Tài liệu Khoảng cách và thể tích doc

CHUYấN HèNH HOC LUYN THI I HOC


V NGC VINH

1
KHONG CCH V TH TCH
Phần I
Khoảng cách
1. Phng phỏp chung

Phng phỏp xỏc nh:
Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau a v b.
PP1: Xác định (P) chứa đờng thẳng a v vuông góc với b. Tại giao điểm (P) v b kẻ đờng
thẳng c vuông góc với a. Xác định giao điểm của c với a v b khoảng cách giữa hai đờng
thẳng.
PP2: Xác định (P) chứa a v song song với b d(a;b) = d(b; (P)).
PP3: Xác định (P) chứa a v (Q) chứa b sao cho (P) // (Q) d(a;b) = d((P);(Q)).

2. Cỏc vớ d


Ví dụ 1:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy l hình vuông cạnh a, SA

(ABCD) v SA = a.
a) Tính khoảng cách từ S đến (A
1
CD) trong đó A
1
l trung điểm của SA.

b) Khoảng cách giữa AC v SD.

Lu ý:
để tính khoảng cách từ một điểm A đến một mặt phẳng (P) ta có thể xác định mặt
phẳng (Q) chứa điểm A v vuông góc với (P) sau đó đi xác định giao tuyến của (P) v (Q) rồi
trong (Q) dựng đờng thẳng đi qua A v vuông góc với giao tuyến cắt giao tuyến tại H.
Khi đó, khoảng cách từ A đến (P) chính l đoạn AH.
Để thực hiện bi toán xác định khoảng cách giữa một điểm với một mặt phẳng:\
B1: Xác định (Q) v Chứng minh (Q)

(P).
B2: Xác định giao tuyến của (P) v (Q).
B3: Trong (Q) hạ đờng vuông góc với giao tuyến.

Giải
( T v hỡnh)
a) Tính
))(,(
1
CDASd
:
Ta có, CD

AD v CD

SA nên CD

(SAD)
Hay (A
1

CD)

(SAD) vì CD

(A
1
CD).
Có A
1
D = (A
1
CD)

(SAD). Trong (SAD) kể SH

A
1
D.
Suy ra, SH

(A
1
CD) hay
))(,(
1
CDASd
= SH.
Xét

SA

1
D có
ADSASDASHS
SADDSA
.
2
1
.
2
1
2
1
.
2
1
1
1
===

DA
ADSA
SH
1
2
.
=

Có SA = a, AD = a,
2
5

4
2
2
22
11
a
a
a
ADAADA
=+=+=

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HOC – LUYỆN THI ĐẠI HOC


VŨ NGỌC VINH

2
Suy ra,
5
5
2
5
.2
.
2
.
1
a
a
aa

DA
ADSA
SH ===

b) TÝnh
),( SDACd
:
Trong (ABCD) kÎ d ®i qua D vμ song song víi AC c¾t AB t¹i B.
Khi ®ã, AC // = DB = a
2
, AB // = CD = a.
⇒
AC // (SBD) mμ SD
∈
(SBD)
Suy ra,
))'(,())'(,(),( DSBAdDSBACdSDACd ==

Gäi I lμ trung ®iÓm cña SB.
XÐt
Δ
SAB c©n t¹i A (v× SA = AB = a) nªn AI
⊥
SB

Δ
SBD ®Òu (SD = SB = DB = a
2
) nªn DI
⊥

SB
⇒
SB
⊥
(ADI) hay (SBD)
⊥
(ADI)
Cã DI = (SBD)
∩
(ADI). Trong (ADI) kÎ AK
⊥
DI
⇒
AK
⊥
(SBD)
Suy ra,
AKDSBAdDSBACdSDACd === ))'(,())'(,(),(

XÐt
Δ
ADI vu«ng t¹i A v× AD
⊥
(SAB), AI
∈
(SAB) nªn AD
⊥
AI
DI
ADAI

AKDIAKADAIS
ADI
.
.
2
1
.
2
1
=⇒==⇒

Cã AD = a, AI =
2
6
2
2
222
aa
aSISA =+=+
,
2
6a
DI =

(trung tuyÕn cña tam gi¸c ®Òu).
Suy ra,
a
a
a
a

DI
ADAI
AK ===
2
6
.
2
6
.

VËy
),( SDACd
= a.

VÝ dô 2:
Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y lμ h×nh thoi t©m O c¹nh a, gãc ABC b»ng 60
0
.
SO
⊥
(ABCD) vμ SO =
a
4
3

a) TÝnh
))(,( SCDOd
.
b) TÝnh
),( ABSOd

.

Gi¶i
( Tự vẽ hình)
a)
))(,( SCDOd
:
Trong (ABCD) kÎ d qua O vu«ng gãc víi AD vμ BC t¹i E vμ F.
Khi ®ã, EF
⊥
CD vμ SO
⊥
CD mμ EF
∩
SO trong (SEF)
⇒
CD
⊥
(SEF) cã CD
∈
(SCD)
⇒
(SEF)
⊥
(SCD)
Mμ SF = ((SEF)
∩
(SCD). Trong (SEF) kÎ OH
⊥
SF

