Hiệu chỉnh lặp Newton Kantorovich cho phương trình không chỉnh phi tuyến J đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
TRIỆU THỊ CẦN
HIỆU CHỈNH LẶP NEWTON-KANTOROVICH
CHO PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỈNH
PHI TUYẾN J-ĐƠN ĐIỆU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
THÁI NGUYÊN - NĂM 2014
Mục lục
Mở đầu ii
1 Một số vấn đề cơ bản 1
1.1 Không gian Banach và ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . 1
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương trình với toán tử
đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ bài toán đặt không chỉnh . . 5
1.2.2 Bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu . 9
2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich 16
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov . . . . . . . 16
2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich . . . . 21
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận 29

Tài liệu tham khảo 30
Mở đầu
Trên thực tế, nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, kinh tế, . . . dẫn đến
việc giải các bài toán mà nghiệm của chúng không ổn định theo dữ kiện
ban đầu, tức là một thay đổi nhỏ của các dữ kiện dẫn đến sai khác rất
lớn của nghiệm, thậm chí làm cho bài toán vô nghiệm hoặc vô định. Đó
là những bài toán đặt không chỉnh. Do các số liệu thường được thu thập
bằng thực nghiệm và được xử lý trên máy tính nên không tránh khỏi
những sai số. Vì vậy, cần phải có những phương pháp giải ổn định các
bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì
nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài toán xuất
phát.
Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán
học nước ngoài và Việt Nam đã dành phần lớn thời gian và công sức
của mình cho việc nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh để giải các
bài toán đặt không chỉnh. Nội dung của luận văn này trình bày phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình không chỉnh
phi tuyến J-đơn điệu trong không gian Banach. Ngoài phần mở đầu,
phần kết luận, luận văn bao gồm hai chương:
Trong chương 1 chúng tôi xin trình bày một số vấn đề cơ bản của
không gian Banach và lý thuyết của bài toán đặt không chỉnh với toán
tử đơn điệu.
Trong chương 2 chúng tôi trình bày lại một số kết quả của phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich cho phương trình không chỉnh phi tuyến J-đơn
điệu trong không gian Banach.
ii
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong
Khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo, Ban Giám hiệu nhà trường đã trang

bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TS. Nguyễn Bường -
Hiện đang công tác tại Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam - Người Thầy đã tận tình chỉ bảo, tạo điều
kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng
hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng bày tỏ lòng cảm ơn gia
đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, khích lệ và giúp đỡ tôi
quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy, các
Cô và các Độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 05 năm 2014.
Người thực hiện
Triệu Thị Cần
iii
Chương 1
Một số vấn đề cơ bản
Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải
tích hàm có liên quan đến nội dung nghiên cứu của luận văn. Các khái
niệm này được tham khảo trong các tài liệu [1], [3] và [5].
1.1 Không gian Banach và ánh xạ J-đơn điệu
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.1. Nếu không gian tuyến tính định chuẩn X là một không
gian metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = x −y) thì X được gọi
là không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ.
Ví dụ 1.1. Không gian Euclide n-chiều R
n
là không gian Banach.

Trong không gian R
n
chuẩn và khoảng cách được xác định như sau:
x =

n

i=1
|x
i
|
2

1/2
,
d(x, y) = x − y,

x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
, y = (y
1
, y
2
, . . . , y

n
) ∈ R
n

.
Ví dụ 1.2. Không gian C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên
tục trên khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R là không gian Banach.
Trong C[a, b] chuẩn và khoảng cách xác định bởi:
x = max
a≤t≤b
|x(t)|,
1
d(x, y) = max
t∈[a,b]
|x(t) −y(t)|,
x(t), y(t) ∈ C[a, b].
Ví dụ 1.3. Không gian C(S) là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục
trên không gian Tôpô compact S là không gian Banach.
Trong C(S) chuẩn và khoảng cách được xác định như sau:
f = max
s∈S
|f(s)|,
d(f, g) = sup
s∈S
|f(s) − g(s)|,
f(s), g(s) ∈ C(S).
Ví dụ 1.4. Không gian c
0
tập tất cả các dãy số ξ
1

, ξ
2
, . . . , ξ
n
, . . . hội tụ
tới 0 và không gian l
∞
tập tất cả các dãy số ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
, . . . thỏa mãn
sup
n
|ξ
n
| < ∞ là các không gian Banach.
Trong không gian c
0
và không gian l
∞
chuẩn và khoảng cách được
xác định bởi:
x = sup
n
|ξ
n
|,

d(x, y) = sup
n
|ξ
n
− η
n
|,
x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
), y = (η
1
, η
2
, . . . , η
n
).
Ta sẽ chứng minh cho không gian c
0
, đối với không gian l
∞
chứng minh
tương tự.
Giả sử {x
m
}
∞

m=1
là một dãy Cauchy trong c
0
, trong đó x
m
= (ξ
(m)
1
, ξ
(m)
2
, . . .)
có nghĩa là ∀ > 0, ∃m
0
, ∀m ≥ m
0
, ∀p nguyên dương,
x
m
− x
m+p
 ≤ .
Vì x = sup
n
|ξ
(m)
n
| nên |ξ
(m)
n

