Một số lớp ánh xạ đa trị với giá trị không lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Giang Tuyết Loan

MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI
GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Giang Tuyết Loan

MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI
GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI
Chuyên ngành : Toán Giải Tích
Mã số

:

60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô đã tận tình dạy dỗ chúng tôi trong
suốt quá trình học. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học đã tạo điều
kiện cho chúng tôi được học tập tốt.
Tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy , người
thầy đã rất nhiệt tình hướng dẫn tôi thực hiện đề tài này. Trong suốt thời gian học
tập và thực hiện khóa luận, tôi đã học tập được nhiều kiến thức bổ ích cũng như
nhiều kinh nghiệm dưới sự chỉ bảo ân cần của Thầy.
Mặc dù đã cố gắng hoàn thiện đề tài nhưng không tránh khỏi nhiều sai sót. Kính
mong được sự nhận xét đánh giá của các Thầy Cô.
Tôi xin kính chúc các Thầy Cô luôn khỏe mạnh, tiếp tục đạt nhiều thành công
trong sự nghiệp giảng dạy và nghiên cứu khoa học cũng như trong sự nghiệp
trồng người.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

1


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................................ 1
MỤC LỤC .............................................................................................................................................. 2
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................................................ 3
BẢNG KÍ HIỆU .................................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN .................................. 5

1.1. Một số định nghĩa và tính chất của ánh xạ đa trị co và ánh xạ đa trị không giãn .5

1.2. Một số định lí về điểm bất động ...........................................................................9
1.3. Một số kết quả về đồng luân của ánh xạ đa trị co ...............................................14
CHƯƠNG 2. ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG............................................................................................. 25

2.1. Liểm bất động của ánh xạ tăng đa trị ..................................................................25
2.1.1. Nguyên lí Entropy ........................................................................................25
2.1.2. Một số khái niệm ..........................................................................................26
2.2. Lát cắt của ánh xa tăng đa trị ..............................................................................31
2.2.1. Các khái niệm liên quan ...............................................................................31
2.2.2. Một số định lí về sự tồn tại lát cắt đơn điệu của ánh xạ đa trị tăng ..............33
CHƯƠNG 3. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ PHÂN TÍCH ĐƯỢC ........................................... 45

3.1. Một số khái niệm liên quan .................................................................................45
3.2. Tập phân tích được, tính chất ..............................................................................46
3.3. Sự tồn tại lát cắt của ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được ...............................60
KẾT LUẬN .......................................................................................................................................... 73
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................. 74

2


LỜI MỞ ĐẦU
Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu một cách hệ thống trong Toán học trong
những năm 1950 -1960 do nhu cầu phát triển nội tại của Toán học cũng như do
nhu cầu mô tả và nghiên cứu các mô hình phát sinh từ khoa học Tự nhiên và Xã
hội. Chúng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu các bao hàm thức vi phân,
tích phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong Tin học lý thuyết…
Các ánh xạ đa trị được nghiên cứu ban đầu có giá trị là tập lồi. Nhờ tính chất
này ta có thể chứng minh tồn tại lát cắt đơn trị của ánh xạ đa trị và nhờ đó nhiều
kết quả về ánh xạ đơn trị được mở rộng lên ánh xạ đa trị với giá trị lồi. Các ánh

xạ đa trị với giá trị lồi được nghiên cứu khá đầy đủ.
Cùng với sự phát triển của khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu các ánh
xạ đa trị với giá trị không lồi đã được đặt ra. Việc nghiên cứu các ánh xạ này
phức tạp hơn nhiều và ta cần tìm các tính chất của ánh xạ có thể thay thế tính
chất lồi, ví dụ tính co của ánh xạ, tính tăng của ánh xạ đối với thứ tự, tính phân
tích được của tập ảnh,… Lớp các ánh xạ đa trị với giá trị không lồi chưa được
nghiên cứu nhiều. Các kết quả nhận được chưa đầy đủ và còn nhiều vấn đề đang
chờ sự nghiên cứu.
Luận văn nghiên cứu ba dạng của ánh xạ đa trị không lồi là ánh xạ co đa trị,
ánh xạ tăng đa trị và ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được. Gồm có ba chương :
Chương 1: “Ánh xạ đa trị co và ánh xạ đa trị không giãn”.Trong chương này,
khái niệm ánh xạ đa trị co và ánh xa đa trị không giãn được định nghĩa dựa vào
khái niệm metric Hausdorff. Tôi trình bày một vài kết quả về điểm bất động của
lớp ánh xạ đa trị này.
Chương 2: “Ánh xạđa trị tăng”. Chương này trình bày một số khái niệm về
quan hệ thứ tự của hai tập hợp. Từ đó định nghĩa các kiểu tăng của ánh xạ đa trị.
Trong chương này, tôi có trình bày định lý về điểm bất động và điều kiện đề có
lát cắt đơn điệu của loại ánh xạ này.
Chương 3: “Ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được”.Chương này giới thiệu
khái niệm ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được và một số tính chất của nó.
Ngoài ra tôi trình bày một số điều kiện để tồn tại lát cắt liên tục của loại ánh xạ
này. Kết quả chính của chương là định lí về điểm bất động của ánh xạ đa trị có
giá trị phân tích được.

