Nghiên cứu việc đưa vào dạy học toán ở trường phổ thông thuật toán chia đôi trong môi trường máy tính bỏ túi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
----------------------------

ĐỖ PHẠM ANH TÚ

NGHIÊN CỨU VIỆC ĐƯA VÀO DẠY HỌC TOÁN Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI
TRONG MÔI TRƯỜNG MÁY TÍNH BỎ TÚI

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn toán
Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Văn Tiến

Thành phố Hồ Chí Minh – 2006


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
MỞ ĐẦU…….………………………………………………………………………………………………………………………………….1
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát………………………………………………………………………1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu………………………………………2
3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu…………………………………………………….3
4. Tổ chức của luận văn…………………………………………………………………………………………………………3
Chương 1: TỔ CHỨC TOÁN HỌC (TCTH) THAM CHIẾU GẮN LIỀN VỚI
THUẬT TOÁN CHIA ĐÔI (TTCĐ)……………………………………………………………5
1.1. Sơ lược lòch sử của khái niệm thuật toán….……………………………………………………………5

1.2. TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ…………………………………………………………………….6
1.2.1. TTCĐ trong quyển sách “Cơ sở giải tích số” của B. Démidovitch
và I. Maron………………………………………………………….……………………………………………….6
1.2.2. TTCĐ trong quyển sách “Toán học và tin học” của
Arthur Engel……………………………………………………………………………………………………….10
1.2.3. TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ…………………………………………………….13
1.3. Kết luận về chương 1………………………………………………………………………………………………….14
Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI TTCĐ VÀ MÁY TÍNH BỎ TÚI
(MTBT)…………………………………………..…………………………………………………………………….15
2.1. Mối quan hệ thể chế với TTCĐ……………………….…………………………………………………….15
2.1.1. Tình huống đưa vào TTCĐ……………………….…………………….……………………………15
2.1.2. Vết của TCTH tham chiếu………………………………………………….……………………….21
2.1.3. Kết luận…………….…………………………………………………………………………………………………23
2.2. Mối quan hệ thể chế với MTBT…………………………………………………………………………….24
2.2.1. Tổng quan về MTBT…………………………………………………….……………………………….24
2.2.2. Một số tình huống đưa vào MTBT……………………………………………….……………26
2.2.3. Kết luận……………………………………………………………………………………………………………….29
2.3. Kết luận về chương 2………………………………………………………………………………………………….30
Chương 3: THỰC NGHIỆM……………………………………………………………………………………………….31
3.1. Mục đích thực nghiệm…………………………………………………………………………………………………31
3.2. Phân tích tiên nghiệm…………………………………………………………………………………………………31
3.2.1. Tình huống tổng quát………………………………………………………………………………………31
3.2.2. Lựa chọn hàm số f(x)……………………………………………………………………….…………….31
3.2.3. Nội dung thực nghiệm……………………………………………………….……………………………33
3.2.4. Tiến trình thực nghiệm……………………………………………………………………………………35
3.2.5. Các biến tình huống……………………………………………………………………….…….………. 36
3.2.6. Phân tích chi tiết………………………….…………………………………………………………………..37


3.3. Phân tích hậu nghiệm………………………………………………………………………………………………….45

3.3.1. Các chiến lược có dùng phím nhớ của MTBT đã được sử dụng……45
3.3.2. Sự hợp thức hóa tình huống tính gần đúng nghiệm…………………………….46
3.3.3. Tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu…………………………………………….48
3.3.4. TTCĐ đã được đưa vào dạy học ……………………………………..……………………….52
3.3.5. Sự xuất hiện ngầm ẩn của yếu tố tin học………………………………………….……54
3.3.6. Kết luận về thực nghiệm……………………………………………………………………………….55
KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………………………………………………………56
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤC LỤC
Các phiếu thực nghiệm
Một số lời giải tiêu biểu của các nhóm
Protocole


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Hoàng Kiếm (2001), Giải một bài toán trên máy tính như thế nào?, Tập 1, Nxb
Giáo dục, Hà Nội.
2. Hoàng Xuân Sính (1977), Đại số đại cương, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
3. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số
trong dạy học toán: Một công nghệ didactique trong môi trường máy tính
bỏ túi, Luận văn Thạc só, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
4. Lê Thò Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Nguyễn Văn Vónh (1999), Học tập trong
hoạt động và bằng hoạt động, Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, Trường
Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
5. Tạ Duy Phượng (2003), Giải toán trên máy tính điện tử, Nxb Giáo dục, Hà
Nội.
6. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục – Một nghiên cứu khoa học luận và
didactic, Luận văn Thạc só, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
7. Trònh Công Diệu (1996), Phương pháp tính, Đề cương bài giảng, Trường Đại

học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh.
8. Vụ Giáo dục trung học (2005), Máy tính Casio fx 500 MS – Hướng dẫn sử dụng
và giải toán, Hà Nội.
9. Vụ Trung học phổ thông (2001), Một số vấn đề về nâng cao thực hành trên
máy tính Casio, Tp. Hồ Chí Minh.
Dòch sang tiếng Việt
10. Fichtengôn G. M. (1977), Cơ sở giải tích toán học, Tập 1, Nxb Đại học và
Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
11. Nyhoff L., Leedstma S. (1998), Lập trình nâng cao bằng Pascal với các cấu
trúc dữ liệu, Nxb Đà Nẵng.
Tiếng Anh
12. Knuth D. E. (1997), The art of computer programming, Addison Wesley
Longman, California.
13. Rotman J. (1998), Galois Theory, Springer-Verlag, NewYork.
14. Roman S. (1995), Field Theory, Springer-Verlag, NewYork.
15. Thomas H. C., Charles E. L., Ronald L. R. (1990), Introduction to
Algoritthms, McGraw-Hill Book Company, NewYork.