− ξ
(m+p)
n
| ≤ , ∀n. Do đó khi n cố định
{ξ
(m)
n
}
∞
m=1
là một dãy số Cauchy ⇒ tồn tại ξ
0
n
sao cho
ξ
0
n
= lim
m→∞
ξ
(m)
n
.
Cho p → ∞ ta thu được:
|ξ
(m)
n
− ξ
0
n

| ≤ , ∀n.
2
Vì lim ξ
(m
0
)
n
= 0 khi n → ∞ nên ∃n
0
, ∀n ≥ n
0
sao cho |ξ
(m
0
)
n
| < . Do
đó ∀n ≥ n
0
, |ξ
0
n
| ≤ |ξ
(m
0
)
n
| + |ξ
(m
0

)
n
− ξ
0
n
| ≤ 2.
⇒ x
0
= (ξ
0
1
, ξ
0
2
, . . .) ∈ c
0
⇒ x
m
− x
0
 ≤ , m ≥ m
0
⇒ x
0
= lim
m→∞
x
m
.
Vậy, c

0
là không gian Banach.
Ví dụ 1.5. l
p
, (p ≥ 1) tập các dãy số ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
, . . . thỏa mãn
∞

n=1
|ξ
n
|
p
< ∞
là không gian Banach.
Trong không gian l
p
, (p ≥ 1) chuẩn và khoảng cách được xác định
như sau:
x =

∞

n=1
|ξ

n
|
p

1
p
,
x −y =

∞

n=1
|ξ
n
− η
n
|
p

1
p
,
x = (ξ
1
, ξ
2
, . . . , ξ
n
), y = (η
1

, η
2
, . . . , η
n
) ∈ l
p
, (p ≥ 1).
Giả sử {x
m
}
∞
m=1
là dãy Cauchy trong l
p
, trong đó x
m
= (ξ
(m)
1
, ξ
(m)
2
, . . .).
Cho nên ∀  > 0, ∃ m
0
, ∀ m ≥ m
0
, ∀ r nguyên dương ta có
x
m

− x
m+r
 ≤ ,
tức là

∞

n=1
|ξ
(m)
n
− ξ
m+r
n
|
p

1
p
≤ ,
⇒ |ξ
(m)
n
− ξ
m+r
n
| ≤ , ∀n, ∀m ≥ m
0
,
⇒ ∀n, ∃ lim

m→∞
ξ
(m)
n
= ξ
0
n
.
Vì vậy,

N

n=1
|ξ
(m)
n
− ξ
(m+r)
n
|
p

1
p
≤ , ∀N.
3
Cho r → ∞ ta nhận được:

N


n=1
|ξ
(m)
n
− ξ
0
n
|
p

1
p
≤ , ∀N.
Tiếp tục cho N → ∞ ta thu được:

∞

n=1
|ξ
(m)
n
− ξ
0
n
|
p

1
p
≤ ,

⇒ y := (ξ
(m)
1
− ξ
0
1
, ξ
(m)
2
− ξ
0
2
, . . .) ∈ l
p
,
⇒ x
0
= (ξ
0
1
, ξ
0
2
, . . .) = (ξ
(m)
1
, ξ
(m)
2
, . . .) − (ξ

(m)
1
− ξ
0
1
, ξ
(m)
2
− ξ
0
2
, . . .)
= x
m
− y ∈ l
p
,
⇒ y = x
m
− x
0
 ≤ , ∀m ≥ m
0
,
tức là
x
0
= lim
m→∞
x

m
.
Vậy l
p
là không gian Banach.
Ví dụ 1.6. Không gian L
p
[a, b], p ≥ 1 gồm tất cả các hàm x(t) xác định
và đo được Lebesgue trên [a, b] thỏa mãn

b
a
|x(t)|
p
dt < ∞ là không gian
Banach.
1.1.2 Ánh xạ J-đơn điệu
Cho X là không gian Banach thực và X
∗
là không gian đối ngẫu của
X. Để đơn giản, chuẩn của X và X
∗
được ký hiệu là . và x, x
∗
 là
giá trị của x
∗
∈ X
∗
tại x ∈ X.

Ánh xạ J
s
: X → X
∗
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X
nếu ∀x ∈ X
x, J
s
(x) = x
s
, J(x) = x
s−1
, s ≥ 2.
Trường hợp s = 2 thì ánh xạ J
2
được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
của X.
Ánh xạ A : K → X
∗
được gọi là ánh xạ đơn điệu nếu ∀x, y ∈ K
A(x) −A(y), x − y ≥ 0,
4
ở đây K là một tập con lồi đóng của không gian X.
Một ánh xạ A : K → X
∗
được gọi là λ ngược đơn điệu mạnh nếu
∀x, y ∈ K, ∃λ > 0:
A(x) −A(y), x − y ≥ λA(x) − A(y)
2
Mọi λ ngược đơn điệu mạnh A là đơn điệu và liên tục Lipschitz với hằng

