Các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số và bài toán khoảng cách
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (674.09 KB, 17 trang )
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Chủ đề 9:
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
VÀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
I- TỔNG QUAN CÁC DẠNG TOÁN:
Dạng toán: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ TOẠ ĐỘ NGUYÊN
Phương pháp: Thông thường, ta gặp dạng toán này đối với hàm nhất biến và hàm hữu tỷ.
ax b
+ Với hàm số y
, ad bc .
cx d
ax b a
bc ad
1
bc ad
.
Phân tích: y
a
cx d
c c cx d c
cx d
Gọi M x 0 ; y0 C có toạ độ nguyên, khi đó:
bc ad
c
a
1
bc ad
cx
d
x 0, y 0 a
chọn được x 0, y 0 .
c
cx d
bc
ad
a
cx
d
ax 2 bx c
+ Với hàm số y
, aa ' 0 .
a ' x b '
2
a ' c b ' a ' b b ' a
ax 2 bx c
1
.
2 a.a ' x a ' b ab '
Phân tích: y
a ' x b '
a ' x b '
a
Gọi M x 0 ; y0 C có toạ độ nguyên, khi đó:
2
a ' c b ' a ' b b ' a
1
x 0, y 0 2 a.a ' x a ' b ab '
a ' x b '
a
2
a
'
c b ' a ' b b ' a 2
a.a ' x a ' b ab '
a
a
'
x
b
'
chọn được x 0, y 0 .
2
a ' c b ' a ' b b ' a
a
.
a
'
x
a
'
b
ab
'
a 'x b '
Dạng toán:
BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Phương pháp: Để giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, ta thường dùng các kết quả
sau:
1) Khoảng cách giữa hai điểm A x A; yA , B x B ; yB : AB (x B x A )2 (yB yA )2 .
2) Khoảng cách từ M 0 x 0 ; y0 đến đt : ax by c 0 : d M 0 ;
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
1
ax 0 by 0 c
a 2 b2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Đặc biêt: : x a 0 d M 0; x 0 a và : y b 0 d M 0 ; y0 b .
Ox d M 0 ;Ox y0 và Oy d M 0 ;Oy x 0
Lưu ý: Sử dụng các BĐT, phương pháp đạo hàm để giải các bài toán cực trị.
Dạng toán:
CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐỐI XỨNG
Phương pháp: Điểm M x 0 ; y0 .
+ Điểm đối xứng với M qua Ox là: M1 x 0 ; y0 .
+ Điểm đối xứng với M qua Oy là: M 2 x 0 ; y0 .
+ Điểm đối xứng với M qua gốc O là M / x 0 ; y0 .
+ Điểm A, B được gọi là đối xứng với nhau qua I khi thoả mãn đẳng thức trung điểm.
+ Điểm A, B được gọi là đối xứng với nhau qua là đường trung trực của AB.
II- BÀI TẬP MINH HOẠ:
2x 1
Bài tập 1: Cho hàm số y
. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là các số
x 1
nguyên.
1
Bài giải: TXĐ: D \ 1 . Ta có y 2
x 1
1
Điểm M 0 x 0 ; y0 trên đồ thị có tọa độ nguyên x 0 1
x 0 1 là ước của 1.
x Z
0
x 1 1
x 0 y 1
0
0
0
x 0 1 1
x 0 2 y 0 3
Vậy trên đồ thị có 2 điểm có tọa độ nguyên là M1 0;1, M 2 2; 3 .
3x 2 5x 14
Bài tập 2: Cho hàm số y
. Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là
6x 1
các số nguyên.
1
1
53
Bài giải: TXĐ: D \
. Ta có y 2x 3
6
4
6
x
1
Điểm M 0 x 0 ; y0 trên đồ thị có tọa độ nguyên
53
53
53
4
2
x
3
2
x
3
4
4
2x 3
6
x
1
6x 1
6
x
1
6x 1 1
53
53
2
x
3
6x 1
6x 1 53
6x 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x 0 y 14
x 9 y 4
Vậy trên đồ thị có 2 điểm có tọa độ nguyên là M1 0;14, M 2 9; 4 .
