SKNN Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác” đầy đủ nhất

Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Các yếu tố hình học là một trong 5 mạch kiến thức quan trọng trong chương
trình toán ở Tiểu học. Việc dạy các yếu tố hình học nhằm trang bị cho học sinh
những kiến thức cơ bản và những kĩ năng cần thiết để giải quyết các bài toán trong
quá trình học cũng như vận dụng vào thực tiễn cuộc sống. Qua việc học các yếu tố
hình học các em sẽ được phát triển tư duy lô gic, bồi dưỡng và phát triển trí tuệ,
rèn luyện phương pháp suy luận và phương pháp giải quyết vấn đề một cách toàn
diện, chính xác góp phần bồi dưỡng những đức tích tốt cho trẻ như: cần cù, chịu
khó, ý thức vượt khó và khả năng suy luận.
Các yếu tố hình học ở lớp 5 được sắp xếp thành một chương riêng. Điều này
giúp học sinh có cách nhìn hệ thống, khái quát hơn về các yếu tố hình học ở Tiểu
học. Học tốt các yếu tố về hình học là nền tảng để học tốt các môn học khác.
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy đặc điểm tâm sinh lí của học sinh tiểu
học còn nặng về trực quan, cụ thể. Vì vậy, với các bài toán hình học nói chung các
em thường chỉ làm tốt các bài toán áp dụng trực tiếp các công thức đã học với yêu
cầu tính toán khi cho các số liệu cụ thể (ví dụ tính diện tích, chu vi hình…biết
chiều dài, chiều rộng…là...cm, dm...). Đối với các bài toán có sử dụng cách biến
đổi công thức, so sánh, tính toán dựa trên các suy luận logic thì học sinh thường

1


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
không hiểu và không làm được. Đây là loại toán trừu tượng, khó đối với cả giáo
viên và học sinh. Trong khi đó, nhiều giáo viên chưa biết cách hướng dẫn, khai
thác hợp lý giúp học sinh dễ tiếp thu. Chính vì vậy, nhiệm vụ của giáo viên là phải
giúp học sinh có một số kĩ năng cần thiết từ vẽ hình chính xác, xác định các yếu tố
hình học, các mối liên hệ, quan hệ giữa các yếu tố đó. Từ đó dựa vào các mối liên

hệ, quan hệ giữa các yếu tố để so sánh, tính toán…tìm ra đáp số bài toán theo yêu
cầu bài toán đặt ra. Qua đó giúp học sinh củng cố nắm chắc kiến thức về hình học,
phát triển tư duy, kĩ năng lập luận, trình bày. Mặt khác nếu các em nắm chắc kiến
thức về hình tam giác còn có tác dụng giúp các em giải các bài toác hình học khác
một cách dễ dàng hơn.
Từ việc xác định vai trò, vị trí nội dung dạy học mạch kiến thức về hình học
cũng như những trăn trở về dạy học dạng toán này, tôi đã chọn đề tài “Một số giải
pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác” để nghiên cứu nhằm góp
phần tìm ra các biện pháp khắc phục khó khăn cho bản thân, đồng nghiệp cũng như
học sinh lớp 5 góp phần nâng cao chất lượng môn toán ở tiểu học.
II. ĐỐI TƯỢNG, THỜI GIAN NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN
CỨU
1. Các giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán hình học.
2. Nghiên cứu trong quá trình dạy học từ tháng 9/ 2014 đến 5/ 2015 và thực
nghiệm 2015 - 2016.
3. Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán hình học liên quan đến tam giác.
III. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.
1. Phát hiện ra những khó khăn, từ đó đề xuất giải pháp để giúp học sinh học
tốt hơn các bài toán về hình học.
2. Đề ra các giải pháp giải các dạng toán hình học liên quan đến tam giác giúp
học sinh tiếp thu tốt kiến thức về hình học. Tổng kết đúc rút kinh nghiệm giúp học
sinh giả tốt các bài toán hình học.
2


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
IV. GIẢ THIẾT KHOA HỌC:
Nếu các giải pháp này được áp dụng có hiệu quả thì sẽ góp phần nâng cao
chất lượng dạy học hình học liên quan đến tam giác ở Tiểu học.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu, đúc rút và vận dụng kinh nghiệm này,
tôi đã sử dụng các phương pháp như sau:
1. Phương pháp quan sát, thực nghiệm
2. Phương pháp tìm tòi, phát hiện
3.Phương pháp suy luận lô gic
4. Phương pháp so sánh, đối chiếu.
VI. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI:
Một số giải pháp giúp giáo viên và học sinh ở trường Tiểu học dạy tốt, học tốt
về hình học góp phần nâng cao chất lượng dạy học, giáo dục trong các nhà trường.

3


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI.

1. Cơ sở lí luận:
Hình học là một trong những mạch kiến thức cấu thành chương trình số học
của bậc học tiểu học. Các yếu tố hình học ở lớp 5 tuy được sắp xếp thành một
chương, nhưng đó không phải là một “phân môn” vì các mạch kiến thức được sắp
xếp xen kẽ nhau, đan xen nhau tạo ra một sự kết hợp hữu cơ và hỗ trợ đắc lực lẫn
nhau trên nền tảng của các kiến thức Số học.
Các em được học các yếu tố hình học từ lớp 1, 2, 3, 4 nhưng đến lớp 5 các em
được học ở mức cao hơn, phát triển và hoàn thiện hơn so với các lớp dưới. Ở lớp 5
các yếu tố hình học có 35 tiết, chiếm 20% tổng thời lượng dạy học Toán 5. Học
xong các yếu tố hình học các em cần đạt được những yêu cầu cơ bản như sau:
Nhận biết được... hình thoi, hình tam giác, hình bình hành, hình thang, hình
hộp chữ nhật, hình lập phương và một số dạng của hình tam giác. Biết tính chu vi
hình tròn, diện tích hình tam giác, hình thoi, hình bình hành, hình thang, hình