Tiếng Pháp
16. Chabert J. L., Barbin E., Guilletmot M., Pajus A. M., Borowczyk J., Djebbar
A. et Martzloff J. C. (1994), Histoire d’algorithmes, Éditions Berlin.
17. Démidovitch B. et Maron I. (1979), Éléments de culcul numérique,
Traduction français, Éditions Mir. Moscou, (traduit du russe par V.
Polonski).
18. Engel A. (1985), Mathématique et informatique, Éditions Cedic, Paris.
19. Lê Văn Tiến (2001), Étude didactique de liens entre fonctions et équations
dans l’enseignement des mathématiques au lycée en France et au Viêt-nam,
Thèse, Université Joseph Fourier – Grenoble I.

PHỤ LỤC
Các phiếu thực nghiệm
Một số lời giải tiêu biểu của các nhóm
Protocole


LỜI CẢM ƠN
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê Văn Tiến. Mặc dù
rất bận rộn với công tác quản lý và công tác chuyên môn, thầy vẫn dành nhiề
nhiều công
sức và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn TS. Trần Văn Tấn, PGS.TS. Lê Thò Hoài Châu,
TS. Lê Văn Tiến, TS. Đoàn Hữu Hải, PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS.
Annie Bessot, TS. Alain
Alain Birebent đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng
tôi những kiến thức về Didactique toán và tạo cho tôi niềm yêu thích với chuyên
ngành này; xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp
Didactique toán khóa 14.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng Khoa học công
nghệ – Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin trường ĐHSP tp. HCM đã
tạo thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên đã giúp đỡ tôi để luận
văn này được dòch sang tiếng Pháp.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp và người thân đã động viên và
giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Đỗ Phạm Thanh Tú


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài và câu hỏi xuất phát
Lòch sử giảng dạy toán ở trường phổ thông Việt Nam đã ghi nhận sự tiến triển
đáng lưu ý của các yếu tố thuộc về Phương pháp số, Tin học và thuật toán. Cụ
thể:
• Chương trình lớp 10 những năm 1990 yêu cầu đưa vào một chương nhan đề
“Một số yếu tố về phương pháp và kỹ thuật tính toán”. Mục đích chủ yếu là cung
cấp cho học sinh những hiểu biết bước đầu về phương pháp số, về thuật toán và
tin học.
Phù hợp với chương trình, cả ba bộ sách giáo khoa (SGK) của thời kỳ này đều
dành một chương để đề cập nội dung trên, nhưng dưới các tên gọi khác nhau
như: “Khái niệm sơ đẳng về tin học và thuật toán”, “Một số khái niệm về phương
pháp và kỹ thuật tính toán”, “Khoa học và kỹ thuật tính toán”. Đặc biệt, mở đầu
chương “Khoa học và kỹ thuật tính toán”, SGK của chủ biên Ngô Thúc Lanh
viết:
“Phương pháp số là một bộ môn toán học có nhiệm vụ tìm ra kết quả bằng số
của bài toán. Phương pháp số xuất hiện rất sớm trong lòch sử. Ngày nay các kết
quả bằng số của các bài toán thực tiễn vẫn luôn luôn là mối quan tâm của các
nhà toán học. Những bài toán lớn như: tính toán các chỉ tiêu của nền kinh tế quốc
dân, các số liệu về dự báo thời tiết, hay về quỹ đạo của các con tàu vũ trụ v.v…
đòi hỏi phải có những phương pháp và kỹ thuật tính toán rất có hiệu lực. Yêu cầu
cấp bách đó đã là nguyên nhân trực tiếp của sự ra đời của máy tính điện tử (viết
tắt MTĐT). Nhờ có MTĐT nhiều phương pháp số trước đây chỉ có ý nghóa lý
thuyết ngày nay đã có thể thực hiện được.”
Nói cách khác, việc giải quyết các bài toán thuộc phạm vi Phương pháp số là
một trong những yếu tố thúc đẩy sự ra đời và phát triển của MTĐT nói riêng và
tin học nói chung.
Như vậy, dù mức độ và cấu trúc khác nhau, nhưng nội dung “Phương pháp và
kỹ thuật tính toán” trong cả ba SGK lớp 10 đều xoay quanh ba đối tượng cơ bản,

đó là: Thuật toán, Phương pháp tính và Máy tính điện tử (máy vi tính). Điều này
làm chúng tôi tự hỏi: Phải chăng ẩn đằng sau 3 đối tượng này là ý đồ nối khớp
toán học và tin học thông qua thuật toán?
• Tuy nhiên, chương trình chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và chương trình thí
điểm phân ban năm 20031 lại loại bỏ hoàn toàn nội dung nêu trên.

1

Thí điểm lớp 10 từ năm học 2003-2004.


