Giải tích trên lớp các hàm tuần hoàn (LV01805)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

NGUYỄN THỊ THANH XUÂN

GIẢI TÍCH TRÊN LỚP CÁC HÀM TUẦN HOÀN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. BÙI KIÊN CƯỜNG

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà nội 2,
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS. Bùi Kiên Cường. Sự giúp đỡ và
hướng dẫn tận tình của thầy giáo trong suốt quá trình thực hiện luận
văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận
một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc
nhất đới với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong trường và các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào Tạo tỉnh Vĩnh Phúc,
Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo đồng nghiệp trường THPT Vĩnh Yên,

tỉnh Vĩnh Phúc cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên
và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học thạc sĩ và
hoàn thành luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Xuân


LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường ĐHSP Hà Nội 2 dưới sự hướng
dẫn của TS. Bùi Kiên Cường.
Tôi xin cam đoan Luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng
tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn này tôi đã kế
thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp
với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Xuân


5

Mục lục
Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Mở đầu

7

1 Một số kiến thức chuẩn bị

9

1.1 Xuyến trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2 Một số không gian hàm trên Zn . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3 Một số không gian hàm trên xuyến . . . . . . . . . . . .

13

2 Các phép toán giải tích cơ bản trên xuyến

18

2.1 Sai phân hữu hạn trên Zn . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2 Khai triển Taylor và đa thức trên Zn . . . . . . . . . . .

22

2.3 Một số bất đẳng thức rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4 Liên hệ giữa đạo hàm và sai phân . . . . . . . . . . . . .

30

2.5 Khai triển Taylor của hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . .

36

2.6 Biến đổi Fourier trên xuyến . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.7 Không gian Sobolev trên xuyến . . . . . . . . . . . . . .

41

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44


6

Bảng một số kí hiệu
R

đường thẳng thực

Rn

không gian Euclid n - chiều

Tn = (R/Z)n = Rn /Zn hình xuyến trong Rn
C m (Tn )

không gian của hàm khả vi liên tục m lần
tuần hoàn chu kỳ 1

S(Zn )

không gian các hàm giảm nhanh


7

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải tích Fourier là một ngành toán học với nhiều mặt ứng dụng
phong phú không chỉ trong toán học, mà còn trong khoa học và kỹ
thuật. Kể từ khi làm việc trên dòng nhiệt, Jeam Baptise Joseph Fourier
(từ 21 tháng 3 năm 1768 đến 16 tháng 5 năm 1830) trong luận tựa đề
"Th’eorie Analytique de la Chaleur’", Chuỗi Fourier và biến đổi Fourier
đã đi từ thắng lợi này đến thắng lợi khác để chiến thắng, lan tỏa ra các
lĩnh vực của toán học chẳng hạn, phương trình vi phân đạo hàm riêng,
giải tích điều hòa, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết số và hình học, toán tử
giả vi phân,... Ngày nay, với phép biến đổi Fourier trên xuyến, lý thuyết
giả vi phân trên xuyến đã được nghiên cứu, phát triển rộng rãi (xem
[3],[4]). Để phát triển những lý thuyết đó, trước tiên cần nghiên cứu các
phép toán giải tích trên các lớp hàm tuần hoàn.
Nhằm hệ thống hóa về các phép tính giải tích trên xuyến và được sự
hướng dẫn của TS. Bùi Kiên Cường, tôi đã mạnh dạn chọn đề tài nghiên
cứu: "Giải tích trên lớp các hàm tuần hoàn" để thực hiện luận văn tốt
nghiệp thạc sĩ.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về hàm tuần hoàn và tuần hoàn hóa
Nghiên cứu các phép tính giải tích trên xuyến
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu các phép tính trên xuyến


8

4. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Các phép tính giải tích trên Rn , trên xuyến
- Một số không gian hàm trên Rn và trên xuyến.
- Biến đổi Fourier trên lớp hàm tuần hoàn.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến
đề tài và sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm.
6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI

Luận văn là tài liệu tổng quan về giải tích trên lớp các hàm tuần
hoàn.