3


BẢNG KÍ HIỆU

N : tập hợp số tự nhiên.

R : tập hợp số thực.

N ( X ) : tập hợp các tập con khác rỗng của X .

cl ( X ) : tập hợp các tập con đóng khác rỗng của X .
bcl ( X ) : tập hợp các tập con đóng, bị chặn, khác rỗng của X .
co ( X ) : tập hợp các tập con lồi khác rỗng của X .
X * : không gian đối ngẫu của không gian X .

M (T , X ) : tập hợp các ánh xạ đo được từ T vào X .
Lp (T , X ) : không gian các ánh xạ khả tích Bochner với chuẩn
1
pp


=
u p  ∫ u ( t )  , 1 ≤ p < +∞ , u


T


∞

B( x, r ) : quả cầu mở tâm x bán kính r .
U : bao đóng của U .

4

= ess sup u ( t ) .

CHƯƠNG 1. ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ
KHÔNG GIÃN

Trong chương này chúng tôi trình bày một vài kết quả về điểm bất động của ánh
xạ co và ánh xạ đa trị không giãn.
Các kết quả được trích dẫn từ tài liệu [1].

1.1. Một số định nghĩa và tính chất của ánh xạ đa trị co và ánh xạ đa trị
không giãn
Cho ( X , d ) là không gian metric.
Với C ⊂ X , r > 0 ta định nghĩa B (C , r ) =

 B ( x, r ) .
x∈C

ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 [1]:Với C , K là hai tập con đóng khác rỗng của X . Ta
định nghĩa khoảng cách giữa hai tập hợp C , K là

D(C=
, K ) : inf {ε > 0 :C ⊆ B( K , ε ), K ⊆ B(C , ε ) } ∈ [ 0, +∞ ]
D được gọi là metric Hausdorff.
Ví dụ 1.1.1 :
2
Trong R
,C
=

{( x, y ) :0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}, K = {( x, y ) : y =

2,1 ≤ x ≤ 2} .

Khi đó D ( C , K ) = 5 .
Thật vậy, với

ε > 0 thỏa mãn C ⊆ B( K , ε )

ta có ( 0,0 ) ∈ K ⇒ ( 0,0 ) ∈ B ( C , ε ) ⇒ ∃( a, b ) ∈ C :
mà 1 ≤ a ≤ 2, b =
2 nên ε > a 2 + b 2 ≥ 5 .

5

( a − 0)

2

+ (b − 0) < ε
2


Với

δ > 0 ta chứng minh C ⊆ B( K , 5 + δ ), K ⊆ B(C , 5 + δ ) .

Với ( a, b ) ∈ C , ∃(1, 2 ) ∈ K ,

(1 − a )

2

+ ( 2 − b ) ≤ 12 + 22 =

( c,2 ) ∈ K , ∃(1,1) ∈ C , ( c − 1) + ( 2 − 1)
2

2

2

≤

( c − 1)

2

5 < 5 +δ

+1

≤ 2 < 5 +δ
Vậy inf {ε > 0 :C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) } =
5.

=
C
Nhận xét 1.1.1: Nếu

x} , K { y} thì D ( C , K ) = d ( x, y ) .

{=

Nếu C = { x} , K có hơn một phần tử thì d ( x, K ) và D ( C , K ) nói
chung là không bằng nhau.

