Phương pháp spline collocation với phương trình vi tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

DƯƠNG CÔNG HUÂN

PHƯƠNG PHÁP SPLINE COLLOCATION
VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Tuấn, thầy đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giảng giải để tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu cùng toàn thể các
thầy cô giáo trường THPT Tam Đảo, Vĩnh Phúc đã giúp đỡ, tạo mọi
điều kiện thuận lợi giúp tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau đại
học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức, giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học
tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Dương Công Huân


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Tuấn
luận văn: Phương pháp spline collocation giải phương trình tích
phân là công trình nghiên cứu của tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu viết luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn, các thông
tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Dương Công Huân


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3. Xấp xỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân
bằng phương pháp spline collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1. Phương pháp spline collocation cho phương trình tích phân
Volterra cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.1. Hàm spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.2. Phương pháp spline collocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.1.3. Nghiệm xấp xỉ của phương trình vi tích phân Volterra tuyến tính cấp hai .

31

2.1.4. Sự siêu hội tụ của nghiệm xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.5. Nghiệm xấp xỉ của phương trình Volterra phi tuyến cấp hai . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.2. Phương pháp spline collocation cho phương trình vi tích phân
Fredholm-Volterra cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Chương 3. Ứng dụng tìm nghiệm xấp xỉ của một số phương
trình Volterra cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học, phương pháp spline collocation là một trong những
phương pháp giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân thường,
phương tình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân. Ý tưởng của
phương pháp này là chọn một không gian hữu hạn chiều chứa các nghiệm
có thể có của bài toán, không gian thường dùng là không gian các đa
thức đặc biệt gồm các đa thức từng đoạn (piecewise polynomial)-gọi là
các spline có bậc hữu hạn đã biết nào đó và chọn các điểm trong miền
xác định nằm trong không gian các đa thức hữu hạn chiều đó, các điểm
này gọi là các điểm collocation và chọn nghiệm mà thỏa mãn phương
trình đã cho tại các điểm collocation đó. Như vậy, nghiệm xấp xỉ của
phương trình nhờ đó thu được bằng phương pháp spline collocation.
Với mong muốn tìm hiểu phương pháp spline collocation giải xấp
xỉ phương trình vi tích phân nói chung và nâng cao tốc độ hội tụ của
phương pháp (siêu hội tụ) mà các luận văn Thạc sỹ của học viên trước
chưa đề cập, đồng thời nâng cao kiến thức đã học trong chương trình
đại học và cao học, tôi chọn đề tài Phương pháp spline collocation
giải phương trình vi tích phân làm luận văn cao học của mình.

2. Mục đích nghiên cứu
- Trình bày một số khái niệm về phương pháp spline collocation, về
phương trình tích phân Volterra cấp hai, áp dụng phương pháp spline
1


collocation cho phương trình tích phân Volterra.
- Nghiên cứu sự siêu hội tụ của phương pháp spline collocation với các
phương trình vi tích phân.
- Xây dựng nghiệm spline collocation cho một lớp phương trình vi tích
phân.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân, cụ thể là
lớp phương trình tích phân Volterra, sự siêu hội tụ của nghiệm xấp xỉ.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của phương
trình vi tích phân bằng phương pháp spline collocation.
Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong nước và nước
ngoài liên quan đến giải xấp xỉ nghiệm của phương trình vi tích phân
bằng phương pháp spline collocation.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất;
- Tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.

6. Những đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và
học viên cao học về phương pháp spline collocation.
2


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian tuyến tính
Trong mục này, ta nhớ lại các khái niệm về không gian tuyến tính,
không gian con, chuẩn và cơ sở.
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập hợp gồm các phần tử x, y, z, . . . mà ta
gọi là các vectơ, và cho P là trường số thực hoặc phức. Trên X ta trang
bị hai phép toán cộng và nhân như sau:

Phép cộng, kí hiệu là:
+ : X × X −→ X
(x, y) −→ x + y
Phép nhân với vô hướng, kí hiệu là
· : P × X −→ X
(λ, x) −→ λx
và thỏa mãn 8 tiên đề sau đây:
1. (x + y) + z = x + (y + z),
2. x + y = y + x,

∀x, y, z ∈ X;

∀x, y ∈ X;