tròn... Ngoài ra các em cần biết tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể
tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương. Trong các bài toán về hình học thì các bài
toán liên quan đến kiến thức về hình tam giác có tần suất xuất hiện khá nhiều, có
tính xuyên suốt và có mối quan hệ khá chặt chẽ với kiến thức về hình thang, hình
chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi....vv. Đây cũng là những bài toán
luôn làm khó giáo viên cũng như học sinh kể cả học sinh năng khiếu.
Thông qua dạy các yếu tố hình học giúp các em cũng cố kỹ năng tính toán,
các phép suy luận logic, các phép biến đổi đại số. Phát triển tư duy, khả năng lập
luận cho học sinh. Tạo tiền đề, cơ sở cho học sinh tiếp tục học tốt môn hình học ở
bậc THCS và THPT.
2. Cơ sở thực tiễn:
Trong chương trình môn Toán ở Tiểu học, các bài toán có nội dung hình học
được bắt đầu đưa vào giảng dạy ngay từ lớp 1. Tuy nhiên, ở các lớp 1, 2 học sinh
chỉ mới làm quan ở mức độ đơn giản như: điểm, đoạn thẳng, đường gấp khúc…
Lên lớp 3, 4 các em được học về hình vuông, chữ nhật, tam giác, cách tính chu vi,
diện tích hình vuông, hình chữ nhật.

4


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Lên lớp 5 các em đã được học cách tính chu vi, diện tích hình vuông, hình
chữ nhật, hình tam giác, hình thang, hình thoi, thể tích hình lập phương, hình hộp
chữ nhật và giải quyết các bài toán về tìm số tam giác, hình vuông, hình chữ nhật;
so sánh diện tích, so sánh chiều cao, đáy tam giác; tính chiều cao, đáy tam giác,
cạnh hình hình vuông, hình chữ nhật,… Có thể nói, các bài toán hình học ở lớp 5 là
hết sức đa dạng, mang tính trừu tượng rất cao đặc biệt là các bài toán dành cho học
sinh năng khiếu đòi hỏi học sinh phải có óc tưởng tượng phong phú, tư duy hết sức
linh hoạt mới giải quyết được. Trong khi đó đặc điểm nhận thức của học sinh Tiểu
học đang nặng về tính trực quan, cụ thể, tư duy còn máy móc, rập khuôn. Đây là

một thách thức không nhỏ mà giáo viên, học sinh phải biết cách vượt qua.
Mặt khác, thời lượng dạy học các yếu tố hình học ở bậc tiểu học nói chung và
ở lớp 5 nói riêng còn ít. Nội dung chủ yếu là áp dụng các công thức tính chu vi,
diện tích các hình, qua đó rèn kỹ năng thực hành tính toán cho học sinh. Nội dung
kiến thức chưa có sự liên kết. Kỹ năng vẽ hình của học sinh chưa được quan tâm
đúng mức. Trên thực tế các bài toán bồi dưỡng học sinh năng khiếu thường tập
trung vào các dạng toán liên quan đến hình tam giác. Do đó, nó gây ra không ít khó
khăn cho các em. Chính điều này đặt ra cho người giáo viên trong quá trình dạy
học phải chú ý đến việc củng cố, liên hệ giữa các kiến thức cho các em, tạo hứng
thú và niềm tin cho các em với các nội dung về hình học. Từ ý nghĩa thực tế đó tôi
đã tìm tòi, suy nghĩ và thực nghiệm đề tài này nhằm hạn chế bớt những khó khăn
trên.
II. THỰC TRẠNG DẠY HỌC CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC Ở LỚP 5.
1. Thực trạng

5


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Qua thực tiễn dạy học tôi nhận thấy khi giải các bài toán hình học học sinh
lớp 5 thường gặp một số khó khăn sau đây:
- Không biết cách vẽ hình đúng với giả thiết của bài toán, không biết cách vẽ
đúng, đủ các yếu tố hình học. Ví dụ: Cho tam giác có một góc tù, yêu cầu học sinh
vẽ 3 đường cao tương ứng với 3 đáy thì học sinh thường không vẽ được đủ 3
đường cao hoặc vẽ đủ nhưng vẽ sai 2 đường cao nằm ngoài tam giác đó.
- Chưa biết cách xác định hình trong một khối các hình (Hình A gồm có mấy
hình, đó là những hình nào)
- Chưa biết cách xác định chính xác, đầy đủ các yếu tố hình học (đỉnh, góc,
cạnh đáy, chiều cao, cạnh bên …) của các hình.
- Không xác định được các yếu tố (đỉnh, cạnh đáy, chiều cao...) chung hay

bằng nhau của hình a và hình b để giúp cho việc so sánh hình a và hình b.
- Không xác định được mối liên hệ giữa cạnh, chiều cao của các hình để tính
diện tích hoặc so sánh diện tích giữa các hình đó.
- Khả năng xác định mối liên hệ bắc cầu giữa các đối tượng của học sinh còn hạn
yếu.
- Các em thường máy móc cho rằng đáy là dưới, đỉnh là trên nên không linh
hoạt trong việc xoay hình, chuyển hình, ghép hình tạo thuận lợi cho việc quan sát,
đối chiếu, so sánh.

