Đồ thị hàm số và bài toán liên quan”

MỤC LỤC
MỤC LỤC.......................................................................................................................................1
Một số kí hiệu trong tài liệu.............................................................................................................1
Phần 1. Mở đầu................................................................................................................................2
Phần 2. Nội dung.............................................................................................................................3
I. Khảo sát hàm số........................................................................................................................3
1. Hàm số bậc ba .....................................................................................................................3
2. Hàm trùng phương ..............................................................................................................5
3. Hàm .....................................................................................................................................6
II. Một số bài toán liên quan........................................................................................................7
1. Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số............................................................................7
2. Bài toán cực trị và sự tương giao của hai đồ thị hàm số....................................................11
3. Bài toán liên quan tới cấp số cộng và cấp số nhân............................................................18
4. Bài toán tiếp tuyến.............................................................................................................21
4.1 Cho biết tiếp điểm............................................................................................................21
4.2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc............................................................................22
4.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước.............................................................................24
III. Bài tập củng cố:...................................................................................................................26
Đáp số........................................................................................................................................29
Phần III. Kiến nghị, đề xuất..........................................................................................................29
Tài liệu tham khảo.....................................................................................................................30

Một số kí hiệu trong tài liệu
LG
Pttt
MTBT
TN THPT
THCN

Lời giải
Phương trình tiếp tuyến

Máy tính bỏ túi
Tốt nghiệp trung học phổ thông
Trung học chuyên nghiệp

TXĐ
HS
GD – ĐT
ĐH – CĐ
ĐL

Tập xác định
Học sinh
Giáo dục – Đào tạo
Đại học – Cao đẳng
Định lí


TCĐ

Tiệm cận đứng

TCN

Tiệm cận ngang

Phần 1. Mở đầu
1. Cơ sở lí luận
- Xuất phát từ mục tiêu GD trong giai đoạn hiện nay là phát huy tính tự giác tích
cực của người học và đào tạo ra những con người có trí tuệ, giàu tính sáng tạo và
nhân văn cao.

- Chúng ta áp dụng các phương pháp phù hợp để bồi dưỡng HS và để HS tự bồi
dưỡng nhằm nâng cao năng lực giải quyết vấn đề.
2


- Chúng ta đã và đang đổi mới GD, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn năng
lực tự học cho HS, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến vào dạy học;
- Trước hết cần truyền đạt được các kỹ năng cơ bản, kiến thức tổng quan, tác động
tới tư tưởng tình cảm nhằm đem lại cảm hứng học tập cho HS.
2. Cơ sở thực tiễn
- “ Đồ thị hàm số và bài toán liên quan” là bài toán chủ đạo trong các kỳ thi TN
THPT, ĐH – CĐ, THCN.
- Đây là bài toán rất cơ bản của chương trình Giải tích 12, vậy nhưng HS còn chưa
nắm vững, vì các lí do như: Trên lớp không đủ thời gian, chưa có sự tổng hợp,
hoặc do “ngại” không dám hỏi thầy cô giáo ngay cả những điều đơn giản,…
- Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT Nguyễn Thị Giang, tôi mạnh dạn viết
chuyên đề này, đồng thời đưa ra một số ý kiến cá nhân nhằm giúp HS trường tôi
(hoặc tương đương) có thể tự học thi ĐH – CĐ hiệu quả nhất.
- Đề tài được chia làm 2 phần chính: Phần 1: KSHS; Phần 2: Một số bài toán liên
quan.
3. Mục đích
- Khắc phục tối đa những sai lầm của HS khi làm bài toán “Đồ thị hàm số và bài
toán liên quan”.
- Giúp HS cảm thấy tự tin hơn khi gặp bài toán “Đồ thị hàm số và bài toán liên
quan”.
- Cùng đồng nghiệp tìm ra phương pháp dạy học phù hợp nhất với mọi đối tượng
HS, giúp HS có hứng thú hơn với bộ môn.
4. Thời gian – Địa điểm
- Đề tài được thực hiện tại trường THPT Nguyễn Thị Giang, năm học 2011 –
2012 , 2012 – 2013 trên cơ sở các tiết dạy thuộc Chương 1 của Giải tích 12.

5. Dự kiến thời gian: 10 tiết

Phần 2. Nội dung
I. Khảo sát hàm số
3
2
1. Hàm số bậc ba y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , a ≠ 0.

Các bước khảo sát:
+)Tập xác định: ¡
+)Chiều biến thiên:
3


y, xlim
y.
Tính giới hạn xlim
→+∞
→−∞
Tính đạo hàm và giải phương trình f '( x) = 0 .
Lập bảng biến thiên, điền các giá trị tương ứng vào bảng.
Từ bảng biến thiên rút ra các kết luận về chiều biến thiên và cực trị.
+)Vẽ đồ thị của hàm số
Xác định một số điểm đặc biệt.
Vẽ đồ thị hàm số.
3
2
Ví dụ 1 Cho hàm số y = − x + 3 x . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
LG:
+) TXĐ: ¡

+) Chiều biến thiên:
lim y = −∞, xlim
y = +∞.
x →+∞
→−∞
y ' = −3x 2 + 6 x = −3x( x − 2) ⇒ y ' = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 2.
BBT:

x

−∞
−

y'

y

+∞

2

0

0

+

0

−

4

+∞

0

−∞

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;0),(2; +∞) ,
đồng biến trên khoảng (0;2) .
Đồ thị của hàm số có điểm cực tiểu là (0;0) , điểm cực đại là (2;4) .
+) Đồ thị (tìm một vài điểm đặc biệt mà đồ thị đi qua)
Cho y = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = 3 .
Hình vẽ:

Nhận xét:
4


+) Với các bước KSHS như Giải tích 12, nâng cao (như vừa trình bày), HS dễ tiếp
thu và làm nhanh hơn nhiều so với Giải tích 12, cơ bản. Chẳng hạn, việc Giải tích
12, CB tính giới hạn tại vô cực sau khi tìm cực trị khiến nhiều HS quên khi làm
bài; Xét chiều biến thiên + tìm cực trị trước khi lập BBT làm HS phải xét dấu của
y’ gây mất nhiều thời gian, thậm chí khó đối với một bộ phận không nhỏ HS.
+) HS thường viết sai như sau: Hàm số có điểm cực đại là (2;4) ,cực tiểu là (0;0) .
Viết đúng phải là: Đồ thị của hàm số có điểm cực đại (2;4) , điểm cực tiểu (0;0) .
Hoặc: Hàm số đạt cực đại tại x = 2 , giá trị cực đại là y (2) = 4.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , giá trị cực tiểu là y (0) = 0.
+) Đối với hàm bậc ba, đồ thị của nó nhận trung điểm của đoạn thẳng nối điểm

cực đại và điểm cực tiểu làm tâm đối xứng, như ví dụ trên là điểm I (1;2).
Ví dụ 2 Cho hàm số y =
cho.
Nhận xét:

1 3 3 2
x − x + 5. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã
4
2

3
2
+) Phần vẽ đồ thị hàm y = ax + bx + cx + d , a ≠ 0 để cho dễ, ta sẽ chọn cho
x = 0 ⇒ y = d ; Sau đó chọn y = d ⇒ ax 3 + bx 3 + cx = 0 thì đa số HS làm được
3
2
(theo lối mòn thường cho y = 0 ⇒ ax + bx + cx + d = 0, d ≠ 0? ).
4
2
2. Hàm trùng phương y = ax + bx + c, a ≠ 0

Các bước khảo sát tương tự như hàm bậc ba, tuy nhiên cần chú ý tới tính đối xứng
của đồ thị hàm trùng phương, là hàm chẵn, nên đồ thị đối xứng qua trục tung.
4
2
Ví dụ 3. Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số y = f ( x ) = x − 4 x + 3 (C).
LG:
+) TXĐ ¡
+) Chiều biến thiên
lim y = +∞, xlim

y = +∞
x →+∞
→−∞
y ' = 4 x 3 − 8 x = 4 x( x 2 − 2) ⇒ y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 2, x = − 2.
BBT:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (− 2;0),( 2; +∞)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; − 2),(0; 2).
5


Đồ thị hàm số có điểm cực đại là (0;3), cực tiểu (− 2; −1),( 2; −1).
+) Vẽ dồ thị:
Cho y = 0 ⇒ x 2 = 3 ⇔ x = ± 3.

( y = 3 ⇒ x = 0, x = ±2 )
y

3

2

1

− 2
-2

x

2

-1

O

1

2

-1

ax + b
( c ≠ 0, ad ≠ bc )
cx + d
Các bước khảo sát hàm số:
3. Hàm y =

 −d 
+) Tập xác định ¡ \  .
 c 
+) Chiều biến thiên:
a
a
lim
y
=
⇒
y
=
là đường tiệm cận ngang (song song với trục hoành).
x →±∞

c
c
d
lim y = ? ∞, lim y = ? ∞ ⇒ x = − là tiệm cận đứng (song song với trục tung).
 −d 
 −d 
c
x →
x →
÷
÷
+

 c 

y' =

−

 c 

ad − bc
d
,x ≠ − .
2
(cx + d )
c

Lập BBT và điền các giá trị tương ứng.
Kết luận về chiều biến thiên của hàm số.

+) Đồ thị
Chọn điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = b / d ; y = 0 ⇒ x = −b / a.
Vẽ đường tiệm cận (càng sát trục tọa độ, đồ thị càng dễ vẽ).
d a
Vẽ đồ thị (chú ý là đồ thị không cắt các tiệm cận, nhận I (− ; ) - là giao của hai
c c
đường tiệm cận, làm tâm đối xứng).
1− x
.
Ví dụ 4. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y =
x+2
−x +1
.
LG: Để tránh nhầm lẫn, ta viết lại hàm y =
x+2
6


+) TXĐ: D = ¡ \ { −2} .
+) Chiều biến thiên:
lim y = −1 ⇒ y = −1 là đường tiệm cận ngang.
x →±∞
lim y = +∞, lim y = −∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng.
x →( −2 )

x →( −2 )

y' =

+

−

−3
< 0, ∀x ≠ −2.
( x + 2) 2

BBT:

x

−∞
−

y'
y

+∞

−
2

−
+∞

−1

−∞

−1

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) , ( −2; +∞ ) .
+) Đồ thị
x = 0 ⇒ y = 1 / 2; y = 0 ⇒ x = 1.
y
3
2
1

x
-6

-5

-4

-3

-2

O

-1

1

2

-1

I

-2
-3
-4
-5
-6

Nhận xét:
y = −1).
+) Trong 3 hàm số ta xét, chỉ được viết tắt giới hạn dạng trên (lim
x →±∞
y = +∞, lim y = −∞ , với nhiều đối tượng, đôi
+) Để HS nhớ được giới hạn x→lim
x →( −2 )
( −2 )
+

−

khi cần chỉ rõ, chẳng hạn x → ( −2 ) ⇒ x > −2 ⇒ x + 2 > 0 , hoặc chỉ rõ trên trục
số điều đó có nghĩa là các số x → −2 từ phía bên phải, và do đó x > −2.
+