3. ∃θ ∈ X, ∀x ∈ X : x + θ = x;
4. ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = θ;
3


∀λ, µ ∈ P, ∀x, ∈ X;

5. (λ + µ)x = λx + µx,
6. λ(µx) = (λµ)x,

∀λ, µ ∈ P, ∀x, ∈ X;

7. λ(x + y) = λx + λy,

∀x, y, z ∈ X;

8. ∀x ∈ X : 1 · x = x;
phần tử −x gọi là phần tử đối của phần tử x, phần tử θ gọi là phần
tử không, khi đó ta nói (X, +, ·) (hoặc đơn giản X) là một không gian
tuyến tính trên trường P. Tùy theo trường P là thực hoặc phức thì ta gọi
X tương ứng là không gian tuyến tính thực hoặc phức.
Ví dụ 1.1.1. Không gian tuyến tính thực C[a, b].
Xét tập hợp tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên
đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Các phép toán cộng và nhân với vô
hướng trên C[a, b] xác định như sau:
Phép cộng:
+ : C[a, b] × C[a, b] −→ C[a, b]
−→ x + y

(x, y)

xác định bởi (x + y)(t) = x(t) + y(t), ∀ t ∈ [a, b].
Phép nhân với vô hướng:
· : R × C[a, b] −→ C[a, b]
−→ λx

(λ, x)

xác định bởi (λx)(t) = λx(t), ∀ t ∈ [a, b].
Dễ dàng thấy rằng tập hợp C[a, b] cùng với hai phép toán cộng và
nhân với vô hướng ở trên lập thành một không gian vector trên trường
số thực R.
4


Ví dụ 1.1.2. Đặt Pn [a, b] là tập hợp tất cả các đa thức bậc không vượt

quá n xác định trên đoạn [a, b].
Tức là
Pn [a, b] = {an tn + · · · + a1 t + a0 : ai ∈ R, i = 1, 2, . . . , n, a ≤ t ≤ b}.
Tương tự như đối với C[a, b], ta dễ dàng thấy rằng Pn [a, b] là một không
gian tuyến tính thực. Phần tử không của không gian này là đa thức không
(hàm không). Hơn nữa, vì mọi đa thức đều liên tục nên, Pn [a, b] ⊂ [a, b].
Ví dụ 1.1.3. Đặt L2 [a, b] là tập hợp tất cả các hàm xác định và đo được
trên đoạn [a, b] và
b

|f (t)|2 dt < ∞,
a

trong đó tích phân hiểu theo nghĩa Lebesgue.
Ta cũng kiểm tra được rằng L2 [a, b] cùng với phép toán cộng hai hàm
số và nhân một vô hướng với một hàm số, tức là nếu f, g ∈ L2 [a, b] và
∀α ∈ R :
f + g ∈ L2 [a, b] và αf ∈ L2 [a, b]
cũng là một không gian vectơ thực.
Ta nhớ lại khái niệm về không gian con tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2. Một tập con M của không gian tuyến tính X được
gọi là một không gian con của X nếu
i) M là tập con của X;
ii) Với mọi x, y ∈ M ta có αx + βy ∈ M, ∀α, β ∈ R.
5


Dễ dàng thấy rằng, tập hợp Pn [a, b] là không gian con của không gian
C[a, b]. Không gian C[a, b] là không gian con của không gian L2 [a, b].
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử X là một không gian tuyến tính và Bn =

{x1 , x2 , . . . , xn } là tập hợp n phần tử của X. Tập Bn được gọi là độc lập
tuyến tính nếu và chỉ nếu từ phương trình
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = θ
kéo theo a1 = a2 = · · · = an = 0.
Nếu Bn không độc lập tuyến tính thì ta gọi Bn là phụ thuộc tuyến
tính.
Ví dụ 1.1.4. Xét tập hợp
Bn = {1, t, t2 , . . . , tn }
Mỗi hàm tk , 0 ≤ k ≤ n, có bậc là k. Do đó, nếu ta lấy t trong đoạn
[a, b], ta thấy rằng Bn là tập con của Pn [a, b]. Khi đó, Bn là tập con độc
lập tuyến tính của không gian Pn [a, b] là các đa thức có bậc không vượt
quá n. Thật vậy, giả sử
p(t) = an tn + · · · + a1 t + a0 = θ.
Khi đó p(t) ≡ 0, ∀t ∈ [a, b]. Do đó, p(t) là một đa thức có nhiều hơn n
nghiệm và theo định lí cơ bản của đại số thì an = an−1 = · · · = a0 = 0.
Do đó, Bn là độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.4. Không gian tuyến tính X được gọi là có số chiều
là n nếu không gian X chứa một tập gồm n vectơ độc lập tuyến tính
{x1 , x2 , . . . , xn } và mọi tập hợp gồm n + 1 vectơ là phụ thuộc lập tuyến
tính.
6


