Tính taut yếu và siêu nồi của miền hartogs banach (LV01812)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN NGỌC THÀNH

TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA
MIỀN HARTOGS BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN NGỌC THÀNH

TÍNH TAUT YẾU VÀ SIÊU LỒI CỦA
MIỀN HARTOGS BANACH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ TÀI THU

HÀ NỘI, 2015


i

Lời cám ơn

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Lê Tài
Thu. Thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình
hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này em xin gửi lời cám ơn của mình tời toàn bộ các thầy
cô giáo trong Khoa Toán và Phòng Sau Đại học đã giảng dạy và giúp đỡ
chúng em trong suốt quá trình học tập tại đây đồng thời, tôi xin cảm
ơn các bạn trong lớp cao học K17 Toán Giải Tích đợt 2 đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp.

Hà Nội, tháng 8 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Ngọc Thành


ii

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Tài Thu.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 8, năm 2015
Tác giả

Nguyễn Ngọc Thành


Mục lục
Lời cám ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1. Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy và taut . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Giả khoảng cách kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2. Không gian hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Không gian hyperbolic đầy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4. Không gian Taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . .

10

1.2.1. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp . . . . . . . . . . .

10

1.2.2. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức .

12

1.3. Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1. Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4. Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.1. Định nghĩa tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4.2. Các tính chất của tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5. Miền Hartogs Ωϕ (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

15


iv

Chương 2. Tính taut yếu và siêu lồi của miền Hartogs Banach

16
2.1. Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và Taut trong không gian
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.2. Tính taut, siêu lồi của miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.1. Giả mêtric Sibony trên không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2.2. Tính hyperbolic và taut của không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.2.3. Tính taut và tính siêu lồi của miền Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3. Tính taut yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs Banach. . .

30

2.3.1. Tính taut yếu của miền Hartogs Banach.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2.3.2. Tính siêu lồi của miền Hartogs Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43


3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết các không gian phức hyperbolic được Kobayashi xây dựng
lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỷ 20, là một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần đây,
lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế
giới. Một số kết quả sâu sắc và đẹp đẽ của lý thuyết này đã được chứng
minh bởi Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly,. . . Những
công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy hướng nghiên cứu này phát triển
mạnh mẽ và đã hình thành nên một chuyên ngành mới của giải tích
toán học, đó là giải tích phức hyperbolic. Trong những năm gần đây, lý
thuyết này đã tìm thấy những mối liên hệ bất ngờ và sâu sắc với những
lĩnh vực khác của toán học, đặc biệt là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh
hình trong giải tích phức và bài toán về tính hữu hạn của tập tất cả các
ánh xạ phân hình giữa hai lớp nào đó các không gian phức. Theo quan

điểm của A. Weil, S. Lang và P. Vojta, bài toán sau cùng này có liên
quan mật thiết với hình học đại số và hình học số học. Có thể nói giải
tích phức hyperbolic đang là một lĩnh vực nghiên cứu nằm ở chỗ giao
nhau của nhiều bộ môn lớn của toán học: Hình học vi phân phức, Giải


4

tích phức, Hình học đại số và Lý thuyết số.
Một trong những hướng nghiên cứu của giải tích phức hyperbolic là
nghiên cứu tính chất hình học của các miền
Miền Hartogs đã được nghiên cứu từ lâu trong giải tích phức. Nhiều
tính chất đẹp đẽ về phương diện giải tích lẫn hình học của miền Hartogs
đã được chứng minh. Trong những năm gần đây, miền Hartogs tiếp tục
được quan tâm nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không
gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic, đặc
biệt là tính hyperbolic đầy đã được khảo sát tương đối chi tiết. Tuy
nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các tính chất hình học của miền
Hartogs trong không gian giải tích Banach chiều vô hạn còn ít được quan
tâm. Ta có thể thấy ngay sẽ xuất hiện những khó khăn lớn về mặt kỹ
thuật khi chuyển từ việc nghiên cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô
hạn chiều. Chẳng hạn đối với miền Hartogs trong không gian giải tích
Banach ta không có được tính compact địa phương cũng như không xây
dựng được khái niệm taut theo kiểu Wu cho lớp miền này.
Với những lý do trên, chúng tôi đã lựa chọn đề tài nghiên cứu về
tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach.
Trong đó, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính taut và tính siêu lồi.
Với tên đề tài là: “Tính taut yếu và siêu lồi của miền Hartogs Banach”.