số
1
λ
.
Ánh xạ A : X → X được gọi là ánh xạ h-liên tục nếu A(x+tx)  Ax
khi t → 0
+
, ∀ x, y ∈ X.
Ánh xạ A : X → X được gọi là ánh xạ m-J-đơn điệu trên X nếu
ánh xạ A thỏa mãn các tính chất:
(i) A(x) −A(y), j(x −y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; j(x −y) ∈ J(x −y),
(ii) (A + λI) = X, ∀λ > 0,
ở đây (A) là miền ảnh của A và I là toán tử đơn vị trên X.
Nếu ∀x, y ∈ X, tồn tại một hằng số α sao cho
A(x) −A(y), j(x −y) ≥ αx −y
2
thì A được gọi là α-J-đơn điệu mạnh. Khi α = 0, A được gọi là J-đơn
điệu.
Lưu ý rằng khi X ≡ H là một không gian Hilber, ta có J = I và
một ánh xạ A, thỏa mãn (i), (ii) và bất đẳng thức cuối cùng tương ứng
được gọi là đơn điệu, đơn điệu cực đại và đơn điệu mạnh. Dễ dàng nhận
thấy rằng một ánh xạ tuyến tính và xác định không âm là một ánh xạ
đơn điệu.
1.2 Bài toán đặt không chỉnh và phương trình với toán tử
đơn điệu
1.2.1 Định nghĩa và ví dụ bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm về bài toán chỉnh được J-Hadamard đưa ra khi nghiên cứu
về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình
5
elliptic cũng như parabolic.

Việc tìm nghiệm x của phương trình:
A(x) = f (1.1)
với A : X → Y là một toán tử cho trước, còn X và Y là hai không gian
metric, phải dựa vào dữ kiện ban đầu f, có nghĩa là x = R(f). Ta sẽ coi
nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X
và Y với các metric tương ứng là ρ
X
(x
1
, x
2
) và ρ
Y
(f
1
, f
2
); x
1
, x
2
∈ X
và f
1
, f
2
∈ Y .
Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi
đó bài toán tìm nghiệm x = R(f) được gọi là ổn định trên cặp không
gian (X, Y ), nếu với mỗi số ε > 0 có thể tìm được một số δ(ε) > 0 sao

cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) ta có ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε. Ở đây,
x
1
= R(f
1
), x
2
= R(f
2
)
f
1
, f
2
∈ Y ; x
1
, x
2

∈ X
Định nghĩa 1.2. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được
gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ) nếu có:
1. Với mỗi f ∈ Y tồn tại x ∈ X.
2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất.
3.Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ), tức là nghiệm x
đó phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa
mãn ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó sai lầm.
Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá
trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch
đáng kể.
Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán
tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt không
chỉnh. Đôi khi người ta còn gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc
bài toán thiết lập không đúng đắn.
6
Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn
trên cặp không gian metric này nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp
không gian metric khác.
Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1) dữ kiện
ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f.
Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f
cho bởi f
δ
với sai số ρ
Y
(f
δ
, f) < δ. Như vậy, với (f

δ
, f) ta cần phải tìm
một dãy phần tử x
δ
∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x
0
của (1.1), khi
δ → 0. Phần tử x
δ
có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của
bài toán không chỉnh trên. Nếu ta ký hiệu:
Q
δ
=

x ∈ X : ρ
Y
(A(x), f
δ
) ≤ δ

thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Q
δ
. Nhưng
rất tiếc là tập Q
δ
có thể lại quá lớn, tức là có các phần tử có thể cách
nhau rất xa. Chính vì vậy không phải tất cả các phần tử của Q
δ
có thể

coi là nghiệm xấp xỉ của (1.1) được. Vì lẽ đó bài toán đặt ra là phải chọn
phần tử nào của Q
δ
làm nghiệm xấp xỉ cho (1.1). Muốn thực hiện việc
chọn đó phải có thêm các thông tin khác nữa về nghiệm chính xác. Việc
sử dụng thông tin định lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm. Còn
dùng thông tin định tính (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm . )
cho ta một hướng khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp
xỉ của bài toán không chỉnh (1.1).
Ví dụ bài toán đặt không chỉnh:
1. Nhiều bài toán thực tế được quy về giải hệ đại số tuyến tính trong
đó một sự thay đổi nhỏ hệ số của phương trình ban đầu dẫn đến thay
đổi lớn nghiệm của hệ, thậm chí làm cho hệ trở nên vô nghiệm hoặc vô
định. Những hệ phương trình đại số tuyến tính có tính chất như vậy
được gọi là hệ phương trình điều kiện xấu. Ma trận tạo bởi hệ số của
hệ phương trình này được gọi là ma trận điều kiện xấu. Chẳng hạn ma
7
trận A xác định bởi
A =






-73 78 24
92 66 25
-80 37 10







là một ma trận điều kiện xấu với detA = 1.
Thật vậy, thay đổi một lượng nhỏ ở các thành phần a
12
, a
21
hoặc a
33
của A thì ta có:
det






-73 78,01 24
92 66 25
-80 37 10






 −28, 199999003,
det







-73 78 24
92,01 66 25
-80 37 10






 2, 0800007556
và
det






-73 78 24
92 66 25
-80 37 10,01







 −118, 93999938.
Một câu hỏi quan trọng đặt ra là làm thế nào để nhận biết và giải hệ
phương trình đại số tuyến tính với ma trận hệ số điều kiện xấu?
2. Bây giờ xét bài toán tìm đạo hàm của một hàm số. Giả sử hàm
y = f(x) có đạo hàm. Ta cần tính đạo hàm:
f

(x) = lim
h→0
f(x + h) −f(x)
h
bằng số tại điểm x. Chọn {h
k
}: h
k
→ 0 khi k → ∞ và tính tỷ sai phân:
D
k
=
f(x + h
k
) −f(x)
h
k
, k = 0, 1, . . . , N.
Khi đó, ta có thể nghĩ rằng với N đủ lớn, tức là h
N