9

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Xuyến trong Rn

Chúng ta kí hiệu cho hình xuyến Tn = (R/Z)n = Rn /Zn và có thể
đồng nhất Tn với hình lập phương [0; 1)n ⊂ Rn , trong đó ta đồng nhất độ

đo trên hình xuyến với giới hạn của độ đo Eucliean trên hình lập phương

này. Hàm trên Tn cũng có thể được coi là hàm trên Rn hàm tuần hoàn
chu kỳ 1 theo mỗi hướng tọa độ, tức là f (x + k) = f (x), ∀x ∈ [0, 1]n và

∀k ∈ Zn . Chúng ta thường nói rằng những hàm đó là 1 tuần hoàn (thay

vì Zn - tuần hoàn). Chính xác hơn ta định nghĩa quan hệ tương đương

trên không gian Eucliean Rn .
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Zn ,
trong đó các lớp tương đương là
[x] = {y ∈ Rn : x ∼ y}
= {x + k : k ∈ Zn} .


10

Điểm x ∈ Rn được ánh xạ tự nhiên tới điểm [x] ∈ Tn và ta thường viết

x ∈ Tn thay cho [x] ∈ Tn . Chúng ta có thể đồng nhất các hàm trên Tn

với Zn - tuần hoàn, hàm trên Rn một cách tự nhiên f : T → C đồng
nhất với hàm g : Rn → C thỏa mãn

g (x) = f ([x]) , ∀x ∈ Rn .
Trong trường hợp như vậy chúng ta thường viết g = f và g (x) = f (x)
và ta nói như sau:
• "f là tuần hoàn"
• "g ∈ C ∞ (T)n " khi "g ∈ C ∞ (R)n là tuần hoàn"
Ví dụ 1.1. Hình xuyến 1 chiều T1 = R1 Z1 là đẳng cấu với đường tròn
S1 = z ∈ R2 : z = 1
= {(cos (t) , sin (t)) ; t ∈ R} .
qua ánh xạ
[t] → (cos (2πt) ; sin (2πt)).
nên chúng ta đồng nhất mọi hàm trên T1 với hàm trên S1
Chúng ta sẽ sử dụng một số ký hiệu sau:

Một véc tơ α = (αj )nj=1 ∈ Nn0 được gọi là một đa chỉ số.

Nếu x = (xj )nj=1 ∈ Rn và α ∈ Nn0 ta viết xα := xα1 1 ...xαnn .

Với các đa chỉ số α ≤ β nghĩa là αj ≤ βj , ∀j ∈ {1; ...; n}.

Ta viết β! := β1 !...βn! và
 

 

α
α
α1
α!
  :=
 ...  n  ,
=
β! (α − β)!
β
βn
β1


11

và do đó
(x + y)α =
β≤α

với α ∈ Nn và x ∈ Rn chúng ta viết
|α| :=






α

 xα−β y β .

β

(1.1)

(1.2)

αj ,
j=1
1/2

n

x2j

x :=

,

(1.3)

j=1

∂xα := ∂xα11 ...∂xαnn ,
trong đó ∂xj =

∂
∂xj .

Ta dùng kí hiệu Dxj = −i2π∂xj = −i2π ∂∂x , trong đó i =
j

vị ảo. Ta cũng kí hiệu

x = 1+ x

1/2

2

√
−1 là đơn

.

Định nghĩa 1.1. (Hàm tuần hoàn). Cho hàm f : Rn → Y là hàm 1 tuần hoàn hay tuần hoàn chu kỳ 1, nếu f (x + k) = f (x) , ∀x ∈ Rn , k ∈
Zn .

Không gian của hàm khả vi liên tục m lần tuần hoàn chu kỳ 1 được

ký hiệu bởi C m (Tn ). Không gian các hàm kiểm tra là không gian các
hàm khả vi vô hạn
C ∞ (Tn) =

m∈Z+

C m (Tn )

với tô pô xác định bởi:
Dãy hàm uj hội tụ về hàm u trong C ∞ (Tn) nếu và chỉ nếu ∂ α uj hội
tụ đều đến ∂ α u với mọi đa chỉ số α ∈ Nn .
Kí hiệu D(Tn ).


12

Chú ý 1.1. Không gian C ∞ (Tn) là không gian Fréchet, không khả định
chuẩn.
Đối ngẫu của D(Tn), ký hiệu D′ (Tn ) là không gian các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên D(Tn) với tô pô yếu ∗.
Ký hiệu S (Rn ) là không gian kiểm tra Schwartz các hàm khả vi vô
hạn giảm nhanh và S ′ (Rn ) là không gian đối ngẫu của nó. Hạn chế của
các hàm trong S (Rn ) trên lưới Zn có vị trí quan trọng trong tuần hoàn
và giải tích rời rạc.

