Phương pháp tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình tuyến tính

M

U

Nhi u bƠi toán th c t d n đ n các ph
v i h s nguyên mƠ ta ph i tìm đ
ph

ng trình nƠy. Ph

ph ng tuy n tính.

ng trình, h ph

ng trình tuy n tính

c nghi m nguyên c a ph

ng trình nh th th

ng đ

c g i lƠ ph

ơy lƠ m t ch đ quan tr ng trong ch

ng trình vƠ h
ng trình

i-ô-

ng trình ph thông.

Trong l ch s toán h c đư có r t nhi u các nhƠ toán h c nghiên c u v ch đ nƠy.
Tuy nhiên, s l

ng các v n đ c n đ

c gi i quy t còn r t nhi u.

Lu n v n nƠy có m c đích tìm hi u vƠ trình bƠy các thu t toán tìm nghi m
nguyên c a ph

ng trình vƠ h ph

N i dung lu n v n đ
Ch

ng trình tuy n tính v i các h s nguyên.

c chia thƠnh 3 ch

ng:

ng 1 "Ki n th c chu n b ” nh c l i các khái ni m

phép chia hai s nguyên, s nguyên t vƠ h p s ,
nhi u s nguyên, thu t toán

-clít tìm

c s vƠ ph n d c a

c chung l n nh t c a hai hay

c chung l n nh t, đ c p t i khái ni m

đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph

ng trình

i-ô-ph ng tuy n tính

c a hai hay nhi u bi n s , đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph
Ch

ng 2 "Ph

ng trình.

ng trình tuy n tính" đ c p t i khái ni m nghi m nguyên

riêng vƠ nghi m nguyên t ng quát c a ph

ng trình tuy n tính v i h s nguyên

c a hai hay nhi u bi n s . Trình bƠy hai thu t toán tìm nghi m nguyên riêng vƠ
nghi m nguyên t ng quát c a ph

ng trình tuy n tính vƠ ch ng minh tính đúng đ n

c a các thu t toán gi i, cùng v i các ví d s minh h a cho thu t toán.
Ch
h ph
ph

ng 3 "H ph

ng trình tuy n tính" đ c p t i các bƠi toán th c t d n t i

ng trình tuy n tính v i các h s nguyên vƠ trình bƠy các thu t toán gi i h

ng trình tuy n tính, ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán gi i, cùng v i

các ng d ng có liên quan c a các bƠi toán đ
c a h ph

ng trình tuy n tính v i h s nguyên.

1

c xét. Tìm nghi m nguyên d

ng


Do th i gian vƠ ki n th c còn h n ch nên ch c ch n lu n v n nƠy còn có
nh ng thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô vƠ các b n đóng góp ý ki n đ tác
gi ti p t c hoƠn thi n lu n v n sau nƠy.
Nhơn d p nƠy, tác gi lu n v n xin bƠy t lòng bi t n sơu s c t i GS.TS. Tr n
V Thi u, đư t n tình giúp đ trong su t quá trình lƠm lu n v n. Tác gi c ng xin

chơn thƠnh c m n các th y, cô giáo

B môn toán đư nhi t tình gi ng d y, các

cán b Phòng sau đ i h c vƠ qu n lý khoa h c, Ban giám hi u Tr

ng đ i h c

Th ng Long đư quan tơm, đ ng viên vƠ t o m i đi u ki n thu n l i trong quá trình
tác gi h c t p vƠ nghiên c u t i Tr

ng.
HƠ N i, tháng 05 n m 2016
Tác gi

Lê Minh Qu nh Hoa

2

Thang Long University Libraty


Ch

ng 1

KI N TH C CHU N B
Ch

ng nƠy nh c l i khái ni m ph n d c a phép chia hai s nguyên,

chung l n nh t c a hai hay nhi u s nguyên, thu t toán
nh t vƠ đ c p t i bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph

-clit tìm

c chung l n

ng trình tuy n tính v i h

s nguyên c a hai hay nhi u bi n s , đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph
trình. N i dung c a ch

ng đ

ng

c tham kh o t các tƠi li u [1], [2] vƠ [4].

1.1.

C CHUNG L N NH T

1.1.1.

c s vƠ ph n d

Xét t p s nguyên

c

= {0,  1,  2, ... }. T lý thuy t s , ta có k t qu sau

nh lỦ 1.1.(Thu t toán chia) V i m i a, b  , b  0, t n t i duy nh t q, r ,
0  r < |b|, sao cho a = bq + r. (Chia a cho b đ

c q lƠ th

ng s , r lƠ ph n d ).

Ví d 1.1. a) V i a = 23, b = 5 ta có q = 4, r = 3, vì 23 = 54 + 3.
b) V i a = 17, b = - 3 ta có q = - 5, r = 2, vì 17 = (- 3)(- 5) + 2.
c) V i a = - 11, b = 2 ta có q = - 6, r = 1, vì - 11 = 2(- 6) + 1.
d) V i a = - 9, b = - 4 ta có q = 3, r = 3, vì - 9 = (- 4)3 + 3.
nh ngh a 1.1. V i a, b  , ta nói a lƠ
nguyên x sao cho a.x = b. Trong tr

c (divisor) c a b n u t n t i s

ng h p nƠy ta nói r ng b chia h t (divisible)

cho a hay b lƠ b i (multiple) c a a vƠ vi t a | b (đ c lƠ a lƠ
nói a không lƠ

c c a b). Trái l i, ta

c c a b vƠ vi t a b.

Ví d 1.2. Do 2 vƠ - 3 lƠ

c c a 6 nên ta vi t 2 | 6 vƠ - 3 | 6. Nh ng 4 không lƠ

c c a 6 nên ta vi t 4 6.
BƠi t p 1.1. Gi s a, b, c, m, n  . N u a | b vƠ a | c thì a | (mb + nc).
nh ngh a 1.2. V i b t k a  , các đi u sau đơy luôn đúng:
1 | a, - 1 | a, a | a, - a | a.

3


Ta nói 1, - 1, a vƠ - a lƠ các
lƠ đ n v (units), m i

c t m th

ng (trivial divisors) c a a; 1 vƠ -1 g i

c b t k khác c a a g i lƠ

c th c s (proper divisors).

1.1.2. S nguyên t vƠ h p s
nh ngh a 1.3. S nguyên d
không có

c th c s . S nguyên d

c th c s . N u a lƠ s nguyên d

ng a > 1 g i m t lƠ s nguyên t (prime) n u a

ng a g i lƠ m t h p s (composite) n u a có
ng vƠ các s nguyên t p1, p2, ... , pk th a mưn

p1p2 ... pk = a thì tích p1p2 ... pk g i lƠ phân tích th a s nguyên t (prime
factorization) c a a.
Ví d 1.3. Các s nguyên t < 40: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.
nh lỦ 1.2. ( nh lý c b n c a s h c) M i s a  , a > 1, có phơn tích
th a s nguyên t duy nh t (không k s sai khác v th t các th a s ).
Ví d 1.4. 12 = 223; 18 = 232; 231 = 3711.
nh ngh a 1.4. Cho a, b 

. Ta đ nh ngh a

c chung l n nh t (greatest

common divisor) c a a vƠ b lƠ s nguyên l n nh t d mƠ c a vƠ b đ u chia h t cho
d: d | a vƠ d | b.

c chung l n nh t đ

s s d ng (a, b) đ ch

c chung l n nh t c a a vƠ b.