2
Đặc biệt, trong chương trình thí điểm phân ban, tin học bắt đầu lấy vò trí của
một môn học độc lập. Nhưng việc sử dụng máy tính bỏ túi (MTBT) lại được
nhấn mạnh trong nhiều môn học, nhất là ở môn toán. Về phương diện thuật toán
và phương pháp số, cả hai SGK toán thí điểm lớp 11 (sách Đại số và Giải tích,
bộ 1 và bộ 2, ban Khoa học tự nhiên) đều đề cập Phương pháp chia đôi trong
việc tính gần đúng nghiệm của phương trình.
Những sự kiện nêu trên thể hiện ý đònh và cả sự lưỡng lự của những người
soạn thảo chương trình và SGK Việt Nam trong việc tính đến các yếu tố của
phương pháp số và tin học trong dạy học toán ở trường phổ thông. Nhưng, điều
đặc biệt là đằng sau Phương pháp số và Tin học luôn có dấu vết của Thuật toán.
Nói cách khác, câu hỏi về việc sử dụng thuật toán như đối tượng ưu tiên trong
việc nối khớp toán học và tin học trong chương trình và SGK toán của các thời
kỳ vẫn là một vấn đề cần thiết được làm sáng tỏ.
Câu hỏi này lôi cuốn sự chú ý đặc biệt của chúng tôi. Tuy nhiên, trong phạm
vi của một luận văn thạc só, để đảm bảo tính khả thi của chủ đề nghiên cứu,
chúng tôi giới hạn vào một đối tượng cụ thể, đó là thuật toán chia đôi (TTCĐ).
Việc lựa chọn thuật toán này xuất phát từ hai lý do sau đây:
- TTCĐ luôn được ưu tiên đề cập trong nhiều quyển sách về Phương pháp số

(hay Giải tích số),
- Nó xuất hiện tường minh trong bài đọc thêm của cả hai SGK toán lớp 11 thí
điểm phân ban.
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích tổng quát của luận văn này là nghiên cứu về vò trí, vai trò của
TTCĐ trong mối quan hệ Toán học – Tin học.
Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của
didactique toán. Cụ thể, chúng tôi sẽ vận dụng một số khái niệm công cụ của lý
thuyết nhân chủng học (lý thuyết chuyển đổi didactique, tổ chức toán học, mối
quan hệ thể chế, mối quan hệ cá nhân, cách đặt vấn đề sinh thái học) và của lý
thuyết tình huống (đồ án didactique).
Trong phạm vi didactique với các khái niệm công cụ lý thuyết đã chọn, mục
đích nghiên cứu cụ thể của chúng tôi là tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau đây:
1) TTCĐ xuất hiện như thế nào trong các quyển sách đề cập đến phạm vi
phương pháp số? Nó gắn liền với tổ chức toán học (TCTH) nào? Với những đặc
trưng gì? Nó có mối quan hệ như thế nào với các công cụ tin học như máy vi tính
(MVT), MTBT? Nó có phải là một trong các yếu tố cho phép nối khớp toán học
và tin học?


3
2) TTCĐ hiện diện như thế nào trong chương trình và SGK? Đặc trưng của
TCTH gắn liền với nó? Nó có quan hệ gì với các đối tượng MTBT và MVT nói
riêng và các yếu tố tin học nói chung? TTCĐ và các đối tượng liên quan phải
chòu những điều kiện và ràng buộc nào của thể chế?
3) Làm thế nào xây dựng một tiểu đồ án didactique để đưa TTCĐ vào dạy
học toán ở trường phổ thông với sự hỗ trợ của MTBT?
3. Phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu
Phương pháp luận nghiên cứu mà chúng tôi áp dụng trong luận văn này là
thực hiện đồng thời việc nghiên cứu ở hai cấp độ: cấp độ tri thức khoa học và

cấp độ tri thức cần giảng dạy. Nghiên cứu ở cấp độ thứ nhất sẽ là yếu tố tham
chiếu cho nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở cấp độ thứ hai.
Tổng hợp kết quả hai nghiên cứu này sẽ là cơ sở để đề xuất các câu hỏi và
đặc biệt là giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tìm cách trả lời hay hợp thức
hóa bằng thực nghiệm.
Dựa vào phương pháp luận nghiên cứu nêu trên, có thể trình bày tổ chức
nghiên cứu của chúng tôi như sau:
• Làm rõ TCTH gắn liền với TTCĐ trong một số quyển sách bàn về phương
pháp số để chỉ ra TCTH tham chiếu.
• Phân tích chương trình và SGK toán phổ thông thí điểm để làm rõ mối quan
hệ thể chế đối với TTCĐ và các đối tượng có liên quan; tìm vết của TCTH tham
chiếu.
• Tổng hợp kết quả của hai phân tích trên để đề xuất các câu hỏi mới hay giả
thuyết nghiên cứu.
• Xây dựng đồ án didactique cho phép tìm câu trả lời cho một số trong các
câu hỏi mới hay đưa vào thử nghiệm giả thuyết nghiên cứu đã đặt ra ở trên.
4. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm 5 phần: mở đầu, chương 1, chương 2, chương 3 và kết luận.
• Phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, mục đích của đề
tài, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp và tổ chức nghiên cứu cũng như
tổ chức của luận văn.
• Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu TTCĐ ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ
thể, chúng tôi nghiên cứu TTCĐ trong hai quyển sách bàn về phương pháp số để
chỉ ra TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ.
• Trong chương 2, chúng tôi thực hiện phân tích chương trình và SGK thí điểm
để làm rõ mối quan hệ thể chế với TTCĐ và MTBT, đề xuất câu hỏi mới và giả


4
thuyết nghiên cứu. Chúng tôi chỉ rõ vết mà TCTH tham chiếu để lại trong bài

đọc thêm và giải thích sự chênh lệch giữa TCTH tham chiếu và bài đọc thêm.
• Trong chương 3, chúng tôi xây dựng và đưa vào thực nghiệm một tiểu đồ án
didactique nhằm kiểm tra tính thỏa đáng của giả thuyết nghiên cứu, tìm câu trả
lời cho câu hỏi mới và đưa vào dạy học ở trường phổ thông TTCĐ.
• Phần kết luận tóm tắt những kết quả đạt được ở các chương 1, 2, 3 và nêu
một số hướng nghiên cứu mới mở ra từ luận văn.


