Phép tính tích phân

Chương 5
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
5.1 Tích phân hàm một biến
5.1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định
1. Định nghĩa
Định nghĩa 5.1. Cho hàm f xác định trên khoảng (a, b). Hàm F (x) xác định trên (a, b) gọi là một
nguyên hàm của hàm f(x) nếu F

(x) = f(x) với mọi x ∈ (a, b).
Ta thấy rằng F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý cũng
là một nguyên hàm của f(x).
Định lý 5.1. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng
F (x) + C, trong đó C là hằng số.
Định nghĩa 5.2. Cho hàm y = f(x) xác định trên (a, b). Ta gọi tích phân không xác định của f(x),
kí hiệu f(x)dx, là tập tất cả các nguyên hàm của f(x)
Định lý 5.1 suy ra nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì f(x)dx = F (x) + C, trong đó C
là hằng số tùy ý.
Trong kí hiệu f(x)dx ta gọi f(x) là hàm dưới dấu tích phân, f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích
phân.
Để tính tích phân không xác định, theo định nghĩa, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của nó.
2. Tính chất
Tính chất 5.1. ( f(x)dx)

= f(x), d( f(x)dx) = f(x)
Tính chất 5.2. dF (x) = F (x) + C
Tính chất 5.3. (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx.
Tính chất 5.4. αf(x)dx = α f(x)dx
3. Phương pháp tính
• Tính trực tiếp: Sử dụng các tính chất và bảng nguyên hàm.
Ví dụ 5.1.
x

2
− 1
x
2
+ 1
dx = (1 −
2
x
2
+ 1
)dx = x − 2arctgx + C
47
• Phương pháp đổi biến:
Công thức 1. Tính: J = f(x)dx
Đặt x = g(t) vớig(t) là hàm số liên tục và có hàm số ngược. Khi đó: J = f(g(t)).g

(t)dt
Chú ý: Sau khi tính tích phân xong phải trả lại biến.
Ví dụ 5.2. Tính I =
dx
√
a
2
− x
2
Đặt x = at ⇒ dx = adt
Khi đó: I =
adt
√
a

2
− a
2
t
2
= arcsint + C Vậy I = arcsin
x
a
+ C, ( C = const)
Công thức 2. Tính J = f(x)dx
Đặt t = ϕ(x) khi đó: f(x)dx = g[ϕ(x)]ϕ

(x)dx. Khi đó, nếu ta biết: g(t)dt = G(t) + C thì
f(x)dx = g(ϕ(x)).ϕ

(x)dx = g(t)dt = G(t) + C = G[ϕ(x)] + C.
Ví dụ 5.3. Tính I
1
=
xdx
x
4
+ 2x
2
+ 5
=
xdx
(x
2
+ 1)

2
+ 4
.
Đặt u = x
2
+ 1 thì du = 2xdx
Ta có: I
1
=
du
2(u
2
+ 4)
=
1
2
arctg
u
2
+ C Vậy I
1
=
1
2
arc
(x
2
+ 1)
2
+ C.

Ví dụ 5.4. Tính I
2
=
dx
√
x
2
+ 1
.
Đặt
√
x
2
+ 1 = x + t ⇒ x =
1 − t
2
2t
⇒ dx = −
1
2
.
t
2
+ 1
t
2
dt;
√
x
2

+ 1 =
1 − t
2
2t
+ t =
1 + t
2
2t
.
Ta có I
2
= −
1
2
t
2
+1
t
2
t
2
+1
2t
dt = −
dt
t
= −ln |t| + C Vậy I
2
= −ln
√

x
2
+ 1 − x + C.
• Phương pháp tính tích phân từng phần
Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm khả vi, liên tục trên một khoảng nào đó. Khi đó
udv = uv − vdu + C ( C = const).
Ví dụ 5.5. Tính I = e
2x
. sin 3xdx.
Đặt
u = e
2x
dv = sin 3xdx
⇒
du = 2e
2x
dx
v = −
1
3
cos3x
Ta có I = −
1
3
e
2x
cos3x+
2
3
e

2x
.cos3xdx = =
e
2x
13
(2 sin 3x − 3 cos 3x) + C.
4. Tích phân của các hàm hữu tỉ, vô tỉ, lượng giác
Ví dụ 5.6. Tính I =
x + 1
x
3
+ x
dx
Ta có I =
x + 1
x
3
+ x
dx =
x + 1
x(x
2
+ 1)
dx =
dx
x
2
+ 1
+
dx

x(x
2
+ 1)
= arctgx+ (
1
x
−
x
x
2
+ 1
)dx
= arctgx + ln |x| −
1
2
ln |x
2
+ 1| + C. ( C = const).
Ví dụ 5.7. Tính I =
dx
3
√
x + 1 −
4
√
x + 1
.
Đặt t =
12
√

x + 1 ⇒ x = t
12
− 1, dx = 12t
11
dt
Do vậy I =
12t
11
dt
t
4
− t
3
= 12
t
8
t − 1
dt = (t
7
+t
6
+ t
5
+ t
4
+ t
3
+ t
2
+ t + 1 +

1
t − 1
)dt =
48
Ví dụ 5.8. Tính I =
cos
3
x
s
inx
dx
Đặt t =
s
inx ⇒ dt = cosxdx
Khi đó: I =
1 − t
2
t
dt = ln |t| −
t
2
3
+ C
Vậy I = ln |
s
inx| +
sin
2
x
3