MỆNH ĐỀ 1.1.1:Với C , K đều là tập đóng, bị chặn, khác rỗng của không gian
metric ( X , d ) ta có định nghĩa khoảng cách giữa hai tập này như sau
=
d ( c, K ) inf {d ( c, k ) , k ∈ K }

ρ ( C , K )= sup {d ( c, K ) , c ∈ C} , ρ ( K , C )= sup {d ( k , C ) , k ∈ K }
D ( C , K ) = max { ρ ( C , K ) , ρ ( K , C )} .

Khi đó định nghĩa này tương đương với định nghĩa 1.1.1.

Chứng minh
Đặt α = inf {ε > 0 :C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) }

6


β = max { ρ ( C , K ) , ρ ( K , C )}
Chứng minh β ≤ α .
Lấy

ε > 0 thỏa mãn

C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε )

Với c ∈ C , do C ⊆ B ( K , ε ) nên ∃k ∈ K : c ∈ B (k , ε ) . Do đó d ( c, k ) < ε

Suy ra d ( c, K ) < ε ⇒ ρ ( C , K ) ≤ ε . Lập luận tương tự ta có ρ ( K , C ) ≤ ε .
Vậy β ≤ α .
Chứng minh α < β + ε , ∀ε > 0 .
Với c ∈ C , ta có ρ ( C , K ) ≤ n ⇒ d ( c, K ) ≤ n ⇒ ∃k ∈ K : d ( c, k ) < n + ε
Do đó c ∈ B (k , β + ε ) ⇒ C ⊆ B ( K , β + ε ) .
Lập luận tương tự ta có K ⊆ B (C , β + ε ) .
Do định nghĩa α nên ta có α < β + ε , ∀ε > 0 . Suy ra α ≤ β .
Vậy α = β .

Nhận xét 1.1.2
*) C , K đều là tập đóng, bị chặn, khác rỗng, x ∈ X ta có

d ( x, C ) ≤ d ( x, K ) + D ( K , C ) .
*) với A, B là hai tập con đóng , bị chặn, khác rỗng của không gian Banach X và
số t > 0 . Khi đó D ( tA, tB ) = tD ( A, B ) .
Thật=
vậy , đặt α D=
( tA, tB ) , β D ( A, B )

7


+) Với

ε > 0 thỏa mãn tA ⊂ B ( tB, ε ) , tB ⊂ B ( tA, ε ) .

Với a ∈ A, ∃b ∈ B : ta − tb < ε ( do tA ⊂ B ( tB, ε ) )
Do đó a − b <

ε

 ε
⇒ A ⊂ B  B,
t
 t


.


ε




Chứng minh tương tự ta có B ⊂ B  A,  . Suy ra β ≤

t

ε
⇒ βt ≤ ε .
t

Mà α = inf {ε > 0 : tA ⊂ B ( tB, ε ) , tB ⊂ B ( tA, ε )} nên β t ≤ α .
+) Với

δ > 0 bất kì, ta chứng minh α ≤ β t + δ .



Với mọi=
y ta, a ∈ A . Do A ⊂ B  B, β +

δ

δ

 nên có b ∈ B : a − b < b +
t
t

Suy ra ta − tb < t b + δ nên ⇒ tA ⊂ B ( tB, t β + δ ) .
Chứng minh tương tự tB ⊂ B ( tA, t β + δ ) . Suy ra α ≤ β t + δ . Vậy α ≤ β t .

ĐỊNH NGHĨA 1.1.2 [1] Cho C là tập con khác rỗng của X .
Ánh xạ đa trị F : C → X có giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng được gọi là co nếu
tồn tại hằng số k ,0 ≤ k < 1 thỏa mãn D ( F ( x), F ( y ) ) ≤ kd ( x, y ) , ∀x, y ∈ C .
Và F được gọi là không giãn nếu D ( F ( x), F ( y ) ) ≤ d ( x, y ) , ∀x, y ∈ C .

  1 
 B 0, x , x ≠ O(0,0)
Ví dụ 1.1.2 Cho F : R 2 → R 2 định bởi F ( x) =   2 
,
O(0,0)
, x = O(0,0)

xét với chuẩn Euclide.