6


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
- Không xác định được mối liên hệ giữa cạnh, chiều cao của các hình để tính
diện tích hoặc so sánh diện tích, so sánh các cạnh, chiều cao của các hình đó.
- Rất ít em biết triển khai công thức tính diện tích của các hình để có công
thức tính cạnh, chiều cao,...
2. Kết quả điều tra, khảo sát:
Tôi đã tiến hành khảo sát 32 học sinh lớp 5 trong trường với đề bài như sau:
Bài 1. Một hình thang ABCD có tổng hai đáy là 35,75cm. Nếu kéo dài đáy
2

lớn CD thêm một đoạn CE dài 7,2m thì diện tích hình thang tăng thêm 86,4cm .
Tính diện tích hình thang ABCD.
Bài 2. Cho tam giác ABC có diện tích 30 cm2, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho
NA = NC, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho MB = 1/3 BC. Tính diện tích tam giác
BNM.
Kết quả khảo sát bài 1:
Số
Tiến trình bài giải

Tỉ lệ

HS

Số HS Tỉ lệ
sai

đúng
Vẽ đúng hình như ở bài giải

8

25%

24

75%

Biết chiều cao tam giác cũng là chiều cao HT

5

15,6%

27

84,4%

Tính được chiều cao tam giác (hình thang)

5

15,6%

27

84,4%

Tính được diện tích hình thang

5

15,6%

27

84,4%

Giải được toàn bộ bài toán

5

15,6%

27

84,4%
7

Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Kết quả khảo sát bài 2:
Số HS

Tỉ lệ

Số HS

Tỉ lệ

Tiến trình bài giải
đúng
Vẽ đúng hình như ở bài giải

sai

18

56,25%

14

43,75%

16

50%

16

50%

12

37,5%

20

62,5%

10

31,25%

22

62,5%

8

25%

24

75%

BNC

Tính được S

BNC

Tính được S

có giải thích đúng
BNM

Tính được S
BNM

Tính được S

có giải thích đúng

Qua kết quả khảo sát, phân tích số liệu kết hợp theo dõi trong quá trình dạy
học cho thấy:
* Ưu điểm:
- Tất cả các học sinh tham gia khảo sát một cách nghiêm túc.
- Số lượng các em làm đúng bài tập 2 ở một số ý làm tốt.
* Tồn tại:
- Số lượng học sinh làm sai còn nhiều đặc biệt ở bài tập 1.
- Số lượng học sinh làm đúng cả 2 bài không có.
3. Nguyên nhân:
3.1. Đối với giáo viên:
+ Nắm kiến thức chưa được sâu nên truyền tải kiến thức đến các em còn hời
hợt.
8


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác

+ Một số giáo viên dạy ở lớp 1,2,3 gặp nhiều khó khăn đối với các bài tập về
hình tam giác nên khi được dạy lớp 4,5 thì truyện thụ kiến thức chưa được tốt.
3.2. Đối với học sinh:
+ Số học sinh biết vẽ hình còn ít.
+ Số HS biết xác định các yếu tố chung (Hình thang ABCD và hình tam giác
BCE có chung chiều cao) lại càng ít hơn.
+ Khi các em biết vẽ hình, biết xác định các yếu tố chung có liên quan thì các
em đều giải đúng bài toán.
+ Khả năng liên hệ so sánh tương quan tỉ lệ của các em còn yếu.
+ Hs chưa biết từ công thứ ban đầu về tính chu vi, diện tích khai triển các
công thức tính chiều cao, đáy, bán kính, đường kính,...
+ Số học sinh giải đúng toàn bộ bài toán là rất ít và những em giải đúng đều là
học sinh khá - giỏi. Số học sinh giải sai nhiều, trong đó có cả học sinh khá - giỏi.
+ Qua khảo sát còn cho thấy kĩ năng lí luận, giải thích của học sinh còn yếu.
Chứng tỏ các em chưa thật sự nắm chắc vấn đề, nắm bản chất toán học của vấn đề.
III. MỘT SÔ GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Để khắc phục những tồn tại, hạn chế đã nêu ở trên khi dạy học, ôn tập về hình
học tôi đã đưa ra một số giải pháp như sau:
1. Rèn kỹ năng vẽ, xác định các yếu tố hình học cho học sinh.
Trong sách giáo khoa giới thiệu về hình tam giác với 3 góc, 3 đỉnh, 3 cạnh,
cách xác định đương cao tương ứng với cạnh đáy và nhận diện các loại hình tam
giác. Bài này giáo viên cần giúp học sinh:
9


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
+ Nêu được tên các cạnh và các đỉnh của hình tam giác.
+ Nhận biết và ghi nhớ đặc điểm của 3 dạng hình tam giác: tam giác vuôn,
tam giác nhọn, tác giác tù.
+ Bước tiếp theo giáo viên giúp học sinh xác định đáy và đường cao tương