Ví d 1.5. Hưy tìm
±1, ±2, ±4, ±8; vƠ các

c ký hi u lƠ (a, b) = d ho c gcd (a, b) = d. Ta

c chung l n nh t c a 8 vƠ 20. Ta th y các

c c a 20 lƠ ±1, ±2, ±4, ±5, ±10. T đó,

20 lƠ ±1, ±2, ±4. Vì th ,

c c a 8 lƠ

c chung c a 8 vƠ

c chung l n nh t c a 8 vƠ 20 lƠ 4. Ta vi t gcd (8, 20) = 4

ho c (8, 20) = 4. Có th ki m tra l i r ng (12, - 9) = 3; (- 15, 20) = 5; (- 3, - 7) = 1.
nh ngh a 1.5. N u

c chung l n nh t (a, b) = 1 thì ta nói hai s nguyên a

vƠ b lƠ nguyên t cùng nhau (relatively prime).
nh lỦ 1.3. N u a, b 
Ví d 1.6. Hưy tìm

và (a, b) = d thì (a/d, b/d) = 1.

c chung l n nh t c a 20 vƠ 45. B ng cách phơn tích ra

th a s nguyên t ta có 20 = 22×5 vƠ 45 = 32×5. T đó, ta tìm đ

c

c chung l n

nh t c a 20 vƠ 45 b ng 5, t c lƠ (20, 45) = 5. Ta th y

4

Thang Long University Libraty


(20/5, 45/5) = (4, 9) = 1.
nh lỦ 1.4. N u a, b, c 

sao cho a | bc và a, b nguyên t cùng nhau thì a | c.

nh lỦ 1.5. Cho a, b, c  . Khi đó (a + cb, b) = (a, b).
Ví d 1.7. Xét ba s : a = 110, b = 44, c = 22. Theo

nh lý 1.4, ta s có

(110 + 22×44, 44) = (110, 44) hay (1078, 44) = (110, 44).
ki m tra đ ng th c nƠy, ta c n tính (1078, 44) vƠ (110, 44). Ta th y
44 = 22×11, 110 = 2×5×11 vƠ 1078 = 2×72×11.
T đó suy ra (1078, 44) = (110, 44) = 22. K t qu ki m tra đúng.
nh ngh a 1.6. Cho a, b  . T h p tuy n tính (linear combination) c a a vƠ
b lƠ t ng có d ng ax + by, trong đó x, y  .
nh lỦ 1.6. Cho hai s a, b  . Khi đó d = (a, b) là s nguyên d
nh t bi u di n đ

cd

ng nh

i d ng d = ax + by v i x, y  .

Ví d 1.8. Gi s a = 51 vƠ b = 187. Ta th y 51 = 3×17 vƠ 187 = 11×17. T
đó (51, 187) = 17. N u ch n x = 4, y = - 1, ta có
51×4 - 187×1 = 204 - 187 = 17 = (51, 187).
nh lỦ 1.7. N u a, b, m, n 

và c là

c s chung c a a và b thì c c ng là

c s c a ma + nb, ngh a là
(c | a vƠ c | b)

c | (ma + nb).

Ví d 1.9. Gi s a = 21, b = 39, vƠ c = 3. Ta có 21 = 3×7 vƠ 39 = 3×13. Vì
th , 21 vƠ 39 chia h t cho 3. Gi s m = 7, n = - 3. Khi đó
7×21 - 3×39 = 147 - 117 = 30.
Rõ rƠng 3 lƠ

c c a 30, vì 30 = 3×10.

nh lỦ 1.8. N u a, b là các s nguyên d

ng thì t p h p các t h p tuy n tính

c a a và b là t p các b i nguyên c a (a, b).
Ví d 1.10. Gi s a = 52, b = 117. Ta th y 52 = 22×13 vƠ 117 = 32×13.

5

Do đó (52, 117) = 13. V i b t k x, y
ph

tìm đ

c s nguyên k nghi m đúng

ng trình 52x + 117y = 13k. Tìm x vƠ y cho ta k = 2, t c lƠ x, y th a mưn 52x +

117y = 13×2 = 26. Chia c hai v cho 13, ph
tìm đ

ng trình rút g n còn 4x + 9y = 2. Ta

c x = 5 vƠ y = - 2, vì 4×5 - 9×2 = 20 - 18 = 2.

1.1.3.

c chung l n nh t c a nhi u s nguyên

nh ngh a 1.7. Ta m r ng đ nh ngh a

c chung l n nh t cho n s nguyên

v i n ≥ 2. Xét n s nguyên, không cùng b ng 0. Ta đ nh ngh a
c a chúng lƠ s l n nh t trong các

c chung l n nh t

c chung c a n s đó vƠ vi t (a1, a2, ... , an).

Ví d 1.11. Có th th y (2, 6, 14) = 2 vƠ (7, 21, 49) = 7.
Tuy nhiên, đôi khi ta g p nhi u h n ba s nguyên ho c nhi u s ph c t p mƠ
ta không th d dƠng tìm đ

c

c chung c a chúng. Trong nh ng tr

ng h p nh

th , ta có th dùng đ nh lý sau đơy.
nh lỦ 1.9. N u a1, a2, ... , an là các s nguyên, không cùng b ng 0, thì (a1, a2,
... , an-1, an) = (a1, a2, ... , (an-1, an)).
Ví d 1.12. Tìm

c chung l n nh t c a 96, 405, 693 vƠ 1989.

Phơn tích các s nguyên ra th a s nguyên t vƠ dùng

nh lý 1.9, ta th y

96 = 25×3, 405 = 34×5, 693 = 32×7×11, 1989 = 32×13×17.
(96, 405, 693, 1989) = (96, 405. (693, 1989))
= (96, 405, 9)
= (96, (405, 9))
= (96, 9) = 3.
nh lỦ 1.10. N u c, d 

và c = dq + r, v i q, r 

thì (c, d) = (r, d).

Ví d 1.13. Xét đ ng th c
48 = 9×5 + 3.
N u phơn tích đ ng th c nƠy theo

nh lý 1.10, ta th y

c = 48, d = 9, q = 5 vƠ r = 3.

6

Thang Long University Libraty


Ta có 48 = 24×3 vƠ 9 = 32. Áp d ng đ nh lý ta đ
1.2.

c (48, 9) = (3, 9) = 3.

NG D

nh ngh a 1.8. Cho a, b 

. Ta nói r ng a đ ng d v i b (congruent to)

modulo m (vi t t t lƠ mod m) n u m | (a - b). Ta ký hi u lƠ a  b (mod m).

