skkn các hướng tiếp cận khác nhau khi giải bài toán hình học không gian lớp 11, 12

MỞ ĐẦU
Môn Toán là môn học trang bị cho học sinh kiến thức, kĩ năng và phương
pháp tư duy. Thông qua môn học, giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ, khả
năng tư duy, hình thành và phát triển phẩm chất, phong cách lao động khoa học,
biết hợp tác lao động, có ý chí và có thói quen tự học thường xuyên, tạo tiền đề
cho môn học khác và việc học tập sau phổ thông. Vì vậy khi dạy học chúng tôi luôn
trăn trở, tìm tòi phương pháp nhằm cuốn hút các em vào mỗi bài học. Ở đó, các
em nhận thức được vai trò trung tâm của mình, các em lĩnh hội tri thức thông qua
tự giải quyết vấn đề, tự hướng dẫn, tìm tòi và cộng tác với bạn bè.
Bài toán hình học không gian là một dạng toán mới và khó đối với học sinh
phổ thông và là bài toán thường xuất hiện trong các đề thi Tốt nghiệp, Đại học,
Cao đẳng trước đây , đề thi THPT Quốc gia 2015 và các đề thi Học sinh Giỏi. Bài
toán hình học không gian là một bài toán tổng hợp nhiều kiến thức của hình học
không gian, nó đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức hình học không gian
từ quan hệ song song đến quan hệ vuông góc thì mới có thể làm được. Có thể nói
nếu các em không biết giải các bài toán hình học không gian sẽ mất đi một điểm
khi làm các đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Nhưng trên thực tế phần lớn các em
đều không thích học hình không gian vì nó là một chuyên đề mới đối với học sinh,
hơn nữa đòi hỏi học sinh cũng phải biết liên hệ với mảng kiến thức hình học phẳng
học từ cấp hai cũng là một chuyên đề khó đối với học sinh nên có nhiều học sinh
không học, có thành kiến là không thể học được, hễ có trong đề thi thì bỏ.
Chính vì vậy, để giúp các em xoá đi phần nào thành kiến đó, để các em học
sinh không khá giỏi cũng có thể tiếp cận được với các đề thi THPT Quốc gia và
tạo tâm lí nhẹ nhàng khi học và tự tin khi thi, chúng tôi xin trình bày một số sáng
kiến về đề tài: " Các hướng tiếp cận khác nhau khi giải bài toán hình học không
gian lớp 11, 12 ". Đây cũng là một trong mảng kiến thức hết sức cần thiết khi các
em học chương trình lớp 12, các em phải sử dụng tổng hợp các kiến thức về hình
học không gian của lớp 11. Điều này là rất khó khăn đối với học sinh trung bình
khi các em giải các bài toán về tính thể tích các khối đa diện và các câu liên quan,
một câu hỏi thường xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia. Vì vậy, khi gặp một bài
toán làm thế nào để tiếp cận được? Có thể giải bằng các cách nào? Các bài toán

này có mở rộng được không ? Để học sinh trung bình cũng có thể giải quyết bài
toán này mà không cần phải sử dụng nhiều đến kiến thức hình học không gian,


chúng tôi khắc phục bằng cách cung cấp cho học sinh phương pháp toạ độ hoá.
Đó là những vấn đề mà chúng tôi sẽ trình bày trong bản sáng kiến này.

NỘI DUNG
A. GIẢI PHÁP CŨ THƯỜNG LÀM
Trước đây khi dạy học giải bài toán hình học không gian, chúng tôi thường
dạy như sau:
1. Cung cấp lí thuyết.
2. Cho bài tập áp dụng.
3. Gọi học sinh lên bảng trình bày. Giáo viên chữa bài và nhận xét.
Vì thế mà chúng tôi thấy rằng phương pháp đó có những hạn chế là:
1. Học sinh lúng túng, không biết vận dụng lí thuyết vào làm bài tập.
2. Học sinh được rèn luyện kĩ năng ít.
3. Học sinh không biết qui lạ về quen.
4. Học sinh không thấy được mối liên hệ giữa các bài toán.
5. Học sinh gặp khó khăn khi giải bài toán, không biết bắt đầu từ đâu.

B. GIẢI PHÁP MỚI CẢI TIẾN
Để khắc phục những hạn chế trên, chúng tôi đã cải tiến phương pháp dạy
giải bài toán hình học không gian thông qua các giải pháp như sau:
1. Cung cấp bài toán mở đầu.
2. Hướng dẫn thiết lập hệ tọa độ Oxyz cho một số hình cụ thể và cung cấp
phương pháp tọa độ hóa để giải bài toán hình học không gian.
3. Hệ thống các kiến thức liên quan.
4. Hệ thống bài tập vận dụng. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán, phân
tích bài toán. Định hướng giúp học sinh tìm các cách giải khác nhau và khai thác,

nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất bài toán tương tự.
5. Hệ thống bài tập tự luyện.
Ưu điểm của giải pháp mới:
1. Học sinh được củng cố kiến thức cũ.
2


