Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán phổ thông các điểm đặc biệt trên đồ thị
hàm số (các điểm cực trị, điểm uốn, điểm cố định của họ đồ thị, điểm
không đi qua của họ đồ thị,…) là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả những
người học toán và làm toán. Các bài tập này rất phong phú và đa dạng.Vì
vậy các bài toán liên quan đến các điểm đặc biệt của hàm số thường
xuyên có mặt trong các kì thi phổ thông trung học cũng như trong các kì
thi học sinh giỏi và các đề thi đại học cao đẳng.
Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt
và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tuy nhiên đứng trước
một bài toán về các điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số thì mỗi người đều
phải có hướng xuất phát riêng của mình. Nói như vậy có nghĩa là có rất
nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán. Điều quan
trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu nhất.Thật là
khó nhưng cùng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết
nó.
Với những lý do trên, sự đam mê của bản thân cùng với sự hướng
dẫn nhiệt tình của thầy thạc sĩ Phạm Lương Bằng, em mạnh dạn thực
hiện bài khóa luận của mình với tựa đề: “ Các điểm đặc biệt trên đồ thị
của hàm số”
2. Mục đích nghiên cứu
Nhận dạng và thể hiện là một trong những việc quan trọng trong
quá trình rèn luyện khả năng làm toán của mỗi người. Lời giải của bài
toán sẽ tốt hơn nếu ta xác định được đúng đối tượng.

Đinh Thị Quế

1

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lí thuyết
- Nghiên cứu các loại điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số
- Xây dựng hệ thống bài tập minh họa.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
 Đối tượng nghiên cứu
- Các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số.
 Phạm vi nghiên cứu
- Chương trình toán phổ thông.
- Các vấn đề về các điểm đặc biệt trên đồ thị của hàm số.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- So sánh, phân tích, tổng hợp.
- Phương pháp đánh giá.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài lời cám ơn, mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo
khóa luận của em gồm 3 chương :
Chương 1 : Các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Chương 2 : Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị.
Chương 3 : Một số điểm đặc biệt khác.

Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài luận văn này còn
nhiều hạn chế, không tránh khỏi những sai sót.Em rất mong được sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo trong khoa toán và các bạn sinh
viên.

Đinh Thị Quế

2

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1.1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị :
Định lý Fecmat: Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục trong (a,b) và
x0  (a,b)
Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì
f’(x0) = 0
Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng. Có hàm số có đạo
hàm f '  x  = 0 tại xo nhưng không đạt cực trị tại xo (VD y = x3), có hàm
số đạt cực trị tại xo nhưng không có đạo hàm tại xo ( VD y = |x|).
Ví dụ: y = x3 có tập xác định D 
y ' = 3x2 => y ' = 0 khi và chỉ khi x = 0

x > 0 : f(x) > f(0)
x < 0 : f(x) < f(0)
=> f không có cực trị tại x = 0
1.2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :
- Dấu hiệu 1:
Cho hàm số y = f  x  có đạo hàm tại lân cận của điểm x0 (có thể
không có đạo hàm tại x0)
Nếu f '  x  đổi dấu từ + sang – khi x tăng qua x0 thì hàm số đạt
cực đại tại x0
Nếu f '  x  đổi dấu từ – sang + khi x tăng qua x0 thì hàm số đạt
cực tiểu tại x0
- Dấu hiệu 2 :

Đinh Thị Quế

3

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Cho hàm số y = f  x  có đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại x0
và f '  x0   0 , f(x) xác định tại lân cận x0
Nếu f ''  x  > 0 thì hàm số y =f(x) đạt cực tiểu tại x0
Nếu f ''  x  < 0 thì hàm số y= f(x) đạt cực đại tại x0.