Suy ra, OH
⊥
(SCD) hay
OHSCDOd =))(,(

XÐt
Δ
SOF cã
SF
OFSO
OHOFSOSFOHS
SOF
.
.
2
1
.
2
1
=⇒==

CHUYấN HèNH HOC LUYN THI I HOC


V NGC VINH

3
Có SO =
a
4

3

Trong

OCD có
222
111
ODO
COF
+=

Có
2
3
,
2
a
OD
a
OC ==
(vì ABCD l hình thoi có
)60

0
=CBA

Nên
4
3
3

16
4
3
1
4
11
2222
a
OF
a
aa
OF
==+=


Trong

SOF có
2
3
16
3
16
9
22
22
aaa
OFSOSF =+=+=

Suy ra,

8
3
2
3
4
3
.
4
3
. a
a
aa
SF
OFSO
OH ===

Vậy
8
3
))(,(
a
OHSCDOd ==

b) Tính
),( ABSOd
:
Trong (ABCD) kẻ d qua O song song với AB v CD cắt BC v AD lần lợt tại M v N.
Vì AB // MN nên AB // (SMN). Khi đó,
))(,())(,(),( SMNEdSMNABdABSOd ==

Vì AB

SO, AB

EF nên AB

(SEF) m MN // AB

MN

(SEF) hay (SEF)


(SMN)
Có SO = (SEF)

(SMN). Lại có, EO

SO nên EO

(SMN) hay
EOABSOd =),(

M EO = OF. Khi đó,
4
3
),(
a
OFEOABSOd ===

* CH í.
DNG NG VUễNG GểC CHUNG CA HAI NG THNG CHẫO NHAU

B 1: Xác định (P) chứa đờng thẳng a v vuông góc với đờng thẳng b.
B 2: Xác định giao điểm I của (P) v b.
B 3: Trong (P) kẻ IH

a.
B 4: Vì b

(P) nên b

IH. Suy ra IH l đoạn vuông góc chung của a v b.


Lu ý trng hp c bit a vuụng gúc vi b:
- Dng mp(P) qua a (chng hn) vuụng gúc vi b ti B.
- Trong (P) qua B v ng thng vuụng gúc vi a ti A
- AB l ng vuụng gúc chung cn dng



CHUYấN HèNH HOC LUYN THI I HOC


V NGC VINH

4
Bi tp.

1) Cho tứ diện ABCD có đáy BCD l tam giác đều cạnh a v AD = a, AD

BC. Khoảng
cách từ A đến BC l a. Gọi M l trung điểm của BC.
Xác định v tính đoạn vuông góc chung của AD v BC.

2) Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a.
Dựng v tính đoạn vuông góc chung của BD v CB.
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy l hình vuông cạnh a tâm O v SA

(ABCD)
SA =
6a
.
a) Dựng v tính đoạn vuông góc chung của các đờng thẳng SC v BD.
b) Dựng v tính đoạn vuông góc chung của SC v AD.
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy l hình thoi cạnh a tâm O v
0
60

=DAB
. Có SA = SC, SB
= SD =
3a
.
a) Dựng v tính đoạn vuông góc chung giữa AD v SB.
b) Dựng v tính đoạn vuông góc chung giữa hai đờng thẳng BD v SC.

CHUYấN HèNH HOC LUYN THI I HOC


V NGC VINH

5
Phần II.

CC BI TON V TH TCH KHI A DIN V KHI TRềN
* Thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c l 3 kích thớc của khối hp chữ nhật

b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
* Thể tích khối cầu, khối trụ, khối nón
a)Thể tích khối cầu V =
3
3
4
R

, R: bán kính mặt cầu
b)Thể tích khối trụ V = S
đáy
.h , h: chiều cao
c)Thể tích khối nón V =
3
1
S
đáy
.h , h: chiều cao

yBi 1:
Cho lng tr ng ABC.ABC cú ỏy ABC l mt tam giỏc vuụng ti A, AC = b
,

0
C60=
.ng chộo BC ca mt bờn BBCC to vi mp(AACC) mt gúc
0
30
.
1/Tớnh di on AC
2/Tớnh V khi lng tr.
yBi 2:
Cho lng tr tam giỏc ABC.ABC cú ỏy ABC l mt tam giỏc u cnh a v im A
cỏch u cỏc im A,B,C.Cnh bờn AA to vi mp ỏy mt gúc
0
60
.
1/Tớnh V khi lng tr.
2/C/m mt bờn BCCB l mt hỡnh ch nht.
3/Tớnh
xq
S
hỡnh lng tr.
yBi 3:
Tớnh V khi t din u cnh a.
yBi 4:
Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD.
1/Bit AB =a v gúc gia mt bờn v ỏy bng

,tớnh V khi chúp.
2/Bit trung on bng d v gúc gia cnh bờn v ỏy bng

.
Tớnh V khi chúp.
yBi 5:
Cho hỡnh chúp tam giỏc u S.ABC.
1/Bit AB=a v SA=l ,tớnh V khi chúp.
2/Bit SA=l v gúc gia mt bờn v ỏy bng

,tớnh V khi chúp.
yBi 6
: Hỡnh chúp ct tam giỏc u cú cnh ỏy ln 2a, ỏy nh l a, gúc gia ng
cao vi mt bờn l
0
30
.Tớnh V khi chúp ct .
yBi 7:
Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy R v cú thit din qua trc l mt hỡnh vuụng.
1/Tớnh
xq tp
SvaS
ca hỡnh tr .
2/Tớnh V khi tr tng ng.
3/Tớnh V khi lng tr t giỏc u ni tip trong khi tr ó cho .
yBi 8:
Mt hỡnh tr cú bỏn kớnh ỏy R v ng cao
R3
.A v B l 2 im trờn 2