phép tính tích phân và vi phân

HỌC LIỆU

Học liệu bắt buộc:
[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi
phân và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư
phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.
[2] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi
phân và tích phân của hàm số một biến số (phần bài tập)- Giáo trình Cao
đẳng Sư phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.
Học liệu tham khảo:
[3] Vũ Tuấn. Giải tích toán học. NXB Giáo dục. 1974.
[4] Pitxcunốp. Phép tính vi phân và tích phân. NXB Giáo dục. 1973.
(Trần Tráng – Lê Hanh dịch)


CHƯƠNG 1
DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Sinh viên nắm được các kiến thức cơ bản về :
- Dãy số, các tính chất của dãy số.
- Giới hạn dãy số, các phép toán, tính chất đơn giản.
- Tiêu chuẩn Côsi và các giới hạn đặc biệt.
2. Kỹ năng: Giúp HS rèn luyện các kỹ năng: Tìm giới hạn của các dãy số
3. Tư duy, thái độ: Tư duy logic, thái độ học tập nghiêm túc, khoa học
B. Chuẩn bị về phương pháp, phương tiện, tài liệu tham khảo:
1. Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở
2. Phương tiện: Tập bài giảng, giáo trình, tài liệu tham khảo
3. Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi
phân và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư
phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.

[2] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi
phân và tích phân của hàm số một biến số (phần bài tập)- Giáo trình Cao
đẳng Sư phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.
Học liệu tham khảo:
[3] Vũ Tuấn. Giải tích toán học. NXB Giáo dục. 1974.
[4] Pitxcunốp. Phép tính vi phân và tích phân. NXB Giáo dục. 1973.
(Trần Tráng – Lê Hanh dịch
C. Phân phối số tiết thực hiện:

2


TT
1

S tit

Ni dung kin thc

Ghi chỳ

LT:3; BT: 3
02

Dóy s v gii hn
Tớnh cht

2
3

Tiờu chun Cụsi
Mt s gii hn c bit
Bi tp

01
03

D. Ni dung
1. Dóy s v gii hn dóy s
1.1. Dóy s
nh ngha 1: Hm s t tp hp cỏc s nguyờn dng N* vo tp
hp cỏc s thc R gi l mt dóy s thc .
...c gi l s hng tng quỏt.
1.2. Gii hn dóy s
2. Mt s tớnh cht, phộp toỏn v gii hn ca dóy s
2.1. Mt s tớnh cht n gin v gii hn ca dóy s
a) Cho ba dãy { a n } , { bn } , { c n } thoả mãn an bn cn n N.
a n = lim c n = l thì dãy { bn } cũng có giới hạn và lim bn = l
Nếu lim
n
n
n

b) Một dãy có giới hạn thì bị chặn.
a n lim bn .
c) Nếu các dãy { a n } , { bn } có giới hạn và an bn n N thì lim
n
n

d) Một dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.

e) Một dãy giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.
2.2. Cỏc phộp toỏn trờn gii hn ca dóy s
a) Nếu các dãy { a n } , { bn } có giới hạn thì các dãy { a n + bn } ,

{ a n bn } , { a n .bn } cũng có giới hạn và:
3

lim (a n + bn ) = lim a n + lim bn
n

n

n


lim (a n − bn ) = lim a n − lim bn
n →∞

n →∞

n →∞

lim (a n .bn ) = lim a n . lim bn
n →∞

n →∞

n →∞

bn ≠ 0, bn ≠ 0 víi mäi n th× d·y

b) NÕu c¸c d·y { a n } , { bn } cã giíi h¹n, lim
n →∞
 an 
  còng cã giíi h¹n vµ:
 bn 
an
a n lim
= n →∞
n →∞ b
lim bn
n

lim

n →∞

3. Tiêu chuẩn Côsi
3.1. Định lý Bônsanô – Vâyơstrat
Mọi dãy số thực bị chặn đều có một dãy con hội tụ.
3.2. Tiêu chuẩn Côsi
Dãy số thực hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Côsi
4. Một số giới hạn đặc biệt, các vô cùng lớn – vô cùng bé
4.1.Một số giới hạn quan trọng
1
lim(1 + ) = e
n →∞
n

4.2. Giới hạn vô cực, vô cùng lớn – vô cùng bé
un = ∞

Dãy số {un} được gọi là một vô cùng lớn nếu lim
n →∞
un = ∞
Dãy số {un} được gọi là một vô cùng bé nếu lim
n →∞