1.3. Qui tắc tìm cực trị

1) Qui tắc 1.
Bước 1. Tính f '  x 
Bước 2. Tìm các điểm tới hạn của hàm số (nghiệm của f '  x  và
những điểm f '  x  không xác định)
Bước 3. Xét dấu f '  x  và kết luận về cực trị của hàm số (nếu có)
2) Qui tắc 2.
Bước 1. Tính f '  x 
Bước 2. Giải phương trình f '  x  = 0, tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,
...) và các điểm x0 trong TXĐ mà y' không xác định.
Bước 3. Tính f '  xi  , xác định dấu và kết luận về cực trị của hàm
số.
VD. Tìm cực trị của hàm số : y = x4 - 2x2.
Chú ý: Phân tích tính khả dụng của các qui tắc.

Đinh Thị Quế

4

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.4. Cực trị của các hàm số thường gặp
y
y

y  ax 4  bx 2  c

O

O

x

x

y  ax3  bx 2  cx  d

y

O

x
ax 2  bx  c
y
dx  e

1.4.1 Cực trị của hàm đa thức bậc 3
1.4.1.1 Tìm cực trị của hàm số đa thức bậc ba.
a) Phương pháp chung
Hàm đa thức bậc ba : y  f  x   ax 3  bx 2  cx  d
Bước 1: Tập xác định D 

.

Bước 2: Tính đạo hàm y ' , y  f   x   3ax 2  2bx  c
rồi giải phương trình y ' = 0.

Đinh Thị Quế

5

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bước 3: Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận.

a>0

a<0
y

y

Phương
trình
y '  0 có

hai
nghiệm

O

x

O

phân biệt

Phương

y

x

y

trình
y '  0 có

nghiệm
kép hoặc

O

x

x

O

vô
nghiệm

Chú ý: Kỹ năng tính nhanh cực trị
Giả sử   b2  3ac > 0, khi đó f   x   0 có 2 nghiệm phân biệt
2
x1 , x 2 với x1,2  b  b  3ac và hàm số đạt cực trị tại x1, x2.
3a

Đinh Thị Quế

6

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Theo định nghĩa ta có các cực trị của hàm số là:
2


y1  f  x1   f  b  b  3ac  ;

3a




2

y 2  f  x 2   f b  b  3ac
3a



Trong trường hợp x1, x2 là số vô tỉ thì các cực trị f (x1), f (x2) nếu
tính theo định nghĩa sẽ phức tạp hơn so với cách tính theo thuật toán
sau đây:
Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

2
f  x    1 x  b  f  x   2  c  b  x   d  bc 
9a 
3  3a  
9a 
3

hay

f  x   f   x .q  x   r  x  với bậc r  x   1

Bước 2:

   
   

y  f  x   r x   2 c  b2 x  d  bc
1
1
f  x1 0

 1
3 3a 1
9a
nên 

f  x2  0
y  f  x  r x   2 c  b2 x  d  bc
2
2
 2
3 3a 2
9a

b) Ví dụ
Tìm khoảng tăng giảm và cực trị của hàm số

y  x3  3x 2  9 x  5 .
Giải:
Tập xác định D 

.

Đạo hàm:
 x  1
y '  3x 2  6 x  9  y '  0  3x 2  6 x  9  0  
 x3

lim y  

lim y  

x

Đinh Thị Quế

x

7

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bảng biến thiên
x

-

y’

-1
+

y

3

0

-

0

+
+

10

+

-

-22

Vậy, ta được:
 Hàm số đồng biến trong các khoảng (–; –1) và (3, +).
 Hàm số nghịch biến trong khoảng (–1, 3).
 Hàm số đạt cực đại tại x = –1 và giá trị cực đại yCĐ = 10
 Hàm số đạt cực tiểu tại x= 3 và giá trị cực tiểu yCT = – 22.
1.4.1.2 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
a) Phương pháp chung:
Ta có:
+ Tập xác định: D 

.

+ Đạo hàm: y '  3ax 2  2bx  c, y '  0  3ax 2  2bx  c  0 (1)

i. Hàm số không có cực trị: ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì y '  2bx  c .
Điều kiện là y ' không đổi dấu  b = 0 &c = 0.
Trường hợp 2: Nếu a  0 thì điều kiện là y’ không đổi dấu   '  0 .
ii. Hàm số có cực trị: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu a = 0 thì (1)  2bx  c  0 .
Điều kiện là : b  0.
Trường hợp 2: Nếu a  0 thì:

Đinh Thị Quế

8

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

a0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

 '  0

iii. Hàm số có cực đại cực tiểu
a0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

 '  0

iv. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện
K. Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
a0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

 '  0

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức vi-et.

