Nghiệm chỉnh hóa rời rạc cho phương trình tích chập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
----------------------------------

Nguyễn Hoàng Nguyên

NGHIỆM CHỈNH HÓA RỜI RẠC
CHO PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CHẬP

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
TS. TRẦN LƯU CƯỜNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2005


LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin chân thành bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn của mình đối với thầy Tiến Só
Trần Lưu Cường, người đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện.
Tác giả xin chân thành cám ơn Quý Thầy tham gia giảng dạy lớp Cao Học khóa 13, chuyên
ngành Giải tích của Trường Đại Học Sư Phạm TPHCM, những người đã tận tình truyền đạt kiến
thức cho tác giả.
Tác giả vô cùng biết ơn Quý Thầy Cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm
TPHCM đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn với gia đình, bạn bè và người thân đã hỗ trợ, động
viên tác giả trong suốt thời gian qua.

Chương 1

MỘT SỐ CÔNG CỤ
1.1 Bổ đề Fatou
Nếu f1, f2 , ... là dãy hàm không âm, khả tích xác đònh trên  ,   và thỏa


lim inf fn(x)=f(x) h.k.n, trong đó f là hàm khả tích trên  ,   , thì



 f ( x)dx  lim inf  f



n

( x)dx.



1.2 Đònh lý hội tụ bò chặn
Nếu f1 , f2 , ... là dãy hàm khả tích trên  ,   và tồn tại hàm khả tích F sao cho
n  N , f n ( x )  F( x ) h.k.n


thì f là hàm khả tích và lim

n 





f n ( x )dx 



 f ( x)dx.



1.3 Đònh lý Fubini
 

Nếu





 f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối thì





theo biến x. Hơn nữa





 dx  f ( x, y)dy 



 

  f ( x, y)dxdy.



  



 

Tương tự


 dy  f ( x, y )dx    f ( x, y)dxdy.



 f ( x, y)dy



1.4 Đònh lý Tonelli-Hobson

  

tồn tại hầu khắp nơi và là hàm khả tích




Nếu một trong hai tích phân







 dx  f ( x, y )dy,  dy  f ( x, y)dx hội






tụ tuyệt đối thì



 

  f ( x, y)dxdy hội tụ tuyệt đối và

 





 f ( x, y)dxdy =







 dx  f ( x, y)dy =






 dy  f ( x, y )dx.





1.5 Đònh lý
Nếu f là hàm khả tích trên  R , R  , R  0 thì
h

1
f ( x  t )  f ( x ) dt  0 h.k.n    x    .
h 0 h 
0

lim

Tập hợp các x thỏa mãn điều kiện trên được gọi là tập Lesbegue của f. Rõ ràng tập Lesbegue
của f chứa các điểm x mà tại đó f liên tục.

1.6 Đònh nghóa
Cho 1  p   . Hàm f xác đònh trên  ,   được gọi là thuộc Lp nếu


 f (x)

p

dx   .



Khi đó, ta đặt
f

p



p
   f ( x ) dx 
 


1/ p

.

1.7 Đònh lý


Nếu f Lp thì lim
t 0



p

f ( x  t )  f ( x) dx  0.



1.8 Đònh lý
Nếu f, g  Lp thì
f g p  f

p

 g p,


f

p

 g

p

 f g p.

1.9 Đònh lý
Cho f1 , f2 ,... thuộc Lp. Nếu lim f n  f m

p

m ,n  

lim f n  f

n 

p

 0 thì tồn tại f  Lp sao cho

 0.

1.10 Đònh lý
Cho f1, f2 ,... thuộc Lp. Nếu lim f n  f

p

n 

 0 và lim f n ( x )  g( x ) h.k.n
n 

   x    thì f(x) =

g(x) h.k.n    x    .
1.11 Bất đẳng thức Hưlder
Cho f  Lp và g  Lp ' với 1  p, p '   và

1 1
  1 . Khi đó fg L1 và
p p'





f ( x) g ( x) dx  f

p

g

p'

.



1.12 Đònh lý
Cho f, f1, f2,...thuộc L2 và lim f n  f
n 



lim

n 





2

 0 thì với g bất kì thuộc L2, ta có



f n ( x ) g ( x )dx 





f ( x ) g ( x )dx.


Chương 2

TỔNG QUAN VỀ BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG
1

2

GIAN L , L
2.1 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L1

2.1.1 Đònh nghóa


1

Cho f  L . Ta có

e




ixt

f (t )dt 

f (t ) dt  f





1

, x  R. Do đó  e ixt f ( t )dt tồn tại x  R và




ta đònh nghóa biến đổi Fourier fˆ của f  L1 bởiø


fˆ ( x ) 

e

ixt

f ( t )dt .



Khi đó fˆ bò chặn trên  ,   và sup fˆ ( x)  f 1 .

2.1.2 Tính chất
a)

f liên tục trên  ,   .

Do đònh nghóa, ta có


fˆ (x  h )  fˆ ( x ) 

 e e
ixt

iht

 1f ( t )dt .



nên


fˆ ( x  h )  fˆ ( x ) 

e

iht

 1 f ( t ) dt .



Mà e iht  1 f ( t )  2 f ( t ) , và lim e iht  1 f ( t )  0 , với mọi t   . Vì vậy, theo đònh lý hội tụ bò
h 0

chặn, ta có




lim

h 0

e

iht

 1 f ( t ) dt  0 .



