Một số lớp mở rộng của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng (TT)

Đại học Huế
Tr-ờng Đại Học S- Phạm
...........................

Phan Hồng Tín

Một số lớp mở rộng
của môđun nội xạ, xạ ảnh và ứng dụng
Chuyên Ngành: Đại số và Lý thuyết số
Mã số: 62 46 01 04

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học

Huế - Năm 2016

1


Công trình đ-ợc hoàn thành tại: Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học
Huế
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: GS. TS. Lê Văn Thuyết

Phản biện 1: ................................................................
Phản biện 2: ................................................................
Phản biện 3: ................................................................
Luận án sẽ đ-ợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Đại học Huế, họp
tại: ..................................................................................................................
vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2016

Có thể tìm hiểu Luận án tại:
1. Trung tâm Học liệu - Đại học Huế;

2. Th- viện Tr-ờng Đại học S- phạm - Đại học Huế.

2


Mở đầu
Nh- chúng ta đã biết, vành tựa Frobenius (th-ờng đ-ợc viết tắt là vành
QF) là vành tự nội xạ hai phía và Artin hai phía. Khái niệm vành tựa
Frobenius đ-ợc T. Nakayama giới thiệu vào năm 1939. Sau đó, năm 1951,
M. Ikeda đã đặc tr-ng vành này bởi điều kiện tự nội xạ và Artin nh- đã
nêu ở trên. Đặc tr-ng tự nội xạ hai phía và Artin hai phía là khá mạnh,
chính vì vậy nhiều tác giả đã tìm cách giảm nhẹ các điều kiện này để
đặc tr-ng cho vành QF. Chẳng hạn, M. Ikeda (1951); Y. Utumi (1965);
C. Faith; B. Osofsky (1966); W. K. Nicholson và M. F. Yousif; J. Clark và
D. V. Huynh (1994),... Tuy nhiên, cho đến nay một giả thuyết của C. Faith,
vành tự nội xạ phải và hoàn chỉnh trái hoặc phải là vành QF, vẫn ch-a có
câu trả lời. Giả thuyết này vẫn còn mở đối với vành nửa nguyên sơ.
Việc nghiên cứu mở rộng đặc tr-ng của vành QF chủ yếu tập trung theo
hai h-ớng, một là giảm nhẹ điều kiện tự nội xạ hoặc hai là giảm nhẹ điều
kiện Artin. Trong đề tài này, chúng tôi lấy đặc tr-ng của vành QF làm nền.
Định lý Faith-Walker chỉ ra một đặc tr-ng quan trọng của vành QF đó là,
vành R là QF khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) nội xạ là xạ
ảnh, khi và chỉ khi mọi R-môđun phải (hoặc trái) xạ ảnh là nội xạ. Chính
vì vậy, các tr-ờng hợp mở rộng của môđun nội xạ và xạ ảnh đ-ợc xem
xét đến. Cụ thể, trong Ch-ơng 2, chúng tôi nghiên cứu các lớp mở rộng
của môđun nội xạ và trong Ch-ơng 3 là các lớp mở rộng của môđun xạ
ảnh. Đồng thời, việc nghiên cứu đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp
vành mở rộng của vành tự nội xạ và vành Artin nh- đã nêu ở trên là một
h-ớng nghiên cứu đ-ợc nhiều tác giả quan tâm nhằm tìm câu trả lời cho
giả thuyết của C. Faith. Từ việc nghiên cứu các lớp mở rộng của môđun

nội xạ, chúng tôi tìm đặc tr-ng của vành QF thông qua các lớp vành đó,
đồng thời, từ việc nghiên cứu các lớp mở rộng của môđun xạ ảnh, chúng
tôi tìm đặc tr-ng của vành QF thông qua đặc tr-ng của vành Artin, vành
hoàn chỉnh, vành nửa hoàn chỉnh,...
Khái niệm môđun nội xạ đ-ợc R. Baer nghiên cứu đầu tiên vào năm
3


1940. Những năm sau đó, khái niệm này và các khái niệm mở rộng của
nó đã nhận đ-ợc sự quan tâm nghiên cứu nhiều nhà Toán học trên thế giới.
Năm 1961, R. E. Jonhson và E. T. Wong đã giới thiệu khái niệm môđun
tựa nội xạ. Khái niệm môđun giả nội xạ đ-ợc S. Singh và S. K. Jain đ-a ra
vào năm 1967. Sau đó, các tác giả M. Harada, C. S. Clara và P. F. Smith
lần l-ợt đ-a ra các khái niệm môđun GQ-nội xạ và c-nội xạ vào các năm
1982 và 2000. Ngoài ra, các lớp mở rộng khác nh- môđun liên tục, tựa liên
tục, CS,... cũng đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu, chẳng hạn, Y. Utumi; S. K.
Jain; S. H. Mohamed; B. J. Muller; K. Oshiro; M. Harada; L. V. Thuyet;
T. C. Quynh;...
Theo h-ớng mở rộng trên, chúng tôi đ-a ra các khái niệm mở rộng của
môđun nội xạ, đó là môđun giả c-nội xạ và giả c+ -nội xạ. Các kết quả
liên quan đ-ợc trình bày trong Ch-ơng 2 của Luận án. Chúng tôi đã chứng
minh đ-ợc rằng, lớp môđun giả c+ -nội xạ là lớp môđun mở rộng thực sự
của các lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun liên tục. Hơn nữa, lớp môđun
giả c+ -nội xạ là lớp con thực sự của lớp môđun giả c-nội xạ và lớp môđun
thỏa mãn điều kiện C2. Bên cạnh các tính chất nội tại của lớp môđun giả
c+ -nội xạ, chúng tôi đã chỉ ra điều kiện đủ để một môđun giả c+ -nội xạ là
môđun liên tục, tựa nội xạ. Các tính chất quan trọng của môđun giả c+ -nội
xạ M đó là tính nội xạ t-ơng hỗ của các hạng tử trực tiếp của nó và tính
chính quy của vành th-ơng End(M)/J (End(M)).
Nh- đã nêu ở trên, một đặc tr-ng quan trọng của vành QF là mọi môđun

nội xạ là xạ ảnh và mọi môđun xạ ảnh là nội xạ. Vì vậy, ta xét đến khái
niệm đối ngẫu của môđun nội xạ, đó là môđun xạ ảnh. Khái niệm này đ-ợc
H. Cartan và S. Eilenberg đ-a ra vào năm 1956. Sau đó, các khái niệm mở
rộng của nó cũng đã đ-ợc các tác giả khác nghiên cứu, chẳng hạn, môđun
tựa xạ ảnh, môđun rời rạc, môđun tựa rời rạc, môđun thỏa mãn điều kiện
D1, D2, D3, ... Ta biết rằng không phải mọi môđun đều có phủ xạ ảnh,
vì vậy, H. Bass đã gọi vành R là hoàn chỉnh phải nếu mọi R-môđun phải
đều có phủ xạ ảnh. Nếu mọi R-môđun phải hữu hạn sinh đều có phủ xạ
ảnh thì vành R đ-ợc gọi là vành nửa hoàn chỉnh. Năm 1966, F. Kasch và
4