2. Đứng trước một bài toán học sinh biết phân tích dữ kiện của bài toán, tìm
mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm để định hướng phương
pháp giải.
3. Có nhiều hướng giải quyết bài toán nên có thể linh hoạt trong việc giải bài
toán. Rèn luyện cho học sinh tư duy tổng hợp. Biết giải bài toán hình học không
gian bằng phương pháp toạ độ hoá, từ đó ôn tập được kiến thức về hình giải tích
trong không gian.
4. Cách khai thác bài toán, giúp học sinh hiểu bài toán sâu hơn, thấy được
mối liên hệ giữa các bài toán. Học sinh không còn bỡ ngỡ khi giải các bài toán
hình học không gian từ đó giúp học sinh biết qui lạ về quen, giúp học sinh tư duy
sâu hơn, có cái nhìn rộng hơn giữa kiến thức cũ và mới, tạo ra sự liên kết hai chiều
xuôi và ngược.
5. Hệ thống bài tập tự luyện sẽ giúp học sinh biết phân tích, đánh giá để lựa
chọn phương pháp giải thích hợp nhất cho từng bài. Rèn luyện cho học sinh kĩ
năng vận dụng linh hoạt, sáng tạo và kỹ năng tính toán, cũng như trình bày bài thi.

C. PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH
I. GIẢI PHÁP 1: CUNG CẤP BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Để giải quyết bài toán, cái khó khăn đối với học sinh là việc xác định các dữ
kiện bài toán. Vì vậy, trước mỗi bài toán chúng tôi luôn có ý thức giúp học sinh
tìm hiểu bài toán, tìm tòi lời giải bài toán, giải bài toán và khai thác bài toán để tạo
tư duy giải toán linh hoạt cho học sinh

Bài toán mở đầu: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2 , BM
vuông góc với DN, với M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
Hướng dẫn học sinh tìm hiểu bài toán và tìm lời giải cho bài toán
Câu hỏi gợi mở
H1. Bài toán cho gì? Yêu cầu gì?

Yêu cầu đạt được
Đ1. Bài toán cho:
●

S.ABCD là hình chóp đều

● BM

⊥ DN

Bài toán yêu cầu: Tính thể tích
khối chóp S.ABCD.
3


H2. Hình chóp đều S.ABCD có tính Đ2. ABCD là hình vuông
chất gì?
SO ⊥ ( ABCD ) với O là giao điểm
của AC và BD.
· , DN )
H3. Làm thế nào để xác định được Đ3. Dựng ( BM
BM ⊥ DN ?
(Đây có thể nói là bước khó

khăn nhất đối với học sinh).

H4. Để tính thể tích khối chóp Đ4. Diện tích đáy và đường cao.
S.ABCD cần tính những đại
lượng nào?
H5. Yếu tố nào đã tính được?

Đ5. Diện tích đáy.

H6. Còn phải tính những yếu tố nào?

Đ6. Đường cao SO.

Sau khi tìm hiểu bài toán giáo viên yêu cầu học sinh học sinh vẽ hình:

· , DN ) và tính SO.
Bài toán đặt học sinh vào 2 tình huống: Dựng ( BM
· , DN ) ta cần nhớ lại thế nào là góc giữa hai đường thẳng.
Để dựng ( BM

Và từ kiến thức đã học chúng tôi giúp học sinh ghi nhớ.
Cách dựng (a¶ , b)
Cách 1: Chọn O thuộc a (hoặc b), dựng b' đi qua O song song với b (hoặc a). Khi
đó góc giữa a và b' (hoặc b và b') là góc giữa a và b.

4


Cách 2 : Ta chọn ( P) ⊃ a,(Q) ⊃ b sao cho ( P ) ∩ (Q) = d dễ xác định. Chọn O ∈ d ,
qua O dựng các đường thẳng song song với a, b lần lượt là a’, b’. Khi đó góc giữa

a’ và b’ là góc giữa a và b.
Cách 3: Sử dụng phương pháp vectơ.
Cách 4: Sử dụng phương pháp toạ độ hoá.
· , DN ) .
Từ đó học sinh có thể dựng được ( BM
· , DN ) làm thế nào để tính được SO?
Sau khi dựng được ( BM
3
2

Dẫn đến bài toán: Tính SO = 3OG = EF = 3OE .
Làm thế nào để tính được EF?
Lúc này giáo viên vẽ riêng mặt đáy trên mặt phẳng và bài toán này quy về bài toán
tính toán trong hình học phẳng (bài toán trở nên đơn giản hơn, giải quyết xong khó
khăn cho học sinh).

Học sinh dễ dàng phát hiện ra cách tính EF.
Cách 1: Tính dựa vào tam giác OED theo định lý côsin.
1
2

Cách 2: Gọi J = EF ∩ CD ⇒ EF = IF . Tính IF theo định lý Pitago trong tam giác IFC.
Và như vậy bài toán đã giải quyết xong.
5


· , DN ) thì làm sao tính
Giáo viên lại đặt ra tình huống nếu ta không dựng được ( BM

được SO? Việc gắn vào hình chóp S.ABCD một hệ tọa độ Oxyz có đơn giản hơn không?