ứng với mỗi đáy. Ở đây giáo viên cần giúp học sinh ghi nhớ đặc điểm là đường cao
bao giờ cũng vuông góc với đáy tương ứng.
Khi giúp học sinh phân biết 3 dạng hình giáo viên cần tiến hành cụ thể và chi
tiết như sau:
1.1. Với tam giác có 3 góc nhọn.
Sau khi quan sát và tiếp thu kiến thức từ giáo viên về đặc điểm của loại hình
tam giác này, giáo viên cần nhấn mạnh giúp học sinh phân biệt loại hình tam giác
này với 2 dạng hình còn lại. Việc phân 3 dạng hình tam giác dựa vào góc của các
hình tam giác, do đó giáo viên cần chỉ ra cho học sinh biết tam giác nhọn có ba góc
nhỏ hơn góc vuông.
Tiếp theo giáo viên cho học sinh xác định được cao và đáy tương ứng. Bằng
cách nêu câu hỏi để học sinh xác định: AH là đường cao tương ứng với đáy BC
như hình vẽ trên bảng. Nếu lấy đáy là AC ta sẽ có đỉnh đối diện với đáy là đỉnh
nào và khi đó ta sẽ có đường cao nào? Tương tự nếu lấy đáy là AB thì học sinh sẽ
xác định đỉnh đối diện với đáy và sẽ xác định đường cao sẽ hạ từ đâu?
Học sinh sẽ suy nghĩ để tìm cách vẽ trong vở hoặc trên bảng lớp với các loại
hình đều có đáy BC, AC, AB như hình vẽ dưới đây:

10


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A

A

H
B

C

H

B

C

A
H

B

C

Ở bậc tiểu học các em thường ghi nhớ máy móc. Khi những hình giống với
những hình đã học thì các em xác định đường cao và đáy tương ứng thì các em xác
định tốt nhưng khi gặp các hình vị trí khác nhau thì học sinh thường lung túng và
làm sai không xác định được. Do đó, giáo viên cần đưa ra 1 số hình tam giác với
các vị trí đáy khác nhau, yêu cầu học sinh vận dụng những điều vừa học xác định
đường cao lần lượt với các đáy AB, AC, BC.
Sau khi đã vẽ xong, giáo viên cùng học sinh thống nhất các đường cao tương
ứng với các đáy như các hình dưới đây:

11


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A
A

B

H

B

B

H
C

C

H

A

C

Cuối cùng giáo viên hỏi: Ba đường cao của tam giác có 3 góc nhọn nằm trong
hay ngoài tam giác?
A

Hình tam giác ABC:
I

K

AH là đường cao ứng với đáy BC
BI là đường cao ứng với đáy AC

CK là đường cao ứng với đáy AB

B

C
H

1.2. Tam giác có 1 góc tù và 2 góc nhọn
Đây là dạng hình tam giác mà ngay cả
A
những học sinh khá giỏi cũng gặp khó khăn
khi vẽ đường cao nêu không có sự hướng
dẫn giúp đỡ của giáo viên. Để giúp các em
kẻ được đường cao trong tam giác thì điều
đầu tiên giáo viên phải cho học sinh xác H
định rõ đâu là đáy và đỉnh đối diện.

B

C

Khi học sinh xác định kĩ được đáy và đỉnh đối diện giáo viên yêu cầu học sinh
kẻ đáy dài về hai bên, sau đó kẻ đường cao AH từ đỉnh A vuông góc xuống BC.
Để rèn luyện kĩ năng vẽ hình, giáo viên nên đưa ra các tam giác với các vị trí
đáy khác nhau và yêu cầu học sinh thực hành kẻ đường cao tương ứng với các đáy.
Nhưng giáo viên vẫn phải lưu ý học sinh thực hiện theo 2 bước:
- Xác định được đỉnh đối diện với đáy và yêu cầu kéo dài đáy sang 2 bên.
- Kẻ đường cao từ đỉnh vuông góc xuống đáy.
Sau khi các em thực hiện xong, đáp án đúng sẽ là:

12


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A

C

C
H
H

H
B

C

Đáy BC, đường cao AH

B
A
Đáy AB, đường cao CH

B
A
Đáy AC, đường cao BH

Để khắc sâu kiến thức cho học sinh, giáo viên nên đưa ra câu hỏi để nhận thấy sự
khác nhau giữa các đường cao trong tam giác tù bằng câu hỏi: Em có nhận xét gì về 3
đường cao trong tam giác có 1 góc tù, 2 góc nhọn? (Tam giác tù có 2 đường cao ngoài

của tam giác và 1 đường cao trong tam giác).
Đây là dạng tam giác khó nhất trong 3 dạng tam giác. Đường cao ngoài của
tam giác tương đối khó với học sinh tiểu học. Tuy nhiên chúng ta cũng cần phải
giúp các em tiếp cận, làm quen với những dạng toán này để hiểu rõ bản chất của nó
từ đó giúp các em học tốt các bài tập ở chương trình cao hơn. Trong sách giáo
khoa cũng đã thể hiện rất rõ dụng ý này. Như ở bài học 2, tiết 93 phần ôn tập luyện tập: Để tính được diện tích hình tam giác BEC học sinh buộc phải dùng
đường cao ngoài tam giác từ đỉnh B xuống đáy EC, đó chính là đường cao hình
thang ABCD (trang 95). Điều này sẽ thật sự có ích không những ở học sinh yếu
kém mà nó đặc biệt quan trọng cho học sinh khá giỏi vì đây là tiền đề, là cơ sở cho
các em học tốt hơn môn hình học ở lớp trên. Hiện nay ở các đề thi học sinh năng
khiếu bậc tiểu học không bao giờ vắng bóng bài toán có nội dung hình học cần sử
dụng đường cao ngoài tam giác.
M

Hình tam giác MNP:
H

ME là đường cao ứng với đáy PN
P

E

NH là đường cao ứng với đáy MP
PG là đường cao ứng với đáy MN

N
G

1.3. Tam giác có 1 góc vuông và 2 góc nhọn:
Trong sách giáo khoa chỉ giới thiệu AB là đường cao ứng với đáy BC còn ở

bài tập 2 chỉ yêu cầu học sinh xác định đường cao trong tam giác thì giáo viên cho
học sinh quan sát và khẳng định thêm:
- Nếu xem BC là đáy thì AB là đường cao
- Nếu xem AB là đáy thì BC là đường cao
13


