PP Tam thuc bac hai dinh huong

CHUYÊN ĐỀ: GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI ĐỊNH HƯỚNG
Bài toán BĐT là một trong những bài toán hay, thường có trong các kỳ thi
HSG Quốc gia cũng như Quốc tế. Có rất nhiều dạng BĐT cũng như Phương pháp
giải BĐT, sau đây tôi xin trình bày phương pháp giải BĐT bằng tam thức bậc hai
định hướng. Do trình độ còn nhiều hạn chế nên không tránh khỏi những sai sót,
mong thầy cô cho ý kiến để bài viết được hoàn thiện hơn.
Thông thường, khi ra đề một bài toán BĐT ta xuất phát từ một bất đẳng
thức đúng, chẳng hạn.

(a − b)2 + (b − 2c)2 + (a − 2c)2 ≥ 0 ∀a, b, c ∈ R
⇔ 2a 2 + 2b2 + 8c 2 − 2ab − 4bc − 4ca ≥ 0
⇔ 2a 2 + 2b2 + 8c 2 − 2bc − 2ca ≥ 2(ab + bc + ca ) (*)
Trong (*) nếu ta cho

ab + bc + ca = 1 thì ta được bài toán “ Cho a, b, c ∈ R

ab + bc + ca = 1.

M = 2a 2 + 2b 2 + 8c 2 − 2bc − 2ca ”.

và
Tìm giá trị nhỏ nhất của
Để giải lớp bài toán này ta có thể dùng Phương pháp tam thức bậc hai định
hướng, phương pháp này sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai.
Ví dụ 1: Cho

a , b, c ∈ R

và

ab + bc + ca = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của

M = 2a 2 + 2b 2 + 8c 2 − 2bc − 2ca .
Lời giải

Nếu
bằng 4.

c= 0

thì

ab = 1

và

M = 2a 2 + 2b2 ≥ 4 a 2b2 = 4

, Do đó M nhỏ nhất


Nếu

c ≠ 0 thì

ta đặt

a

b
=α, = β
c
c

hay

a = α c, b = β c

, khi đó vì

M = 2a 2 + 2b2 + 8c 2 − 2bc − 2ca = a 2 + b 2 + 6c 2 + (b − c)2 + (c − a)2 > 0

cần xét

0 < M < 4,

c (α β + α + β ) = 1

c2 =

2

ta có

, hay

nên ta chỉ

1

αβ + α + β

M = 2α 2c 2 + 2β 2c 2 + 8c 2 − 2β c 2 − 2α c 2
M = 2c 2 (α 2 + β 2 − β − α + 4)

Từ đó ta suy ra

2

M
=
(α 2 + β 2 − α − β + 4) (1)

αβ + α + β
, 0
1
2
c =

αβ + α + β

(1) ⇔ 2α 2 − ( M β + M + 2)α + 2β 2 − 2β + 8 − M β = 0
∆ = ( M β + M + 2) 2 − 8(2β 2 − 2 β + 8 − M β ) ≥ 0
⇔ ( M 2 − 16) β 2 + (2 M 2 + 12M + 16) β + M 2 + 4 M − 60 ≥ 0
⇔ ( M 2 − 16) β 2 + 2( M 2 + 6M + 8) β + M 2 + 4 M − 60 ≥ 0

Vì tam thức dương và có

M 2 − 16 < 0 ∀0 < M<4

nên

∆ ' ≥ 0 ⇔ ( M 2 + 6 M + 8)2 − ( M 2 − 16)( M 2 + 4 M − 60) ≥ 0
⇔ 36 M 2 + 64 + 12 M 3 + 16 M 2 + 96 M − 4 M 3 + 60 M 2 + 16 M 2 + 64 M − 960 ≥ 0
⇔ 8( M 3 + 16 M 2 + 20 M − 112) ≥ 0
⇔ 8( M − 2)( M + 14)( M + 4) ≥ 0
⇔M ≥2

và


Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2 khi

α=

− ( M 2 + 6M + 8)
β=
=2
M 2 − 16

,

1
2
Mβ + M + 2
2
=2 c=± =±
a=b=±
8

4
4
2
,
,

Tương tự ta cũng có thể ra đề, và giải các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho

a, b, c

sao cho

ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của

M = a 2 + 3b2 + 5c 2
Bài toán 2: Cho

xy + yz + zx = 1

M = x 2 + y 2 + 4 z 2 − xz − yz

. Tìm giá trị nhỏ nhất của