Hình học không gian khoảng cách và thể tích

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH PHÚ YÊN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN LINH
----------

CHUYÊN ĐỀ



Nhóm thực hiện:
•
•
•

Nguyễn Hải Đăng
Đoàn Xuân Quyền
Nguyễn Thành Sửu


•
•
•

Phạm Minh Hoàng
Nguyễn Văn Vũ
Huỳnh Chí Công


LỜI NÓI ĐẦU
Khoảng cách và thể tích là hai vấn đề khó trong hình học nói chung và hình
học không gian nói riêng. Chuyên đề này được biên soạn dành cho các học sinh
muốn có thêm tư liệu ôn tập, tự kiểm tra lại các kĩ năng làm bài của mình và tham

khảo các dạng bài tập. Chuyên đề bám sát nội dung sách giáo khoa và có các bài
tập nâng cao sẽ giúp các bạn nắm vững các dạng bài tập, phương pháp để tính thể
tích và xác định khoảng cách trong không gian.
Chuyên đề bao gồm các phần:
- Phần I: Tóm tắt lý thuyết về khoảng cách và thể tích trong không gian
- Phần II: Các dạng bài tập và phương pháp giải
- Phần III: Bài tập áp dụng và các bài tập tự luyện
Nội dung của chuyên đề sẽ giúp khái quát một số dạng bài tập và cách giải chi tiết
kết hợp với lý thuyết và các dạng bài tập tự luyện có lời giải và hướng dẫn sẽ giúp
các bạn hệ thống và nắm vững các dạng bài tập khó này .
Hi vọng chuyên đề này sẽ giúp các bạn học tập tốt và có thêm tư liệu củng cố kiến
thức và rèn luyện để đạt được kết quả tốt nhất trong học tập!
Trân trọng cảm ơn!
NHÓM BIÊN SOẠN

3


4


MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu

1

PHẦN I. KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH
A. Tóm tắt lý thuyết về khoảng cách

5

B. Tóm tắt lý thuyết về thể tích

8

PHẦN II.

CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vấn đề 1. Dựng đoạn vuông góc với mặt phẳng
Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

12

Vấn đề 2. Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
và tính độ dài của đoạn vuông góc chung đó

14

Vấn đề 3. Tính khoảng cách và thể tích

18

PHẦN III.

BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ BÀI TẬP TỰ LUYỆN

A. BÀI TẬP ÁP DỤNG

20

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

59

Tài liệu tham khảo

64

5


6


PHẦN I: KHOẢNG CÁCH VÀ THỂ TÍCH
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHOẢNG CÁCH
1.1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG
THẲNG((4)/tr197)
Trong không gian cho điểm M và đường thẳng a. Kẻ MH ⊥ a, sao cho H ∈a. Độ dài
đoạn MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a, kí hiệu là
d(M ; a)

1.2. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG ((4)/tr198)
Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Độ dài đoạn
thagnwr MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu là
d(M,(P)).

7

1.3. KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG
SONG((4)/tr198)
Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng α . Khoảng cách từ điểm M bất kì
thuộc đường thẳng a tới mặt phẳng α không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, được
gọi là khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng α , kí hiệu
d(a , α )

1.4. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ((4)/tr198)
Cho hai mặt phẳng α , β . Khoảng cách từ điểm M bất kì của mặt phẳng α tới mặt
phẳng β không phụ thuộc vào vị trí của điểm M, được gọi là khoảng cách giữa hai
mặt phẳng α và β , kí hiệu d( α , β )

8


1.5. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1.5.1 Đoạn vuông góc chung ((4)/tr199)
 Định nghĩa:

Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a
và b khi và chỉ khi:

Đường thẳng AB được gọi là đường vuông góc chung của a và b
 Định lí:

Định lí 1. Hai đường thẳng vuông góc nhau có một và chỉ một đoạn vuông góc
chung.
Định lí 2. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đoạn ngắn nhất

nối hai điểm lần lượt nằm trên hai đường thẳng đó.
1.5.2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau((4)/tr199)
 Định nghĩa. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng đó
 Nhận xét.
Khoảng cách giữa d và hai đường thẳng chéo nhau a,b bằng:
- Khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thẳng thứ hai và
song song với mặt phẳng thứ nhất
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa a và b
b)

a)

9


B. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VỀ THỂ TÍCH (8)
1. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP

1
×S đ ×h
V= 3

Trong đó:
Sđ là diện tích đáy
h là chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy)
2. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

10

V=

Sđ ×h

Trong đó:
Sđ là diện tích đáy của khối lăng trụ
h là chiều cao khối lăng trụ

3. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CẦU (HÌNH CẦU)