Định nghĩa 1.1.5. Một tập hợp các vectơ độc lập tuyến tính {x1 , x2 , . . . , xn }
trong X được gọi là một cơ sở của X nếu với mọi vectơ x ∈ X ta có thể
biểu diễn x dưới dạng tổ hợp tuyến tính
x = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
của các vectơ xi , 1 ≤ i ≤ n và các hệ số ci , i = 1, 2, . . . , n là duy nhất.
Ví dụ 1.1.5. Đặt X = Pn [a, b] và Bn = {1, t, . . . , tn }.
Ta thấy rằng, mỗi đa thức p(t) trong X được biểu diễn duy nhất dưới

dạng tổ hợp tuyến tính
p(t) = an tn + · · · + a1 t + a0
của các vectơ trong Bn . Hơn nữa, tập Bn là độc lập tuyến tính trong X.
Do đó, Bn là một cở sở của X = Pn [a, b]. Từ đây suy ra rằng, Pn [a, b] có
số chiều là n + 1.
Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một không gian tuyến tính và Bn =
{x1 , x2 , . . . , xn } là một tập độc lập tuyến tính của X, span của Bn là
một không gian tuyến tính con hữu hạn chiều của X. span của tập các
vectơ {x1 , . . . , xn } là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính có thể có
a1 x1 + a2 x2 + · · · + cn xn
của các vectơ {x1 , . . . , xn }.
Lưu ý rằng, các vectơ span của các vectơ ψ không nhất thiết là độc
lập tuyến tính. Chẳng hạn, tập hợp các hàm {t, |t|} trong tập hợp tất cả
các hàm C[0, 1] không độc lập tuyến tính trong C[a, b] nhưng span của
{t, |t|} tồn tại và gồm tập hợp của tất cả các đoạn thẳng
y = mt,

m ∈ R, 0 ≤ t ≤ 1
7


đi qua gốc của (y−t)-mặt phẳng. Mặt khác, tập các vectơ {(1, 1), (−2, 1)}
là độc lập tuyến tính trong R2 và span của hệ là toàn bộ không gian R2 .
Đối với tập tất cả các đa thức {1, t, t2 , . . . , tn } độc lập tuyến tính và
tạo thành một cơ sở của Pn [a, b]. Nhưng mỗi đa thức trong Pn [a, b] là một
hàm liên tục và các phần tử trong C[a, b] cũng là các hàm liên tục. Do
đó, span của {1, t, t2 , . . . , tn } là một không gian tuyến tính con n-chiều
của không gian C[a, b].

1.2. Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C).
Định nghĩa 1.2.1. Một chuẩn, kí hiệu

· , trong X là một ánh xạ đi

từ X vào R thoả mãn các điều kiện:
1) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
2) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) λx = |λ| x với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;
4) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không
gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi
là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo P là thực hay
phức).
Định nghĩa 1.2.2. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x0 ∈ X nếu
lim xn − x0 = 0.

n→∞

8


Khi đó, ta kí hiệu
lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞.

n→∞

Định nghĩa 1.2.3. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi
là một dãy cơ bản nếu

lim

m, n→∞

xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.2.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Định nghĩa 1.2.5. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính
nếu thoả mãn:
1) A (x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;
2) A (αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ P.
A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1)
thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn 2) thì A được
gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử A gọi là phiếm hàm
tuyến tính.
Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c ≥ 0 sao cho:
Ax ≤ c x

với mọi x ∈ X.

