PP Tinh tich phan va nguyen ham

Phần I nguyên hàm
A ) Các kiến thức cơ bản :

Cho hàm số y=f(x) xác định trên
[ ]
,a b
và có đạo hàm trên đoạn đó ta có
1) Vi phân của hàm số y=f(x) kí hiệu là : dy hoặc df ( Vi phân của biến là dx)
2) Công thức tính : hoặc (

Muốn tính vi phân của một hàm số ta lấy đạo hàm của hàm số đó nhân với vi phân của biến
số)
3) Vi phân của các hàm số thờng gặp :
d(ax+b) = a.dx d(ax
3
+bx
2
+cx+d) = (3ax
2
+2bx+c)dx
d(ax
2
+bx+c) = (2ax+b)dx d(sinx)=cosx.dx
d(cosx) =- sinx.dx d[sin(ax+b)] = a.cos(ax+b).dx
d[cos(ax+b)] =- a.sin(ax+b)dx d(e
x
)=e
x
.dx

(e

ax+b
) = a.e
ax+b
.dx d(tanx) =
2
1
cos
dx
x
d(cotx) =
2
1
sin
dx
x
d(
x
) =
1
2
dx
x

d(
ax b+
) =
2
a
dx
ax b+

d(
ln x
) =
1
dx
x
d(
2
1
x a+
) =
2
xdx
x a+
d(x
m+1
) = (m+1)x
m
( xdx =
2
1
2
dx
)
4) Nguyên hàm của hàm số y=f(x) kí hiệu là: F(x) hoặc
( )f x dx

.Đó là một hàm số sao cho đạo
hàm của nó bằng f(x).Vậy thì (
( )f x dx

)

= f(x). Ta gọi F(x) + C là một họ nguên hàm của hàm
số y=f(x)(Lấy nguyên hàm cộng với hằng số C)
5) Các công thức tính nguyên hàm:

[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx =


( ) ( )kf x dx k f x dx=

(với k là hằng số)
b) Các dạng bài tập :

Dạng1: Tính nguyên hàm của các hàm số đa thức (áp dụng trực tiếp bảng nguyên hàm)
Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m là hằng số)
1.
3 2
2 3 1y x x x= + 2.
4 2
2 1y x x= 3.
4 3
3 2x x x m
y
x
+ + +
=
4.

3
3
3x x x m
y
x
+ + +
=
5.
3
( )
p
y qx
x
= +
6.
3
1 2
ln
m
y x
x
x
= + +

Dạng2:Tính nguyên hàm của hàm số lợng giác, hàm mũ, hàm logarit
Tính nguyên hàm của các hàm số sau (m,n, p, q là các hằng số)
7. y= sin2x 8.y= cos3x 9.y=sin3x.cos4x
10.y= cospx.cosqx 11. y= sinmx.cosnx 12.y=tanx+cotx
13.y=cos
2

2x 14.y= sin
2
(3x/2) 15. y= sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x

1
dy=
y

dx df=
f

dx
16.y=log
a
x + lnx 17.
2
x x
e e
y

+
=
18.
2
lg
2

x
e x
y
+
=
Dạng3: Tính nguyên hàm của các hàm số bằng cách đa một biểu thức vào dấu vi phân
19.y=(mx+n)
2007
20.y=3x
5
2 2x +
21.
1
y
mx n
=
+
22.
2
2007
x
y
x a
=
+
23.
4 3 2
1 2
2
x

y
x x x
+
=
+ +
24.
2 3
2
( )
ax b
y
ax bx c
+
=
+ +
25.y=sinx.cos
p
x 26. y=cosx.sin
p
x 27.
ln
n
x
y
x
=
28.
(ln 1)
m
x

y
x
+
=
29.y=cos
5
x 30.y=sin
7
x
31.y=tan
2
x+ cot
2
x 32.y=tanx 33.y=cotx
34.y=
)
4
(sin
4

+
x
35.y=cosx.
2
sin x
e
36.y=x.
2
1x
e

+

37.
2008
cos sin
(sin cos )
x x
y
x x

=
+
38.y=tan
4
x 39. y=tan
5
x
40. y=(3x+5)
10
41.
2
3 5
x
y
x
=
+
42. y=x
2
3x +