4
×π ×r 3
V= 3

Trong đó:
r là bán kính khối cầu

4. THỂ TÍCH KHỐI HỘP CHỮ NHẬT
11


V = a.b.c
Trong đó:
a, b, c là 3 kích thước của khối hộp chữ nhật

5. THỂ TÍCH KHỐI LẬP PHƯƠNG

V = a3

Trong đó:
a là độ dài cạnh khối lập phương

6. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRỤ (HÌNH TRỤ)

12


2
V = Sđ.h = π .r .h

Trong đó:
Sđ là diện tích đáy khối trụ
h là chiều cao khối trụ
r là bán kính đáy khối trụ

7. CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH KHỐI NÓN (HÌNH NÓN)

1
1
×S đ ×h = ×π ×r 2 ×h
3
V= 3

Trong đó:
Sđ là diện tích đáy khối nón
h là chiều cao khối nón
r là bán kính đáy khối nón

PHẦN II. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

13


Vấn đề 1:
Dựng đoạn thẳng vuông góc với mặt phẳng;
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1.1. PHƯƠNG PHÁP
1.1.1. Cho điểm M và mặt phẳng (P), dựng MH vuông góc với (P) với H
thuộc (P)
Cách 1: Nếu có đường thẳng d vuông góc với (P), từ M ta dựng đường thẳng Δ
song song với d. Đường thẳng này cắt (P) tại H. Ta có MH = d(M;(P)).
Cách 2:
- Qua M, xác định (hoặc dựng) mặt phẳng (Q) vuông góc với (P), mặt phẳng
(P) cắt (Q) theo giao tuyến a.
- Trong mặt phẳng (Q), dựng MH vuông góc với giao tuyến a ( H ∈ a ) thì
MH ⊥ ( P) .

1.1.2. Tính khoảng cách từ M đến (P)
Cách 1: Dựng MH vuông góc (P) và tính MH.
Cách 2: Khi biết khoảng cách từ một điểm A đến (P).
Nếu MA//(P) thì d(M,(P)) = d(A,(P)).
d [ M ,( P)] IM
=
d
[
A
,(
P
)]

IA
Nếu MA cắt (P) tại I thì

1.2. VÍ DỤ
14


Cho tam giác đều ABC cạnh 3a, điểm H thuộc cạnh AC với HC = a. Vẽ đoạn
SH vuông góc với (ABC) và SH = 2a
a) Hãy nói cách dựng đoạn vuông góc HK vẽ từ H đến (SAB).
b) Tính khoảng cách từ H và từ C đến mặt phẳng (SAB).

Bài làm:

a) Gọi I là trung điểm của AB ta có CI ⊥ AB.
Mặt khác SH ⊥ AB vì SH ⊥ (ABC).
Trong mặt phẳng (ABC), hạ HE vuông góc với AB, suy ra:
AB ⊥ (SHE) ⇒ (SAB) ⊥ (SHE) theo giao tuyến SE.
Trong mặt phẳng (SHE), hạ HK ⊥ SE, suy ra KH ⊥ (SAB).
b)Ta có HE // CI ( cùng ⊥ AB), suy ra:
HE AH 2
=
=
CI
AC 3
15


2
2 3a 3

HE = CI = ×
=a 3
3
3
2
⇒

Trong tam giác vuông SHE, đường cao HK, ta có:
1
1
1
1
1
7
2a 3
=
+
= 2+ 2=
⇒ HK =
2
2
2
2
HK
HS
HE
4a 3a 12a
7
2a 3
Vậy d[H,(SAB)] = HK = 7

CA 3
=
HA
2 , suy ra:
Ta có CH cắt (SAB) tại A với

3
3
3 2a 3 3a 3
HK = HK = ×
=
2
2
2
7
7 (đvđd).
d[C,(SAB)]=
Vấn đề 2:
Dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và tính độ dài
đoạn
vuông gócPHÁP
chung đó.
2.1.
PHƯƠNG
Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Để dựng đoạn vuông góc chung của
a và b ta thường làm theo các cách sau:
Cách 1: (Áp dụng cho trường hợp a ⊥ b)

- Dựng hoặc tìm một mặt phẳng α chứa b và vuông góc với a tại A
- Trong α dựng đoạn AB vuông góc với b tại B

16


- Đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và
Cách 2:

- Dựng mặt phẳng α chứa b và song song với a.
- Dựng hình chiếu a’ cảu a lên α bằng cách: Từ điểm M tùy ý trên a. Dựng
đoạn MH vuông góc α tại H và trong mặt phẳng α, dựng đường thẳng a’ đi
qua H song song với a, a’ cắt b tại B.
- Trong mặt phẳng (a,a’), từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại
A và chứng minh đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Cách 3:

17


- Dựng hoặc tìm một mặt phẳng α vuông góc a tại O, cắt b tại
- Dựng hình chiếu b’ của b lên α bằng cách từ điểm M trên b, hạ MM’ vuông
góc với α thì đường thẳng IM’ chính là b’.
Trong α hạ OH vuông góc với b’. Trong mặt phẳng (b,b’) từ H dựng một
đường thẳng song song với MM’, cắt b tại B. khi đó HB // MM’ //a.
- Trong mặt phẳng (a,BH), từ B dựng đường thẳng song song với OH, cắt a
tại A.
- Ta chứng minh AB là đoạn vuông góc chung của a và b
2.2. VÍ DỤ
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = b.
Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:

a) SB và CD;
b) SC và BD;
c) SC và AB.

Bài làm:
18


a)Chứng minh được BC ⊥ SB và BC ⊥ SC, BC = a
b)BD ⊥ SA, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC). Trong (SAC), hạ OH ⊥ SC, suy ra
OH là đoạn vuông góc chung của BD và SC
OH SA
=
OC SC
a 2
2
.
2
2a + h 2
h.

⇒

c)Ta chứng minh CD ⊥ (SAD).
Thật vậy, hạ AK ⊥ SD. Vẽ KI // CD và AB (I ∈ SC),
Suy ra KI ⊥ (SAD).

19

Trong mặt phẳng (KI, AB), vẽ IJ // với KA (J ∈ AB).
Chứng minh được: AK ⊥ (SCD) ⇒ IJ ⊥ (SCD) ⇒ IJ ⊥ SC;
AB ⊥ (SAD) ⇒ AB ⊥ AK ⇒ IJ ⊥ AB.
Vậy IJ là đoạn vuông góc chung của AB và SC.
Tính IJ (IJ = AK) ta được:
1
1
1
1
1
=
+
= 2 + 2 ⇒ IJ = AK =
2
2
2
AK
AD
AS
a
h

ah
a 2 + h2

.

• Vấn đề 3:

Tính khoảng cách và thể tích.

3.1.PHƯƠNG PHÁP
 Tính khoảng cách:

Áp dụng
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
- Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường đó;
- Bằng khoảng cách từ đường thẳng thứ nhất đến mặt phẳng chứa đường thứ
hai song song với đường thứ nhất;
- Bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứahai đường thẳng
đó.
 Tính thể tích:

- Để tính được thể tích của các hình trong không gian, ta cần vận dụng mọi
kiến thức cả trong hình học phẳng và hình học không gian, sau đó áp dụng
các công thức tính thể tích cho mỗi loại hình khác nhau để giải bài tập.

3.2. VÍ DỤ
20


Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông tâm O, cạnh a, SO ⊥ (ABCD) và
SO=a. Tính khoảng cách giữa SC và AB.
Bài làm:

Ta có AB // CD ⇒ AB // (SCD) ⇒ d(AB,SC) = d(AB,(SCD))
Gọi I là trung điểm của CD, OI cắt AB tại trung điểm J của AB
Trong tam giác SOI hạ OH vuông góc với SI.
Ta có: CD ⊥ OI và SO ⇒ CD ⊥ (SOI)
⇒ CD ⊥ OH.

Vì OH ⊥ SI và CD nên OH ⊥ (SCD).
Vì BJ // CD nên BJ // (SCD), ta suy ra:
d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) = d(J,(SCD)) = 2d(O,(SCD))= 2OH.
Tính OH:
1
1
1
a
= 2+
2
2
OI
OS với OS = a và OI = 2 .
Ta có: OH
21


a
2a
Do đó: OH = 5 . Vậy d(AB,SC) = 5 .

PHẦN III:

BÀI TẬP ÁP DỤNG VÀ TỰ LUYỆN

A. Bài tập tự luyện (có lời giải)
1.Bài1
Cho((3)/tr138):
tứ diện ABCD
ABC đều

cạnhgiác
a. ABC đều
⊥ (ABC)
Chocó
tứDA
diện(ABC)
ABCDvà
cótam
DAgiác
và tam
a)cạnh
Tínha.khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD
Bài làm:
a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
(ACD)
Bài làm:
Bàijhsdchhsdjhs

Gọi I là trung điểm của AC.
Ta có: BI ⊥ AC
BI ⊥ AD (vì AD ⊥ ⊥ (ABC))
=> BI ⊥ (ACD)