1.2

Một số không gian hàm trên Zn

Định nghĩa 1.2. (Không gian Schwartz S(Zn )). Ký hiệu S(Zn) là

không gian các hàm giảm nhanh Zn → C. Tức là, ϕ ∈ S(Zn ) nếu với
bất kỳ M < ∞ tồn tại một hằng số Cϕ,M sao cho
|ϕ(ξ)| ≤ Cϕ,M ξ

−M

đúng với mọi ξ ∈ Zn. Tô pô trên S(Zn ) được cho bởi họ nửa chuẩn pk ,

trong đó k ∈ N và pk (ϕ) := supξ∈Zn ξ j |ϕ(ξ)|.

Định nghĩa 1.3. (Hàm suy rộng ôn hòa S ′ (Zn )). Không gian đối

ngẫu của S(Zn ) gồm tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
S(Zn) được ký hiệu bởi S ′ (Zn). Mỗi hàm u ∈ S ′ (Zn) tác động lên hàm

ϕ ∈ S(Zn) có dạng

u(ξ)ϕ(ξ).

u, ϕ :=
ξ∈Zn


13

Chú ý 1.2. Với hàm u : Zn → C tăng nhiều nhất theo cấp đa thức tại

vô cùng, tức là, tồn tại các hằng số M < ∞ và Cn,M sao cho
|u(ξ)| ≤ Cu,M ξ

M

xảy ra với mọi ξ ∈ Zn. Khi đó u ∈ S ′ (Zn).
Định nghĩa 1.4 (Không gian ℓp (Zn )). Cho 1 ≤ p ≤ ∞, chúng ta xác

định các không gian hàm sau:
(i) ℓp (Zn ) = {f : Zn → C :
f

n∈Zn

ℓp (Zn )

|f (n)|p < ∞} với chuẩn
p

=
n∈Zn

|f (n)|

1
p

.

(ii)l∞(Zn ) = {f : Zn → C : sup{|f (n)|, n ∈ Zn } < ∞} với chuẩn
f

ℓ∞(Zn )

= sup{|f (n)|, n ∈ Zn }.

Bổ đề 1.1. Không gian S(Zn) trù mật trong không gian ℓ(Zn ).

1.3

Một số không gian hàm trên xuyến

Định nghĩa 1.5. (Không gian L2 (Tn)). Không gian L2(Tn ) là không
gian Hilbert với tích vô hướng xác định bởi
(u, v)L2(Tn ) :=

u(x)v(x)dx,

(1.4)

Tn

trong đó z là liên hợp phức của z ∈ C.
Định lý 1.1. Trong L2 (Tn), họ các hàm số {eξ , ξ ∈ Zn} xác định bởi
eξ (x) = e2πix·ξ
tạo thành một cơ sở trực chuẩn của L2(Tn).

(1.5)


14

Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra tính trực giao
(eξ , eη )L2(Tn ) = 0 với ξ = η,
và tính chuẩn tắc
(eξ , eξ )L2(Tn ) = 1 với mọi ξ ∈ Zn ,
do vậy vấn đề cần thiết là chứng minh ta có một cơ sở. Chúng tôi muốn áp
dụng Định lý Stone-Weierstrass để chứng minh rằng tập E = span{eξ :
ξ ∈ Zn} trù mật trong C(Tn). Nếu ta có điều này, ta có thể sử dụng tính
trù mật của C(Tn) trong L2(Tn), khi đó nó là một cơ sở. Theo Định lý
Stone-Weierstrass tất cả những gì ta cần phải chỉ ra là E là một đại số
đối hợp tách các điểm của Tn . Rõ ràng E tách các điểm. Cuối cùng, từ
công thức eξ eη = eξ+η suy ra E là một đại số, nó cũng là đối hợp bởi vì
công thức eξ = e−ξ .
Với cơ sở trực chuẩn cho bởi (1.1), hệ số Fourier của u ∈ L2(Tn) là
uˆ(ξ) =
Tn

e−i2πx·ξ u(x)dx (ξ ∈ Zn),

(1.6)

và chúng là xác định với mọi ξ nhờ bất đẳng thức H¨older và tính compact
của Tn .
Bổ đề 1.2. (Công thức Plancherel). Nếu u ∈ L2(Tn ) thì uˆ ∈ ℓ2(Zn )
và

uˆ

ℓ2 (Zn )

= u

L2 (Tn ) .