Định nghĩa 1.2.7. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu
L(X, Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào
không gian Y. Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:
9

1) (A + B)(x) = Ax + Bx, với A, B ∈ L(X, Y ), ∀x ∈ X.
2) α ∈ P, A ∈ L(X, Y ), toán tử kí hiệu là αA được xác định bởi
biểu thức
(αA) (x) = α (Ax) .
Dễ dàng kiểm tra được A + B ∈ L (X, Y ) , αA ∈ L (X, Y ) và hai phép
toán trên thoả mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L (X, Y ) trở thành
một không gian tuyến tính trên trường P. Ta trang bị một chuẩn như sau
trên L (X, Y )
A = sup Ax , ∀A ∈ L (X, Y ) .
x ≤1

Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.
Định lý 1.2.1. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không
gian Banach.
Ví dụ 1.2.1. Không gian C[a, b] là không gian Banach.
Ví dụ 1.2.2. Xét không gian L2 [a, b] trong ví dụ 1.1.3 với chuẩn xác
định bởi

f

2

 12

b

|f (t)|2 

=
a

là một không gian Banach.

1.3. Xấp xỉ bởi các không gian con hữu hạn chiều
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f ∈ C[a, b]. Một hàm g ∈ C[a, b] được gọi là
một xấp xỉ tốt của f nếu f − g <

10

với

đủ nhỏ.


Bài toán tìm một xấp xỉ tốt nhất của một hàm một biến cho trước
mà ta biết rằng phương pháp cổ điển nhất là xấp xỉ hàm f (t) bởi một
tổng hữu hạn
f˜(t) = c1 φ1 (t) + c2 φ2 (t) + · · · + cn φn (t)
theo các hàm đơn giản φi (t). Các hệ số ck là các hằng số được xác định
nhờ các điều kiện áp đặt trên f˜. Tổng quát hơn, ta xấp xỉ f như một
tổng vô hạn (chuỗi Fourier)
∞

[ck sin akt + bk cos akt]
k=0

trong đó a là hằng số cho trước. Khi sử dụng chuỗi Fourier để tính toán,
ta thường chặt cụt các chuỗi vô hạn này và xấp xỉ bởi một tổng hữu hạn
f˜(t) = c0 + c1 sin at + b1 cos at + c2 sin 2at
+ b2 cos 2at + · · · + cn sin ant + bn cos ant,

trong đó các hằng số ci và bi , 1 ≤ i ≤ n, được xác định nhờ các điều kiện
đặt trên f˜(t).
Tiếp tục thực hiện cách như trên, ta thu được các hàm xấp xỉ đơn giản
hơn các hàm lượng giác. Chẳng hạn, ta có thể lấy φi (t) là các đa thức
hoặc các đa thức từng mẩu. Đặc biệt, nếu φk (t) = tk−1 , 1 ≤ k ≤ n + 1
thì
f˜(t) = cn tn + cn−1 tn−1 + · · · + c1 t + c0
là một đa thức có bậc n hoặc nhỏ hơn n, và các hệ số ck được xác định
nhờ các ràng buộc trên f˜(t).
Bây giờ ta giả sử rằng f (t) là hàm được xấp xỉ, liên tục và thuộc C[a, b]
với [a, b] cho trước. Khi đó, nếu ta chọn các hàm của ta φ1 (t), φ2 (t), . . . , φn (t)
11


trong C[a, b], hàm xấp xỉ
f˜(t) = c1 φ1 (t) + c2 φ2 (t) + · · · + cn φn (t)
thuộc vào span của {φ1 , . . . , φn } mà là một không gian con hữu hạn
chiều của C[a, b]. Nếu {φ1 , φ2 , . . . , φn } là độc lập tuyến tính thì Xn =
span{φ1 , . . . , φn } là một không gian con n chiều của C[a, b].
Nếu ta chọn kĩ thuật này để xấp xỉ f (t) bởi hàm f˜(t) = c1 φ1 (t) +
c2 φ2 (t) + · · · + cn φn (t) thì ta phải quyết định xem những gì làm cho f˜(t)
là một xấp xỉ tốt của f (t). Như ta đã nói ở trên, một hàm f˜ là xấp xỉ
tốt của f nếu chuẩn f˜ − f là nhỏ. Như vậy, bài toán của ta là chọn
các hàm φi và các hệ số ci trong định nghĩa của hàm f˜(t) sao cho
f − (c1 φ1 (t) + c2 φ2 (t) + · · · + cn φn (t))
là nhỏ và hi vọng f˜ là nghiệm duy nhất đối với các hệ số ci đó.
Vì ta phải xác định n hằng số chưa biết, nên ta phải áp đặt ít nhất
n ràng buộc hoặc điều kiện lên f˜ để xác định các hằng số đó. Hơn nữa,
ta phải chọn các ràng buộc theo hướng mà làm cho f˜ − f là nhỏ.

