Luận văn tập hút TOÀN cục với PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES TRÊN MIỀN KHÔNG bị CHẶN latex

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————————————–

NGUYỄN TRUNG THÀNH

TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————

NGUYỄN TRUNG THÀNH

TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES
TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. CUNG THẾ ANH

THANH HÓA, 2015


Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số . . .
ngày . . . tháng . . . năm . . . của Hiệu trưởng Trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội:

Xác nhận của người hướng dẫn
Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của hội đồng

Ngày

tháng

năm 2015

(ký ghi rõ họ tên)

Sở hữu file LaTeX của tài liệu, liên hệ email:


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn,
luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Nguyễn Trung Thành

ii

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự
hướng dẫn của Thầy PGS.TS. Cung Thế Anh. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới sự chỉ dạy của Thầy. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã
giảng dạy tôi và cảm ơn tất cả bạn bè vì sự giúp đỡ chân tình của mọi người.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội đã giúp đỡ về mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn này.
Thanh Hóa, tháng 9 năm 2015

Nguyễn Trung Thành


iii

LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
CÁC KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Hệ động lực và tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Chương 2 : TẬP HÚT TOÀN CỤC VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER STOKES
TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1. Phương trình Navier - Stokes trên miền không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Số chiều của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


iv

CÁC KÝ HIỆU
Trong toàn bộ luận văn trừ các trường hợp đặc biệt được nói rõ ở mỗi mục, còn
lại sử dụng các ký hiệu sau:
∇u
∆u

∂u
∂u
, ...,
)
∂ x1
∂ xn
n ∂ 2u
= ∑
2
i=1 ∂ xi

=(

H −1 (Ω) là không gian đối ngẫu của H01 (Ω)
L p (Ω)

là không gian đối ngẫu của L p (Ω)

V

là không gian đối ngẫu của V

R

là tập hợp các số thực.

R+

:= [0, ∞) là tập hợp các số thực không âm.


1

MỞ ĐẦU

Tập hút toàn cục đối với phương trình Navier-Stokes hai chiều được nghiên
cứu đầu tiên trên miền bị chặn bởi Ladyzhenskaya [1],và Foias và
Temam [2]. Số chiều hữu hạn của tập hút toàn cục đã được chỉ ra theo
nghĩa Hausdorff. Đối với miền không bị chặn, nó được nghiên cứu bởi
Abergel [3] và Babin [4], nhưng yếu tố cưỡng bức được yêu cầu nằm
trong một không gian trọng thích hợp. Tuy nhiên, việc ước lượng số
chiều của tập hút toàn cục trong trường hợp này không phụ thuộc vào
chuẩn của yếu tố cưỡng bức trong không gian trọng. Đó là lý do để ta
hy vọng tồn tại tập hút toàn cục trong trường hợp tổng quát hơn và cũng
là mục đích của bản luận văn rằng chỉ ra ” Tập hút toàn cục tồn tại đối
với các yếu tố cưỡng bức tổng quát hơn của phương trình Navier Stokes hai chiều, hơn nữa, nó nằm trong không gian đối ngẫu V ”. Tính
hữu hạn chiều của tập hút và ước lượng của nó trong trường hợp này

cũng đã được nghiên cứu. Một yêu cầu khác trong kết quả của Abergel
[3,5] và Babin [4] là tính trơn của biên đối với miền xác định. Điều này
sẽ không được yêu cầu và miền xác định trong trường hợp của ta có thể
là tập mở tùy ý miền rằng bất đẳng thức Poincare được thỏa mãn.Ngoài
ra, khi xem xét sự tồn tại của tập hút toàn cục, chúng ta cần chỉ ra tính
compact tiệm cận cái mà thông thường chúng ta nhận được bởi tính
chính quy của phương trình ban đầu và phép nhúng compact trong
không gian Sobolev. Hướng tiếp cận này chỉ phù hợp cho miền bị chặn
vì phép nhúng không còn compact nữa đối với miền không bị chặn.
Một giải pháp đã được áp dụng để xử lý vấn đề là ta xem xét các không
gian trọng, nhưng nhược điểm của nó yếu tố cưỡng bức , ngay cả điều
kiện ban đầu, phải được hạn chế đối với các không gian trọng. Mục
đích của chúng ta trong bài này là tránh nhược điểm này bằng cách xem
xét phương trình năng lượng phù hợp để nhận được tính compact tiệm
cận đối với nửa nhóm sinh bởi bài toán giá trị biên ban đầu.
Luận văn này gồm ba phần chính. Phần 3 ” Phương trình Navier - Stokes trên


2

miền không bị chặn” tập trung vào việc xây dựng bài toán, sự tồn tại và
duy nhất nghiệm của bài toán và nửa nhóm liên tục. Phần 4 ” Tập hút
toàn cục” xoay quanh việc chỉ ra sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa
nhóm liên tục. Phần 5 ” Số chiều của tập hút toàn cục” nhằm đánh giá
số chiều fractal của tập hút toàn cục được chỉ ra ở phần trước. Cuối
cùng, tôi xin liệt kê tất cả các tài liệu tôi đã sử dụng cho luận văn này.


