Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (311.36 KB, 20 trang )
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------
Nguyễn Đình Nam
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội – 2011
1
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-----------------------------
Nguyễn Đình Nam
NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC
LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG
DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số : 604401
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
GS.TS. NGUYỄN QUANG BÁU
Hà Nội - 2011
2
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
MỤC LỤC
Mở đầu……………………………………………………………………………1
Chương 1 : Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm.
4
1.1 Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối………….4
1.1.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn
khối……………………………………………………………………...4
1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trường hợp hấp
thụ một phonon)…………………………………………………………7
1.1.3 .Ảnh .hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon .lên hệ số gia tăng
sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối…………...11
1.2 Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong dây lượng tử trong trường
hợp phonon không giam cầm…………………………………………...14
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng
tử…………………………………………………………………...…..14
1.2.2
Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm………………..18
1.2.3
Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon…21
1.2.4
Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hâp thụ nhiều photon..24
Chương 2 : Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử
và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động
lượng tử cho phonon giam cầm…………………………………………………27
2.1 Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và
phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn…………………………27
2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm………………….28
2.2.1 Hamilton của hệ điện tử-phonon âm giam cầm trong dây lượng tử
hình trụ hố thế cao vô hạn………………………………………………………28
3
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
2.2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn……………………………………………..29
Chương 3 : .Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích .thước lên .sự gia .tăng sóng âm.
(phonon âm) giam cầm .bởi trường .bức xạ laser trong .dây lượng tử hình trụ .hố.
thế cao vô hạn…………………………………………………………………...46
3.1 Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm
bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn………...46
3.2 Tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận……………………………….…53
Kết luận ………………………………………………………………………....58
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………....60
Phụ lục…………………………………………………………………………..63
Danh mục các hình vẽ…………………………………………………………...67
4
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Giáo sư –
Tiến sĩ Nguyễn Quang Báu. Cảm ơn thầy đã hướng dẫn chỉ bảo em tận tình trong
suốt quá trình thực hiện luận văn này. Đồng thời thầy cũng đã hướng dẫn, giúp
đỡ em trong quá trình tra cứu tài liệu, tiến hành tìm hiểu và học hỏi những kiến
thức chuyên ngành quan trọng và cần thiết để hoàn thành bài luận văn cũng như
tiếp tục học tập và nghiên cứu sau này.
Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong bộ môn
vật lý lý thuyết cũng như các thầy cô trong khoa vật lý đã tận tình dạy dỗ và giúp
đỡ em trong suốt quá trình học tập, công tác và làm luận văn.
Hà Nội, ngày tháng năm
Học viên
Nguyễn Đình Nam
5
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
MỞ ĐẦU
Khoa học vật liệu ngày càng phát triển, các thành tựu của nó ngày càng
được ứng dụng rộng rãi. Các nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu các tính chất
vật lý của vật liệu, trong đó có hiệu ứng giảm kích thước. Trong cấu trúc bán
dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm chặt dọc theo dọc theo một
0
tọa độ với vùng rắt hẹp không quá vài trăm A và chiều rộng này so sánh được
với chiều dài bước sóng De Broglie thì hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện. Hiệu
ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất của bán dẫn thấp chiều nói
chung và dây lượng tử nói riêng.
Khi chuyển từ hệ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều 2D, 1D hay 0D, do hiệu
ứng giảm kích thước gây nên làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý cả về
định tính và định lượng. Chính điều này đã làm sơ sở để tạo ra các linh kiện điện
tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng và thông minh làm việc theo những nguyên lý
hoàn toàn mới.
Dây lượng tử là một ví dụ điển hình về hệ khí điện tử một chiều. Hiện
nay, dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp MBE hay MOCVD.