5

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính taut và tính siêu lồi của
miền Hartogs trong không gian phức sau đó mở rộng một số kết quả
sang không gian giải tích Banach.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các dấu hiệu nhận biết tính hyperbolic, hyperbolic đầy
của không gian phức.
Nghiên cứu tính taut và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không
gian phức.
Nghiên cứu tính taut yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong
không gian gian Banach.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là tính taut và tính siêu lồi của miền Hartogs
trong không gian phức
Tính taut yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian
Banach.
Phạm vi nghiên cứu là miền Hartogs trong không gian phức và miền
Hartogs trong không gian Banach.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức và phương pháp nghiên cứu của giải tích


6

Thu thập, tổng hợp các bài báo, công trình nghiên cứu trong và ngoài
nước

6. Dự kiến kết quả nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về tính taut và tính siêu lồi của
miền Hartogs trong không gian phức.


7

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy và taut
Trong chương này chúng tôi giới thiệu một số định nghĩa, khái niệm
và các kết quả đã biết. Cụ thể, chúng tôi tìm hiểu về những vấn đề sau:
• Không gian hyperbolic, hyperbolic đầy và taut
• Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
• Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới
• Tập đa cực
• Miền Hartogs Ωϕ (X)
1.1.1. Giả khoảng cách kobayashi
i) Giả sử D là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức
D = {z ∈ C : |z| < 1}


8

Trên D ta xét mêtric Bergman – Poincaré ρD cho bởi
ρD (0, a) = ln

1 + |a|
, ∀a ∈ D
1 − |a|
1+

z1 −z2
1−¯
z1 z2

1−

z1 −z2
1−¯
z1 z2

ρD (z1 , z2 ) = ln

, ∀z1 , z2 ∈ D

ii) Giả sử X là không gian phức, p và q là hai điểm tùy ý của X. Xét
dãy điểm p0 = p, p1 , ..., pk = q của X, dãy điểm a1 , a2 , ..., ak ∈ D và dãy
ánh xạ chỉnh hình f1 , f2 , ..., fk ∈ Hol (D, X) sao cho:
fi (0) = pi−1
fi (ai ) = pi , ∀i = 1, 2, ..., k
Ta gọi tập hợp {p0 , p1 , ..., pk , a1 , a2 , ..., ak , f1 , f2 , ..., fk } là một dây chuyền
chỉnh hình nối p và q trong X.
k

ρD (0, ai ). Đặt

Với mỗi dây chuyền chỉnh hình như trên, ta lập tổng
i=1
k

dX (p, q) = inf

ρD (0, ai )

theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối

i=1

p và q có thể có.
Dễ thấy hàm dX : X × X → R là một giả khoảng cách và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
iii) Giả khoảng cách Kobayashi có các tính chất sau:
+) dX là hàm liên tục và xác định tô pô của X
+) Nếu f : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức
thì f giảm khoảng cách, nghĩa là:
dX (p, q) ≥ dY (f (p), f (q)), ∀p, q ∈ X
+) dD ≡ ρD


9

1.1.2. Không gian hyperbolic
Các định nghĩa sau (xem Kobayashi [12] )
Định nghĩa 1.1. Không gian phức X được gọi hyperbolic nếu giả khoảng
cách Kabayashi dX là khoảng cách trên X, tức là:
dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X