12


Chương 2
Giải xấp xỉ nghiệm của phương
trình vi tích phân bằng phương
pháp spline collocation
2.1. Phương pháp spline collocation cho phương trình
tích phân Volterra cấp hai
2.1.1. Hàm spline
Định nghĩa 2.1.1. Một hàm spline bậc ba là một đa thức bậc ba từng
đoạn khả vi liên tục hai lần.
Những hàm spline bậc ba xuất hiện một cách tự nhiên khi ta cải tiến
các đa thức Lagrange bậc ba s3 (t) ∈ C[a, b] và các đa thức từng đoạn
bậc ba Hermite s˜(t) ∈ C 1 [a, b] của một hàm f (t) cho trước.
Ta sẽ thấy rằng các hàm như thế là tồn tại và
f − s3 ≤

f (4) 4
h
16

và
f (4) 4
f − s˜3 ≤
h.
96
Đặc biệt, liệu có tồn tại đa thức bậc ba từng đoạn hai lần khả vi liên tục
s(t) mà nội suy được các giá trị của f (t) tại các nút ti , 0 ≤ i ≤ n trong
phép phân hoạch π của đoạn [a, b] mà xấp xỉ tốt hàm f (t)? Câu trả lời

13


là có, tồn tại những đa thức s(t) như vậy và các hàm như thế thuộc vào
lớp S3 (π) các hàm spline bậc ba dưới đây.
Định nghĩa 2.1.2. (Đa thức spline bậc ba) Không gian S3 (π) là tập tất
cả các hàm s(t) ∈ C 2 [a, b] mà khi ta hạn chế xét trên các khoảng con
(ti , ti+1 ), 0 ≤ i ≤ n − 1 của đoạn [a, b], các hàm đó trở thành đa thức bậc
ba.
S3 (π) thực sự là một không gian tuyến tính và vì không gian này
chứa tập hợp tất cả các đa thức bậc ba nên có vô hạn các hàm trong
không gian S3 (π) này. Tuy nhiên, ta sẽ chứng tỏ tồn tại duy nhất hàm
s(t) trong S3 (π) thỏa mãn điều kiện
s (t0 ) = f (t0 )
s(ti ) = f (ti ) 0 ≤ i ≤ n

(2.1.1)

s (tn ) = f (tn ).
i(b − a)
ta thêm vào bốn nút t−2 <
n
> tn và các hàm Bi (t) xác định bởi

Thật vậy, tại các nút xi = x0 +

t−1 < t0 và tn+2 > tn+1




(t − ti−2 )3 ,







h3 + 3h2 (t − ti−1 ) + 3h(t − ti−1 )2 − 3(t − ti−1 )3 ,


1  3
Bi (t) = 3 h + 3h2 (ti+1 − t) + 3h(ti+1 − t)2 − 3(ti+1 − t)3 ,
h 





(ti+2 − t)3 ,





0

t ∈ [ti−2 , ti−1 ]
t ∈ [ti−1 , ti ]
t ∈ [ti , ti+1 ]

t ∈ [ti+1 , ti+2 ]
còn lại.
(2.1.2)

Mỗi hàm Bi (t) là khả vi liên tục hai lần trên toàn bộ đường thẳng

14


thực và



4



Bi (tj ) = 1




0

nếu j = i
nếu j = i − 1 hoặc j = i + 1
nếu j = i + 1 hoặc j = i − 1

và Bi (t) ≡ 0 với t ≥ ti+2 và t ≤ ti−2 . Kết quả này đã được J. Schoenberg
(1966) chứng tỏ rằng các hàm B spline là các spline duy nhất không âm

có giá compact nhỏ nhất với các nút tại t−2 < t−1 < · · · < tn < tn+1 <
tn+2 . Tức là, bất kì spline bậc ba s(t) với các nút như trên mà triệt tiêu
bên ngoài mọi khoảng (tj−1 , tj+2 ) phải đồng nhất bằng 0. Hơn nữa, vì
mỗi Bi (t) cũng là đa thức bậc ba từng đoạn với các nút của phân hoạch
π, mỗi Bi (t) ∈ S3 (π). Để tính s(t) ta sử dụng bảng dưới đây, trong đó
chứa các giá trị Bi (t) và các đạo hàm của Bi (t) tại các nút đó. Vì Bi (t)
và các các đạo hàm của Bi (t) triệt tiêu tại các nút khác nên ta không
đưa vào trong bảng.
tj−2

tj−1

tj

tj+1

tj+2

Bj (t)