Trong cấu trúc dây lượng tử, chuyển động của điện tử được giới hạn 2 chiều làm
cho điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều. Sự giam cầm điện tử
trong hệ này làm thay đổi khả năng chuyển động của điện tử. Chính điều này dẫn
tới một số hiện tượng mới. Các hiện tượng này khác với các hiện tượng trong các
bán dẫn khối. Trong các loại dây lượng tử thì dây lượng tử hình trụ là loại hay
được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý thuyết.
Hiệu ứng giảm kích thước (trong bán dẫn thấp chiều) ảnh hưởng lên các
tính chất vật lý làm các tính chất vật lý thay đổi, trong đó có sự thay đổi tốc độ
gia tăng phonon âm (gia tăng sóng âm), hấp thụ phonon bởi trường sóng điện từ
(trường bức xạ laser) do tương tác điện tử - phonon gây ra.
Sự gia tăng sóng âm bởi trường bức xạ laser là một đề tài được nghiên
cứu rộng rãi trong bán dẫn khối [22,23,24,28,30,33], bán dẫn thấp chiều [4,5,16]
trong trường hợp chưa xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm. Sự gia tăng
phonon âm (sóng âm) có thể hiểu là khi điện tử hấp thụ năng lượng sóng điện từ
(phonton) thì nó đồng thời có thể hấp thụ và phát xạ phonon âm. Trong một số
điều kiện được thỏa mãn, quá trình phát xạ áp đảo (trội hơn) quá trình hấp thụ
phonon và dẫn đến tại đó có sự gia tăng phonon âm (sóng âm).
6
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Còn trong trường hợp xét tới ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
tức ảnh hưởng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm, đã có một số tác giả
nghiên cứu trong các hệ hai chiều (siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, hố
lượng tử) [4,5,16] nhưng chưa ai làm trong hệ một chiều nói chung và trong dây
lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn nói riêng. Do đó trong luận văn này chúng
tôi nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích lên sự gia
tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô
hạn ”.
Phương pháp nghiên cứu: Để giải quyết bài toán vật lý thuộc loại này, ta
có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau của vật lý lý thuyết. Từ góc độ lý
thuyết cổ điển Boltzmann, .. còn từ góc độ lý thuyết lượng tử, ta có thể sử dụng
phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp
phương trình động lượng tử. Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm
khác nhau khi áp dụng cho các loại bài toán vật lý cụ thể khác nhau. Trong luận
văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử (nhờ
phương trình chuyển động Heisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử-phonon
trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai) để giải quyết bài toán. Ngoài ra, trong
phần tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết thu được, chúng tôi sử dụng ngôn
ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows. Phương pháp này đã tỏ rõ ưu
việt khi giải quyết các bài toán vật lý tương tự trong bán dẫn thấp chiều và cho
phép thu nhận biểu thức giải tích, tính số và vẽ đồ thị các đại lượng vật lý đặc
trưng cho hiệu ứng.
Luận văn đã đưa ra được biểu thức giải tích cho tốc độ gia tăng sóng âm
(phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố
thế cao vô hạn, sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm vào vectơ sóng âm, tần
số sóng âm , tần số trường bức xạ laser. Trong luận văn đã thực hiện khảo sát và
tính toán số trong trường hợp cụ thể đối với mẫu dây lượng tử hình trụ
GaAs/GaAsAl. So sánh các kết quả thu được với trường hợp không xét đến ảnh
hưởng của phonon giam cầm ta thấy rằng tốc độ gia tăng sóng âm giam cầm
mạnh hơn. Đặc biệt, biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm còn phụ
thuộc vào m,m’ là chỉ số giam cầm đặc trưng cho phonon giam cầm, khi cho
m,m’ tiến tới 0 ta dễ dang thu lai được kết quả như trong trường hợp phonon
không giam cầm.
Bố cục luận văn gồm 3 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục
với 67 trang, 33 tài liệu tham khảo.
7
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Chương 1: Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khối và
trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm.
Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của
điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình
động lượng tử cho phonon giam cầm.
Chương 3 : Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng
sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình
trụ hố thế cao vô hạn.