Nhận xét 1.1. Các hàm eξ (x) = ei2πx·ξ trong (1.1)thỏa mãn eξ (x + y) =
eξ (x)eξ (y) và |eξ (x)| = 1 với mọi x, y ∈ Tn. Điều ngược lại cũng đúng,

cụ thể:


15

Định lý 1.2. (Biểu diễn unita của Tn ). Nếu f ∈ L1(Tn) thỏa mãn
f (x + y) = f (x)f (y) và |f (x)| = 1 với mọi x, y ∈ Tn, thì tồn tại ξ ∈ Zn
sao cho f = eξ .
Chứng minh. Chúng ta sẽ chứng minh trường hợp một chiều vì trường
hợp tổng quát Tn suy ra từ trường hợp một chiều.
Do đó, x ∈ T1, ta có thể coi T tuần hoàn trong R, và ta có thể chọn

λ > 0 sao cho Λ =

λ
0 f (τ )dτ

= 0. Giá trị λ như vậy tồn tại bởi vì nếu

ngược lại ta có thể có f = 0 hầu khắp nơi theo hệ quả của định lý khả
vi Lebesgue, mâu thuẫn với giả thiết. Kết quả là ta có thể viết
λ

−1

f (x) = Λ

λ

−1

f (x)f (τ )dτ = Λ
0

x+λ

−1

f (x + τ )dτ dτ = Λ
0

f (τ )dτ.
x

Từ đây ta thấy rằng f ∈ L1(R) kéo theo f liên tục tại x. Vì điều này

đúng với mọi x ∈ T ta được f ∈ C 1(T). Bằng quy nạp, ta thu được

f ∈ C ∞ (T). Lấy đạo hàm đẳng thức bên trên, ta thấy rằng f thỏa mãn

phương trình

f ′(x) = Λ−1 (f (x + λ) − f (x)) = Λ−1 (f (x)f (λ) − f (x)) = C0f (x),
với C0 = Λ−1 (f (λ) − 1). Giải phương này ta tìm được f (x) = f (0)eC0x .

Nhắc lại rằng |f (0)| = 1 ta được |f (x)| = eReC0 x . Vì |f (x)| = 1 nên

ReC0 = 0 , và do đó C0 = i2πξ với ξ ∈ R. Cuối cùng, từ kết quả f tuần

hoàn kéo theo ξ ∈ Z.

Định nghĩa 1.6. (Không gian Lp (Tn)). Với 1 ≤ p < ∞ gọi Lp(Tn) là
không gian các hàm u ∈ L1(Tn) sao cho

1/p

u

Lp (Tn )

p

:=
Tn

|u(x)| dx

< ∞.


16

Với p = ∞, ký hiệu L∞ (Tn) là không gian các hàm u ∈ L1(Tn) sao cho
u

Lp (T n )

= esssupx∈Tn |u (x)| < ∞.

Định lý 1.3. Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞, không gian Lp (Tn) là không gian
Banach.
Hệ quả 1.1. (Bất đẳng thức Hausdoff-Young). Cho 1 ≤ p ≤ 2 và
1
p

+

1
q

= 1. Nếu u ∈ Lp(Tn ) thì uˆ ∈ ℓq (Zn) và
uˆ

ℓq (Zn )

≤ u

Lp (Tn ) .

Chứng minh. Phát biểu bên trên suy ra từ định lý nội suy Riesz-Thorin
bằng ước lượng đơn giản uˆ
uˆ

ℓ2 (Zn )

= u

L2(Tn )

ℓ∞ (Zn )

≤ u

L1 (Tn )

và công thức Plancherel

trong Nhận xét 1.2.