E. Tổng kết chương, câu hỏi ôn tập, hướng dẫn tự học:
1. Tổng kết chương:
4


Trọng tâm chương: Nắm vững phương pháp tìm giới hạn của dãy số
2. Bài tập:
u1 = c
và a, b, c  R .
un +1 = a.un + b

1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) với 

GIẢI:

Trường hợp 1 : Nếu a = 1 thì dãy ( un ) là một cấp số cộng , công sai b .
Trường hợp 2 :Nếu a ≠ 1 , ta qui dãy (un) thành dãy (vn) là một cấp số nhân , công
bội a như sau:
Đặt vn = un +

b
khi đó vn là một cấp số nhân .
a −1

Thật vậy : vn+1 = un+1 +

b 
b
b

= aun + b +
= a  un +
÷ = a.vn .
a −1 
a −1
a −1


Nên : vn+1 = a.vn là một cấp số nhân công bội a và v1 = u1 +

b
.
a −1

Từ đó số hạng vn = v1.an – 1 . Suy ra : un = vn –

b
b
= v1.an – 1 –
.
a −1
a −1

Vậy số hạng tổng quát dãy số là : un = v1.an – 1 –

b
b
với v1 = c +
.
a −1
a −1

un

un +1 = 2u + 3 , n ≥ 1, n ∈ N
n
2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : 
.
u = 1
 1 2

GIẢI :
Ta có u1 > 0 , qui nạp ta được un > 0 .
Từ giả thiết suy ra :

5

1
un +1

= 2+

3
.

un


Đặt vn =

1
, khi đó ta được : vn+1 = 3vn + 2 với v1 = 2 (*)
un

Đặt zn = vn + 1 , (*) trở thành : zn+1 = 3zn với z1 = 3.
Như vậy (zn) là một cấp số nhân có công bội bằng 3 và z1 = 3 nên zn = z1.3n – 1 = 3n .
Suy ra : vn = zn – 1 = 3n – 1 .
Vậy dãy số (un) có un =

1
, n * .
3 −1
n

3.Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được cho bởi
a.

u1 = 2

b. 
un
un +1 = 2u + 1 ; n ≥ 1
n


u1 = 3

−u n

un +1 = u − 1 ; n ≥ 1
n


u1 = 2
.
un +1 = 3un + 1 , n ≥ 1

4.Cho dãy số (un) xác định bởi : 
n

Tình tổng S = ∑ ui .
i =1

5.Cho n vòng tròn trong đó cứ hai vòng tròn thì giao nhau tại 2 điểm và không có
ba vòng tròn nào giao nhau tại 1 điểm .
Hỏi n vòng tròn đã cho chia mặt phẳng làm bao nhiêu phần?
u1 = c
và a, b, c  R
un +1 = a.un + f (n)

6. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) với 
và f(n) là một đa thức theo n
GIẢI:
Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un + f(n).

n

Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; …n thì ta được: un = u1 + ∑ f (i )
i =1

n

Trong đó

6

∑
i =1

f (i ) được tính thông qua các tổng

n

∑i ;
i =1

n

∑ i2 ;
i =1

n

∑i
i =1

3

….


Trường hợp 2: a ≠ 1.
Đặt vn = un + g(n) với deg(g) = deg(f) và g(n) được xác định thông qua phương
pháp hệ số bất định dồng thời thỏa : vn+1 = avn .
Ta qui dãy (un) thành dãy (vn) là một cấp số nhân có công bội q = a.
un +1 = un + n3 + 2, n ≥ 1, n ∈ N
7. Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : 
.
u1 = 2

GIẢI:
Theo đề bài ta có un +1 = un + n3 + 2 ⇔ un + 1 – un = n3 + 2 .
Thay n lần lượt bằng 1, 2,…,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được:
n −1

2

 n(n − 1) 
un – u1 = ∑ (i + 2) = 
+2(n – 1) .
i =1
 2 
3

2

 n(n − 1) 
Vậy un = 
+2n .
 2 
un +1 = 3un + n 2 + 1, n ≥ 1, n ∈ N
8. Tìm số hạng tổng quát của dãy số un xác định bởi : 
u1 = 2