đủ nhỏ, D
N
sẽ là
xấp xỉ tốt của f

(x). Vậy thì với h
N
nhỏ bao nhiêu ta sẽ nhận được xấp
xỉ tốt. Liệu h
N
càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả
lời câu hỏi đó ta xét ví dụ sau: Cho hàm số f(x) = exp(x), tính đạo
8
hàm f

(x) theo công thức sau:
f

(x) = f(1 + h
k
).
Ta có bảng số liệu tính toán:
k h
k
f
k
= f(1 + h
k
) f
k

− e D
k
=
f
k
− e
h
k
1 0, 1 3, 0041660 0, 285884196 2, 85884196
2 0, 01 2, 7456011 0, 027319187 2, 731918700
3 10
−3
2, 7210014 0, 002719642 2, 719642000
4 10
−4
2, 7185536 0, 000271842 2, 718420000
5 10
−5
2, 7183090 0, 000027183 2, 718300000
6 10
−6
2, 7182845 0, 000002719 2, 719000000
7 10
−7
2, 7182827 0, 000000272 2, 720000000
8 10
−8
2, 7182818 0, 000000028 2, 800000000
9 10
−9

2, 7182818 0, 000000003 3, 000000000
10 10
−10
2, 7182818 0, 000000000 0, 000000000
Bảng trên cho ta thấy nếu k = 10 thì D
k
= 0, trong khi đó f

(10) 
2, 7182818. Như vậy, khi k = 5 tỷ sai phân cho ta xấp xỉ tốt hơn cả.
Điều đó nói lên rằng D
k
tiến dần đến f

(x) ở một thời khắc nào đó sau
lại rời xa khỏi nó. Cũng ở ví dụ trên ta thấy 0, 0007 = |D
6
− D
5
| ≥
|D
5
− D
4
| = 0, 00012. Quan sát này gợi ý cho ta nên tính D
k
đến lúc
|D
N+1
− D

N
| ≥ |D
N
− D
N−1
| thì thôi.
1.2.2 Bài toán đặt không chỉnh với toán tử đơn điệu
Xét phương trình toán tử:
A(x) = f
0
, (1.2)
ở đó A là một toán tử đơn điệu và h-liên tục từ không gian Banach X
vào X
∗
, X
∗
lồi chặt và X có tính chất ES, tức là X phản xạ và mọi dãy
{x
n
} các phần tử x
n
∈ X  x ∈ X và x
n
 → x cho ta {x
n
} → x.
Nếu không có tính đơn điệu đều thì bài toán (1.2) nói chung là bài toán
đặt không chỉnh.
9
Giả sử (1.2) có nghiệm, tức là f

0
∈ R(A). Ký hiệu S
0
là tập nghiệm
của phương trình đó. Khi đó, S
0
là một tập đóng và lồi trong X. Xét
phương trình:
A(x) + αJ
s
(x −x
0
) = f
δ
, f
δ
− f
0
 ≤ δ, (1.3)
ở đây J
s
: X → X
∗
là một ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X và x
0
là
một phần tử bất kỳ trong X. Ta có kết quả sau:
Định lý 1.1. Với mỗi α > 0 và f
δ
∈ X

∗
phương trình (1.3) có duy nhất
nghiệm x
δ
α
. Nếu α, δ/α → 0 thì {x
δ
α
} → x
0
∈ S
0
thỏa mãn:
x
0
− x
0
 = min
x∈S
0
x −x
0
. (1.4)
Nhờ kết quả này ta có thể xác định được một toán tử hiệu chỉnh
R(f, α) dựa vào việc giải phương trình (1.3) và một sự phụ thuộc α =
α(δ) để nghiệm của phương trình này hội tụ đến nghiệm của bài toán
không chỉnh ban đầu. Chính vì lẽ đó mà phương trình (1.3) được gọi là
phương trình hiệu chỉnh cho phương trình (1.2).
Bây giờ ta xét trường hợp tổng quát hơn, khi cả toán tử và vế phải
đều biết xấp xỉ. Tức là thay cho A ta chỉ biết được xấp xỉ A

h
thỏa mãn:
A
h
(x) −A(x) ≤ hg(x) (1.5)
và có các tính chất như A (đơn điệu và h-liên tục), ở đây g(t) là một
hàm giới nội (đưa một tập giới nội vào một tập giới nội). Ta có kết quả
sau:
Định lý 1.2. Với mỗi α > 0, h > 0 và f
δ
∈ X
∗
thì phương trình hiệu
chỉnh:
A
h
(x) + αJ
s
(x −x
0
) = f
δ
(1.6)
có nghiệm duy nhất x
η
α
, η = (h, δ). Nếu α, δ/α, h/α → 0 thì {x
η
α
} → x

0
.
Nếu A
h
không có tính chất đơn điệu thì phương trình (1.6) có thể
không có nghiệm. Do đó O.A.Liskovets đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh
x
η
α
dựa vào bài toán về bất đẳng thức biến phân: Tìm x
ω
∈ X sao cho