5
Chương 1

TCTH THAM CHIẾU GẮN LIỀN VỚI TTCĐ
Chúng tôi nhắc lại rằng, mục tiêu của chương này là nghiên cứu TTCĐ ở cấp
độ tri thức khoa học và qua đó tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra trong phần
mở đầu:
TTCĐ xuất hiện như thế nào trong các quyển sách đề cập đến phạm vi phương
pháp số? Nó gắn liền với TCTH nào? Với những đặc trưng gì? Nó có mối quan hệ
như thế nào với các công cụ tin học như MVT, MTBT? Nó có phải là một trong
các yếu tố cho phép nối khớp toán học và tin học?
Hai quyển sách mà chúng tôi chọn phân tích là:
- “Cơ sở giải tích số” của B. Démidovitch và I. Maron,
- “Toán học và tin học” của Arthur Engel.
Tuy nhiên, trước khi thực hiện việc phân tích hai quyển sách nêu trên, chúng
tôi sẽ trình bày sơ lược lòch sử của khái niệm thuật toán, nhằm làm rõ cách sử
dụng thuật ngữ “thuật toán” trong luận văn này.
1.1. Sơ lược lòch sử của khái niệm thuật toán
Kết quả trong mục này được rút ra từ công trình của Lê Văn Tiến [19] và từ
việc phân tích phần mở đầu của tài liệu “Histoire d’algorithmes” [16].
Trước khi xuất hiện thuật ngữ đặc biệt để chỉ thuật toán thì thuật toán đã tồn
tại ở người Babilon và người Hy Lạp. Nó xuất hiện ở các lónh vực pháp lý, toán

học… Khi đó, người ta nói đến trình tự, quy tắc, kỹ thuật, quy trình, phương
pháp.
Cách dùng từ “thuật toán” ở phương Tây gắn với tên " al − Khwarizmi " , tên
của nhà toán học nửa đầu thế kỷ thứ IX

Muhammad ibn M usa

a l − K h w arizm i .
Trong những cuốn sách La tinh thời Trung đại, người ta dùng những từ
algorisme, algorismus hoặc algorithmus để chỉ những phương pháp tính.
D’Alembert đã mô tả từ thuật toán như sau: “[…] Nói chung, dùng cùng một từ
để chỉ phương pháp và ký hiệu của tất cả các kiểu tính. Khi đó, người ta nói đến
thuật toán tính tích phân, thuật toán tính luỹ thừa, thuật toán sin, v.v…” (Bách
khoa toàn thư, 1992).
Cuối cùng, từ thuật toán dùng để chỉ tất cả những phương pháp tính có tính hệ
thống, thậm chí là tự động. Đặc biệt, với sự ảnh hưởng của công nghệ thông tin,
thuật ngữ này đã có một đònh nghóa rõ ràng hơn nhờ vào đặc trưng “hữu hạn” và
nó cho phép phân biệt từ thuật toán với những từ có nghóa rộng hơn như phương
pháp, quy trình, kỹ thuật:


6
“Thuật toán là một dãy hữu hạn các quy tắc cần thực hiện theo một thứ
tự trên một số hữu hạn các dữ liệu đã cho để sau một số hữu hạn bước sẽ
đạt tới kết quả, và điều đó độc lập với các dữ liệu.” (Encyclopaedia
Universalis).
Sự xuất hiện của khái niệm thuật toán là một bước chuyển trong lòch sử thuật
toán:
“Với việc đưa vào khái niệm thuật toán, lòch sử của các thuật toán đã
chuyển đổi thành lòch sử của một lónh vực khoa học mới: đó là thuật toán.

Lónh vực khoa học này không phải tìm một thuật toán để giải một vấn đề
đặc biệt, mà tìm cách giải các vấn đề được đặt ra bằng việc nghiên cứu
một cách tổng quát các thuật toán. Nghiên cứu này được đặc biệt phát triển
với sự trợ giúp của các máy vi tính và việc khám phá ra các ngôn ngữ lập
trình.” [16, tr.534].
Trong tin học, để mô tả một số thuật toán, người ta thường dùng phép gán và
vòng lặp.
Tóm lại, thuật toán xuất hiện ở nhiều lónh vực, trong đó có toán học và tin
học. Trong lòch sử, thuật toán là một đặc trưng của toán học và nó thường lấy
nghóa là phương pháp, quy tắc, quy trình, kỹ thuật. Tin học ra đời, thuật toán có
đònh nghóa rõ ràng và nó là một yếu tố của tin học. Đặc trưng nổi bật của thuật
toán trong tin học là tính hữu hạn.
Trong luận văn này, chúng tôi dùng thuật ngữ “thuật toán” theo nghóa chung
nhất. Theo nghóa này, chúng tôi gọi các phương pháp tính (phương pháp chia đôi,
phương pháp Newton,…) là các “thuật toán”. Chính vì vậy, trong tên đề tài và
phần mở đầu của luận văn, chúng tôi đã dùng thuật ngữ “thuật toán chia đôi”
(TTCĐ).
1.2. TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ
1.2.1. TTCĐ trong quyển sách “Cơ sở giải tích số” của B. Démidovitch và I.
Maron
Quyển sách gồm 17 chương. Chương 4 “Giải gần đúng phương trình đại số và
siêu việt” có 11 bài:
1) Tách nghiệm
2) Giải phương trình bằng đồ thò
3) Phương pháp chia đôi
4) Phương pháp các phần tỷ lệ