Nh n xét 1.1. L u ý r ng ta có th bi u di n m | a b ng a  0 (mod m).
BƠi t p 1.2. V i b t k a 

ta có:

1. a  a (mod m);
2. N u a  b (mod m) thì b  a (mod m);
3. N u a  b (mod m) vƠ b  c (mod m) thì a  c (mod m).
N u a  b (mod m) thì ta có:
1. a + c  b + c (mod m);
2. ac  bc (mod m).
N u có thêm c  d (mod m) thì ta có:
1. a + c  b + d (mod m);
2. ac  bd (mod m).
NgoƠi ra, n u ac  bd (mod m) vƠ c, m nguyên t cùng nhau thì a  b (mod m).
Bơy gi ta có th phơn lo i s nguyên thƠnh các l p d a trên quan h đ ng d
modulo m c a chúng, v i s nguyên m nƠo đó, m > 1, b ng cách đ t các s nguyên
đ ng d v i nhau vƠo cùng m t l p. M i s nguyên ch đ

c đ t m t vƠ ch m t

l p nh th vƠ b t k c p s nguyên x, y l y ra t cùng m t l p s th a mưn x  y
(mod m). Các l p nƠy g i lƠ l p th ng d modulo m (residue classes), ký hi u lƠ
a m , trong đó a lƠ m t ph n t trong l p đó. M t t p ch a đúng m t ph n t c a m i
l p th ng d có th đ

c vi t thƠnh /m . Ví d khi m = 4, ta có th vi t /4 =

{0, 1, 2, 3}. V i m t s phép toán, c th lƠ c ng, tr , nhơn vƠ l y th a, thì m t
ph n t b t k c a l p lƠ đ i di n cho c l p, ngh a lƠ th c hi n các phép toán nƠy

7


trên các ph n t đ i di n c a hai l p s cho k t qu l p th ng d gi ng nh áp d ng
cho ph n t b t k c a m i l p đó. V i các phép toán khác, ví d
nh t, thì không đ

c chung l n

c.

Nh n xét 1.2. Ta có th tùy ý thay đ i gi a bi u th c đ ng d vƠ bi u th c đ i
s c a m t s . Ch ng h n, phát bi u "n có d ng 4k + 1" t

ng đ

ng v i cách nói

r ng n  1 (mod 4).
nh lỦ 1.11. N u m, n nguyên t cùng nhau thì m có ngh ch đ o trong phép
nhân modulo n.
Ch ng minh. Vì m, n nguyên t cùng nhau nên
= am + bn v i a, b 

theo

nh lý 1.6. Xét ph

c chung l n nh t (m, n) = 1

ng trình đ ng d (modulo n):

1  am + bn (mod n)
1  am + 0  am (mod n).
Do đó m có ngh ch đ o trong phép nhơn modulo n.
1.3. THU T TOÁN

-CLIT VẨ M

M c nƠy đ c p t i thu t toán
c a hai s nguyên d

฀

R NG

–clít quen thu c đ tìm

c chung l n nh t

ng. ó lƠ thu t toán c c k nhanh đ tìm

c chung l n nh t.

nh lỦ 1.12. (Thu t toán –clít)

tìm

ta đ t r- 1 = a, r0 = b, r i tính liên ti p th

c chung l n nh t c a hai s a và b

ng qi+1 và s d ri+1 theo

ri-1 = riqi+1 + ri+1
v i i = 0, 1, 2, ... cho t i khi g p s d rn+1 = 0. Khi đó, s d khác không cu i cùng
rn s là

c chung l n nh t c a a và b.

Ví d 1.14. Ta minh h a thu t toán

-clít qua vi c tìm (246, 699). L n l

t

th c hi n các phép chia sau:
699 = 246×2 + 207
246 = 207×1 + 39
207 = 39×5 + 12

8

Thang Long University Libraty


39 = 12×3 + 3
12 = 3×4 + 0.
Thu t toán

cùng.

-clít nói r ng

c chung l n nh t c a hai s lƠ s d khác 0 cu i

ví d trên, s d khác 0 cu i cùng lƠ 3 nên (246, 699) = 3.

N u mu n tìm

c chung l n nh t c a nhi u h n hai s thì ta có th s d ng

thu t toán -clít, k t h p v i

nh lý 1.9.

Ví d 1.15. S d ng thu t toán -clít tìm (33, 176, 275, 352, 539, 1331).
• Tr

c h t tìm (539, 1331) b ng cách s d ng thu t toán -clít. Ta có

1331 = 539×2 + 253
539 = 253×2 + 33
253 = 33×7 + 22
33 = 22×1 + 11
22 = 11×2 + 0.
S d khác 0 cu i cùng lƠ 11. Vì th , (539, 1331) = 11.
• Ti p theo lƠ tìm (33, 176, 275, 352, 11) = (33, 176, 275, (352, 11)).
Ta có 352 = 11×32 + 0. S d b ng 0, vì th (352, 11) = 11.
• Ti p theo ta tìm (33, 176, 275, 11) = (33, 176, (275, 11)).

Ta có 275 = 11×25 + 0, t c 275 lƠ b i c a 11 vƠ (275, 11) = 11.
• Ti p theo tìm (33, 176, 11) = (33, (176, 11)).
Do 176 = 11×16 + 0 nên (176, 11) = 11.
• Cu i cùng, tìm (33, 11) = (11×3, 11) = 11.
K t qu lƠ (33, 176, 275, 352, 539, 1331) = 11.
 Bi u di n d = (a, b) d
Ta đư bi t cách tìm

i d ng t h p tuy n tính c a a vƠ b
c chung l n nh t c a hai s nguyên b ng thu t toán

-clít. Gi s rn = (a, b), a > b, rn-2 = rn-1×qn + rn vƠ rn-1 = rn×qn+1 + 0.

9


Khi ta mu n vi t

c chung l n nh t c a hai s nguyên d

i d ng m t t h p

tuy n tính c a nh ng s nguyên nƠy, ta s d ng quy trình sau.
ng th c (a, b) = rn = rn-2 - rn-1×qn cho th y (a, b) lƠ m t t h p tuy n tính c a
rn-2 vƠ rn-1. T đ ng th c tr

c đó rn-3 = rn-2×qn-1 + rn-1 suy ra
rn-1 = rn-3 - rn-2×qn-1.

Vì v y, ta nh n đ

c
rn = rn-2 - (rn-3 - rn-2×qn-1)×qn
= rn-2(1 + qn-1×qn) - qn×rn-3.

Bi u th c cu i cho th y rn lƠ m t t h p tuy n tính c a rn-2 vƠ rn-3.
Ta ti p t c quá trình "bi u di n (a, b) nh t h p tuy n tính c a m i c p s
d " cho t i khi tìm đ

c (a, b) nh t h p tuy n tính c a a vƠ b.