+ C.
5.1.2 Tích phân xác định
1. Định nghĩa
Định nghĩa 5.3. Cho hàm y = f(x) xác định trên [a, b]. Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi
phân hoạch P:
a = x
0
< x
1
< < x
n
= b.
Nếu trong mỗi đoạn ∆
k
[x
k−1
, x
k
] chọn tùy ý c
k
, ta có một phép chọn C. Khi đó tổng
σ
P
=
n
k=1
f(c
k
)(x
k

− x
k−1
),
gọi là tổng tích phân của hàm f(x) ứng với phép phân hoạch P và phép chọn C.
Kí hiệu |P | = max x
k
− x
k−1
là đường kính của phép phân hoạch P. Khi đó nếu tồn tại lim
|P |→0
σ
P
= I
theo nghĩa: ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀ phân hoạch |P | < δ, mọi phép chọn C đều có
|σ
P
− I| = |
n
k=1
f(c
k
)(x
k
− x
k−1
) − I| < ,
thì I gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b], hàm f(x) gọi là khả tích trên [a, b] và kí hiệu
là
I =
b

a
f(x)dx.
Trong kí hiệu trên f(x) là hàm dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, a
gọi là cận dưới, b gọi là cận trên của tích phân, thường ta đọc là: tích phân từ a đến b.
2. Điều kiện khả tích
Định lý 5.2. Nếu hàm f(x) khả tích trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b].
Định lý 5.3. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì (x) khả tích trên [a, b].
Định lý 5.4. Nếu hàm f(x) bị chặn và chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn trên [a, b] thì f(x) khả
tích trên [a, b]
Định lý 5.5. Nếu hàm f(x) đơn điệu và bị chặn trên [a, b] thì khả tích trên [a, b].
3. Tính chất của tích phân xác định
Định lý 5.6. Nếu f(x)=C (hằng số) với mọi x ∈ [a, b] thì
b
a
f(x)dx =
b
a
Cdx = C(b − a).
49
Định lý 5.7. Nếu f(x) và g(x) khả tích trên [a, b], thì f(x) ± g(x) cũng khả tích trên [a, b] và
b
a
(f(x) ± g(x))dx =
b
a
f(x)dx ±
b
a
g(x)dx.
Định lý 5.8. Nếu f(x) khả tích trên [a, b] và α ∈ R thì αf(x) cũng khả tích trên [a, b] và

b
a
αf(x)dx = α
b
a
f(x)dx.
Định lý 5.9. Hàm f(x) khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi mọi c ∈ (a, b), f(x) khả tích trên [a, c] và
[c, b] và
b
a
f(x)dx =
c
a
f(x)dx +
b
c
f(x)dx.
Định lý 5.10. Nếu f(x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b] và các hàm f(x) và g(x) khả tích trên [a, b] thì
b
a
f(x)dx ≤
[
a
b]g(x)dx
Định lý 5.11. Nếu hàm f(x) khả tích trên [a, b] thì |f(x)| cũng khả tích trên [a, b] và
b
a
f(x)dx| ≤
b
a

|f(x)|dx
Định lý 5.12. [Định lý giá trị trung bình] Nếu hàm f(x) khả tích trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M thì tồn
tại µ ∈ [m, M] sao cho
b
a
f(x)dx = µ(b − a).
4. Phương pháp tính tích phân xác định
- Phương pháp đổi biến.
- Phương pháp tích phân từng phần.
5. Ví dụ
Ví dụ 5.9. Tính I =
2
0
√
4 − x
2
dx
Đặt x = 2 sin t ⇒ I = π
Ví dụ 5.10. Tính J =
e
1
ln xdx = = 1
6. Ứng dụng của tích phân xác định
- Tính diện tích hình phẳng.
- Tính độ dài cung.
- Tính vật thể tròn xoay.
- Diện tích mặt tròn xoay
50
5.1.3 Tích phân suy rộng
1. Tích phân suy rộng với cận vô tận

Định nghĩa 5.4. Cho hàm f(x) xác định trên [a; +∞) và f(x) khả tích trên đoạn [a; b] ⊂ [a; +∞) .
Nếu tồn tại lim
b→+∞
b
a
f(x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng với cận vô tận (tích
phân suy rộng loại 1) của f(x) trên [a; +∞) và kí hiệu:
+∞
a
f(x)dx
Vậy
+∞
a
f(x)dx = lim
b→+∞
b
a
f(x)dx (5.1)
Nếu tích phân (5.1) tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ. Nếu tích phân (5.1) bằng ∞
hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân đó phân kỳ.
Ví dụ 5.11. a. I =
+∞
1
dx
x
2
= lim
b→+∞
b
1

dx
x
2
= lim
b→+∞
(−
1
x
)
b
1
= lim
b→+∞
(1 −
1
b
) = 1
Do đó tích phân hội tụ và
+∞
1
dx
x
2
= 1
b. Tương tự
+∞
0
dx
x
2

+ 1
=
π
2
c.
+∞
1
dx
x
= +∞ ⇒ tích phân phân kì.
Định nghĩa 5.5. Nếu hàm f (x) xác định trên (−∞; a] thì ta định nghĩa
a
−∞
f(x)dx = lim
b→−∞
a
b
f(x)dx.
Nếu hàm f(x) xác định trên (−∞; +∞) thì ta định nghĩa
+∞
−∞
f(x)dx =
a
−∞
f(x)dx +
+∞
a
f(x)dx
Ví dụ 5.12.
+∞