Định nghĩa 1.7. (Không gian hàm suy rộng tuần hoàn D′ (Tn)).
Không gian đối ngẫu D′ (Tn) = L(C ∞(Tn ), C) của không gian S(Tn )

được gọi là không gian các hàm suy rộng tuần hoàn. Với u ∈ D′ (Tn) và
ϕ ∈ C ∞(Tn), ta sẽ viết

u(ϕ) = u, ϕ .
Nhận xét 1.2.
1) Với bất kỳ ψ ∈ C ∞(Tn ),
ϕ→

ϕ(x)ψ(x)dx
Tn

là một hàm suy rộng tuần hoàn, sinh ra phép nhúng ψ ∈ C ∞(Tn) ⊂

D′ (Tn ). Lập luận tương tự, ta cũng có phép nhúng của không gian

Lp(Tn ), 1 ≤ p ≤ ∞, vào D′ (Tn).


17

2) Theo đẳng thức hàm kiểm tra ∂ α ψ, ϕ = ψ, (−1)|α| ∂ α ϕ , ta mở rộng
định nghĩa đạo hàm của hàm suy rộng bởi
∂ α f, ϕ := f, (−1)|α|∂ α ϕ .
3) Tôpô của D′ (Tn) = L(C ∞ (Tn), C) là tôpô yếu∗.
Nhận xét 1.3. (Đa thức lượng giác). Không gian TrigPol(Tn) các
đa thức lượng giác trên xuyến được định nghĩa bởi
TrigPol(Tn) := spaneξ : ξ ∈ Zn.
Do đó, f ∈ TrigPol(Tn) có dạng
fˆ(ξ)ei2πx·ξ ,

f (x) =
ξ∈Zn

trong đó fˆ(ξ) = 0 với chỉ hữu hạn các điểm ξ ∈ Zn . Trong chứng minh
của Định lý 1.1 chúng ta chỉ ra rằng TrigPol(Tn) trù mật trong cả C(Tn)

và trong L2(Tn) theo chuẩn tương ứng. Hơn nữa, tập các đa thức lượng
giác thực sự trù mật trong C ∞ (Tn), vì vậy một hàm suy rộng được đặc
trưng bởi giá trị chúng tại các véc tơ eξ với mọi ξ ∈ Zn. Ngoài ra, tồn
tại các ánh xạ tuyến tính u ∈ L(span{eξ |ξ ∈ Zn }, C) mà không thuộc
L(C ∞(Tn), C), nhưng mà sự xác định của hệ số Fourier uˆ(ξ) = u(eξ )
hoàn toàn có ý nghĩa.

18

Chương 2
Các phép toán giải tích cơ bản trên
xuyến
Nội dung chương này được trình bày dựa trên các tài liệu số [3], [4],
[6] đã nêu trong danh mục các tài liệu tham khảo.

2.1

Sai phân hữu hạn trên Zn

Trong phần này chúng ta phát triển công thức tính rời rạc mà cụ thể
chúng ta sẽ trình bày và chứng minh một phiên bản rời rạc của công
thức khai triển Taylor trên Zn . Chúng ta sẽ sử dụng vài quy ước mà sẽ
được thực hiện trong công thức: Tổng trên một tập chỉ số rỗng bằng 0,
tích trên một tập chỉ số rỗng bằng 0! = 1, 00 = 1.
α

Định nghĩa 2.1 (Sai phân tiến và lùi ∆αξ và ∆ξ ). Cho σ : Zn → C và

1 ≤ i, j ≤ n. Giả sử δj ∈ Nn0 được xác định bởi

 1, nếu i = j
(δj )i :=
 0, nếu i = j

19

Ta định nghĩa toán tử sai phân tiến và lùi riêng ∆ξj và ∆ξj lần lượt bởi
∆ξj σ (ξ) = σ (ξ + δj ) − σ (ξ) ,
∆ξj σ (ξ) = σ (ξ) − σ (ξ − δj ) ,
Và với α ∈ Nn0 ta định nghĩa
∆αξ := ∆αξ11 ....∆αξnn ,
α

α1

αn

∆ξ := ∆ξ1 ....∆ξn .
Chú ý 2.1 (các quan hệ cổ điển). Một vài công thức quen thuộc tương
tự công thức đạo hàm cổ điển vẫn đúng cho sai phân, chẳng hạn tính
chất giao hoán, nghĩa là
∆αξ ∆βξ = ∆βξ ∆αξ = ∆ξα+β
Với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn0 . Hơn nữa
∆αξ (sϕ + tψ) (ξ) = s∆αξ ϕ (ξ) + t∆αξ ψ (ξ) ,
trong đó s và t là vô hướng,
mà việc chứng minh được thực hiện theo quy nạp khá đơn giản. Ngoài
ra, chúng ta có một số tính chất sau:
α

Mệnh đề 2.1 (Công thức cho∆αξ và ∆ξ ). Với đa chỉ số α ∈ Nn , với mọi
hàm φ : Zn → C, ta có



β≤α

(−1)|α−β| 

β≤α

(−1)|β| 

∆αξ φ (ξ) =
α

∆ξ φ (ξ) =



α
β

α
β




 φ (ξ + β),

 φ (ξ − β).