Bước 2: Kiểm tra điều kiện K.
v. Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I
 phương trình (1) có hai nghiệm trong khoảng I.
vi. Hàm số có cực đại trong khoảng I. Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Nếu a = 0 thì:

(1)  2bx  c  0

(2)

Điều kiện là phương trình (2) có nghiện duy nhất thuộc I và qua
đó y’ đổi dấu từ dương sang âm
 b0
  c
 I
 2b

Trường hợp 2: Nếu a  0.
Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Hàm số có cực đại

Đinh Thị Quế

9

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

a0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  

 '  0

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm x1 < x2.
Bước 2: Tùy theo a ta lập bảng biến thiên của hàm số.
Từ bảng biên thiên suy ra hoành độ điểm cực đại: xCĐ.
Bước 3: Hàm số có cực đại trong khoảng I  xCĐ  I.
Tương tự cho trường hợp cực tiểu.
vii. Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ < xCT
a0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a > 0  

 '  0

viii. Hàm số có cực đại, cực tiểu và xCĐ > xCT
a0

 phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và a < 0  

 '  0

 y '( x0 )  0

ix . Hàm số đại cực tiểu tai x0  

 y ''( x0 )  0

 y '( x0 )  0

x. Hàm số đạt cực đại tại x0  

 y ''( x0 )  0

Hệ quả:
Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình là: y  r(x)
Đối với hàm số tổng quát :
y  f (x) y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0
Thì đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có phương trình:



 

2
y  2 c  b x  d  bc
3
3a
9a



b)Ví dụ
1. Tìm m để hàm số:

y  1 x 3   m 2  m  2  x 2   3m 2  1 x  m  5 , m_tham số thực
3
đạt cực tiểu tại x  2.

Đinh Thị Quế

10

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải:

y  x   x 2  2  m 2  m  2  x  3m 2  1  y  x   2 x  2  m 2  m  2 

Để hàm số đạt cực tiểu tại x  2 thì
2



 y  2   0
m  4m  3  0  m  1 m  3  0


m3

 2





 y 2  0 m  m  0
m m  1  0

2. Cho

f  x   2 x 3   cos a  3sin a  x 2  8 1  cos 2a  x  1
3
1. CMR: Hàm số luôn có CĐ, CT.
2. Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2. CMR: x12  x 22  18

Giải:

1. Xét phương trình:
f   x   2 x 2  2  cos a  3sin a  x  8 1  cos 2a   0
2

   cos a  3sin a   16 1  cos 2a 

Ta có:
2

  cos a  3sin a   32cos 2 a  0 a

Nếu

  0  cos a  3sin a  cos a  0

(vô lý)

 sin a  cos a  sin 2 a  cos 2 a  0

Vậy  > 0 a  f (x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm số
có CĐ, CT.
2. Theo Viet ta có: x1  x 2  3sin a  cos a ; x1 x 2  4 1  cos 2a 
2

x12  x22   x1  x2   2x1x2
2

  3sin a  cos a  81  cos2a
 9  8cos 2 a  6sin a cos a

Đinh Thị Quế

11

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 9  9  sin 2 a  cos 2 a    3sin a  cos a 

2

2

 18   3sin a  cos a   18

3. Tìm m để hàm số f  x   1 x 3  mx 2  mx  1 , m_tham số thực
3
đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn điều kiện x1  x 2  8 .
Giải:
HS có CĐ, CT  f   x   x 2  2mx  m  0 có 2 nghiệm phân biệt
   m 2  m  0  m  D   ,0  1,   (*)
Với điều kiện này thì f  x  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và hàm
số f (x) đạt cực trị tại x1, x2.
Theo định lý Viet ta có: x1  x 2  2m; x1 x 2  m suy ra:
2