V i c p s d ri vƠ ri-1 ta có bi u di n (a, b) = k×ri + m×ri-1.
Do ri = ri-2 - ri-1×qi nên ta có
(a, b) = k×(ri-2 - ri-1×qi) + m×ri-1.
= k×ri-2 + (m - k×qi)ri-1
Ti p t c cho t i đ ng th c đ u a = b×q1 + r1, ta s tìm đ
h p tuy n tính c a a vƠ b.
d

nh lý sau đ a ra ph

c (a, b) nh m t t

ng pháp quy n p đ tìm (a, b)

i d ng m t t h p tuy n tính c a a vƠ b.
nh lỦ 1.13. Cho a, b là hai s nguyên d

ng. Khi đó, ta có bi u di n

d = (a, b) = kn×a + mn×b
v i kn và mn là s h ng th n c a dãy s đ

c xác đ nh theo đ quy b i

k -1 = 1, m -1 = 0, k0 = 0, m0 = 1 và
ki = ki -2 - ki -1×qi, mi = mi -2 - mi -1×qi v i i = 1, 2, ... , n,
trong đó qi là th

ng s c a phép chia th i trong thu t toán

-clít tìm

c chung

l n nh t c a a và b.

10

Thang Long University Libraty


Ví d 1.16. Tìm s nguyên x vƠ y sao cho 161x + 1274y = (161, 1274).
Tr

c h t ta s d ng thu t toán -clit đ tìm (161, 1274). Ta có

1274 = 161×7 + 147,
161 = 147×1 + 14,
147 = 14×10 + 7,

14 = 7×2 + 0.
S d khác 0 cu i cùng lƠ 7, vì th (161, 1274) = 7.
Bơy gi s d ng phép thay th theo h

ng ng

c l i đ tìm cách bi u di n 7

nh m t t h p tuy n tính c a 161 vƠ 1274. Ta có
7 = 147 - 14×10,
= 147 - (161 - 147)×10,
= 11×147 - 161×10,
= 11×(1274 - 161×7) - 161×10,
= - 87×161 + 11×1274.
K t qu : m t nghi m nguyên c a ph

ng trình

161x + 1274y = (161, 1274) = 7
lƠ x = - 87, y = 11 (Ki m tra l i: 1274×11 - 161×87 = 14014 - 14007 = 7).
1.4. PH

NG TRỊNH I-Ô-PH NG TUY N TÍNH

nh ngh a 1.9. Ph

ng trình

s nguyên vƠ nghi m c a ph

i-ô-ph ng lƠ ph

ng trình đa th c v i các h

ng trình c ng lƠ các s nguyên.

Ví d 1.17. Sau đơy lƠ m t s ph

ng trình i-ô-ph ng b c 1, 2 vƠ 3:

3x + 2y = 13; 5x2 - 3y2 - 4x + 2y + 7 = 0; x3 + y3 = z3.
Ph

ng trình

i-ô-ph ng đ n gi n nh t lƠ ph

ng trình

i-ô-ph ng tuy n

tính:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b (n nguyên, n  1),

11

(2.1)


trong đó a1, a2, ... , an, b 

vƠ a1, a2, ... , an không cùng b ng 0. Ví d ph

trình tuy n tính hai bi n: ax + by = c v i a, b, c
V n đ đ t ra lƠ xác đ nh xem m t ph

ng

.

ng trình tuy n tính đư cho có nghi m

nguyên hay không? N u có thì tìm t t c các nghi m nguyên c a ph

ng trình?

nh lý sau đơy cho m t đi u ki n c n vƠ đ cho s t n t i nghi m nguyên c a
ph

ng trình tuy n tính (2.1).
nh lỦ 1.14. Cho a, b và c 

v i a, b không cùng b ng 0. Ph

tuy n tính ax + by = c có nghi m nguyên khi và ch khi d = (a, b) là

ng trình

c c a c.

Ch ng minh. ( ) Gi s x0 vƠ y0 lƠ m t nghi m nguyên. Khi đó ax0 + by0 =
c. Do d | a vƠ d | b nên theo

nh lý 1.7, d | (ax0 + by0), t c d lƠ

( ) Gi s d | c. Khi đó c = d×k v i k  . Theo

nh lý 1.6, có th vi t (a, b)

nh m t t h p tuy n tính c a a vƠ b. Do đó, t n t i u, v
b×v. Nhơn hai v v i k ta đ

c c a c.
th a mưn d = a×u +

c c = d×k = a(u×k) + b(v×k). Ch ng t ph

ng trình

ax + by = c có nghi m nguyên x = u×k, y = v×k).
Ví d 1.18. Tìm nghi m c a ph
toán -clit ta tìm đ
lý 1.14, ph

ng trình 126x + 54y = 11. S d ng thu t

c (126, 54) = 18. Do 11 không chia h t cho 18 nên theo

nh

ng trình đư cho không có nghi m nguyên.

nh lý 1.14 đ

c m r ng cho ph

ng trình có nhi u h n hai bi n.

nh lỦ 1.15. Cho a1, a 2 ,..., a n , c  và a1, a 2 ,..., a n  0 . Ph

ng trình tuy n tính

a1 x1  a 2 x2  ...  a n xn  c có nghi m nguyên khi và ch khi c chia h t cho
d  a1 , a 2 ,...,a n . H n n a, n u ph ng trình có nghi m nguyên thì ph ng trình
s có vô s nghi m nguyên.
Ch ng minh. ( ) Gi s x1 , x2 ,..., xn lƠ m t nghi m. Khi đó
a 1 x1  a 2 x2  ...  a n xn  c .

Do d a 1 , d a 2 ,..., d a n nên theo



nh lý 1.7,



d a1 x1  a 2 x2  ...  a n xn ,

12

Thang Long University Libraty


c c a c hay c chia h t cho d  a1 , a 2 ,...,a n .

t c d lƠ

d  a1 , a 2 ,..., a n và d c . Ta ch ng minh ph

( ) Gi s

ng trình

a1 x1  a 2 x2  ...  a n xn  c .
có vô s nghi m nguyên. Mu n th , ta dùng ph

ng pháp quy n p.

nh lý 2.2 cho th y đi u kh ng đ nh nƠy đúng v i n = 2. Gi s
đúng v i n = k, t c lƠ ph

đi u nƠy

ng trình

a1 x1  a 2 x2  ...  a k xk  c v i d  a1 , a 2 ,..., a k  c
có vô s nghi m. Ta s ch ra ph

ng trình v i n = k+ 1 bi n

a1 x1  a 2 x2  ...  a k xk  a k1 xk1  c v i d  a1 , a 2 ,..., a k , a k 1  c
c ng có vô s nghi m.
Th t v y, ta tìm cách đ a ph

ng trình v i n = k+ 1 bi n

a1 x1  a 2 x2  ...  a k xk  a k1 xk1  c v i d  a1 , a 2 ,..., a k , a k 1  c
v ph

ng trình

i-ô-ph ng tuy n tính v i k bi n. Gi s

c  d  p v i p lƠ s

nguyên.
Theo

nh lý 1.8, t p t t c các t h p tuy n tính c a a k xk  a k1 xk1 trùng

v i t p t t c các b i nguyên c a a k , a k1  . Vì th v i các nghi m nguyên

xk , xk1 vƠ p, ph ng trình i-ô-ph ng tuy n tính
a k xk  a k1 xk1  a k , a k1  p
có vô s nghi m.
Do đó ph

ng trình đ

c rút g n ch còn k bi n

a1 x1  a 2 x2  ...  a k1 xk1  a k , a k1   p  c (*)
Theo

nh lý 1.9, d  a1 , a 2 ,...,a k , a k 1   a1 , a 2 ,..., a k 1 , a k , a k 1  .