A
h
(x
ω
) + αJ
s
(x
ω
−x
0
) −f
δ
, x −x
ω

+ εg(x
ω

)x −x
ω
 ≥ 0, (1.7)
10
∀x ∈ X, ε > h, ω = ω(h, δ, α, ε).
Phần tử x
ω
thỏa mãn (1.7) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán
(1.2) cho trường hợp A
h
không đơn điệu.
Khi toán tử xấp xỉ A
h
không đơn điệu thì điều kiện của (1.5) đòi hỏi
g(t) ≤ M
1
+ N
1
t
s−1
. Yêu cầu này có thể loại bỏ nếu ta tiến hành như
sau, với giả thiết g(t) là một hàm không giảm.
Tìm một tập đóng lồi và giới nội G của X sao cho x ≤ Q
0
, x ∈ G
và S
G
0
= ∅, ở đây S
G

0
:= S
0
∩G, Q
0
là một hằng số dương. Ta cũng giả
thiết thêm là S
0
∩ intG = ∅. Thay cho bất đẳng thức (1.7) ta xét bất
đẳng thức biến phân:

A
h
(x) + αJ
s
(x) −f
δ
, x − x
ω

+

g(Q
0
)ε + δ

x −x
ω
 ≥ 0, (1.8)
x

ω
∈ G, ∀x ∈ G, α > 0, ε ≥ h.
Ta có kết quả sau:
Bổ đề 1.1. Với mỗi α > 0, ε ≥ h và δ, tập nghiệm của (1.8) ký hiệu
là S
ω
là một tập không rỗng, lồi và đóng.
Định lý 1.3. Dãy {x
ω
} hội tụ đến x
G
0
∈ S
G
0
: x
G
0
 = minx, x ∈ S
G
0
khi ε/α, δ/α và α → 0, ở đây x
ω
∈ S
ω
được chọn một cách tùy ý với
mỗi α > 0 cố định.
Ta đã biết khi A là một toán tử tuyến tính, Q
δ
là tập lồi, đóng thì

toán tử hiệu chỉnh được xây dựng dựa vào việc cực tiểu phiếm hàm
dạng M
α
[x] = A
h
x−f
δ

2
+αx
2
trên tập Q
δ
với giả thiết g(t) không
giảm. Trong trường hợp A phi tuyến thì không thể khẳng định được Q
δ
là một tập lồi. Do vậy để làm được điều tương tự ta mở rộng tập Q
δ
bằng cách xét tập:
˜
Q
δ
=

y ∈ G : A(x) − f
δ
, y − x ≤ 2Q
0
δ, ∀x ∈ G


. (1.9)
Ta thấy tập
˜
Q
δ
= ∅ do S
G
0
⊂
˜
Q
δ
, ∀δ > 0. Thật vậy, vì A đơn điệu nên
với y ∈ S
G
0
bất kỳ ta có:
A(x) −f
δ
, y − x = A(x) − f
0
, y − x+ f
0
− f
δ
, y − x ≤ 2Q
0
δ.
11
Từ (1.9) dễ kiểm tra được

˜
Q
δ
là một tập lồi đóng trong X. Xét bài toán
cực tiểu: Tìm x
δ
∈
˜
Q
δ
sao cho
x
δ

s
= min
x∈
˜
Q
δ
x
s
, s ≥ 2 (1.10)
Lưu ý rằng tham số s chọn sao cho phiếm hàm x
s
có tính lồi tốt nhất.
Ví dụ trong không gian l
p
, với p ≥ 2 thì lấy s = p. Khi đó x
s

sẽ là
một phiếm hàm lồi đều trong l
p
. Còn khi 1 < p ≤ 2 để cho x
s
lồi đều
thì phải lấy s = 2. Vì vậy, ta giả thiết x
s
lồi đều trên X. Do đó bài
toán (1.9) và (1.10) có duy nhất nghiệm.
Định lý 1.4. x
δ
→ x
G
0
khi δ → 0.
Chú ý 1.1. 1. Nếu G là một tập không giới nội nhưng biết hằng số Q
0
sao cho x
G
0
 ≤ Q
0
thì định lý trên vẫn còn nguyên hiệu lực nếu lấy
˜
Q
δ
=

y ∈ G : A(x) − f

δ
, y − x ≤ 2δc(x), ∀x ∈ G

,
c(x) = max{Q
0
, x}.
2. Nếu biết xấp xỉ của A là A
h
cũng đơn điệu thì lấy
˜
Q
δ
=

y ∈ G : A(x) − f
δ
, y − x ≤ 2δQ
0
+ 2Q
0
g(Q
0
)h, ∀x ∈ G

,
Bây giờ, ta xét việc chọn tham số α phụ thuộc vào δ: α(δ), δ/α(δ) → 0
khi δ → 0. Trước tiên xét phiếm hàm σ(α) = x
δ
α

− x
0
 với δ ≥ 0 cố
định, ở đây x
δ
α
là nghiệm của phương trình (1.3). Để đơn giản ta xét
trường hợp s = 2.
Bổ đề 1.2. Với α > α
0
> 0 hàm σ(α) đơn điệu không giảm, liên tục
và giới nội. Hơn thế nữa,
lim
α→∞
σ(α) = 0.
Xét hàm số ρ(α) = ασ(α). Dễ thấy ρ(α) = A(x
δ
α
) − f
δ
. Ta có kết
quả sau:
Định lý 1.5. Cho A là một toán tử đơn điệu (D(A) = X), h-liên tục
và liên tục tại x
0
∈ S
0
. Hơn nữa, với mọi 0 < δ <
¯
δ < 1 ta có:

A(x
0
) −f
δ
 > Kδ
p
, 0 < p ≤ 1, K ≥ 2
12
Khi đó tồn tại ít nhất một giá trị ¯α sao cho:
ρ(¯α) = ¯αx
δ
¯α
− x
0
 = Kδ
p
,
ở đây x
δ
¯α
là nghiệm của (1.3) khi α = ¯α. Hơn thế nữa, nếu 0 < p < 1
thì x
δ
¯α
→ x
0
thỏa mãn (1.4) khi δ → 0 và nếu p = 1 thì x
δ
¯α
 x

0
khi
δ → 0.
Bây giờ ta xét trường hợp thay cho A ta chỉ biết A
h
đơn điệu, h-liên
tục và thỏa mãn (1.5) với g(t), (t ≥ 0) là một hàm liên tục không âm.
Ta có:
x
η
α
− x
0
 ≤ δ/α + hg(x
0
)/α + 2x
0
− x
0
,
x
η
α
− x
0
 ≤ δ/α + hg(x
τ
α
)/α + 2x
0

− x
0
.
Một câu hỏi tương tự cũng được đặt ra là chọn tham số α(η) như thế nào
để cho nghiệm hiệu chỉnh x
η
α(η)
→ x
0
, η → 0? Ta sẽ chỉ ra rằng có thể
chọn tham số hiệu chỉnh α dựa trên nguyên lý độ lệch dạng ρ(¯α) = Kδ
p
khi K ≥ 2, 0 < p ≤ 1, 0 < δ + h <
¯
δ +
¯
h < 1, ở đây ρ(α) = αx
η
α
−x
0
.
Dễ thấy hàm σ(α) = x
η
α
− x
0
 là một hàm liên tục, đơn điệu không
tăng với α > α
0

> 0 và σ(α) → 0 khi α → 0. Ta có kết quả sau:
Định lý 1.6. Cho A và A
h
là các toán tử đơn điệu và h-liên tục với
D(A
h
) = D(A) = X. Hơn nữa với mọi 0 < δ + h <
¯
δ +
¯
h < 1 ta có:
A
h
(x
0
) −f
δ
 >

K + g(x
0
)

(δ + h)
p
, 0 < p ≤ 1, K > 1. (1.11)
Khi đó tồn tại ít nhất một giá trị ¯α sao cho ¯α > (K −1)(δ+h)
p
/(2x
0

−
x
0
) và
ρ(¯α) =

K + g(x
η
¯α
)

(δ + h)
p
, (1.12)
ở đây x
η
¯α
là nghiệm của (1.6) (trường hợp s = 2) khi α = ¯α. Hơn thế
nữa khi η, ¯α → 0 và nếu 0 < p < 1 thì x
η
¯α
→ x
0
thỏa mãn (1.4). Nếu
p = 1 thì x
η
¯α
 x
0
và η/¯α ≤ const.

Định lý 1.7. Với mọi điều kiện ở định lý 1.6, nếu g(t) không giảm, còn
x
0
là phần tử không của không gian X thì giá trị ¯α thỏa mãn (1.11) là
duy nhất.
13
Tiếp theo ta xét tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện
toán tử A thỏa mãn:
A(y) − A(x) −A

(x)(y −x) ≤ τy − xA

(x)(y −x), (1.13)
với mọi y thuộc một lân cận nào đó của S
0
và x ∈ S
0
, τ > 0 là một
hằng số.
Định lý 1.8. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn
(i) A khả vi Fréchet tại một lân cận nào đó của S
0
với (1.13) khi
x = x
0
,
(ii) Tồn tại một phần tử z ∈ X sao cho
A

(x

0
)
∗
z = J
s
(x
0
− x
0
),
(iii) Tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho α ∼ δ
p
, 0 < p < 1.
Khi đó,
x
δ
α
− x
0
 = O(δ
θ
),
θ = min
®
1 −p
s −1
,
p
s
´

Chú ý 1.2. Điều kiện (1.6) có thể thay bằng
A(y) − A(x) −A

(x)(y −x) ≤ τA(y) −A(x)
với y thuộc một lân cận nào đó của S
0
và x ∈ S
0
. Thật vậy,
A

(x
0
)(x
δ
α
−x
0
) ≤ A(x
δ
α
)−f
0
+A(x
δ
α
)−A(x
0
)−A


(x
0
)(x
δ
α
−x
0
)
≤ (τ + 1)

A(x
δ
α
) −f
δ
 + δ

≤ (τ + 1)

αx
δ
α
− x
0
 + δ

và kết luận của định lý không thay đổi.
Bây giờ ta xét trường hợp cả toán tử A cũng cho xấp xỉ bởi A
h
thỏa

mãn (1.4) và thay điều kiện (1.13) bằng
A
h
(y) − A
h
(x) −A

h
(x)(y −x) ≤ τy − xA

h
(x)(y −x) (1.14)
Khi đó ta có kết quả sau:
14
Định lý 1.9. Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) A
h
khả vi Fréchet trong một lân cận nào đó của S
0
với (1.14) khi
x = x
0
,
(ii) Tồn tại phần tử z
h
∈ X sao cho
A

h
(x

0
)
∗
z
h
= J
s
(x
0
− x
0
),
(iii) Tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho α ∼ (δ+h)
p
, 0 < p < 1.
Khi đó,
x
η
α
− x
0
 = O