2

x1  x 2  8  x1  x 2  64   x1  x 2   4 x1 x 2  64
 4m 2  4m  64



 



 m 2  m  16  0  m  , 1  65  1  65 ,  (thoả mãn (*) )
2
2



 

Vậy để x1  x 2  8 thì m  , 1  65  1  65 , 
2
2



c) Bài tập tương tự
1. Tìm m để hàm số

f  x   1 mx 3   m  1 x 2  3  m  2 x  1 , m_tham số thực
3

3
đạt cực trị tại x1, x2 thoả mãn x1  2 x 2  1 .
Gợi ý : - Xét điều kiện để hàm số có cực trị
- Áp dụng viet
- Đáp án : m  2  m 

Đinh Thị Quế

2
3

12

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2. Cho hàm số f  x   2 x 3   m  1 x 2   m 2  4m  3 x
3
a. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1.
b. Gọi các điểm cực trị là x1, x2. Tìm Max của

A  x1 x 2  2  x1  x 2 
Gợi ý:
a. Hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm > 1  f   x   0 có 2
nghiệm phân biệt

x1 , x 2

thoả mãn: x1  1  x 2  1  x1  x 2 .

Đáp án : m 5, 3 2 
b. Áp dụng hệ thức viet
Đáp án: Với m  4 thì Max A  9
2
1.4.1.3. Giá trị của cực trị - đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
a) Phương pháp tìm đường thẳng đi qua hai cực trị của hàm
số bậc ba:
Ta có thể phân tích : y = f(x) = (Ax + B) f ' x + Cx + D bẳng cách
chia đa thức f(x) cho đa thức f ' x
– Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1 và x2
– Ta có :
* f(x1) = (Ax1 + B)f ‘(x1) + Cx1 + D
=> f(x1) = Cx1 + D vì f ‘(x1) = 0
*Tương tự: f(x2) = Cx2 + D vì f ‘(x2) = 0
=> Đường thẳng qua hai điểm cực trị có phương trình : y = Cx + D
b) Ví dụ
1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu
của đồ thị hàm số y  x3  x 2  94 x  95 .

Đinh Thị Quế

13

Lớp K35C Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải:
Tập xác định D 

.

Đạo hàm:
1
y '  3 x 2  2 x  94  y '  0  3 x 2  2 x  94  0  x1,2  (1  283)
3

Đó chính là hoành độ điểm cực đại và cực tiểu.
Để xác định phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực
tiểu của đồ thị hàm số, ta thực hiện theo các cách sau:
 Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được:
1
1 566
761
y  y '.( x  ) 
x0 
3
9
9
9

 Gọi (x0, y0) là tọa độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì
y '( x0 )  0 . Do đó:

1
1 566
761
566
761
y0  y '( x0 ).( x0  ) 
x0 

x0 
3
9
9
9
9
9

 Các điểm cực đại và cực tiểu cùng thỏa mãn phương trình:
y

566
761
.
x
9
9

Vậy phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
đồ thị hàm số có dạng:
y

566
761
.
x
9
9

2. Cho hàm số y  2 x3  3  m  1 x 2  6  m  2  x  1 (1)
Tìm m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song
song với đường thẳng y  4 x  1

Đinh Thị Quế

14

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giải
Ta có: y  6 x 2  6  m  1 x  6  m  2 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
2

2

  9  m  1  36  m  2   9  m  3  0

 m  3 (1)
Thực hiện phép chia y cho y’ ta có phương trình đường thẳng đi
qua cực đại, cực tiểu là:
y   m 2  6m  9  x  m 2  3m  3 .

Để đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường
thẳng y  4 x  1 ta phải có:
Kết hợp với điều kiện (1), ta có giá trị m cần tìm là : m = 1; m = 5
1
3. Cho hàm số y  x3  mx 2  x  m  1
3

 Cm 

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m = 1
b. Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Tìm m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu là nhỏ nhất.
Giải
a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)
b. Tập xác định : D 
- Ta có đạo hàm : y '  x 2  2mx  1 .
-

Xét:

g ( x; m)  x 2  2mx  1  0

1   '  m2  1  0m  R .