7
5) Phương pháp Newton

6) Phương pháp Newton có sửa đổi
7) Phương pháp phối hợp
8) Phương pháp xấp xỉ liên tiếp
9) Phương pháp xấp xỉ liên tiếp cho hệ 2 phương trình
10) Phương pháp Newton cho hệ 2 phương trình
11) Áp dụng phương pháp Newton cho trường hợp nghiệm phức.
Sau đây chúng tôi phân tích bài “Phương pháp chia đôi”. Bài này được viết ở
trang 114 và 115:
"Cho phương trình f(x) = 0,
(1)
với f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và f(a)f(b) < 0.
Ta tìm nghiệm của phương trình (1) bằng cách chia đôi đoạn [a;b]. Nếu

a+b
a+b
a+b
) = 0 thì ξ =
là một nghiệm của phương trình. Nếu f(
) ≠0
2
2
2
a+b
a+b
thì tại các mút của một trong các đoạn [a;
], [
; b] hàm số sẽ lấy
2
2

f(

giá trò khác dấu nhau. Gọi đoạn đó là [a1;b1] và tiếp tục chia đôi rồi làm
như trên. Lặp lại việc làm này, ta sẽ tìm được một nghiệm đúng của phương
trình (1), hoặc tìm được một dãy các đoạn chứa nhau [a1;b1], [a2;b2],…,
[an;bn],… với
(2)
f(an)f(bn) < 0 (n = 1, 2,…)
và
bn − an =

1
(b − a ) .
2n

(3)

Dãy số a1, a2,…, an,… tăng và bò chặn trên, dãy số b1, b2,…, bn,… giảm và
bò chặn dưới; kết hợp với (3) chúng có giới hạn chung là
ξ = lim an = lim bn .
n →∞

n →∞

Cho n → ∞ , do (2) và tính liên tục của hàm số f(x) ta có [f(ξ )]2 ≤ 0. Do
đó f(ξ) = 0, nghóa là ξ là nghiệm của phương trình (1) và ta có
0 ≤ ξ - an ≤

1
(b − a ) .

2n

(4)

Nếu đoạn [a;b] không phải là đoạn tách nghiệm2 của phương trình (1)
thì phương pháp trên cho phép tìm một nghiệm nào đó của phương trình
(1).
Phương pháp chia đôi giúp đạt được một ước lượng của một nghiệm của
phương trình, số phép tính được thực hiện tăng lên thì sự ước lượng chính
xác hơn.
2

Đoạn chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình.


8
Phương pháp chia đôi thực hiện không vất vả bằng máy tính điện tử. Sự
tính toán mà máy thực hiện sẽ cung cấp giá trò hàm số tại trung điểm của
mỗi đoạn [an;bn] (n = 1, 2,…) và giúp chọn lựa một nửa đoạn tương ứng.
Ví dụ. Dùng phương pháp chia đôi, cải tiến nghiệm của phương trình
f(x) ≡ x4 + 2x3 – x – 1 = 0 trên [0;1]
Giải. Ta lần lượt có:
f(0) = -1; f(1) = 1;
f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = -1,19;
f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = - 0,59;
f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = + 0,05;
f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = - 0,034;
f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = - 0,135;
f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = - 0,043;…
Ta có thể đặt

ξ=

1
(0,859 + 0,875) = 0,867.”
2

Nhận xét
1) Tác giả không dùng thuật ngữ “thuật toán” mà dùng thuật ngữ “phương
pháp”. TTCĐ là kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải gần đúng phương
trình”. Kiểu nhiệm vụ này được xác đònh rõ ràng. Nó xuất hiện đồng thời với tên
của chương 4.
2) Trước bài “Phương pháp chia đôi”, tác giả trình bày một đònh lý có nội
dung như sau:
“Đònh lý 1. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và nhận giá trò trái
dấu nhau tại hai đầu mút của đoạn này, nghóa là f(a).f(b) < 0, thì đoạn này
chứa ít nhất một nghiệm của phương trình f(x) = 0, nghóa là tồn tại ít nhất
một số ξ ∈ (a;b) sao cho f(ξ) = 0.” (tr.109).
Như vậy, với điều kiện f(x) là hàm số liên tục trên [a;b] và f(a)f(b) < 0, sự tồn
tại nghiệm của phương trình (1) được ngầm hiểu. Đònh lý nêu trên là một trường
hợp đặc biệt của đònh lý giá trò trung gian.
Nếu ta thừa nhận lớp các hàm số liên tục là nhiều thì có thể nói rằng tầm ảnh
hưởng của TTCĐ là khá rộng.
3) Sự tồn tại các giới hạn lim an và lim bn được giải thích bởi dãy hội tụ:
n →∞

n →∞

“Đònh lý. Giả thử cho biến đơn điệu điệu tăng xn. Nếu nó bò chặn trên:
xn ≤ M (M = const; n = 1, 2, 3,…)

thì nó phải có giới hạn hữu hạn, trong trường hợp ngược lại nó dần đến
+∞.
Cũng giống như vậy một biến xn đơn điệu giảm luôn luôn có giới hạn.
Giới hạn của nó hữu hạn nếu nó bò chặn dưới và trong trong trường hợp
ngược lại, giới hạn của nó bằng - ∞ .” [10, tr.71].