II. Một số bài toán liên quan
1. Bài toán biện luận dựa vào đồ thị hàm số
3
2
Ví dụ 1.1 Cho hàm số y = − x + 3 x .
7

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biện luận số nghiệm của phương trình
− x 3 + 3x 2 − m = 0 ( m là tham số).
LG:
b) Phương trình đã cho viết lại là − x 3 + 3x 2 = m
(1)
Vế trái của (1) là hàm số có đồ thị vừa vẽ ở phần a), vế phải là đường thẳng nằm
ngang (song song với trục hoành) y = m.
Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị (C) và đường y = m.
Vậy dựa vào đồ thị (C) ta có kết quả biện luận như sau:
m < 0 : Phương trình (1) có 1 nghiệm;
m = 0 : Phương trình (1) có 2 nghiệm;
0 < m < 4 : Phương trình (1) có 3 nghiệm;
m = 4 : Phương trình (1) có 2 nghiệm;
m > 4 : Phương trình (1) có 1 nghiệm.
Nhận xét:
+) Trong tài liệu này chúng ta xét các hàm số có cực trị, do đó việc biện luận số
nghiệm của phương trình f ( x) = g (m) , theo tham số m (với g ( m) là đường thẳng
nằm ngang, f ( x) là hàm khảo sát và vẽ đồ thị) thường chia làm 5 trường hợp:
g ( m) < f CT , g (m) = f CT , f CT < g (m) < f CD , g (m) = f CD , g ( m) > f CD tương ứng là các
trường hợp phương trình có 1, 2, 3, 2, 1 nghiệm (cố nhiên phải tìm ra m ).
1
3
Ví dụ 1.2 Cho hàm số y = x 3 − x 2 + 5.
4
2
a) Kháo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm thực phân biệt:

x 3 − 6 x 2 + m = 0.
Nhận xét:
+) Ý b) là phần nhỏ của bài toán biện luận!
1 3
17
2
Ví dụ 1.3 Cho hàm số y = f ( x ) = x − 2 x + .
3
3
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Chứng minh rằng phương trình f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
HD
b) Đồ thị (C) của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình
f ( x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
Ví dụ 1.4 Cho hàm số y = − x + 3 x có đồ thị (C).

a) Khảo sát, vẽ (C).
8


3

b) Từ (C) hãy suy ra đồ thị của hàm y = − x + 3 x .
HD
3

b) Hàm y1 = − x + 3 x = − x 3 + 3x ⇔ x ≥ 0 cho nên đồ thị của hàm y1 với x ≥ 0
trùng với đồ thị (C) ứng vơi x ≥ 0 (phần bên phải trục tung).
3

Mặt khác, y = − x + 3 x là hàm số chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng
nên ta co cách vẽ sau:
3

Đồ thị của hàm y = − x + 3 x gồm: phần bên phải trục tung của đồ thị (C) và
phần đối xứng của nó qua trục tung. Dưới đây là hình vẽ:

3
2
Ví dụ 1.5 Cho hàm y = x − 3kx − 6kx, k là tham số.

1
a) Kháo sát, vẽ hàm trên với k = .
4
3
b) Biện luận theo a số nghiệm của phương trình 4 x − 3x 2 − 6 x − 4a = 0.
HD
b) Kết quả biện luận như sau:
5
5
a < − : Phương trình vô nghiệm; a = − : Phương trình có 2 nghiệm;
4
4
5
− < a < 0 : Phương trình có 4 nghiệm; a = 0 : Phương trình có 3 nghiệm;
4
a > 0 : Phương trình có 2 nghiệm.
3
2

Ví dụ 1.6 Cho hàm số y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 có đồ thị (C).
a) khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3

2 x − 9 x 2 + 12 x = m.
HD
b) 4 < m < 5.
x3 3x 2 5x
+
Ví dụ 1.7 Cho hàm số y = f ( x ) = +
có đồ thị (C).
6
2
2
a) Khảo sát, vẽ (C).
9


x3 3x 2 5x
+
+
.
b) Từ (C) hãy suy ra cách vẽ đồ thị hàm y =
6
2
2
HD
 f ( x), f ( x) ≥ 0
b) Ta có y = f ( x) = 

− f ( x), f ( x) < 0
Từ đó có cách vẽ đồ thị y = f ( x) như sau: Giữ lại phần phía trên trục hoành (tính
từ trục hoành), lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành. Hình vẽ:
4
2
Ví dụ 1.8 Cho hàm số y = f ( x ) = x − 4 x + 3 có đồ thị (C).
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có 8 nghiệm phân biệt:
x 4 − 4 x 2 + 3 + 2m − 1 = 0.
LG:
 f ( x), f ( x) ≥ 0
b) Ta có y = f ( x) = 
− f ( x), f ( x) < 0
Từ đó có cách vẽ đồ thị y = f ( x) như sau: Giữ lại phần phía trên trục tung (tính từ
trục hoành), lấy đối xứng phần phía dưới qua trục hoành. Hình vẽ:
y

3

2

1

x
-2

− 2

-1

O

1

2

2

-1

x 4 − 4 x 2 + 3 + 2 m − 1 = 0 ⇔ x 4 − 4 x 2 + 3 = −2 m + 1

(1)

Để phương trình (1) có 8 nghiệm phân biệt ⇔ đồ thị y = f ( x) và đường nằm
1
ngang y = −2m + 1 có 8 giao điểm phân biệt ⇔ 0 < −2m + 1 < 1 ⇔ 0 < m < .
2
2
2
Ví dụ 1.9 Cho hàm số y = ( x + 1) ( x − 1) cố đồ thị (C).
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Biện luận theo tham số b số nghiệm của phương trình
x 4 − 2 x 2 − 2b + 2 = 0.
HD
10


b) Kết quả biện luận như sau:
1

1
b < : phương trình có 0 nghiệm; b = : phương trình có 2 nghiệm;
2
2
1
< b < 1: phương trình có 4 nghiệm; b = 1: phương trình có 3 nghiệm;
2
b > 1: phương trình có 2 nghiệm.
4
2
Ví dụ 1.10 Cho hàm số y = 2 x − 4 x cố đồ thị (C).
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt
x 2 x 2 − 2 = m.
HD
b) 0 < m < 1.
y
6
5
4

25/6

3
2

7/6
1

x

-7

-6

-5

-4

-3

-2

O

-1

1

2

-1

3
Ví dụ 1.11 Cho hàm số y = − x3 + x 2 + 6 x − 3 có đồ thị (C).
2
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
− x3 + x 2 + 6 x − 3 = m.
2