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Sau khi học sinh nhận biết được đáy, chiều cao của loại tam giác này, giáo viên
lại cho học sinh xác định với các tam giác có vị trí đáy khác nhau. Đáp án cuối cùng
là:
C
B
C
A
K
A

B

A

C

B
Đáy AB, đường cao
Đáy BC, đường cao
Đáy AC, đường cao
BC
AB

BKBBK
Nhận xét về các đường trong tam giác vuông: 2 cạnh vuông góc với nhau
chính là 2 đường cao tương ứng với đáy và 1 đường cao nữa nằm trong tam giác
Tiếp theo để giúp HS hình thành kỹ năng này tôi cho HS làm các bài tập
như sau:
Bài 1. Cho giác ABC (hình vẽ dưới), viết tên các đỉnh, các góc, các chiều cao
và cạnh đáy tương ứng có trong tam giác đó.
A

B
C
Bài 2. Chỉ ra đáy và chiều cao tương ứng của mỗi hình tam giác sau:
A
C
B

B
C
A
B
A
C
Bài 3. Vẽ chiều cao tương ứng với các đáy AB (H1), đáy BC (H2), đáy AB
(H3)
A

B

H1
B

C

H2
C

A

H3
C

A

B
14


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Rút ra kiến thức cần nhớ:
* Nhận diện hình.
- Mỗi tam giác có 3 đỉnh, 3 góc, 3 cạnh và có 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh
- Có thể phân loại như sau:
+ Tam giác có 3 góc nhọn (H1). Cả 3 đường cao đều nằm trong tam giác.
+ Tam giác có 2 góc nhọn, 1 góc vuông (H2). Có 2 đường cao trùng với 2
cạnh góc vuông của tam giác.
+ Tam giác có 2 góc nhọn, 1 góc tù (H3). Có 1 đường cao nằm trong tam
giác, 2 đường cao nằm ngoài tam giác.
* Công thức tính diện tích tam giác.
+ Công thức tính diện tích tam giác: S = a x h : 2 (đáy và chiều cao phải cùng
đơn vị đo)

+ Từ công thức tính diện tích suy ra: a = S x 2 : h ; h = S x 2 : a
+ Trong đó S là diện tích tam giác, a là đáy, h là chiều cao.
+ Công thức tính diện tích hình thang: S = (a + b) x h : 2
+ Suy ra được: (a + b) = S x 2 : h
h = S x 2 : (a + b)
2. Rèn kỹ năng xác định các yếu tố chung hoặc bằng nhau của các hình.
Đối với dạng bài tập này tôi thường cho học sinh làm bài tập đơn giản là xác
định số đoạn thẳng trên một đường thẳng.
Ví dụ 1: Cho 5 điểm thẳng hàng. Hỏi khi nối tất cả các điểm đó với nhau thì
được bao nhiêu đoạn thẳng ?
Bài làm:
Theo đề bài, ta có hình vẽ dưới đây.
A
B
C
D
E
Nối A với B ta được một đoạn thẳng.
Nối A với C ta được một đoạn thẳng.
......
Như vậy, cứ nói mỗi điểm với một điểm khác ta được một đoạn thẳng.
Điểm A có thể nói với 4 điểm còn lại (5 - 1 = 4) thì được 4 đoạn thẳng.
Điểm B nối với 3 điểm còn lại ta được 3 đoạn thẳng.
Điểm C nối với 2 điểm còn lại ta được 2 đoạn thẳng.
Điểm D nối với 1 điểm còn lại ta được 1 đoạn thẳng.
Vậy tổng số đoạn thẳng là:
4 + 3 + 2 + 1 = 10 (đoạn thẳng)

15

Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Nhận xét: Như thế, ta đã thay việc đếm các đoạn thẳng bằng việc tính tổng
(số lượng) của 4 số tự nhiên liên tiếp, trong đó số nhỏ nhất là 1. Số lượng số tự
nhiên (trong tổng) kém số lượng số điểm đã cho là 1.
Từ ví dụ 1 đã hướng dẫn học sinh tôi cho học sinh bài tập xác định số hình
tam giác.
Ví dụ 2: Hãy đếm xem ở hình bên có bao nhiêu hình tam giác ?
A

B

AC

D

E

G

H

Nhận xét:
- Tất cả các hình tam giác đều có chung đỉnh A
- Có 6 điểm thẳng hàng với nhau là: A, B, C, D, E, G, H
- Một đoạn thẳng có được từ 6 điểm đều là đáy của hình tam giác. Vì vậy số
hình tam giác có ở hình chính bằng số đoạn thẳng đếm được.
Lập luận như ví dụ 1 ta có số hình tam giác là:
5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 (hình tam giác)
Từ việc hướng dẫn học sinh đếm số hình tam giác ở ví dụ 2 thì học sinh làm

các bài tâp về yếu tố chung đỉnh dễ dàng hơn nhiều.
Ta có 2 trường hợp về hình tam giác có chung một đỉnh.
Trường hợp 1. Đường cao của nhiều hình tam giác có chung một đỉnh
* Hình (1) gồm 3 tam giác chung đỉnh A: ABC, ACD và ABD đều có chung
đường cao AH.
* Hình (2) gồm 6 tam giác chung đỉnh A: ABM, AMN, ANC, ABN, AMC và
ABC đều có chung đường cao AH.