Các kết quả chính thu được trong luận văn là mới mẻ và có giá trị khoa
học nhất định, được báo cáo và in toàn văn trong proceedings của hội nghị vật lý
lý thuyết toàn quốc lần thứ 36 ở Quy Nhơn (8-2011). Ngoài ra những vấn đề phát
triển và liên quan đến đề tài luận văn về hiệu ứng giảm kích thước cũng đã được
chúng tôi công bố thành các công trình [7,8,11,14]
8
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
CHƯƠNG 1
LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ
TRONG DÂY LƯỢNG TỬ (NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN ẢNH HƯỞNG
CỦA GIAM CẦM PHONON)
1.1.
Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối.
1.1.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán
dẫn khối.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt
trường sóng điện từ E E 0 sin(t ) được xác định bởi biểu thức :
2
1 e
H(t)
p A(t) ap ap
qbqbq
C a a (b bq )
q pq p q
c
p 2m
q
p, q
(1.1)
Trong đó ap và ap ( bq và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của
2
1 e
p
A
(
t
)
là năng lượng điện tử; q là năng
2 m
c
lượng của phonon âm; p và ( p q ) là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán
xạ; p (q) là vectơ sóng của điện tử (phonon) trong bán dẫn khối, c là vận tốc ánh
điện tử (phonon); ( p )
sáng; m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử; C q là hằng số
tương tác điện tử - phonon, A(t ) là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường
sóng điện từ, xác định bởi biểu thức:
1 d A(t )
E 0 sin(t )
c dt
9
(1.2)
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Từ Hamilton (1.1) ta có:
1
e
i
b b , H (t )
p
A (t )
q
t 2 m p
t q t
c
2
b , a a
q p p t
k bq , bk bk C k bq , a p k a
p (b k bk ) .
t p ,k
t
k
(1.3)
Thực hiện các phép biến đổi, và chú ý các hệ thức toán tử, ta có:
i
b b C
a a
q
q
q
q
t
t
t
p p q p t
(1.4)
Ta thiết lập phương trình cho a p q a p :
t
i
1 e
a a a a , H (t)
p ' c A(t)
t pq p t pq p t
t 2m p'
2
a pqa p t , a p'a p'
t
(b b )
hk a pqa p , bk bk Ck a pqa p , ap'k a
p
'
k
k
t
t
t p',k
t
k
(1.5)
Thực hiện biến đổi đại số toán tử biểu thức (1.5), ta thu được kết quả :
i
eq
a a
A(t ) a a
p q mc
t p q p t p
p q p t
C a a (b b ) a a (b b )
k p p k k
k
k
pk p k
k
t
t t
(1.6)
Suy ra :
t
a a i dt
C
pq p t
1 k k
a p a p k (bk bk ) a p k a p (bk bk )
t
t
e 1
exp i ( )(t t ) i
qA
(
t
)
dt
2 2
p
pq 1
mc t
t
(1.7)
10
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Thay (1.7) vào (1.4), ta có:
t
b i b CC dt
a p a (b b ) a a p (b b )
1
q
q
q
q
k
t
pk k k t pk
k k
t
t p,k
k
t
e 1
exp i(
)(t t) i
qA(t )dt
2 2
p pq 1
mc t
t
(1.8)
Trong gần đúng bậc hai của Cq , ta có thể bỏ qua bq t , và sẽ thu được:
1
t
b i b C 2 (n n ) dt b
q q t
q
p
p q 1 q t
t q t
p ,k
1
t
e 1
exp i( )(t1 t ) i
qA(t2 )dt2
p
pq
mc t
(1.9)
Trong đó :
cE
A(t ) cE sin(t )dt 0 cos(t )
2
0
2 2
2
(1.10)
Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi sau :
exp( iz sin )= J n ( z ) exp( in )
n=-
J n ( z ) là các hàm Bessel đối số thực ta sẽ có :
t
b i b C 2 ( n n ) dt b
q q t
qp p
pq 1 q t
t q t
1
eE q eE q
exp i ( )(t1 t ) il t1 ist
J 0 J s 0
p
p q
l ,s l m2 m2
(1.11)
Phương trình (1.11) chính là phương trình động lượng tử của phonon
trong bán dấn khối.