−∞
1
1 + x
2
dx =
0
−∞
1
1 + x
2
dx +
+∞
0
1
1 + x
2
dx = lim
b→−∞
arctgx
0
b
+ lim
b→+∞
arctgx
b
0
= lim
b→−∞
(−arctgb)+ lim
b→+∞

(arctgb) =
π
2
+
π
2
= π
2. Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân với cận vô tận
Tính chất 5.5. Nếu tích phân
+∞
a
f(x)dx hội tụ thì tích phân
+∞
b
f(x)dx (b > a) cũng hội tụ và
+∞
a
f(x)dx =
b
a
f(x)dx +
+∞
b
f(x)dx
Tính chất 5.6. Nếu tích phân
+∞
a
f(x)dx hội tụ thì tích phân
+∞
a

cf(x)dx (c ∈ R) cũng hội tụ và
+∞
a
cf(x)dx = c
+∞
a
f(x)dx (c ∈ R)
Tính chất 5.7. Nếu tích phân
+∞
a
f(x)dxvà
+∞
a
g(x)dx hội tụ thì tích phân
+∞
a
(f(x) ± g(x))dx
cũng hội tụ và
+∞
a
(f(x) ± g(x))dx =
+∞
a
f(x)dx ±
+∞
a
g(x)dx.
Tính chất 5.8. Cho hàm f(x), g(x) xác định trên [a; +∞) Giả sử 0 ≤ f(x) ≤ g(x) với mọi
x ∈ [a; +∞) khi đó nếu
+∞

a
g(x)dx hội tụ thì
+∞
a
f(x)dx hội tụ; nếu
+∞
a
f(x)dx phân kì thì
+∞
a
g(x)dx
phân kì.
51
Tính chất 5.9. Nếu các hàm f(x), g(x) là các hàm không âm trên [a; +∞) và có lim
x→+∞
f(x)
g(x)
= k ∈
(0, +∞) Khi đó các tích phân
+∞
a
f(x)dx và
+∞
a
g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kì.
3. Tích phân hội tụ tuyệt đối
Tích phân
+∞
a
f(x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân

+∞
a
|f(x)|dx hội tụ.
Tính chất 5.10. Nếu tích phân
+∞
a
|f(x)|dxhội tụ thì tích phân
+∞
a
f(x)dx hội tụ.
Ví dụ 5.13. Xét sự hội tụ của tích phân
+∞
1
1
x
s
dx.
Ta đã biết
+∞
1
1
x
dx = +∞, tích phân phân kì.
Nếu
+∞
1
1
x
dx = +∞ thì
1

x
s
>
1
x
do đó theo tính chất 4,
+∞
1
1
x
s
dx với s ≤ 1 là phân kỳ.
Nếu s > 1 tích phân hội tụ vì
+∞
1
1
x
s
dx = lim
b→+∞
b
1
dx
x
s
= lim
b→+∞
1
−(s − 1)x
s−1

b
1
= lim
b→+∞
1
s − 1
−
1
−(s − 1)b
s−1
=
1
s − 1
.
Vậy ta có
+∞
1
1
x
s
dx =
∞ nếu s ≤ 1
1
s − 1
nếu s > 1.
Ví dụ 5.14. Xét tích phân
+∞
1
dx
√

1 + x
3
√
2 + x
2
Ta có
1
√
1 + x
3
√
2 + x
2
<
1
x
1
2
x
2
3
=
1
x
7
6
Theo ví dụ trên
dx
x
7

6
hội tụ, nên tích phân hội tụ theo tính chất 4.
Ví dụ 5.15. Xét tích phân
+∞
1
dx
x
2
− 2x + 3
Ta có
dx
x
2
hội tụ và lim
x→+∞
1
x
2
−2x+3
1
x
2
= 1 do đó tích phân hội tụ theo tính chất 5.
5.2 Tích phân bội (Tích phân bội 2)
5.2.1 Định nghĩa
* Bài toán thể tích của vật thể hình trụ
Giả sử hàm số z = f(x, y) liên tục, xác định, không âm trong một miền đóng, bị chặn (D) có
biên L trong mặt phẳng Oxy . Bài toán đặt ra là: hãy tính thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi
mặt phẳng Oxy, mặt z = f(x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên L.
*Cách làm:

+ Chia D thành n miền tuỳ ý bởi phép phân hoạch P , gọi tên và diện tích mỗi mảnh là
∆s
1
, , ∆s
n
.
+ Lấy mỗi ∆s
i
làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với
Oz, phía trên giới hạn bởi z = f(x, y), phía dưới giới hạn bởi ∆s
i
.
52
+ Trong mỗi mảnh nhỏ ∆s
i
bất kì, lấy điểm M(x
i
, y
i
) tuỳ ý. Khi đó, tích f(x
i
, y
i
)∆s
i
chính là
thể tích của hình trụ thẳng đứng đáy ∆s
i
, đường cao f(x
i