Do đó n u c chia h t cho d thì c c ng chia h t cho a1 , a 2 ,..., a k1 , a k , a k1  .

13


Vì th , theo gi thi t quy n p, ph
lƠ ph

ng trình (*) có vô s nghi m ( do (*) c ng

ng trình i-ô-ph ng tuy n tính k bi n) vƠ ta hoƠn thƠnh ch ng minh đ nh lý

theo quy n p.
Tóm l i, ch

ng nƠy đư trình bƠy l i m t s khái ni m c b n c a lý thuy t s :

c s vƠ ph n d , s nguyên t vƠ h p s ,
đ ng d vƠ bƠi toán tìm nghi m nguyên c a ph
đi u ki n t n t i nghi m nguyên c a ph

c chung l n nh t, thu t toán
ng trình

-clit,

i-ô-ph ng tuy n tính vƠ

ng trình i-ô-ph ng tuy n tính.

14

Thang Long University Libraty


Ch

GI I PH
Ch

ng 2

NG TRỊNH TUY N TÍNH H S

NGUYÊN

ng nƠy đ c p t i khái ni m nghi m nguyên riêng vƠ nghi m nguyên

t ng quát c a ph

ng trình tuy n tính v i các h s nguyên c a hai hay nhi u bi n

s . Ti p đó trình bƠy hai thu t toán, khác v i thu t toán
nguyên t ng quát c a ph

-clit đư bi t, tìm nghi m

ng trình vƠ ch ng minh tính đúng đ n c a các thu t

toán, cùng v i các ví d s minh h a thu t toán. N i dung c a ch

ng đ

c tham

kh o ch y u t tƠi li u [2] vƠ [4].
2.1. NGHI M NGUYÊN RIÊNG VẨ NGHI M NGUYÊN T NG QUÁT
Xét ph

ng trình tuy n tính n bi n
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b,

trong đó m i ai  0 vƠ m i ai, b 
Gi s h 

(

(2.1)

( - t p các s nguyên).

- t p các s t nhiên) vƠ fi :

h

 , i = 1, ... , n (hƠm c a n

đ i s nguyên vƠ nh n giá tr nguyên). Sau đơy ta nêu m t s khái ni m c n thi t.
nh ngh a 2.1. x0 = (x 10 , ... , x 0n ) lƠ m t nghi m nguyên riêng c a ph
trình (2.1) n u m i x i0 

ng

vƠ a1x 10 + ... + anx 0n = b.

nh ngh a 2.2. x = (f1(k1, ... , kh), ... , fn(k1, ... ,kh)) lƠ m t nghi m nguyên
t ng quát c a ph

ng trình (2.1) n u:

a) a1f1(k1, ... , kh) + ... + anfn(k1, ... ,kh) = b, k = (k1, ... , kh) 
b) V i m i nghi m nguyên riêng x0 = (x 10 , ... , x 0n ) c a ph
t n t i k0 = (k 10 , ... , k 0h ) 

h

h

vƠ

ng trình (2.1) đ u

sao cho x i0 = fi(k 10 , ... , k 0h ), i = 1, ... , n.

Nghi m nguyên t ng quát có th đ

c bi u di n b i các hƠm tuy n tính.

V i 1  i  n ta xét các hƠm fi = ci1k1 + ... + cihkh + di v i ci1, ... , cih, di  .
nh ngh a 2.3. A = (cij)nh g i lƠ ma tr n t
quát c a ph

ng trình (2.1).

15

ng ng v i nghi m nguyên t ng


nh ngh a 2.4. Các s nguyên k1, ... , ks, 1  s  h, g i lƠ đ c l p n u các c t
t

ng ng c a ma tr n A lƠ đ c l p tuy n tính.
nh ngh a 2.5. M t nghi m nguyên lƠ s - l n b t đ nh n u s t i đa các tham

s đ c l p b ng s.
nh lỦ 2.1. Nghi m nguyên t ng quát c a (2.1) là (n - 1) - l n b t đ nh.
Có th xem ch ng minh đ nh lý trong [2], tr. 4 - 6.
Tr

c khi trình bƠy thu t toán m i, ta nh c l i công th c tính nghi m nguyên

t ng quát đư bi t, d a trên

c chung l n nh t. V i ph

nh lỦ 2.2. Cho a, b 
nguyên khi và ch khi d là

và d = (a, b). Ph

ng trình hai bi n ta có:

ng trình ax + by = c có nghi m

c c a c. N u d | c thì ph

ng trình có vô s nghi m

nguyên. H n n a, n u x = x0, y = y0 là m t nghi m nguyên riêng c a ph
thì nghi m t ng quát c a ph
x = x0 +

ng trình có d ng

b
a
×k và y = y0 - ×k v i k  .
d
d

tìm nghi m nguyên riêng c a ph



ng trình

ng trình ax + by = c ta s d ng

nh

lý 1.13 vƠ Thu t toán -clit m r ng (xemVí d 1.16).
Ví d 2.1. Tìm nghi m riêng vƠ nghi m t ng quát c a ph

ng trình:

10x + 4y = 16 (a = 10, b = 4 vƠ c = 16).
Thu t toán

-clit cho ta d = (10, 4) = 2. Do d = 2 lƠ

nh lý 1.14, ph
ph

ng trình đư cho có nghi m.

c c a c = 16 nên theo

tìm nghi m riêng x 0, y0 c a

ng trình, áp d ng thu t toán -clit m r ng, ta tìm đ

c 2 = 10×1 - 4×2. Nhơn

hai v v i 8 ta có 16 = 108 + 4(- 16). T đó cho th y: x0 = 8, y0 = - 16 lƠ m t
nghi m riêng c a ph
Theo



ng trình.

nh lý 2.2, nghi m t ng quát c a ph ng trình đư cho có d ng:
10k
4k
x=8+
= 8 + 2k, y = - 16 = - 16 - 5k, k
.
2
2

nh lý 2.2 đ

c m r ng cho ph

ng trình v i nhi u h n hai bi n s .