Học sinh nghĩ đến phương pháp tọa độ hóa.
Nếu sử dụng phương pháp tọa độ hóa ta cần phải làm các bước như thế nào?
Câu hỏi gợi mở

Yêu cầu đạt được

H1. Chọn hệ tọa độ Oxyz?

Đ1. Ox ≡ OA; Oy ≡ OB; Oz ≡ OS

H2. Đọc tọa độ những điểm nào?

Đ2. O, M, N. Suy ra phải đọc toạ độ
các điểm B, D, S, A, C

H3. Cách đọc tọa độ các đỉnh hình chóp? Đ3. Dựng hình chiếu của B, D, S, A, C
trên Ox, Oy, Oz.
H4. Tính SO?

Đ4. Đặt SO = h

uuuur uuur
BM ⊥ DN ⇒ BM .DN = 0 ⇒ h

Hướng giải quyết này giúp học sinh cảm thấy nhẹ nhàng hơn so với cách trên đồng
thời cũng giúp học sinh có nhiều hướng nhìn khác nhau khi giải quyết bài toán.
Sau đó yêu cầu học sinh trình bày lời giải bài toán theo cách mà các em lựa chọn.
Nghiên cứu sâu lời giải, đề xuất những bài toán mới
Sau khi hướng dẫn học sinh giải xong bài toán trên, dựa trên kết quả bài toán đó
(Với giả thiết BM vuông góc với DN ta đã tính được SO, hình chóp S.ABCD hoàn

toàn xác định do biết chiều cao và diện tích đáy), chúng tôi có thể đặt ra cho học
sinh:
6


I.1. Câu hỏi bổ sung:
Câu hỏi 1: Hãy tính:
1. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC; BM và SC.
2. Góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng (SBC).
3. Góc giữa hai mặt phẳng (BND) và (SAC).
Câu hỏi 2: Hãy tính:
1. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD).
2. Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD.
Rõ ràng, khi hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng phương pháp tọa độ, các
em đã đọc được tọa độ các đỉnh, điểm có liên quan, tìm được vectơ chỉ phương của
đường thẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì việc giải quyết các câu hỏi bổ
sung trên là rất đơn giản. Trong khi đó, nếu giải quyết bài toán theo hướng hình
học không gian tổng hợp thông thường thì rất khó. Như vậy, việc giúp học sinh
tiếp cận bài toán bằng nhiều phương pháp khác nhau khi giải bài toán hình học
không gian là hết sức cần thiết. Giáo viên có thể ra số lượng câu hỏi nhiều hơn,
nhằm rèn luyện kỹ năng tính toán cũng như trình bày cho học sinh.
I.2. Thay đổi dữ kiện đáy:
Hướng 1: Ẩn đi điểm D cũ. Thay thế điểm D1 và giữ nguyên các giả thiết ban đầu,
trong đó D1 đối xứng với A qua D. Ta có bài toán sau:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD1 có đáy ABCD1 là hình thang vuông tại A và B

1
AD1 = a 2 . Gọi M, N, D, O lần lượt là trung điểm của
2

SA, SC, AD1, AC. SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), BM vuông góc với DN. Hãy
tính:
1. Thể tích khối chóp S.ABCD1.
2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC; BM và SC.
3. Góc giữa đường thẳng D1N và mặt phẳng (SBC).
4. Góc giữa hai mặt phẳng (BND1) và (SAC).
5. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD1).
6. Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC.
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD1.
Hướng 2: Bỏ đi điểm B, tạo ra đường thẳng mới song song với đường thẳng BM
(vì lúc này không còn điểm B) là OK (với K là trung điểm của DM). Khi đó giả
thỏa mãn: AB = BC =

7


thiết BM vuông góc với DN của bài toán gốc sẽ chuyển thành OK vuông góc với
DN. Ta có bài toán sau:
Bài 2: Cho hình chóp S.ACD có mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Đáy ACD là tam giác vuông cân tại D thỏa mãn

AD = CD = a 2 . Gọi M, N, O, K lần lượt là trung điểm của SA, SC, AC và DM,
biết OK vuông góc với DN. Hãy tính:
1. Thể tích khối chóp S.ACD.
2. Góc giữa hai đường thẳng AD và SC.
3. Góc giữa đường thẳng DM và mặt phẳng (SCD).
4. Góc giữa hai mặt phẳng (CDM) và (SAD).
5. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD).
6. Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC.
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SD.