A

B

H

A

D

B

C

M H
N
Hình ( 1)
Hình ( 2)
* Hình (3) gồm 3 tam giác vuông chung đỉnh A: ABC, ABD, ABK và 1 tam
giác có một góc tù ADC có chung đường cao AB (là một cạnh của góc vuông đỉnh
B).

C

16


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
* Hình (4) gồm 3 tam giác có một góc tù chung đỉnh A: ABD, ADC và ABC
có chung đường cao AH (nằm ngoài các tam giác đó).
A

B

A

K

D

C

H

D

B

Hình (3)

C

Hình (4)

Trường hợp 2. Đường cao của nhiều hình tam giác không chung đỉnh.
Ở hình (1) và hình (2) thì các tam giác không có chung đỉnh nhưng dựa vào
đặc điểm của hình vuông và hình thang thì học sinh sẽ xác định được tam giác có
đường cao bằng nhau.
Hình 1 có tam giác DMC và DNC có đường cao MH và MK bằng nhau.
Hình 2 tam giác ABM, MEN, NCD có các đường cao BH, EK, CI và bằng
chiều cao của hình thang.
A

D

M

N

B

H

K

C

Hình (1)

A

B

E

C

H M

K

N I

D

Hình (2)

Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy hầu hết các em còn lúng túng trong việc
đặt thước ê - kê để vẽ đường cao. Do đó, chúng ta cần mô tả ê - ke cho học sinh
biết rõ đâu là góc vuông, đâu là cạnh góc vuông của ê - kê. Khi vẽ đường cao trong
tam giác cần hướng dẫn học sinh đặt ê - ke vào hình vẽ sao cho một cạnh góc
vuông của ê - ke trùng với cạnh đáy của tam giác, cạnh góc vuông còn lại đi qua
đỉnh của tam giác. Bằng việc mô tả bằng lời nói kết hợp với sử dụng đồ dùng dạy
học giáo viên thực hiện cho học sinh quan sát sẽ giúp các em vẽ đúng đường cao
trong hình tam giác.

17


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
Để học sinh có kỹ năng tính, so sánh diện tích các hình tôi yêu cầu các em
làm các bài tập sau đây:

Bài 1. a) Tính số hình tam giác có trong hình dưới đây?
b) AH là chiều cao của những tam giác nào?
A

C

D

H

B

Sau khi giúp HS làm được, hiểu được bài toán trên, yêu cầu các em làm bài
tương tự nhưng ở mức khó hơn.
Bài 2. Em hãy cho biết AH là cạnh chung của những tam giác nào?
Bài làm
HS sẽ biết được AH là cạnh chung của những tam giác sau: ABH, ADH,
ACH
A

B

H

D

C

Bài 3. a) AD là chiều cao của những hình tam giác nào ?
b) Những hình tam giác nào chung cạnh DM?

c) Những hình nào chung cạnh CM ?
M
B
A

D

C
Giải:
a) AD là chiều cao chung của các tam giác ACD, DMC, ADM, ABC, AMC,
MBC hình thang AMCD và BMDC.
b) Các tam giác AMD và CMD có chung cạnh DM
c) Các hình sau: MBC, MDC, MCO, AMCD có chung cạnh CM.
Bài 4. Cho tam giác ABC có diện tích 72 cm 2, M là điểm giữa của BC. Nối A
với M. Trên đoạn AM lấy các điểm N, D, E sao cho AN = ND = DE = EM. Nối
N,D,E với B và C.
a) Tìm các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh A?
18


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
b) Tìm các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh C?
c) Tính diện tích tam giác ABN.
Bài làm
a) Các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh A gồm:
ABN = NBD = DBE = EBM = ECM = ECD = DCN = NCA (chung chiều
cao, đáy bằng nhau)
- ABN = NBE = DEM = ACD= NCE = ACD (chung chiều cao, đáy bằng
nhau)
- ABE = NBM = ACE = NCM ; ABM = ACM (chung chiều cao, đáy bằng

nhau)
b) Các tam giác có diện tích bằng nhau có chung đỉnh C gồm:
- ECM = ECD = DCN = NCA (chung chiều cao, đáy bằng nhau)
- ACD = NCE = DCM (chung chiều cao, đáy bằng nhau)
- ACE = NCM (chung chiều cao, đáy bằng nhau)
A

N
D
E

C
B
M

c) Diện tích tam giác ABN bằng một phần từ diện tích tam giác ABM (chung
chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AM; AN bằng một phần tư AM).
Diện tích tam giác ABM lại bằng một phần hai diện tích tam giác ABC
(chung chiều cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC; BM = CM)
Vậy Diện tích tam giác ABN bằng một phần tám Diện tích tam giác ABC.
Diện tích tam giác ABN là:
72 : 8 = 9 (cm 2)
Đáp số: 9 cm2
Bài tập 5. Cho hình thanh ABCD. Nối A với C, B với D. So sánh SADC và
SBDC

19


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác

Hai tam giác SADC và SBDC có chung
B
A
đáy DC. Vì ABCD là hình thang nên
đường cao AH = BK.
Suy ra SADC = SBDC
D

H

K

C

Một số bài tập vận dụng.
Bài 1. Cho hình vẽ sau:
a. Nêu tên những tam giác có chung
chiều cao BG.
b. Nêu tên những tam giác có chung
chiều cao DH.
c. Nêu tên các tam giác có chung cạnh
đáy AC.