8

Với x, y ∈ R 2 ta có

  1   1
1
 1
D ( F ( x), F ( y ) ) = D  B  0, x  , B  0, y   =
x − y ≤ x− y
2
 2
  2   2
Vậy F là ánh xạ co với hệ số k =

1
.
2

 1





Ví dụ 1.1.3 : F :[0,1] → R định bởi F ( x) = 0, x 3  .
3
Với ( x, y ) ∈ [0,1] ta có

 1   1 3 1 3
D ( F ( x), F (=
y ) ) D  0, x 3  , 0, y=

x − y3


 3   3  3
1
1
= ( x − y ) ( x 2 + xy + y 2 ) ≤ .3 x − y = x − y
3
3
Vậy F là ánh xạ không phải ánh xạ co.

1.2. Một số định lí về điểm bất động
ĐỊNH LÍ 1.2.1 [ Sam B. Nadler, Multip-valued Contraction Mappings, trang
479, định lí 5 ]
Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ , F : X → X là ánh xạ đa trị co với giá
trị đóng, bị chặn, khác rỗng. Khi đó F có điểm bất động.
Chứng minh
Gọi k là hệ số co của F . Lấy p0 ∈ X . Chọn p1 ∈ F ( p0 ) ( do F ( p0 ) ≠ ∅ ). Vì

F ( p1 ) , F ( p0 ) là các tập đóng bị chặn và p1 ∈ F ( p0 ) nên tồn tại p2 ∈ F ( p1 )

(

)

sao cho d ( p1 , p2 ) ≤ D F ( p0 ) , F ( p1 ) + k
Thật vậy ,

9

D ( F ( p0 ) , F ( p1 ) ) :=
inf {ε > 0 : F ( p0 ) ⊆ B( F ( p1 ) , ε ), F ( p1 ) ⊆ B( F ( p0 ) , ε ) }

(

)

Do F ( p1 ) , F ( p0 ) là các tập đóng bị chặn nên D F ( p0 ) , F ( p1 ) hữu hạn.

(

)

(

)

Do tính chất infimun nên có D F ( p0 ) , F ( p1 ) ≤ ε < D F ( p0 ) , F ( p1 ) + k
sao cho

(

F ( p0 ) ⊆ B ( F ( p1 ) , ε ) ⇒ p1 ∈ B ( F ( p1 ) , ε ) ⊆ B F ( p1 ) , D ( F ( p0 ) , F ( p1 ) ) + k

(

)

)

2
suy ra p2 ∈ F ( p1 ) sao cho d ( p1 , p2 ) ≤ D F ( p0 ) , F ( p1 ) + k .

Tương tự ta chọn p3 ∈ F ( p2 ) sao cho d ( p2 , p3 ) ≤ D ( F ( p1 ) , F ( p2 ) ) + k .
Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được dãy { pi } thỏa mãn pi +1 ∈ F ( pi ) sao

(

)

i
cho d ( pi , pi +1 ) ≤ D F ( pi −1 ) , F ( pi ) + k vói mọi i ≥ 1.

(

)

i
i
Ta có d ( pi , pi +1 ) ≤ D F ( pi −1 ) , F ( pi ) + k ≤ kd ( pi −1 , pi ) + k
i −1
≤ k ( kd ( pi −2 , pi −1 ) + k=
) + k i k 2d ( pi−1, pi ) + 2k i

≤ ... ≤ k i d ( p0 , p1 ) + ik i

)

(

(

Do đó d pi , pi + j ≤ d ( pi , pi +1 ) + d ( pi +1 , pi + 2 ) + ... + d pi + j −1 , pi + j

)

≤ k i d ( p0 , p1 ) + ik i + k i +1d ( p0 , p1 ) + ( i + 1) k i + ... + k i + j −1d ( p0 , p1 ) + ( i + j − 1) k i
=

i + j −1

∑ k i+n d ( p0 , p1 ) +

i + j −1

∑ (i + n) k

i+n

=
n 0=
n 0

∞

Chuỗi

∑ ( i + n )α
n =0

i + j −1

∑ ( i + n )α
n =0

i+n

i+n

i + n + 1)α i + n+1
(
hội tụ vì lim
= α < 1 . Suy ra
n→∞
( i + n )α i + n

→ 0 khi i, j → +∞ . Do đó d ( pi , pi + j ) → 0 khi i, j → +∞ .