Tương tự, ta cũng có thể thay đổi đáy ABCD không phải là hình vuông mà
đáy ABCD là hình chữ nhật, hình thoi...Từ đó ta có rất nhiều bài toán khác nhau.
I.3. Thay đổi dữ kiện chiều cao
Trong bài toán gốc, học sinh dễ dàng thấy ngay SO vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), với O là tâm hình vuông ABCD. Bây giờ có thể giữ nguyên giả
thiết đáy, thay đổi hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) bằng cách kéo đỉnh S
di chuyển.
Hướng 1: Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là A ta có bài toán sau:
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD
là hình vuông cạnh a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Biết BM
vuông góc với DN. Hãy tính:
1. Thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC; BM và SC.
3. Góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng (SBC).
4. Góc giữa hai mặt phẳng (BND) và (SAC).
5. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD).
6. Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC.
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD.
Hướng 2: Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là G trọng tâm của tam giác
ABC, ta có bài toán sau:
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 . Gọi G là
8


trọng tâm của tam giác ABC, SG vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của SA, SC. Biết BM vuông góc với DN. Hãy tính:
1. Thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC; BM và SC.
3. Góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng (SBC).
4. Góc giữa hai mặt phẳng (BND) và (SAC).

5. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD).
6. Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC.
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD.
Tương tự, ta có thể thay đổi vị trí hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD)
đến vị trí mình muốn. Từ đó, ta có rất nhiều bài toán khác nhau.
I.4. Thay đổi giả thiết BM vuông góc với DN.
Trong bài toán gốc, giả thiết cho BM vuông góc với DN, chính là cho góc
giữa hai đường thẳng BM và DN bằng 90 0. Ta có thể chọn góc giữa hai đường
thẳng BM và DN là α với α = 300 ,α = 450 , α = 600 ...ta sẽ có nhiều bài toán mới.
Chẳng hạn, chọn α = 600 ta có bài toán sau:
Bài 5: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 . Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Biết BM tạo với DN góc 600. Hãy tính:
1. Thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC; BM và SC.
3. Góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng (SBC).
4. Góc giữa hai mặt phẳng (BND) và (SAC).
5. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAD).
6. Khoảng cách từ M đến đường thẳng SC.
7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD.
I.5. Chuyển giả thiết thành kết luận và ngược lại.
Với các kết quả tính được ở phần câu hỏi bổ sung, ta có thể chuyển thành
giả thiết và giả thiết BM vuông góc với DN thành kết luận, ta có bài toán sau:
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 . AB và
SC tạo với nhau góc α thỏa mãn tanα = 11 .
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Tính góc giữa hai đường thẳng BM và DN
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (BND) và (SAC).
4. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AN và BD.
9

I.6. Lồng khối chóp vào trong khối lăng trụ.
Lồng khối chóp S.ABCD vào trong khối lăng trụ tứ giác với vai trò S như A’. Ta
có bài toán
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2
. Hình chiếu của A’ trùng với tâm O của hình vuông. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AA’, CA’ thỏa mãn BM vuông góc với DN. Hãy tính thể tích khối lăng
trụ.
Với các đề toán mới nêu trên, rõ ràng phương pháp tọa độ hóa phát huy tác
dụng. Vì trên thực tế, việc xác định góc cần tính, khoảng cách cần tính là khó khăn
với đa số học sinh, hơn nữa các em được học trong chương trình hình học lớp 11
nên dường như cũng đã quên nhiều. Vì vậy việc trang bị cho các em kỹ năng giải
bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ là hết sức cần thiết.
II. GIẢI PHÁP 2: HƯỚNG DẪN HỌC SINH THIẾT LẬP HỆ TỌA ĐỘ OXYZ
CHO MỘT SỐ HÌNH CỤ THỂ VÀ CUNG CẤP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

II.1 Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho một số hình cụ thể.
Trong nội dung này chúng tôi đưa ra cho học sinh một số hình thường gặp
trong bài tập: hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp chữ nhật, hình lập phương để các
em tự xây dựng và gắn hệ toạ độ Oxyz một cách thích hợp dưới dạng hoạt động
nhóm sau khi các em học xong bài "Hệ toạ độ trong không gian". Sau đây là nội
dung hoạt động nhóm:
Thiết lập hệ toạ độ trong các hình sau:
II.1.1 Hình chóp:
II.1.1.1 Hình chóp đều
1.1 Hình chóp tam giác đều SABC.

1.2 Hình chóp tứ giác đều SABCD

10


II.1.1.2 Hình chóp có một cạnh bên SA vuông góc với đáy.
2.1. Hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông tại A.