Barth [2] đã chứng minh, nếu dimX < ∞ và dX là khoảng cách trên
X thì dX xác định tô pô của X.
Như vậy không gian phức (hữu hạn chiều) X là hyperbolic khi và chỉ
khi giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X.
1.1.3. Không gian hyperbolic đầy
Định nghĩa 1.2. Không gian hyperbolic X được gọi hyperbolic đầy nếu
mọi dãy Cauchy đối với dX đều hội tụ trong X.
Kobayashi [12] đã chứng minh rằng, nếu X là không gian phức hữu
hạn chiều thì X là hyperbolic đầy khi và chỉ khi mọi tập con đóng bị
chặn trong X đều là compact.
1.1.4. Không gian Taut
Giả sử X, Y là các không gian phức. Trên Hol(X, Y) ta trang bị tô
pô compact mở. Các định nghĩa sau (xem Wu[18] và Kiernan [9])
Định nghĩa 1.3.
i) Dãy {fi }∞
i=1 ⊂ Hol (X, Y ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi
tập con compact K của X, mỗi tập con compact L của Y, tồn tại j0 ∈ N
sao cho fj (K) ∩ L = ∅ , với mọi j ≥ j0 .


10

ii) Họ Hol(X, Y) được gọi là họ chuẩn tắc nếu mỗi dãy {fi }∞
i=1 chứa
một dãy con hoặc hội tụ đều trên mỗi tập con compact hoặc phân kỳ
compact.
Định nghĩa 1.4. Không gian phức X được gọi là taut nếu họ Hol(M,
X) là chuẩn tắc với mỗi không gian phức M.
Kaup [8] đã chứng minh rằng không gian phức X là taut nếu và chỉ
nếu họ Hol (Dn , X) là chuẩn tắc với mọi n ≥ 1.

Sau đó Barth [1] đã chứng minh khẳng định mạnh hơn là không gian
phức X là taut khi và chỉ khi họ Hol(D, X) là chuẩn tắc.
Kiernan [9] đã chứng tỏ rằng không gian phức X là taut thì X là
hyperbolic và nếu X là hyperbolic đầy thì X là taut. Các khẳng định
ngược lại đều không đúng.
Ta có thể dễ dàng chỉ ra một miền bị chặn trong Cn mà không là
miền taut. Đồng thời Rosay [4] đã xây dựng một miền trong C3 là taut
mà không là hyperbolic đầy.

1.2. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi
1.2.1. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên
đa tạp
Royden [14] đã xây dựng trên mỗi đa tạp phức X giả mêtric vi phân
Royden – Kobayashi FX trên không gian tiếp xúc TX như sau:
FX (x, v) = inf

1
r , ∃f

∈ Hol(Dr , M )sao chof (0) = x, f (e0 ) = v


11

Royden đã đưa ra công thức biểu diễn giả khoảng cách Kobayashi
trên đa tạp
1

FM (γ(t), γ (t))dt : γ ∈ Ωp,q

dX (p, q) = inf
0

trong đó Ωp,q là tập hợp tất cả các đường cong liên tục từng khúc nối p
với q, tham số hóa bởi t ∈ [0, 1].
Ngoài ra, Royden đã chứng minh rằng:
i) FX là hàm nửa liên tục trên trên TM.
ii) X là hyperbolic khi và chỉ‘ khi với mỗi p ∈ X, tồn tại lân cận mở
U của p trong X và hằng số C > 0 sao cho FX (x, v) ≥ C.H(x, v) với mọi
Tx X và với mọi x ∈ U , trong đó H là mêtric Hecmit trên TX.
Mở rộng kết quả của Royden sang không gian phức ta có:
Định nghĩa 1.5. Giả sử X là không gian phức, TX là không gian tiếp
xúc Zariski của X, e0 =

∂
∂z |z=0

∈ T0 Dr sao cho ϕ (u) = v. Nón Royden –

Kobayashi FX được xác định:
ConX : = {v ∈ T X; ∃ϕ ∈ Hol (Dr , X) , ∃u ∈ T0 Dr sao cho v = ϕ (u)}
Giả mêtric vi phân Royden – Kobayashi FX là hàm trên TX được xác
định như sau:

 inf 1 : ∃ϕ ∈ Hol(Dr , X), ϕ(0) = z, ϕ (e0 ) = v , v ∈ ConX
r
FX (z, v) =
 +∞, v ∈
/ ConX
Định lý 1.1. Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi với mỗi

p ∈ X, tồn tại lân cận mở U của p trong X và hằng số C > 0 sao cho
FX (x, v) ≥ C.H (x, v) với mọi v ∈ Tx X và với mọi x ∈ U , trong đó H
là mêtric Finsler trên TX.