HD
9
b) 0 < m < .
2
2. Bài toán cực trị và sự tương giao của hai đồ thị hàm số
2
Ví dụ 2.1 Cho hàm số y = ( x + 1)( x + 2mx + m + 2), m là tham số.
a) Khảo sát, vẽ đồ thị của ham số trên với m = −1.
b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt.
HD
11


b) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành ( y = 0) là nghiệm
của phương trình
x +1 = 0
( x + 1)( x 2 + 2mx + m + 2) = 0 ⇔  2
(1)
 x + 2mx + m + 2 = 0
Như thế, yêu cầu bài toán ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác – 1
∆ ' = m2 − m − 2 > 0
⇔ m < −1;2 < m < 3; m > 3.
Hay 
−
m
+
3
≠
0


3
2
Ví dụ 2.2 Cho hàm số y = x − (2m − 1) x + (2 − m) x + 2, m là tham số.

a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 2.
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có cực trị và cực trị có
hoành độ dương.
HD
b) Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y ' = 0.
2
Ycbt ⇔ 3x − 2(2m − 1) x + 2 − m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt


∆ ' > 0

2(2m − 1)
5

⇔ S =
> 0 ⇔ < m < 2.
3
4

2−m

P
=
>0


3
Nhận xét:
+) Theo viet nếu phương trình bậc 2 có 2 nghiệm phân
S = x1 + x2 , P = x1 x2 từ đó theo ycbt ta có hệ điều kiện trên.

biệt x1 , x2

thì đặt

+) Nếu bài toán yêu cầu hoành độ của cực trị âm thì sao?
3
2
2
Ví dụ 2.3 Cho hàm số y = x − (2m + 1) x + ( m − 3m + 2) x + 4, m là tham số.
a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 1.
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị nằm về hai
phía của trục tung.
HD
b) 2 điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung suy ra chúng phải có hoành độ trái
2
2
dấu ⇔ y ' = 0 có 2 nghiệm trái dấu ⇔ 3 x − 2(2m + 1) x + m − 3m + 2 = 0
Có 2 nghiệm trái dấu ⇔ P =

m 2 − 3m + 2
< 0 ⇔ 1 < m < 2.
3

3
2

Ví dụ 2.4 Cho hàm số y = x − (4m + 1) x + (7 m + 1) x − 3m − 1, m là tham số.

a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm đã cho khi m = 1.
12


b) Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số đã cho có 2 cực trị và giá trị các
cực trị trái dấu.
HD
b) Cần để ý rằng khi đồ thị của hàm bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì
2điểm cực trị nằm về 2 phía của trục hoành (phía trên và phía dưới).
Vậy ycbt ⇔ y = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ x 3 − (4m + 1) x 2 + (7 m + 1) x − 3m − 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ ( x − 1)( x 2 − 4mx + 3m + 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt

(1)

⇔ x 2 − 4mx + 3m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
4m 2 − 3m − 1 > 0
1
⇔
⇔ m < − ,1 < m ≠ 2.
4
2 − m ≠ 0
Nhận xét:
+) Để biến đổi về phương trình (1) HS cần phải nhẩm được nghiệm (có thể bằng
MTBT) x = 1. Sau đó, khó hơn là thực hiện chia đa thức.
+) Bảng chia mẫu ví dụ trên như sau (sử dụng lược đồ Hooc – ne ):
1

1

1

−4m −1

1.1 + ( −4m −1)
= −4m

7 m +1

−3m −1

1( −4m) + 7 m +1

1(3m +1) + ( −3m −1)

= 3m +1

=0 =r

Dòng đầu ghi hệ số của phương trình bậc 3 theo thứ tự lũy thừa giảm dần.
Dòng thứ 2 (trừ ô đầu là nghiệm nhẩm được) ghi hệ số tam thức bậc 2 (lũy thừa
giảm) và cách tính các hệ số đó.
Phép chia hết nên dư r = 0.
3
Ví dụ 2.5 Cho hàm số y = x − 3x + 2 có đồ thị (C).

a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua M (3;20) , hệ số góc m . Tìm m để (d) cắt (C)

tại 3 điểm phân biệt.
HD
b) Đường thẳng (d) có phương trình: y = m( x − 3) + 20
Phương
trình
hoành
độ
3
2
x − 3x + 2 = m( x − 3) + 20 ⇔ ( x − 3)( x + 3 x + 6 − m) = 0

giao

Vậy ycbt ⇔ x 2 + 3x + 6 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3 ⇔

điểm

15
< m ≠ 24.
4
13


Nhận xét: HS cần nhớ phương trình đường thẳng đi qua M ( x0 ; y0 ) , hệ số góc k có
dạng y = k ( x − x0 ) + y0 .
3
2
Ví dụ 2.6 Cho hàm số y = x − 3x + 4 có đồ thị (C).

a) Khảo sát, vẽ (C).

b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng (d) đi qua I (1;2) , hệ số góc k > −3 đều
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I , A, B và I là trung điểm của A, B .
HD
3
2
b) Phương trình hoành độ giao điểm x − 3x + 4 = k ( x − 1) + 2
x =1
⇔ ( x − 1)( x 2 − 2 x − k − 2) = 0 ⇔  2
(1)
 x − 2x − k − 2 = 0
Để ý rằng x = 1 là hoành độ điểm I . Do k > −3 nên (1) luôn có 2 nghiệm phân
biệt và x = 1 không phải là nghiệm của (1).
Suy ra (d) luôn cắt (C) tại 3 điểm phân biệt I , A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ); x1 , x2 là nghiệm
của (1) và y1 = k ( x1 − 1) + 2, y2 = k ( x2 − 1) + 2.
Ta có x1 + x2 = 2 = 2 xI ; y1 + y2 = 4 = 2 yI nên I là trung điểm của A, B .
1 3
2
2
Ví dụ 2.7 Cho y = x − mx − x + m + , m là tham số.
3
3
a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 0.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân
2
2
2
biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa: x1 + x2 + x3 > 15.
HD
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
x =1