0

1

4

1

0

Bj (t)

0

Bj (t)

0

3
h
6
h2

0
-

12
h2

3
h
6
h2

-

0
0

Bảng 2.1:

Đặt B = {B−1 , B0 , . . . , Bn+1 } và B3 (π) = spanB. Các hàm trong B là
độc lập tuyến tính trên [a, b] do đó B3 (π) có số chiều là (n + 3). Ta có
kết quả sau
Định lý 2.1.1. Tồn tại duy nhất hàm s(t) trong B3 (π) thỏa mãn (2.1.1).
15


Chứng minh. Giả sử s(t) ∈ B3 (π), khi đó
s(t) = x−1 B−1 (t) + x0 B0 (t) + · · · + xn+1 Bn+1 (t).

(2.1.3)

Vì s(t) thỏa mãn điều kiện (2.1.1) nên với 0 ≤ i ≤ n ta có
s (t0 ) = x−1 B−1 (t0 ) + x0 B0 (t0 ) + · · · + xn+1 Bn+1 (t0 ) = f (t0 )
s (ti ) = x−1 B−1 (ti ) + x0 B0 (ti ) + · · · + xn+1 Bn+1 (ti ) = f (ti )

(2.1.4)

s (tn ) = x−1 B−1 (tn ) + x0 B0 (tn ) + · · · + xn+1 Bn+1 (tn ) = f (tn ).
Ta thu được hệ phương trình tuyến tính gồm n + 3 phương trình Ax = b
với x = (x−1 , x0 , . . . , xn+1 )T , b = (f (t0 ), f (t0 ), f (t1 ), . . . , f (tn ), f (tn ))T ,
và ma trận A các hệ số thu

3
− 0
 h

 1 4



 0 1


 0 0

 ..
 .


 0 0

0 0

được từ bảng 2.1
3
h
1

0

0

4

1

0

1

4

1

0

0

0 ··· 1
0 ··· 0

0

···





0 ··· 


0 ··· 


0 ··· .






4
1

3
3
−
0
h
h

Vì ma trận A có đường chéo trội. Do đó A không suy biến nên hệ (2.1.4)
có nghiệm duy nhất.
Ta có kết quả sau.
Định lý 2.1.2. B3 (π) = S3 (π).
Chứng minh. Từ định nghĩa của B3 (π) ta có B3 (π) ⊂ S3 (π). Ta
chứng minh bao hàm thức ngược lại như sau, lấy f (t) ∈ S3 (π). Khi đó,
f (t0 ), f (tn ) và f (ti ), 0 ≤ i ≤ n hoàn toàn xác định. Giả sử s(t) ∈ B3 (π)
16


là spline duy nhất từ (2.1.1). Khi đó f (t) − s(t) = g(t) triệt tiêu tại
mỗi ti , 0 ≤ i ≤ n và do đó g (t0 ), g (tn ) cũng vậy. Vì cả f và s đều
thuộc C 2 [a, b], g(t) ∈ C 2 [a, b]. Nên theo định lí Rolle ta có g (t) có ít
nhất n nghiệm tại yi , ti < yi < ti+1 và hai nghiệm tại t0 và tn . Vì vậy
g (t) có ít nhất n + 2 nghiệm, do đó g (t) có tít nhất n + 1 nghiệm
zi , t0 < z0 < y0 , y0 < z1 < y1 , y1 < z2 < y2 , . . . , yn−1 < zn < tn .
Mặt khác, g (t) là đa thức Lagrange từng đoạn tuyến tính với các
nút trong phân hoạch π. Vì g (t) tuyến tính từng đoạn và theo sự phân