9
Việc chứng minh đònh lý này dựa trên các tính chất đặc trưng của sup và inf 3.
4) Khẳng đònh [ f (ξ )]2 ≤ 0 được giải thích một phần bởi tính chất của hàm số
liên tục4: Giả sử hàm số f(x) xác đònh trong khoảng I và x0 ∈ I. Khi đó, hàm số
xn = x0
f(x) liên tục tại điểm x0 nếu với mọi dãy x1, x2,…, xn,… thuộc I mà lim
n
→∞

thì lim f(xn) = f(x0). Tính chất này được suy ra từ đònh nghóa giới hạn của hàm số
n→∞

và đònh nghóa hàm số liên tục tại một điểm5.
5) Đặt c1 =

a +b
a+b
a +b
, c2 = 1 1 ,…, cn +1 = n n ,… Dùng tiêu chuẩn Cauchy6,
2
2
2

chúng tôi chứng minh được dãy số này cũng hội tụ về ξ. Chúng tôi gọi dãy số
này là dãy số “trung điểm”.
6) Trong công thức (4), ξ là “nghiệm đúng” của phương trình (1) trên đoạn
[a;b]. Tác giả không nêu rõ số nghiệm của phương trình (1) đoạn [a;b]. Như vậy,
trên đoạn [a;b], phương trình (1) có thể có những nghiệm khác ngoài ξ. Công
thức (4) đánh giá sai số tuyệt đối khi lấy an làm giá trò gần đúng của ξ.
7) Hàm số cho trong ví dụ là hàm số đa thức. Đa thức đã cho có bậc 4, hệ số
nguyên. Bằng cách tìm nghiệm hữu tỷ của đa thức7, chúng tôi chứng minh được
đa thức đã cho không có nghiệm hữu tỷ. Ví dụ cho sẵn đoạn chứa nghiệm [0;1].
8) Dùng đạo hàm khảo sát hàm số f(x) = x4 + 2x3 – x – 1 gặp khó khăn vì
f’(x) là đa thức bậc ba không có nghiệm hữu tỷ. Dùng Maple8 9 để tìm giá trò gần
đúng của nghiệm, chẳng hạn dùng lệnh > solve ( x ^ 4 + 2 * x ^ 3 − x − 1, x) ; và >
evalf (%,19) ;, chúng tôi tìm được nghiệm x1 ≈ −1,866760399173862093 và nghiệm
x2 ≈ 0,8667603991738620930. Như vậy, phương trình trong ví dụ có một và chỉ
một nghiệm trên đoạn [0;1].
9) Vì đa thức đã cho chỉ có nghiệm vô tỷ mà trung điểm các đoạn chứa
nghiệm luôn là số hữu tỷ9 nên TTCĐ chỉ cho phép xác đònh giá trò gần đúng của
nghiệm. Trong ví dụ, tác giả yêu cầu “cải tiến nghiệm của phương trình” và ξ là
“nghiệm gần đúng”10. Như vậy, tác giả đã dùng thuật ngữ “nghiệm” để chỉ
“nghiệm gần đúng”. Trước đó, thuật ngữ “nghiệm” đã được dùng để chỉ
“nghiệm đúng”: “Nếu f(

3

a+b
a+b
) = 0 thì ξ =
là một nghiệm của phương trình”.
2
2

Xem [10, tr.71-72].
Xem [10, tr.92-93].
5
Xem [10, tr.50, 92-93].
6
Xem [10, tr.83].
7
Xem [2, tr.164].
8
Dùng Maple ta có thể tìm giá trò gần đúng của nghiệm đến độ chính xác bất kỳ, trong khi đó
dùng MTBT ta chỉ tìm được giá trò gần đúng của nghiệm chính xác đến chữ số cố đònh.
9
Do hai đầu mút của đoạn chứa nghiệm [0;1] là các số hữu tỷ.
10
Là giá trò gần đúng của nghiệm.
4


10
10) Trong ví dụ, để tính giá trò của hàm số f(x) tại các giá trò khác nhau của
biến số có thể tác giả đã sử dụng máy tính. Thật vậy, tác giả đã viết: “Phương
pháp chia đôi thực hiện không vất vả bằng máy tính điện tử. Sự tính toán mà máy
thực hiện sẽ cung cấp giá trò hàm số tại trung điểm của mỗi đoạn [an;bn] (n = 1,
2,…)”. (tr.115). Như vậy, máy tính được khai thác ở chức năng tính toán.
11) Tác giả không nói đến sai số. Trong ví dụ, việc chia đôi được thực hiện
đến lần thứ 7 nên sai số tuyệt đối bé hơn

