Về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU VĂN ĐÔNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CHU VĂN ĐÔNG

VỀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ
GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội – Năm 2015

i

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh,
người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành
luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân
cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã
giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận
văn của mình.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, giúp đỡ tác giả trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả
cũng chân thành cám ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Toán Trường
THPT Kim Anh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập
và hoàn thành tốt luận văn . Và qua đây tác giả cũng cảm ơn gia đình, đồng
nghiệp, bạn bè đã động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015
Tác giả

Chu Văn Đông


ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận
văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào
của ai khác.

Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2015
Tác giả

Chu Văn Đông


iii

Mục lục

LỜI CẢM ƠN

i

LỜI CAM ĐOAN

ii

MỞ ĐẦU

1

1

Kiến thức chuẩn bị

4

1.1

Không gian vec tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Không gian metric, nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . .

6

1.2.1

Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Nguyên lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân trong
không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.1

Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . .

9

1.3.2

Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn . . .

12

Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.1

Điểm Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.2

Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.5

Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.6

Phương pháp Newton trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4


iv

1.7

2

3

Bậc hội tụ của hàm lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.7.1

Hàm lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.7.2

Bậc hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc
hội tụ cao và hiệu quả tính toán

25

2.1

Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng ba . . . . . . . . . . . .

25

2.1.1

Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1.2

Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng năm . . . . . . . . . . .

31

2.3

Phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng sáu . . . . . . . . . . .

33

2.4

Hiệu quả tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4.1

So sánh giữa các chỉ số hiệu quả . . . . . . . . . . .

36

2.4.2

So sánh (G1,3 ) với (G2,3 ) . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.4.3

So sánh (G1,5 ) với (G2,5 ) . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.4.4

So sánh (G1,6 ) với (G2,6 ) . . . . . . . . . . . . . . .

39

Ứng dụng phần mềm Maple vào giải hệ phương trình phi tuyến
trong R2 và R3
3.1

Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng ba . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

41

Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng năm . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

41

46

Tìm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình phi tuyến bằng phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng sáu . . . . . . . . . . . . . . . .

52


v

3.4

So sánh tính hiệu quả của các phương pháp lặp có bậc hội tụ
bằng ba, năm và sáu trong việc giải hệ phương trình phi tuyến

57

KẾT LUẬN

65

Tài liệu tham khảo

66

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải hệ phương trình phi tuyến F (x) = 0 là một vấn đề phổ biến và quan
trọng trong nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau. Vấn đề này được mô
tả như sau: Đối với một hàm phi tuyến cho trước F (x) : D ⊆ Rn → Rn
với F (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fn (x))t và x = (x1 , x2 , ..., xn )t , ta cần tìm một
vectơ α = (α1 , α2 , ..., αn )t sao cho F (α) = 0. Vectơ nghiệm α có thể tìm
được như một điểm cố định của hàm G(x) : Rn → Rn bằng phương pháp
lặp điểm được xác định bởi dãy x(k+1) = G x(k) , k = 0, 1, ..... Một trong
những phương pháp cơ bản để giải hệ phương trình phi tuyến là phương pháp
Newton cổ điển có bậc hội tụ bằng hai. Phương pháp Newton cổ điển được
xác định bởi: x(k+1) = G x(k) = x(k) − F x(k)

−1

F x(k) , k = 0, 1, 2, ...,

trong đó yêu cầu hàm F khả vi, liên tục và xấp xỉ ban đầu x(0) là điểm Fourier.
(F (x)−1 là nghịch đảo của đạo hàm Fréchet F (x) đối với hàm F (x) ).
Để cải thiện bậc hội tụ của phương pháp Newton nhiều đề xuất đã được
đưa ra ví dụ như: M.Frontini và E.Sormani đã phát triển một vài phương pháp
lặp có bậc hội tụ bằng ba. M.T.Darvishi và A.Barati đã trình bày một phương
pháp lặp có bậc hội tụ bằng bốn. A.Cordero, E.Martínez và J.R.Torregrosa đã
đưa ra một phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng năm. A.Cordero, J.L.Hueso,
E.Martínez và J.R.Torregrosa đã trình bày một phương pháp lặp có bậc hội
tụ bằng sáu.
Với mong muốn tạo ra các phương pháp lặp có bậc hội tụ cao và có cấu

trúc đơn giản nhưng với tính toán là tối thiểu, và nhằm bổ sung và nâng cao
kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học, tôi chọn đề tài “Về