(δ + h)
θ

,
θ = min
®
1 −p

s −1
,
p
s
´
.
Nếu A
h
không đơn điệu thì nghiệm hiệu chỉnh x
ω
thu được dựa vào
việc giải bất đẳng thức biến phân (1.7). Khi đó tốc độ hội của x
ω
đến
x
0
được đánh giá bởi định lý sau:
Định lý 1.10. Cho (1.14) và có các điều kiện (i) - (ii) của định lý 1.9.
Khi đó nếu α được chọn sao cho α ∼ (δ + ε)
p
, 0 < p < 1 ta được
x
ω
− x
0
 = O

(δ + ε)
θ


,
θ = min
®
1 −p
s −1
,
p
s
´
.
Trong chương sau, chúng tôi trình bày các kết quả về hiệu chỉnh cho
phương trình với toán tử J-đơn điệu.
15
Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh lặp
Newton-Kantorovich
Trong chương này chúng tôi trình bày lại một số kết quả chính của
phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov. Từ đó trình bày phương
pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich cho phương trình không chỉnh
phi tuyến J-đơn điệu trong không gian Banach. Đây là một hướng phát
triển mới của phương pháp hiệu chỉnh cho phương trình không chỉnh
phi tuyến đơn điệu trong không gian Hilbert. Một đánh giá tốc độ hội
tụ của phương pháp được thiết lập. Các kết quả này được tham khảo
trong các tài liệu [2], [4], [6] và [7].
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
2.1.1 Mô tả phương pháp
Xét phương trình toán tử sau:
A(x) = f, f ∈ X, (2.1)
với A là J-đơn điệu đơn trị trên X. Ký hiệu tập nghiệm của (2.1) là
S = 0.

Nếu A không có tính chất J-đơn điệu mạnh hoặc đơn điệu đều thì
phương trình (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh.
16
Để giải (2.1) ta phải dùng một số phương pháp ổn định, một trong
số các phương pháp hay là phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
(xem [1]). Dạng toán tử của phương pháp này cho phương trình:
A(x) + α(x −x
+
) = f
δ
, f
δ
− f ≤ δ → 0, (2.2)
ở đây α > 0 gọi là tham số hiệu chỉnh và x
+
∈ X là thành phần cho
trước.
Vì A là m-J-đơn điệu nên phương trình (2.2) cho duy nhất nghiệm
x
δ
α
với mỗi giá trị cố định α > 0 và δ > 0.
Hơn thế nữa, từ (2.1), (2.2) và tính chất J-đơn điệu của A ta thu
được kết quả sau:
x
δ
α
− y ≤ y − x
+
 + δ/α, ∀y ∈ S. (2.3)

Trong [1] đã chứng minh được hàm số ρ(α) = αx
δ
α
−x
+
 là liên tục
và đơn điệu không giảm. Nếu A liên tục tại x
+
thì
lim
α→0
ρ(α) = 0, lim
α→+∞
ρ(α) = A(x
+
) −f
δ
.
Hơn thế nữa, bằng lập luận tương tự dễ kiểm tra được nếu A(x
+
) −
f
δ
 > Kδ
p
, K > 2, 0 < p ≤ 1 thì tồn tại một giá trị bé nhất ¯α = α(δ)
sao cho
A(x
δ
α(δ)

) −f(δ) = Kδ
p
và
(K −1)δ
p
α(δ)
≤ 2y
0
− x
+
.
Do đó, khi 0 < p < 1 ta có
δ
α(δ)
≤
2y
0
− x
+
δ
1−p
K −1
→ 0 khi δ → 0.
Nếu J liên tục và liên tục yếu thì x
δ
α(δ)
→ y
∗
∈ S, (xem [1], [5]).
Tiếc rằng lớp không gian Banach thực sự vô hạn chiều có J với các tính

chất trên là rất nhỏ (duy nhất l
p
). Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là
thuật toán (2.2) có thể áp dụng cho không gian Banach được không?
Trong [1] chúng ta biết sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh x
δ
α
tới
nghiệm của (2.1) trong không gian Banach không có ánh xạ đối ngẫu
liên tục yếu của J, khi A liên tục yếu và
A(x)−A(y
∗
)−QA

(y
∗
)
∗
J(x−y
∗
) ≤ τA(x)−A(y
∗
), ∀y ∈ X, (2.4)
17
ở đây τ là hằng số dương, A

(x) ký hiệu là đạo hàm Fréchet của A tại
x ∈ X, Q là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X
∗
và ∃v ∈ X sao cho:

x
+
− y
∗
= A

(y
∗
)v. (2.5)
Trong phần này không yêu cầu tính liên tục yếu của J và (2.4). Ta sẽ
chỉ ra sự hội mạnh của thuật toán (2.2) trong không gian Banach lồi
chặt với một chuẩn khả vi Gâteaux đều và đưa ra đánh giá tốc độ hội
tụ tối ưu cho nghiệm hiệu chỉnh khi tham số hiệu chỉnh là lựa chọn cho
trước.
Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn thực và
S
1
(0) := {x ∈ X : x = 1}.
Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux (hoặc trơn) nếu
∃lim
t→0
x + ty −x
t
, ∀x, y ∈ S
1
(0).
Không gian X được gọi là có chuẩn khả vi Gâteaux đều nếu giới hạn
nêu ở trên đều với x ∈ S
1
(0). Không gian X được gọi là lồi chặt nếu

∀x, y ∈ S
1
(0), x = y ta có:
(1 −λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
Nếu X là trơn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị.
Cho µ là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên l
∞
và (a
1
, a
2
, . . .) ∈ l
∞
.
Ta viết µ
k
(a
k
) thay cho µ

(a
1
, a
2
, . . .)