1− 0
1

. Ta có 7 < 10−2 nên sai số tuyệt
7
2
2

đối bé hơn 10-2.
12) Trong bài “Phương pháp chia đôi”, việc lấy trung điểm của đoạn chứa
nghiệm và việc cải tiến “nghiệm” của phương trình không có điều kiện dừng
(tác giả không nêu trước sai số khi cải tiến “nghiệm”). Chính vì không thỏa mãn
đặc trưng hữu hạn nên TTCĐ trong quyển sách “Cơ sở giải tích số” lấy nghóa là
phương pháp.
* Quyển sách “Cơ sở giải tích số” chỉ trình bày lý thuyết và ví dụ mà không
đưa ra bài tập.
Ở các nhận xét 2)-4), chúng tôi đã chỉ ra yếu tố công nghệ-lý thuyết giải
thích cho kỹ thuật TTCĐ. Đó là đònh lý giá trò trung gian, dãy hội tụ và tính chất
của hàm số liên tục.
1.2.2. TTCĐ trong quyển sách “Toán học và tin học” của Arthur Engel
Quyển sách gồm 9 chương. Chương 4 có tên “Giải tích số”. Chương 4 gồm 6
mục. Mục đầu tiên có tên “Giải phương trình” gồm 5 bài:
1. Phương pháp chia đôi
2. Phương pháp các phần tỷ lệ
3. Phương pháp cát tuyến
4. Phương pháp Newton-Raphson
5. Phép lặp.
Sau đây chúng tôi phân tích bài “Phương pháp chia đôi” (tr.139-141).
Phần đầu của bài “Phương pháp chia đôi” được viết như sau:
“Phương pháp chia đôi là một phương pháp đơn giản, thường gặp và
việc sử dụng một máy vi tính là đặc biệt có lợi. Giả sử trên đoạn [a;b] hàm
số f liên tục và f(a).f(b) < 0, nghóa là f nhận giá trò trái dấu nhau tại hai
đầu mút của đoạn này.

Theo đònh lý giá trò trung gian thì f nhận giá trò 0 tại ít nhất một điểm
giữa a và b.


11
Bắt đầu từ đoạn chứa nghiệm xác đònh trước, ta mô tả một thuật toán
cho phép thu hẹp đoạn chứa nghiệm đi một nửa, cho đến lúc nhỏ hơn một
sai số tuyệt đối ε .
1) x ←

a +b
2

2) Nếu f(x) = 0 thì dừng và x là nghiệm
3) Nếu f(x).f(a) > 0 thì a ← x
ngược lại b ← x
4) Nếu a − b > ε , quay lại 1)
5) Ngược lại thì dừng và x =

a +b
là nghiệm.
2

Sau n lần lặp của thuật toán, nghiệm được xác đònh với sai số tuyệt đối
bé hơn

b−a
.”
2 n +1

Nhận xét
1) Tác giả dùng thuật ngữ “thuật toán” để chỉ TTCĐ. Trong câu “Ngược lại thì
dừng và x =

a +b
là nghiệm”, thuật ngữ “nghiệm” được dùng để chỉ “nghiệm
2

đúng” hoặc “nghiệm gần đúng” với sai số ε . Ta đã gặp cách dùng thuật ngữ
“nghiệm” tương tự như vừa nêu khi phân tích quyển sách “Cơ sở giải tích số”
của B. Démidovitch và I. Maron.
2) TTCĐ nêu trên được biểu diễn11 bằng ngôn ngữ phỏng trình. Nó là kỹ thuật
giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình”. Kiểu nhiệm vụ này được xác đònh
rõ ràng. Nó xuất hiện đồng thời với tên của mục đầu tiên ở chương 4. Theo nhận
xét 1), kiểu nhiệm vụ “Giải phương trình” là tìm “nghiệm đúng” hoặc “nghiệm
gần đúng” với sai số cho trước. Như vậy, kiểu nhiệm vụ này cũng là kiểu nhiệm
vụ “Giải gần đúng phương trình” mà ta đã đề cập khi phân tích quyển sách “Cơ
sở giải tích số”.
3) TTCĐ mà tác giả mô tả trên đây thỏa mãn đặc trưng hữu hạn. Thật vậy,
với sai số tuyệt đối ε cho trước, số lần lặp n trong thuật toán được xác đònh từ
việc giải bất phương trình

b−a
≤ ε (n là số nguyên dương). Chính đặc trưng
2 n +1

hữu hạn cho phép phân biệt thuật ngữ “thuật toán” với thuật ngữ “phương pháp”.
Tuy nhiên, trong bài “Phương pháp chia đôi” mà ta đang phân tích, hai thuật ngữ
này không có sự khác biệt.
4) Chiếu theo các đặc trưng của một thuật toán12, TTCĐ nêu trên đảm bảo

tính hữu hạn, tính xác đònh, tính đúng đắn, tính khả thi và tính tổng quát. Nó cũng
cho phép nhận thông tin vào và xuất thông tin ra. Nếu người đọc biết phép gán
trong tin học (←) thì có thể hiểu thuật toán này một cách dễ dàng.
11
12

Xem các phương pháp biểu diễn thuật toán ở [1, tr.59-64].
Xem [1, tr.51-56], [12, tr. 4-9].