43. y=sin2x.cos
2007
x 44.
2
1
os
y
c x
=
45.
3
4
3 2
x
y
x
=

46. y=x
2
.
3
3x
e

47.y=cot
3
x 48.
2007

( 1)
x
y
x
=
+

49.
4 4
2x x
y
x

+ +
=
50.
3 5
x
x
e
y
e
=
+
51.
1
.ln .ln(ln )
y
x x x
=

****************************************
Phần ii tích phân
A) Các kiến thức cơ bản :
1-Công thức newton leipnitz ( Niutơn laipnit )
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta có công thức
( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x=

= F(b) - F(a)
Giải thích: Muốn tính tích phân của một hàm số ta đi tìm nguyên hàm của hàm số đó rồi thế cận
2-Tính chất:
2.1-Phép cộng:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ =

2.2-Phép nhân với một hằng số khác 0:
. ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=

2.3-Phép đảo cận tích phân:
( ) ( )

b a
a b
f x dx f x dx=

;
( ) 0
a
a
f x dx =

2.4-Công thức tách cận tích phân:
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +

(Dựng tớnh cỏc tiớch phõn cú
cha du giỏ tr tuyt i)

2
b) Các dạng bài tập :
Dạng1: áp dụng trực tiếp công thức Newton-Laipnit và các tính chất của tích phân

Bài 1: Tính các tích phân sau:
1)
2
2
3
1
2x x

I dx
x

=

2)
4
4
0
(3 )
x
I x e dx=

3)
3
3
1
(3 )I x x dx

= +


4)
2
1
7 2 5
e
x x
I dx
x

=

5)
2
2
1
2
x
I dx
x

=
+

6)
2
2
1
1
ln
x
I dx
x x x
+
=
+

7)
5

2
2 2
dx
I
x x
=
+ +

8)
1
1
0
(3 5 )
x x
I dx
+
=

9)
1
3
0
2 1I x dx= +


10)
1
0
3 5
x

x
e dx
I
e
=
+

11)
1
2
2
1
4
1
xdx
I
x
=


12)
1
2 3
0
( 1)
n
I x x dx= +

Bài 2: Tính các tích phân sau:
13)

dxxxJ .3cos.sin
4
0
2


=
14)
3
0
sin .J x dx

=

15)
4
2
0
tan .J x dx

=

16)
2
0
cos2 .cos3J x xdx

=

17)

4
4
6
sin
dx
J
x


=

18)
2
0
1 sin
dx
J
x

=
+

19)
4
3
0
sin
cos
xdx
J

x

=

20)
2
3
3
(sin cos )
sin cos
x x dx
J
x x


+
=


21)
4
10
0
sin .sin 2 .J x x dx

=

22)
sin2
0

cos2 .
x
J x e dx

=

23)
tan
4
2
0
cos
x
e dx
J
x

=

24)
2
cos(ln )
e
e
x dx
J
x


=

Bài 3: Tính các tích phân sau bằng cách tách cận tích phân
25)
3
3
2I x dx

=

26)
4
2
1
3 2I x x dx

= +

27)
5
2 2
0
( 4 3 4 )I x x x x dx= + +

28)
3
8
8
cot tanI x x dx

=

29)
12
4
cos .cos( ).cos( )
3 3
I x x x dx




= +

30)
2
0
I x m x dx=

Dạng2: Tính tích phân bằng phơng pháp tích phân từng phần
* Công thức tính :
( )
b b b
b
a
a a a
f x dx udv uv vdu= =

* Nhận dạng : Hàm số dới dấu tích phân thờng là tích của 2 loại hàm số khác nhau

* ý nghĩa : Phơng pháp này nhằm đa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt
hàm số dới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dới dấu tích phân)
* Chú ý : Ta cần chọn u và dv sao cho : du đơn giản , dễ tính đợc v , tích phân
vdu

đơn giản hơn tích phân
udv

.
Ta đa ra cách chọn nh sau:

3
A, Gặp dạng:
( ). ( )P x f x dx

( P(x) là đa thức còn f(x) là một trong các hàm số sin(ax+b) , cos(ax+b)

e
a x+b
, a
x
) . Thì ta đặt : u=P(x) và dv = cos(ax+b).dx ...
* Chú ý: Nếu P(x) có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần P(x) sẽ giảm 1 bậc)
B, Gặp dạng:
. ( )
k
x f x dx