.
GIẢI:
Đặt g(n) = an2 + bn + c và vn = un + g(n) ( a, b, c  R) với vn+1 = 3vn .
Khi đó : vn+1 = 3vn ⇔ un+1 + g(n+1) = 3(un + g(n))
⇔ 3un + n2 + 1 + g(n+1) = 3un + 3g(n)
⇔ n2 + 1 + a(n+1) 2 + b(n+1) + c = 3an2 + 3bn + 3c
⇔ (a + 1)n2 + (2a + b)n + 1+ a + b + c = 3an2 + 3bn + 3c
 a + 1 = 3a
1
1

⇔ a=
Nên : 2a + b = 3b
; b = ; c = 1.
2
2
1 + a + b + c = 3c


7

Do đó ta được : g(n) =

1 2 1
n + n+1.
2
2

Như vậy khi vn = un +

1 2 1
1
1
n + n + 1 ⇔ un = vn – ( n2 + n + 1)
2
2
2
2

2
v = 3vn , n ≥ 1
un +1 = 3un + n + 1, n ≥ 1, n ∈ N
⇔  n +1
.
u1 = 2
v1 = u1 + g (1) = 4

thì 

Suy ra : vn = 3n – 1.v1 = 4.3n – 1 .

Vậy : un = 4.3n – 1 –

1 2
1
n – n– 1
2
2

= 4.3n – 1 –

1 2
(n + n + 2) .
2

9. Xác định số hạng tổng quát của các dãy số được xác định bởi các công thức sau:
u1 = 4
un +1 = un + 2n + 1 , n ≥ 1

4. 

u1 = 2
3
2
un +1 = 4un + 3n − 3n − 3n − 1 , n ≥ 1

5. 

2

u1 = 3

6. 
un
un +1 =
,n ≥1
2(2n + 1)un + 1

u1 = π
un +1 = un + cos(3n − 2) , n ≥ 1

7. 

10. Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( un ) với
u1 = b
α  R, β >0 .

n và a, b,
un +1 = a.un + α .β

GIẢI:

8


Trường hợp 1: a = 1 ta có un+1 = un + α . β n .
n −1

i
Cho n lần lượt nhận các giá trị 1 ; 2; 3; …n – 1 thì ta được: un = u1 + α ∑ β
i =1

n

Trong đó

∑β
i =1

i

được tính thông qua các tổng cấp số nhân có số hạng đầu β và

công bội β .
Trường hợp 2: a ≠ 1.
Ta qui bài toán về bài toán 1 bằng cách đặt vn = un + g(n) với vn+1 = avn , đồng thời
g(n) là hàm số thỏa :
+ Nếu a ≠ β thì g(n) = A. β n .
+ Nếu a = β thì g(n) = A.n. β n
Trong đó A được xác định thông qua phương pháp hệ số bất định.
Dãy số (vn) được xác định theo cấp số nhân và từ đó suy được (un).
u1 = 3
n .
un +1 = un + 3.4

11. Tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) được xác định : 
GIẢI:
Theo đề ta có : un+1 = un + 4n ⇔ un+1 – un = 4n .

Thay n lần lượt bằng 1, 2,…,n – 1 và cộng (n – 1) đẳng thức ta được:
n −1

i
un – u1 = 3∑ 4 = 3.4.
i =1

4n−1 − 1
= 4n – 4 .
3

Vậy ta được : un = 4n – 1 .
u1 = 6
n .
un +1 = 3un + 5.3

12. Tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) được xác định: 

GIẢI:
Ta thấy a = β = 3 nên ta đặt vn = un + An.3n với vn+1 = 3vn .

9


Với vn+1 = 3vn ⇔ un+1 + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n )
⇔ 3un +5.3n + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n )
⇔ 5.3n + A(n+1)3n+1 = 3An.3n
⇔ 5+ 3A(n+1) = 3An

Suy ra : A = −

5
.

3
5
3

Ta được : vn = un − n.3n ⇔ un = vn +

5
n.3n .
3

u1 = 6
v = 1
⇔1
.
n
un +1 = 3un + 5.3
vn +1 = 3vn

Khi đó 

Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân ta được vn = 3n – 1 .
Vậy ta được un = 3n – 1+

5
n.3n = (1+5n)3n – 1 .
3

13. Tìm số hạng tổng quát un của dãy (un) được xác định:
u1 = 5
.


2
n
un +1 = 2un + n + 3.2 , n ≥ 1

GIẢI:
Ta có giả thiết un + 1 = 2un + n2 + 3.2n
Đặt un = xn + yn
2
n
với xn +1 = 2 xn + n , n ≥ 1 ; yn +1 = 2 yn + 3.2 , n ≥ 1 và u1 = x1 + y1 = 5 .