B

A
H
E
G

C

D

Bài 2. Hình chữ nhật ABCD. E là trung điểm của DC, H là trung điểm của
BC. So sánh SHDC và SADE
Bài 3. Hình chữ nhật ABCD. E là trung điểm của DC, H là trung điểm của
BC. So sánh SHDC và SADE
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM =
1
3

MC, trên cạnh CD lấy N sao cho NC = x DC. Hãy so sánh diện tích hình tam giác
AMN với diện tích hình tam giác ADN.
3. Rèn kỹ năng chia các hình theo tỷ lệ cho trước.
Để học sinh có thể biết cách chia và chia được các hình theo một tỷ lệ cho
trước, học sinh phải biết:
- Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi tích của đáy và chiều cao của hai
tam giác đó bằng nhau
- Tam giác có diện tích bằng

1
diện tích hình chữ nhật (hình vuông, hình
2

bình hành…) khi tích tích của đáy và chiều cao tam giác đó bằng

1
tích của chiều
2

dài và chiều rộng (cạnh hình vuông, đáy và chiều cao hình bình hành..)
- Hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau) thì độ dài hai
đáy tỉ lệ thuận với diện tích.
- Hai tam giác có chung đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì độ dài hai chiều cao tỉ
lệ thuận với diện tích.
- Hai tam giác có cùng diện tích thì độ dài hai đáy tỉ lệ nghịch với chiều cao
của hai tam giác đó.
20


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
- Hai đường chéo của hình thang chia hình thang thành 3 cặp tam giác có
diện tích bằng nhau.
Bài tập rèn kỹ năng chia hình có thể như sau:
Trường hợp 1: Kẻ đoạn thẳng đi qua đỉnh tam giác chia hình tam giác
thành các phần theo tỉ số diện tích.
Bài 1. Cho tam giác ABC. Qua đỉnh A, em hãy kẻ các đoạn thẳng để chia tam
giác ABC ra thành 2 phần có diện tích bằng nhau.
Đây là trường hợp hai tam giác có chung một đỉnh A nên chung đường cao hạ
từ đỉnh A xuống đáy BC. Do đó ta lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = DC. Nối
A với D ta được 2 phần có diện tích bằng nhau.
A

B

A

C

B

D

C

Bài 2. Em hãy chia hình tam giác sau thành 3 tam giác có diện tích bằng nhau.
Nêu cách chia và giải thích ?
Giải:
Có thể chia như sau:
A
Cách 1. Chia một cạnh bất kỳ của tam
giác thành 3 phần bằng nhau. Nối đỉnh đối
diện với cạnh đó với các điểm chia ta có 3 tam
giác bằng nhau.
- Các tam giác ABC, ACD và ADM có B
diện tích bằng nhau vì chúng có chung đường
M
C
D
cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BM và có các
cạnh đáy BC, CD và DM bằng nhau.
Cách 2. Chia một cạnh bất kỳ của tam
A
giác thành 3 phần bằng nhau nối đỉnh đối diện
cạnh đó với một điểm chia ta được hai tam
giác. Tam giác ABE có diện tích gấp đôi tam
E
O
giác BCE vì hai tam giác này có chung chiều

cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC, đáy AE của B
C
tam giác ABE gấp 2 lần đáy CE của tam giác BCE. Chia tam giác lớn ABE thành 2
phần bằng nhau bằng cách chia một cạnh bất kỳ thành hai phần bằng nhau, Nối

21


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
điểm chia đó với đỉnh đối diện. Ta có 3 tam giác ABO, AEO và BCE có diện tích
bằng nhau.
Từ bài toán 2 các em dễ dàng kẻ được các đoạn thẳng qua đỉnh tam giác chia
tam giác thành nhiều phần có diện tíc bằng nhau.
Chẳng hạn:
A

A

P

B

B

C

M

C

- Hình (1) kẻ thêm 3 đoạn thẳng qua - Hình (2) kẻ thêm 3 đoạn thẳng qua
đỉnh A chia tam giác ABC thành 4 phần đỉnh A, đỉnh B và đỉnh C chia tam giác
ABC thành 4 phần có diện tích bằng
có diện tích bằng nhau.
nhau..
Bài 3. Cho tam giác ABC, qua đỉnh A kẻ một đoạn thẳng cắt cạnh BC tại
điểm D sao cho diện tích tam giác ABD bằng

2
diện tích tam giác ABC.
3

Bài làm:
Qua đỉnh A kẻ đoạn thẳng cắt BC tại D thì tam giác ABD và ADC có chung
chiều cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Để S
phần bằng nhau sao cho BD =
A

B

C

ABD

=

2
S
3

ABC.

Thì ta phải chia BC thành 3

2
BC. Ta có hình vẽ như sau:
3
A

B

D

C

Đối với bài toán kẻ đoạn thẳng đi qua một đỉnh của tam giác chia tam giác
thành các phần có diện tích bằng nhau hoặc theo tỉ lệ nào đó ta cần dựa vào tỉ
lệ diện tích để chia độ dài cạnh đối diện với đỉnh đó thành các phần theo tỉ lệ
diện tích đã cho.
Bài 4. Cho tam giác ABC (hình vẽ), điểm M trên BC, MB=MC, điểm P trên
AM, AP=PM. Viết tên các cặp tam giác có diện tích bằng nhau.