2.2 Hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và tam giác ABC vuông tại B.

2.3 Hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy và ABCD là hình chữ nhật

2.4 Hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy và ABCD là hình thoi

11


II.1.2 Hình lăng trụ:
II.1.2.1. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
1.1. Đáy là tam giác ABC vuông tại A

1.2. Đáy là tam giác ABC cân tại A

II.1.2.2 Lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’.
2.1. Đáy ABCD là hình chữ nhật ( Khi đó lăng trụ trở thành hình hộp chữ nhật)

12


2.2. Đáy ABCD là hình thoi

Trong quá trình giảng dạy, chúng tôi thấy rằng, trước đây khi dạy bài "Hệ

toạ độ trong không gian" chúng tôi chưa chý ý đến việc khai thác định nghĩa về hệ
trục toạ độ trong không gian, chưa đưa các ví dụ vào trong bài giảng thì hầu hết
các em không biết gắn hệ toạ độ vào trong các hình, chỉ một số ít các em khá giỏi
phát hiện cách thiết lập hệ toạ độ Oxyz trong một số hình đơn giản như: tam diện
vuông, hình lập phương.
Sau khi nghiên cứu, đổi mới phương pháp trong quá trình truyền thụ kiến
thức. Đó là: Phân tích định nghĩa, đưa lồng ví dụ vào bài giảng lý thuyết chúng tôi
thấy hiệu quả đạt được khá rõ rệt. 100% học sinh nhận biết và phát hiện được cách
thiết lập hệ toạ độ trong hình đơn giản: tam diện vuông, hình lập phương (kể cả đối
tượng là học sinh trung bình, yếu) các em khá và giỏi thì đưa ra được nhiều
phương án thiết lập hệ toạ độ trong một số hình phức tạp hơn. Chẳng hạn:
VD1: Hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy và ∆ ABC vuông tại B.
Phương án 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
z
Gốc O ≡ A
S
Tia Ox ≡ Tia At, At // BC
Oy ≡
AB
B
O A
Oz ≡
AS
y
x

Phương án 2: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
Gốc O ≡ B
Tia Ox ≡ Tia BA
Oy ≡

BC
Oz ≡
Bt, Bt // AS

t

C

S
x

t
B

A
C
y

VD2: Hình lăng trụ đứng đáy là tam giác cân tại A

13

z

O


Phương án 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
Gốc O ≡ M, M là trung điểm BC
Tia Ox ≡ Tia MA

x
Oy ≡
MB
Oz ≡
MM' (MM' // AA')

Phương án 2: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ.
Gốc O ≡ A
Tia Ox ≡ Tia At, At // CB
Oy ≡
AM, M là trung điểm BC
Oz ≡
AA'

z

A'

C'

B' M'

A

C
M
O
B

y

z
A'

C'
B'

A O

C

M

x

y

t

B

Khi thiết lập hệ toạ độ cho các hình giáo viên cần nhấn mạnh: Dựa trên đặc
tính hình học của hình cụ thể và dựa trên nguyên tắc sau:
● Xuất phát từ một điểm kẻ ra 3 tia đôi một vuông góc thì ta thường chọn điểm đó
làm gốc O, 3 tia đôi một vuông góc đóng vai trò tia Ox, Oy, Oz.
● Xuất phát từ một điểm kẻ ra 2 tia vuông góc với nhau thì khi đó ta thiết lập một
mặt của hệ trục chứa góc vuông đó.
● Khai thác tốt các quan hệ song song và quan hệ vuông góc trong hình học không
gian và trong hình học phẳng.
● Trong một hình có nhiều phương án thiết lập hệ toạ độ thì nên chọn phương án
sao cho việc đọc toạ độ các đỉnh, điểm liên quan là đơn giản, thuận lợi trong quá

trình tính toán.
II.2. Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp.
Sau đây là một số hình chóp thường gặp trong quá trình làm bài tập và
phương án thiết lập hệ toạ độ tương ứng.
2.1. Hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy, đáy là ∆ ABC vuông tại A.
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
S

z
S O
A

A O

C
y
B

y

x
D

14
x

B

C

2.2. Hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy, đáy là ∆ ABC vuông tại B.
(đã trình bày ở VD1)
2.3. Hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy, đáy là ∆ ABC cân tại A.
S
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
z

C

A

O

y

B
x

2.4. Hình chóp đều SABC
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

S

z

y

O

C

B

G
z

2.5. Hình chóp đều SABCD
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

A
x

S

A
O
B

D

y

C
x

2.6. Hình chóp SABCD có SA vuông góc với đáy và đáy ABCD là hình chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Với các dạng khác, giáo viên hướng dẫn học sinh cần linh hoạt trong quá
trình thiết lập hệ toạ độ. Ngoài ra, trong các hình trên có thể có nhiều hình có
15


những phương án thiết lập hệ toạ độ khác nhau, giáo viên nên phân tích hướng các
em vào phương án tốt nhất.
II.3. Thiết lập hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ.
Tương tự, phần hình chóp, trong quá trình làm bài tập ta cũng thường gặp.
3.1 Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là ∆ ABC vuông tại A.
z A'
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
C'
B'

A

y

O
C

B
x

3.2 Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là ∆ ABC cân tại A.
(đã trình bày ở VD2)
3.3 Lăng trụ đứng ABCD.A'B'CD’' có đáy ABCD là hình chữ nhật (còn gọi là
hình hộp chữ nhật).
A' z

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
D'
C'

B'
A O

D

B

y
C

x

Cách chọn tương tự nếu ABCD.A'B'C'D’ trở thành hình lập phương.
3.4 Lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D’ có đáy ABCD là hình thoi.
D'
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
C'