, y
i
), Vì z = f(x, y) liên tục nên thể tích
này khác rất ít thể tích ∆v
i
của vật thể hình trụ nhỏ thứ i. Vậy V ≈
n
i=1
f(x
i
, y
i
)∆s
i
.
Phép tính này càng chính xác nếu n càng lớn và ∆s
i
càng nhỏ. Do đó, nếu tồn tại
lim
n→∞
n
i=1
f(x
i
, y
i
)∆s
i
thì V = lim
n→∞

n
i=1
f(x
i
, y
i
)∆s
i
với đường kính lớn nhất của mảnh ∆s
i
→ 0, giới
hạn này không phụ thuộc vào cách chia miền (D) và cách chọn điểm M
i
.
Định nghĩa 5.6. [Định nghĩa kép-Tích phân hai lớp-Tích phân bội] Cho hàm số z = f(x, y)
xác định trong miền đóng và bị chặn (D). Thực hiện phép phân hoạch P chia (D) thành n miền nhỏ
tùy ý ∆s
1
, , ∆s
n
. Trong mỗi ∆s
i
lấy M
i
(x
i
, y
i
) bất kì. Khi đó, ta gọi tổng
I

n
=
n
i=1
f(x
i
, y
i
)∆s
i
là tổng tích phân của hàm f(x, y) trong miền (D). Nếu tồn tại giới hạn lim
max ∆x
i
→o
n→∞
I
n
= I không phụ
thuộc vào phép chia miền D và cách chọn các điểm M
i
thì giới hạn đó được gọi là tích phân hai lớp
của hàm số f(x, y) trong miền D và kí hiệu
D
f(x, y)ds (5.2)
Vậy:
D
f(x, y)ds = lim
n→∞
n
i=1

f(x
i
, y
i
)∆s
i
(D) : miền lấy tích phân,
f : hàm dưới dấu tích phân
ds : yếu tố diện tích.
*Chú ý:
+ Nếu tích phân (5.2) tồn tại ta nói f(x, y) khả tích trên (D).
+ Vì tích phân hai lớp không phụ thuộc vào cách phân hoạch miền D nên nếu chia D thành các
miền nhỏ bởi các đường thẳng song song với Ox, Oy thì diện tích của mỗi miền nhỏ là ∆s
i
≈ ∆x
i
∆y
i
.
Khi đó, ds ≈ dxdy. Vậy, ta còn viết:
D
f(x, y)ds =
D
f(x, y)dxdy (5.3)
Định lý 5.13. Nếu hàm f(x, y) liên tục trên miền đóng, bị chặn D thì nó khả tích trên miền đó.
5.2.2 Tính chất
(1) Nếu f(x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ D và diện tích miền D bằng S thì
D
f(x, y)ds = S
(2)

αf(x,y)dxdy
= α
D
f(x, y)dxdy.
(3)
D
[f(x, y) ± g(x, y)]dxdy =
D
f(x, y)dxdy ±
D
g(x, y)dxdy
(4) Nếu chia D thành hai miền nhỏ D
1
, D
2
không trùng lên nhau thì
D
f(x, y)dxdy =
D
1
f(x, y)dxdy +
D
2
f(x, y)dxdy.
53
(5) Nếu f(x, y) ≤ g(x, y), moi(x, y)dxdy thì
D
f(x, y)dxdy ≤
D
g(x, y)dxdy.

Đặc biệt nếu f(x, y) ≥ 0 trên D thì ta có
D
f(x, y)ds ≥ 0.
(6) Nếu f(x, y) khả tích trên D mà m ≤ f(x, y) ≤ M thì
mS ≤
D
f(x, y)ds ≤ MS.
với S là diện tích của mienf D.
(7) Nếu f(x, y) liên tục trên miền đóng, bị chặn và liên thông trên miền D thì tồn tại x
0
, y
0
∈ D
sao cho
D
f(x, y)ds = f(x
0
, y
0
)S.
5.2.3 Cách tính
Định lý 5.14. [Định lý Fubini 2] Cho hàm số f(x) liên tục trên miền D. Nếu miền D xác định với
a ≤ x ≤ b, ϕ
1
(x) ≤ y ≤ ϕ
2
(x) trong đó các hàm số ϕ
1
(x), ϕ
2

(x) là các hàm số liên tục trên đoạn
[a, b] thì
D
f(x, y)ds =
b
a
ϕ
2
(x)
ϕ
1
x
f(x, y)dy dx =
b
a
dx
ϕ
2
x
ϕ
1
(x)
f(x, y)f(x, y)dy (5.4)
* Chú ý:
+ Nếu miền D xác định bởi c ≤ y ≤ d, ψ
1
(y) ≤ x ≤ ψ
2
(y), trong đó các hàm số ψ
1

(y), ψ
2
(y)
là các hàm số liên tục trên đoạn [c, d] thì ta cũng có
D
f(x, y)ds =
d
c
ψ
2
(y)
ψ
1
(y)
f(x, y)dx dy =
d
c
dy
ψ
2
(y)
ψ
1
(y)
f(x, y)dx (5.5)
+ Nếu miền D là hình chữ nhật a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, f(x, y) liên tục trên D thì ta có
D
f(x, y)ds =
b
a

dx
d
c
f(x, y)dy =
d
c
dy
b
a
f(x, y)dx (5.6)
Đặc biệt, nếu f(x, y) = f(x).g(y) thì
I =
b
a
f(x)dx
d
c
g(y)dy (5.7)
+ Khi tính
b
a
f(x, y)dx thì ta coi y là hằng số,
b
a
f(x, y)dy thì ta coi x là hằng số.
Ví dụ 5.16. Tính I =
D
x
2
ydxdy trong đó D là miền xác định bởi 1 ≤ x, y ≤ 2.