( x − 1)  x 2 + (1 − 3m) x − 3m − 2  = 0 ⇔ 
2
 f ( x) = x + (1 − 3m) x − 3m − 2 = 0
2
2
Đặt x3 = 1 , ycbt ⇔ f ( x) = 0 có 2 nghiệm x1 , x2 khác 1 thỏa x1 + x2 + 1 > 15
∆ = (1 − 3m) 2 + 4(3m + 2) > 0
 m < −1

⇔  f (1) = 1 + (1 − 3m) − 3m − 2 ≠ 0 ⇔ 
⇔ m > 1.
m
>
1

( x + x ) 2 − 2 x x + 1 > 15
 1 2
1 2
3
2
Ví dụ 2.8 Cho y = x − 2 x + (1 − m) x + m, m là tham số.

a) Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân
2
2
2
biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa: x1 + x2 + x3 < 4.
HD

14


1
b) − < m < 1, m ≠ 0.
4
Ví dụ 2.9 Cho hàm số y = 2 x3 + 3(m − 1) x 2 + 6m(1 − 2m) x (Cm). Tìm m để đồ thị
của hàm số (Cm) có điểm cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên
đường thẳng có phương trình (d ) : y = −4 x.
LG: TXĐ: ¡
y ' = 6 x 2 + 6(m − 1) x + 6m(1 − 2m) ;
+) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có hai nghiệm
phân biệt
⇔ 6 x 2 + 6(m − 1) x + 6m(1 − 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ x 2 + (m − 1) x + m(1 − 2m) = 0 có hai nghiệm phân biệt
1
⇔ ∆ = (3m − 1) 2 > 0 ⇔ m ≠ .
3
+) Ta có y = y '( x ).(2 x + m − 1) − (3m − 1) 2 x + m(m − 1)(1 − 2m)
Gọi hai điểm cực trị là: A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 ) thì có
y1 = −(3m − 1) 2 x1 + m(m − 1)(1 − 2m)
y2 = −(3m − 1) 2 x2 + m(m − 1)(1 − 2m)
Suy ra đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là:
y = −(3m − 1) 2 x + m(m − 1)(1 − 2m)
−(3m − 1) 2 = −4
⇔ m = 1 (thỏa mãn).
+) Ycbt ⇔ 
m(m − 1)(1 − 2m) = 0
Vậy m = 1.
Nhận xét: Lời giải trên dựa vào việc chứng minh mệnh đề sau đây

Mệnh đề: Đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của đồ thị hàm số
y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) là phần dư của phép chia y cho y '.
Chứng minh: TXĐ: ¡
Ta có y ' = 3ax 2 + 2bx + c; y = y '( x).(α x + β ) + mx + n ;
Giả sử đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, là A( x1; y1 ), B ( x2 ; y2 )
( x1 , x2 là nghiệm của phương trình y ' = 0) thì

( do y( ) = 0)
+ n ( do y( ) = 0 )

y1 = mx1 + n
y2 = mx2

'

x1
'

x2

Và như thế đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu là y = mx + n.
15


Muốn làm theo cách trên HS phải thành thạo việc chia đa thức.
Nếu các nghiệm của phương trình y ' = 0 là dễ tìm (không phức tạp) thì cũng
không cần làm như trên, chúng ta tìm luôn 2 điểm cực trị rồi viết phương trình đi
qua chúng ( Hình học 10).
HS luyện tập ví dụ sau
Ví dụ 2.10 Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 (Cm). Tìm m đường thẳng đi qua

cực đại, cực tiểu của hàm số đã cho vuông góc với đường thẳng có phương trình
(d ) : y = 3 x − 7.
3 10
.
2
Ví dụ 2.11 Tìm m để hàm số y = x3 − 3x 2 + m2 x + m có điểm cực đại, điểm cực
tiểu đối xứng qua đường thẳng x − 2 y − 5 = 0.
HD: m = 0.
4
2
Ví dụ 2.12 Cho hàm y = x − 2mx + 2m có đồ thị (C).
HD: m = ±

1
a) Khảo sát, vẽ (C) khi m = .
2
b) Tìm giá trị của tham số m để (C) có 3 điểm cực trị.
HD
b) Hoành độ các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y ' = 0 .
Ycbt ⇔ 4 x 3 − 4mx = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ 4 x( x 2 − m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt
⇔ x 2 − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
⇔ m > 0.
4
2
2
Ví dụ 2.13 Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 có đồ thị (C).

a) Khảo sát, vẽ (C) khi m = 1.
b) Tìm giá trị của tham số m để (C) có 3 điểm cực trị.

HD
b) m < −3,0 < m < 3.
2x + 1
Ví dụ 2.14 Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
2x − 1
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = x + 2.
HD
b) Phương trình hoành độ giao điểm:

16


1
1


x = 1
2x + 1
x ≠
x ≠

= x+2⇔
⇔
⇔
2
2
3
2x − 1

2
2 x + 1 = (2 x − 1)( x + 2) 2 x + x − 3 = 0  x = − 2
3 1
Các giao điểm là A(1;3), B( − ; ).
2 2
x+2
Ví dụ 2.15 Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x −3
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng bằng
khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang.
HD
b) TCĐ x − 3 = 0 , TCN y − 1 = 0.
M ∈ (C ) ⇒ M ( x0 ;
ycbt ⇔ x0 − 3 =

x0 + 2
),( x0 ≠ 3).
x0 − 3

x0 + 2
5
− 1 ⇔ x0 − 3 =
⇔ x0 = 3 ± 5.
x0 − 3
x0 − 3

Từ đó tìm được M .
Nhận xét:

HS cần nhớ lại công thức tính khoảng cách.
Khoảng cách từ M ( x0 ; y0 ) tới đường thẳng (d) ax + by + c = 0 được tính theo
ax0 + by0 + c
.
công thức: d ( M , d ) =
a 2 + b2
2x + 1
Ví dụ 2.16 Cho hàm số y =
có đồ thị (C).
x +1
a) Khảo sát, vẽ (C).
b) Tìm m để đường thẳng (d) y = −2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B
sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3.
HD
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
 x ≠ −1
2x + 1
= −2 x + m ⇔  2
x +1
2 x + (4 − m) x + 1 − m = 0

(1)

Phương trình (1) có ∆ = m 2 + 8 > 0, ∀m nên (d) luôn cắt (C) tại A, B phân biệt.
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của (1).