A'
B'

D
y
O

A
x

C

B

Với các hình lăng trụ khác, giáo viên hướng dẫn học sinh dựa trên đường
cao và tính chất của đa giác đáy để thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp.
Để giải được các bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
giáo viên cần hướng dẫn học sinh chọn hệ trục toạ độ thích hợp. Lập toạ độ các
đỉnh, điểm liên quan, dựa vào hệ trục toạ độ đó, chọn và tính độ dài cạnh của hình.
Bài toán đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ
vuông góc. Giáo viên đưa ra phương pháp giải toán.
16


Phương pháp:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, chú ý đến vị trí của gốc O.
Bước 2: Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định toạ độ của điểm, phương trình
của đường và mặt cần thiết trong hệ trục toạ độ ấy. Để xác định tọa độ của điểm M
trong không gian ta làm như sau:
• Xác định M1, M2, M3 lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz.
• Tìm độ dài đại số của OM1, OM2, OM3 là x, y, z
• Khi đó M ( x; y; z )
Bước 3: Chuyển các tính chất hình học trong giả thiết hoặc kết luận của bài toán
sang tính chất đại số và giải tích, đưa bài toán về bài toán đại số, giải tích. Sử dụng
các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán.
Các dạng toán thường gặp: Tính các yếu tố sau:
• Thể tích khối đa diện.

• Diện tích thiết diện.
• Góc giữa hai đường thẳng.
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
• Góc giữa hai mặt phẳng.
• Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
III. GIẢI PHÁP 3: HỆ THỐNG KIẾN THỨC HÌNH HỌC LIÊN QUAN

III.1. Cung cấp lý thuyết về quan hệ vuông góc, góc và khoảng cách
III.1.1. Một số tính chất của quan hệ vuông góc thường dùng:
a ⊥ c
⇒a⊥b
b // c

a ⊥ ( P )
⇒a⊥b
b ⊂ ( P )

•

•

b //( P )
⇒a⊥b
•
a ⊥ ( P )

a ⊥ b; a ⊥ c


⇒ a ⊥ ( P)
• b ∩ c = I
b ⊂ ( P ); b ⊂ ( P )


(Q) ⊥ ( P ); ( R ) ⊥ ( P )
⇒ a ⊥ ( P)
•
(Q) ∩ ( R ) = a

( P ) ⊥ (Q)

• ( P) ∩ (Q) = ∆ ⇒ a ⊥ ( P)
a ⊂ (Q); a ⊥ ∆


• a ⊥( P); b ⊂ ( P) : b ⊥ a ⇔ b ⊥ a' (a' là hình chiếu của a trên (P))
b ⊥ ( P )
⇒ a ⊥ ( P)
b // a

(Q) //( P )
⇒ a ⊥ ( P)
 a ⊥ (Q )

•

•

III.1.2. Góc giữa hai đường thẳng.

17


Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua
một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.
III.1.3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
a) Định nghĩa: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó góc
giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và đường thẳng a’,
trong đó a’ là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng (P).
b) Phương pháp xác định:
• Xác định hình chiếu vuông góc a’ của đường thẳng a trên (P): Thông thường ta
tìm giao điểm I của đường thẳng a và mặt phẳng (P). Sau đó chọn điểm M trên
đường thẳng a (không trùng với I) và xác định MH ⊥ (P), H∈ (P). Khi đó a’ chính
là đường thẳng đi qua I và H.
• Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và đường
·
thẳng a’. Chính là góc MIH
.

III.1.4. Góc giữa hai mặt phẳng
a) Định nghĩa: Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là góc giữa hai đường
thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
b) Phương pháp xác định:
Cách 1: Sử dụng định nghĩa.
Cách 2:
• Tìm giao tuyến d của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q).
• Chọn mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến d.
• Xác định giao tuyến a và b của mặt phẳng (R) với hai mặt phẳng (P) và (Q).
• Khi đó góc giữa (P) và (Q) chính là góc giữa a và b.
III.1.5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

d(M;d) = MH (H là hình chiếu của M trên d).
III.1.6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

d(M;(P)) = MH (H là hình chiếu của M trên (P)).

18


Cách 1: Tính trực tiếp

Bước 1:
• Dựng H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P):
• Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với (P).
• Tìm giao tuyến của (P) và (Q) là d.
• Trong mặt phẳng (Q), dựng MH vuông góc với d tại H.
• Suy ra MH vuông góc với (P) tại H.
• Vậy H là hình chiếu của M trên (P).
Bước 2: Tính MH.
Bước 3: Kết luận: d(M;(P)) = MH.
Trong cách này mấu chốt để giải quyết bài toán là phải dựng được mặt
phẳng (Q) đi qua M và vuông góc với (P). Như vậy để dựng được mặt phẳng (Q),
ta làm như sau:
• Dựng một đường thẳng a đi qua M và vuông góc với đường thẳng ∆ nằm trong
(Q).
• Từ một điểm bất kì trên đường thẳng a, dựng đường thẳng b vuông góc với
đường thẳng ∆ .
• Khi đó (P) = (a; b).
Chú ý:
• Nếu đã có sẵn đường thẳng d vuông góc với (P) thì để dựng H là hình chiếu của
M trên (P), ta chỉ cần dựng đường thẳng ∆ đi qua M và song song với d, giao điểm