3

Chương 1 : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian L2 (Ω)

Trong phần này chúng ta sẽ xem xét lại một số kiến thức cơ bản của không
gian L2 (Ω).
Định nghĩa 1.1.1. ([7])
i) Cho p ∈ R và 1 ≤ p < ∞. Tập L p (Ω) = { f : Ω → R, f là đo được và Ω | f | p dx <
∞} được gọi là không gian các hàm lũy thừa p khả tích với chuẩn
| f (x)| p dx

|| f ||L p = || f || p =

1/p

.

Ω

ii) Tập L2 (Ω) = { f : Ω → R, f là đo được và Ω | f |2 dx < ∞ } được gọi là không
gian các hàm bình phương khả tích với chuẩn
|| f ||L2 = || f ||2 =

| f (x)|2 dx

1/2

.

Ω

Định nghĩa 1.1.2. ([7])(Hàm lồi) Một hàm f : Rn → R được gọi là hàm lồi nếu
f (τx + (1 − τ)y) ≤ τ f (x) + (1 − τ) f (y), với ∀x, y ∈ R và với 0 ≤ τ ≤ 1.
Bổ đề 1.1.3. ([7]) (Gronwall) (Dạng vi phân) Giả sử η(t) là một hàm liên tục
tuyệt đối không âm trên [0; T ] thỏa mãn:
η(t) ≤ φ (t)η(t) + ψ(t), hầu khắp t,
trong đó φ (t) và ψ(t) là các hàm khả tổng không âm trên [0; T ]. Khi đó
η(t) ≤ e

t
0 φ (s)ds

t

[η(0) +

ψ(s)ds],
0

với 0 ≤ t ≤ T .
Bổ đề 1.1.4. ([7]) (Bất đẳng thức Young) Cho 1 < p, q < ∞ và
đó

1 1
+ = 1, khi
p q

a p bq

ab ≤ + , (a, b > 0).
p
q

1 1
+ = 1,
p q
khi đó nếu f ∈ L p (Ω) và g ∈ Lq (Ω) ta có || f g||L1 ≤ || f ||L p ||g||Lq .

Bổ đề 1.1.5. ([7])(Bất đẳng thức Holder) Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞ và


4

Bổ đề 1.1.6. (Bất đẳng thức Minkowski) ([7]) Nếu f , g ∈ L p (Ω) và 1 ≤ p < ∞
thì f + g ∈ L p (Ω) và || f + g||L p ≤ || f ||L p + ||g||L p .
Bổ đề 1.1.7. ([7]) (Fatou) Nếu { fn } là dãy các hàm không âm đo được thì
lim inf fn (x)d) ≤ lim inf

Ω n→∞

n→∞

fn (x)dx.
Ω

Định lý 1.1.8. ([7]) L2 (Ω) là một không gian Banach.
Chúng ta có thể dễ dàng kiểm tra ||.||L2 (Ω) thỏa mãn hai tiên đề đầu tiên của
một chuẩn; tiên đề thứ 3 (Bất đẳng thức tam giác) thỏa mãn là kết quả
suy ra từ bất đẳng thức Minkowski. Vậy L2 (Ω) là một không gian định

chuẩn. Vấn đề còn lại ta cần chứng minh mọi dãy Cauchy trong L2 (Ω)
đều hội tụ.
Cho { fn } là dãy Cauchy trong L2 (Ω). Ta có thể dùng một dãy con fn j thỏa mãn
k

k

j=1

j=1

|| fn j+1 − fn j || < 2− j , khi đó || ∑ ( fn j+1 − fn j )||L2 (Ω) ≤ ∑ 2− j < 1. Đặt
k

g(x) = lim ∑ | fn j+1 (x) − fn j (x)|, sử dụng bổ đề Fatou ta có
k→∞ j=1

||g||L2 (Ω) ≤ 1 suy ra g(x) < ∞ (h.k.n), hơn nữa
k

fn (x) = fn1 (x) + ∑ ( fn j+1 (x) − fn j (x)) nên chúng ta có thể xác định
j=1

f (x) = lim fn j (x).
j→∞

Cuối cùng ta cần chứng minh f

∈ L2 (Ω)

và || fn − f ||L2 (Ω) → 0. Chọn N thỏa

ε
với m, n ≥ N, sử dụng bổ đề Fatou ta có:
2
ε
|| f − fn j ||L2 (Ω) ≤ lim inf || fnk − fn j ||L p (Ω) ≤ ,
k→∞
2