Suy ra : xn +1 + yn+1 = 2(xn + yn ) + n2 + 3.2n
Ta giải tương tự như ví dụ 3 và ví dụ 5 ta xác định được :
xn = (x1+6) 2n – 1 – (n2 + 2n + 3) và yn = (y1–3) 2n – 1 + 3n.2n– 1 .
ta được un = xn + yn = (x1+6).2n – 1 – (n2 + 2n + 3) + (y1–3) 2n – 1 + 3n.2n– 1
= (x1+ y1+3).2n – 1 + 3n.2n– 1 – (n2 + 2n + 3)
Vậy : un = 2n + 2 + 3.2n – 1–

10

1 2
(n + 2n + 3) .
2


u1 = 5
n
un +1 = 4un + 3.4

14. .Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 

u1 = 32

15. Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi :  un +1
 n2 = 2.un , n ≥ 1
2

10.Tìm tất cả các giá trị a R sao cho dãy (un) xác định bởi
u1 = a
là dãy số đồng biến .

n
un +1 = −3un + 2 ; n ≥ 1

16. Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un) với un +1 =

aun + b
; ad − bc ≠ 0 , n 1
cun + c

theo u1 , a, b, c, d.
GIẢI
Xét phương trình x =

ax + b
(*) .
cx + d

Trường hợp 1: phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt : x1 ; x2 , khi đó ta tìm được

1 hằng số k để cho

un − x1
u −x
= k n −1 1 .
un − x2
un −1 − x2

Thật vậy : un − x1 =

aun −1 + b
au + b ax1 + b
(ad − bc)(un −1 − x1 )
− x1 = n −1
−
=
.
cun −1 + d
cun −1 + d cx1 + d
(cun −1 + d )(cx1 + d )

un − x2 =

Nên :

(ad − bc)(un −1 − x2 )
(cun −1 + d )(cx2 + d )

.

un − x1  cx2 + d   un −1 − x1 
un −1 − x1
 cx + d 
=
=k
( với k =  2

÷
÷
÷)
un − x2  cx1 + d   un −1 − x2 
un −1 − x2
 cx1 + d 

Ta đặt vn =

un − x1
un − x2

⇒ vn = kvn – 1 .

Từ đó áp dụng cấp số nhân , tìm được vn , suy ra được un
Trường hợp 2: phương trình (*) có 2 nghiệm kép : x0 .

11


1
1
=

+k
un − x0 un −1 − x0

Tương tự trên , ta tìm được k để có :
Ta đặt vn =

1
⇒ vn = vn – 1 + k.
un − x0

Áp dụng cấp số cộng tìm được vn và suy được un .
4un −1 + 2

;n ≥1
un =
un −1 + 3
17. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi : 
.
u = 3
 1

GIẢI:
Ta có un + 1 =

4un −1 + 2
5un −1 + 5
+1=
un −1 + 3
un −1 + 3

un – 2 =

4un −1 + 2
2un −1 − 4
–2=
un −1 + 3
un −1 + 3

Nên

un + 1 5  un −1 + 1 
= 
÷.
un − 2 2  un −1 − 2 

Đặt

vn =

un + 1
u1 + 1
5
=4.
thì có vn = vn – 1 và v1 =
un − 2
u1 − 2
2
n−1

5

Áp dụng cấp số nhân ta có vn = 4.  ÷ .
2
n −1

5
8 ÷ +1
un + 1
1
2v + 1
2
Từ vn =
=1–
suy được un = n =
.
n −1
un − 2
un − 2
vn − 1
5
4  ÷ −1
2
n −1

5
8 ÷ +1
2
Vậy số hạng tổng quát của dãy số trên là : un =
n −1
5
4  ÷ −1

2

12


5un −1 − 1

;n ≥1
un =
un −1 + 3
18. Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un) xác định bởi : 
.
u = 2
 1

GIẢI:

Ta có un – 1 =
Nên

5un −1 − 1
4u − 4
− 1 = n −1
un −1 + 3
un −1 + 3

1
1u +3 1
1
=  n −1

.
÷= +
un − 1 4  un −1 − 1  4 un −1 − 1

Đặt vn =

1
1
1
thì có vn = vn – 1 + và v1 =
=1.
un − 1
u1 − 1
4

Áp dụng cấp số cộng được vn = v1 +(n – 1)
Suy ra un – 1 =

1
n −1
n+3
=1+
=
4
4
4

4
4
n+7

+1 =
hay un =
.
n −3
n+3
n+3

Vậy số hạng tổng quát của dãy số là un =

n+7
, với n * .
n+3

u1 = 2

2un + 1
19. Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi : 
u
=
,n ≥1
n
+
1

un + 2


12.Xác định số hạng tổng quát un của dãy số xác định bởi :
u1 = 3


un − 6

un +1 = u − 2 , n ≥ 1
n


3. Hướng dẫn tự học: Theo đề cương chi tiết.

13


CHƯƠNG 2
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Sinh viên nắm được các kiến thức cơ bản về :
- Hàm số, các tính chất của hàm số.
- Giới hạn hàm số, các phép toán, tính chất đơn giản.
- Tiêu chuẩn Côsi và các giới hạn đặc biệt.
2. Kỹ năng: SV thành thạo các kỹ năng tìm giới hạn hàm số.
3. Tư duy, thái độ: Tư duy logic, thái độ học tập nghiêm túc, khoa học, đạt
hiệu quả cao.
B. Chuẩn bị về phương pháp, phương tiện và tài liệu tham khảo:
1. Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở
2. Phương tiện: Tập bài giảng, giáo trình, tài liệu tham khảo
3. Tài liệu tham khảo:
Học liệu bắt buộc:
[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi
phân và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư
phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.
[2] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi

phân và tích phân của hàm số một biến số (phần bài tập)- Giáo trình Cao
đẳng Sư phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.
Học liệu tham khảo:
[3] Vũ Tuấn. Giải tích toán học. NXB Giáo dục. 1974.
[4] Pitxcunốp. Phép tính vi phân và tích phân. NXB Giáo dục. 1973.
(Trần Tráng – Lê Hanh dịch)
14


C. Phõn phi s tit thc hin:
TT
1

Ni dung kin thc
B tỳc v hm s

S tit
LT:4; BT: 4; KT:1
02

Ghi chỳ

Gii hn hm s
2

Tớnh cht
Gii hn phớa..

02

3
4

VCB, VCL...
Bi tp
Kim tra

04
01

D. Ni dung:
1. B tỳc v hm s
1.1. nh ngha hm s
Giả sử X và Y là hai tập hợp số thực ( X R và Y R).
ánh xạ
f:

X Y

x y = f (x)

gọi là một hàm số (thực) từ X vào Y .
X đợc gọi là tập hợp xác định của hàm số f . x X đợc gọi là biến số độc

lập (gọi tắt là biến số hoặc đối số). Số thực y = f (x) Y đợc gọi là giá trị của
hàm số tại điểm x. Tập hợp tất cả các giá trị f (x) khi x lấy mọi số thực
thuộc tập hợp X gọi là tập hợp các giá trị của hàm số f và đợc kí hiệu là f (
X ):
f ( X ) = { f ( x) : x X } .

1.2. Cỏc phộp toỏn trờn hm s: Yờu cu HS t h thng li
1.3. Cỏc hm s c bit: Cỏc hm s chn, l, tun hon, n iu, hm
hp.
15


- Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là bị chặn trên (dới) trong miền
xác định X nếu:
( C R)( x X): f (x) C ( f (x) C).
- Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là đơn điệu tăng (giảm) trong
X, nếu x1, x2 X, f (x1) f (x2)

( f (x1) f (x2)).

- Cho hàm f xác định trên miền đối xứng X, f đợc gọi là hàm chẵn khi

và chỉ khi x X, f(x) = f(-x).
- Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là là hàm lẻ khi và chỉ khi x
X, f(x) = - f(-x).