bố của các nghiệm zi của g (t) nên g (t) ≡ 0 trên [t0 , tn ]. Nhưng do
g(t) = αt+b và g(t0 ) = g(tn ) = 0, g(t) ≡ 0. Như vậy s(t) = f (t) ∈ B3 (π)
nên S3 (π) ⊂ B3 (π).
Định lí được chứng minh.
Hệ quả 2.1.1. dimS3 (π) = n + 3 và B = {B−1 , B0 , . . . , Bn+1 } là một cơ
sở của không gian S3 (π).
Hệ quả 2.1.2. Tồn tại duy nhất spline bậc ba s(t) thỏa mãn (2.1.1).
Hàm s được gọi là nội suy spline bậc ba của f.
Nội suy bậc ba duy nhất của một hàm f (t) cho trước không chỉ là nội
suy đa thức bậc ba f (t) tại các nút ti , 0 ≤ i ≤ n. Có vô hạn các spline
như thế, chẳng hạn ta có thể chứng minh hoàn toàn tương tự định lí
2.1.1, có tồn tại duy nhất spline s¯(t) xác định bởi (2.1.3) là nghiệm của
bài toán




s¯ (t0 ) = f (t0 ),



s¯(ti )
= f (ti ), 0 ≤ i ≤ n,




s¯ (t ) = f (t ).
n
n

(2.1.5)

Hàm spline s¯(t) được gọi là nội suy tự nhiên spline bậc ba của f (t). Ma
17


trận A¯ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại của hàm s¯(t) và trong
tính toán từ ma trận A chỉ theo dòng đầu tiên và cuối cùng, điều này
cho phép nội suy bậc hai thay thế bởi các đạo hàm bậc nhất. Các phần
tử được cho trong bảng 2.1. Trong trường hợp tổng quát, cho trước n + 3
số thực phân biệt t¯1 < t¯2 < · · · < t¯n+3 và n + 3 số nguyên ni , ta có thể
đặt câu hỏi: liệu có tồn tại một spline bậc ba sˆ(t) là nghiệm nội suy của
bài toán
sˆ(ni ) (t¯i ) = f (ni ) (t¯i ),

1 ≤ i ≤ n + 3.

Trong các trường hợp câu trả lời là không.Trong trường hợp câu trả lời
là có thì câu hỏi bằng cách nào xác định được các spline bậc ba nội suy
ra f (t), hoặc không nội suy f (t0 ) và cũng không nội suy f (tn ). Ta có
thể xây dựng, các nội suy Lagrange bậc ba λ0 (t) và λ1 (t) cho f (t) tại
nhiều nhất là các nút t0 < t1 < t2 < t3 và tn−3 < tn−2 < tn−1 < tn . Khi
đó, để thu được sL (t) cho trong (2.1.3) ta phải giải hệ
sL (t0 ) = λ0 (t0 ),
sL (ti ) = f (ti ),

0 ≤ i ≤ n,

(2.1.6)

sL (tn ) = λn (tn ).
Theo trên, hệ (2.1.6) tồn tại và duy nhất của sL (t). Hơn nữa, ta có thể
thay đổi vế phải của hệ Ax = b của Định lí 2.1.1. Ta cần ước lượng sai
số f − sL , nếu f − s là o(h4 ) trên [t0 , t3 ] và nếu max |f (t) − λ0 (t)| =
o(h4 ) = max |f (t) − λn (t)| trên [tn−3 , tn ] thì do
|f (t) − λn (t)| ≤ |f (t) − λ0 (t)| + |λ0 (t) − s(t)|
trên [tn−3 , tn ] ta có thể chứng tỏ được f − sL = o(h4 ) nếu f − s =
o(h4 ).
18


Ví dụ 2.1.1. Tìm hàm spline bậc ba s(t) nội suy hàm f (t) = 5t + 1 trên
i
đoạn [0, 1] với các nút t = , i = 0, 5.
5
1
6
7
2
Ta đặt t−2 = − , t−1 = − , t6 = và t7 = , ta có
5
5
5
5
s(t) = x−1 B−1 (t) + x0 B0 (t) + · · · + xn+1 Bn+1 (t).
Vì h =

(2.1.7)

1
1
nên = 5. Hơn nữa
5
h
s (0) = f (0) = 5,
i
i
s( ) = f ( ) = i + 1,
5
5

0 ≤ i ≤ n,

s (1) = f (1) = 5.
Do đó, hệ Ax = b là















−15 0 15 0 0

0

0

1

4 1 0 0

0

0

0
..
.