Bài tập tương tự: Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của mỗi hàm số sau, sao cho toạ độ
của chúng là các số nguyên:
x2
1 2x
3x 2 2
x 2
a) y
b) y
c) y
d) y
2x 1
3x 1
5x 1
2x 3
Đề 39: Cho hàm số: y
3x 4
. Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận.
x 2
Bài giải: TXĐ: D \ 2
Gọi M x ; y (C) và cách đều 2 tiệm cận x 2 và y 3 .
Ta có: | x 2 y 3 x 2
3x 4
x
2 x 2
x 2
x 2
x
x 2
x 1
x 2
x x 2
x 4
x 2
Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là: M1 1;1 và M 2 4; 6 .
x 2 2x 2
Bài tập 2: Cho hàm số y
C . Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng
x 1
khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.
Bài giải:
TXĐ: D R \ 1 .
Ta có: lim y x 1 d1 : x 1 0 là tiệm cận đứng của (C).
x 1
và lim y x 1 0 y x 1 d2 : x y 1 0 là tiệm cận xiên của (C).
x
x 02 2x 0 2
1
Gọi M 0 x 0 ; y0 (C ) y 0
x0 1
x 1
x0 1
x0 1 0
* Khoảng cách từ M đến d1 là h1 x 0 1 .
* Khoảng cách từ M đến d 2 là h2
Khi đó: h1 h2 x 0 1
nên h1 h2 min bằng
4
x 0 y0 1
2
1
.
2 x0 1
1
4 8 B§T Cauchy
2 x0 1
8 khi
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
3
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x 1 1 y 1 4 2
0
4
4
0
2
1
1
2
2
x0 1
x0 1
1
1
2
2 x0 1
x 0
1 y0
42
4
4
2
2
1
1
1
1
Vậy có 2 điểm thỏa y.c.bt là M 1
1;
4 2 và M 2
1;
4 2 .
4
4
4 2
4 2
2
2
Bài tập 2: (Đề dự bị 2007) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên
x 2 4x 3
đồ thị hàm số (C): y
đến các đường tiệm cận của nó là hằng số.
x 2
Bài giải: TXĐ: D \ 2
7
.
x 2
Ta có: lim y ; lim y x 2 x 2 0 là tiệm cận đứng của (C)
Gọi (C ) là đồ thị của hàm số. Gọi M x ; y C y x 2
x 2
x 2
và lim y x 2 0 ; lim y x 2 0 y x 2 x y 2 0 là
x
x
tiệm cận xiên của (C).
Ta có:
+ Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là d1
x y 2
2
7
2 x 2
+ Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d 2 x 2
Ta có d1.d 2
7
2 x 2
. x 2
7
2
: hằng số (đ.p.c.m)
Bài tập 3: Cho hàm số y x 3 6x 2 9x 4 C . Tìm trên đồ thị (C) những điểm từ đó
kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị.
Bài giải:
TXĐ: D .
Gọi M x 0 ; y0 (C ) y0 x 03 6x 02 9x 0 4 .
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua M: d : y k x x 0 y0
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
3
2
x 6x 9x 4 k x x 0 y 0 (1)
2
3x 12x 9 k
(2)
Thay (2) vào (1) ta được phương trình:
x x 0 2x 2 6 x 0 x x 02 6x 0 0
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x x
0
x x 0 2x 6 x 0 0
x x 0 6
2
Để từ đM kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị thì điều kiện là:
x 0 6
x 0 x 0 2 y0 2
2
Vậy điểm cần tìm là M 2; 2 .
2
Bài tập 4: Cho hàm số y
x2
C . Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (C) sao cho
x 1
độ dài AB ngắn nhất.
Bài giải: TXĐ: D \ 1 .
Ta có: lim y ; lim y x 1 là tiệm cận đứng của (C).
x 1
x 1
Gọi A x A; yA , B x B ; yB nằm trên hai nhánh của (C) khi:
x 1 a y 2 a 1 a 0
A
A
a
x 1 b y 2 b 1 b 0
B
A
b
Khi đó:
x B x A yB yA
2
AB
2
2
1 1
b a b a
b a
2
2
1
2
b
a
2
a 2b2 ab
Theo BĐT Cauchy: a b 2 ab , suy ra:
1
2
4
AB 4ab 2 2 2 8ab 8
ab
ab
ab
4
2 32 , suy ra AB 2 32 8 8 1 2
ab
a b
1
a b
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi
4
4
8ab
2
ab
1
1
1
1
;2
4 2 , B 1
;2
4 2 .