Chứng tỏ hàm số luôn có CĐ,CT .
m
2
2
1
- Bằng phép chia đa thức : y   x   y '  m 2  1 x  m  1 .
3
3
3
3

Cho nên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có PT :

Đinh Thị Quế

15

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

y

2 2
2
m  1 x  m  1.


3
3

- Gọi hai điểm cực trị là :
2
2
2
2

 

A  x1;   m 2  1 x1  m  1 ; B  x2 ;   m 2  1 x2  m  1
3
3
3
3

 


 AB 

 x2  x1 

2

 x2  x1 1 

 2


    m 2  1  x2  x1  
 3


2

2
2
4 2
2 '
4
m  1 
1   m 2  1

9
1
9

 AB  2 m 2  1. 1 

2
4 2
m  1  2

9

m

2

2
 4
 1 1   m 2  1 
 9


- Đặt :
t  m 2  1  1  AB  f (t )  2

4 3
t t
9

4
 g (t )  t 3  t ; g '(t )  4t 2  1  0t  1
3

Hàm số g(t) luôn đồng biến . Do đó min g(t)=g(1)=7/3.
- Vậy min AB  2

7
21
2
 t  1;  m 2  1  1  m  0
3
3

c) Bài tập tương tự
1. Tìm m để f  x   2 x 3  3 m  1 x 2  6  m  2 x  1 có đường
thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  ax  b.

Gợi ý:
2
- Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu   f   m  3  0  m  3

-Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
2
f  x    2 x  m  1 g  x    m  3 x   m 2  3m  3

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
Đinh Thị Quế

16

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

y    m  3 x   m 2  3m  3

- Sử dụng điều kiện song song để tìm m
- Đáp án: nếu a < 0 thì m  3  a ; nếu a  0 thì không tồn tại m
thoả mãn.
2. Tìm m để f  x   2 x 3  3  m  1 x 2  6m 1  2m  x có CĐ, CT
nằm trên đường thẳng (d): y  4x.
Gợi ý :

Ta có: f   x   6 x 2   m  1 x  m 1  2m  0
 g  x   x 2   m  1 x  m 1  2m  0
- Tìm điều kiện để hàm số có CĐ, CT
- Thực hiện phép chia f (x) cho g(x) ta có:
2

f  x    2 x  m  1 g  x    3m  1 x  m  m  11  2m 

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là ():
2

y    3m  1 x  m  m  11  2m  .

- Cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng (d): y  4x thì ()  (d)
- Từ đó suy ra điều kiện của m
- Đáp án: m = 1
1.4.1.4. Cực trị thỏa mãn điều kiện K_ cho trước.
a) Phương pháp chung :
Bước 1 : ta có :
 Tập xác định D  .
 Đạo hàm y '  3ax 2  2bx  c, y '  0  3ax 2  2bx  c  0

(1)

Bước 2 : Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có hai nghiệm phân
a0

biệt  

  '  0

Đinh Thị Quế

17

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khi đó (1) có hai nghiện phân biệt x1, x2 thỏa mãn :
2b

 x1  x2  3a

 xx  c
 1 2 3a

Bước 3 : thực hiện phép chia đa thức y cho y ' được :
y  y '.g ( x)  h( x)
 y1  y ( x1 )  h( x1 ) & y2  y  x2   h( x2 )

Vậy tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(x1, y1) & B(x2, y2).
Bước 4 : Kiểm tra điều kiện K.
b) Ví dụ
Tìm m để hàm số f  x   x 3  3x 2  m 2 x  m có cực đại, cực tiểu
đối xứng nhau qua (): y  1 x  5
2

2
Giải
Hàm số có CĐ, CT  f   x   3 x 2  6 x  m 2  0 có 2 nghiệm phân
biệt
   9  3m 2  0  m  3 . Thực hiện phép chia f (x) cho f (x)
ta có:
2

f  x   1  x  1 f   x   2  m 2  3 x  m  m
3
3
3
Với m  3 thì phương trình f   x   0 có 2 nghiệm phân biệt x1,
x2 và hàm số y  f (x) đạt cực trị tại x1, x2. Ta có: f   x1   f   x 2   0 nên
2
2
y1  f  x1   2  m 2  3 x1  m  m ; y 2  f  x 2   2  m 2  3 x 2  m  m
3
3
3
3
2

