 m = 4cm. Thời gian từ lúc va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động lần đầu tiên tức
A
T T

T 2π
khi m1 ở vị trí biên âm; ( vật đi từ li độ
đến li độ -A) t =
+ = .=
= 2,1 s
2
12 4
3
3
Quáng đường vật m1 đi được S1 = 1,5A = 6cm
Sau va chạm m2 quay trở lại và đi được quãng đường S2 = v2t = 3 .2,1 = 3,63 cm
Khoảng cách giữa hai vật kể từ lúc va chạm đến khi m1 đổi chiều chuyển động lần đầu tiên là
S = S1 + S2 = 9,63cm. Đáp án C
Ví dụ 36: Con lắc lò xo gồm vật nặng M = 300g, lò xo có độ cứng k = 200N/m, lồng vào một trục
thẳng đứng như hình vẽ. Khi M đang ở vị trí cân bằng thì vật m = 200g từ độ cao h = 3,75cm so với M
rơi tự do, va chạm mềm với M, coi ma sát là không đáng kể, lấy g = 10m/s 2 Sau va chạm hai vật cùng
dao động điều hòa, chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng của hệ, chiều dương như hình vẽ, góc thời gian t
= 0 là lúc va chạm. Lập phương trình dao động của hệ hai vật.
Hướng dẫn giải:
Vận tốc của vật m khi va chạm vào M
m
+
v = 2 gh
h
M
Vận tốc v0 của hệ hai vật sau va chạm:
m 2 gh
(M+m)v0 = mv ---> v0 =
M +m
Khi đó vị trí của hệ hai vật cách vị trí cân bằng của hệ

( M + m) − M
m
g = g = 0,01m = 1cm
x0 = ∆l - ∆l0 =
k
k
v2
Biên độ dao động của hệ: A2 = x02 + 02
ω
200
k
0,12
v2
Với ω =
=
= 20 (rad/s)=> A = x 02 + 02 = 0,012 + 2 = 0,02 m = 2cm
0,5
M +m
20
ω
Phương trình dao động của hệ hai vật x = Acos(20t +ϕ)
π
π
khi t = 0 x = x0 = A/2 -----> cosϕ = 0,5 -----> ϕ = (rad)---> x = 2cos(20t + ) cm.
3
3
Dạng 11: Bài toán vật gắn lò xo dẩy vật khác trên mặt ngang.
* Phương pháp
- Giai đoạn 1: Hai vật cùng dao động điều hòa từ
k

về VTCB với A = ∆ℓ0; ω =
m1 + m 2
- Khi tới vị trí cân bằng thì hai vật bắt đầu rời nhau.

r r r
Fñh F12 F21

biên

m1 m2
•
A

•
O

+ Tốc độ của 2 vật ngay trước khi rời nhau: vMax = A.ω = ∆ℓ0.
+ Sau khi rời nhau vật 1 tiếp tục dao động điều hòa: vMax = A’.ω’ = A’

•
x

k
m1 + m 2
k
=> A’ = ?
m1

+ Sau khi rời nhau vật 2 tiếp tục chuyển động thẳng đều ( nếu có ma sát thì chuyển động chậm dần
đều) với tốc độ ban bầu v0 = vMax

- Khoảng cách khi lò xo dài nhất lần đầu tiên: Vật m1 ở biên dương, vật m1 đi quãng đường A, thời gian
T
T
chuyển động T/4, quãng đường chuyển động m2: v2. → Khoảng cách: v2. - A’.
4
4

23


- Khoảng cách khi lò xo ngắn nhất lần đầu tiên: Vật m 1 ở biên âm, vật m1 đi quãng đường 3A, thời gian
3T
chuyển động 3T/4, quãng đường chuyển động m2: v2.
4
T
→ Khoảng cách: v2. + A’.
4
Ví dụ 37: Một vật có khối lượng m1 = 1,25 kg mắc vào lò xo nhẹ có độ cứng k = 200 N/m, đầu kia của
lò xo gắn chặt vào tường. Vật và lò xo đặt trên mặt phẳng nằm ngang có ma sát không đáng kể. Đặt vật
thứ hai có khối lượng m 2 = 3,75 kg sát với vật thứ nhất rồi đẩy chậm cả hai vật cho lò xo nén lại 8 cm.
2
Khi thả nhẹ chúng ra, lò xo đẩy hai vật chuyển động về một phía. Lấy π =10, khi lò xo giãn cực đại
lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:

Khi thả nhẹ chúng ra, lúc hai vật đến vị trí cân bằng thì chúng có cùng vận tốc:
k
200
.A =
.8 = 40.8 = 16π (cm/s)

m1 + m 2
1, 25 + 3,75

v = vmax = ωA =

Sau đó, vật m1 dao động với biên độ A1 , m2 chuyển động thảng đều (vì bỏ qua ma sát) ra xa vị trí cân
bằng với vận tốc v = vmax. Khi lò xo dãn cực đại thì độ dãn bằng A1 và áp dụng định luật bảo toàn cơ
năng cho hệ hai vật:
W = W1 + W2