16

Thang Long University Libraty


Ví d 2.2. Tìm các nghi m nguyên c a ph
Ta th y (4, 8) = 4. Ph

ng trình 4x + 8y + 5z = 7.

ng trình đư cho tr thƠnh (4, 8)(x + 2y) + 5z = 7. N u

đ t w = x + 2y thì có th vi t 4w + 5z = 7. D dƠng th y r ng (4, 5) = 1. Do 7 chia
h t cho 1 vì 7 = 1×7 (k = 7). Theo

nh lý 2.2, ph

ng trình nƠy có vô s nghi m.

tìm m t nghi m riêng w0, z0, áp d ng thu t toán -clit m r ng, ta tìm đ
4×(- 1) + 5×1

c1=

4(- 7) + 57) = 7. Suy ra nghi m riêng w0 = - 7, z0 = 7.

Theo l 2.2, nghi m t ng quát c a ph

ng trình 4w + 5z = 7 lƠ

w = - 7 + 5n, z = 7 - 4n, n
Ti p theo, ta tìm x vƠ y t ph

ng trình x + 2y = w hay

x + 2y = - 7 + 5n v i (1, 2) = 1 lƠ
Có th th y ph

.

c s c a - 7 + 5n.

ng trình nƠy có m t nghi m riêng lƠ x0 = - 7 + 5n vƠ y0 = 0.

T đó nghi m t ng quát c a ph

ng trình lƠ

x = x0 + 2p, y = y0 - p vƠ z = 7 - 4n, n, p
x = - 7 + 5n + 2p, y = - p vƠ z = 7 - 4n, n, p

.

• Ta có th gi i ph ng trình theo m t cách khác (ghép y v i z).
K t qu ta nh n đ

c nghi m t ng quát v i các tham s khác lƠ s vƠ m.

x = 1 + s, y = 6 - 8s + 5m vƠ z = - 9 + 12s - 8m, s, m

.

• Có th ch ra r ng các tham s s, m liên h v i các tham s n, p theo h th c
s = 5n + 2p - 8 vƠ m = 8n + 3p - 14.
Tóm l i, nghi m t ng quát c a ph

ng trình đư cho ph thu c hai tham s

nguyên n vƠ p (ho c s vƠ m) nh đư nêu trên.
2.2. THU T TOÁN GI M D N H S
Thu t toán nh m xác đ nh xem ph

ng trình tuy n tính v i h s nguyên có

nghi m nguyên hay không, n u có thì đ a ra nghi m t ng quát c a ph

17

ng trình.


u vƠo: Ph



ng trình tuy n tính a1x1 + ... + anxn = b v i ai, b  , xi lƠ n

s nguyên c n tìm, i = 1, ... , n, vƠ ít nh t m t ai  0.
u ra: Cho bi t ph



ng trình có nghi m nguyên hay không. N u ph

trình có nghi m nguyên thì cho ra nghi m t ng quát c a ph
Thu t toán g m 9 b

ng trình.

c nh sau:

B

c 1. Tính d = (a1, ... , an) -

B

c 2. N u d | b (d lƠ

c chung l n nh t c a a1, ... , an.

c c a b hay b chia h t cho d) thì "ph

nghi m nguyên": Chuy n t i B
"ph

ng

c 3. N u d

ng trình có

b (b không chia h t cho d) thì

ng trình không có nghi m nguyên": D ng thu t toán.
B

c 3.

t h ;= 1. N u |d|  1 thì chia ph

ng trình cho d.

t l i ai := ai / d,

i = 1, ... , n, b := b / d.
B

c 4. Tính s a = min |ai| vƠ xác đ nh ch s i sao cho |ai| = a.

B

c 5. N u a  1 thì chuy n t i B

B

c 6. N u a = 1 thì:

a i 0

(A)

c 7.

t xi = - (a1x1 + ... + ai-1xi-1 + ai+1xi+1 + ... + anxn - b)ai.

(B) Thay giá tr c a xi vƠo bi u th c c a các bi n đư đ

(C) L n l

B

c 8.

t gán các tham s nguyên k1, k2, ... , kn-1 cho các bi n v ph i các

bi u th c c a nh ng bi n đư đ

c xác đ nh.

(D) Ghi l i nghi m t ng quát v a nh n đ
B

c xác đ nh

c 7. Vi t m i aj, j  i d

c trên đơy vƠ d ng thu t toán.

i d ng:

aj = aiqj+ rj, j  i, b = aiq + r v i 0  rj < ai, 0  r < ai vƠ

a j 
b
qj =   , q =   ([x] lƠ s nguyên l n nh t nh h n hay b ng x).
ai 
ai 

B

c 8.

t xi = - q1x1 - ... - qi-1xi-1 - qi+1xi+1 - ... - qnxn + q - th. Thay giá tr c a

xi vƠo bi u th c c a các bi n đư đ
B

c 9.

c xác đ nh tr

c đó

B

c 8.

t l i a1 := r1, ... , ai-1 := ri-1, ai+1 = ri+1, ... , an := rn vƠ

18

Thang Long University Libraty


ai := - ai, b := r, xi = th, h := h + 1.
vƠ tr l i B

c 4 v i ph

ng trình m i:

a1x1 + ... + ai-1xi-1 + aith + ai+1xi+1 + ... + anxn = b.


minh h a cho thu t toán nêu trên, ta xét ví d sau.

Ví d 2.3. Tìm nghi m nguyên c a ph

ng trình v i các h s nguyên 4 n:

6x1 - 12x2 - 8x3 + 22x4 = 14.
Gi i. Áp d ng thu t toán v a trình bƠy:
1.

c chung l n nh t d = (6, - 12, - 8, 22) = 2.

2. Do 2 | 14 (2 lƠ
3.

c s c a 14) nên ph

ng trình có nghi m nguyên.

t h := 1. Do |d| = |2|  1 nên chia hai v c a ph

ng trình cho 2 ta đ

c:

3x1 - 6x2 - 4x3 + 11x4 = 7.
Ghi l i các h s c a ph

ng trình: a1 = 3, a2 = - 6, a3 = - 4, a4 = 11 vƠ b = 7.

4. Tính s a := min {|3|, |- 6|, |- 4|, |11|} = 3 ch s đ t min i = 1.
5. Do a  1 nên chuy n t i B

c 7.

7. Vi t l i các h s aj, j  i = 1

d ng:

a2 = - 6 = 3(- 2) + 0 (q2 = - 2, r2 = 0),
a3 = - 4 = 3(- 2) + 2 (q3 = - 2, r3 = 2),
a4 = 11 = 33 + 2 (q4 = 3, r4 = 2),
b = 7 = 32 + 1 (q = 2, r = 1).
8.

t x1 = 2x2 + 2x3 − 3x4 + 2 − t1 (bi n x1 đư đ

9.

t l i a2 := 0, a3 := 2, a4 := 2 vƠ a1 := - 3, b := 1, x1 := t1, h := 2.
Tr l i B

c 4 v i ph

c xác đ nh).

ng trình m i - 3t1 + 0.x2 + 2x3 + 2x4 = 1.