11
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trường hợp
hấp thụ một phonon).
Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:
it
B
(
)
bq e dt
q
t
b 1 B ( )eit d
q t 2 q
Và :
b i b
q t
t q t
(1.12)
Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có
t
i b i b C 2 ( n n ) dt b
q t
q q t
qp p
p q 1 q t
1
eE q eE q
J 0 J s 0 exp i ( )(t t ) ilt ist
1
p
p q 1
l ,s l m2 m2
(1.13)
Hay viết dưới dạng khác:
1
it d i 1 B ( )eit d
Bq ( )e
q
q 2
2
eE q eE q
C 2
(n n ) J 0 J s 0
q p p
p q l ,s l m2 m2
t
1
it d exp i ( )(t t ) il t ist
dt1
Bq ( )e
1
p
pq 1
2
eE q eE q
C 2
(n n ) J 0 J s 0
q p p
pq l ,s l m2 m2
i
t
il
t
íl
t
B ( )e
1 q
d
2 i ( l i )
p
p q
i
Với : ( x) là hàm Delta-Dirac.
Dùng công thức chuyển phổ Fourier ta lại có:
it ilt íst d B ( s l ) eit d
Bq ( )e
q
12
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Suy ra :
1
it d i 1 B ( )eit d
Bq ( )e
q
q 2
2
eE q eE q
2
0
J 0
C (n n ) J
qp p
pq l ,s l m2 s m2
B (s l ) eit
1
q
d
2 i ( l i )
p
p q
i
(1.14)
Từ phương trình (1.14) ta thu được :
n n
p
p q
i B ( ) i B ( ) C 2
q
q q
q p i ( l i )
p
p q
eE q eE q
J 0 J s 0 B ( s l )
l ,s l m2 m2 q
eE0
Từ (1.15) đặt a
m 2
(1.15)
n n
p
p q
( ) ( l i ) ; 0
p p
q
p q
(1.16)
Ta sẽ có:
2
( ) B ( ) C
Jl aq J s aq
( l )Bq ( s l )
q q
q l ,s
q
(1.17)
Trong phương trình (1.17) các số hạng với l s bên vế phải sẽ cho đóng
góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với l s . Vậy có thể
đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:
2
2 ( l ) 0
( ) B ( ) C
J l aq
q q
q l
q
(1.18)
Từ phương trình tán sắc, ta thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
J 2 aq
n n p q p p q l q (1.19)
q l l
p p
( q ) Im( ) C
13
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Coi sóng âm đồng nghĩa với phonon âm, từ công thức chung (1.19) ta tính
hệ số hấp thụ sóng âm ( q ) cho bán dẫn.
Xét cho trường hợp khí điện tử suy biến và trong trường hợp hấp thụ một
photon, với giả thiết q>>pF, F , thu được hệ số hấp thụ sóng âm:
2
2
2
eE
q q m
m
q m
0
(q )
pF
4 s m 2 2
q
2
q
eE
0
Trong đó : là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm, m
PF là xung lượng Fermi của điện tử; ( z ) lầ hàm có bước nhảy:
1
z0
0
z0
( z)
Ở điểm q 2m , ( q ) sẽ đổi dấu và với:
2m p F pF q 2m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm (q ) 0
Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi
eE0
đối số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq 1 với
.
m
Biểu thức đối với hàm phân bố của điện tử:
p2
n Aexp
p
2mkT
2
; A n
0 mkT
3/2
(1.20)
Hằng số tương tác điện tử - phonon âm:
C
q
2
2q
V 2 s
0
(1.21)
Vói V0 thể tích của tinh thể, thương chọn V0=1;
- hằng số thế biến dạng.
