Hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015 Đề tiên tri 

    
 

    
 

     

    

Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015 – ĐỀ TIÊN TRI
Môn thi: TOÁN; Đề số 01 – GV: Đặng Việt Hùng
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

VIDEO và LỜI GIẢI CHI TIẾT chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1 (2,0 điểm).
Gọi A(a ; 2a 3 − 3a 2 + 1) , B(b; 2b3 − 3b 2 + 1) . Ta có I ( 0; − 2 ) là trung điểm của AB nên

a + b = 0
b = −a
b = −a
b = − a
⇔ 3
⇔ 3
⇔
⇔
2
3
2
2
3
2
2
 a = ±1
2a − 3a + 1 + 2b − 3b + 1 = −4
2a − 3a + 1 − 2a − 3a + 1 = −4
 −6 a = −6

• Với a = 1 ⇒ A(1; 0) , B (−1; − 4)
• Với a = −1 ⇒ A(−1; − 4) , B (1;0)
Câu 2 (1,0 điểm).
π
α
 α + 2015π 
 α + 2016π − π 
α
α π
a) Ta có P = tan 
 = tan 
 = tan  + 1008π −  = tan  −  = − cot
2
2
2
2




2
2 2
Vì 0 < α < π. nên cos

α
2

≠ 0 ta có

α

α
α
2 sin cos
cos 2
2
2 +2
2 − 1 = cot α . 1
α
α
α
α
2
sin 2
sin 2
sin 2
sin 2
2
2
2
2
 α
cot 2 = 1
α
α
α
α
α
α
α
α





2
2
2
3
2
⇔ 2 cot + 2 cot
− 1 + cot  = cot 1 + cot  ⇔ cot − cot
− cot + 1 = 0 ⇔ 
2
2 
2
2
2
2
2
2
cot α = −1( loai )

2
α
⇒ P = − cot = −1
2
α
α
α
α

α
sin α + cos α = cot ⇔ 2sin cos + 2 cos 2 − 1 = cot ⇔
2
2
2
2
2

b) Gọi số phức là z = a + bi ⇒ z = a − bi

(

)

Ta có: z.z + 3 z − z = 5 + 12i ⇔ ( a + bi )( a − bi ) + 3 ( a + bi ) − ( a − bi )  = 5 + 12i

a 2 + b 2 = 5
a = 1
⇔ a + b + 6bi = 5 + 12i ⇔ 
⇔
⇒ a = 1 + 2i
b = 2
6b = 12
2

2

Ta có: w = 1 − z + iz = 1 − (1 + 2i ) + i (1 + 2i ) = 1 − 1 − 2i + i − 2 = −2 − i
Vậy số phức có phần thực là −2 , phần ảo là −1

Câu 3 (0,5 điểm).
Ta có: y ' = tan x +

x
= tan x + x (1 + tan 2 x ) = x tan 2 x + tan x + x
2
cos x

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

2 tan x
1
+
+ 1 = tan 2 x + 2 x tan x (1 + tan 2 x ) + tan 2 x + 1 + 1
2
2
cos x cos x
3
= 2 x tan x + 2 x tan x + 2 tan 2 x + 2
y '' = tan 2 x + x

⇒ x 2 . y ''− 2 ( x 2 + y 2 ) (1 + y ) = x 2 = x 2 ( 2 x tan 3 x + 2 x tan x + 2 tan 2 x + 2 ) − 2 ( x 2 + x 2 tan 2 x ) (1 + x tan x )
2 x 3 tan 3 x + 2 x 3 tan x + 2 x 2 tan 2 x + 2 x 2 − 2 x 2 − 2 x 3 tan x − 2 x 2 tan 2 x − 2 x3 tan 3 x = 0

Câu 4 (1,0 điểm).

1

Do M là trung điểm của AB ⇒ M 1;1;  ⇒ d ( M , ( P ) ) =
2


1
1 − 2.1 + 2. + 1
2
12 + 22 + 22

=

1
3

Ta có: AB = ( 0;0;3)
∆ vuông góc với AB và song song với ( P ) ⇒ u∆ =  AB, nP  = ( 6;3;0 )

 x = −1 + 6t

Mà ∆ qua C ( −1; 2; −2 ) ⇒ ∆ :  y = 2 + 3t
 z = −2

Câu 5 (1,0 điểm).
ln 2

Ta có: I =

∫
0

ln 2

I1 =

ln 2

∫ xe dx = ∫ xde
x

0

∫e

∫

= xe

ln 2

xe x dx +

0

−

x
0

e − 1dx =
x

∫ e dx = xe
0

0

∫

e − 1de =

0

⇒ I = I1 + I 2 = 2 ln 2 − 1 +

x

e x − 1dx = I1 + I 2

ln 2

ln 2

−e

x
0

ln 2
x

x

0

x

ln 2
x

∫e

ln 2

ln 2
x

0

ln 2

I2 =

)

(

ln 2

e x x + e x − 1 dx =

∫
0

x

= 2 ln 2 − ( 2 − 1) = 2 ln 2 − 1

0

2
e − 1d ( e − 1) =
3
x

x

(e

x

− 1)

3

ln 2

=

0

2
3

2
1
= l = 2 ln 2 −
3
3

Câu 6 (1,0 điểm).