4. Tính s a := min {|- 3|, |2|, |2|} = 2 vƠ ch s đ t min i = 3.
5. Do a  1 nên chuy n sang B
7. Vi t l i các h s aj, j  i = 3

c 7.
d ng:

19

(a)


a1 = - 3 = 2(- 2) + 1 (q1 = - 2, r1 = 1),
a2 = 0 = 20 + 0 (q2 = 0, r2 = 0),
a4 = 2 = 21 + 0 (q4 = 1, r4 = 0),
b = 1 = 20 + 1 (q = 0, r = 1).
8.

t x3 = 2t1 + 0.x2 - x4 + 0 - t2. (bi n x3 đư đ

c xác đ nh).

Thay giá tr c a x3 vƠo bi u th c c a bi n x1 đư xác đ nh theo (a), ta đ

(b)
c

x1 = 2x2 - 5x4 + 3t1 - 2t2 + 2.
9.

(c)

t l i a1 := 1, a2 := 0, a4 := 0 vƠ a3 := - 2, b := 1, x3 := t2, h := 3.
Tr l i B

c 4 v i ph

ng trình m i: 1.t1 + 0.x2 - 2t2 + 0.x4 = 1.

4. Tính s a := min {|1|} = 1 vƠ ch s đ t min i = 1.
5. Do a = 1 nên th c hi n B

c 6.

6. (A) t1 = - (0.x2 - 2t2 + 0.x4 - 1)1 = 2t2 + 1.
(B) Thay giá tr c a t1 vƠo các bi u th c c a x1 vƠ x3 đư xác đ nh tr
theo (c) vƠ (b), ta nh n đ

c đơy

c:

x1 = 2x2 - 5x4 + 4t2 + 5 vƠ x3 = - x4 + 3t2 + 2.
(C) L n l

t gán tham s x2 ;= k1, x4 := k2, t2 := k3 v i k1, k2, k3  .

(D) Nghi m t ng quát c a ph

ng trình ban đ u lƠ:

x1 = 2k1 - 5k2 + 4k3 + 5,
x2 = k1,
x3 = - k2 + 3k3 + 2,
x4 = k2 v i k1, k2, k3  .
Ki m tra l i cho th y nghi m nƠy th a mưn ph


ng trình tuy n tính đư cho. ฀

ch ng minh tính đúng đ n c a thu t toán, ta c n t i các b đ sau đơy.

B đ 2.1. Thu t toán trên đây là h u h n.

20

Thang Long University Libraty


Ch ng minh. Gi s a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b lƠ ph

ng trình tuy n tính ban

đ u, v i ít nh t m t ai  0. B ng cách đánh s l i các bi n vƠ đ i d u hai v c a
ph

ng trình n u c n, ta có th gi thi t r ng

min a s = a1.
a s 0

Gi s a1  1 (N u a1 = 1 thì thu t toán d ng
khi chuy n t ph

ng trình ban đ u t i ph

B

c 6).Theo thu t toán m i

ng trình m i: a 1 x1 + a 2 x 2 + ... +

a n x n = b', v i | a 1 | < |ai|, i = 2, ... , n, |b'| < |b| vƠ a 1 = - a1. T đó suy ra

min a s < min a s .
as 0

a s 0

Ti p t c nh v y, sau m t s h u h n b
Th c ra, theo nh n xét v a r i, a c a ph
Trong tr

c( B

c 4) a = 1.

ng trình sau luôn nh h n a tr

ng h p nƠy (a = 1) thu t toán d ng

B đ 2.2. Gi s ph

c, ta nh n đ
B

c 6.

฀

ng trình tuy n tính có d ng:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b,

v i min a s = a1 và ph
a s 0

c đó.

(2.2)

ng trình
- a1t1 + r2x2 + ... + rnxn = r,

(2.3)

v i t1 = - x1 - q2x2 - ... - qnxn + q, trong đó ri = ai - a1qi, i = 2, ... , n, r = b - a1q và

a 
qi =  i  , q =
 a1 

b
 a  ([x] - s nguyên l n nh t  x).
 1

Khi đó, x1 = x 10 , x2 = x 02 , … , xn = x 0n là m t nghi m riêng c a ph

ng trình

(2.2) khi và ch khi t1 = t 10 = - x1 - q2x 02 - … - qnx 0n + q, x2 = x 02 , … , xn = x 0n là m t
nghi m riêng c a ph

ng trình (2.3).

Ch ng minh. Ta th y
x1 = x 10 , x2 = x 02 , … , xn = x 0n lƠ m t nghi m riêng c a ph
a1x 10 + a2x 02 + … + anx 0n = b

ng trình (2.2)

a1x 10 + (r2 + a1q2)x 02 + … + (rn + a1qn)x 0n = a1q + r

r2x 02 + … + rnx 0n - a1(- x 10 - q2x 02 - … - qnx 0n + q) = r

21

- a1t 10 + r2x 02 + … + rnx 0n = r


t1 = t 10 , x2 = x 02 , … , xn = x 0n là m t nghi m riêng c a ph

ng trình (2.3).

฀

B đ 2.3. xi = ci1k1 + ci2k2 + ... + cin-1kn-1 + di, i = 1, ... , n là nghi m t ng quát
c a ph

ng trình (2.2) khi và ch khi

t1 = - (c11 + q2c21 + ... + qncn1)k1 - ... - (c1n-1 + q2c2n-1 + ... + qncnn-1)kn-1 - (d1 + q2d2 + ... + qndn) + q,
xj = cj1k1 + ... + cjn-1kn-1 + dj, j = 2, . . . , n.
là nghi m t ng quát c a ph

ng trình (2.3).

Ch ng minh. t1 = t 10 = - x 10 - q2x 02 - … - qnx 0n + q, x2 = x 02 , … , xn = x 0n lƠ m t
nghi m riêng c a ph
nghi m riêng c a ph

ng trình (2.2)
ng trình (2.3)

x1 = x 10 , x2 = x 02 , … , xn = x 0n lƠ m t
k1 = k 10  , … , kn = k 0n 

sao cho

xi = ci1k 10 + ci2k 02 + … + cin-1k 0n1 + di = x i0 , i = 1, ... , n
k1 = k 10  , k2 = k 02  , ,… , kn-1 = k 0n1 

sao cho

xi = ci1k 10 + ci2k 02 + … + cin-1k 0n1 + di = x i0 , i = 1, ... , n vƠ
t1 = - (c11 + q2c21 + ... + qncn1)k 10 - ... - (c1n-1 + q2c2n-1 + ... + qncnn-1) k 0n1 - (d1 + q2d2 + ... + qndn) + q = - x 10 - q2x 02 - … - qnx 0n + q = t 10 .
B đ 2.4. Ph

฀

ng trình tuy n tính
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b

(2.4)

v i |a1| = 1 có nghi m t ng quát
x1 = - (a2k2 + ... + ankn - b) a1,
xi = ki  , i = 2, ... , n.
Ch ng minh. Xét m t nghi m riêng c a ph

ng trình (2.4)

x1 = x 10 , x2 = x 02 , … , xn = x 0n .
T n t i k2 = x 02 , … , kn = x 0n sao cho
x1 = - (a2x 02 + … + anx 0n - b) a1 = x 10 , x2 = x 02 , … , xn = x 0n .
B đ 2.5. Xét ph

฀

ng trình tuy n tính a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b v i

22

Thang Long University Libraty


min a s = a1 và ai = a1qi, i = 2, ... , n.
a s 0

Khi đó, nghi m t ng quát c a ph

ng trình là

x1 = - (q2k2 + ... + qnkn - q),
xi = ki  , i = 2, ... , n.
Ch ng minh. Chia hai v c a ph

ng trình cho a1 vƠ áp d ng B đ 2.4.