mãn || fn − fm ||L2 (Ω) ≤

giả sử n j ≥ N ta có f − fn j ∈ L2 (Ω),
ε ε
và || fn − f ||L2 (Ω) ≤ || fn − fn j ||L2 (Ω) + || fn j − f ||L2 (Ω) ≤ + = ε, vậy
2 2
fn → f ∈ L2 (Ω), ta được điều phải chứng minh.
Hơn nữa L2 (Ω) là không gian tách được và phản xạ và L2 (Ω) là không gian
Hilbert với tích vô hướng:
( f , g) =

f (x)g(x)dx.
Ω


5

1.2

Không gian Sobolev

p
Định nghĩa 1.2.1. ([7]) Tập Lloc
(Ω) = { f : f ∈ L p (K)} với mọi tập compact
K ⊂ Ω; 1 ≤ p < ∞ được gọi là không gian các hàm lũy thừa p khả tích
địa phương trên Ω.
p
Ta nói rằng fn hội tụ đến f trong Lloc
(Ω) nếu fn → f trong L p (Ω ) với mọi tập

compact Ω ⊂ Ω.
1 (Ω). Ta nói f là đạo hàm yếu của g theo
Định nghĩa 1.2.2. ([7])Cho g ∈ Lloc
1 (Ω) và
biến x j ký hiệu f = D j g nếu f ∈ Lloc

gφ dx = −
Ω

f
Ω

dφ
dx,
dx j

với mọi φ ∈ Cc∞ (Ω) - không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact.
Ta cũng có thể định nghĩa đạo hàm yếu cấp cao theo phương pháp quy nạp:
1 (Ω) thì f được gọi là đạo hàm yếu cấp α của g,
Nếu f , g ∈ Lloc

f = Dα u nếu
gφ dx = (−1)|α|
Ω

Dα φ dx.
Ω

Định nghĩa 1.2.3. ([7])Tập W k,p (Ω) = { f : Dα ∈ L p (Ω)}, với mọi 0 ≤ |α| ≤ k
được gọi là không gian Soblev với chuẩn
|| f ||W k,p (Ω) =

1/p

||Dα f ||Lp p (Ω)

∑

.

0≤|α|≤k

Định lý 1.2.4. ([7]) W k,p (Ω) là không gian Banach tách.
Hệ quả 1.2.5. ([7])Nếu fn → f trong D (Ω), thì Dα fn → Dα f trong D (Ω)
với mọi chỉ số α, ở đây D (Ω) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính
f : Cc∞ → C thỏa mãn nếu: un → u trong Cc∞ (Ω) thì f (un ) → f (u).
Một trong những không gian quan trọng và thường xuyên được sử dụng là
không gian W k,2 (Ω), cái mà ta sẽ sử dụng rất nhiều kiến thức trong
phần tiếp theo. Vì vậy, chúng ta sẽ trình bày một số nội dung quan
trọng của không gian W k,2 (Ω).

Ta ký hiệu W k,2 (Ω) = H k (Ω). Trên H k (Ω), ta trang bị một tích vô hướng
(( f , g))H k (Ω) =

∑
0≤|α|≤k

|D f α |2

1/2


6

Định nghĩa 1.2.6. ([7])Tập H k (Ω) là không gian Soblev được xác định bởi
H k (Ω) = { f : Dα f ∈ L2 (Ω) với mọi 0 ≤ |α| ≤ k},
Định nghĩa 1.2.7. ([7])Không gian H0k (Ω) là bổ sung đầy đủ của không gian
Cc∞ (Ω) trong H k (Ω).
Mệnh đề 1.2.8. ([7])(Bất đẳng thức Pointcaré) Cho Ω là tập bị chặn một chiều,
chẳng hạn: |x1 | < d < ∞, thì tồn tại một hằng số C thỏa mãn | f | ≤ C|D f |
với mọi f ∈ H01 (Ω), ở đây D f = (D1 f , D2 f , ..., Dm f ), |D f |2 = |∇ f |2 =
m

∑ |D j f |2 .
j=1

Chúng ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức đúng với mọi phần tử của Cc∞ (Ω).
Sử dụng tích phân từng phần và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:
| f |2 =

| f (x)|2 dx = −

Ω

∂
∂f
| f (x)|2 dx ≤ 2d| f ||
|,
∂ x1
∂ x1

x1
Ω

∂f
| ≤ 2d|Du|.
∂ x1
Nhờ bất đẳng thức Pointcaré, ta có thể xác định được một chuẩn khác tương
hay | f | ≤ 2d|

đương với chuẩn tiêu chuẩn trên H01 (Ω); ký hiệu ||.||H 1 (Ω) ,
0

|| f ||2H 1 (Ω) =
0

|Dα f |2 = |D f |2 ,

∑

|α|=1

vì
|| f ||2H 1 (Ω) ≤ || f ||2H 1 (Ω) = | f |2 + || f ||2H 1 (Ω) ≤ (1 + c)|| f ||2H 1 (Ω) ,
0

0

0

nên tích vô hướng ứng với chuẩn mới trên H01 (Ω) là

∑ (Dα f , Dα g).