E. A. Mares đã chuyển khái niệm này sang môđun và đặc tr-ng vành hoàn
chỉnh, nửa hoàn chỉnh thông qua lớp môđun có phần phụ (supplemented).
Các đặc tr-ng của môđun và vành Artin thông qua môđun có phần phụ và
điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cũng đã đ-ợc I. Al-Khazzi và
P. F. Smith chứng minh.
Mở rộng khái niệm môđun con bé, Y. Zhou giới thiệu khái niệm môđun
con -bé. Từ đó tác giả này cũng đã đ-a ra tr-ờng hợp mở rộng của vành
hoàn chỉnh (t.-. nửa hoàn chỉnh) đó là vành -hoàn chỉnh (t.-., -nửa hoàn
chỉnh). Sau đó, năm 2007, M. T. Kosan đã đ-a ra khái niệm môđun -nâng
(-lifting) và môđun có -phần phụ (-supplemented), đồng thời đặc tr-ng
vành -hoàn chỉnh, -nửa hoàn chỉnh thông qua các lớp môđun này. Một lớp
con của lớp môđun có -phần phụ cũng đã đ-ợc các tác giả E. Buyukasik,
C. Lomp và R. Tribak khảo sát, đó là lớp môđun -địa ph-ơng. Các đặc
tr-ng vành nửa hoàn chỉnh và vành -nửa hoàn chỉnh thông qua môđun
-địa ph-ơng cũng đã đ-ợc chứng minh.
Năm 2011, D. X. Zhou và X. R. Zhang đã đ-a ra khái niệm môđun con
bé cốt yếu (essentially small). Theo đó, trong Ch-ơng 3, chúng tôi đ-a ra
khái niệm môđun có phần phụ cốt yếu và môđun nâng cốt yếu. Đây là

các lớp môđun mở rộng của môđun có -phần phụ và -nâng (t-ơng ứng).
Một lớp con của lớp môđun có phần phụ cốt yếu đó là môđun địa ph-ơng
cốt yếu cũng đ-ợc khảo sát. Ngoài các tính chất đồng điều của các lớp
môđun trên và mối liên hệ với các lớp môđun -nâng, môđun có -phần
phụ, môđun -địa ph-ơng và môđun địa ph-ơng, chúng tôi đã chứng minh
đ-ợc các đặc tr-ng quan trọng của môđun địa ph-ơng cốt yếu.
Từ việc khảo sát các lớp môđun trên, trong Ch-ơng 2, chúng tôi đ-a ra
các đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn, vành tựa Fronenius thông qua môđun
giả c+ -nội xạ, đây là kết quả mở rộng của B. Osofsky về đặc tr-ng của
vành Artin nửa đơn, kết quả của C. Faith, W. K. Nicholson và M. F. Yousif
về đặc tr-ng của vành QF. Đồng thời trong Ch-ơng 3 là các đặc tr-ng của
môđun và vành Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và điều kiện
dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu.
5


Ch-ơng 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Các ký hiệu và khái niệm cơ bản.
Trong luận án này, R đ-ợc dùng để ký hiệu cho vành kết hợp có đơn

vị 1 = 0 và mọi R-môđun là môđun unita. Với vành R đã cho, ta viết MR
(t.-., R M) để chỉ M là một R-môđun phải (t.-., trái), khi không sợ nhầm
lẫn về phía của môđun, ta viết gọn là môđun M thay cho MR .
Cho N là môđun con của M. Môđun con N đ-ợc gọi là cốt yếu (hay
môđun con lớn) trong M, ký hiệu là N e M, nếu N A = 0 với mọi
môđun con A khác không của M. Môđun con K của M đ-ợc gọi là đóng
trong M nếu K không có mở rộng cốt yếu thực sự, nghĩa là, nếu L là một

môđun con của M sao cho K e L thì K = L. Môđun con N của M đ-ợc
gọi là bé (hay đối cốt yếu) trong M nếu với mọi L M, N + L = M thì
L = M.
Môđun M khác không đ-ợc gọi là đều (uniform) nếu bất kỳ hai môđun
con khác không của M đều có giao khác không, nghĩa là mọi môđun con
khác không đều cốt yếu trong M. Môđun M đ-ợc gọi là có chiều đều (hay
chiều Goldie) là n, ký hiệu là u. dim M = n, nếu tồn tại môđun con V cốt
yếu trong M sao cho V là tổng trực tiếp của n môđun con đều. Ng-ợc
lại, ta viết u.dim M = . Môđun M đ-ợc gọi là không phân tích đ-ợc
nếu M là môđun khác không và M không là tổng trực tiếp của các môđun
con khác không. Môđun M khác không đ-ợc gọi là đơn nếu M chỉ có hai
môđun con tầm th-ờng là 0 và M. Môđun M đ-ợc gọi là nửa đơn nếu M
là tổng trực tiếp của các môđun đơn.
Định nghĩa 1.1.1. Cho L là tập các môđun con nào đó của môđun M.
i) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dãy tăng (ACC) nếu với
mọi dãy L1 L2 ã ã ã Ln . . . trong L, tồn tại n N sao cho
Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
6


ii) Tập L đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện dãy giảm (DCC) nếu với
mọi dãy L1 L2 ã ã ã Ln . . . trong L, tồn tại n N sao cho
Ln+i = Ln (i = 1, 2, ...).
Cho I là iđêan của vành R. Nếu với mọi lũy đẳng f của vành th-ơng
R/I tồn tại luỹ đẳng e của vành R sao cho e f I thì ta gọi các lũy
đẳng nâng đ-ợc modulo I.
Định nghĩa 1.1.2. Phần tử a của vành R đ-ợc gọi là chính quy nếu tồn
tại phần tử x R sao cho axa = a. Vành R đ-ợc gọi là chính quy
Von Neumann nếu mọi phần tử của R là chính quy. Vành R đ-ợc gọi là
nửa chính quy nếu R/J (R) là vành chính quy và các luỹ đẳng nâng đ-ợc

modulo J (R).
Tập con I của R đ-ợc gọi là T -lũy linh trái (t.-., phải) nếu mọi dãy
a1 , a2, ... trong I, tồn tại n sao cho a1.a2 ....an = 0 (t. -, an .....a2 .a1 = 0).
I đ-ợc gọi là lũy linh nếu tồn tại n N sao cho I n = 0.
Định nghĩa 1.1.3. Vành R đ-ợc gọi là nửa nguyên sơ nếu R/J (R) là nửa
đơn và J (R) là lũy linh. Vành R đ-ợc gọi là nửa hoàn chỉnh nếu R/J (R)
là nửa đơn và các lũy đẳng nâng đ-ợc modulo J (R). Vành R đ-ợc gọi là
hoàn chỉnh trái (t.-., phải) nếu R/J (R) là nửa đơn và J (R) là T -lũy linh
trái (t.-., phải).