฀

nh lỦ 2.3 (Tính đúng đ n c a thu t toán). Thu t toán cho nghi m t ng quát
c a ph

ng trình tuy n tính a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b v i ai, b 

và ai  0.

Ch ng minh. Theo B đ 2.1, thu t toán lƠ h u h n. Tính đúng đ n c a các
B

c 1, 2, 3 lƠ rõ rƠng.

B

đúng đ n c a thao tác (A)

c 4 luôn có min |as| b i vì có ít nh t m t ai  0. Tính
B

Thu t toán nƠy trình bƠy ph

c 6 suy ra t các B đ 2.4 vƠ 2.5 t

ng pháp nh n đ

ng ng.

c nghi m t ng quát c a ph

trình ban đ u thông qua nghi m t ng quát c a ph

ng

ng trình tuy n tính nh n đ

c

sau khi thu t toán đư th c hi n m t s vòng l p (theo các B đ 2.2 vƠ 2.3), t B
đ 2.3 suy ra r ng vi c nh n đ
ban đ u t

ng đ

ng v i tính nghi m t ng quát c a ph

nghi m t ng quát c a ph
nh lý đư đ

2.5).

c nghi m t ng quát c a ph

ng trình đó đ

ng trình tuy n tính

ng trình

B

c 6 A) mƠ

c cho b i thu t toán (theo B đ 2.4 vƠ

c ch ng minh xong.

2.3. THU T TOÁN S

฀

D NG PHÉP

NG D

M c nƠy trình bƠy m t thu t toán khác tìm nghi m nguyên c a ph

ng trình

tuy n tính v i các h s nguyên, d a trên phép tính đ ng d . Ch ng minh tính đúng
đ n c a thu t toán vƠ nêu ví d minh h a.
Xét ph

ng trình tuy n tính:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b v i m i ai, b 

Tr

ng h p ai, b 

(

vƠ ai  0.

- t p các s h u t ), i = 1, ... , n, đ

(2.5)

c qui v tr

ng

h p trên b ng cách qui đ ng m u s các s h u t vƠ kh m u s chung. Ký hi u d

23


= (a1, ... , an) lƠ
s , ph

c chung l n nh t c a a1, ... , an. Theo đ nh lý đư bi t c a lý thuy t

ng trình (2.5) có nghi m nguyên khi vƠ ch khi d | b (d lƠ

N u ph

ng trình có nghi m nguyên vƠ d  1, ta chia ph

c c a b).

ng trình cho d. Khi

đó d = 1.
Có hai tr

ng h p đ c bi t:

a) N u m i ai = 0 thì ph

ng trình có nghi m nguyên t ng quát lƠ xi = ki  ,

i = 1, ... , n, khi b = 0 (đó lƠ tr
quát lƠ n - l n b t đ nh) vƠ ph

ng h p duy nh t có nghi m nguyên t ng
ng trình vô nghi m khi b  0.

b) N u i, 1  i  n, sao cho ai =  1 thì nghi m nguyên t ng quát lƠ
n


xi = ai  b   a s k s  vƠ xs = ks  , s  {1, ... , n} \ {i}.


s 1,s i



Hai tr
tr

ng h p trên đơy lƠ t m th

ng h p còn l i đ
u vƠo: Ph

ng nên s b b qua. Thu t toán cho m i

c mô t nh sau:
ng trình tuy n tính

a1x1 + ... + anxn = b, ai, b  , ai   1, i = 1, ... , n
v i ít nh t m t ai  0 vƠ (a1, ... , an) = 1, t c

c chung l n nh t c a a1, ... , an b ng 1.

u ra: Nghi m nguyên t ng quát c a ph
Thu t toán d ng l p g m 5 b

(2.6)

ng trình.

c nh sau:

B

c 1.

B

c 2. Tìm r vƠ c p ch s (i, j) sao cho

t h := 1 (s bi n nguyên m i), p := 1 (s bi u th c c a bi n m i).



min r : r  a i mod a j , 0  r  a j

1i , j n



(n u có nhi u c p (i, j) đ t c c ti u thì ta ch n m t c p b t k trong s đó).
B

c 3. N u |r|  1 thì chuy n t i B

c 4. N u |r| = 1 thì



n


xi := r   a j t h   a s x s  b ,
s 1


si , j



24

Thang Long University Libraty



r  ai
ai  r n
. asxs 
xj := r  a i t h 
aj
a j s1

si , j




b .



(A) Th các giá tr v a tính c a xi vƠ xj vƠo m i bi u th c (p), p = 1, 2, ...
(n u có th ).
(B) T bi u th c cu i cùng ( p ) nh n đ
bi u th c tr

c trong thu t toán, th vƠo các

c đó ( p - 1), ( p - 2), ... , (1) n u p > 1.

(C) M i bi u th c k t ( p - 1) c n áp d ng cùng m t thao tác nh
sau đó l n l

t lƠm nh v y đ i v i ( p - 2), ... , (3) n u p > 2.

(D) Ghi l i giá tr c a các bi n xi (i = 1, ... , n) c a ph
sau khi đư gán tham s nguyên k1, k2, ... , kn-1 t
có m t

v ph i bi u th c đư tính đ

B

c 4. L p bi u th c (p): xj = th -

B

c 5.

ng trình ban đ u,

ng ng cho các bi n

c c a chúng. D ng thu t toán.

ai  r
x i.
aj

t l i xj := th, ai := r, h := h + 1, p := p + 1. Các h s khác vƠ các

bi n khác không thay đ i.
Tr l i B

c 2 v i ph

ng trình m i:
n

asxs

rxi + ajth +

= b.

s 1
si , j

minh h a thu t toán, ta xét ví d sau.
Ví d 2.4. Tìm nguy n nguyên c a ph

ng trình

17x1 - 7x2 + 10x3 = - 12 (a1 = 17, a2 = - 7, a3 = 10, b = - 12).
Gi i. Áp d ng thu t toán v a mô t .
1.

(B),

t h = 1, p = 1.

2. V i c p ch s (1, 2): min {|r| : r  17 (mod - 7), 0 < |r| < 7} = 3.
V i c p ch s (2, 1): min {|r| : r  - 7 (mod 17), 0 < |r| < 17} = 7.

V i c p ch s (1, 3): min {|r| : r  17 (mod 10), 0 < |r| < 10} = 3.

25