(( f , g))H 1 (Ω) =
0

|α|=1

Một cách tương tự ta cũng có thể trang bị trên H0k (Ω) một tích vô hướng
(( f , g))H k (Ω) =
0

∑ (Dα f , Dα g),

|α|=k

và một chuẩn
|| f ||2H k (Ω) =
0

∑

|Dα f |2 .

|α|=k

k (Ω) = { f : f ∈ H k (Ω ) với mọi tập compact Ω ∈
Định nghĩa 1.2.9. ([7]) Hloc
Ω}.


7

k (Ω) nếu f → f trong H k (Ω ) với mọi tập
Chúng ta nói fn → f trong Hloc
n

compact Ω ∈ Ω.
Định nghĩa 1.2.10. ([7]) Với 1 ≤ p < ∞ và E là không gian Banach, ta có
L p (τ, T ; E) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(t), t ∈ [τ, T ] nhận
giá trị trong E với chuẩn:
T

||u||L p (τ,T ;E) =
τ

1
p

||u(t)||Ep

Bổ đề 1.2.11. ([7]) Với 1 ≤ p < ∞ tồn tại một hằng số co (Ω, 1) thỏa mãn với
mỗi ϕ ∈ W 1.p (Ω)
ϕ−

1
|Γ|

ϕ
Γ

L p (Ω)

≤ co (Ω, p)||∇ϕ||L p (Ω) .

Với mỗi ϕ ∈ W 1.p (Ω) tồn tại hằng số c thỏa mãn

Γϕ

= 0 và ||ϕ||L p (Ω) , ta có

1 ≤ c||∇ϕ||L p (Ω) .
Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại một dãy
ϕn ⊂ W 1.p (Ω) thỏa mãn:
1
n
Γ
Nếu 1 < p < ∞, và lấy dãy con nếu cần thiết, ta có ϕn −→ ϕ yếu trong
ϕn = 0,

||∇ϕn ||L p (Ω) = 1,

||∇ϕn ||L p (Ω) ≤

và

W 1.p (Ω) và yếu hơn trong L p (Ω) và L p (Γ). Từ nửa nhóm có bậc thấp
hơn ta có ||∇ϕ||L p (Ω) ≤ lim inf ||∇ϕn ||L p (Ω) = 0, và như vậy ϕ là hằng
số, nhưng điều này mâu thuẫn với ||∇ϕ|| = 1, và

Γϕ

= 0.

Đối với trường hợp p = 1 từ W 1.1 (Ω) → L1 (Ω) là compact, và lấy một dãy con
nếu cần thiết, ta có thể giả thiết ϕn −→ ϕ mạnh trong L1 (Ω) và với mỗi
φ ∈ D(Ω) và i = 1, ..., N ta nhận được:
ϕ
Ω

như vậy

∂φ
= lim
∂ xi n→∞

Ω ϕ(∂ φ /∂ xi ) = 0

ϕn
Ω

∂φ
= lim
∂ xi n→∞

−
Ω

∂ ϕn
φ = 0,
∂ xi

với mọi φ ∈ D(Ω) và i = 1, ..., N, điều này

kéo theo ∇ϕ = 0 và ϕ = |Ω|−1 . Do đó ϕn → |Ω|−1 mạnh trong
W 1.1 (Ω). Như vậy kéo theo toán tử γ : W 1.1 (Ω) → L1 (Γ) là liên tục, và
từ đó ϕn → |Ω|−1 mạnh trong L1 (Γ).
Trong trường hợp đặc biệt
|Γ|
0 = ϕn → ϕ =
=0
|Ω|
Γ
Γ


8

Điều này mâu thuẫn với giả thuyết ta có điều phải chứng minh.

1.3

Hệ động lực và tập hút toàn cục

Định nghĩa 1.3.1. ([7]) Hệ động lực là một cặp (X, S(t)) gồm không gian metric
đủ X và một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn:
i) S(0) = I;
ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0;
iii) với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C0 (X, X);
iv) với mọi u ∈ X, t → S(t)u ∈ C0 ((0, +∞), X) Họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi
là một nửa nhóm liên tục trên X. Khi đó X gọi là không gian pha (hay
không gian trạng thái). Nếu khái niệm số chiều có thể định nghĩa cho
không gian pha X thì giá trị dimX gọi là số chiều của hệ động lực.
Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lý thuyết các hệ động lực tiêu hao
vô hạn chiều
Định nghĩa 1.3.2. ([7]) Một tập con khác rỗng A của X gọi là tập hút toàn cục
đối với hệ động lực (X, S(t)) nếu:
i) A là một tập đóng và bị chặn;
ii) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t > 0;
iii) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim dist(S(t)B, A) = 0

t→∞

trong đó dist(E, F) = sup inf dist(a, b) là nửa khoảng cách Hausdorff
a∈E b∈F

giữa hai tập con E và F của X
Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa
Mệnh đề 1.3.3. ([7]) Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi
đó,

i) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (Tính cực đại)
ii) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B (Tính cực
tiểu)
iii) A là duy nhất