1.2

Môđun nội xạ và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.2.1. Cho M, N là các R-môđun. M đ-ợc gọi là N -nội xạ
nếu với mọi môđun con A của N , với mỗi đồng cấu từ f : A M, tồn
tại mở rộng của f từ N vào M. Môđun M đ-ợc gọi là nội xạ nếu M là
N nội xạ với mọi môđun N . Môđun M đ-ợc gọi là tựa nội xạ nếu M là
M-nội xạ. Vành R đ-ợc gọi là tự nội xạ phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., R R)
là môđun tựa nội xạ.
Theo định nghĩa, môđun M là nội xạ nếu M là N -nội xạ với mọi môđun
7


N . Tiêu chuẩn Baer chỉ ra rằng, R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi M
là R-nội xạ. Hơn nữa, khái niệm vành nội xạ và vành tự nội xạ là trùng
nhau. Sau đây là một số khái niệm mở rộng của môđun nội xạ:
Định nghĩa 1.2.2. Cho M và N là hai R-môđun. M đ-ợc gọi là giả N -nội
xạ nếu với mọi môđun con A của N , với mỗi đơn cấu từ A vào M, đều
mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ N vào M. Môđun M đ-ợc gọi là giả nội

xạ nếu M là giả M-nội xạ.
Định nghĩa 1.2.3. Cho M là R-môđun.
i) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C1 (hay M là môđun CS) nếu mỗi
môđun con N của M, N cốt yếu trong hạng tử trực tiếp của M.
ii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C2 nếu mỗi môđun con đẳng cấu
với hạng tử trực tiếp của M là hạng tử trực tiếp của M.
iii) M đ-ợc gọi là thoả mãn điều kiện C3 nếu với A, B là hai hạng tử
trực tiếp của M, A B = 0 thì A B là hạng tử trực tiếp của M.
iv) M đ-ợc gọi là liên tục (t.-., tựa liên tục) nếu M là CS và thoả điều
kiện C2 (t.-., C3).
Định nghĩa 1.2.4. Cho M, N là các R-môđun.
i) Môđun M đ-ợc gọi là N -nội xạ đơn nếu với mọi môđun con A của
N , với mỗi đồng cấu f : A M sao cho f (A) là môđun con đơn, tồn tại
đồng cấu từ N vào M là mở rộng của f . Vành R đ-ợc gọi là nội xạ đơn
phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., R R) là R-nội xạ đơn.
ii) Môđun M đ-ợc gọi là GQ-nội xạ nếu với mọi môđun con A đẳng
cấu với môđun con đóng của M, với mỗi đồng cấu từ A vào M đều mở
rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào M.
iii) Môđun N đ-ợc gọi là M-c-nội xạ nếu với mỗi môđun con đóng A
của M và mỗi đồng cấu từ A vào N đều có thể mở rộng đến đồng cấu từ
M vào N . Môđun M đ-ợc gọi là c-nội xạ nếu M là N -c-nội xạ với mọi
8


môđun N . Môđun M đ-ợc gọi là tựa c-nội xạ nếu M là M-c-nội xạ.

1.3

Môđun xạ ảnh và một số lớp môđun mở rộng của nó.

Định nghĩa 1.3.1. Cho M, P là các R-môđun. Môđun P đ-ợc gọi là M-xạ
ảnh nếu với mọi môđun N và mọi toàn cấu : M N , với mọi đồng cấu
: P N , tồn tại đồng cấu f : P M sao cho = f . Môđun P đ-ợc
gọi là xạ ảnh nếu P là M-xạ ảnh với mọi môđun M. Môđun P đ-ợc gọi
là tựa xạ ảnh nếu P là P -xạ ảnh.
Một khái niệm mở rộng của khái niệm môđun con bé đ-ợc Y. Zhou đ-a
ra vào năm 2011, đó là khái niệm môđun -bé. Môđun con N của M đ-ợc
gọi là -bé trong M, ký hiệu là N



M, nếu N + L = M với M/L suy

biến thì L = M. Sau đó, T. M. Kosan giới thiệu khái niệm môđun -nâng
và môđun có -phần phụ:
Định nghĩa 1.3.3. Cho M là R-môđun và N M.
i) Môđun con L đ-ợc gọi là -phần phụ của N trong M nếu M = N +L
và N L



L.

ii) M đ-ợc gọi là môđun -nâng (-lifting) nếu với mỗi môđun con N
của M, tồn tại sự phân tích M = A B sao cho A N và B N



M.

iii) Môđun M có tính chất mọi môđun con đều có -phần phụ, đ-ợc
gọi tắt là môđun có -phần phụ (-supplemented), nếu mọi môđun con N
của M tồn tại L M sao cho M = N + L và N L



L.

Các lớp môđun con của môđun có -phần phụ cũng đã đ-ợc E. Buyukasik,
C. Lomp và R.Tribak khảo sát:
Định nghĩa 1.3.4. i) M đ-ợc gọi là môđun có -phần phụ nhiều (amply
-supplemented) nếu mỗi môđun con A, B của M sao cho A + B = M,
tồn tại -phần phụ P của A sao cho P B.
9


ii) Môđun M đ-ợc gọi là -địa ph-ơng nếu (M) =
M} là môđun con cực đại của M và (M)



{N M|N



M.

Các lớp môđun -nâng và môđun có -phần phụ là các lớp mở rộng
thực sự của môđun nâng và môđun có phần phụ (t-ơng ứng). Tuy nhiên,
các tác giả E. Buyukasik và C. Lomp đã chỉ ra các ví dụ chứng tỏ hai lớp

môđun địa ph-ơng và môđun -địa ph-ơng là không chứa nhau.