2

một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến” làm
luận văn cao học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp lặp vào giải xấp xỉ một lớp bài toán
hệ phương trình phi tuyến trong Rn . Nghiên cứu về bậc hội tụ, chỉ số hiệu quả
tính toán của một số phép lặp. Nêu một số ví dụ về giải số hệ phương trình
phi tuyến trong R2 và R3 trong đó có sử dụng phần mềm Maple.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm và sáu.
Nghiên cứu về chỉ số hiệu quả tính toán của một số phương pháp lặp.
Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến cụ thể trong R2
và R3 .
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình
phi tuyến bằng phương pháp lặp.
Phạm vi nghiên cứu:
+ Nghiên cứu một số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm và sáu.
+ Nghiên cứu về chỉ số hiệu quả tính toán của một số phương pháp lặp.
+ Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình phi tuyến cụ thể trong
R2 và R3 .

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ Giải tích, Giải tích hàm và Giải tích số
để tiếp cận và giải quyết vấn đề.

Thu thập, nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài


3

báo và các sách mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Đóng góp của đề tài
Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên và học
viên cao học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi
tuyến.


4

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian vec tơ

Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp E mà các phần tử được kí hiệu : α, β, γ, . . . và
trường K mà các phần tử được kí hiệu: x, y, z, . . .
Giả sử trên E có hai phép toán :
1. Phép toán cộng , kí hiệu + :
E × E −→ E.
(α, β) −→ α + β
2. Phép toán nhân, kí hiệu là · :
K × E −→ E.
(x, α) −→ x · α.
thỏa mãn các tiên đề sau :

1) α + β = β + α, ∀α, β ∈ E;


5

2) (α + β) + γ = α + (β + γ), ∀α, β, γ ∈ E;
3) tồn tai θ ∈ E sao cho θ + α = α + θ = α, ∀α ∈ E ;
4) Với mỗi α tồn tại α ∈ E sao cho α + α = α + α = θ;
5) (x + y)α = xα + yα, ∀α ∈ E và x, y ∈ K;
6) x(α + β) = xα + xβ, ∀α, β ∈ E và x ∈ K ;
7) x(yα) = (xy)α, ∀α ∈ E và x, y ∈ K ;
8) 1 · α = α, ∀α ∈ E và 1 là phần tử đơn vị của trường K. Khi đó E
cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên trường K, hay
K-không gian vectơ, hay không gian tuyến tính .
Khi K = R thì E được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = C thì E được gọi là không gian vectơ phức.
Định nghĩa 1.2. Hệ véc tơ (αi ), ∀i = 1, 2, . . . , n gọi là độc lập tuyến tính nếu
n

xi αi = 0 kéo theo xi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , n .
i=1

Hệ véc tơ (αi ), ∀i = 1, 2, . . . , n gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc
lập tuyến tính .
Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một không gian vectơ. Một hệ vectơ trong E
được gọi là một hệ sinh của E nếu mọi vectơ của E đều biểu thị tuyến tính
qua hệ đó . Khi E có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì E được gọi là
không gian vectơ hữu hạn sinh.
Định nghĩa 1.4. Một hệ vectơ trong E được gọi là cơ sở của E nếu nó là hệ
sinh độc lập tuyến tính.

6

Định nghĩa 1.5. Cho E là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn phần tử
thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không gian.
Khi E là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu: dim E = n
Định nghĩa 1.6. Tập con W = ∅ của một K-không gian vec tơ E được gọi là
không gian vec tơ con của E nếu nó ổn định với hai phép toán của E , nghĩa
là thỏa mãn các điều kiện sau :
1) ∀α, β ∈ W, α + β ∈ W ,
2) ∀α ∈ W và ∀x ∈ K thì xα ∈ W.

1.2
1.2.1

Không gian metric, nguyên lí ánh xạ co
Không gian metric

Định nghĩa 1.7. Cho X = ∅. Một metric trong X là một ánh xạ
d:X ×X →R
của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây
1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X và d (x, y) = 0 ⇔ x = y;
2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X;
3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X, (bất đẳng thức tam giác).
Tập hợp X cùng với d là một không gian metric, ánh xạ d là hàm khoảng
cách (hay metric) trong X. Các phần tử của một không gian metric gọi là các
điểm của không gian ấy, số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y.