12

1.2.2. Biểu diễn tích phân của giả khoảng cách Kobayashi trên
không gian phức
Venturini [16] cũng đã đưa ra một công thức biểu diễn giả khoảng
cách Kobayashi trên không gian phức.
Giả sử X là không gian phức, x ∈ X và ξ ∈ Jk (X)x giả mêtric
Venturini được định nghĩa như sau:
FXk (x, ξ) = inf

1
r ; ∃f

∈ Hol(D, X), f (0) = x, jk (f )x = rξ

Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X được biểu
diễn dưới dạng:
1

dX (p, q) = inf sup FXk (γ(t), jk γ(t))dt : γ ∈ Ωp,q
k≥1 0

ở đó Ωp,q là tập hợp tất cả các đường cong giải tích thực liên tục từng
khúc nối p với q.

1.3. Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới
1.3.1. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.6. Giả sử Ω là một tập con mở trong Rn
Hàm u : Ω → [−∞, +∞) , u = −∞ trên mọi thành phần liên thông
của Ω được gọi là điều hòa dưới trong Ω nếu u thỏa mãn hai điều kiện
sau:
(i) u là nửa liên tục trên trên Ω, tức là tập {z ∈ Ω : u (z) < s} là mở
với mỗi số thực s.


13

(ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của Ω, với mỗi hàm
h : G → R điều hòa trong G và liên tục trên G sao cho u ≤ h trên ∂G
thì u ≤ h trong G.
1.3.2. Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.7. Giả sử Ω là một tập con mở trong Cn .
Hàm ϕ : Ω → [−∞, +∞) được gọi là đa điều hòa dưới trong Ω nếu ϕ
thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) ϕ là nửa liên tục trên trên Ω và ϕ = −∞ trên mọi thành phần
liên thông của Ω.
(ii) Với mỗi điểm z 0 ∈ Ω và mỗi đường thẳng phức l (ξ) = z 0 + w.ξ
đi qua z 0 (ở đó w ∈ Cn , ξ ∈ C, hạn chế ϕ lên đường thẳng này, tức là
hàm ϕ ◦ l (ξ) hoặc là điều hòa dưới hoặc ≡ −∞ trên mọi thành phần
liên thông của tập mở {ξ ∈ C : l (ξ) ∈ Ω}.
Ta có tiêu chuẩn đa điều hòa dưới sau:
Hàm ϕ : Ω → [−∞, +∞) nửa liên tục trên trên miền Ω ⊂ Cn là đa
điều hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi: Với mọi z 0 ∈ Ω và mỗi w ∈ Cn , tồn
tại r0 = r0 z 0 , w sao cho
ϕ(z 0 ) ≤

1
2π

2π

ϕ(z 0 + wreit )dt với mọi r < r0 .
0

Hàm đa điều hòa dưới ϕ thuộc lớp C 2 (Ω), Ω là miền trong Cn cần và
đủ là tại mỗi điểm z ∈ Ω, đối với w ∈ Cn tùy ý ta có bất đẳng thức sau:
n

Hz (ϕ, w) =
µ,υ=1

∂2ϕ
¯υ
∂zµ ∂zυ (z)wµ w

≥0

Nếu ϕ thuộc lớp C 2 (Ω) và với mọi z ∈ Ω, Hz (ϕ, w) > 0, w ∈ Cn \ {0}
thì ϕ được gọi là đa điều hòa dưới chặt trong miền Ω ⊂ Cn .