1.4

Môđun và vành Artin, Nơte.

Định nghĩa 1.4.1. i) Môđun M đ-ợc gọi là Nơte nếu mỗi tập khác rỗng
các môđun con nào đó của M đều có phần tử cực đại.
ii) Môđun M đ-ợc gọi là Artin nếu mỗi tập khác rỗng các môđun con
nào đó của M đều có phần tử cực tiểu.
iii) Vành R đ-ợc gọi là Nơte phải (t.-., trái) nếu môđun RR (t.-., R R)
là Nơte.
iv) Vành R đ-ợc gọi là Artin phải (t.-., trái) nếu môđun RR (t.-., R R)
là Artin.
Vành R đ-ợc gọi là J -nửa đơn nếu J (R) = 0. Vành R đ-ợc gọi là
nửa đơn nếu RR là môđun nửa đơn. Tác giả T. Y. Lam đã chứng minh
rằng, vành R là nửa đơn khi và chỉ khi R là vành Artin phải (hoặc trái) và
J (R) = 0. Để phân biệt với vành J -nửa đơn, vành nửa đơn th-ờng đ-ợc
gọi là vành Artin nửa đơn.
Định lý 1.4.4. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:
(1) R là Artin nửa đơn;
(2) Mỗi R-môđun phải hữu hạn sinh là nội xạ;
(3) Mỗi R-môđun phải cyclic là nội xạ.
10


1.5

Vành tựa Frobenius.

Định nghĩa 1.5.1. Vành R đ-ợc gọi là tựa Frobenius nếu R là vành tự nội
xạ hai phía và Artin hai phía.
Việc tìm các điều kiện đủ, giảm nhẹ các điều kiện tự nội xạ hai phía và
Artin hai phía để đặc tr-ng cho vành tựa Frobenius thông qua các lớp vành
mở rộng của vành tự nội xạ đã đ-ợc nhiều tác giả nghiên cứu. Chẳng hạn,
năm 1951, M. Ikeda đã chứng minh rằng nếu vành R tự nội xạ một phía
và Artin (hoặc Nơte) một phía thì R là vành tựa Frobenius.
Định lý 1.5.2. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:
(1) R là tựa Frobenius;
(2) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và Artin phải (hoặc trái);
(3) R là tự nội xạ phải (hoặc trái) và Nơte phải (hoặc trái).
Sau đó, các tác giả B. Osofsky, W. K. Nicholson và M. F. Yousif cũng
đã đặc tr-ng vành tựa Frobenius thông qua vành hoàn chỉnh, vành nội xạ
đơn, vành liên tục và vành min-CS:
Định lý 1.5.5. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:
(1) R là tựa Frobenius;
(2) R là tự nội xạ hai phía và hoàn chỉnh trái;
(3) R là nội xạ đơn hai phía và hoàn chỉnh trái.
Định lý 1.5.6. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:
(1) R là tựa Frobenius;
(2) R là liên tục phải, min-CS trái và thỏa mãn điều kiện ACC trên các
linh hóa tử phải.
11


Ch-ơng 2
môđun và vành giả C+ -nội xạ
Nội dung của ch-ơng này là các kết quả liên quan đến môđun giả c-nội
xạ và giả c+ -nội xạ. Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun giả c-nội
xạ, giả c+ -nội xạ và một số lớp môđun mở rộng khác của môđun nội xạ có

liên quan đã đ-ợc chỉ ra. Các kết quả quan trọng trong ch-ơng này đó là
các đặc tr-ng của môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun và vành
liên tục; đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn thông qua tính chất giả c-nội
xạ và giả c+ -nội xạ; tính chính quy của vành th-ơng của vành tự đồng cấu
của môđun giả c+ -nội xạ và các đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông
qua vành giả c+ -nội xạ.
2.1

Môđun giả c-nội xạ.

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của
môđun giả c-nội xạ. Kết quả chính trong phần này đó là đặc tr-ng của
vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ.
Định nghĩa 2.1.1. Cho M, N là hai R-môđun. N đ-ợc gọi là giả M-c-nội
xạ nếu với mọi môđun con đóng A của M, mỗi đơn cấu từ A vào N đều
mở rộng đ-ợc đến đồng cấu từ M vào N . Môđun M đ-ợc gọi là giả c-nội
xạ nếu M là giả M-c-nội xạ. Vành R đ-ợc gọi là giả c-nội xạ phải (t.-.,
trái) nếu RR (t.-., R R) là giả c-nội xạ.
Nhận xét 2.1.2. Từ định nghĩa suy ra:
(1) Mọi môđun tựa c-nội xạ hoặc giả nội xạ là giả c-nội xạ.
(2) Mọi môđun CS là giả c-nội xạ.
Mệnh đề 2.1.3. Môđun M là CS nếu và chỉ nếu mọi R-môđun là giả
M-c-nội xạ.
Tổng trực tiếp của hai môđun giả c-nội xạ ch-a hẳn là môđun giả c-nội
xạ. Ví dụ sau chỉ ra điều này:
12


Ví dụ 2.1.3. Cho p là số nguyên tố và M = Z/pZ và N = Z/p3 Z. Khi
đó M, N là các môđun đều nên là giả c-nội xạ nh-ng M N không là giả

c-nội xạ.
Định lý sau đây là một đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn, đó là vành
mà mọi môđun giả c-nội xạ (trên vành đó) là nội xạ:
Định lý 2.1.6. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R đã cho:
(1) R là Artin nửa đơn;
(2) Tổng trực tiếp của hai R-môđun giả c-nội xạ là giả c-nội xạ;
(3) Mọi R-môđun giả c-nội xạ là nội xạ;
(4) Tổng trực tiếp của các R-môđun giả c-nội xạ là giả c-nội xạ.
2.2

Môđun giả c+ -nội xạ.