Ta có:
D
x
2
ydxdy =
2
1
x
2
dx
2
1
ydy =
2
1
x
2
1
2
y
2
2
1
=
3
2
2
1
x
2

dx =
3
2
x
3
3
2
1
=
7
2
54
Ví dụ 5.17. Tính
D
dxdy
(x + y)
2
với D là miền xác định bởi {1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}
Ta có
D
dxdy
(x + y)
2
=
2
1
1
0
dy
(x + y

2
)
dx =
2
1
−
1
x + y
y=1
y=0
dx =
2
1
1
x
−
1
x + 1
dx = [lnx − ln(n +
1)]
2
1
= ln
(
4
)3.
Ví dụ 5.18. Tính
D
x
2

ydxdy, D là miền tam giác có 3 đỉnh A(1, 0), B(1, 1), C(0, 0).
Miền D có thể viết dưới dạng {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}, do vậy I =
1
0
dx
x
0
x
2
ydy =
1
0
x
2
dx
y
2
2
x
0
=
1
2
1
0
x
4
dx =
1
10

x
5
1
0
=
1
10
.
Ví dụ 5.19. Tính
D
(x
2
+ y
2
)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y =
x + 1, y = 1, y = 3.
Theo giả thiết, miền D được xác định như sau {1 ≤ y ≤ 3, y − 1 ≤ x ≤ y}. Do đó, ta có I =
3
1
dy
y
y−1
(x
2
+ y
2
)dx =
3
1
dy

x
3
3
+ y
2
x
x = y
x = y − 1
= 14
Ví dụ 5.20. Tính
D
xydxdy, trong đó D xác định bởi các đường x =
√
y trục Ox và x + y = 2.
Theo giả thiết, miền D được xác định bởi 0 ≤ y ≤ 1,
√
y ≤ x ≤ 2 − y . Do đó
I =
1
0
y
2−y
√
y
xdx dy =
1
2
1
0
y ((2 − y)

2
− y) dy =
7
24
.
Cách khác. Chia D thành hai miền D
1
và D
2
, trong đó D
1
= {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x
2
} và D
2
=
{1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x}
Vậy I =
1
0
dx
x
2
0
xydy +
2
1
dx
2−x
0

xydy =
7
24
.
5.2.4 Đổi biến trong tích phân hai lớp
* Công thức đổi biến tổng quát:
Định lý 5.15. Xét tích phân hai lớp
D
f(x, y)dxdy, trong đóf(x, y) liên tục trên D. Thực hiện phép
đổi biến số:
x = x(u, v)
y = y(u, v),
Giả sử rằng
1) x(u, v), y(u, v) là những hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên trong miền đóng
D

của mặt phẳng O

uv.
2) Các công thức xác định một song ánh từ miền D

lên miền D của mặt phẳng Oxy.
3) Định thức Jacobi: J =
D(x, y)
D(u, v)
=
x

u
x


v
y

u
y

v
= 0 trong D

Khi đó ta có công thức:
D
f(x, y)dxdy =
D

f(x(u, v), y(u, v))|J|dudv (5.8)
Ví dụ 5.21. Tính
D
(x + y)dxdy, D giới hạn bởi các đường x + y = 0, y = −x + 3, y − 2x =
−1, y − 2x = 1.
55
Ta viết D dưới dạng
x + y = 0, x + y = 3
y − 2x = −1, y − 2x = 1
Ta thực hiện phép đổi biến số:
u = x + y
v = x − 2y
⇒ x =
u − v
3

, y =
2u + v
3
Đây là một song ánh từ R
2
vào R
2
. Miền D

bây giờ được xác định bởi {0 ≤ u ≤ 3, −1 ≤ v ≤ 1}
Và định thức Jacobi J =
1/3 −1/3
2/3 1/3
= 1/3 = 0 Vậy
D
(x + y)dxdy, D =
3
0
du
1
−1
u − v
3
+
2u + v
3
dv = 3.
Ví dụ 5.22. Tính tích phân
D
xydxdy với D giới hạn bởi

y
2
= x; y
2
= 3x
y = x; y = 2x.
Hướng dẫn. Ta viết lại miền D dưới dạng
y
2
x
= 1;
y
2
x
= 3
y
x
= 1;
y
x
= 2.
Rồi thực hiện phép đổi biến số
u =
y
2
x
v =
y
x
Khi đó miền D


xác định bởi {1 ≤ u ≤ 3, 1 ≤ v ≤ 2}
*Đổi biến trong tọa độ cực
+ Với điểm M(x, y) ∈ Oxy ta có công thức liên hệ tọa độ với hệ tọa độ cực:
x = r cos ϕ
y = rϕ
(∗)
Điểm (x, y) hoàn toàn xác định khi biết rvà ϕ. Cặp r, ϕ được gọi là tọa độ cực của điểm M.
+ Với
r > 0
0 ≤ ϕ ≤ 2π
(∆) thì (*) xác định một phép đổi biến số giữa tọa độ vuông góc Oxy
và tọa độ cực r, ϕ. Vì J = r > 0, nên theo định lí 3 ta có :
D
f(x, y)dxdy =
∆
f(r cos ϕ, r sin ϕ) (5.9)
Ví dụ 5.23. Tính
D
dxdy
√
4 − x
2
− y
2
, trong đó D giới hạn bởi
(x − 1)
2
+ y
2