của ∆ với (P) là hình chiếu của M trên (P).
• Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
• Nếu hình chóp có các mặt bên tạo với với đáy các góc bằng nhau và hình chiếu
của đỉnh hình chóp trên mặt đáy thuộc miền trong đa giác đáy thì hình chiếu của
đỉnh trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
19


Cách 2: Tính gián tiếp
Áp dụng trong trường hợp việc dựng hình chiếu của M trên (P) gặp khó khăn, thì
ta dựa vào một số chú ý sau:
• Tìm một điểm N có thể tính được khoảng cách đến (P) một cách dễ dàng.
• Tính d(N;(P)).
• Xét vị trí tương đối của MN và (P)

Nếu MN//(P) thì d(M;(P)) = d(N;(P))
d ( M ; ( P ))

IM

Nếu MN ∩ (P) = I thì d ( N ; ( P)) = IN ;
• Tính tỉ số

IM
để suy ra khoảng cách từ M đến (P)
IN

Chú ý: Đối với phương pháp này mấu chốt vấn đề là ta phải tìm ra được điểm N có
thể dựng được hình chiếu của điểm N trên mặt phẳng (P) một cách dễ dàng. Vì

vậy, ta cần chú ý:
• Chọn điểm N nằm trên mặt phẳng vuông góc với (P), (hoặc qua N có thể dễ dàng
dựng được mặt phẳng vuông góc với (P)), đồng thời vị trí tương đối của MN với
(P) dễ xác định.

20


Cách 3:Chuyển bài toán tính khoảng cách tính d(M;(P)) về bài toán tính đường cao
của một tứ diện đều hoặc đường cao của hình chóp đều hoặc đường cao hạ từ đỉnh
góc vuông của một tứ diện vuông.
Giả sử (P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
TH1: MABC là tứ diện vuông tại M thì d(M;(P)) = h, với h được xác định bởi
1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
h
MA
MB
MC 2

TH2: MABC là tứ diện đều cạnh a thì khoảng cách từ một đỉnh xuống mặt đối diện
bằng nhau và bằng

a 6
.
3

TH3: NABC là tứ diện vuông tại N (hoặc tứ diện đều). Tính d(N;(P)). Dựa vào vị
trí tương đối của MN với (P) để suy ra d(M;(P)).
III.1.7. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Ta có a//(P) thì d(a;(P)) = d(M;(P)) với M là điểm bất kì trên a.
III.1.8.Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :

(P)//(Q) thì d((P);(Q)) = d(M;(Q)) với M là điểm bất kì trên (P)
hoặc d((P);(Q)) = d(N;(P)) với N là điểm bất kì trên (Q).
III.1.9. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
a) Bài toán:
Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau thì luôn tồn tại duy nhất một đường thẳng
vuông góc và cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A và B.
Đường thẳng đó gọi là đường vuông góc chung của a và b.
Đoạn thẳng AB gọi là đoạn vuông góc chung của a, b.

b) Phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
• d(a;b) = AB với AB là đoạn vuông góc chung của a và b.
21


• d(a;b) = d(a;(P)) với (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và (P) song song với a.
• d(a;b) = d((Q);(P)) với (Q), (P) là hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai
đường thẳng a, b.
III.1.10. Công thức tính thể tích khối đa diện
• Thể tích khối chóp có diện tích đáy S, đường cao h là:

1
V = S .h
3

• Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S, đường cao h là:
V = S .h

III.2. Kiến thức cơ bản cần thiết về tọa độ trong không gian
III.2.1- Định nghĩa hệ trục toạ độ trong không gian.
Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục toạ độ vuông góc
trong không gian.
Trên các trục Ox, Oy, Oz ta gọi các vectơ đơn vị lần lượt là i, j, k .
●

Kí hiệu Oxyz hoặc (O, i, j , k )

Ox: Trục hoành
● Oy: Trục tung
● Oz: Trục cao
● (Oxy), (Oyz), (Ozx): Mặt phẳng toạ độ
● O: Gốc toạ độ
III.2.2. Củng cố kiến thức sách giáo khoa.
Giáo viên nhắc lại: Tất cả các định nghĩa, tính chất liên quan đến toạ độ của
vectơ, toạ độ của điểm, liên hệ giữa toạ độ của vectơ và toạ độ hai điểm mút. Tích vô
hướng, tích có hướng của hai vectơ và ứng dụng. Lý thuyết liên quan đến phương trình
đường thẳng, phương trình mặt phẳng. Các công thức tính góc, khoảng cách.
Sau đây là một số kiến thức cơ bản cần nhắc lại, giáo viên yêu cầu học sinh
ghi nhớ.
●

uuur

1. AB = ( xB − x A ; y B − y A ; yB − y A )
2. AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2
3. Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là
 x + xB y A + y B z A + z B 
M A
;
;
÷
2
2 
 2