20

Chứng minh. Ta đưa vào phép tịnh tiến Ej = I + ∆εj tác động lên
hàm φ : Zn → C bởi
Ej φ (ξ) := I + ∆ξj φ (ξ) = φ (ξ + δj ) .
Đặt E α := E1α1 ...Enαn . Áp dụng công thức nhị thức, ta có
∆αξ φ (ξ) = (E − I)α φ (ξ)
 
α
  (−1)|α−β| E β φ (ξ)
=
β
β≤α
 
α
(−1)|α−β|   φ (ξ + β).
=
β
β≤α
Để chứng minh Mệnh đề đối với sai phân lùi, ta chú ý rằng Ej ∆ξj =
∆ξj = ∆ξj Ej .
Bổ đề 2.1 (Công thức sai phân Leibniz). Cho φ, ψ : Zn → C. Khi đó
 
α
  ∆β φ (ξ) ∆α−β ψ (ξ + β)
∆αξ (φψ) (ξ) =
(2.1)
ξ
ξ
β
β≤α

Chứng minh. Trước tiên ta dễ dàng kiểm tra được rằng.
∆αξ (φψ) (ξj ) = (φψ) (ξ + δj ) − (φψ) (ξ)
= φ (ξ) (ψ (ξ + δj ) − ψ (ξ)) + (φ (ξ + δj ) − φ (ξ)) ψ (ξ + δj )
= φ (ξ) ∆ξj ψ (ξ) + ∆ξj φ (ξ) ψ (ξ + δj ) .


21

Chúng ta sử dụng công thức này và phép quy nạp trên α ∈ Nn0 :
α+δj

(φψ) (ξ) = ∆ξj ∆αξ (φψ) (ξ)
 
α
  ∆β φ (ξ) ∆α−β ψ (ξ + β)
= ∆ξj
ξ
ξ
β
β≤α
 
α
  ∆β φ (ξ) ∆α+δj −β ψ (ξ + β)
=
ξ
ξ
β
β≤α

∆ξ

β+δ

+ ∆ξ j φ (ξ) ∆ξα−β ψ (ξ + β + δj )
  

α
α
(∗)
  + 
 ∆β φ (ξ) ∆α+δj −β ψ (ξ + β)
=
ξ
ξ
β
β
−
δ
β≤α+δj
i


α + δj
(∗∗)
 ∆β φ (ξ) ∆α+δj −β ψ (ξ + β) .

=
ξ
ξ
β

β≤α+δj
 
α
/ Nn0 .
Trong (*) chúng ta sử dụng quy ước   = 0 nếu γ α hoặc γ ∈
γ
Còn (**) là do công thức tổ hợp
  
 

α
α
α + δj
 +
=

β
β
β − δi

(2.2)

Mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả 2.1. Với sai phân lùi, ta có
 
α
  ∆β ϕ (ξ) ∆ξα−β ψ (ξ + α).
∆αξj (ϕ (ξ) ψ (ξ)) =
ξ

β
β≤α

Bổ đề 2.2 (Tổng từng phần). Giả sử rằng ψ, ϕ : Zn → C. Khi đó
α

ϕ (ξ) ∆αξ ψ (ξ) = (−1)|α|
ξ∈Zn

∆ξ ϕ (ξ) ψ (ξ)
ξ∈Zn

(2.3)


22

miễn là chuỗi ở cả 2 vế hội tụ tuyệt đối.
Chứng minh. Chúng ta kiểm tra khi |α| = 1:
ϕ (ξ) ∆ξj ψ (ξ) =
ξ∈Zn

ξ∈Zn

=
ξ∈Zn

(ψ (ξ + δj ) − ψ (ξ)) ϕ (ξ)
ψ (ξ) (−ϕ (ξ) + ϕ (ξ − δj ))

= (−1)1

ψ (ξ) ∆ξj ϕ (ξ).
ξ∈Zn

Bằng quy nạp, ta chứng minh được bổi đề với mọi α ∈ Nn0 điều phải

chứng minh.