- Cho hàm f xác định trên X, f đợc gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại số
C 0 để f(x+C) = f(x) với x X.
2. Gii hn hm s:
2.1. nh ngha:
Bi toỏn :
Cho hs f ( x) =

2x 2 8
x2

V mt dóy bt k x1, x2,...,xn nhng s thc khỏc 2 ( tc l xn 2 vi mi n )
sao cho: limxn =2
Hóy xỏc nh dóy cỏc giỏ tr tng ng f(x1),f(x2),,f(xn) ca hm s v
lỡm(xn)=?
T ú yờu cu SV phỏt biu li N gii hn hm s?
2.2. Tớnh duy nht ca gii hn: Nu mt hm s cú giúi hn thỡ gii hn
ú l duy nht.
2.3. Tiờu chun Cụsi: Gi s khong (a, b) cha im x0 v hm s f xỏc
f ( x) khi v ch khi vi > 0
nh trờn tp (a, b)\{x0}. Ta núi rng tn ti xlim
x
0

cho trc bộ tựy ý, tn ti s dng sao cho:
16


0 < x ' x0 < v 0 < x '' x0 < f ( x ' ) f ( x '' ) <

3. Mt s tớnh cht v cỏc phộp toỏn:
3.1. nh ngha:
- Hàm f và g là các hàm số có giới hạn khi x xo, ta có:
( f ( x) g ( x)) = lim f ( x) lim g ( x)
+) xlim
x
x x
x x
o

o

o

( f ( x).g ( x)) = lim f ( x). lim g ( x)
+) xlim
x
x x
x x
o

o

o

lim g ( x) 0 thì lim
+) Nếu x
xo
x x

o

lim f ( x)
f ( x ) x xo
=
g ( x) lim g ( x)
x xo

- Nếu ba hàm số f,g,h xác định trong một lân cận của điểm xo, thoả mãn:
f(x) g(x) h(x) với mọi x thuộc lân cận đó và
lim f ( x ) = lim h( x) = l

x xo

x xo

thì

lim g ( x) = l

x xo

lim f ( x ) = l lim f ( x) = lim f ( x) = l
- x
x
x x +
x x
o

o

o

3.2. nh v ht nhõn. (Tham kho GT)
4. Gii hn phớa; Gii hn ti vụ cc; Gii hn vụ cc
4.1. Gii hn phớa:
= l > 0, > 0 : x0 < x < x0 + f ( x) l <
Gii hn phi: xlim
x
+
0

= l > 0, > 0 : x0 < x < x0 f ( x) l <
Gii hn trỏi: xlim
x

0

= l > 0, > 0 : x > f ( x) l <
4.2. Gii hn ti vụ cc: xlim
+

Ví dụ : tìm lim xe
x

x
2

x + ex

Giải:

17


x
x
x
x
x
1 2

1 2 1 2 1 2
2
e + xe
e + e + xe
2
2
2
4
lim
= lim
= lim
=
x
x→∞ x + e x x→∞ 1 + e x
x→∞
1+ e
x
1 

1
1
2
e 1 + x 
1+ x
4

 = lim
4 = lim 4 = lim 1 = 0
= lim
x x→∞ x

x→∞
x→∞ x
x→∞
ex
1 2
2
e
e
2e 2
2
x
2
xe

f ( x) = +∞ có nghĩa là với mọi dãy (xn) trong tập hợp
4.3. Giới hạn vô cực: xlim
→x
0

f ( x) = +∞
(a;b)\{xo} mà lim x n = xo khi đó ta nói: xlim
→x
5. Vô cùng bé, vô cùng lớn, các hàm số tương đương
0

5.1. Vô cùng bé: Hàm số f được gọi là vô cùng bé khi x-> x0 nếu
lim f ( x) = 0

x → x0

5.2. Vô cùng lớn: Hàm số f được gọi là vô cùng lớn khi x-> x0 nếu
lim f ( x) = +∞

x → x0

5.3. Các hàm số tương đương: GT
Ví dụ:

s inx
=1
Sinx : x vì lim
x→0
x

E. Tổng kết chương, bài tập, hướng dẫn tự học:
1. Tổng kết chương:
Trọng tâm của chương: Nắm vững các kỹ thuật tính giới hạn đã được học từ
PT
2. Bài tập:
Bµi tËp vËn dông tÝnh chÊt, ®Þnh lý, quy t¾c:
Møc ®é 1:
1)VÝ dô mÉu:

18


Ví dụ 1: Tìm lim
x 3
Giải: lim
x 3

x2 9
x3

( x 3)( x + 3) lim( x + 3)
x2 9
= lim
= x 3
=6
x 3
x3
x3

x3 + x + 1
Ví dụ 2: Tìm lim
x 2 x 3 + 3 x 2 + 2
1
1
+ 3
2
1
x + x +1
x
x
lim
Giải: lim
=
=
3
2

x
3 2
x 2 x + 3 x + 2
2
2+ + 3
x x
1+

3

2)Bài tập tự luyện:
+) Tìm lim
x

x 1

2x 5 + x 4 3
+) Tìm lim
x 3 x 5 + 3 x 2 + 2

x2 1

+) Tìm

x3 8
lim
x 2 x 2

( x 2 + 1 x)
+) Tìm lim

x

Mức độ 2:
1)Ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Tìm lim
x 2

3 2x + 5
x+2 2

Giải: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu ta có:
lim
x 2

3 2x + 5
x+2 2

= lim
x 2

(4 2 x)( x + 2 + 2)
( x 2)((3 + 2 x + 5) )