7

Ví dụ 1.2.1. C [a, b] là một không gian metric với khoảng cách
d (x, y) = max |x(t) − y(t)| .
a≤t≤b

Định nghĩa 1.8. Một dãy điểm (xn ) , n = 1, 2... trong không gian metric X
gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d (xn , a) = 0. Khi đó, ta ký hiệu:
n→∞

limxn = a hoặc xn → a, khi n → ∞.
n→∞

Định nghĩa 1.9. Dãy điểm (xn ) , n = 1, 2... được gọi là dãy cơ bản (hay dãy
Côsi) trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước, đều tồn tại
một số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có
d (xn , xm ) < ε.
Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.
Định nghĩa 1.10. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ đến một phần tử trong X.
Định nghĩa 1.11. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A :
X → Y được gọi là liên tục tại
x0 ∈ X
nếu như với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn d (x, x0 ) < δ
thì
d (A (x) , A (x0 )) < ε.


8

1.2.2

Nguyên lí ánh xạ co

Định nghĩa 1.12. Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý. Ánh xạ A :
X → Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại α với 0 ≤ α < 1 sao cho với
mọi x, y ∈ X ta đều có
d (A (x) , A (y)) ≤ αd (x, y) .
Định lý 1.1 (Nguyên lí ánh xạ co). Giả sử X là một không gian metric đầy
đủ, và A : X → X là một ánh xạ co của X vào chính nó. Khi đó tồn tại một
và chỉ một điểm x∗ ∈ X sao cho A (x∗ ) = x∗ .
Ví dụ 1.2.2. Trong không gian R1 cho ánh xạ A được xác định bởi công thức
Ax = π − a sin x, |a| < 1.
Khi đó A là ánh xạ không gian gian đủ R1 vào chính nó. Hơn nữa,
|Ax − Ax | = |a sin x − a sin x | = 2 |a| sin x−x
2
≤ 2 |a|

x−x
2

cos x+x
2

= |a| |x − x |

Suy ra A là ánh xạ co , vì |a| < 1 .
Theo nguyên lý về ánh xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất x¯ . Ta dễ
dàng kiểm tra được điểm bất động duy nhất đó là x¯ = π.
Ví dụ 1.2.3. Cho ánh xạ A ánh xạ nửa khoảng [1, +∞) vào chính nó được

xác định bởi công thức
1
Ax = x + .
x
Ta có [1, +∞) là một tập hợp con đóng của R1 với metric d (x, y) = |x − y|.
Do đó [1, +∞) cùng với metric của R1 lập thành một không gian metric đủ.


9

Giả sử ánh xạ A : [1, +∞) → [1, +∞) ,(x → Ax) là ánh xạ co, suy ra tồn
tại duy nhất x0 ∈ [1, +∞) sao cho Ax0 = x0 ⇔ x0 + x10 = x0 ⇔

1
x0

= 0 ( vô

lý ). Vậy A không có điểm bất động, do đó A không là ánh xạ co.

1.3

Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân
trong không gian định chuẩn

1.3.1

Không gian tuyến tính định chuẩn

Cho X là một không gian tuyến tính trên trường P (P = R hoặc C ).

Định nghĩa 1.13. Một chuẩn, kí hiệu . , trong X là một ánh xạ đi từ X vào
R thỏa mãn các điều kiện sau:
1) x ≥ 0, ∀x ∈ X;
2) x = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không);
3) λx = |λ| x , ∀λ ∈ P, ∀x ∈ X;
4) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X .
Số x được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian
tuyến tính X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là
một không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoạc phức, tùy theo P thực hay
phức).
Ví dụ 1.3.1. Không gian R2 là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn
thường chọn là chuẩn :

x

2=

x21 + x22 , x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .


10

Định lý 1.2. Giả sử không gian X là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Với mọi x, y ∈ X , đặt
d (x, y) = x − y .
Khi đó, d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ gọi là không gian
Banach.
Ví dụ 1.3.2. Cho không gian véctơ thực n chiều Rn . Đối với véctơ bất kỳ
x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ta đặt

n

xi 2 .

x =

(1.1)

i=1

Công thức (1.1) cho một chuẩn trên Rn . Dễ thấy Rn là không gian Banach.
Ví dụ 1.3.3. Cho không gian C[a,b] . Đối với mỗi x (t) ∈ C[a,b] ta đặt
x = max |x (t)| .
a≤t≤b

(1.2)

Công thức (1.2) cho một chuẩn trên C[a,b] . Dễ thấy C[a,b] là không gian Banach.
Định nghĩa 1.15. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X với hai chuẩn
và

2.