Vậy hai điểm cần tìm là A 1
4
4
4
4
2
2
2
2
Theo BĐT Cauchy: 8ab
Bài tập 1: Cho hàm số y 2x 2 3x 1 có đồ thị (P) và đường thẳng : y x 5 . Tìm
các điểm M P , N sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài giải: D .
Gọi M m;2m 2 3m 1 P , N n; n 5 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
5
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ta có: MN m n;2m 2 3m 1 n 5
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
MN 2 m n 2m 2 3m 1 n 5
2
2
2
2
m n m 5 2 m 2 2m 3
2
2
2 m n m 2 2m 3 2 m 2 2m 3
2
2
2
2
2 m 2m 3 2 m 1 2 8 MN 2 2 .
m 1
m 1 M 1; 0
Đẳng thức xảy ra
.
m n m 2 2m 3 0
n 3 N 3; 2
2
x 2 4x 5
có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M có
x 2
khoảng cách đến đường thẳng : 3x y 6 0 nhỏ nhất.
Bài giải: D .
x 2 4x 5
0
C , x 2 .
Gọi M x 0 ; 0
0
x 0 2
Bài tập 1: Cho hàm số y
Gọi d là khoảng cách từ M đến đường thẳng : 3x y 6 0 .
4x 02 16x 0 17
1
1
2 10
4 x 0 2
Ta có: d M ;
.
x0 2
x0 2
5
10
10
x 3 y 5
0
1
0
2
2 .
Đẳng thức xảy ra 4 x 0 2
5
x0 2
x y 5
0
0
2
2
3 5
5 5
Vậy các điểm cần tìm là M 1 ; ; M 2 ; .
2 2
2 2
1
Bài tập 5: Cho hàm số y x 1
4
C . Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục
x 1
tọa độ.
Bài giải: TXĐ: D \ 1 .
4
x 1 . Do M cách đều hai trục tọa độ nên
x0 1 0
M nằm trên hai đường thẳng y x hoặc y x , suy ra:
Gọi M x 0 ; y0 (C ) y0 x 0 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
6
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyờn KHO ST HM S
x 1 4 x x 3 y 3
0
0
0
0
x0 1
4
x 0 1
x 0 vô nghiệm
x
1
0
Vy cú mt im M 3; 3 tha y.c.b.t.
Bi tp 6: Cho hm s y
x 1
x 2
Luyn thi THPT Quc gia 2016
C . Tỡm trờn (C) nhng im i xng nhau qua gc
ta .
Bi gii: TX: D \ 2 .
Gi M1 x 0 ; y0 , M 2 x 0 ; y0 l cp im trờn (C) i xng nhau qua gc ta .
Suy ra:
x0 1
x 2 y 1 2
y0
0
0
x0 1 x0 1
x0 2
2
2 2
x
2
0
x 0 1
x 1
x0 2 x0 2
x 2 y 1 2
y 0
y0 0
0
0
x 0 2
x0 2
2 2
1 2
1 2
Vy trờn (C) cú hai im tha y.c.b.t l M 1 2;
,
M
2;
.
2
2 2
2 2
38: ( d b 2006) Tỡm trờn th (c) : y
x3
11
x 2 3x
hai im phõn bit
3
3
M, N i xng nhau qua trc tung.
Bi gii: TX: D
Gọi M x1; y1 , N x 2 ; y2 C đối xứng nhau qua Oy. Lúc đó ta có:
x 2 x 1 0
x 2 x 1 0 3
x1
x 13
11
11
2
y
y
x 1 3x 1 x 12 3x 1
1
2
3
3
3
3
x 3
x 3
x 2 x 1 0
1
2
2x 3
16
16
1
y1
y2
6x 1 0
3
3
3
16
16
16
16
Vậy có 2 cặp điểm thỏa y.c.b.t là M 3; ; N 3; hoặc M 3; ; N 3; .
3
3
3
3
34: Cho hm s y
2x 4
(C). Tỡm trờn th (C) hai im A, B i xng nhau qua
x 1
ng thng MN, bit M 3; 0 , N 1; 1 .
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...