( Trong đó f(x) là một trong các hàm số sin(lnx) , cos(lnx) ) . Thì ta đặt
u = cos(lnx) ... và dv = x

k
dx
C, Gặp dạng:
( ). ( )P x f x dx

(Trong đó P(x) là e
a x+b
, a
x
còn f(x) là sin(ax+b) , cos(ax+b) ) .Thì ta đặt
u=P(x) và dv = f(x).dx
Chú ý: Trong dạng B và dạng C ta sẽ gặp tích phân luân hồi (sau khi tính hai lần lại trở về tích
phân ban đầu)
D, Gặp dạng:
( ).ln
n
P x xdx

.Thì ta đặt u= ln
n
x và dv = P(x).dx ( Tính n lần)
E, Gặp dạng:
2 2
x a dx+

. Thì ta đặt u =
2 2
x a+
và dv = dx
Tính các tích phân sau:

31)
2
0
( ).sinI x x xdx

= +

(
2
4I

= +
) 32)
2
0
.sin .I x x dx

=

(
2
1
16 4
I

= +
)
33)
2 3

0
.
x
I x e dx

=

(
3 2
1 4 2
3 27 27
I e e=
) 34)
1
0
.3
x
I x dx=

(
2
3 2
ln3 ln 3
I =
)
35)
2
3
1
.ln .I x x dx=

(
15
4ln2
16
I =
) 36)
1
0
.sin .
x
I e x dx

=

(
2
( 1)
1
e
I


+
=
+
)
37)
2
2

.sin(ln ).
e
e
I x x dx


=

(
3
2
2
5
I e

=
) 38)
1
s(ln ).
e
I co x dx

=

(
1
( 1)
2
I e

= +
)
39)
3
3
0
sin( ).I x dx

=

(
2
12I

=
) 40)
2
0
1 sin
1 cos
x
x
I e dx
x

+
=
+

(
2
1
2
I e

= +
)
41)
1
2
0
3I x dx= +

(
7
1 ln3
4
I = +
) 42)
1
2
0
1I x dx= +

(
1
[ln(1 2) 2]
2
I = + +

)
43)
2
ln(sin )
sin
x dx
J
x
=

1.44)
2
ln(cos )
cos
x dx
J
x
=

45)
2
sin
xdx
J
x
=

1.46)
2
cos

xdx
J
x
=


47)
3
sin
dx
J
x
=

1.48))
2
3
cos
sin
x
J dx
x
=

49)
2 2
. .I x x a dx= +

1.50)
1

ln
1
x
J x dx
x

=
+



Dạng3: Tính tích phân bằng phơng pháp đổi biến số

A -
Đổi biến số cách 1
:
Để tính
( )
b
a
f x dx

ta đặt t= g(x) ( g(x) chứa trong f(x).Tiếp theo biểu diễn
f(x)dx theo t và dt.Ta thu đợc tích phân theo t ( Nhớ rằng đổi biến thì phải đổi cả cận )

Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số
Dạng tích phân Có thể chọn
Hàm có mẫu số t là mẫu số

4

Hàm chứa
( )g x
t =
( )g x
Hàm có dạng
1
( )( )x a x b+ +
t =
x a x b+ + +
b
-
Đổi biến số cách 2: Để tính
( )
b
a
f x dx

ta đặt x= g(t) rồi cũng làm nh cách 1(cách này kết hợp
với phơng pháp lợng giác hoá tích phân hàm vô tỉ).
Dựa vào bảng sau để lựa chọn biến số
Dạng tích phân Biến cần chọn điều kiện của biến
Chứa
2 2
a x
x=asint
t
;
2 2

Chứa
2 2
x a
x=a/cost
3
[0; ) [ ; )
2 2
t



Chứa
2 2
x a+
x = atant
[0; )
2
t


Chứa
a x
a x
+

x = acos2t

(0; )
2
t


Chứa
( )( )x a b x
x = a+(b - a)sin
2
t
0;
2
t





Bài 4: Dùng phơng pháp đổi biến cách 1 hãy tính các tích phân sau:

51)
1
3 2 5
0
( 2)I x x dx= +

52)
1
5 2 2
3

0
(1 2 ) .I x x dx=

53)
3
0
sin cos ).I x x dx

=

54)
1
3 2 10
0
(1 5 )I x x dx=

55)
1
5 2 2
3
0
(2 5 ) .I x x dx=

56)
5
0
cos sin ).I x x dx

=

57)
2
4
6
0
sin
cos
x
J dx
x

=

58)
3
4
2
0
sin .cos
1 cos
x x
J dx
x

=
+

59)
2
2 2

x x x
I e e e dx= +
60)
1
2
0
2
x
J dx
x
=


61)
1
5
2
2
0
1
x
J dx
x
=


62)
4
2
2

3
2
x
J dx
x
=


63)
1
6
0
1 x
J dx
x
+
=

64)
1
0
2
x
x
dx
J
e e
=
+

65)
1
0
4
x x
dx
J
e e

=



66)
2
3
8
1
2
x dx
J
x
=


67)
1
2
0
2

1
x
J dx
x x
=
+

68)
1
0
1
x
dx
J
e
=
+

69)
2
1
2 2 1
dx
J
x x
=
+

70)
1

2
0
( 1) 2 2
dx
J
x x x
=
+ + +

71)
7
2
2
2
2
1
x
x
+



Bài 5: Dùng phơng pháp đổi biến cách 2 hãy tính các tích phân sau:

5
72)
1
2
0
1 .I x dx=

73)
2
3
2 2
0
4 9 .I x x dx=

74)
3
2
0
9
dx
J
x

=
+


75)
1
2 2
0
1 .I x x dx

=

76)

3
4
2
2
0
1
x
J dx
x
=


77)
2
2 3
0
(4 )
dx
J
x
=


78)
2
2 3
0
(4 )
dx
J

x
=
+

79)
1
3
2
2
0
1
x
J dx
x
=


80)
2
3
4
( )
( )( )
a b
a b
dx
J a b
x a b x
+
+

= <


81)
2
3 2
1
4 .I x x dx

=

82)
1
3
0
2
2
x
I x dx
x
+
=


83)
5
2
0
5
5

x
I dx
x
+
=



C - Đổi biến số ở hàm l ợng giác : Giả sử cần tính tích phân
(sin ,cos )I R x x dx=

, với R là hàm
vôtỉ ta có thể chọn các hớng sau:
H ớng1 : Nếu R lẻ đối với sinx , R(- sinx,cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = cosx
H ớng2 : Nếu R lẻ đối với cosx , R(sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) thì đặt t = sinx
H ớng3 : Nếu R chẵn đối với sinx và cosx , R(- sinx, - cosx) = R(sinx,cosx) thì đặt t = tanx (t = cotx)
H ớng4 : Có thể đặt biến số t=tg(x/2) để đa về tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
Bài 6: Tính các tích phân sau:
85)
cos (1 sin )
2 sin
x x
I dx
x
+
=
+

(t=sinx) 86)
3

sin .cos
dx
I
x x
=

87)
3 5
4
sin .cos
dx
I
x x
=

(t= tanx)
88)
2
3
cos
sin
xdx
I
x
=

(t=cosx) 89)
sin 2 2sin
dx
I

x x
=


90)
cos sin
1 sin 2
x xdx
I
x

=
+

91)
sin cos
2cos sin
x xdx
I
x x

=
+

92)
2
sin 2
1 sin
xdx
I

x
=
+

93)
2 4
sin .cos
dx
I
x x
=


Dạng4: Tính tích phân của hàm số phân thức hữu tỉ
Ta dựa vào đặc thù của hàm,dùng phơng pháp phân tích hoặc đồng nhất thức để đa nguyên hàm
đã cho về các nguyên hàm cơ bản sau:
1)
1
( )
( )
a ae
cx e b
ax b a ae dx
c c
I dx dx dx b
cx e cx e c c cx e
+ +
+
= = = +
+ + +

2)
2
2
ax bx c
I dx
ex f
+ +
=
+

hoặc
2
3
2
ax bx c
I dx
mx nx p
+ +
=
+ +

thì ta chia tử cho mẫu
3)
4
2
dx
I
mx nx p

=
+ +

thì ta xét 3 trờng hợp

6