S – vận tốc sóng âm.
- mật độ tinh thể.
14
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Đặt (1.20), (1.21) vào công hức chung (1.19). Chuyển từ tổng sang tích
phân theo p , thu được bểu thức đối với hệ số hấp thụ sóng âm đối với trường
hợp hấp thụ một photon như sau:
2
1/2
2
q
n m
(q ) 0
exp
2
S
sh
q q
2kT
s 2kT 2
4
q
exp S 2 2 q
exp 2 S sh
q q
q q
2kT
4m2
(1.22)
Ở đây :
m
S
q 2 q 2 kT
K là hằng số Boltzmann;
N0 là mật độ điện tử;
T là nhiệt độ của hệ.
Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức q được thực hiện,
ta có ( q ) 0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm. Ngược lại, trong vùng
sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức q ta có ( q ) 0 và có dạng tường minh
sau:
2
1/2
2
4
2
n0 m
2 q
(q )
sh
sh
2
S
exp
S
q q
2
q q
s 2kT 2
2kT
4
m
(1.23)
Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm ( ( q ) 0 ) đã
chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm ( ( q ) 0 ). Nghĩa là ta có hệ số gia tăng
sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp
hấp thụ một photon.
15
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
1.1.3 Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia
tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn
khối.
Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:
2
J 2 aq
n p q p l q p q p l q
q l l
p p
(q ) C
(1.24)
Đặt p q p l q trong trường hợp 1 , dùng công thức biến đổi:
2 2
2
J l
l l
2 2
Ta sẽ thu được:
2 2 2 2
2
(q ) C n
q p p
2 2 2 2
Trong đó:
(1.25)
eE0
m
Sử dụng:
q 2 pq
q 2 pz q
l
pq
p
q 2m 2m
q 2m 2m
q
q 2 pq
q2 pz q
l
p q
p
q 2m 2m
q 2m 2m
q
Công thức biến đổi tổng thành tích phân :
1 2
d .dP..P. dPz ....
...
3
p
2 0
16
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
Và xét bán dẫn không suy biến, ta sẽ có từ phương trình (1.22) phương trình sau:
(q )
A C
q
2
P2
2
d . dP..P. exp
3 0
2
mkT
0
2
2
2 q
2m
2
2 q
2m
2
dPz exp Pz
2mkT
0
2
q2
pz q
2
q
2m
2m
2
q2
pz q
2
q
2m
2m
2
pz q
q
2m
2
pz q
q
2m
(1.26)
Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.26), ta nhận được:
2
2 m.n0
m q2
2
(q )
exp 2
q
2
m
kT .2 2 s
2q kT
2
1/ 2
I m q
q
!
q2
q 2 kT 2m
l 0
q
2m
2
m q2
2
exp
2m q
2
2q kT
m q2
1/ 2
I
q
!
q2
q 2 kT 2m
l 0
q
2m
(1.27)
Cuối cùng ta thu được biểu thức giải tích cho hệ số hấp thụ sóng âm trong
bán dẫn bởi trường bức xạ Laser đối với quá trình hấp thụ nhiều photon như sau:
17
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
1/ 2
2 n0 m
(q )
2 s 2kT
1/ 2
m 2
exp 2
2q kT
1/ 2
2
q
!
l 0
q
2m
q
exp
2
q
kT
q
2m
Nguyễn Đình Nam
2
m q2
exp 2
q
2q kT 2 m
m q 2
q
I 2
q kT 2m
2
m q
I
2
q
q kT 2 m
(1.28)
Từ (1.28) ta thấy rằng nếu bất đẳng thức sau được thực hiện:
m q2
q 2
2
I 2
q q kT 2m
q
q
q
2m
2m
Thì ( q ) 0 ,còn nếu:
2
q
q
2m
m
I 2
q kT
q2
q
2m
(1.29)
q2
q
2m
(1.30)
m q2
m
q 2
I 2
I 2
q kT 2m
q q kT
q
2m
Ta có ( q ) 0 và có dạng tường minh như sau:
1/2
2
1/2
m 2
2 n0 m
m q2
(q )
q
exp 2 exp 2
2 s 2kT
2q kT 2m
2q kT
m q2
1/ 2
q
q
I 2
exp 2
!