2.2

Khai triển Taylor và đa thức trên Zn

Định nghĩa 2.2 (Đa thức rời rạc). Cho θ ∈ Zn và α ∈ Nn0 ta định nghĩa
(α1 )

θ(α) = θ1

(αn )

...θn

(k+1)

θj

(0)

trong đó θj = 0 và
(k)

= θj (θj − k) = θj (θj − 1) ... (θj − k) .

(2.4)

Cũng giống như toán tử đạo hàm đối với đa thức, ta cũng có
Bổ đề 2.3. Với các đa chỉ số α, γ thỏa mãn γ ≤ α ta có
∆γθ θ(α) = α(γ) θα−γ .
Chú ý 2.2. Toán tử sai phân giảm bậc của đa thức 1 đơn vị. Trong giải
tích số, đa thức θ → θ(α) đôi khi xuất hiện ẩn dưới dạng hệ số nhị thức
 
θ
θ(α) = α!   .
α
Tiếp theo, chúng ta trình bày về việc lấy "tích phân rời rạc".


23

Định nghĩa 2.3 ( Phép lấy tích phân rời rạc). Với b ≥ 0, chúng ta viết
và I−b
k := −

Ikb :=
0≤k
(2.5)

.
−b≤k<0

Trong phần tiếp theo chúng ta kí hiệu


1,
nếu α = 0,



k
Ikθ1 Ikk21 ...Ikαα−1 1 =
Ikθ1 1,
nếu α = 1,



 I θ I k1 1, nếu α = 2.
k1 k2

Chú ý 2.3. Ta có thể coi Iξ

(θ)

θ

là phiên bản rời rạc của tích phân 1 lớp

...dξ, trong đó sai phân ∆ξ đóng vai trò của toán tử vi phân

o

d
dξ .

Bổ đề 2.4 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân rời rạc một chiều).
Nếu θ ∈ Z và α ∈ N thì
k

Ikθ1 Ikk21 ...Ikαα−1 1 =

1 (α)
θ .
α!

(2.6)

Chứng minh. Chúng ta chú ý rằng k (0) ≡ 1, ∆k k (i) = ik i−1 và Ikb ∆k k (i) =

b(i) từ đó (2.6) được chứng minh bằng quy nạp.

Chú ý 2.4. Ta chú ý rằng Bổ đề 2.4 có dạng của định lý cơ bản của
phép tính tích phân:
Với f : R → C đủ trơn, ta có
θ

0

f ′ (ξ) dξ = f (θ) − f (0) .

Sự kiện trên tương ứng với

Iξθ ∆ξ f (ξ) = f (θ) − f (0)
khi f : Z → C.


24

Bổ đề 2.4 sẽ suy ra trực tiếp phiên bản nhiều chiều của nó, tức là
Hệ quả 2.2 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân rời rạc nhiều
chiều). Nếu θ ∈ Zn và α ∈ Nn0 thì
n

θ

k(j,1)

k(j,α −1)

j
Ik(j,1)
Ik(j,2) ...Ik(j,αjj)

1=

j=1
n
j=1 Ij

trong đó

1 (α)

θ ,
α!
θ

(2.7)
k(j,1)

k(j,α −1)

j
có nghĩa là tích I1 I2...In, với Ij = Ik(j,1)
Ik(j,2) ...Ik(j,αjj)

.

Định lý 2.1 (Khai triển Taylor trên Zn). Cho p : Zn → C. Khi đó
p (ξ + θ) =
|α|
1 (α) α
θ ∆ξ p (ξ) + rM (ξ, θ),
α!

với phần dư rM (ξ, θ) thỏa mãn
∆ωξ rM (ξ, θ) ≤ CM

max

|α|=M,v∈Q(θ)

θ(α) ∆ξα+ω p (ξ + v)

(2.8)

trong đó Q (θ) := {v ∈ Zn : |vj | ≤ |θj |, ∀j = 1, 2, ..., n} .
Chứng minh. Chứng minh Định lý 2.1 trong trường hợp n = 1
Ta chỉ ra phần dư là
k

rM (ξ, θ) = Ikθ1 Ikk21 ...IkMM−1 ∆M
ξ p (ξ + kM ) .