1

Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0 và

m > 0 sao cho :

m x

1

≤ x

2

≤ M x 1 , ∀x ∈ X.

Định nghĩa 1.16. Dãy (xn ) , n = 1, 2... trong không gian định chuẩn X được
gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim xn − x0 = 0.
n→∞


11

Khi đó, ta kí hiệu limxn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞.
n→∞

Định nghĩa 1.17. Dãy (xn ) , n = 1, 2... trong không gian định chuẩn X được
gọi là một dãy cơ bản nếu
lim

m,n→∞

xm − xn = 0.

Định nghĩa 1.18. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y trên
trường P . Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là ánh xạ
tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu A thỏa mãn:

1) A (x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ X;
2) A (αx) = αAx, ∀x ∈ X, ∀α ∈ P .
Nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính.
Nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất.
Khi Y = P thì toán tử A được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.19. Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn. Khi đó
chuẩn A của toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y là đại lượng:
A = sup Ax = sup
x ≤1

x=θ

Ax
.
x

Định nghĩa 1.20. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y . Toán
tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số c > 0 sao cho
Ax ≤ c x , ∀x ∈ X.


12

Định nghĩa 1.21. Cho hai không gian tuyến tính định chuẩn X và Y . Kí hiệu
A ∈ L (X, Y ), L (X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ không
gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L (X, Y ) hai phép toán:
1) Tổng của hai toán tử A, B ∈ L (X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B xác định
bởi biểu thức
(A + B) (x) = Ax + Bx, ∀x ∈ X,

2) Tích vô hướng của α ∈ P (P = R hoặc P = C) với toán tử A ∈ L (X, Y )
là toán tử, kí hiệu là αA, được xác định bởi biểu thức
(αA) (x) = α (Ax) .
Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L (X, Y ) , αA ∈ L (X, Y ). Khi đó,
tập L (X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn trên trường P .
Định lý 1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L (X, Y ) là không gian
Banach.
1.3.2

Phép tính vi phân trong không gian định chuẩn

Giả sử X, Y là các không gian Banach, U ⊂ X là một tập mở, F : U → Y
là một ánh xạ
Định nghĩa 1.22. Cho u ∈ U . F được gọi là khả vi Fréchet tại u nếu tồn tại
A ∈ L (X, Y ) sao cho
lim
h

X →0

F (u + h) − F (u) − A (h)
h X

Y

= 0.

Ta có thể thấy A nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi A là đạo hàm Fréchet
của ánh xạ F tại điểm u và ký hiệu A = dF (u), còn A(h) được gọi là vi

13

phân Fréchet của ánh xạ F tại điểm u và ký hiệu là df (x, h). Nếu F khả vi
Fréchet tại mọi điểm u ∈ U thì ta bảo F là khả vi Fréchet trong U .
Định nghĩa 1.23. Giả sử F : U → Y khả vi Fréchet trong U . Khi đó ánh xạ
F : U → L (X, Y )
u → dF (u)
được gọi là đạo hàm Fréchet của F trong U . Nếu F liên tục tại u thì ta nói F
khả vi liên tục tại u. Nếu F liên tục trong U thì ta nói F thuộc lớp C 1 trong
U và viết F ∈ C 1 (U, Y ).
Định nghĩa 1.24. Cho u ∈ U , F được gọi là khả vi Gâteaux tại u nếu tồn tại
A ∈ L (X, Y ) sao cho với mọi h ∈ X và ∀ε ∈ R ta đều có
lim

ε→0

F (u + εh) − F (u)
ε

Y

− A (h)

= 0.

Ta có thể thấy A(h) nếu tồn tại thì duy nhất và ta gọi A(h) là vi phân
Gâteaux của ánh xạ F tại điểm u và ký hiệu A(h) = dG F (u), còn A gọi là
đạo hàm Gâteaux của ánh xạ F tại điểm u và ta ký hiệu là FG (u) . Nếu F khả
vi Gâteaux tại mọi điểm u ∈ U thì ta bảo F là khả vi Gâteaux trong U .