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (d): y  2  m 2  3 x  m  m .
3
3
Các điểm cực trị A  x1 , y1  , B  x 2 , y 2  đối xứng nhau qua

Đinh Thị Quế

18

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 : y  1 x  5
2
2

 (d)  () tại trung điểm I của AB (*) . Ta có x I 

x1  x 2
1
2

suy ra
 2  m 2  3  1  1
m  0
2
3
(*)  

m0
2
m  m  1  0
 2  m 2  3  1  m  m  1  1  5

3
3
2
2

c) Bài tập tương tự
Tìm m để hàm số f  x   x 3  3x 2  m 2 x  m có cực đại, cực tiểu
đối xứng nhau qua (): y  1 x  5
2
2
Gợi ý :
Tương tự ví dụ trên
1.4.2. Cực trị của hàm đa thức bậc 4
1.4.2.1 Tìm cực trị của hàm bậc bốn
a) Phương pháp :
1. Hàm số: y  f  x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  a  0 
2. Đạo hàm: y  f   x   4ax 3  3bx 2  2cx  d
3. Cực trị: Xét f   x   0
có ®óng 1 nghiÖm






1
nghiÖm
®¬n
  cã ®óng 1 cùc trÞ




cã
®óng
2
nghiÖm


1 nghiÖm kÐp 



 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt  cã 3 cùc trÞ gåm C§ vµ CT

Đinh Thị Quế

19

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

a>0

a<0

Phương

y

trình

y

y'  0

có

ba

nghiệm
phân

x

O

O

x

biệt

Phương

y

y

trình
y'  0

có một
nghiệm

O

x

O

x

Chú ý: Kỹ năng tính nhanh cực trị
Giả sử f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại x  x0, khi đó f (x) đạt cực trị
tại x0 với số cực trị là f  x 0   ax 04  bx 03  cx 02  dx 0  e . Trong trường
hợp x0 là số vô tỉ thì cực trị f (x0) được tính theo thuật toán:

Đinh Thị Quế

20

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bước 1: Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:
f  x   q  x . f   x   r  x 


BËc 3 BËc 2


BËc 4

Bước 2: Do f (x0)  0 nên f (x0)  r(x0)
Hệ quả: Các điểm cực trị của hàm bậc 4: y  f (x) nằm trên y  r(x)
b) Ví dụ
Tìm cực trị của hàm số y  f  x   x 4  6 x 2  8 x  1.
Giải
Ta có:
2
f   x   4 x 3 12 x  8  4  x  1  x  2  ; f   x   12  x  1 x 1

Do phương trình f   x   0 có 1 nghiệm đơn x  2 và 1 nghiệm kép
x  1 nên hàm số có đúng 1 cực trị tại x  2.
Mặt khác f   2   36  0 suy ra f
Vậy hàm số có cực tiểu f

CT

CT

= f (2) = –25.

= –25 và không có cực đại.

1.4.2.2 Tìm ĐK để HS có cực trị.
a) Phương pháp chung:
Ta có:
 Tập xác định D 

.

 Đạo hàm :
y '  4ax3  3bx 2  2cx  d , y '  0  4ax3  3bx 2  2cx  d  0 (1)

i. Hàm số không có cực trị:
a0


 y ' không đổi dấu   b  0 & c  0 & d  0

  b  0 &  (1)  0

Đinh Thị Quế

21

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

ii.

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hàm số có cực đại, cực tiểu (hoặc hàm số có ba điểm cực trị)

 Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.
Lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1. Nếu (1)  ( x  x0 ).g ( x)  0 thì điều kiện là g(x) = 0 có hai
nghiệm phân biệt khác x0
 g  0

 

 g ( x0 )  0

Cách 2: Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
 Đồ thị hàm số y  4ax 3  2bx 2  2cx  d cắt trục hoành tại ba
điểm phân biệt
 Hàm số y  4ax3  2bx 2  2cx  d

có cực đại, cực tiểu và

yCĐ.yCT < 0
 y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và y(x1).y(x2) < 0
y '  0
 y ( x1 ). y ( x2 )  0


 

iii. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện
K. Ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Hàm số có cực đại, cực tiểu
 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Khi đó (1) có 3 nghiệm x1, x2, x3 thỏa mãn hệ thức viet
Bước 2: Kiểm tra điều kiện K.
iv. Hàm số có cực đại,cực tiểu trong khoảng I
 phương trình (1) có ba nghiệm trong khoảng I.
v. Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu
 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a > 0.