Do đó lim fˆ ( x  h )  fˆ ( x )  0 , nghóa là f liên tục trên  .
h 0

b)

lim f ( x)  0 .

x 



Theo đònh nghóa fˆ (x )   e ixt f ( t )dt , nên với x  0 , ta có




 fˆ ( x ) 

e

 
ix  t  
 x



f ( t )dt 



e


ixt




f  t  dt .
x


Từ đó suy ra


2fˆ ( x ) 

e

ixt







và

2 f ( x) 

 


f ( t )  f  t  x  dt,




 
f (t )  f  t   dt .
x






(1)

Nhưng vì f  L1 nên theo đònh lý 1.7,


lim

x  





 f ( t)  f  t  x  dt  0 .

(2)



Từ (1) và (2) suy ra lim fˆ ( x )  0 .

x  

2.1.3 Chú ý
Ta biết nếu f  L1 thì fˆ liên tục trên (-, ) và lim fˆ ( x)  0 . Nhưng ngược lại
x 

f ( x) liên tục trên (-, ) và lim f ( x)  0 thì chưa thể kết luận f là biến đổi Fourier của một hàm
x 

thuộc L1.
Thật vậy, ta xét ví dụ sau
 1
( x  e)
 ln x ,

x
g ( x)   ,
(0  x  e)
e
- g (- x), ( x  0)




Dễ thấy g(x) liên tục trên R và lim g(x) = 0 . Đồng thời, hàm g có tính chất sau đây
x 

lim 

N

N  e

N dx
g ( x)
 lim ln(ln N )   .
dx  lim 
N  e x ln x
N 
x

(1)

Giả sử tồn tại f  L1 sao cho g  f thì


g ( x )   eixt f (t )dt , x  R.
-

Mà g(x) = -g(-x) nên ta có


g ( x )  - e-ixt f (t )dt .
-

Suy ra


2 g ( x)  2i  f (t )sin xtdt .
-

Như vậy


0

0



g ( x )  i  f (t ) sin xtdt  i 




0

0

f (t ) sin xtdt ,

 i  f (t ) sin xtdt - i  f (-t ) sin xtdt ,


=  F (t ) sin xtdt.
0

trong đó,

F(t) = i[f(t) – f(-t)],

và ta được





0

| F (t ) | dt   (vì f  L1 ).

Bây giờ, với N=3, 4, 5,...thì



N

e

Vì





F (t ) dt   nên theo đònh lý1.4, ta được

0



N

e

Mà



N dx 
g ( x)
dx  
F (t )sin xtdt .
e x 0
x



a



Nt


N sin xt
g ( x)
sin x
dx   F (t )dt 
dx =  F (t )dt 

dx .
0
e
x
x
x
0
et

(2)

Nt sin x
sinx
dx hội tụ nên tồn tại lim 
dx . Từ (2), ta suy ra
N  et
x
x

lim 

N

N  e

g ( x)
dx   .
x

Điều này mâu thuẫn với (1). Vậy g không phải là biến đổi Fourier của một hàm thuộc L1.

2.2 BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN KHÔNG GIAN L2

2.2.1 Bổ đề
Với mọi số thực   0 và    , ta có
1/ 2



e

it t 2

e



2
 
dt    e  / 4 .
 

Chứng minh
2

Với    và R > 0 bất kì, lấy tích phân hàm giải tích e  z dọc theo đường  là biên của hình
chữ nhật tạo bởi bốn đỉnh : R, -R , R+iβ, -R+iβ, ta có

 e

 z2

dz  0 .



R

R

2

nên

2

2

 ( x  i )
dx   e (  Riy ) dy  0 ,
e

R

R

0

R





R
2

hay

0
2

x
 ( R  iy )
dy 
 e dx   e



2

 ( x  i )
dx 
e

x
R
 e dx   e

R

R

2

 y 2  2 Riy

dy   e  R

0

2

 y 2  2 Riy

dy .

0

Từ đẳng thức trên, ta được
R



R
2

 ( x i )
dx 

e
R



2

2

2

e x dx  e  R [  e y  2i sin 2 Ry  dy ] .

R

0

Vì





2

2

e  y (2i sin 2 Ry) dy   2e  y dy ,

0

0

nên


lim e  R

R

2

e

 y2

(2i sin 2 Ry)dy  0 .

0



Mặt khác

e

 x2

dx   1/ 2 ( xem 3.3.4.2 )



Do đó, từ đẳng thức (*), khi cho R  , ta có


e



 ( x  i ) 2

dx   1 / 2 ,

(*)




hay

e

2 i x  x 2

e

2

dx   1/ 2 e   .



Chọn  


. Ta được
2 1/ 2
 2
4



e

i 1 / 2 x

e

 x2

dx  

1/ 2

e

.



Đổi biến t   1 / 2 x thì
1/ 2



e

i t  t 2

e



2
 
dt    e  / 4 ,
 

và bổ đề được chứng minh.

2.2.2 Đònh lý


Cho f  L1  L2 . Ta có f  L2 ,
và

2







f ( x ) dx  2





2

f (t ) dt ,





hay



 (2 )1/ 2 f 2 .

f
2

Chứng minh
Xuất phát từ biểu thức
2









f ( x )  f ( x ). f ( x) 

e


ixt



f (t )dt  e  ixu f (u )du ,


ta suy ra


e

 x2 / n



2

f ( x ) dx 







e

 x2 / n


ixt

dx  e f (t )dt





e

ixu

f (u )du .



Vì f  L1 nên theo đònh lý 1.4, ta có

x
e

2

/n



2

f ( x ) dx 









2





Mặt khác, theo bổ đề 2.2.1


e


ix ( t  u )  x 2 / n

e



f (u )du  f (t )dt  e ix ( t u ) e  x / n dx .

1/ 2

dx = ( n)

e



n(t-u)2
4