l 0
kT q q kT 2m
q
2m
2
m q
2
q
I 2
q q kT 2m
q
2m
(1.31)
Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm ( q ) 0
đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm ( q ) 0 . Nghĩa là một lần nữa ta thu
18
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon
bởi trường bức xạ Laser.
1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong dây lượng tử (nhưng không kể đến
giam cầm).
1.2.1. Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây
lượng tử.
Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser:
E E 0 sin(t ) ), sự tương tác điện tử - phonon được mô tả bằng Hamiltonian
sau:
e
H(t)= ε k- A(t) a+ a +
ωbb + C
(q) a+ a (b +b+ ).
n,l c
n
,
l
,
n
',
l
'
q
q
q
n,l,k+q n',l',k q q
n,l,k n,l,k q
n,l,n',l'
n,l,k
k,q
(1.32)
Trong đó:
n ,l k
e
A(t ) là phổ năng lượng của điện tử trong trường ngoài.
c
an,l ,k và an,l ,k ( bq và bq ) tương ứng là toán tử sinh và toán tử huỷ của điện tử
(phonon); q là tần số của phonon ứng với vecto sóng q , c là vận tốc ánh sáng.
là hằng số Planck, m và e tương ứng là khối lượng và điện tích của điện tử ;
A(t ) là thế vectơ và trong mối liên hệ với trường sóng điện từ, xác định bởi biểu
thức:
1 d A(t )
E 0 sin( t )
c dt
C n ,l ,n ',l ' (q) là hằng số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử, được tính bởi
công thức:
C n ,l , n ',l ' (q )=C q I n ,l ,n ',l ' ( q )
19
Cao học 2009 - 2011
Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước
Nguyễn Đình Nam
2R
Với: I n2,l ,n ',l ' (q ) n, l , k eiqr n ', l ', k ' * (r , )eiqr (r , )dr
R0
C
q
2
2q
2 vsV
Trong đó: V là thể tích chuẩn hóa; là hằng số thế biến dạng; vs là tốc
độ sóng âm, là mật độ tinh thể.
Trong biểu diễn Heisenberg, phương trình chuyển động của phonon có dạng:
i
e
b b , H (t ) k
A(t ) b , a
a
q
t n,l ,k n,l
t q t
c
q n,l ,k n ,l ,k t
(b b ) .
b , b b C
( p ) b , a a
p
q
p
p
n
,
l
,
n
',
l
',
q
p
p
t n,l ,n ',l '
n,l ,k p n ',l ',k
p
t
p ,k
(1.33)
Thực hiện phép biến đổi toán tử (chú ý các hệ thức toán tử) ta có:
i
.
b b
C
( q ) a a
n,l ,n ',l '
q q t
t q t
n
,
l
,
k
q
n
',
l
',
k
t
n,l ,n',l ',k
(1.34)
Ta thiết lập phương trình cho an,l ,k q an ',l ',k :
t
a a a a , H(t)
t nl, ,k q n',l',k t nl, ,k q n',l',k
t
e
p A(t) a a , a a
nl, ,k q n',l',k n1,l1, p n1,l1, p t j j
n ,l , p n1,l c
11
i
C
( j)
n ,l ,n ',l '
n ,l ,n ',l ' 1 1 1 1
11 1 1
p, j
anl, ,kqan',l',k, bj bj
t
a a , a
an ',l ', p (b b ) .
nl, ,k q n',l',k n1,l1, p j 1 1 j j t
(1.35)
20
Cao học 2009 - 2011