14

Định nghĩa 1.8. Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hòa
dưới trên X là hàm ϕ : X → [−∞, +∞) thỏa mãn: Với mỗi z ∈ Xtồn

tại lân cận U của z và một ánh xạ song chỉnh hình h : U → V , với V là
một không gian con phức đóng của một miền G nào đó trong Cn , và tồn
tại một hàm đa điều hòa dưới ϕ : G → [−∞, +∞) sao cho ϕ |U = ϕ ◦ h.
Để ý rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa
phương.
J. E. Fornaess và R. Narasimhan [5] đã chứng minh rằng: Hàm nửa
liên tục trên ϕ : X → [−∞, +∞) là đa điều hòa dưới khi và chỉ khi ϕ ◦ f
là điều hòa dưới hoặc ≡ −∞ với mọi ánh xạ chỉnh hình f : D → X
trong đó D là đĩa đơn vị mở trong C.
Ký hiệu PSH(X) là tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên không
gian phức X.
Định nghĩa 1.9. Giả sử X là không gian phức. Hàm ϕ : X → R
gọi là vét cạn đa điều hòa dưới nếu ϕ−1 ([−∞, c]) là compact với mọi
−∞ < c < +∞.

1.4. Tập đa cực
1.4.1. Định nghĩa tập đa cực
Định nghĩa 1.10. Giả sử X là không gian phức. Một tập E ⊂ X được
gọi là tập đa cực (đa cực đầy) nếu với mỗi điểm a ∈ E tồn tại một lân
cận V của a và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : V → [−∞, +∞) sao cho
E ∩ V ⊂ {z ∈ V : ϕ (z) = −∞} (E ∩ V = {z ∈ V : ϕ (z) = −∞})


15

1.4.2. Các tính chất của tập đa cực
Tập đa cực có nhiều tính chất, tuy nhiên tính chất sau đây hay được
sử dụng
Định lý 1.2. Hợp đếm được của các tập đa cực là một tập đa cực.

1.5. Miền Hartogs Ωϕ (X)
Định nghĩa 1.11. Giả sử ϕ là hàm nửa liên tục trên trên không gian
phức X. Miền Ωϕ (X) được xác định bởi:
Ωϕ (X) = {(z, λ) ∈ X × C : |λ| < e−ϕ(z) } ⊂ X × C
được gọi là miền Hartogs.


16

Chương 2
Tính taut yếu và siêu lồi của miền
Hartogs Banach
Việc nghiên cứu các tính chất hình học của miền Hartogs trong không
gian phức hữu hạn chiều dưới góc độ của giải tích phức hyperbolic đã
đạt được nhiều kết quả. Tuy nhiên việc khảo sát một cách hệ thống các
tính chất hình học của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach
vô hạn chiều còn ít được quan tâm. Ta có thể thấy ngay rằng sẽ xuất
hiện những khó khăn lớn về mặt kỹ thuật khi chuyển từ việc nghiên
cứu miền Hartogs hữu hạn chiều lên vô hạn chiều. Chẳng hạn đối với
miền Hartogs trong không gian giải tích Banach ta không có được tính
compact địa phương cũng như không xây dựng được khái niệm taut theo
kiểu Wu cho lớp miền này.
Mục đích đầu tiên của chương này là mở rộng các kết quả của Sibony
sang trường hợp không gian và nghiên cứu tính taut và tính siêu lồi của
miền Hartogs trong không gian phức.
Mục đích thứ hai là nghiên cứu tính hyperbolic, hyperbolic đầy, taut


17

yếu và tính siêu lồi của miền Hartogs trong không gian giải tích Banach.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một số tiêu chuẩn để nhận biết tính
hyperbolic, hyperbolic đầy và tính taut trong không gian phức.