7
CLB Giỏo viờn tr TP Hu
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài giải: TXĐ: D \ 1
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Phương trình đường thẳng MN : x 2y 3 0 .
6
6
, B b; 2
, a, b 1
Xét hai điểm A, B trên đồ thị (C), ta có A a; 2
a 1
b 1
a b
3
3
là trung điểm của đoạn đoạn AB
Gọi I
; 2
2
a 1 b 1
Theo yêu cầu của bài toán ta có
3
3
b a
0
AB
MN
AB
.
MN
0
a
1
b
1
...
b a
6
6
I MN
I
MN
7
a 1 b 1
2
Vậy A 2; 0 ; B 0; 4 hoặc B 2; 0 ; A 0; 4
a 2
b 0
a 0
b2
Đề 11: (ĐH B-2003) Tìm m để đồ thị hàm số y x 3 3x 2 m có hai điểm phân biệt đối
xứng nhau qua gốc toạ độ.
Bài giải: TXĐ: D
Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ
tồn tại x 0 0 sao cho y x 0 y x 0
3
2
tồn tại x 0 0 sao cho x 03 3x 02 m x 0 3 x 0 m
tồn tại x 0 0 sao cho 3x 02 m.
m0
1
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: m 0 .
2
2x 1
Bài tập 7: Tìm trên đồ thị y
hai điểm A, B sao cho A và B đối xứng nhau qua
x 3
điểm M 1; 2 .
Bài giải: TXĐ: D \ 3
2a 1 2b 1
, B b;
, a, b 3 .
Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm là A a;
a 3 b 3
Vì A, B đối xứng nhau qua M 1; 2 nên M là trung điểm của AB , do đó:
a b 2.1
a b 2
a b 2
2a 1 2b 1
2a 1 2b 1
ab 8
2. 2
4
a
3
b
3
a
3
b
3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
8
a 4 b 2 .
a 2 b 4
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Vậy các điểm cần tìm là A 4;1, B 2; 5 hoặc A 2; 5, B 4;1 .
Có thể trình bày cách khác, thông qua bài tập sau:
x 2 3x 6
Bài tập 7: Tìm trên (C): y
tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua
x 2
1
I ;1 .
2
Bài giải: TXĐ: D \ 2
1
Gọi M x ; y , M ' x '; y ' C , x, x ' 2 và đối xứng nhau qua I ;1 .
2
x x ' 1
x ' 1 x
Khi đó ta có hệ:
M ' 1 x ;2 y .
y
y
'
2
y
'
2
y
x 2 3x 6
y
x 2
Vì M x ; y , M ' x '; y ' C
x2 x 4
2 y
x 1
x 2 y 4
x2 x 6 0
x 2 3x 6 x 2 x 4
2
x
1;
x
2
x 2
x 1
x 3 y 6
Vậy trên (C) có đúng1 cặp điểm là M 2; 4, M ' 3;6 .
Bài tập 7: Tìm trên (C): y
x2
các điểm A, B đối xứng nhau qua : y x 1
x 1
Bài giải: TXĐ: D \ 1
A, B đối xứng nhau qua là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Vì AB AB : y x m .
Xét phương trình hoành độ giao điểm của AB và (C):
x2
x m g x 2x 2 m 1 x m 0 (1)
x 1
Để A, B tồn tại Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 1
g 0
2
m 1 8m 0 m 2 6m 1 0
g 1 0
m ; 3 8 3 8; .
m 1
xA xB
2 .
Khi đó, x A, x B là các nghiệm của (1):
m
x x
2
A B
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
9
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x x A x B
m 1 3m 1
.
Gọi I là trung điểm AB
I
;
I
2
4
4
y
x
m
I
I
3m 1 m 1
1 m 1.
4
4
x 2 y 2 2
A
A
2
2
+ Với m 1 , ta được: (1) 2x 2 1 0
.
2
2
2
x B
yB
2
2
2 2 2
; B 2 ; 2 2 là các điểm cần tìm.
Vậy A ;
2
2
2
2
Điểm I
Bài tập 4: Xác định k để trên (C): y
x 2 2x 2
có 2 điểm P, Q khác nhau thoả mãn
x 1
x P yP k
điều kiện:
.
x
y
k
Q
Q
Bài giải: TXĐ: D \ 1
yP x P k
x P yP k
P, Q : y x k
Theo giả thiết P, Q thoả mãn:
xQ yQ k
yQ xQ k
Do đó, P, Q là 2 giao điểm phân biệt của và (C).