≤ 1
y ≥ 0.
Nếu ta chuyển sang hệ tọa độ cực thì 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Thay
x = r cos ϕ
y = rϕ
vào (x − 1)
2
+ y
2
≤ 1
ta được 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ
Vậy (∆) : {0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ}. Do vậy I =
π
2
.
5.3 Tích phân đường
5.3.1 Đường trong mặt phẳng và trong không gian
Cho x(t), y(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó, tập hợp các điểm L =
{(x(t), y(t)), t ∈ [a, b]} gọi là đường cong liên tục trong mặt phẳng Oxy.
56
Kí hiệu: B (x(b), y(b)) ; A (x(a), y(a)) . Khi đó,
+ Nếu t biến thiên từ a đến b thì A là điểm đầu, B là điểm cuối.
+ Nếu t biến thiên từ b đến a thì B là điểm đầu, A là điểm cuối.
Hệ
x = x(t)
y = y(t)
là phương trình tham số của đường cong L.
Trong một số trường hợp có thể viết L dưới dạng:
y = y(x), x ∈ [a, b]
x = x(y), y ∈ [c, d].

Đường cong gọi là trơn nếu hàm số x(t), y(t) có các đạo hàm liên tục và x

(t), y

(t) không đồng thời
triệt tiêu tại mọi t ∈ [a, b]
Tương tự, đường cong trong không gian Oxyz có phương trình tham số là
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
với
x(t), y(t), z(t) liên tục trên [a, b]
5.3.2 Tích phân đường loại 1
1. Định nghĩa
Định nghĩa 5.7. Cho đường cong L = AB từ A đến B có độ dài l. Hàm f(x, y) xác định với mọi
(x, y) ∈ L. Chia L thành n phần nhỏ tùy ý bởi các điểm A = M
0
, M
1
, , M
n
= B. Gọi độ dài cung
M
i
M
i+1
là ∆x
i
. Trên mỗi cung M
i

M
i+1
lấy điểm tùy ý (ε
i
, δ
i
). Khi đó, ta gọi tổng I
n
=
n
i=1
f(ε
i
, δ
i
)∆s
i
.
là tổng tích phân của hàm f(x, y) trên cung AB.
Nếu khi n → ∞, max ∆s
i
→ 0, I
n
→ I hữu hạn (không phụ thuộc vào cách chia cung và chọn
điểm) thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y) trên cung AB và kí hiệu:
L
f(x, y)ds,
AB
f(x, y) hay
B

A
f(x, y)ds.
Vậy
L
f(x, y)ds = lim
n→∞
n
i=1
f(ε
i
, δ
i
)∆s
i
. Khi đó, ta nói f(x, y) khả tích trên AB.
2.Tính chất
(1) Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào hướng của của cung, tức là:
AB
f(x, y)ds =
BA
f(x, y)ds
Nếu f(x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ L thì
AB
f(x, y)ds =
BA
f(x, y)ds = l.
(2) Nếu f(x, y), g(x, y) khả tích trên AB thì
AB
[mf(x, y) ± ng(x, y)]ds = m
AB

f(x, y)ds ± n
AB
g(x, y)ds.
(3) Nếu f(x, y) khả tích trên AB và C là một điểm trên AB thì
AB
f(x, y)ds =
AC
f(x, y)ds +
CB
f(x, y)ds.
57
(4) Nếu f(x, y) ≥ 0 và khả tích trên AB thì
AB
f(x, y) ≥ 0.
(5) Nếu f(x, y) khả tích trên AB thì
AB
f(x, y)ds ≤
AB
|f(x, y)|ds .
Chú ý: Nếu cung AB trơn từng khúc (nghĩa là cung AB có thể chia thành một số hữu hạn cung
trơn) thì các tính chất trên vẫn đúng.
3. Cách tính tích phân đường loại 1 trong mặt phẳng
+ Nếu cung AB có phương trình y = y(x), x ∈ [a, b], y(x) có đạo hàm liên tục trên [AB] thì ta
có
AB
f(x, y)ds =
b
a
f(x, y(x)) 1 + y
2

(x)dx (5.10)
(Tương tự nếu x = x(y), y ∈ [c, d].)
+ Nếu cung AB có phương trình tham số x = x(t), y = y(t) với a ≤ t ≤ b , trong đó các hàm
x(t), y(t) có đạo hàm liên tục thì
AB
f(x, y)ds =
b
a
f(x(t), y(t)) x
2
(t) + y
2
(t)dt (5.11)
Ví dụ 5.24. Tính tích phân I
1
=
C
(x + y)ds , C là đường các cạnh tam giác có đỉnh
A(1, 0), B(0, 1) C(0, 0).
Ta có
C
(x + y)ds =
OA
(x + y)ds +
AB
(x + y)ds +
BO
Trên AB : y = 0, x ∈ [0, 1], nên ta có
OA
(x + y)ds =

1
0
xdx =
1
2
.
Trên AB : y = 1 − x, x ∈ [0, 1], nên ta có
AB
(x + y)ds =
1
0
√
2dx =
1
√
2
.
Trên OB : x = 0, y ∈ [0, 1] ta có
OB
(x + y)ds =
1
2
Vậy I
1
= 1 +
1
√
2
Ví dụ 5.25. Tính tích phân I
2