10


Như vậy { pi } là dãy Cauchy. Mà ( X , d ) là không gian metric đầy đủ nên { pi }

{

}

hội tụ về x0 ∈ X . Do đó F ( pi ) hội tụ về F ( x0 ) .

(

)

(

)

(

Ta có d x0 , F ( x0 ) ≤ d ( x0 , pn ) + d pn , F ( pn−1 ) + D F ( pn−1 ) , F ( x0 )

)

≤ d ( x0 , pn ) + D ( F ( pn−1 ) , F ( x0 ) ) ( do pn ∈ F ( pn−1 ) ).

(

)

Cho n → ∞ ta được d x0 , F ( x0 ) =0 ⇒ x0 ∈ F ( x0 ) ( do F ( x0 ) đóng ).
Vậy F có điểm bất động.
Nhận xét 1.2.1 [Sam B. Nadler, Multip-valued Contraction Mappings,trang 480]
Trong chứng minh định lí 1.1.1 ta thấy với C , K là hai tập đóng, bị chặn, khác
rỗng thì với mọi c ∈ C , mọi

α > 0 tồn tại k ∈ K sao cho

d ( c, k ) ≤ D ( C , K ) + α . Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có sao cho
d ( c, k ) ≤ D ( C , K ) ( nếu K là tập compact thì hiển nhiên tồn tại ). Ví dụ : trong




1
2




1
n

không gian l 2 ( không gian các dãy số thực ) xét a =  −1, − ,..., − ,...  , tập

=
C

a, e1 , e2 ,..., en ,...} , K {e1 , e2 ,..., en ,...} trong đó ei
{=

có tất cả các thành phần




bằng 0, trừ thành phần thứ I là bằng 1. Ta có a − e=
n
 a +1+

D ( C , K )= inf { a − en , n ∈ N }=

(a

2

)

(a

2

)

2

1
2

2
 . Khi đó
n

1
2

+ 1 , nhưng không có ei nào để

1
2

+ 1 = a − ei .

Nhận xét 1.2.2: Ta đã biết điểm bất động ( nếu có ) của ánh xạ đơn trị co là duy
nhất. Nhưng điều này không đúng với ánh xạ đa trị co.
Trong ví dụ 1.1.2, F có duy nhất điểm bất động là O ( 0,0 ) . Thật vậy,

11


x ∈ R 2 là điểm bất động của F ⇔ x ∈ F ( x ) ⇒ x ≤

1
x ⇔ x≡O.
2

Nhưng điểm bất động của ánh xạ đa trị co xét trong ví dụ tiếp theo là không duy
nhất.




Ví dụ 1.2.1 : F :[0,1]2 → [0,1]2 , F=
( a, b ) ( x, y ) : 0 ≤ x ≤

1− a
1− b
,0 ≤ y ≤
.
2
2 

 1 − a1 1 − a2   1 − b1 1 − b2 
−
−
D ( F (a1 , b1 ), F (a2 , b2 ) )= 
 +

2   2
2 
 2
1
1
2
2
=
( a2 − a1 ) + ( b2 − b1 )= d ( ( a1, b1 ) , ( a2 , b2 ) )
2
2
2

Vậy F là ánh xạ co với hệ số k =

2

1
.
2

Ta có ( a, b ) là điểm bất động của F

⇔ ( a, b ) ∈ F ( ( a, b ) ) ⇔ 0 ≤ a ≤

1− a
1− b
1
1
,0 ≤ b ≤
⇔ 0 ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤
2
2
3
3



1
3

1
3

Vậy tập hợp điểm bất động của F là ( a, b ) : 0 ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤  .
ĐỊNH LÍ 1.2.2 [1] Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ với x0 ∈ X và r > 0
. Giả sử rằng F : B ( x0 , r ) → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác
rỗng thỏa mãn

d ( x0 , F ( x0 ) ) < (1 − k ) r (1)
Trong đó 0 ≤ k < 1 là hằng số co. Khi đó F có điểm bất động, nghĩa là tồn tại

x ∈ B ( x0 , r ) thỏa mãn x ∈ F ( x ) .