17


A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ); y1 = −2 x1 + m, y2 = −2 x2 + m

x1 + x2 =

m−4
1− m
, x1 x2 =
, y1 − y2 = 2( x2 − x1 ).
2
2

d (O, AB ) = d (O, d ) =

m
5

; AB =

( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) =
2

2

5(m 2 + 8)
2

m m2 + 8
1
SOAB = .d ( O, AB ) . AB =
= 3 ⇔ m = ±2.
2
4

3. Bài toán liên quan tới cấp số cộng và cấp số nhân
Ví dụ 3.1 Cho y = x3 − 3mx 2 + 2m(m − 4) x + 9m 2 − m (Cm) . Tìm m để (Cm) cắt
trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
LG: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox thì x1 , x2 , x3 thứ
tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
x 3 − 3mx 2 + 2m( m − 4) x + 9m 2 − m = 0
Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 + x2 + x3 = 3m

(2)

Thay (1) vào (2): x2 = m.
Ta có y ( x2 ) = y ( m) = 0 ⇔ m3 − 3m3 + 2m 2 ( m − 4) + 9m 2 − m = 0
m = 0
⇔ m2 − m = 0 ⇔ 
m = 1
Thử lại:
+) Với m = 0 ⇒ y = x 3 ; đồ thị của hàm số này cắt trục hoành tại một điểm (phương
trình hoành độ giao điểm có một nghiệm), nên trường hợp này không thỏa mãn yêu
cầu bài toán ⇒ m = 0 loại.
+) Với m = 1 ⇒ y = x 3 − 3x 2 + 6 x + 8
Có x 3 − 3x 2 + 6 x + 8 = 0 ⇔ x = −2 ∨ x = 1 ∨ x = 4 và nghiệm theo thứ tự lập thành
cấp số cộng ⇒ m = 1 thỏa mãn.
KL: m = 1.
Nhận xét: để hiểu rõ và ghi nhớ lời giải trên ta có thể chứng minh mệnh đề sau
Mệnh đề: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục Ox tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình hoành độ giao điểm có 3
−b
nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = .
3a

Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox
thì x1 , x2 , x3 thứ tự lập thành cấp số cộng ⇒ x1 + x3 = 2 x2 (1)
18


Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
ax3 + bx 2 + cx + d = 0
Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 + x2 + x3 =

−b
a

(2)

−b
là ĐPCM!
3a
Tuy nhiên mệnh đề trên chỉ là điều kiện cần, do đó, việc kiểm tra lại các giá trị của
tham số vừa tìm được và kết luận các giá trị đó là cần thiết.
Các em HS luyện tập bài tập sau
Ví dụ 3.2 Cho y = 3x3 − 3x 2 − 9 x + m(Cm) . Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3
điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.
HD: m = 11.
Ví dụ 3.3 Cho hàm số y = x3 − (3m + 1) x 2 + (5m + 4) x − 8 (Cm). Tìm m để (Cm)
cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
LG: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của (Cm) với Ox thì x1 , x2 , x3 thứ
tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1.x3 = x22 (1)
Thay (1) vào (2): x2 =

Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

x 3 − (3m + 1) x 2 + (5m + 4) x − 8 = 0
Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 x2 x3 = 8

(2)

Thay (1) vào (2): x23 = 8 ⇔ x2 = 2.
Ta có y ( x2 ) = y (2) = 0 ⇔ 4 − 2m = 0 ⇔ m = 2.
Thử lại:
Với m = 2 ⇒ y = x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8
Có x 3 − 7 x 2 + 14 x − 8 = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 4 và nghiệm theo thứ tự lập thành
cấp số nhân ⇒ m = 2 thỏa mãn.
KL: m = 2.
Nhận xét: để hiểu rõ và ghi nhớ lời giải trên ta có thể chứng minh mệnh đề sau
Mệnh đề: Đồ thị hàm số y = ax3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) cắt trục Ox tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân thì phương trình hoành độ giao điểm có 3
−d
.
nghiệm phân biệt và trong đó một nghiệm là x = 3
a
Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 thứ tự là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox
thì x1 , x2 , x3 thứ tự lập thành cấp số nhân ⇒ x1 x3 = x23 (1)
Mặt khác x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:
19


ax3 + bx 2 + cx + d = 0
Áp dụng ĐL viet cho phương trình bậc 3 ta có x1 x2 x3 =
Thay (1) vào (2): x23 =

−d

a

(2)

−d
−d
⇔ x2 = 3
. là ĐPCM!
a
a

Tuy nhiên mệnh đề trên chỉ là điều kiện cần, do đó, việc kiểm tra lại các giá trị của
tham số vừa tìm được và kết luận các giá trị đó là cần thiết.
Ví dụ 3.4 Cho hàm số y = x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 (Cm). Tìm m để đồ thị của
hàm số đã cho cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành
cấp số cộng.
LG: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số với trục
hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao điểm:
x 4 − 2(m + 1) x 2 + 2m + 1 = 0
(1)
Đặt t = x 2 ≥ 0;(1) ⇔ t 2 − 2(m + 1)t + 2m + 1 = 0 (2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

∆ ' = (m + 1) − 2m − 1 > 0 m2 > 0

1

⇔  S = t1 + t2 = 2(m + 1) > 0 ⇔ m > −1 ⇔ − < m ≠ 0. (0 < t1 < t2 )
2
 P = t t = 2m + 1 > 0