Xét phương trình hoành độ giao điểm của và (C):
x 2 2x 2
x k g x 2x 2 k 3 x k 2 0, x 1
x 1
Để tồn tại P, Q thoả yêu cầu bài toán Phương trình g x 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
g 0
k
3
8 k 2 0
k 2 2k 7 0
x 1
g 1 0
10
k ;1 2 2 1 2 2; .
Bài tập 7: Cho hàm số y
x2 6
x 3
C . Tìm trên (C) những điểm cách đều hai đường tiệm
cận của (C).
Bài giải:TXĐ: D \ 0 .
Ta có: lim y d1 : x 0 là tiệm cận đứng của (C).
x 0
1
1
1
x 0y
x d2 :
x y 0 là tiệm cận xiên của (C).
và lim y
x
3
3
3
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115... 10
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
1
1
Gọi M 0 x 0 ; y0 (C ) y0
x0
3
x0 3
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x
0
1
* Khoảng cách từ M đến d1 là h1 x 0 .
* Khoảng cách từ M đến d 2 là
h2
3 1
3 1
1
1
3
6
3
.
x 0 y0
x0
x0
.
2
2
2
x
3
3
3
x0 3
x0 3
0
Điểm M cách đều 2 đường tiệm cận khi chỉ khi
3
h1 h2
x 0 x 02 3
x0
Vậy có 1 cặp điểm thỏa y.c.b.t là M 1
x 3 y 3
0
0
x 0 3 y 0 3
3; 3 và M 2 3; 3 .
Bài tập 7: (ĐH D-2014) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): y x 3 3x 2 sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M có hệ số góc bằng 9.
Bài giải: TXĐ: D
Ta có y / 3x 2 3 .
Gọi M C M a; a 3 3a 2 .
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng 9 y / a 9 .
a 2
3a 2 3 9 a 2 4
.
a
2
Tọa độ điểm M thỏa yêu cầu bài toán là M 2; 0 hoặc M 2; 4 .
Bài tập 7: Cho A 0;1 và I m; 1 , tìm m để trên C m : y
2m x
tồn tại điểm B
x m
sao cho tam giác ABI vuông cân tại A .
Bài giải: TXĐ: D \ m
m 2b
2m b
Xét B b;
C AB b;
b m m
m b
Ta có I m; 1 AI m; 2 .
AB
.AI 0
Tam giác ABI vuông cân tại A
2
AB AI 2
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
11
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
m 2b
m 2b
bm
mb 2
0
1
m
b
m
b
2
2
m 2b
m 2b 2
2
2
2
2
m 4 b
m 4 b
2
m b
4
2 m2 b2 4 4 b2 4 0 b2 4 m2 4 0 b2 4 b 2 .
m 1
m 4
m 1
m 4
2
* b 2 thay vào 1 ta được:
m m 3m 4 0
m 2
m 4
Vậy m 1, m 4 là những giá trị cần tìm.
* b 2 thay vào 1 ta được:
m 4
m m 2 3m 4 0
m 2
Bài tập 7: Xác định tất cả những điểm M trên đồ thị C : y
số C tiếp xúc với đường tròn tâm I 1;2 tại M .
2x 2
sao cho đồ thị hàm
x 1
Bài giải: TXĐ: D \ 1
2x 2
.
Cách 1: Giả sử M x 0 ; 0
x 0 1
Phương trình tiếp tuyến tại M : y
hay
4
x
1
2
0
x y
2x 02 4x 0 2
x
1
2
0
4
x
1
2
0
0
x x
0
2x 0 2
x0 1
4
Vectơ chỉ phương của đường thẳng : u 1;
2
x 0 1
4
.
Ta có IM x 0 1;
x 0 1
x 3 M 3; 4
16
0 0
Mặt khác u.IM 0 x 0 1
3
x 0 1 M 1; 0
x 0 1
Cách 2: Nhận thấy I 1;2 là tâm của hypebol. Do đó C tiếp xúc với đường tròn tâm I
2x 2
MI
theo bán kính nhỏ nhất. Gọi M x 0 ; 0
x 0 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
12
x
1
0
16
2
x
1
2
0
2 2
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x 3
4
.