Trong mục này, chúng tôi trình bày các kết quả về lớp môđun giả c+ -nội
xạ. Các tính chất và mối liên hệ giữa lớp môđun này và các lớp môđun
mở rộng khác của môđun nội xạ đã đ-ợc chỉ ra. Đồng thời các đặc tr-ng
của lớp môđun nội xạ, môđun và vành tự nội xạ, môđun và vành liên tục
thông qua môđun và vành giả c+ -nội xạ cũng đã đ-ợc chứng minh. Kết
quả chính trong mục này đó là đặc tr-ng của vành Artin nửa đơn và vành
tựa Frobenius thông qua vành giả c+ -nội xạ.
Định nghĩa 2.2.1. Cho M, N là các R-môđun. Môđun N đ-ợc gọi là giả
M-c+ -nội xạ nếu với mọi môđun con A của M, A đẳng cấu với môđun con
đóng của M, với mỗi đơn cấu từ A vào N đều mở rộng đ-ợc đến đồng cấu
từ M vào N . Môđun M đ-ợc gọi là giả c+ -nội xạ nếu M là giả M-c+ -nội
xạ. Vành R đ-ợc gọi là giả c+-nội xạ phải (t.-., trái) nếu RR (t.-., R R) là
giả c+ -nội xạ.
Nhận xét 2.2.2. Từ định nghĩa, ta có:
(1) Nếu M là môđun giả nội xạ thì M là giả c+ -nội xạ.
13

(2) Nếu M là môđun giả c+ -nội xạ thì M là giả c-nội xạ.
(3) Nếu M là môđun GQ-nội xạ thì M là giả c+ -nội xạ.
Ví dụ 2.2.3. (1) Xét M = Z Z là Z-môđun. Khi đó, M là môđun CS
và giả c-nội xạ nh-ng không phải là môđun giả c+ -nội xạ.
(2) Xét R = Z. Khi đó R là vành giả c-nội xạ phải nh-ng không là vành
giả c+ -nội xạ phải.
F F

(3) Cho F là một tr-ờng và R =

là vành CS hai phía nh-ng
0 F
không thỏa điều kiện C2. Nh- vậy, R là vành giả c-nội xạ phải nh-ng

không là giả c+ -nội xạ phải.
Hệ quả 2.2.3. Cho M là môđun giả c+ -nội xạ. Khi đó:
(1) Hạng tử trực tiếp của M là giả c+ -nội xạ.
(2) Nếu N
= M thì N là giả c+ -nội xạ.
H. Q. Dinh đã chứng minh rằng, môđun giả nội xạ thì thỏa mãn điều
kiện C2. Kết quả này vẫn đúng đối với lớp môđun giả c+ -nội xạ:
Định lý 2.2.5. Nếu M là giả c+ -nội xạ thì M thoả mãn điều kiện C2.
Điều ng-ợc lại của Định lý 2.2.5 là không đúng. Thật vậy, ta có phản
ví dụ sau:
Ví dụ 2.2.4. Xét R = {

a v

|a F, v V }, với F là một tr-ờng và
0 a

V là một không gian vectơ hai chiều trên F . Khi đó R là vành giao hoán,
địa ph-ơng, Artin và thỏa mãn điều kiện C2 nh-ng không là giả c+ -nội xạ.
Định lý sau là một đặc tr-ng của môđun và vành liên tục thông qua
môđun giả c+ -nội xạ:
Định lý 2.2.6. Môđun M là liên tục nếu và chỉ nếu mọi môđun là giả
M-c+ -nội xạ.
Hệ quả 2.2.7. Môđun M là liên tục nếu và chỉ nếu M là giả c+ -nội xạ và
CS.
14


Từ các kết quả ở trên, ta có sơ đồ thể hiện mối liên hệ giữa môđun giả
c+ -nội xạ và các tr-ờng hợp mở rộng khác của môđun nội xạ:
giả nội xạ
Nội xạ tựa nội xạ GQ - nội xạ

giả c+ - nội xạ C2


liên tục

tựa c - nội xạ

giả c - nội xạ

Nhận xét 2.2.5. Theo Q. H. Dinh, hai lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun
liên tục là không chứa nhau. Do đó, lớp môđun giả c+ -nội xạ là mở rộng
thực sự của lớp môđun giả nội xạ và lớp môđun liên tục. Hơn nữa, theo Ví
dụ 2.2.3 và Ví dụ 2.2.4, lớp môđun giả c+ -nội xạ là lớp con thực sự của
lớp môđun thỏa mãn điều kiện C2 và lớp môđun giả c-nội xạ.

Nhận xét 2.2.6. Môđun con đẳng cấu với môđun con đóng của môđun M
ch-a hẳn là đóng trong M. Điều này đúng khi môđun M là giả c+ -nội xạ.
Thật vậy, ta có ví dụ và bổ đề sau:
Ví dụ 2.2.7. (1) Xét M = Z là Z-môđun và A = nZ, n > 1. Khi đó
A
= M nh-ng A không đóng trong M.
(2) Xét vành R =
J=

0 F

F F
0 F

trong đó F là một tr-ờng. Khi đó, iđêan phải

đẳng cấu với iđêan phải đóng của R là I =

0 0
Tuy nhiên J không phải là iđêan phải đóng của R.

F F
0 0

.

Bổ đề 2.2.9. Cho M là môđun giả c+ -nội xạ. Khi đó, mọi môđun con đẳng
cấu với môđun con đóng của M là môđun con đóng của M.
Đối với môđun liên tục M N , S. H. Mohamed và B. J. Muller đã chỉ
ra rằng M là N -nội xạ. Tác giả H. Q. Dinh cũng đã chứng minh đ-ợc kết

quả t-ơng tự đối với tr-ờng hợp M N là giả nội xạ. Chúng tôi cũng thu
15


đ-ợc kết quả t-ơng tự đối với môđun giả c+ -nội xạ. Tuy nhiên, ph-ơng
pháp chứng minh của S. H. Mohamed, B. J. Muller và H. Q. Dinh không
áp dụng đ-ợc đối với tr-ờng hợp này.
Định lý 2.2.11. Nếu M N là giả c+ -nội xạ thì M là N -nội xạ.
Từ đó ta có các đặc tr-ng của môđun tựa nội xạ, vành tự nội xạ và đặc
tr-ng của vành Artin nửa đơn:
Hệ quả 2.2.12. Cho n là số nguyên, n 2. M là tựa nội xạ khi và chỉ khi
M n là giả c+ -nội xạ.
Hệ quả 2.2.13. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:
(1) R là Artin nửa đơn;
(2) Mỗi R-môđun phải có hệ sinh đếm đ-ợc là giả c+ -nội xạ.
Định lý 2.2.16. Giả sử M = iI Mi , Mi là các môđun đều. Khi đó M là
liên tục khi và chỉ khi M là giả c+-nội xạ.
Môđun M đ-ợc gọi là

CS (t.-., hữu hạn, đếm đ-ợc) nếu tổng trực

tiếp (t.-., hữu hạn, đếm đ-ợc) các bản sao của M là CS. Vành R đ-ợc gọi
là

CS (t.-., hữu hạn, đếm đ-ợc) phải nếu môđun RR là

CS (t.-.,

hữu hạn, đếm đ-ợc).
Định lý 2.2.20. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:

(1) R là tựa Frobenius;
(2) Mỗi R-môđun phải xạ ảnh là giả c+ -nội xạ;
(N)

(3) RR là giả c+ -nội xạ;
(4) R là

CS đếm đ-ợc phải với chiều Goldie hữu hạn và là giả c+ -nội

xạ phải.
Định lý sau là một mở rộng kết quả của Y. Utumi về tính chính quy
của vành th-ơng của vành các tự đồng cấu của môđun:

16


Định lý 2.2.21. Cho M là môđun giả c+ -nội xạ và S = End(M). Khi
đó S/J (S) là vành chính quy Von Neumann và J (S) = (S) = {s
S| Ker s e M}.
Từ đó, ta có các điều kiện đủ để vành tự đồng cấu của môđun c+ -nội
xạ là vành hoàn chỉnh, vành nửa nguyên sơ:
Hệ quả 2.2.25. Cho M là môđun giả c+ -nội xạ và S = End(M). Các điều
kiện sau là t-ơng đ-ơng:
(1) S là vành hoàn chỉnh phải;
(2) Với mọi dãy vô hạn s1, s2 , ... S, dây chuyền Ker s1 Ker s2s1 ã ã ã
là dừng.
Mệnh đề 2.2.27. Cho M là môđun giả c+ -nội xạ và S = End(M). Nếu
M thỏa mãn điều kiện ACC trên các M-linh hóa tử thì S là nửa nguyên
sơ.
Định lý sau là một điều kiện đủ để môđun th-ơng của R-môđun giả

RR-c+ -nội xạ là giả RR-c+ -nội xạ:
Định lý 2.2.31. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:
(1) Mỗi iđêan phải đóng của R là xạ ảnh;
(2) Mỗi môđun th-ơng của môđun giả RR -c+ -nội xạ là giả RR -c+ -nội xạ;
(3) Mỗi môđun th-ơng của môđun giả RR-nội xạ là giả RR-c+ -nội xạ;
(4) Mỗi môđun th-ơng của môđun nội xạ là giả RR-c+ -nội xạ.
Các tác giả W. K. Nicholson và M. F. Yousif đã chỉ ra rằng vành R là
tựa Frobenius khi và chỉ khi R là vành liên tục phải, min-CS trái và thoả
ACC trên các linh hoá tử phải. Kết quả sau là một mở rộng của kết quả
trên về đặc tr-ng của vành tựa Frobenius thông qua vành giả c+ -nội xạ.
Định lý 2.2.33. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với vành R:
(1) R là vành tựa Frobenius;
(2) R là vành giả c+ -nội xạ phải, min CS hai phía và thoả mãn điều
kiện ACC trên các linh hoá tử phải.
17


Ch-ơng 3
Các tr-ờng hợp mở rộng của môđun xạ ảnh
Nội dung của ch-ơng 3 là các kết quả liên quan đến các lớp môđun
thông qua khái niệm môđun con bé cốt yếu. Cụ thể là các lớp môđun nâng
cốt yếu, môđun có phần phụ cốt yếu và địa ph-ơng cốt yếu. Các tính chất
của các lớp môđun trên và mối liên hệ của chúng với các lớp môđun -nâng,
môđun có -phần phụ, -địa ph-ơng và môđun địa ph-ơng cũng đã đ-ợc
chỉ ra. Kết quả chính của ch-ơng 3 đó là các đặc tr-ng của môđun địa
ph-ơng cốt yếu và đặc tr-ng của môđun Artin thông qua môđun có phần
phụ cốt yếu và điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu.
3.1

Môđun nâng cốt yếu và môđun có phần phụ cốt yếu.

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm môđun nâng cốt yếu và có
phần phụ cốt yếu. Đây là các lớp môđun mở rộng của các lớp môđun
-nâng và -phần phụ (t-ơng ứng) đã đ-ợc các tác giả T. Kosan, Y. Wang
nghiên cứu. Các tính chất về đồng điều của các lớp môđun này đã đ-ợc
chỉ ra, ngoài ra chúng tôi khảo sát lớp môđun có phần phụ cốt yếu nhiều
và đ-a ra các điều kiện đủ để một môđun là môđun có phần phụ cốt yếu
nhiều.
Môđun con N của M đ-ợc gọi là bé cốt yếu trong M, ký hiệu là
N

e

M, nếu với mỗi L e M, N + L = M thì L = M.

Định nghĩa 3.1.1. Môđun M đ-ợc gọi là nâng cốt yếu nếu với mọi N M,
tồn tại sự phân tích M = A B sao cho A N và N B

e

M.

Mệnh đề 3.1.3. Hạng tử trực tiếp của môđun nâng cốt yếu là nâng cốt yếu.
Môđun M đ-ợc gọi là phân phối nếu A (B + C) = (A B) + (A C)
với mọi môđun con A, B, C của M. Mệnh đề sau là một điều kiện đủ để
môđun th-ơng của môđun nâng cốt yếu là nâng cốt yếu:

18

Mệnh đề 3.1.4. Cho M là môđun nâng cốt yếu và X M. Nếu một trong
các điều kiện sau đ-ợc thỏa mãn:
(1) Với mỗi hạng tử trực tiếp K của M, (K + X)/X là hạng tử trực tiếp
của M/X.
(2) M là môđun phân phối.
(3) Với mỗi e2 = e End(M), eX X. Đặc biệt, X bất biến hoàn toàn
trong M.
thì M/X là nâng cốt yếu.
Định lý 3.1.6. Nếu M1 là môđun nửa đơn, M2 là nâng cốt yếu và xạ ảnh
t-ơng hỗ với M1, thì M = M1 M2 là nâng cốt yếu.
Định nghĩa 3.1.2. Cho N, L là các môđun con của M. L đ-ợc gọi là phần
phụ cốt yếu của N trong M nếu M = N + L và N L

e

L. Môđun M

đ-ợc gọi là có phần phụ cốt yếu nếu mọi môđun con của M đều có phần
phụ cốt yếu trong M.
Theo định nghĩa, mỗi môđun con bé là -bé và mỗi môđun con -bé là
bé cốt yếu. Hơn nữa, mỗi môđun nâng cốt yếu là môđun có phần phụ cốt
yếu. Nh- vậy, ta có sơ đồ sau:
nâng





-nâng

nâng cốt yếu


có phần phụ có -phần phụ có phần phụ cốt yếu
Nhận xét 3.1.3. Nếu M là môđun xạ ảnh thì với mọi N M, N là môđun
con bé cốt yếu trong M khi và chỉ khi N là -bé trong M. Do đó, nếu M
là nâng cốt yếu (t.-., có phần phụ cốt yếu) và xạ ảnh thì M là -nâng (t.-.,
có -phần phụ cốt yếu).
Ví dụ 3.1.4. Xét R = Z8 , khi đó M = (2Z8 /4Z8 ) RR là môđun nâng cốt
yếu theo Định lý 3.1.6. Tuy nhiên, M không phải là môđun -nâng.