22


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
A

P
B

M

C

S MBP = S PBA (Chung đường cao từ đỉnh B xuống đáy AM, AP = PM)
S MCP = S PCA (Chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AM, AP = PM)
S BPM = S PMC (Chung đường cao hạ từ đỉnh P xuống đáy BC, BM = MC)
Suy ra S MBP = S PBA = S MCP = S PCA
S BAM = S MAC (chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, BM = MC)
Trường hợp 2: Kẻ đoạn thẳng đi qua hai cạnh của tam giác chia hình
tam giác thành các phần theo tỉ số diện tích.
Bài 1. Cho tam giác ABC. Hãy kẻ một đoạn thẳng cắt hai cạnh AB và AC
chia tam giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau.
GV hướng HS suy nghĩ: Chia tam giác
A
ABC thành hai phần có diện tích bằng
nhau hay diện tích mỗi phần bằng

1
2

diện tích tam giác ABC.
B

C

GV hướng dẫn HS:
Vì đoạn thẳng cắt hai cạnh của tam giác nên ta phân tích tỉ số
của hai thừa số.

Ta có:

1
thành tích
2

1 2 3 4 6
= x = x = ......
2 3 4 6 8

- Dựa vào tỉ số đó ta lấy trên một cạnh của tam giác ta lấy một điểm có tỉ lệ tương
ứng với thừa số thứ nhất. Trên một cạnh kia của tam giác ta lấy một điểm có tỉ lệ
tương ứng với thừa số thứ hai.
VD: Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: AD =
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =

3
AB
4

2
AC.
3

Nối D với E ta có: SADE = S DBCE
A

Nối C với D, ta có:
D

B

E
23
C


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
3
3
SABC (có đáy AD = AB, chung chiều cao hạ từ đỉnh C xuống đáy AB)
4
4
2
2
SADE = SADC (có đáy AE= AC, chung chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AC)
3
3
3
1
2
Suy ra: SADE = x SABC = SABC
3
4
2
1
1
Vì SADE = SABC Nên SDBCE = SABC
2
2

SADC =

Suy ra SADE = SDBCE.
Do vậy đoạn thẳng DE thoả mãn yêu cầu của bài.
A

E

D
B

C

Bài 2. Chia hình sau thành 2 phần có tỉ lệ diện tích là 1/2
Bài làm:
Tổng số phần bằng nhau cần chia là:
2 + 1 = 3 (phần)
Ta chia một cạnh bất kỳ của tam giác thành 3 phần
bằng nhau. Nối một điểm chia với đỉnh đối diện.
Ta có hai tam giác có tỉ lệ diện tích là

1
.
2

Chú ý: Ở đây điều cần làm rõ với học sinh là bài toán này ta vận dụng mệnh
đề: Hai tam giác có chung chiều cao (Chiều cao bằng nhau) thì tỉ lệ hai đáy chính
là tỉ lệ của diện tích.
Nối đìn tam giác với một điểm trên cạnh đối diện ta được hai tam giác có

chung chiều cao. Mà tỉ số diện tích là

1
1
do đó tỉ số hai đáy cùng phải là .
2
2

Bài 3. Cho tam giác ABC. Hãy kẻ một đoạn thẳng cắt hai cạnh của tam giác
để được hai hình sao cho diện tích hình này bằng

1
diện tích hình kia.
3

Bài làm:
Diện tích hình này bằng
diện tích ban đầu. Ta có:

1
1
diện tích hình kia hay diện tích hình này bằng
3
4

1 1 1
= x
4 2 2

A

D
B

E
24
C


Một số giải pháp giúp học sinh lớp 5 học tốt các bài toán tam giác
- Trên AB lấy điểm D sao cho AD =

1
AB
2

- Trên AC lấy điểm E sao cho AE =

1
AC
2

Nối D với E, DE thoả mãn yêu cầu của bài.
Một số bài tập
Bài 1. Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NA < NC. Tìm
điểm M trên BC để đoạn thẳng NM chia hình tam giác ABC làm 2 phần có diện tích
bằng nhau?
Bài 2. Cho tam giác MNP, MP = 12 cm, E là điểm chính giữa cạnh NP. Hãy
tìm một điểm D trên cạnh MP sao cho đoạn thẳng ED chia tam giác MNP thành
hai phần mà diện tích phần này gấp đôi diện tích kia.
4. Rèn kỹ năng so sánh, liên hệ bắc cầu

Để rèn cho học sinh thành thạo kĩ năng so sánh giữa các yếu tố hình học thì
trước hết giáo viên nên rèn luyện cho học sinh so sánh đoạn thẳng với nhau.
Trước khi rèn cho học sinh thì học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
Muốn chứng tỏ hai đoạn thẳng bằng nhau thì chứng tỏ:
- Chúng là hai cạnh của một hình vuông.
- Chúng có cùng một tỉ số với đoạn thẳng thứ ba (đoạn thẳng trung gian)
- Chúng là đáy của hai hình tam giác có diện tích bằng nhau và chiều cao
bằng nhau hoặc chung đáy.
- Chúng cùng là chiều cao của hai tam giác có diện tích bằng nhau và có đáy
bằng nhau hoặc chung đáy.
Bài 1. Cho hình thang ABCD có đáy lớn gấp đôi đáy bé. Nối A với C; B với
D. AH là chiều cao tam giác ABD ; CK là chiều cao tam giác BCD. So sánh độ dài
AH và CK ?
Bài làm:
Hai tam giác ABD và BCD có chiều cao
A
B
Bằng nhau và bằng chiều cao hình thang
ABCD,
K
Mặt khác đáy CD gấp đôi đáy AB
H
Do đó ta có: Diện tích tam giác BCD
gấp đôi diện tích tam giác ABD.
C
Ta lại có, hai tam giác ABD và BCD có D
chung cạnh BD. Vì vậy hai chiều cao Tương

25