Chương 4 ước lượng

Chương 4: Ước lượng
4.1 Khái niệm:
- Ước lượng là dự đoán giá trị chưa biết
dựa vào quan sát.
- Có hai loại ước lượng:
+ ước lượng điểm: giá trị ước lượng
cho bởi một số cụ thể. VD: người đó cao
khoảng 165 cm.
+ ước lượng khoảng: giá trị ước
lượng cho bởi một khoảng (a,b) nào đó.
4.2 Ước lượng điểm:


- θ$gọi là ước lượng điểm của tham số θ
2
(tỷ lệ p, trung bình µ, phương sai σ )
chưa biết, nếu ta xem θ ≈ θ$.
- Quy tắc thực hành: khó có mẫu cụ thể
(x1 , x 2 ,..., x n )
, ta lấy
2

2

m» x n , p » f n , s » s .
VD 4.1: Cân 100 sản phẩm của xí nghiệp,
ta tính được x n = 502g , ta dự đoán trọng
lượng trung bình các sản phẩm trong xí
nghiệp là µ ≈ 502g.

4.3 Ước lượng khoảng
Tham số θ có khoảng ước lượng
(hay khoảng tin cậy) là ( θ1 , θ2 ) với độ tin
q1 £ q£ $
q2 ] = 1- a ,
cậy là1- a, nếu P[$
trong đó ε = ( θ2 − θ1 ) / 2 : sai số (độ chính
xác) của khoảng ước lượng, α còn gọi là
mức ý nghĩa.
4.3.1 Ước lượng tỷ lệ đám đông
Bài toán: Giả sử tỷ lệ p (có tính chất
A) của đám đông chưa biết. Với độ tin
cậy1− α, tìm khoảng ước lượng cho p:
P[p1 £ p £ p 2 ] = 1- a.


Quy tắc thực hành:
với mẫu cụ thể (x1 , x 2 ,..., x n )
m
với m là số phần tử có t/c A.
* fn =
n
1 − α baûng B
1− α
* 1− α ⇒
→ t α , ϕ(t α ) =
.
2
2
(fn − ε; fn + ε)

* khoảng ước lượng:
fn (1 − fn )
ε = tα
với
n
là độ chính xác của ước lượng.


*Chú ý: một số giá trị đặc biệt
tα

ϕ(t α )

0

0
0,68
2
0,95
2
0,99
2

1
1,96
2,58


VD 4.2: Kiểm tra 100 sản phẩm của xí
nghiệp phát hiện có 20 sản phẩm loại A.

Với độ tin cậy 95%, ước lượng tỷ lệ sản
phẩm loại A của xí nghiệp.
VD 4.3: Điều tra về chỉ tiêu X (%) của
một số sản phẩm, được kết quả
X 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35
n i 7 12
20
25
18
12
5


Hãy ước lượng tỷ lệ sản phẩm có chỉ tiêu
X không quá 10% với độ tin cậy 98%.
4.3.2 Ước lượng trung bình đám đông
Bài toán: Giả sử đám đông có trung
bình M(X) = µ chưa biết. Với độ tin cậy
1- a
, tìm
khoảng
ước
lượng
cho
µ:
P[m£
m
£
m
]

=
1
a
.
1
2


Quy tắc thực hành: trên mẫu cụ thể (x1 , x 2 ,..., x n )
1) n ≥ 30, σ biết
* tính x n
2

2) n ≥ 30, σ2 chưa biết
* tính x n , s2

1 − α baûng B
1
−
α
baûng B
*1 − α ⇒
→ t α *1 − α ⇒

→ tα
2
2
* khoảng ước lượng
* khoảng ước lượng
(x n − ε; x n + ε), ε = t α

σ
n

(x n − ε; x n + ε), ε = t α

s
n


3) n < 30, X ∈ N(µ, σ ) 4) n < 30, X ∈ N(µ, σ )
σ2 biết
σ2 chưa biết
làm như 1)
* tính x n , s2
2

2

baûng C

*1 − α ⇒ α → t

n −1
α

* khoảng ước lượng
(x n − ε; x n + ε), ε = t

n −1

α

s
n


VD 4.4: Người ta đo chiều cao X (cm)
của 10 người đàn ông trong một vùng địa
lý, được kết quả: 174, 176, 180, 163, 167,
185, 175, 157, 163, 170. Biết
chưa biết. Hãy ước lượng chiều
cao trung bình của người đàn ông với độ
tin cậy 95%.


VD 4.5: Giá bán của một loại thiết bị
(đơn vị USD) trên thị trường là ĐLNN có
phân phối chuẩn. Một người định mua
thiết bị này, khảo sát ngẫu nhiên tại 8 cửa
hàng được bán giá trung bình 137,75
USD với độ lệch tiêu chuẩn 7,98 USD.
Với độ tin cậy 90%, hãy ước lượng giá
bán trung bình của thiết bị.


VD 4.6: Chủ kho hàng cung cấp sơn
muốn ước lượng lượng sơn chứa trong
một thùng được sản xuất từ một dây
chuyền công nghệ hiện đại. Biết rằng,
theo tiêu chuẩn của dây chuyền đó, độ

lệch tiêu chuẩn của lượng sơn là 0,08
thùng. Điều tra 50 thùng, được lượng sơn
trung bình là 0,97 thùng. Với độ tin cậy
99%, hãy ước lượng lượng sơn trung
bình trong một thùng.


4.3.3 Ước lượng phương sai đám đông
(giáo trình trang147)
4.4 Các chỉ tiêu chính của bài toán ước
lượng
4.4.1. Trường hợp ước lượng tỷ lệ đám
đông:
a. Độ chính xác:
fn (1 − fn )
ε = tα
n


b. Độ tin cậy:
ε n
tα =
⇒ 1 − α = ϕ(t α )
fn (1 − fn )
c. Xác định cỡ mẫu: Giả sử có mẫu cỡ n1
và tính được fn1 , ta tính
 2 fn1 (1 − fn1 ) 
n = tα
+1


2
ε


và cần điều tra thêm n 2 = n − n1 .


VD 4.7: Kiểm tra ngẫu nhiên 130 sản
phẩm trong một kho hàng, thấy có 23 phế
phẩm. Ước lượng tỷ lệ phế phẩm của kho
hàng trên với độ tin cậy 95%. Nếu muốn
độ chính xác 3% và với độ tin cậy trên
thì phải kiểm tra thêm bao nhiêu sản
phẩm nữa?
4.4.2 Trường hợp ước lượng trung bình
đám đông
s
a. Độ chính xác: ε = t α
n


b. Độ tin cậy:
ε n
tα =
⇒ 1 − α = ϕ(t α )
s
c. Xác định cỡ mẫu: Giả sử có mẫu cỡ n1
2
và tính được s1 , ta tính
 2 s12 

n = tα 2  + 1
 ε 
và cần điều tra thêm n 2 = n − n1 .


VD 4.8: Kiểm tra tuổi thọ X(giờ) của 50
bóng đèn do một nhà máy sản xuất, người
ta thu được kết quả
X

3300

3500

3600

4000

ni

10

20

12

8

a. Ước lượng tuổi thọ trung bình của loại
bóng đèn do nhà máy trên sản xuất với độ

tin cậy 95%.
b. Nếu yêu câu ước lượng phải đạt độ
chính xác 50 giờ và độ tin cậy 95% thì cần
phải điều tra thêm bao nhiêu bóng nữa?