1
1 2

m > −

2
2

 x = ± t1
 x 2 = t1
⇔
Khi đó  2
 x = ± t2
 x = t2
Sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn: x1 = − t2 , x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
x1 , x2 , x3 , x4 thứ tự lập thành cấp số cộng
⇒ x4 + x2 = 2 x3 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1
m +1

(1)
10t1 = 2(m + 1) t1 =
t1 + t2 = 2(m + 1)
⇔ 2
⇔
5
Và 
t1t2 = 2m + 1
9t1 = 2m + 1
9t 2 = 2m + 1 (2)

 1
m = 4
Thay (1) vào (2): 9m − 32m − 16 = 0 ⇔ 
4 (thỏa mãn)
m = −
9

2

4
Vậy hai giá trị cần tìm: m = 4 ∨ m = − .
9
Nhận xét: Chúng ta đi chứng minh mệnh đề sau
20


Mệnh đề: Đồ thị hàm trùng phương y = ax 4 + bx 4 + c(a ≠ 0) cắt trục hoành tại 4
điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì điều kiện là phương trình
2
trung gian ( at + bt + c = 0 ) có 2 nghiệm dương phân biệt và nghiệm lớn bằng 9
lần nghiệm nhỏ.
Chứng minh: Gọi x1 , x2 , x3 , x4 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm
số với trục hoành, thì x1 , x2 , x3 , x4 là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành
(1)
độ giao điểm: ax 4 − bx 2 + c = 0
Đặt t = x 2 ≥ 0;(1) ⇔ at 2 − bt + c = 0 (2)
(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
(giả sử 0 < t1 < t2 )
 x = ± t1
 x 2 = t1


⇔
Khi đó  2
x
=
t
 x = ± t2

2
Sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn: x1 = − t2 , x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
x1 , x2 , x3 , x4 thứ tự lập thành cấp số cộng
⇒ x4 + x2 = 2 x3 ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1
Khi làm bài tập dạng này HS cần chú ý tới điều kiện để phương trình (1) có 4
nghiệm phân biệt hay phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
4. Bài toán tiếp tuyến
Để viết phương trình tiếp tuyến của đường cong bài toán thường cho biết:
Tiếp điểm
Hệ số góc
Một điểm mà tiếp tuyến đi qua.
Sau đây ta luyện tập từng điều kiện trên
4.1 Cho biết tiếp điểm
a)Bài toán: Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) có phương trình là:
y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0
(1)
Trong đó M ( x0 ; y0 ) gọi là tiếp điểm, f '( x0 ) là hệ số góc, y0 = f ( x0 ) .
b) Tình huống cụ thể:
+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) , thì ta tìm f '( x0 ) rồi thay
vào (1).
+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm x = x0 , thì tính y0 = f ( x0 ), f '( x0 ) rồi

thay vào (1).
21


+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại điểm y = y0 , thì tính x0 từ phương trình
y0 = f ( x ) ,tính f '( x0 ) rồi thay vào (1).
+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị và trục tung, ta cho
x0 = 0 ,tính y0 = f ( x0 ), f '( x0 ) rồi thay vao (1).
+) Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) tại giao điểm của đồ thị và trục hoành, ta cho
y0 = 0 ,tính x0 từ phương trình y0 = f ( x ) ,tính f '( x0 ) rồi thay vào (1).
3
2
Ví dụ 4.1.1 Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) = x − 3 x + 1 tại điểm A(1; −1) .

LG: Ta đã có x0 = 1, y0 = −1 .
y ' = f '( x) = 3x 2 − 6 x ⇒ f '( x0 ) = f '(1) = 3.12 − 6.1 = −3.
Pttt là y = −3( x − 1) + (−1) ⇔ y = −3 x + 2.
4
2
Ví dụ 4.1.2 Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) = x − 2 x tại điểm có tung độ
y0 = 3.
4
2
LG: Tìm x0 từ phương trình x0 − 2 x0 = 3 ta được x0 = ± 3

(

)

3

(

)

f '( x) = 4 x 3 − 4 x ⇒ f '(− 3) = 4 − 3 − 4 − 3 = −8 3; f '( 3) = 8 3.
Từ đó có hai pttt là y = 8 3x − 21; y = −8 3 x − 21.
Ví dụ 4.1.3 Viết pttt của đồ thị hàm y = f ( x ) =

x −1
tại điểm có
2x + 3

a) x = 1;
b) y = 1.
LG:
 3
a) TXĐ ¡ \ − .
 2
x = x0 = 1 ⇒ y0 = 0
f '=

5
2
1
⇒ f '(1) =
2 ,x ≠ −
3
5
( 2 x + 3)

1
1
1
Vậy pttt y = ( x − 1) + 0 ⇔ y = x − .
5
5
5
1
9
b) HS làm, pttt là y = x + .
5
5
4.2 Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc
Bài toán: Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) biết tiếp tuyến có hệ số góc là k .
Phương pháp: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0
22


Hay y = f '( x0 ).( x − x0 ) + f ( x0 )

(1)

Do tiếp tuyến có hệ số góc là k nên ta tìm được x0 từ: f '( x0 ) = k , và pttt (1) là viết
được.
Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1 ) : y = a1 x + b1 ;(d 2 ) : y = a2 x + b2
a1 , a2 thứ tự là hệ số góc của hai đường thẳng đó
a = a2
(d1 ) || (d 2 ) ⇔  1

b1 ≠ b2 ;
a = a2
(d1 ) ≡ (d 2 ) ⇔  1
b1 = b2 ;
(d1 ) ⊥ (d 2 ) ⇔ a1.a2 = −1.
Ví dụ 4.2.1 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) =
góc là k = −4.
LG: TXĐ ¡ \ { 1} .
f '( x) =

2x −1
biết tiếp tuyến có hệ số
x −1

−1
2 , x ≠ 1.
x
−
1
(
)

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, y0 = f ( x0 ) =

2 x0 − 1
−1
; f '( x0 ) =
2 .
x0 − 1
( x0 − 1)

Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0
Hay y =

−1
2 x0 − 1
2 .( x − x0 ) +
x0 − 1
( x0 − 1)

(1)

1
3
2


x
−
1
=
x
=
(
)
0
0

−1
1

2
2 ⇔
2
=
−
4
⇔
x
−
1
=
⇔
(
)
Hệ số góc k = −4 nên


2
0
4
( x0 − 1)
( x − 1) 2 = − 1
x = 1
0
 0 2

2
Thay vào (1) thì được hai pttt là: y = −4 x + 2; y = −4 x + 10.
2
2

Ví dụ 4.2.2 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x (2 − x ) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng (d ) : 24 x − y + 2012 = 0.
LG: Viết lại (d ) : y = 24 x + 2012, hsg k = 24.

f ( x) = − x 4 + 2 x 2 ⇒ f '( x ) = −4 x 3 + 4 x. .
4
2
3
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, y0 = f ( x0 ) = − x0 + 2 x0 ; f '( x0 ) = −4 x0 + 4 x0 .

Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0
3
4
2
Hay y = ( −4 x0 + 4 x0 ) .( x − x0 ) + ( − x0 + 2 x0 )

(1)
23


Do tiếp tuyến song song với (d ) : y = 24 x + 2012, hsg k = 24 nên
−4 x03 + 4 x0 = 24 ⇔ − x03 + x0 − 6 = 0 ⇔ ( x0 + 2 ) ( − x02 + 2 x0 − 3) = 0 ⇔ x0 = −2.
Pttt (1) là y = 24 x + 40.
3
2
Ví dụ 4.2.3 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − 3 x + 3x biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng (d ) : y = 3 x.
HD: Làm như trên, tìm được hai đường thẳng y = 3x; y = 3x − 4 nhưng do y = 3x
trùng với (d ) nên bị loại. Vậy pttt cần tìm là y = 3x − 4.

Ví dụ 4.2.4 Viết pttt của đồ thị hàm số y = f ( x ) =
với đường thẳng (d ) : x − y + 1 = 0.
LG:
−2 x + 3
,(d ) : y = x + 1.
Viết lại y = f ( x ) =
x −1

3 − 2x
biết tiếp tuyến vuông góc
x −1

TXĐ R \ { 1} .
f '( x) =

−1
2 , x ≠ 1.
( x − 1)

Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm, y0 = f ( x0 ) =

−2 x0 + 3
−1
; f '( x0 ) =
2 .
x0 − 1
x
−
1
( 0 )

Phương trình tiếp tuyến tại M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 ).( x − x0 ) + y0
Hay y =

−1
−2 x0 + 3
2 .( x − x0 ) +
x0 − 1
( x0 − 1)

(1)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d ) nên
f '( x0 ).1 =

 x0 − 1 = 1
 x0 = 2
−1
2
.1
=
−
1
⇔
1
=
x
−
1
⇔

⇔
(
)
2
0
 x − 1 = −1  x = 0 .
( x0 − 1)
 0
 0

Với x0 = 2 ⇒ pttt (1) : y = − x + 1.
Với x0 = 0 ⇒ pttt (1) : y = − x − 3.
4.3 Tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán: Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) biết tiếp tuyến đi qua điểm
A( x0 ; y0 ).
Phương pháp: Gọi (d ) là đường thẳng đi qua A( x0 ; y0 ) và có hệ số góc k
Phương trình (d ) : y = k ( x − x0 ) + y0 .

24


Để (d ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 f ( x) = k ( x − x0 ) + y0
(còn gọi là điều kiện tiếp xúc).

 f '( x) = k
Từ hệ tìm được k , và do đó pttt (d ) : y = k ( x − x0 ) + y0 là viết được.
3
2
Ví dụ 4.3.1 Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) = x − 3 x + 2 biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(−1;2).

LG:
Gọi (d ) là đường thẳng đi qua A(−1;2) và có hệ số góc k
Phương trình (d ) : y = k ( x + 1) + 2.
(d ) là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
 x 3 − 3x 2 + 2 = k ( x + 1) + 2
 2
3 x − 6 x = k

(1)
(2)

Thay (2) vào (1) ta được: x 3 − 3x 2 + 2 = (3x 2 − 6 x)( x + 1) + 2 ⇔ x = 0, x = ± 3.
Với x = 0 , từ (2) ⇒ k = 0 ⇒ (d ) : y = 2.

(

)

Với x = 3 , từ (2) ⇒ k = 27 − 6 3 ⇒ (d ) : y = 27 − 6 3 ( x + 1) + 2.

(

)

Với x = − 3 , từ (2) ⇒ k = 27 + 6 3 ⇒ (d ) : y = 27 + 6 3 ( x + 1) + 2.
Vậy có 3 pttt thỏa mãn đề bài.
Nhận xét:
+) Điểm mà tiếp tuyến đi qua có thể nằm trên đồ thị hàm số, có thể không (trường

hợp nằm trên đồ thị, ta đã xét ở mục 1)).
+) Có thể áp dụng phương pháp làm ở mục 1) để làm bài toán này?
Có thể làm được và làm như sau:
M ( x0 ; y0 )
Tiếp
tuyến
tại
thuộc
đồ
thị
có
dạng
(T ) : y = (3x02 − 6 x0 ).( x − x0 ) + ( x03 − 3 x0 2 + 2 )

A ∈ (T ) ⇔ 2 = (3x02 − 6 x0 ).(−1 − x0 ) + ( x03 − 3 x0 2 + 2 )

⇔ 0 = −2 x03 + +6 x0
⇔ x0 = 0, x0 = ± 3.
Đến đây, ta có thể dễ dàng viết được pttt (T).
Ví dụ 4.3.2 Viết pttt của đồ thị (C) của hàm số y = f ( x ) =
qua điểm P (3;1).
LG:
TXĐ R \ { 1} .

x +1
biết tiếp tuyến đi
x −1

25