19


{N e M| N cực đại trong M}. Khi đó

Ký hiệu Rade (M) =
Rade (M) =

{N | N

e

M}. Từ định nghĩa môđun có phần phụ cốt

yếu, ta có các tính chất:
Bổ đề 3.1.9. Cho M là môđun có phần phụ cốt yếu. Khi đó:

(1) M/ Rade (M) là môđun nửa đơn.
(2) Nếu L là môđun con của M với L Rade (M) = 0 thì L là môđun
nửa đơn.
Mệnh đề 3.1.10. Cho M là môđun có phần phụ cốt yếu. Khi đó M = M1
M2, trong đó M1 là môđun nửa đơn và M2 M với Rade (M2) e M2 .
Mệnh đề 3.1.12. Cho M = M1 + M2. Nếu M1 và M2 là các môđun có
phần phụ cốt yếu, thì M là môđun có phần phụ cốt yếu.
k

Hệ quả 3.1.13. Cho M =

Mi. Nếu M1 , M2, . . . , Mk là các môđun có
i=1

phần phụ cốt yếu thì M là môđun có phần phụ cốt yếu.
Theo định nghĩa, hạng tử trực tiếp của môđun có phần phụ cốt yếu là
môđun có phần phụ cốt yếu. Từ đó ta có hệ quả sau:
k

Hệ quả 3.1.14. Cho M =

Mi. Khi đó M là môđun có phần phụ cốt
i=1

yếu khi và chỉ khi M1, M2 , . . . , Mk là các môđun có phần phụ cốt yếu.
Mệnh đề 3.1.15. Môđun th-ơng của môđun có phần phụ cốt yếu là có phần
phụ cốt yếu.
Môđun M đ-ợc gọi là có phần phụ cốt yếu nhiều (amply e-supplemented)
nếu với mọi môđun con A, B của M với M = A + B, tồn tại phần phụ cốt
yếu P của A sao cho P B. Rõ ràng, nếu M là môđun có phần phụ cốt

yếu nhiều thì M là môđun có phần phụ cốt yếu. Sau đây là một số tính
chất của môđun có phần phụ cốt yếu nhiều:
Mệnh đề 3.1.16. Cho M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều. Khi đó,
mọi ảnh toàn cấu của M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.
20


Mệnh đề 3.1.17. Cho M là một môđun. Nếu mọi môđun con của M là
môđun có phần phụ cốt yếu, thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.
Môđun M đ-ợc gọi là -xạ ảnh nếu với mọi môđun con U, V của M
với U + V = M, tồn tại f End(M) với Im(f ) U và Im(1 f ) V .
Định lý 3.1.19. Cho M là một môđun. Nếu M là -xạ ảnh, có phần phụ
cốt yếu, thì M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều.
3.2

Môđun địa ph-ơng cốt yếu.

Nội dung của mục này là các kết quả về môđun địa ph-ơng cốt yếu. Các
tính chất và đặc tr-ng của lớp môđun này đã đ-ợc chứng minh. Cụ thể,
tổng trực tiếp của một môđun địa ph-ơng cốt yếu và môđun nửa đơn là
môđun địa ph-ơng cốt yếu; môđun địa ph-ơng cốt yếu là tổng trực tiếp của
một môđun cyclic, địa ph-ơng cốt yếu với một môđun nửa đơn. Hơn nữa,
Rade (M) là môđun con cực đại, cốt yếu duy nhất của môđun địa ph-ơng
cốt yếu M. Ngoài ra các điều kiện đủ để một môđun trở thành môđun có
phần phụ cốt yếu nhiều cũng đã đ-ợc chỉ ra.
Định nghĩa 3.2.1. Môđun M đ-ợc gọi là địa ph-ơng cốt yếu nếu Rade (M)
là môđun con cực đại của M và Rade (M)

e

M.

Nhận xét 3.2.2. Mọi môđun đơn là địa ph-ơng. Hơn nữa, nếu M là môđun
nửa đơn thì M

e

M, do đó Rade (M) = M. Nh- vậy M không là địa

ph-ơng cốt yếu.
Các kết quả sau thể hiện các mối liên hệ giữa môđun địa ph-ơng cốt
yếu với môđun địa ph-ơng và môđun có phần phụ cốt yếu:
Bổ đề 3.2.4. Mọi môđun địa ph-ơng cốt yếu là có phần phụ cốt yếu.
Mệnh đề 3.2.5. Nếu L là môđun địa ph-ơng và L không là môđun đơn thì
L là địa ph-ơng cốt yếu.
Mệnh đề 3.2.6. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun địa ph-ơng
cốt yếu M:
21


(1) M là địa ph-ơng;
(2) M là môđun không phân tích đ-ợc.
Sau đây là các tính chất và đặc tr-ng của môđun địa ph-ơng cốt yếu:
Định lý 3.2.7. Cho M = N K là một môđun. Các khẳng định sau là
t-ơng đ-ơng:
(1) M là địa ph-ơng cốt yếu;
(2) a) N là địa ph-ơng cốt yếu và K là nửa đơn, hoặc (b) K là địa ph-ơng
cốt yếu và N là nửa đơn.
Ví dụ 3.2.3. (1) Xét M là môđun đơn, suy biến. Khi đó, M là -địa
ph-ơng nh-ng không là địa ph-ơng cốt yếu. Chẳng hạn, M = Z/pZ,

với p là số nguyên tố. Khi đó Z-môđun M là môđun đơn, suy biến.
(2) Xét N là môđun xạ ảnh, địa ph-ơng cốt yếu và K là môđun nửa đơn,
không xạ ảnh. Khi đó, N K là địa ph-ơng cốt yếu nh-ng không là
-địa ph-ơng.
(3) Xét R = Z, M = Z24 . Khi đó, Rad(M) = (M) = 6Z24 , Rade (M) =
2Z24. Vì vậy, M là môđun địa ph-ơng cốt yếu nh-ng không là địa
ph-ơng hoặc -địa ph-ơng.
(4) Cho F là một tr-ờng và R =

F F

. Khi đó R là -địa ph-ơng
0 F
nh-ng không là địa ph-ơng. Vì R là xạ ảnh nên R là địa ph-ơng cốt
yếu.