9

Định nghĩa 1.3.4. ([7]) Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm (tương ứng,
tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B0 ⊂ X hút các điểm (tương
ứng, hút các tập bị chặn) của X
Nếu hệ động lực (X, S(t)) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập B0 ⊂ X sao cho
với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 ,
∀t ≥ T . Tập B0 như vậy gọi là tập hấp thụ đối với hệ động lực (X, S(t)).
Một hệ động lực tiêu hao bị chặn thường được gọi tắt là hệ động lực
tiêu hao.
Định nghĩa 1.3.5. ([7]) Nửa nhóm S là compact tiệm cận nếu, với mọi tập con
bị chặn B của X thỏa mãn γτ+ (B) bị chặn với τ ∈ G+ nào đó, mọi tập
dạng {S(tn )zn }, với zn ∈ B và tn ∈ G+ , tn → ∞ khi n → ∞, tn ≥ τ, là tiền
compact.
Định lý 1.3.6. ([7]) Hệ động lực (X, S(t)) là compact tiệm cận nếu tồn tại một
tập compact K sao cho
lim dist(S(t)B, K) = 0

t→∞

với mọi tập B bị chặn trong X.


10

Chương 2 : TẬP HÚT TOÀN CỤC
VỚI PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES TRÊN MIỀN
KHÔNG BỊ CHẶN

2.1

Phương trình Navier - Stokes trên miền không bị chặn

Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu bài toán được xây dựng trong bài báo
của Rosa ([6]). Chúng ta xem xét dòng chảy của một chất lỏng nhớt,
không bị nén với mật độ hằng số trong một miền Ω ⊂ R2 với biên đóng
∂ Ω và được biểu diễn bởi phương trình Navier - Stokes. Ký hiệu
u(x,t) ∈ R2 và p(x,t) ∈ R, tương ứng, là vận tốc và áp suất của chất
lỏng tại điểm x trong miền Ω và tại thời điểm t ≥ 0. Khi đó, chúng ta sẽ
xem xét bài toán biên giá trị ban đầu sau

∂u



− ν∆u + (u.∇)u + ∇p = f


∂t



∇.u = 0 trong Ω,



u = 0 trên ∂ Ω,





 u(., 0) = u0 trong Ω,

trong Ω,
(2.1)

trong đó ν > 0 là độ nhớt động của chất lỏng và f = f (x) ∈ R2 là nội
lực khối (được giả sử không phụ thuộc vào thời gian). Miền Ω có thể là
một miền bị chặn hoặc không bị chặn, mở tùy ý trong R2 với duy nhất
giả thuyết rằng bất đẳng thức Poincare thỏa mãn, tức là, tồn tại λ1 > 0
thỏa mãn

φ 2 dx ≤
Ω

1
λ1

|∇φ |2 dx,
Ω

∀φ ∈ H01 (Ω)

(2.2)

11

Ta định nghĩa L2 (Ω) = (L2 (Ω))2 , H10 (Ω) = (H01 (Ω))2 và trang bị trên
đó các tích vô hướng tương ứng
(u, v) =

u, v ∈ L2 (Ω)

uvdx,
Ω
2

((u, v)) =

∑ ∇u j ∇v j dx

j=1

Ω

u = (u1 , u2 ); v = (v1 , v2 ) ∈ H10 (Ω)
Khi đó, ta có các chuẩn sinh ra bởi các tích vô hướng trên tương ứng là
|.| = (., .)1/2 ,

. = ((., .))1/2
Đặt

V = {v ∈ (D(Ω))2 ; ∇.v = 0 trong Ω}

V = V ⊂ H10 (Ω)
H = V ⊂ L2 (Ω)
với H và V được trang bị các tích vô hướng và chuẩn tương ứng của
L2 (Ω) và H10 (Ω). Từ (2.2) ta nhận được
|u|2 ≤

1
u 2,
λ1

∀u ∈ V

(2.3)

Bây giờ ta xem xét bài toán yếu của (2.1): Tìm
u ∈ L∞ (0, T ; H) ∩ L2 (0, T ;V ),

∀T > 0,

(2.4)

∀v ∈ V, ∀t > 0,

(2.5)

thỏa mãn
∂
(u, v) + ν((u, v)) + b(u, u, v) =< f , v >,
dt
và

(2.6)

u(0) = u0 ,
ở đây b : V ×V ×V → R xác định bởi
2

b(u, v, w) =

ui

∑

i, j=1

Ω

∂vj
w j dx,
xi

(2.7)