= lim
x 2

2( x + 2 + 2)
3 + 2x + 5

=-

8
.
6

Ví dụ 2: Tìm tập xác định và xét tính chẵn lẻ của hàm số sau:
f(x) = ln

1+ x
1 x

Giải: Hàm f xác định khi và chỉ khi

1+ x
> 0 -1 < x < 1 Hàm f
1 x

xác định trong khoảng đối xứng. Mặt khác f(-x) = ln

19

1 x
và f(x) = ln
1+ x


1+ x
1− x
1+ x
1− x 1+ x

nªn f(-x) + f(x) = ln
+ ln
= ln
.
= ln1 = 0. VËy
1− x
1+ x
1− x
1+ x 1− x

f(-x) = - f(x). Hay hµm f(x) = ln

1+ x
lµ hµm lÎ.
1− x

2)Bµi tËp tù luyÖn:
+) T×m xlim
→2

+

+) T×m

x 2 + 2x − 8
x 2 − 2x

lim ( 3x 2 + 1 + x 3 )

x → −∞

3. Hướng dẫn tự học: Theo đề cương chi tiết

20


KIỂM TRA MỘT TIẾT
Bài 1 :Tính các giới hạn :
2
2
a. lim 4 x + 52 − 3x + 4 x + 1
x →2

x + 5 x − 14

b. lim
x →∞
c.

sin x
x

lim 2 x 3 − x 2 + 10
x→ ∞

Bài 2: Cho dãy số (xn) được xác định như sau:
xn

 1 
x1= 0, xn + 1 =  ÷ với mọi n∈ N*

 27 

Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
x

 1 
Nhận xét rằng xn ≥ 0, ∀ n∈ N*. Xét hàm số f(x) =  ÷ nghịch biến
 27 
trong khoảng [0; + ∞ ). Khi đó xn+1 = f(xn) , ∀ n∈ N* và f(x) ≤ f(0) nên 0 ≤ xn ≤

1
Ta có x1 = 0, x2 = 1, x3 =

1
nên x1 ≤ x3 và x4 = f(x3) ≤ f(x1)=x2
27

Bây giờ ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp x2n – 1 ≤ x2n + 1, và
x2n+2 ≤ x2n
với n∈ N*
Thật vậy, giả sử có x2n-1 ≤ x2n + 1 thì f(x2n-1) ≥ f(x2n+1) nên x2n ≥x2n+2 và vì
vậy f(x2n) ≤ f(x2n+2) suy ra x2n+1 ≤ x2n+3.
Tương tự, giả sử có x2n ≥ x2n+2 thì f(x2n) ≤ f(x2n+2) suy ra x2n+1 ≤ x2n+3 vì
vậy f(x2n+1) ≥ f(x2n+3) suy ra x2n+2 ≥ x2n+4
Vậy dãy (x2n-1) là dãy tăng và dãy (x2n) là dãy giảm và đều thuộc [0; 1]
x2 n = a , lim f ( x2 n −1 ) = b
nên có giới hạn hữu hạn: nlim
→+∞
n →+∞

x2 n + 2 = lim f ( x2 n +1 ) = lim f ( f ( x2 n )) = f ( f (a ))
Và a = nlim
→+∞
n →+∞
n →+∞