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

Gọi N là trung điểm của AC ta có: AN = a 2
2a 10
BN = AB 2 + AN 2 = a 10 ⇒ BG =
.
3
2a 30
.
Khi đó SG = BG tan 600 =
3
1

8a 3 30
Do đó: VS . ABC = SG.S ABC =
.
3
9
Ta có: d ( C ; ( SAB ) ) = 3d ( G; ( SAB ) ) . Dựng

GM ⊥ AB và GK ⊥ SM khi đó GK ⊥ ( SAB ) .

1
1
1
=
+
trong đó
2
2
GK
SG GM 2
2
2a 2
a 30
GM = AN =
⇒ GK =
3
3
6

Lại có:

Đáp số: V =

8a 3 30
a 30
;d =
.
9
6

Câu 7 (1,0 điểm).
Gọi ( C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 (đk: a 2 + b 2 − c > 0)

5 − 2a − 4b + c = 0
b = 5 − a
 A (1; 2 ) ∈ ( C )
Ta có 
⇔
⇒
.Vậy I ( a; − a + 5 )
25 − 6a − 8b + c = 0 c = 15 − 2a
 B ( 3; 4 ) ∈ ( C )
bán kính R = a 2 + ( 5 − a ) − (15 − 2a ) = 2 ( a 2 − 4a + 5 )
2

MAN = 600 suy ra MIN = 1200 ⇒ I MN = I NM = 300 hạ IH ⊥ ( d ) ⇒ IH = d ( I , d ) =

1
R
2

1
2 ( a 2 − 4a + 5 ) ⇔ a 2 − 4a + 3 = 0 ⇒ a = 1 ∨ a = 3
2
• Khi a = 1 ta có đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 2 x − 8 y + 13 = 0 ( loại do I , A khác phía đường thẳng d )

⇔ 2−a =

• Khi a = 3 ⇒ ( C ) : x 2 + y 2 − 6 x − 4 y + 9 = 0 ⇔ ( C ) : ( x − 3) + ( y − 2 ) = 4 (t/ mãn)
2

2

Câu 8 (1,0 điểm).
Điều kiện x ≥ −2 .
Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình
(5 x 2 − 5 x + 10) x + 7 − 3 + (2 x + 6) x + 2 − 2 + 3(5 x 2 − 5 x + 10) + 2(2 x + 6) ≥ x 3 + 13x 2 − 6 x + 32

(

⇔ (5 x 2 − 5 x + 10)

(

)

)

(

x + 7 − 3 + (2 x + 6)

(

)

)

x + 2 − 2 − x 3 + 2 x 2 − 5 x + 10 ≥ 0

 5 x 2 − 5 x + 10
⇔ ( x − 2) 
+
x
+
7
+
3



2x + 6
− x 2 − 5  ≥ 0 (*)
x+2 +2

1
1
2x + 6
2x + 6
Do x ≥ −2 ⇒ x + 2 + 2 ≥ 2 ⇒
≤ và vì 2 x + 6 > 0 ⇒

≤
= x + 3 (1)
2
x+2 +2 2
x+2+2
1
1
< và vì 5 x 2 − 5 x + 10 > 0 ∀x ∈ ℝ
Do x ≥ −2 ⇒ x + 7 + 3 ≥ 5 + 3 > 5 ⇒
x+7 +3 5

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

Facebook: Lyhung95

5 x 2 − 5 x + 10 5 x 2 − 5 x + 10
5 x 2 − 5 x + 10 2
<
= x2 − x + 2 ⇒
− x − 5 < − x − 3 (2)
5
x+7 +3
x+7 +3
5 x 2 − 5 x + 10
2x + 6
Từ (1) và (2) ⇒
+

− x 2 − 5 < 0 . Do đó (*) ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2
x+7 +3
x+2+2
Kết hợp điều kiện x ≥ −2 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 .
⇒

Câu 9 (0,5 điểm).
Cách 1. Phân chia từng trường hợp rõ ràng
Gọi A là biến cố : “ Học sinh làm bài thi được ít nhất 3 câu hỏi ”.
Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời nên xác suất để làm đúng 1 câu là

1
và xác suất để làm sai 1 câu là
4

3
.
4

•

TH1. Học sinh đó làm đúng 3 câu hỏi ⇒ học sinh đó sẽ làm sai 2 câu hỏi.