1 4 1 0
..
.

0

0

0

0 0 0 0

1

4

0

0 0 0 0 −15 0

 
5
   
1
0
x−1
 
   
   
0
  x0  2
   
   
0
   3
  =  .
.. 

  
. 
  4

   
   
1
   5
 
6
15
x6
 
5

Do đó, ta thu được s(t) = 5t + 1.
2.1.2. Phương pháp spline collocation
Trong mục này giả sử X là không gian tuyến tính con của C[a, b]. Giả
sử L là toán tử tuyến tính mà miền xác định là toàn bộ X, và toàn bộ

19


miền ảnh cũng thuộc không gian X. Cho {φ1 , φ2 , . . . , φN } là tập con độc
lập tuyến tính của X, và đặt
XN = span{φ1 , φ2 , . . . , φN }
là một không gian con N chiều của X. Xét phương trình tuyến tính sau:
Lx = y,

(2.1.8)

với y là cho trước trong không gian X. Nghiệm xấp xỉ x(t) của (2.1.8)
thu được bằng phương pháp collocation là việc tìm một hàm xN (t) sao
cho

xN (t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t) + · + an φN (t)
trong XN là nghiệm của hệ N × N phương trình tuyến tính:
N

aj Lφj (ti ) = y(ti ),

LxN (ti ) =

1 ≤ i ≤ N,

(2.1.9)

j=1

trong đó t1 , t2 , . . . , tN là các điểm phân biệt của D mà tại đó các hạng
tử của (2.1.9) hoàn toàn xác định. Hàm xN (t) nếu tồn tại được gọi là
collocate của y(t) tại các điểm t1 , . . . , tN . Bất kì hàm f (t) thu được bằng
cách đó được gọi là một nghiệm xấp xỉ thu được bằng phương pháp
collocation.
Trong mục này, ta nghiên cứu một vài lớp toán tử L và một số các
không gian con XN sao cho nghiệm collocation tồn tại và duy nhất, và
đánh giá nhiễu x − xN trong các trường hợp đó. Trước khi trình bày
nội dung phương pháp collocation ta xét một vài ví dụ sau:
Ví dụ 2.1.2. Xét bài toán giá trị ban đầu


Lx(t) = x (t) − x(t) = 1,

x(0)

= x(1) = 0.
20


Đặt φ1 (t) = t(t − 1) và φ2 (t) = t2 (t − 1), khi đó
Lφ1 (t) = 2 − t(t − 1) và Lφ2 (t) = 6t − 2 − t2 (t − 1)
và
Lφ1 (0) = 2,

Lφ2 (0) = −2,

Lφ1 (1) = 2,

và Lφ2 (1) = 4.

Đặt t1 = 0 và t2 = 1. Xấp xỉ collocation
xˆ(t) = a1 φ1 (t) + a2 φ2 (t),
sắp xếp lại vế phải của phương trình thứ nhất tại t1 = 0, và t2 = 1 được
cho bởi hệ phương trình tuyến tính

   
1
2 2
a

  1 =   ,
1
a2
−2 4
trong đó y(0) = y(1) = 1. Giải hệ này ta thu được a1 =

1
1
và a2 = , do
3
6

đó
1
1
xˆ(t) = t(t − 1) + t2 (t − 1).
6
3
Nghiệm chính xác là
x(t) =

1
[et + e1−t ] − 1.
(e + 1)

Ta trình bày giá trị của x(t), xˆ(t) và sai số e(t) = |x(t) − xˆ(t)| theo
các giá trị của t trong bảng sau: Tiếp theo ta xét bài toán tổng quát hơn
và qua đó ta sẽ thấy việc sử dụng các hàm spline để thu được nghiệm
collocation.
Ví dụ 2.1.3. Giả sử bài toán biên ban đầu


Lx(t) = x (t) + p(t)x (t) + q(t)x(t),

x(0)

0 ≤ t ≤ 1,

= x(1) = 0,

có nghiệm duy nhất x(t) và p và q là các hàm liên tục trên [0, 1].
21