Đinh Thị Quế

22

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

vi. Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
 phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt và a < 0.
vii. Hàm số chỉ có một cực trị
Nếu (1)  ( x  x0 ).g ( x)  0 thì điều kiện là:
 g ( x)  0

  g ( x)  0


 g ( x0 )  0

nghiệm kép

 g  0



 g ( x0 )  0

viii. Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu.Ta thực hiện theo
các bước:
Bước 1: Biến đổi phương trình (1) về dạng: (x-x0).g(x) = 0
Bước 2: Hàm số chỉ có cực đại và không có cực tiểu
 a0

   0
  
     0
 
   g ( x0 )  0

 y '( x0 )  0
ix . Hàm số đại cực tiểu tai x0  
 y ''( x0 )  0
 y '( x0 )  0
x. Hàm số đạt cực đại tại x0  
 y ''( x0 )  0

b) Ví dụ

1. Cho f  x   x 4  4mx 3  3 m  1 x 2  1 . Tìm m để (x) chỉ có
cực tiểu mà không có cực đại.
Giải
f   x   4 x 3  12mx 2  6  m  1 x  2 x 2 x 2  6mx  3  m  1 ;

x  0



f x 0 
.
 g  x   2 x 2  6mx  3  m  1  0

Đinh Thị Quế

23

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Xét các khả năng sau đây:


a) Nếu g  3 3m 2  2m  2   0  m  1  7 , 1  7   I thì
 3
3 

2 g  x   0 x ¡  g(x)  0 x ¡ .

Suy ra f (x) triệt tiêu và đổi dấu tại x  0 mà
f (0)  6(m  1) > 0 mI
f

CT

 f  0   1 , tức là hàm số chỉ có cực tiểu mà

không có cực đại.
b) Nếu

 g  0

 m  1

 g  0   3 m  1  0

thì

f   x   2 x  2 x 2  6 x   4 x 2  x  3
f   x   0  x  0 nghiệm kép, x  3.

Nhìn bảng biến thiên suy ra:
x
f





0
0



3
0








f
CT

Hàm số y  f (x) chỉ có cực tiểu mà không có cực đại.
g  0
 m  1 thì f (x) có 3 nghiệm phân biệt
c) Nếu 
 g  0   0
x1  x 2  x 3

Nhìn bảng biến thiên suy ra:
Hàm số y  f (x) có cực đại nên không thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đinh Thị Quế

24

Lớp K35C Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

x1
x 
x2
x3

0
0
0
+
f





f
CĐ
CT
CT



Kết luận: m  1  7 , 1  7   1
3 
 3

2. Cho hàm số y  f  x   x 4   m  3 x 3  2  m  1 x 2
Chứng minh rằng: m 1 hàm số luôn có cực đại đồng thời xCĐ  0
f   x   4 x 3  3  m  3 x 2  4  m  1 x
 x  4 x 2  3  m  3 x  4  m  1  x.g  x 
2
Ta có:  g  9  m  3  64  m  1  9m 2  10m  17  0 m nên

g(x)  0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2.
Theo định lý Viet ta có: x1.x 2  m  1  0 m  1
 PT f   x   0 có 3 nghiệm phân biệt 0, x1, x2. Xét 2 khả năng
sau:
a) Nếu m < 1 thì x1.x 2  m  1  0
 x1  0  x 2  Bảng biến thiên
x1
x 
0
x2

0
f

 0  0 +



f
CĐ
CT
CT

Nhìn BBT suy ra xCĐ = 0

Đinh Thị Quế

25

Lớp K35C Toán