0
x
1
x0 1
0
Vậy M 3; 4; M 1; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dấu “=” xảy ra x 0 1
Bài tập 7: (ĐH A-2014) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): y
M đến đường thẳng y x bằng
x 2
sao cho khoảng cách từ
x 1
2.
Bài giải: TXĐ: D \ 1
a 2
, a 1.
Gọi M C M a;
a 1
a
Khoảng cách từu M đến đường thẳng y x là d
a 2
a 1
2
.
a 2a 4 0
Theo giả thiết d 2 a 2 2 2 a 1 2
.
a 2a 0
+ a 2 2a 4 0 : phương trình vô nghiệm.
a 0
+ a 2 2a 0
. Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là M 0; 2 hoặc M 2; 0 .
a
2
1
Bài tập 7: Tìm m để khoảng cách từ I ; 4 đến đường thẳng đi qua hai cực trị của
2
2
C : y mx
m
3
3mx 2 2m 1 x 3 m là lớn nhất.
Bài giải: TXĐ: D
Ta có: y ' 3mx 2 6mx 2m 1
C có hai điểm cực trị y ' 0 có 2 nghiệm phân biệt đồng thời đổi dấu hai lần qua mỗi
m
m 0
nghiệm đó, tức là ta luôn có:
2
3
m
3
m
0
m 0
m 1 .
Với m 0 hoặc m 1 thì C m luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa
mãn phương trình 3mx 2 6mx 2m 1 0* .
1
1
x 1 3mx 2 6mx 2m 1 2 2m x 10 m ,
3
3
1
suy ra y 2 2m x 10 m do * là đường thẳng đi qua 2 cực trị.
3
Và y
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
13
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
Đặt : y 2 2m x 10 m : 2 2m x 3y 10 m 0
3
2m 1
1
Cách 1: d I ;
2
18
6
2 2m 9
1
2
2
m
1
2
m
1
hay d I ;
Vậy với m
1
2
3 2
1
1
2m 1
2
2
2 , đẳng thức xảy ra khi m
5
.
2
5
thì max d I ; 2 .
2
1
Cách 2: Dễ thấy luôn đi qua điểm cố định M ; 3 với m .
2
Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên , khi đó d I ; IN IM , do đó
từ I đến bằng IM khi và chỉ khi IM tức
2 2m
5
kIM .k 1
.1 1 m .
3
2
Chú ý: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TOẠ ĐỘ NGẮN NHẤT
khoảng
cách
VỚI HÀM SỐ y
là
ax b
.
cx d
Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này, thể hiện qua các bài tập sau:
Bài tập 1: Tìm trên (C): y
trục toạ độ là nhỏ nhất.
x 1
những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2
x 2
Bài giải: TXĐ: D \ 2 .
x 1
C , x 2 .
Gọi M x ;
x 2 0
Lúc đó: d M d M ,Ox d M ,Oy x
x 1
.
x 2
1
1
Do C Oy A 0; và C Ox B 1; 0 d A .
2
2
1
1
1
x y x .
2
2
2
1
x 1
x 1
3
TH 1: Xét 0 x d M x y x
.
x
x 1
2
x 2
x 2
x 2
Suy ra: d M d M ,Ox d M ,Oy
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
14
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
1
1
3
3
0; f x
Hàm số f x x 1
, x 0; f / x 1
0,
x
2
2
2
x 2
x 2
1
1
0; 1 .
đồng biến trên 0; . Vậy min
,
tại
điểm
f
x
f
0
M
1
1
2
2
2
x 0;
2
1
x 1
TH 2: Xét x 0 d M x y x
.
2
x 2
x 1
3
x 1
x 2
x 2
1
3
3
Hàm số f x x 1
, x 0; f / x 1
2
2
x 2
x 2
x
3 x 2
2
x 2
2
1
0, x ; 0 f x nghịch biến trên
2
Vậy min
f x f 0
1
x ;0
2
1
; 0 .
2
1
1
, tại điểm M 1 0; .
2
2
1
Vậy điểm cần tìm là M 1 0; .