21


a

 1 
 ÷
 27 

Nên a =  1 ÷
 27 

suy ra a =

1
3
1
3

Tương tự ta cũng tìm được b = . Vậy a = b =

22

1

1
xn =
nên nlim
→+∞
3
3


CHƯƠNG 3
HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. Mục tiêu:
1. Kiến thức: Sinh viên nắm được các kiến thức cơ bản về :
- Định nghĩa hàm số liên tục, liên tục một phía, liên tục trên khoảng, đoạn.
- Các tính chất cơ bản của hàm liên tục
2. Kỹ năng: Giúp SV rèn kỹ năng:
- Xét tính liên tục của hàm số
- Tính liên tục của hàm số ngược...
3. Thái độ: Thái độ nghiêm tục học tập, nghiên cứu để đạt hiệu quả cao
B. Chuẩn bị về phương pháp, phương tiện, tài liệu tham khảo:
1. Phương pháp: Vấn đáp, gợi mở
2. Phương tiện: Tập bài giảng, giáo trình, tài liệu tham khảo
3. Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi phân
và tích phân của hàm số một biến số - Giáo trình Cao đẳng Sư phạm.
NXB Đại học Sư phạm. 2004.
[2] Nguyễn Mạnh Quý – Nguyễn Xuân Liêm. Giáo trình phép tính vi
phân và tích phân của hàm số một biến số (phần bài tập)- Giáo trình Cao
đẳng Sư phạm. NXB Đại học Sư phạm. 2004.
Học liệu tham khảo:
[3] Vũ Tuấn. Giải tích toán học. NXB Giáo dục. 1974.

[4] Pitxcunốp. Phép tính vi phân và tích phân. NXB Giáo dục. 1973.
(Trần Tráng – Lê Hanh dịch
C. Phân phối số tiết thực hiện:

23


TT

S tit

Ni dung kin thc

1
2

Hm s liờn tc v phộp toỏn
Hm liờn tc trờn on

LT:3; BT: 3
01
02

3

Tớnh liờn tc ca hm ngc
Bi tp

03

Ghi chỳ

D. Ni dung
1. Hm s liờn tc
1.1. nh ngha
lim f ( x ) = f(xo) (1)
- f liên tục tại xo x
x
o

f ( x) = f(xo)
- f liên tục phải tại xo xlim
x +
o

f ( x) = f(xo)
- f liên tục trái tại xo xlim
x
o

- f liên tục trên (a ; b) f liên tục tại mọi điểm thuộc (a ; b)
- f liên tục trên [ a; b] f liên tục tại mọi điểm thuộc (a ; b) và liên tục
trái tại b, liên tục phải tại a.
1.2. Cỏc loi im giỏn on:
- f gián đoạn tại xo nó không liên tục tại xo.
im giỏn on loi mt nu nú cú gii hn trỏi, phi hu hn ti im ú
im gii hn loi hai nu nú khụng phi l im gii hn loi mt.
2. Cỏc phộp toỏn trờn hm s liờn tc:
2.1. Phộp toỏn cng, nhõn, chia
- Hai hàm f và g liên tục tại xo thì các hàm f + g, f g và f.g liên tục tại xo;

Nếu thêm g(xo) 0 thì hàm

f
cũng liên tục tại xo.
g

2.2. Tớnh liờn tc ca hm hp
24


- Hàm y = f(x) liên tục tại xo; hàm u = g(y) liên tục tại yo = f(xo) thì
hàm số hợp g(f(x)) liên tục tại xo.
3. Hm s liờn tc trờn on
3.1. nh lý Võystrat:
Nu hm s f liờn tc trờn [a, b] thỡ:
a. f b chn trờn [a, b]
b. f t c GTLN, GTNN trờn [a, b]
3.2. nh lý Bụnssano Cụsi
- f liên tục trên [ a; b] thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đó. Nghĩa là tồn
tại các điểm xo [ a; b] , x1 [ a; b] sao cho f(x) f(xo) với x [ a; b] và f(x1)
f(x) với [ a; b]
- f liên tục trên [ a; b] thì nó nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất trên đó.
- f liên tục trên [ a; b] và f(a). f(b) < 0 thì phơng trình f(x) = 0 có nghiệm
trên khoảng (a;b).
4. Tớnh liờn tc ca hm s ngc, ca cỏc hm s s cp, mt vi gii
hn c bit
4.1. Tớnh liờn tc ca hm s ngc
Gi s f l mt hm liờn tc v tng (gim) nghiờm ngt trờn [a, b] khi ú
hm ngc f-1 cng l hm liờn tc, tng (gim ) nghiờm ngt trờn [f(a), f(b)]

4.2. Tớnh liờn tc ca cỏc hm s s cp
Mi hm a thc,hm hu t, hm s m, hm logarit, hm ly tha, hm
lng giỏc u liờn tc trờn tp xỏc nh ca nú.
4.3. Mt vi gii hn c bit
+)

25

sin x
x 0
x =1

lim

+)

tgx
=1
x 0 x

lim