2.1. Tiêu chuẩn hyperbolic, hyperbolic đầy và Taut
trong không gian phức
Trong phần này, chúng tôi giới thiệu một số tiêu chuẩn để nhận biết
tính hyperbolic, hyperbolic đầy và taut trong không gian phức.
Kobayashi [12] đã đưa ra một số tiêu chuẩn nhận biết tính hyperbolic
và hyperbolic đầy:
Định lý 2.1. Giả sử X là không gian phức con của không gian phức Y.
(1) Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic;
(2) Nếu Y là hyperbolic đầy và X là đóng thì X là hyperbolic đầy
Định lý 2.2. Giả X, Y là các không gian phức và f : X → Y là ánh xạ
chỉnh hình. Giả sử Y’ là không gian con của Y và X = f −1 (Y ). Nếu
X và Y’ là hyperbolic đầy thì X’ cũng là hyperbolic đầy.
Định lý 2.3. Giả sử X là không gian phức. Nếu tồn tại họ các điểm
pα ∈ X và các số dương δα sao cho, với mỗi α, δα - lân cận:
Uα = {q ∈ X : dX (pα , q) < δα }
là hyperbolic và {Uα } là phủ mở của X thì X là hyperbolic.
Đặc biệt, nếu mỗi p ∈ X, tồn tại số dương δ sao cho δ – lân cận
U (p, δ) = {q ∈ X : dX (p, q) < δ}


18

là hyperbolic thì X là hyperbolic.
Định lý 2.4. Giả sử X là không gian phức. Nếu tồn tại số dương δ
sao cho với mỗi p ∈ X, δ – lân cận U(p, δ) là hyperbolic đầy thì X là
hyperbolic đầy.

Định lý 2.5. Giả sử X là không gian phức và π : X → X là ánh xạ phủ
chỉnh hình giữa các không gian phức. Thế thì
(1) Nếu p, q ∈ X và p, q ∈ X với π(˜
p) = p và π(˜
q) = q
p, q˜)
dX (p, q) = inf dX˜ (˜
q
˜

˜ sao cho π(˜
ở đó infimun được lấy với mọi q˜ ∈ X
q ) = q.
˜ là hyperbolic (hyperbolic đầy) nếu và chỉ nếu X là hyperbolic
(2) X
(hyperbolic đầy);
˜ d ˜ ) → (X, dX ) là đẳng cự địa
(3) Nếu X là hyperbolic thì π : (X,
X
phương và dX˜ = π ∗ dX .
Định lý 2.6. Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không
gian phức. Với mỗi y ∈ Y và δ > 0, tập U(y; δ) = u ∈ Y : dY (y, u) < δ.
Nếu với mỗi y ∈ Y tồn tại số δ > 0 sao cho π −1 (U (y, δ)) là hyperbolic
thì X là hyperbolic.
Eastwood [3] đã chứng minh được định lý sau:
Định lý 2.7. Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không
gian phức. Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở {Ui }
sao cho với mỗi π −1 (Ui ) là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic
(hyperbolic đầy).

19

Định lý 2.8. Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là hàm chỉnh
hình bị chặn ở trên X. Thế thì không gian con mở
X = {p ∈ X : f (p) = 0} = X_Zero (f )
là hyperbolic đầy.
Định nghĩa 2.1.
i) Cho Y là không gian phức. Không gian con X ⊂ Y được gọi là
¯ có lân cận Vp
hyperbolic đầy địa phương ở trong Y nếu mỗi điểm p ∈ X
ở trong Y sao cho Vp ∩ X là hyperbolic đầy.
ii) A được gọi là Cartier divisor ở trong không gian phức Y nếu với
mỗi điểm x ∈ A có lân cận V ở trong Y sao cho A ∩ V được xác định
bởi f = 0, ở đó f là hàm chỉnh hình ở trên V.
Định lý 2.9. Giả sử Y là không gian phức và A là Cartier divisor của
Y. Thế thì
(1) Y – A là hyperbolic đầy địa phương ở trong Y;
(2) Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì Y – A là hyperbolic (hyperbolic đầy).
Wu [19] đưa ra định nghĩa:
Định nghĩa 2.2.
i) Không gian phức X với hàm khoảng cách δ xác định tô pô của X
được gọi là δ - tight nếu Hol(D, X) là đồng liên tục với δ.
ii) Không gian phức X được gọi là tight nếu nó là δ - tight với một δ.
Chú ý 2.1. Nếu X là hyperbolic thì nó là dX – tight.
Kiernan [9] đã chứng minh được:


20

Định lý 2.10. Không gian phức X là hyperbolic nếu và chỉ nếu nó là
tight.
Urata [17] sử dụng bổ đề Brody để chứng minh được định lý sau:
Định lý 2.11. Giả sử X là không gian phức với hàm độ dài E và G =
Aut(X, E) là nhóm tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả sử X/G là compact . Khi
đó X là hyperbolic đầy nếu nó không chứa đường thẳng phức h : C → X.
Định nghĩa 2.3. Không gian phân thớ (X, π,R) gồm các không gian
phức X, R và toàn ánh chỉnh hình π : X → R
Ký hiệu:Xr = π −1 (r) , XU = π −1 (U ) với r ∈ R, U ⊂ R.
Định lý 2.12. Giả sử (X, π, R) là không gian phân thớ với thớ hyperbolic
compact. Nếu R là hyperbolic (hyperbolic đầy) và mỗi thành phần liên
thông của Xr là hyperbolic (hyperbolic đầy) thì X là hyperbolic (hyperbolic
đầy).
Do Duc Thai and Nguyen Le Huong [15] đã đưa ra tiêu chuẩn sau để
nhận biết tính taut.
Định lý 2.13. Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình riêng giữa các
không gian phức sao cho với mỗi y ∈ Y tồn tại một lân cận Uy sao cho
π −1 (Uy ) là taut. Khi đó nếu Y là taut thì X cũng là taut.
Hệ quả 2.1. Giả sử π : X → Y là ánh xạ chỉnh hình hữu hạn riêng
giữa các không gian phức. Nếu Y là taut thì X cũng là taut.
Zaidenberg [20] đã tổng quát hóa định lý Eastwood [3] như sau:


21

Định lý 2.14. Giả sử f : X → Y là ánh xạ chuẩn tắc giữa các không
gian phức. Nếu Y là hyperbolic (hyperbolic đầy) và Y có phủ mở {Vα }
của Y sao cho f −1 (Vα ) hoặc là rỗng hoặc là hyperbolic (hyperbolic đầy)
thì X là hyperbolic (hyperbolic đầy).

2.2. Tính taut, siêu lồi của miền Hartogs
Năm 1981 Nessim Sibony đã nghiên cứu mối liên hệ giữa sự tồn tại
của hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên đa tạp phức và tính hyperbolic.
Để làm được điều này Sibony đã đưa ra khái niệm giả mêtric vi phân
PM trên không gian tiếp xúc của M (M là đa tạp phức hữu hạn chiều).
Định nghĩa PM tương tự như giả mêtric vi phân Caratheodory EM bằng
cách thay thế hàm chỉnh hình bị chặn bởi lớp các hàm đa điều hòa dưới
bị chặn. Giả mêtric PM là giảm khoảng cách đối với ánh xạ chỉnh hình
và lớn hơn EM nhưng nhỏ hơn giả mêtric vi phân FM . Sau đó Sibony đã
sử dụng giả mêtric PM để chứng minh rằng nếu đa tạp phức M có hàm
liên tục vét cạn đa điều hòa dưới bị chặn thì M là hyperbolic và là taut.
Trong phần này, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả của Sibony sang trường
hợp không gian phức.
2.2.1. Giả mêtric Sibony trên không gian tiếp xúc
Giả sử u là hàm số lớp C 2 trên tập mở của Cn và W = (W1 , ..., Wn ) ∈
Cn . Ta ký hiệu Lu (p) w, w =

n
i,j=1

∂ 2 u(p)
∂zi ∂zj wi w j

là dạng Levi của u tại p. Ở đó u là hàm số trong lân cận U của điểm p
và ξ ∈ Tp M ,ở đó Tp M là không gian tiếp xúc của M tại p.