12


Chứng minh.
Bằng quy nạp, ta xây dựng dãy { xn } ⊂ B ( x0 , r ) thỏa mãn

xn ∈ F ( xn−1 ) ( a )n và d ( xn , xn−1 ) < k n−1 (1 − k ) r

( b )n

Do (1) và định nghĩa inf nên có x1 ∈ F ( x0 ) sao cho d ( x1 , x0 ) < (1 − k ) r
Giả sử tồn tại xn thỏa mãn tính chất ( a )n , ( b )n .

(

)

n
Khi đó ta có D F ( xn ) , F ( xn−1 ) ≤ kd ( xn , xn−1 ) < k (1 − k ) r (do F co và

( a )n , ( b )n ).
Do đó tồn tại xn+1 ∈ F ( xn ) sao cho d ( xn , xn−1 ) < k n (1 − k ) r .

(

)

Ta có d ( x0 , xn ) < 1 − k n r , ∀n ∈ N suy ra { xn } ⊂ B ( x0 , r ) .

(

) (

)

(

)

Mặt khác d xn+ p , xn < 1 + k + ... + k p −1 k n (1 − k ) =
r kn 1− k p r .
Suy ra { xn } là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ.
Vậy { xn } hội tụ về x ∈ B ( x0 , r ) .

(

)

(

)

Ta có D F ( xn ) , F ( x ) ≤ kd ( xn , x ) ⇒ d xn+1 , F ( x ) ≤ kd ( xn , x ) .
Cho n → +∞ ta được d ( x, F ( x ) ) = 0 ⇒ x ∈ F ( x ) ( do F ( x ) đóng ).

Nhận xét 1.2.3 định lí 1.2.2 không những chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của
ánh xạ đa trị co mà còn chỉ ra vùng chứa điểm bất động.

13

Ta có thể sử dụng định lí 1.2.2 để trực tiếp suy ra kết quả của định lí 1.2.1 như

(

)

sau: Lấy x0 ∈ X , cố định lại. Chọn r > 0 sao cho d x0 , F ( x0 ) < (1 − k ) r ( k
là hệ số co).Theo định lí 1.2.2, F có điểm bất động.

1.3. Một số kết quả về đồng luân của ánh xạ đa trị co
ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 [1] Cho U là tập mở khác rỗng của X , F : U → X ,

G : U → X là hai ánh xạ đa trị với giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng. ( U là bao
đóng của U ) là đồng luân nếu tồn tại H : U × [0,1] → X là ánh xạ đa trị có giá
trị đóng, bị chăn, khác rỗng, thỏa mãn các tính chất sau :

=
H (.,1) F=
, H (.,0 ) G .

(a)

(b) x ∉ H ( x, t ) ∀x ∈ ∂U , t ∈ [0,1] .
(c) ∃α ,0 ≤ α < 1 thỏa mãn

D ( H ( x, t ) , H ( y, t ) ) ≤ α d ( x, y ) , ∀t ∈ [0,1], x, y ∈U (d) Tồn tại hàm tăng, liên
tục φ :[0,1] → R

(

)

thỏa mãn D H ( x, t ) , H ( x, s ) ≤ φ ( t ) − φ ( s ) , ∀t , s ∈ [0,1], x ∈U
Khi đó H được gọi là phép đồng luân của F và G .
Nhận xét 1.3.1 ( X , d ) là không gian metric và C là tâp hợp con khác rỗng của

X . Anh xạ đa trị F : C → X có giá trị đóng, khác rỗng được gọi là liên tục nếu
nó liên tục theo metric Haudorff D . Nghĩa là
( F : C → X liên tục tại x0 ∈ C )

(

)

⇔ ∀ε > 0, ∃dd
> 0 : ∀x ∈ C , d ( x, x0 ) < ⇒ D ( F ( x ) , F ( x0 ) ) < ε .

Như vậy phép đồng luân H : U × [0,1] → X trong định nghĩa 1.3 là liên tuc.( trên

U × [0,1] xét metric κ ( ( x, t ) , ( y=
, s ) ) d ( x, y ) + t − s ).