3
Do đó d(B;(ACD)) =IB= a. 2
Gọi J là trung điểm BC
Ta có: BC ⊥ AJ
BC ⊥ DA (Vì AD ⊥ (ABC))
22

⇒ BC ⊥ (ADJ)
Dựng AH ⊥ DJ

Mặt khác: (ADJ) ∩ (BCD)= SJ
Vậy d(A; (BCD)) =AH
Ta có ∆DAJ vuông tại A:
1
1
1
1
1
4
1 4b 2 + 3a 2
=
+
=
+ 2= 2+ 2=
AH 2 AJ 2 AD 2
3a
b
3a 2b 2
a 3 2 b
(
)
2
⇒

AH =

ab 3
4a 2 + 3b 2 (đvđd).

d (A;(BCD)) =

Như vậy,

ab 3
4a 2 + 3b 2 (đvđd)

Bài
Cho hình thoi
ABCD
cạnh là
a và
AC =làa.aTừ
của cạnh
Bài22: ((3)/tr138)
: Cho
hình tâm
thoi O
ABCD
tâm
O cạnh
và trung
AC =điểm
a. TừItrung
điểm
AB
dựng

SIAB
(ABCD)
Và⊥SI(ABCD)
=a
I của
cạnh
dựng SI
Và SI = a
a)a)Tính
Tínhkhoảng
khoảngcách
cáchtừtừI Iđến
đến(SDC)
(SDC)từtừđó
đósuy
suyrarakhoảng
khoảngcách
cáchtừtừOOđến
đến(SCD)
(SCD)
b)b)Tính
Tínhkhoảng
khoảngcách
cáchtừtừAAđến
đến(SBC)
(SBC)
Bài làm:

a) Vì tam giác ABC đều nên CI AB
Mà CD // AB, do đó CI CD.

23


Mặt khác SI (ABCD) nên SI CD
Suy ra CD
Dựng IH ⊥ SC trong mặt phẳng (SCI)
Ta có IH ⊥ CD
Do đó IH ⊥ (SCD)
Trong tam giác SIC vuông tại I ta có:

1
1
1
1
1
1
4
7
a 21
=
+
=
+
=
+
=
⇒
IH
=
2

2
IH 2 SI 2 IC 2 a 2
3a 3
7
a 3 2 a 3a
(
)
2
(đvđd)
a 21
Vậy, d(I;(SCD)) = 7 (đvđd)
Gọi J là trung điểm của CD
d (O;( SCD)) OJ 1
=
=
d
(
I
;(
SCD
))
IJ
2
Ta có:
1 a 21 a 21
1
.
=
14 (đvđd)
Suy ra d(O;(SCD)) = 2 d(I;(SCD)) = 2 7

b) Dựng IM ⊥ BC tại M ; IK ⊥ SM tại K
Ta có:
BC ⊥ IK
⇒ BC ⊥
SM ⊥ IK
(SIM)
Suy ra
BC ⊥ IK
⇒ IK ⊥
Mặt khác SM ⊥ IK
(SBC)
Vậy d(I;(SBC)) = IK(đvđd)

a 3 a 3
IM = BI .sin 60o = .
=
2 2
4
1
1
1
1 16
19
= 2+
= 2+ 2= 2
2
2
IK
IS
IM

a
3a
3a
a 57
⇒ IK =
19
Ta có
Vì AI cắt (ABC) tại B nên :

24


d ( I ;( SBC )) BI 1
=
=
d (A;(SBC)) BA 2
⇒ d ( A;( SBC )) = 2d ( I ;( SBC )) =

(đvđd)

2a 57
19

SA =
a 6 .Đáy
Bài3:3 Cho
((3)/tr139):
Cho
hình chóp
có SA

góc
(ABCD)
và
Bài
hình chop
SABCD
có SASABCD
vuông góc
với vuông
(ABCD)
và với
ABCD
lụcABCD
giác đều
tròn
kính AD
2a
SA = alà6nửa
.Đáy
là nội
nửatiếp
lục đường
giác đều
nộiđường
tiếp đường
tròn=đường
kính AD
a)= Tính
2a khoảng cách từ A và B đến mặt phẳng (SCD).
b)

AD phẳng
đến mặt
phẳng (SBC).
a)Tính
Tínhkhoảng
khoảngcách
cáchtừ
từđường
A và Bthẳng
đến mặt
(SCD).
b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC).
Bài làm:

a) * Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a nên
ta có:

AC ⊥ CD

mặt khác

SA ⊥ CD

⇒ CD ⊥
(SAC)

Dựng AH ⊥ AC tại H
Suy ra AH ⊥ (SCD) (vì AH ⊥ SC; AH ⊥ CD)
Vậy d(A;(SCD)) = AH.
25