(2.9)

Thật vậy, ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Dễ dàng thử lại
với M = 1
r1 (ξ, θ) = p (ξ + θ) − p (ξ) = Ikθ1 ∆ξ p (ξ + k1 ) .
Giả sử đúng với M, ta có
rM +1 (ξ, θ) = rM (ξ, θ) −

1 (M ) M
θ ∆ξ p (ξ)
M!

(2.5),(2.8) θ k
= Ik1 Ik21 ...IkkMM−1 ∆M
ξ
k

(p (ξ + kM ) − p (ξ))

+1
M
∆M
= Ikθ1 Ikk21 ...IkMM−1 IkkM+1
p (ξ + kM +1) .
ξ


25

Áp dụng (2.6) và (2.9) ta thu được
∆ωξ rM (ξ, θ) ≤

1 (M )
θ
M!

max

v∈{0,...,θ}

+ω
∆M
p (ξ + v) .
ξ

(2.10)

Do đó định lý Taylor rời rạc 1 chiều được chứng minh.

Chứng minh Định lý 2.1 cho công thức khai triển Taylor n−
chiều.
Cho 0 = α ∈ Nn0 , kí hiệu mα := min {j : αi = 0}. Cho θ ∈ Zn và

i ∈ {1, ..., n} ta xác định ν (θ, i, k) bởi

ν (θ, i, k) := (θ1, ..., θi−1, k, 0, ...0) ,
nghĩa là
ν (θ, i, k)j =




θ , nếu 1 ≤ j < i,

 j
k, nếu j = i,



 0, nếu i < j ≤ n.

Chúng ta khẳng định rằng phần dư có thể viết dưới dạng
rα (ξ, θ),

rM (ξ, θ) =

(2.11)

|α|=M

trong đó với mỗi α, ta có
n
θ

k(j,1)

k(j,α −1)

j
Ik(j,1)
Ik(j,2) ..Ik(j,αjj) ∆αξ p (ξ + ν (θ, mα , k (mα , αmα ))) ;

rα (ξ, θ) =
j=1

(2.12)

Ta chứng minh (2.12) bằng quy nạp. Số hạng dư thứ nhất r1 có dạng
như đã nêu bởi:
n

r1 (ξ, θ) = p (ξ + θ) − p (ξ) =

rδi (ξ, θ),
i=1


26

trong đó
rδi (ξ, θ) = Ikθi ∆δξi p (ξ + ν (θ, i, k)) ;
ở đây rδi có dạng (2.12) với α = δi, m (α) = i và αmα = 1.
Giả sử rằng (2.12) là đúng đến bậc |α| = M. Khi đó
rM +1 (ξ, θ) = rM (ξ, θ) −

rα (ξ, θ) −

=
|α|=M

|α|=M

1 (α) α
θ ∆ξ p (ξ)
α!
1 (α) α
θ ∆ξ p (ξ)
α!

n
θ

k(j,1)

k(j,α −1)

j
Ik(j,1)
Ik(j,2) ...Ik(j,αjj)

=
|α|=M j=1

× ∆αξ [p (ξ + ν (θ, mα , k (mα , αmα ))) − p (ξ)] ,

ở đó ta đã sử dụng (2.12) và (2.7) để thu được đẳng thức cuối cùng. Kết
hợp điều này với đẳng thức
mα

p (ξ + ν (θ, mα , k)) − p (ξ) =

ν(θ,mα ,k)i

Il

∆δξi p (ξ + ν (θ, i, l)),

i=1

ta nhận được
n
θj
k(j,α −1)
k(j,1)
Ik(j,1)
Ik(j,2) ...Ik(j,αjj)

rM +1 (ξ, θ) =
|α|=M j=1

mα
ν(θ,mα ,k(mα ,αmα ))i

Il(i)
i=1

i
∆α+δ
p (ξ + ν (θ, i, l (i)))
ξ

n
θ

k(j,1)

k(j,β −1)

j
Ik(j,1)
Ik(j,2) ...Ik(j,βjj)

=
|β|=M +1 j=1

∆βξ p ξ + ν θ, mβ , k mβ , βmβ

;

Do đó chứng minh của phép quy nạp đẳng thức (2.12) được hoàn thành.