Định lý 1.4 (quan hệ giữa đạo hàm Gâteaux và Fréchet). Giả sử F : U → Y
khả vi Gâteaux trong U và đạo hàm Gâteaux
F

G

: U → L (X, Y )
u → dG F (u)

liên tục tại u∗ . Khi đó F khả vi Fréchet tại u∗ và dF (u∗ ) = dG F (u∗ ).
Định lý 1.5. Nếu ánh xạ f khả vi Fréchet tại x0 thì f cũng khả vi Gâteaux tại


14

x0 . Nhưng điều ngược lại không đúng.
Chứng minh. Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn trên trường R và ánh
xạ f : X → Y khả vi Frechet tại điểm x0 ∈ X. Khi đó tồn tại ánh xạ tuyến
tính liên tục A : X → Y sao cho với mọi h ∈ X mà h → 0 ta có biểu diễn
f (x0 + h) − f (x0 ) = A (h) + α (x0 , h) , với lim

h →0

α (x0 , h)
= 0.
h

Ta lấy tuỳ ý h1 ∈ X và t ∈ R thì lim th1 = 0. Do đó
t→0

f (x0 + th1 ) − f (x0 ) = A (th1 ) + α (x0 , th1 ) , ∀h1 ∈ X, ∀t ∈ R\ {0} .
Ta có
lim
t→0

α (x0 , th1 )
= 0.
th1

Vì A là ánh xạ tuyến tính nên A (th1 ) = tA (h1 ).
Suy ra lim
t→0

f (x0 +th1 )−f (x0 )
t

− A (h1 )

α(x0 ,th1 )
th1
t→0

= lim

h1

= 0. h1

=

0, ∀h1 ∈ X. Chứng tỏ f khả vi Gâteaux tại x0 và lúc đó đạo hàm Gâteaux và
đạo hàm Frechet của f tại x0 trùng nhau.
Ngược lại, ánh xạ f khả vi Gâteaux tại x0 nhưng chưa chắc nó đã khả vi
Fréchet tại điểm đó. Ta lấy ví dụ sau đây để minh hoạ.
Xét ánh xạ f : R2 → R cho bởi công thức

0
f (x, y) =
 x4 y 4

x12 +y 6

khi (x, y) = 0
khi (x, y) = 0

Lấy tuỳ ý h = (h1 , h2 ) ∈ R2 , t ∈ R\ {0} và xét ánh xạ tuyến tính liên tục


15

g : R2 → R, g (x, y) ≡ 0. Ta có

f (th1 , th2 ) =




0

khi (h1 , h2 ) = 0



t2 h41 h42
66
t6 h12
1 +h2

khi (h1 , h2 ) = 0

Nên
lim
t→0

f (th1 , th2 ) − f (0, 0)
f (th1 , th2 )
− g(h) = lim
= 0, ∀h ∈ R2 ,
t→0
t
|t|

tức là f (x, y) khả vi Gâteaux tại x0 = (0, 0) ∈ R2 và đạo hàm Gâteaux có nó
tại điểm này chính là g.
Giả sử f (x, y) khả vi Frechet tại x0 = (0, 0) ∈ R2 , tức là tồn tại ánh xạ tuyến
tính liên tục A : R2 → R sao cho với mọi h = (h1 , h2 ) ∈ R2 , h → 0 ta có
biểu diễn
f (h1 , h2 ) − f (0, 0) = A(h) + α(x0 , h),

với lim

h →0

α(x0 , h)
= 0.
h

Suy ra
f (h) = f (h1 , h2 ) = A(h) + α(x0 , h) ≤ A . h + α(x0 , h) ≤ c. h
α(x0 ,h)
h
h →0

khi h → 0 (c là hằng số nào đó không âm, lưu ý lim
khi h → 0 thì

α(x0 ,h)
h

bị chặn). Từ đó dẫn tới

f (h)
h

= 0 nên

bị chặn với mọi h ∈

R2 , h → 0(∗). Bây giờ ta chọn h = (2−n , 2−2n ) ∈ R2 \ {(0, 0)} , n ∈ N,
thì hiển nhiên h → 0 khi n → ∞. Lúc này

f (h)
h

=

1
2 h

→ +∞ khi

n → +∞( h → 0). Điều này mâu thuẫn với (∗). Chứng tỏ f không khả vi
Frechet tại điểm (0, 0).


16

1.4
1.4.1

Phương pháp Newton
Điểm Fourier

Xét phương trình một biến số
f (x) = 0.