Hệ quả 3.2.8. Tổng trực tiếp của hai môđun địa ph-ơng cốt yếu không là
địa ph-ơng cốt yếu.
Mệnh đề 3.2.9. Cho M là một môđun. Khi đó, các điều kiện sau là t-ơng
đ-ơng:
(1) Môđun M là địa ph-ơng cốt yếu;
22


(2) M = L N sao cho L là môđun cyclic địa ph-ơng cốt yếu và N là
nửa đơn.
Định lý 3.2.10. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M:
(1) M là môđun địa ph-ơng cốt yếu;
(2) Rade (M) là môđun con cực đại của M và mỗi môđun con thực sự cốt
yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại;

(3) M có duy nhất một môđun con cốt yếu cực đại và mỗi môđun con thực
sự cốt yếu trong M chứa trong một môđun con cực đại.
Sau đây là một đặc tr-ng của môđun có phần phụ cốt yếu nhiều:
Mệnh đề 3.2.15. Cho M là môđun hữu hạn sinh. Các điều kiện sau là
t-ơng đ-ơng:
(1) M là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều;
(2) Nếu L, N là các môđun con của M và M = L + N thì M = N +
L1 + ... + Ln , trong đó n là số nguyên d-ơng, Li là địa ph-ơng cốt
yếu hoặc Li là nửa đơn.
Hệ quả 3.2.18. Nếu M là môđun hữu hạn sinh và mỗi môđun con cyclic
của M là môđun có phần phụ cốt yếu thì M là môđun có phần phụ cốt
yếu nhiều.
3.3

Môđun thỏa mãn điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé
cốt yếu.

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện dây chuyền trên các môđun
con bé cốt yếu và chứng minh rằng môđun Rade (M) là Nơte (t.-., Artin)
khi và chỉ khi M thỏa mãn điều kiện ACC (t.-., DCC) trên các môđun
con bé cốt yếu. Các kết quả quan trọng đã thu đ-ợc trong mục này đó là
các đặc tr-ng của môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu, có
phần phụ cốt yếu nhiều và điều kiện dây chuyền trên các môđun con bé cốt
yếu.
23


Mệnh đề 3.3.1. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M:
(1) Rade (M) là Nơte;
(2) M thỏa mãn ACC trên các môđun con bé cốt yếu.

Định lý 3.3.4. Các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng đối với môđun M:
(1) Rade (M) là Artin;
(2) Mỗi môđun con bé cốt yếu của M là Artin;
(3) M thỏa mãn điều kiện DCC trên các môđun con bé cốt yếu.
Từ đó, ta có các đặc tr-ng của môđun Artin:
Định lý 3.3.7. Cho M là một môđun. Khi đó M là Artin khi và chỉ khi M
là môđun có phần phụ cốt yếu nhiều và thỏa mãn điều kiện DCC trên các
môđun con phần phụ cốt yếu và môđun con bé cốt yếu.
Hệ quả 3.3.8. Cho M là môđun hữu hạn sinh. Khi đó M là Artin khi và
chỉ khi M là môđun có phần phụ cốt yếu và thỏa mãn điều kiện DCC trên
các môđun con bé cốt yếu.
Ví dụ 3.3.1. (1) Xét M = Z là Z-môđun, ta có môđun con bé cốt yếu duy
nhất của M là 0. Nh- vậy M thỏa điều kiện DCC trên các môđun con
bé cốt yếu. Tuy nhiên M không phải là môđun có phần phụ cốt yếu.
Vì vậy M không là Artin.
(2) Xét M = Q là Z-môđun. Ta có M không phải là môđun có phần phụ
cốt yếu. Vì vậy M không là Artin.
(3) Xét R =

F F

,A =

F F

trong đó F là một tr-ờng. Khi
0 F
0 0
đó, A là R-môđun có phần phụ cốt yếu và Artin.

Từ Hệ quả 3.3.8 và Hệ quả 3.2.18, ta có:
Hệ quả 3.3.9. Cho M là môđun hữu hạn sinh. Nếu mỗi môđun con cyclic
của M là môđun có phần phụ cốt yếu và M thỏa mãn điều kiện DCC trên
các môđun con bé cốt yếu thì M là Artin.
24


Kết luận và kiến nghị
Các kết quả chính trong luận án:
1. Các tính chất của môđun giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.11; Định lý 2.2.21);
mối liện hệ giữa môđun giả c+ -nội xạ với các tr-ờng hợp mở rộng khác
của môđun nội xạ (Định lý 2.2.5; Hệ quả 2.2.7);
2. Các đặc tr-ng mở rộng của môđun và vành tự nội xạ thông qua tính
chất giả c+ -nội xạ (Hệ quả 2.2.12); Đặc tr-ng của môđun và vành liên
tục thông qua môđun giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.6; Định lý 2.2.16);
3. Đặc tr-ng vành Artin nửa đơn thông qua môđun giả c-nội xạ và giả
c+ -nội xạ (Định lý 2.1.6; Hệ quả 2.2.13); Đặc tr-ng vành tựa Frobenius
thông qua vành giả c+ -nội xạ (Định lý 2.2.20; Định lý 2.2.33);
4. Các đặc tr-ng của môđun địa ph-ơng cốt yếu (Định lý 3.2.7; Mệnh đề
3.2.9 và Định lý 3.2.10)
5. Đặc tr-ng Artin của môđun Rade (M) (Định lý 3.3.4); các đặc tr-ng
của môđun Artin thông qua môđun có phần phụ cốt yếu và điều kiện
dây chuyền trên các môđun con bé cốt yếu (Định lý 3.3.7; Hệ quả
3.3.8).
Ngoài các kết quả đã chứng minh đ-ợc ở trên, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên
cứu và giải quyết một số vấn đề liên quan nh-ng ch-a đ-ợc chứng minh
trong luận án:
1. Tính nửa chính quy của vành tự đồng cấu của môđun giả c+ -nội xạ;
các điều kiện đủ để môđun giả c+ -nội xạ là môđun giả nội xạ, liên
tục, tựa nội xạ, nội xạ;

2. Các đặc tr-ng của vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh, -hoàn chỉnh,
-nửa hoàn chỉnh thông qua môđun nâng cốt yếu, môđun có phần phụ
cốt yếu và môđun địa ph-ơng cốt yếu.

25