Chọn 3 câu hỏi từ 5 câu hỏi có C53 cách.

 1 1 1   3 3  45
Do đó xác suất cần tìm trong trường hợp này là P1 = C53 .  . .  .  .  =
.
 4 4 4   4 4  512
•

TH2. Học sinh đó làm đúng 4 câu hỏi ⇒ học sinh đó sẽ làm sai 1 câu hỏi.

Chọn 4 câu hỏi từ 5 câu hỏi có C54 cách.
 1 1 1 1   3  15
Do đó xác suất cần tìm trong trường hợp này là P2 = C54 .  . . .  .   =
.
 4 4 4 4   4  1024
•

TH3. Học sinh đó làm đúng 5 câu hỏi ⇒ học sinh đó sẽ làm sai 0 câu hỏi.

Chọn 5 câu hỏi từ 5 câu hỏi có C55 cách.
0

1
1 1 1 1 1 3
.
Do đó xác suất cần tìm trong trường hợp này là P3 = C .  . . . .  .   =
 4 4 4 4 4   4  1024
5
5

Theo quy tắc cộng xác suất ta được xác suất cần tìm là P ( A ) =

Đ/s: P ( A ) =

45
15
1

53
+
+
=
.
512 1024 1024 512

53
.
512

Cách 2. Phương pháp gán biến số
Gọi A là biến cố : “ Học sinh làm bài thi được ít nhất 3 câu hỏi ”.
Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời nên xác suất để làm đúng 1 câu là

1
và xác suất để làm sai 1 câu là
4

3
.
4
Gọi số câu hỏi học sinh đó làm đúng là i với i ∈ {3; 4;5} .
Học sinh này làm đúng i câu hỏi nên sẽ làm sai 5 − i câu hỏi.
Chọn i câu hỏi từ 5 câu hỏi có C5i cách.
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!


Khóa học LUYỆN ĐỀ ĐẶC BIỆT 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]

1
Do đó xác suất để học sinh làm đúng i câu hỏi là Pi = C .  
4

i

i
5

3
. 
4

Facebook: Lyhung95

5 −i

.

Ứng với i ∈ {3; 4;5} theo quy tắc cộng xác suất ta có xác suất cần tìm là
1
P ( A ) = P3 + P4 + P5 = C53 .  
4

3

2

3
1

.   + C54 .  
4
4

4

3
1
.   + C55 .  
4
4

5

0

53
3
.  =
.
 4  512

Câu 10 (1,0 điểm).
Ta có ( x + y ) − 4 xy = ( x − y ) ≥ 0 ⇒ ( x + y ) ≥ 4 xy > 0
2

⇒P≥

Đặt

2

2( x + y)
z2 + ( x + y )

2

+

3z

2

2

z + ( x + y)
2

2

=

2.

x+ y
z

 x+ y
1+ 


 z 

2

+

3

 x+ y
1+ 

 z 

2

.

2t
3
x+ y
= t (t > 0) ⇒ P ≥
+
= f (t ).
2
z
1+ t2
1+ t

 x + y 1+1
t = z ≥ 2 = 1

⇒ 1 ≤ t ≤ 4 ⇒ t ∈ [1; 4] .
Với x, y, z ∈ [1; 2] ⇒ 
x
+
y
2
+
2
t =
≤
=4

z
1
Xét hàm số f ( t ) =

f '(t ) =

2t
1+ t

2

2 1 + t 2 − 2t.
1+ t2

Với t ∈ (1; 4 ) ⇒ f ' ( t ) <

+

3
với t ∈ [1; 4] có
1+ t2
t

1+ t2 −

(1 + t 2 )

2 t 2 + t 2 − 6t

(1 + t

)

2 2

3

=

.2t =
2

2 (1 + t 2 ) − 2t 2

(1 + t 2 ) 1 + t 2

2 2t − 6t

(1 + t 2 )

2

−

6t

(1 + t 2 )

2

=

2 1 + t 2 − 6t

(1 + t 2 )

2

.

< 0 ⇒ f ' ( t ) < 0, ∀t ∈ (1; 4 ) .

Kết hợp với f ( t ) liên tục trên đoạn [1; 4] ⇒ f ( t ) nghịch biến trên đoạn [1; 4]
⇒ f (t ) ≥ f ( 4) =
Vậy Pmin =

3 + 8 17
3 + 8 17

⇒P≥
. Dấu " = " xảy ra ⇔ t = 4 hay x = y = 2; z = 1.
17
17

3 + 8 17
đạt được ⇔ x = y = 2; z = 1.
17

ĐÓN ĐỢI ĐỀ TIÊN TRI SỐ 2 NHÉ CÁC EM! CHÚC CÁC EM HỌC TỐT!

Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!