→

1 2 1 2 1
kA = kA1 + m 2 v 2max
2
2
2

m2 2
v max
k
m 2
3,75
⇒ A12 = A 2 − 2 v max
= 64.10−4 −
.256π2 .10 −4
k
200
A 2 = A12 +

= 64.10-4 – 48-4 = 16.10-4
→ A1 = 4.10-2m = 4cm
Quãng đường vật m2 đi được kể từ khi rời vật 1 đến khi vật 1 ở biên ứng với thời gian bằng t =
1
4

s = vmaxt = 16π. .2π

T1
là:
4

m1
1, 25
2,5 −1
= 8π 2
= 8π2 6, 25.10−3 = 8π2
.10 = 2π (cm)
k
200
π

Khi lò xo giãn cực đại lần đầu tiên thì hai vật cách xa nhau một đoạn là:
Dạng 12: Bài toán con lắc lò xo trong trường lực lạ
* Phương pháp:
a. Con lắc lò xo trong thang máy
Chu kì không đổi chỉ làm thay đổi VTCB k ∆l0 = mg '
ur
r
Trong đó g’ = g + a ( nếu g ↑↓ a )

ur
r
g’ = g - a ( nếu g ↑↑ a )

L = s – A1 = 2π – 4 (cm)

uuu
r
Fđh

uur
uur
P ' = mg '
b. Con lắc lò xo trên ô tô hoặc quay
- Con lắc lò xo nằm ngang đặt trong ô tô đi trên
mặt phẳng nằm ngang:
Chu kì không đổi chỉ làm thay đổi VTCB k ∆l0 = ma
- Con lắc lò xo quay trong mặt phẳng nằm ngang

24

uuur
Fdh

uur
Fqt


Chu kì khơng đổi chỉ làm thay đổi VTCB k ∆l0 = maht  k.∆ℓ0 = mω2R
- Con lắc lò xo thẳng đứng treo trần ơ tơ trên đường ngang hoặc quay

uuu
r
phương trục của lò xo tạo với phương thẳng đứng góc α:
Fdh
Chu kì khơng đổi chỉ làm thay đổi VTCB
(k ∆l0 ) 2 = ( mg ) 2 + ( Fla ) 2

Fla

VTCB : tan α =
P


ur
 Ban _ kinh _ quay : R = l.sin α = ( l0 + ∆l) .sin α
c. Con lắc lò xo trong điện trường.
P
Tương tự như con lắc lò xo trong ơ tơ lúc này vật chụi tác dụng thêm của lực lạ
uur
ur
uur uur
ur  q > 0 thì Fđ ↑↑ E
U Điện áp giữa hai bản kim loại
Fla = Fđ = qE => 
uur
ur Trongđó :E = =
d
Khoảng cách giữa hai bản
 q < 0 thìFđ ↑↓ E

α

uur
Fqt

Ví dụ 38: Trong thang máy treo một con lắc lò xo có độ cứng 25N/m, vật nặng có khối lượng 400 g.
Khi thang máy đứng n ta cho con lắc dao động điều hồ, chiều dài con lắc thay đổi từ 32cm đến
48cm. Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a =
g/10. Lấy g = π 2 = 10 m/s2. Biên độ dao động của vật trong trường hợp này là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
l −l
48 − 32
= 8cm
Biên độ dao động con lắc A = max min =
2
2
mg 0,4.10
=
= 0,16m = 16cm
Độ biến dạng ở VTCB ∆l =
k
25
Chiều dài ban đầu lmax = l0 + ∆l + A → l0 = lmax − A − ∆l = 48 − 8 − 16 = 24cm
Tại thời điểm mà vật ở vị trí thấp nhất thì cho thang máy đi xuống nhanh dần đều với gia tốc a = g/10
thì con lắc chịu tác dụng lực qn tính Fqt = ma = 0,4.1 = 0,4 N hướng lên. Lực này sẽ gây ra biến dạng
F
0,4
thêm cho vật đoạn x = qt =
= 0,016m = 1,6cm
k

25
Vậy sau đó vật dao động biên độ 8+1,6=9,6cm
Ví dụ 39: Một con lắc lò xo nằm ngang gồm vật nặng khối lượng 100g, tích điện q = 20 µC và lò xo có
độ cứng 10 N/m. Khi vật đang qua vị trí cân bằng với vận tốc 20 3 cm/s theo chiều dương trên mặt
bàn nhẵn cách điện thì xuất hiện tức thời một điện trường đều trong khơng gian xung quanh. Biết điện
trường cùng chiều dương của trục tọa độ và có cường độ E= 10 4V/m. Tính năng lượng dao động của
con lắc sau khi xuất hiện điện trường.
Hướng dẫn giải:
Giải: Tần số góc của dao động riêng của con lắc lò xo ω =

k
m

= 10 rad/s

Vị trí cân bằng mới của con lắc trong điện trường song song với phương ngang của con lắc cách vị
trí cân bằng cũ đoạn
x=

qE
k

= 0, 02m = 2cm
v

2

2
Biên độ dao động mới của con lắc trong điện trường: A= x 2 +
2 = 2 +

ω

Cơ năng W=

1 2
kA = 8.10−3 J → Chọn B.
2

25

(20 3)
2
10

2
= 4cm