12

và < ., . > là tích đối ngẫu giữa V và V . Để đơn giản, chúng ta giả sử
rằng f ∈ V . Bài toán yếu (2.5) là tương đương với bài toán
(2.8)

u ∈ V ,t > 0

u + νAu + B(u) = f ,

trong đó u = du/dt, A : V → V là toán tử Stokes xác định bởi
< Au, v >= ((u, v)),

(2.9)

∀u, v ∈ V,

và B(u) = B(u, u) là toán tử song tuyến tính B : V ×V → V xác định
bởi công thức
< B(u, v), w >= b(u, v, w),

∀u, v, w ∈ V.

Toán tử Stokes là một đẳng cấu từ V vào V và thỏa mãn bất đẳng thức
B(u)

V

≤ 21/2 |u| u ,

(2.10)

∀u ∈ V.

Chúng ta có kết quả được phát biểu bởi định lý sau đây
Định lý 2.1.1. ([6]) Cho f ∈ V và u0 ∈ H. Khi đó tồn tại duy nhất u ∈ L∞ (0, T ; H)∩
L2 (0, T ;V ), ∀T > 0, thỏa mãn (2.5) và (2.6) được thỏa mãn. Hơn nữa,

u ∈ L2 (0, T ;V ), ∀T > 0 và u ∈ C(R+ ; H).
Giả sử u = u(t), t ≥ 0, là nghiệm của (2.5) xác định theo định lý (2.1.1). Do
u ∈ L2 (0, T ;V ) và u ∈ L2 (0, T ;V ), ta có
1d 2
|u| =< u , u >,
2 dt
Kết hợp với (2.8), chúng ta rút ra được
1d 2
|u| =< f − νAu − B(u), u >=< f , u > −ν u
2 dt
Nhờ tính chất trực giao
b(u, v, v) = 0,

(2.11)

2

− b(u, u, u)

(2.12)

∀u, v ∈ V,

Chúng ta nhận được
1d 2
(2.13)
|u| + ν u 2 =< f , u >, ∀t > 0
2 dt
theo nghĩa hàm phân phối trên R+ . Sử dụng (2.3) và bất đẳng thức
Gronwall

1
|u(t)|2 ≤ |u0 |2 e−νλ1t + 2
f
ν λ1

2
V

,

∀t ≥ 0

(2.14)


13

và
t

1
t

u(s) 2 ds ≤
0

1
1
|u0 |2 + 2 f
tν

ν

2
V

∀t > 0

,

(2.15)

Nhờ đó, chúng ta có thể xây dựng được một nửa nhóm liên tục
{S(t)}t≥0 trong H được xác định bởi
t ≥ 0,

S(t)u0 = u(t),

trong đó u là nghiệm của (2.5) với u(0) = u0 ∈ H. Hơn nữa, chúng ta
thấy rằng S(t) : H → H, với t ≥ 0, là liên tục Lipschitz trên các tập con
bị chặn của H, và tập
B = {v ∈ H; |v| ≤ ρ0 =

2
f
λ1

1
ν

V

}

(2.16)

là tập hấp thụ trong H của nửa nhóm liên tục {S(t)}t≥0 . Chúng ta sẽ
xem xét bổ đề sau đây cái mà sẽ thực sự cần thiết khi xem xét sự tồn tại
tập hút toàn cục.
Bổ đề 2.1.2. ([6]) Cho {u0n }n là một dãy trong H hội tụ yếu trong H tới một
phần tử u0 ∈ H. Khi đó,
S(t)u0n

S(t)u0

trong

H,

trong

L2 (0, T ;V ),

∀t ≥ 0

(2.17)

và
S(.)u0n

S(.)u0

∀T ≥ 0

(2.18)

Chứng minh. Giả sử un (t) = S(t)u0n và u(t) = S(t)u0 , ∀t ≥ 0. Từ (2.14) và
(2.15), ta thấy rằng
{un }n ∈ L∞ (R+ ; H) ∩ L2 (0, T ;V ),

∀T ≥ 0

(2.19)

là bị chặn trong. Vì
un = f − νAun + B(un )
A là toán tử tuyến tính bị chặn từ V vào V , và B thỏa mãn (2.10). Điều
này cho ta suy luận
{un }n ∈ L2 (0, T ;V ),

∀T ≥ 0

(2.20)


14

là bị chặn. Xét v ∈ V , và 0 ≤ t ≤ t + a ≤ T
t+a

(un (t + a) − un (t), v) =

< un (s), v > ds
t

≤ v a1/2 un

(2.21)