14


Thật vậy, tại ( x, t ) ∈U × [0,1] , với mọi
Do φ liên tục tại t nên tồn tại

ε >0

δ ' > 0 sao cho với s ∈ [ 0,1] , s − t < δ ' thì

ε
φ ( s ) − φ (t ) < .
2



Chọn δ = min δ ',

ε 
 . Khi đó với mọi ( y, s ) ∈U × [0,1], d ( x, y ) + s − t < d
2α 

ε

ε

D
H
x
,
t
,
H
y
,
t

d
x
,
y
α
≤
<
(
)
(
)
(
)
(
)
 d ( x, y ) <

2
2α ⇒ 
⇒
t − s  D ( H ( y, t ) , H ( y, s ) ) ≤ φ ( s ) − φ ( t ) < ε


2
D ( H ( x, t ) , H ( y , s ) ) ≤ D ( H ( x, t ) , H ( y , t ) ) + D ( H ( y , t ) , H ( y , s ) ) < ε .

MỆNH ĐỀ 1.3.1 Giả sử U là tập con mở trong không gian Banach X ,0 ∈U ,

( )

và F : U → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, khác rỗng , F U bi chặn.
Khi đó F đồng luân với ánh xạ G ≡ 0 .
Chứng minh
Đặt H : U × [0,1] → X định bởi H ( x, t ) = tF ( x ) và G ≡ 0 . Ta chứng minh H là
phép đồng luân giữa F và G .
(a)
(b)

=
H (.,1) F=
, H (.,0 ) G .
H ( x, t ) ( do giả thuyết
Với mọi ∀x ∈ ∂U , t ∈ [0,1] , ta có x ∉ tF ( x ) =

phản chứng ).
(c)

Với mọi t ∈ [ 0,1] , x, y ∈U the0 mệnh đề 1.1, ta có

D ( H ( x, t ) , H (=
y, t ) ) D ( tF ( x ) , tF=
( y ) ) tD ( F ( x ) , F ( y ) ) ≤ tkd ( x, y ) ≤ kd ( x, y )

( với k là hệ số co của F ).
Chọn

α = k thì điều kiện (c) của định nghĩa 1.3 thỏa mãn.

15

(d)

( )

( )

Ta có F U bị chặn nên tồn tại r > 0 sao cho F U ⊂ B ( 0, r ) .

Với mọi t , s ∈ [ 0,1] , x ∈U . Ta chứng minh tF ( x ) ⊂ B ( 0, tr ) , sF ( x ) ⊂ B ( 0, sr )
. Như vậy hai tập tF ( x ) , sF ( x ) là tập đóng bị chặn khác rỗng. Với y ∈ F ( x )
ta có d ( ty, sF ( x ) ) =inf { ty − z , z ∈ sF ( x )} ≤ ty − sy =t − s y < r t − s

{

}

⇒ r (=
tF ( x ) , sF ( x ) ) sup d ( z , sF ( x ) ) , z ∈ tF ( x ) ≤ r t − s

Tương tự r ( sF ( x ) , tF ( x ) ) ≤ r t − s .
Suy ra D ( tF ( x ) , sF ( x ) ) ≤ r t − s .
Chọn hàm số φ :[0,1] → R xác định như sau φ ( t ) = tr . Khi đó

D ( H ( x, t ) , H ( x, s ) ) ≤ φ ( t ) − φ ( s ) , ∀t , s ∈ [0,1], x ∈U .
ĐỊNH LÍ 1.3.1 [1] Cho

( X , d ) là không gian metric đầy đủ và U là tập con mở

của X . Giả sử F : U → X và G : U → X là hai ánh xạ đa trị co với giá trị đóng,
bị chặn, khác rỗng đồng luân với nhau và G có điểm bất động trong U . Khi đó

F có điểm bất động trong U .
Chứng minh
Gọi H là phép đồng luân giữa F và G . Xét Q =

{( t , x ) ∈ [0,1] × U : x ∈ H ( x, t )}

Do G có điểm bất động nên tồn tại

x0 ∈=
G ( x0 ) H ( x0 ,0 ) ⇒ ( 0, x0 ) ∈ Q ⇒ Q ≠ ∅ .
Trong Q ta đặt quan hệ " ≤ " như sau :với ( t , x ) , ( s, y ) ∈ Q

t ≤ s
( t , x ) ≤ ( s, y ) ⇔ 
2 (φ ( s ) − φ ( t ) )
 d ( x, y ) ≤
1−α

ở đây α ,φ như trong định nghĩa 1.3.