2
Bài tập 2: Tìm trên (C): y
trục toạ độ là nhỏ nhất.
x 1
những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2
x 1
Bài giải: TXĐ: D \ 1 .
m 1
C , m 1 .
Gọi M m;
m 1
Lúc đó: d M d M ,Ox d M ,Oy m
m 1
.
m 1
Do C Oy A 0; 1 và C Ox B 1; 0 d A d B 1 .
m 1
0 m 1.
Suy ra: d M d M ,Ox d M ,Oy 1 m 1
1
m 1
m 1
2
Lúc đó: d M d M ,Ox d M ,Oy m
m 1
2
m 1
m 1
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
15
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
2 m 1.
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
2
2 2 2 2 . Vậy min d M 2 2 2 khi m 1
m 1
m 1
m 2 1 M
Vậy điểm cần tìm là M
2 1;1 2
2 1;1 2 .
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
x 2 4x 4
Bài tập 1: Cho hàm số y
.
x 1
a) Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là các số nguyên
b) Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ
nhất.
2x 3
Bài tập 1: Cho hàm số y
C . Tìm trên (C) những điểm đối xứng nhau qua gốc
x 1
tọa độ.
x2 x 5
Bài tập 1: Cho hàm số y
C . Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (C)
x 2
sao cho độ dài AB ngắn nhất.
x2 x 1
Bài tập 1: Xác định m để trên (C): y
có 2 điểm P, Q khác nhau thoả mãn
x 1
x P yP m
điều kiện:
.
xQ yQ m
Bài tập 1: Cho hàm số y x 3 3x 2 4 C . Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục
tọa độ.
Bài tập 1: Xác định m để (C): y x 3 m 3 x 2 mx m 5 có 2 điểm đối xứng
nhau qua gốc toạ độ.
Bài tập 1: Xác định m để (C): y x 3 1 m x 2 4 m x 1 có 2 điểm đối xứng
nhau qua gốc toạ độ.
Bài tập 1: Xác định m để (C): y x 3 mx 2 7x 3 có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc
toạ độ.
x 2 4mx 5m
Bài tập 1: Xác định m để (C): y
có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ
x 2
độ.
x 2 mx m 2
Bài tập 1: Xác định m để (C): y
có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ
x 1
độ.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
16
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ
Luyện thi THPT Quốc gia 2016
x x 2
Bài tập 1: Tìm tất cả các cặp điểm A, B thuộc (C): y
đối xứng nhau qua
x 1
5
I 0; .
2
2
x2 x 1
Bài tập 1: Tìm hai điểm A, B thuộc (C): y
đối xứng nhau qua : y x 1.
x 2
x2
Bài tập 1: Tìm hai điểm A, B thuộc (C): y
đối xứng nhau qua : y x 1.
x 1
x 2 3x 4
Bài tập 1: Tìm hai điểm A, B thuộc (C): y
đối xứng nhau qua : y x .
2x 2
IV- TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1) Tuyển tập đề thi ĐH - CĐ toàn quốc
Bộ giáo dục và đào tạo
2) Phương pháp hàm số
Lê Hồng Đức
3) Tuyển tập đề thi thử ĐH trên toàn quốc
4) 18 Chủ đề Giải tích 12
Nguyễn Phú Khánh-Nguyễn Tất Thu
5) Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
NXB Giáo dục Việt Nam
6) Các bài viết chuyên đề từ các website Toán học
P/S: Các bài tập trong tài liệu chưa nhận được sự cho phép của quí thầy cô và các cơ
quan liên quan, nhưng tài liệu biên soạn chỉ với mục đích chia sẽ cho đồng nghiệp và tặng
cho các em học sinh có nguồn tư liệu quí để phục vụ khả năng tự học nên chúng tôi xin phép
các tác giả, xin cảm ơn các tác giả!
Trong quá trình biên soạn không thể tránh khỏi sai sót, kính mong quí thầy cô và các em
học sinh đóng góp để các bản update tiếp theo được hoàn thiện hơn! Xin chân thành cám
ơn!
CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ
Phụ trách chung: Giáo viên LÊ BÁ BẢO.
Đơn vị công tác: Trường THPT Đặng Huy Trứ, Thừa Thiên Huế.
Email:
Facebook: Lê Bá Bảo
Số điện thoại: 0935.785.115
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
17
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