=
OB
xds với OB là cung parabol y = x
2
từ O(0, 0) đến A(3, 9).
Ta có I
2
=
3
0
x
√
1 + 4x
2
dx =
1
12
(1 + 4x
2
)
3
2
3
0
=
1
12
√
37
3

− 1
Ví dụ 5.26. Tính tích phân I
3
=
AB
yds với AB là nửa đường tròn tâm O, bán kínhR. Phương trình
tham số của cung AB là
x = Rcost
y = R sin t
t ∈ [0; π] .
Do vậy I
3
=
π
0
R sin t (−R sin t)
2
+ (R cos t)
2
dt = R
2
π
0
sin tdt = 2R
2
.
4. Cách tính tích phân đường trong không gian
Nếu cung đường cong AB trong không gian Oxyz thì tương tự như trong mặt phẳng cũng có
tích phân đường loại 1 của hàm f(x, y, z) xác định trên cung AB . Trường hợp AB có phương trình
tham số

58
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a; b] thì
AB
f(x, y, z)
b
a
f(x(t); y(t); z(t)) x
2
(t) + y
2
(t) + z
2
(t)dt (5.12)
5.3.3 Tích phân đường loại 2
1. Định nghĩa
Định nghĩa 5.8. Cho hai hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên đường cong L từ A đến B
đường cong L từ A đến B trong mặt phẳng Oxy. Ta kí hiệu:
−→
f (x; y) = (P (x, y); Q(x, y)) và gọi
−→
f (x; y) = (P (x, y); Q(x, y)) là một hàm trên L. Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm chia:
A = M
0
, , M
n
= B.
Gọi ∆s

i
là độ dài cung M
i
, M
i+1
. Trên mỗi cung M
i
, M
i+1
. chọn điểm tùy ý (ε
i
; δ
i
) và gọi hình
chiếu của vector
−−−−−→
M
i
M
i+1
lên các trục là ∆x
i
; ∆y
i
. Khi đó,
−−−−−→
M
i
M
i+1

= (∆x
i
; ∆y
i
).
Lập tổng I
n
=
n
i=1
−→
f (ε
i
; δ
i
))
−−−−−→
M
i
M
i+1
I
n
=
n
i=1
[P (ε
i
; δ
i

)∆x
i
+ Q(ε
i
; δ
i
)∆y
i
]
Tổng I
n
được gọi là tổng tích phân đường loại 2 của vectơ hàm (P; Q) trên đường cong L. Nếu tồn
tại giới hạn lim
max ∆S
i
→0
I
n
không phụ thuộc vào cách chia cung AB và cách chọn điểm ε
i
, δ
i
thì giới hạn
đó gọi là tích phân đường loại 2 của hàm P (x, y) và Q(x, y) từ A đến B. Kí hiệu:
AB
P (x, y)+Q(x, y)dy
hay
B
A
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Nếu kí hiệu
−→
ds= (dx; dy) thì ta có thể viết tích phân đường loại 2 của hai hàm P (x, y) và Q(x, y)
là
AB
−→
f (x, y)
−→
ds.
2. Tính chất
a. Nếu đổi hướng cung AB thành BA thì
−−−−−→
M
i
M
i+1
= −
−−−−−→
M
i+1
M
i
do đó tổng tích phân đổi dấu :
AB
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = −
BA
P (x, y)dx + Q(x, y)dy.
b. Nếu cung AB được chia thành 2 cung AC và CB thì ta có :
AB
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =

AC
P (x, y)dx + Q(x, y)dy +
CB
P (x, y)dx + Q(x, y)dy
3. Cách tính
a. Nếu AB có phương trình
x = x(t)
y = y(t)
t ∈ [a; b] thì
AB
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
b
a
[P (x(t); y(t))x

(t) + Q(x(t); y(t))y

(t)]dt.
b. Nếu AB có phương trình y = y(x), x ∈ [a, b] thì
AB
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
b
a
[P (x; y(x)) +
Q(x; y(x))y

(x)]dx.
59
Ví dụ 5.27. Tính tích phân đường I =
Ab

x
2
dx + xydy, với A(0, 0), B(1, 1). Cung AB là:
a. Đoạn thẳng AB có phương trình y = x; x ∈ [0, 1].
b. Đường parabol y = x
2
; x ∈ [0, 1].
Giải.
a. I =
1
0
(x
2
+ x
2
.1)dx =
2
3
b. I =
1
0
(x
2
+ x
3
.2x)dx =
11
5
Nhận xét. Tích phân đường loại 2 không chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối mà còn phụ
thuộc vào đường nối 2 điểm đầu và cuối.