16


Quan hệ " ≤ " là quan hệ thứ tự. Thật vậy,
+) với ( t , x ) ∈ Q , ta có t ≤ t , d ( x, x ) =
0≤

2 (φ ( t ) − φ ( t ) )
1−α

0 ⇒ (t, x ) ≤ (t, x )
=

+) với ( t , x ) , ( s, y ) ∈ Q , ta có

t ≤ s, s ≤ t

( t , x ) ≤ ( s, y )

⇔

2 (φ ( s ) − φ ( t ) )
2 (φ ( t ) − φ ( s ) )
≤
s
,
y
t
,
x
(
)
(
)
, d ( y, x ) ≤

 d ( x, y ) ≤


1−α
1−α


t = s
⇔
⇔ (t, x ) =
( s, y ) .
d
x
,
y
=
0
(
)

+) với ( t , x ) , ( s, y )( k , z ) ∈ Q , ta có

t ≤ s, s ≤ k

( t , x ) ≤ ( s, y )

⇔

2 (φ ( s ) − φ ( t ) )
2 (φ ( k ) − φ ( s ) )
, d ( y, z ) ≤
( s, y ) ≤ ( k , z )

 d ( x, y ) ≤

1−α
1−α

t ≤ w

⇒
2 (φ ( k ) − φ ( t ) ) ⇒ ( t , x ) ≤ ( k , z ) .
≤
+
≤
d
x
z
d
x
y
d
y
z
,
,
,
)
(
)
(
(
)


1−α

Giả sử P là tập con được sắp thứ tự toàn phần của Q . Ta chứng minh P có cận
trên trong=
Q . Đặt t* sup {t : ( t , x ) ∈ P} ( do t ∈ [ 0,1] nên t * tồn tại ).
Khi đó có dãy tăng {tn } ⊂ {t : ( t , x ) ∈ P} sao cho tn → t * . Ta có dãy tương ứng

{( t , x )} ⊂ P thỏa mãn ( t , x ) ≤ ( t
n

n

n

n

n +1

, xn+1 ) ( do φ tăng và P là tập con được

sắp thứ tự toàn phần của Q ).
Chú ý rằng ∀m, n ∈ N , m ≥ n ta có d ( xm , xn ) ≤

17

2 (φ ( t m ) − φ ( t m ) )
1−α

.

Do φ liên tục nên ta có { xn } là dãy Cauchy, mà X là không gian metric đầy đủ
nên { xn } hội tụ về x* ∈U ( do { xn } là dãy trong U ).
Ta có xn ∈ H ( xn , t ) , ∀n ∈ N , cho n → +∞ ta được x* ∈ H ( x*, t *) ( do H liên
tục ). Suy ra ( t*, x *) ∈ Q . Vậy P có cận trên trong Q .
Theo bổ đề Zorn thì Q có phần tử tối đại, Ta chứng minh t0 = 1 .
Giả sử t0 < 1. Khi đó ta có thể chọn r > 0, t ∈ (t0 ,1] thỏa mãn

2 (φ ( t ) − φ ( t 0 ) )
( do φ tăng và liên tục ).
B ( x0 , r ) ⊂ U , r =
1−α

(

)

(

)

(

(

)

Ta có d x0 , H ( x0 , t ) ≤ d x0 , H ( x0 , t0 ) + D H ( x0 , t0 ) , H ( x0 , t )
Suy ra d x0 , H ( x0 , t ) ≤ φ ( t ) − φ=

( t0 )

(1 − α ) r <
2

)

(1 − α ) r .

Theo định lí 1.2 thì H (., t ) có điểm bất động x ∈ B ( x0 , r ) , suy ra

( ()

)

2 φ t − φ ( t0 )
.
x ∈ H ( t , x ) ⇒ ( t , x ) ∈ Q và d x, x0 ≤ r =
1−α

(

( )

)

( )

Suy ra ( t0 , x0 ) ≤ t , x ⇒ ( t0 , x0 ) =
t , x . Mà t ≠ t0 (mâu thuẫn ).

F ( x0 ) . Vậy F có điểm bất động trong
Như vậy t0 = 1 . Suy ra x0 ∈ H ( x0 ,1) =

U.
Nhận xét 1.3.2 Cho

( X , d ) là không gian metric đầy đủ và U là tập con mở của

X . Giả sử F : U → X và G : U → X là hai ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị
chặn, khác rỗng đồng luân với nhau , H là phép đồng luân giữa F và G . Nếu G

18