12
5) Yếu tố công nghệ giải thích cho TTCĐ là đònh lý giá trò trung gian. Tác giả
tài liệu nói đến đònh lý giá trò trung gian trước khi trình bày TTCĐ. Như vậy, yếu
tố công nghệ đònh lý giá trò trung gian có chức năng tạo ra kỹ thuật TTCĐ. Nói
cách khác, với TCTH liên quan đến TTCĐ mà ta đang xét, khối kỹ năng được
trình bày như một ứng dụng đơn giản của khối tri thức.
6) Khi trình bày TTCĐ, tác giả không nêu rõ số nghiệm của phương trình trên
đoạn [a;b]. Như vậy, trên đoạn [a;b], phương trình có thể có nhiều hơn một
nghiệm và TTCĐ cho phép tìm một trong các “nghiệm” (“nghiệm đúng” hoặc
“nghiệm gần đúng”). Ta đã gặp điều này khi phân tích quyển sách “Cơ sở giải
tích số”.
* Các nhận xét 3) và 4) trên đây cho thấy TTCĐ trong quyển sách “Toán học
và tin học” là “một dãy hữu hạn các quy tắc cần thực hiện theo một thứ tự trên
một số hữu hạn các dữ liệu đã cho để sau một số hữu hạn bước sẽ đạt tới kết quả,
và điều đó độc lập với các dữ liệu”. Nói cách khác, thuật toán trong quyển sách
“Toán học và tin học” là một yếu tố của tin học.
Sau khi mô tả TTCĐ, tác giả xét trường hợp f(a) < 0, f(b) > 0 và viết một
chương trình ở trang 140 như sau:
“10 DEF FNF (X) = X*X – X – 1
20 READ A, B, E

30 X = (A + B)/2
40 IF FNF (X) < 0 THEN A = X ELSE B = X
50 IF ABS (A – B) > E THEN 30
60 PRINT (A + B)/2
70 DATA 1, 3, 1 E – 10
80 END
1,618033989
10 DEF FNF (X) = X*X*X – 2*X – 5
2,094551482
10 DEF FNF (X) = X*X – 4*COS(X)
1,201538299”.
Sau khi viết chương trình này, tác giả chỉ rõ: chương trình đã xét ba phương
trình là x2 – x – 1 = 0, x3 − 2 x − 5 = 0 và x2 – 4cosx = 0 với cùng một đoạn chứa
nghiệm là [1;3].


13
Nhận xét
1) Có thể ngôn ngữ phỏng trình là cách biểu diễn thuật toán thích hợp nhất
cho phép lập trình bằng ngôn ngữ Basic. Việc làm này thể hiện rõ ý đònh nối kết
toán học và tin học của tác giả.
2) Các hàm số được xét đều liên tục trên ℜ. Hai phương trình x2 – x – 1 = 0
và x3 − 2 x − 5 = 0 không có nghiệm hữu tỷ. Bằng những phép biến đổi đại số thông
thường, chúng tôi không tìm được “nghiệm đúng” của phương trình
x 2 − 4 cos x = 0 . Các phương trình đang xét có một và chỉ một nghiệm trên đoạn
[1;3]. Điều này không được tác giả nêu tường minh.
3) Quan sát dữ liệu nhập vào và dữ liệu xuất ra trong chương trình trên, chúng
tôi thấy sai số nhập vào là 10-10 (dòng lệnh 70) và in ra “nghiệm gần đúng” có
chín chữ số ở phần thập phân.
Xem xét các bài tập, chúng tôi thấy chỉ có bài tập 3 yêu cầu tường minh

việc dùng TTCĐ để tìm nghiệm của phương trình x3 - 3x - 4 = 0 (tr.145).
Nhận xét đầu tiên của chúng tôi là phương trình x 3 − 3 x − 4 = 0 không có nghiệm
hữu tỷ. Ngoài ra, phương trình này có một và chỉ một nghiệm trên ℜ.
Thực hiện các phân tích tương tự như với TTCĐ, chúng tôi nhận thấy các
thuật toán: các phần tỷ lệ, cát tuyến, Newton-Raphson và lặp cũng là các kỹ
thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ “Giải gần đúng phương trình”. Ngoài ra ở bài tập
5 trang 145, tác giả có đưa thêm vào một kỹ thuật giải quyết kiểu nhiệm vụ này
mà chúng tôi gọi là thuật toán chia 10.
Mở đầu bài “Phương pháp chia đôi”, tác giả đã viết: “Phương pháp chia đôi là
một phương pháp đơn giản, thường gặp và việc sử dụng một máy vi tính là đặc
biệt có lợi.” (tr.139). Như vậy, có thể đặc trưng “đơn giản” là một trong những lý
do của việc đề cập TTCĐ ở vò trí đầu tiên so với các thuật toán khác.
1.2.3. TCTH tham chiếu gắn liền với TTCĐ
Phân tích TTCĐ trong quyển sách “Cơ sở giải tích số” và quyển sách “Toán
học và tin học” trên đây cho thấy sự tồn tại của TCTH tham chiếu gắn liền với
TTCĐ. Chúng tôi ký hiệu TCTH này là OM = [T, τ, θ, Θ] với T là kiểu nhiệm
vụ “Giải gần đúng phương trình”, τ là TTCĐ. Yếu tố công nghệ-lý thuyết trong
OM là đònh lý giá trò trung gian, dãy hội tụ và tính chất của hàm số liên tục.
Trong cả hai quyển sách, các tác giả đều dùng thuật ngữ “nghiệm” để chỉ
“nghiệm đúng” hoặc “nghiệm gần đúng”. Sau đây, chúng tôi chỉ rõ những đặc
trưng của kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật trong hai quyển sách.