Ví dụ 5.28. Tính công sinh bởi lực
−→
F = (y−x
2
)
−→
i +x
2
−→
j dọc theo cung AB, x = t, y−t
2
; t ∈ (0, 1).
Ta có công sinh ra: w =
AB
(y − x
2
)dx + x
2
dy =
1
0
[(t
2
− t
2
) + 2t
2
.2t]dt =
1
2

.
4. Tích phân đường loại 2 trong không gian:
Cho P (x, y, z); Q(x, y, z) và R(x, y, z) xác định trên AB có phương trình tham số
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
t ∈ [a, b]
Khi đó tích phân đường loại 2 của P, Q, R trên AB là:
AB
P dx + Qdy + Rdz =
b
a
[P (x(t), y(t), z(t))x

(t)+
+Q(x(t), y(t), z(t))y

(t) + R(x(t), y(t), z(t))z

(t)]dt.
5. Liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và loại 2
Kí hiệu
−−→
MT là tiếp tuyến với cung đường cong tại điểm M(x; y) theo hướng tăng của cung. Gọi
α là góc giữa trục Ox và
−−→
MT , α = α(x; y) cũng là một hàm xác định trên AB.
Vì ds = ds(cos α; sin α) = (dx; dy) nên ta có. dx = ds cos α; dy = ds sin α. Từ đó:
AB
P dx + Qdy =

AB
(P cos α + Q sin α)ds
Trong đó:
Vế trái là tích phân đường loại 2.
Vế trái là tích phân đường loại 1.
5.3.4 Công thức Green
Nếu L = AB là một chu tuyến đóng thì thay cho cách viết
L
ta viết
L
.
Cho D là miền m−liên. Ta kí hiệu ∂D là biên của miền D lấy theo chiều dương.
Định lý 5.16. [Công thức Green]. Cho D là miền m−liên có biên trơn từng khúc P (x, y) và Q(x, y)
là các hàm số có đạo hàm riêng liên tục trong một miền mở chứa D . Khi đó ta có:
∂D
P x + Qdy =
D
(
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
)dxdy.
60
Định lý 5.17. [Bốn mệnh đề tương đương] Cho các hàm P(x; y) và Q(x; y) có các đạo hàm riêng
liên tục trên một miền mở đơn liên D. Khi đó 4 mệnh đề sau tương đương.
1.
AB
không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc trong D nối A và B.

2. Tồn tại hàm U(x; y) sao cho Pdx + Qdy là vi phân toàn phần U(x; y) tức là: dU = P dx + Qdy
3.
∂P
∂x
=
∂Q
∂y
trong D.
4.
γ
P dx + Qdy = 0 với mọi chu tuyến đóng, trơn từng khúc γ nằm trong D.
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
 5.1. Tính các tích phân
1)
e
x
e
x
+ 1
dx;
2)
1 + x
√
1 − x
2
dx;
3) sin ln xdx;
4)
x + 1
(x

2
+ x + 1)
2
dx;
5)
dx
3 + 4 sin x
;
6)
dx
(2x − 3)
√
4x − x
2
.
 5.2. Tính các tích phân
a)
π/2
0
dx
3 + 2 cos x
;
b)
2π
0
dx
1 + a cos
2
x
, a > 0;

c)
3
2
dx
(x + 1)
√
x
2
− 1
;
d)
1
0
x
2
√
1 − x
2
dx.
 5.3. Tính diện tích của phần hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đường y = e
−x
sin x, trục Ox, Oy và x = 2π;
b) Đường y =
x − 1
x + 1
, trục Ox và các đường thẳng x = 1, x = 2.
 5.4. Tính độ dài của các đường cong:
a) y = 2 ln x, 0 ≤ x ≤ 2
√

3;
b) y =
√
2px, 0 ≤ x ≤ b.
 5.5. Tính diện tích các mặt nhận được khi quay các đường có phương trình:
a) y = x
x
a
, 0 ≤ x ≤ a quanh trục Ox;
b) y = tgx, 0 ≤ x ≤ π/4 quanh trục Ox.
 5.6. Xác định các cận của tích phân hai lớp trong các trường hợp miền lấy tích phân xác định bởi:
a) x + y ≤ 1, x − y ≤ 1, x ≥ 0;
b) x
2
+ y
2
≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0;
c)
x
2
2
+
y
2
3
≤ 1;
d) x
2
≤ y
2

, y
2
≤ 1 − x
2
;
e) (x − 1)
2
+ (y −2)
2
≤ 1;
f) x = y, y = x + 3, y = −2x + 1, y = −2x + 5;
g) y
2
≤ 8x, y ≤ 2x, y + 4x − 24 ≤ 0.
61
 5.7. Tính các tích phân sau:
a)
D
(x
2
+ 9 + 4y
2
)dxdy, D là hình tròn x
2
+ y
2
≤ 4;
b)
D
xy(x + y)dxdy; D :

0 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 2
;
c)
D
x cos ydxdy; D :
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤
π
2
;
d)
D
cos(x + y)dxdy, D là miền giới hạn bởi các đường x = 0, y = π, y = x.
 5.8. Sử dụng phép đổi biến số trong tọa độ cực, tính các tích phân sau:
a)
D
√
1 − x
2
− y
2
, D là hình tròn x
2
+ y
2
≤ 1;
b)
D
(1 − 2x − 3y)dxdy, D là hình tròn x

2
+ y
2
≤ 1;
 5.9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) y = x, y = 3x, x = 1
b) y =
√
x, y = 2
√
x, x = 4;
 5.10. Tính tích phân đường loại 2:
OA
x
2
dy − y
2
dx (A(0, 0), B(1, 2)) lần lượt trong các trường hợp sau:
a) (OA) là đoạn thẳng;
b) (OA)là đường gấp khúc OAB với B(0, 1)
 5.11. Tính các tích phân đường loại 1 sau:
(C)
(x − y)ds trong đó (C) là tam giác có đỉnh tại (0; 0), (1; 0), (0, 1)