≤ cT v a1/2

L2 (0,T ;V )

trong đó cT là số dương, không phụ thuộc vào n. Vì vậy, với
v = un (t + a) − un (t) ∈ V , chúng ta nhận được
|un (t + a) − un (t)|2 ≤ cT a1/2 un (t + a) − un (t)
Do đó
T −a

T −a
2

|un (t + a) − un (t)| dt ≤ cT a

1/2

0

un (t + a) − un (t) dt

(2.22)

0

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz và (2.19) , chúng ta có được
đánh giá
T −a

|un (t + a) − un (t)|2 dt ≤ cT a1/2
0

trong đó cT là hằng số dương không phụ thuộc vào n. Vậy
T −a

un (t + a) − un (t)

lim sup

a→0 n

2
L2 (Ωr ) dt

=0

(2.23)

0

với mọi r > 0, và Ωr = Ω ∩ {x ∈ R2 ; |x| < r}. Hơn nữa, từ (2.19),
{un |Ωr }n ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ωr )) ∩ L2 (0, T ; H1 (Ωr )),

∀r ≥ 0

(2.24)

Bây giờ, ta xét hàm τ ∈ C1 (R+ ) với τ(s) = 1, s ∈ [0, 1] và
τ(s) = 0, s ∈ [2, +∞]. Với mỗi r > 0, ta xây dựng
vn,r = τ(|x|2 /r2 )un (x), x ∈ Ω2r . Từ (2.23), ta có
T −a

vn,r (t + a) − vn,r (t)

lim sup

a→0 n

2
L2 (Ω2r ) dt

= 0,

∀r ≥ 0, ∀T ≥ 0

0

(2.25)
Mặt khác, từ (2.24), ta rút ra rằng
{vn,r }n ∈ L∞ (0, T ; L2 (Ω2r )) ∩ L2 (0, T ; H10 (Ω2r )), ∀r ≥ 0, ∀T ≥ 0
(2.26)

15

Do đó,
{vn,r }n ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω2r )), ∀r ≥ 0, ∀T ≥ 0

(2.27)

là compact tương đối, kéo theo từ (2.27)
{un |Ωr }n ∈ L2 (0, T ; L2 (Ωr )),

∀r ≥ 0, ∀T ≥ 0

(2.28)

cũng là compact tương đối. Từ (2.19) và (2.28). Chúng ta có thể trích ra
một dãy con
un → u

(2.29)

2 (R+ ;V ), hội tụ
*- hội tụ yếu trong L∞ (R+ , H), hội tụ yếu trong Lloc
2 (R+ ; L2 (Ω )), ∀r > 0 và
mạnh trong Lloc
r
2
u ∈ L∞ (R+ , H) ∩ Lloc
(R+ ;V )

(2.30)

Sự hội tụ (2.29) cho phép chuyển qua giới hạn trong phương trình đối
với un để tìm nghiệm u của (2.5) với u(0) = u0 . Nhờ tính duy nhất của
nghiệm dẫn đến u = u. Sử dụng phương pháp phản chứng, chúng ta dễ
dàng chứng minh được rằng dãy {un }n hội tụ về u theo nghĩa (2.29).
Điều này chứng tỏ (2.18) thỏa mãn.
Nhờ sự hội tụ mạnh (2.29), chúng ta cũng chỉ ra được rằng un (t) hội tụ mạnh
trong L2 (Ωr ) tới u(t) với hầu hết t ≥ 0 và ∀r > 0. Khi đó, với v ∈ V
(un (t), v) → (u(t), v)
hầu khắp nơi t ∈ R+ . Hơn nữa, từ (2.19) và (2.21), dãy {(un (t), v)}n bị
chặn và liên tục đều trên [0, T ], ∀T > 0. Vì vậy,
(un (t), v) → (u(t), v),

∀t ∈ R+ , ∀v ∈ V

(2.31)

Cuối cùng, (2.17) là kết quả của (2.19), (2.31) và V trù mật trong H.

2.2

Tập hút toàn cục

Sự tồn tại của tập hút toàn cục sẽ nhận được từ lý thuyết tổng quát nếu ta chứng
minh được tính compact tiệm cận của nửa nhóm {S(t)}t≥0 . Một nửa


16

nhóm được gọi là compact tiệm cận trong không gian metric nếu như
tập {S(tn )un } là tiền compact khi {un } là bị chặn và tn tiến ra vô cực.
Để chứng minh {S(t)}t≥0 là compact tiệm cận trong H, chúng ta cần
sử dụng phương trình năng lượng (2.13).
Ta định nghĩa ánh xạ [., .] : V ×V → R được xác định như sau:
= ν((u, v)) − ν

λ1
(u, v)
2

(2.32)

Rõ ràng, [., .] là song tuyến tính và đối xứng. Hơn nữa, từ (2.3),
λ1
[u]2 = [u, u] = ν||u||2 − ν |u|2
2
ν
ν
≥ ν||u||2 − ||u||2 = ||u||2
2
2
Do đó,
ν
||u||2 ≤ [u]2 ≤ ν||u||2 ,
2