4. Toạ độ trọng tâm G của ∆ ABC là
22


 x + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC 
G A
;
;
÷
3
3
3



5. Toạ độ trọng tâm G1 của tứ diện ABCD là

 x + xB + xC + xD y A + yB + yC + yD z A + z B + zC + z D 
G1  A
;
;
÷
4
4
4



6. a ⊥ b ⇔ a.b = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0)

[ ]

7. a cùng phương b ≠ 0 ⇔ a = k b (k ∈ R) (hoặc a, b = 0 )
8. cos( a,b) =

a.b
a .b

9. Tính diện tích tam giác
S ∆ABC =

1
2

uuur uuur
 AB, AC 




10. Tính thể tích tứ diện
VABCD =

1
6

uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD



11. Tính thể tích khối hộp
uuur uuur uuur
VABCD. A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  . AA '

12. Tính góc giữa hai đường thẳng.
ur

r

Giả sử d1 có vectơ chỉ phương u1 ( x1 ; y1 ; z1 ) ≠ 0
uur

r

d2 có vectơ chỉ phương u2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ≠ 0

Góc giữa 2 đường thẳng d1, d2 là α được tính:

cos α =

x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
x12 + y12 + z12 . x 22 + y 22 + z 22

13. Tính góc giữa hai mặt phẳng

ur

r

Giả sử (P1) có vectơ pháp tuyến n1 ( x1 ; y1; z1 ) ≠ 0
uur

r

(P2) có vectơ pháp tuyến n2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ≠ 0

Góc giữa 2 mặt phẳng (P1), (P2) là β được tính:
cos β =

x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
x12 + y12 + z12 . x 22 + y 22 + z 22

14. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
r

r

Giả sử (d) có vectơ chỉ phương u ( x1; y1 ; z1 ) ≠ 0

r

r

(P) có vectơ pháp tuyến n( x2 ; y2 ; z2 ) ≠ 0
23


Góc giữa (d) và (P) là γ được tính
sin γ =

x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
x12 + y12 + z12 . x 22 + y 22 + z 22

(0 0 ≤ γ ≤ 90 0 )

15. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian, cho (P): Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 +C2 ≠ 0) và điểm
M (x0; y0; z0) thì ta có khoảng cách từ M đến (P) là:
d(M, (P)) =

Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
A2 + B 2 + C 2

16. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Trong không gian, cho đường thẳng d đi qua M0
có vectơ chỉ phương u
và điểm M. Ta có khoảng cách từ M đến đường thẳng d là
d(M,d) =

[M M , u ]
0

u

17. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Trong không gian, cho 2 đường thẳng chéo nhau d1, d2.
d1 đi qua M1
;
d2 đi qua M2
có vectơ chỉ phương u1

có vectơ chỉ phương u 2

Ta có khoảng cách giữa d1 và d2 là:
ur uur uuuuuuur
u1 , u2 ×M 1M 2


ur uur
d(d1,d2) =
u1 , u2 



IV. GIẢI PHÁP 4: HỆ THỐNG BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt
phẳng (ABCD), AB = a; SC lần lượt tạo với (SAB) và (SAD) các góc 45o ;30o
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

2. Tính khoảng cách từ C đến (SBD).
3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Hướng dẫn

24


1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu hỏi gợi mở

Yêu cầu đạt được

H1. Hình chóp có đặc điểm gì?

Đ1. SA ⊥ ( ABCD) ; ABCD là hình chữ
nhật

H2. Để tính VS . ABCD cần tính?

Đ2. SA, AD

H3. Căn cứ vào đâu để tính SA, AD

Đ3. SC lần lượt tạo với (SAB) và
(SAD) các góc 45o ;30o

· SAB)) ; ( SC
· ,( SAD)) xác
H4. ( SC ,(
như thế nào?

định Đ4. Dựng hình chiếu của SC trên
(SAB); (SAD) lần lượt là B, D
· ,( SAB ) = B
· SC = 45o
⇒ ( SC
· ,( SAD) = CSD
·
( SC
= 30o

H5. Tính SA; AD

Đ5. Trong tam giác SCD tính được SD, SC.
Trong tam giác SBC tính được SB, BC.
Trong tam giác SAB tính được SA.

Dựa vào việc tìm hiểu bài toán như trên dễ dàng tính được VS . ABCD .
2. Tính khoảng cách từ C đến (SBD).
Câu hỏi gợi mở

Yêu cầu đạt được

H1. Để tính khoảng cách từ C đến Đ1. Dựng hình chiếu của C trên mặt
(SBD) ta phải làm thế nào?
(SBD)
H2. Việc làm đó có dễ không?

Đ2. Không
25