(1.3)

1) Giả sử phương trình (1.3) có nghiệm ξ duy nhất trên đoạn [a, b].
2) f ∈ C 2 [a, b] và f (x), f (x) không đổi dấu trên đoạn [a, b].

Điểm x ∈ [a, b] được gọi là điểm Fourier, nếu f (x)f (x) > 0.
Không giảm tổng quát hàm f (x) trong phương trình (1.3) có thể coi có
f (x) > 0, nếu không ta xét phương trình g(x) = 0 với g(x) = −f (x).
1.4.2

Phương pháp Newton

Chọn xấp xỉ ban đầu x0 là điểm Fourier: f (x0 )f (x0 ) > 0. Phương trình tiếp
tuyến của đường cong y = f (x) tại điểm M (x0 , f (x0 )) có dạng:
y = f (x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ).
Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến này với trục hoành là:
0 = f (x0 ) (x1 − x0 ) + f (x0 ) ⇔ x1 = x0 −

f (x0 )
.
f (x0 )

Tương tự ta có:
xn+1 = xn −

f (xn )
.
f (xn )

(1.4)


17

Vì ta đã coi f (x) > 0 nên sau đây ta chỉ xét trường hợp f (x) < 0. Trường

hợp f (x) > 0 hoàn toàn tương tự. Khai triển f (xn ) tại điểm xn−1 theo công
thức Taylor, ta có:
f (xn ) = f (xn−1 ) + f (xn−1 ) (xn − xn−1 ) +

f (ξn−1 )
(xn − xn−1 )2 .
2

Từ (1.4) suy ra
f (xn ) =

f (ξn−1 )
(xn − xn−1 )2 ≥ 0.
2

Mặt khác
f (xn )
f (ξn−1 )(xn − xn−1 )2
xn+1 − xn = −
=−
≥ 0.
f (xn )
2f (xn )
Do đó dãy {xn } đơn điệu không giảm. Nếu có xn > ξ thì do f (x) < 0 nên
f (xn ) < f (ξ) = 0
Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức f (xn ) ≥ 0. Như vậy
xn ≤ xn+1 ≤ ... ≤ ξ.
Suy ra tồn tại giới hạn lim xn = ζ. Ta có |f (xn )| = |f (xn )| |xn+1 − xn | ≤
n→∞

M |xn+1 − xn |, trong đó m = sup {|f (x)| : x ∈ [a, b]}.
Cho n → ∞ ta được f (ζ) = 0. Từ giả thiết (1) trong (1.3) suy ra ζ = ξ.
Để đánh giá sai số phương pháp Newton, ta giả thiết rằng: |f (x)| ≤ M1 và
|f (x)| ≥ M2 > 0 với mọi x ∈ [a, b]. Một mặt ta có:
f (xn+1 ) = f (xn+1 ) − f (ξ) = f (¯
xn+1 ) (xn+1 − ξ) .


18

Từ đây suy ra
|xn+1 − ξ| ≤

|f (xn+1 )|
M2

(1.5)

Mặt khác, sử dụng (1.4) và khai triển Taylor ta có:
f (xn+1 ) = f (xn ) + f (xn ) (xn+1 − xn ) +
=

f (ξn )
(xn+1 − xn )2
2

f (ξn )
(xn+1 − xn )2
2

Áp dụng (1.5) ta được:
|xn+1 − ξ| ≤

M1
|xn+1 − xn |2
2M2

(1.6)

Khi n lớn, độ lệch |xn+1 − xn | khá bé. Từ công thức (1.6) suy ra xn+1 rất gần
ξ vì |xn+1 − ξ| = O |xn+1 − xn |2 .

1.5

Phương pháp dây cung

Xét phương trình (1.3).
Để cho xác định ta giả sử f (x) < 0. Điểm x = a là điểm Fourier, vì f (a) >
f (ξ) = 0 và f (a) > 0. Gọi xk là xấp xỉ thứ k ≥ 0 của nghiệm ξ (x0 = b
là xấp xỉ ban đầu ). Để tìm hoành độ giao điểm của cung M Nk với trục hoành,
trong đó tọa độ của các điểm M, Nk tương ứng là M (a, f (a)) , Nk (xk , f (xk )),
ta thay cung M Nk bằng dây cung M Nk và tìm hoành độ của giao điểm của
đoạn thẳng M Nk với trục hoành.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M và Nk là:
y = f (a) +

f (xk ) − f (a)
(x − a) .
xk − a