∀u ∈ V

(2.33)

Vậy [., .] sẽ xác định một tích vô hướng trong V với chuẩn [.] = [., .]1/2
tương đương với chuẩn .Vert. Bây giờ, ta thêm bớt đại lượng νλ1 |u|2
vào phương trình năng lượng (2.13) để nhận được
d 2
|u| + νλ1 |u|2 + 2[u]2 = 2 < f , u >
dt

(2.34)

với mọi nghiệm u = u(t) = S(t)u0 , u0 ∈ H. Khi đó,
t
2

2 −νλ1t

|u(t)| = |u0 | e

e−νλ1 (t−s) (< f , u(s) > −[u(s)]2 )ds

+2
0

Ta biểu diễn lại phương trình trên dưới dạng
t
2

2 −νλ1t

|S(t)u0 | = |u0 | e

e−νλ1 (t−s) (< f , S(s)u0 > −[S(s)u0 ]2 )ds

+2
0

(2.35)
với mọi u0 ∈ H, và t ≥ 0.
Giả sử B ⊂ H là một tập bị chặn, và cho {un }n ⊂ B, {tn }n , tn ≥ 0 ,tn → ∞. Vì
tập B xác định bởi (2.16) là hấp thụ, nên tồn tại T (B) > 0 thỏa mãn
S(t)B ⊂ B,

∀t ≥ T (B)


17

Vì vậy với tn đủ lớn
S(tn )un ∈ B

(2.36)

Dẫn đến {S(tn )un }n là tiền compact yếu trong H và
S(tn )un

(2.37)

w

hội tụ yếu trong H, với dãy con n nào đó và w ∈ B.

Tương tự, với mỗi T > 0, chúng ta cũng có
S(tn − T )un ∈ B

(2.38)

với tn ≥ T + T (B). Vậy, {S(tn − T )un }n là tiền compact yếu trong H và
S(tn − T )un

wT ,

∀T > 0

(2.39)

hội tụ yếu trong H, wT ∈ B. Sử dụng tính liên tục yếu của S(t) trong
Bổ đề (2.1.2) , ta có
w = lim S(tn )un = lim S(T )S(tn − T )un
n

n

= S(T ) lim S(tn − T )un = S(T )wT
n

theo nghĩa hội tụ topo yếu trong H. Vậy,
w = S(T )wT ,

∀T ∈ N

(2.40)

Từ (2.37), ta dễ dàng có được
|w| ≤ lim inf |S(tn )un |,
n

(2.41)

Chúng ta sẽ chứng minh
lim sup |S(tn )un | ≤ |w|
n

Với T ∈ N và tn > T , từ (2.35), ta có
|S(t)un |2 = |S(T )S(tn − T )un |2 = |S(tn − T )un |2 e−νλ1 T
T

e−νλ1 (T −s) (< f , S(s)S(tn − T )un > −[S(s)S(tn − T )un ]2 )ds

+2
0

(2.42)


18

Từ (2.38) ta đánh giá được
lim sup(e−νλ1 T |S(tn − T )un |2 ) ≤ ρ02 e−νλ1 T
n

(2.43)

Nhờ tính liên tục yếu (2.18) và (2.39), ta có
S(.)S(tn − T )un

(2.44)

S(.)wT ,

hội tụ yếu trong L2 (0, T ;V ). Mặt khác,
s −→ e−νλ1 (T −s) f ∈ L2 (0, T ;V )
Ta có
T

T

e−νλ1 (T −s) < f , S(s)S(tn − T )un > ds =

lim
n

0

e−νλ1 (T −s) < f , S(s)wT > ds
0

(2.45)
Hơn nữa, vì [.] là một chuẩn trong V tương đương với chuẩn . và
0 < e−νλ1 T ≤ e−νλ1 (T −s) ≤ 1,

∀s ∈ [0, T ]

Ta thấy rằng
T

e−νλ1 (T −s) [.]2 ds)1/2

(
0

là một chuẩn trong L2 (0, T ;V ) tương đương với chuẩn thông thường.
Do đó, từ (2.44) ta rút ra rằng
T

T

e

−νλ1 (T −s)

e−νλ1 (T −s) [S(s)S(tn − T )un ]2 ds

2

[S(s)wT ] ds ≤ lim inf
n

0

0

(2.46)
Nên
T

e−νλ1 (T −s) [S(s)S(tn − T )un ]2 ds

lim sup −2
n

0
T

e−νλ1 (T −s) [S(s)S(tn − T )un ]2 ds

= − lim inf 2
n

0
T

e−νλ1 (T −s) [S(s)wT ]2 ds

≤ −2
0

(2.47)