. Gọi µ là giới hạn Banach khi µ
thỏa mãn µ = µ
k
(1) = 1 và µ

k
(a
k+1
) = µ
k
(a
k
) với mỗi (a
1
, a
2
, . . .) ∈
l
∞
. Đối với giới hạn Banach µ ta có:
lim
k→∞
inf
k
a
k
≤ µ
k
(a
k
) ≤ lim
k→∞
sup
k
a

k
, ∀(a
1
, a
2
, . . .) ∈ l
∞
.
Nếu a = (a
1
, a
2
, . . .) ∈ l
∞
, b = (b
1
, b
2
, . . .) ∈ l
∞
và a
k
→ c (tương
ứng a
k
− b
k
→ 0) khi k → ∞ ta có µ
k
(a

k
) = µ(a) = c (tương ứng
µ
k
(a
k
) = µ
k
(b
k
)).
Bổ đề 2.1. Cho C là 1 tập con lồi của không gian Banach X có chuẩn
khả vi Gâteaux đều. Cho {x
k
} là một dãy giới nội trong X, z ∈ C và µ
18
là giới hạn Banach. Khi đó:
µ
k
x
k
− z
2
= min
u∈C
µ
k
x
k
− u

2
khi và chỉ khi µ
k
u −z, j(x
k
− z) ≤ 0 với mọi u ∈ C.
Với mỗi ánh xạ m-J-đơn điệu A trong X và phần tử cố định bất kì
f ∈ X ta có thể xây dựng một ánh xạ u = T
f
(x) bằng
A
f
(u) + u = x, A
f
(.) = A(.) − f (2.6)
với mỗi x ∈ X.
Vì A
f
cũng là m-J-đơn điệu nên việc tồn tại của T
f
là hiển nhiên. T
f
có các tính chất sau:
(i) D(T
f
) = X,
(ii) T
f
là không giãn, tức là T
f

x −T
f
y ≤ x −y,
(iii) F ix(T
f
) = S, ở đây Fix(T
f
) ký hiệu tập điểm bất động của T
f
,
tức là
F ix(T
f
) =

x ∈ X : x = T
f
(x)

.
Ta nhắc lại một ánh xạ T trong X được gọi là giả co nếu
T x − T y, j(x −y) ≤ x −y
2
, ∀x, y ∈ D(T ),
ở đây D(T ) là miền xác định của T . Dễ thấy mọi ánh xạ không giãn là
giả co và nếu A là J-đơn điệu thì T = I −A cũng là giả co.
Bổ đề 2.2. Với F là ánh xạ đơn điệu, tuyến tính và giới nội trong không
gian Banach phản xạ ta có F (F + αI)
−1
 ≤ 2 với mỗi α > 0.

2.1.2 Sự hội tụ của phương pháp
Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach phản xạ thực và lồi chặt với
chuẩn khả vi Gâteaux đều và A là một ánh xạ m-J-đơn điệu trên X.
Với mỗi α > 0 và f ∈ X thì phương trình
A(x) + α(x −x
+
) = f, (2.7)
19
có duy nhất nghiệm x
α
và nếu tập nghiệm của (2.1) là S = ∅ thì dãy
{x
α
} hội tụ mạnh tới phần tử y
∗
∈ S, với y
∗
là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân

y
∗
− x
+
, j(y
∗
− y)

≤ 0, ∀y ∈ S. (2.8)
Mặt khác, ta có:

x
δ
α
− x
α
 ≤ δ/α,
ở đây x
δ
α
là nghiệm duy nhất của (2.2) với mọi α > 0 và f
δ
∈ X.
Định lý 2.2. Cho X, A và f như trong định lý 2.1 sao cho S = ∅. Giả
thiết (2.5) và đạo hàm Fréchet A

(.) liên tục Lipschitz địa phương trong
hình cầu
B
r
(y
∗
) =

x ∈ X : x −y
∗
 ≤ x
+
− y
∗



,
tức là tồn tại một hằng số Lipschitz L > 0 sao cho
A

(x) −A

(z) ≤ Lx −z, ∀x, z ∈ B
r
(y
∗
).
Khi đó, ∀α > 0 ta có:
x
α
− y
∗
 ≤ 2(Lv
2
+ v)α.
Định lý 2.3. Cho X, A và f như trong định lý 2.2. Giả sử điều kiện
(2.5) và mỗi điều kiện khác trong định lý 2.2 hoặc tồn tại một hằng số
k
0
> 0 sao cho
k
0
x
+
− y

∗
 ≤ 1
và
A

(x) −A

(y
∗
) = A

(y
∗
)k(x, y
∗
, w),
k(x, y
∗
, w) ≤ k
0
wx − y
∗
, ∀x, w ∈ B
˜r
(y
∗
),
ở đây ˜r > r + δ/α. Nếu α là lựa chọn sao cho α = O(
√
δ) thì

x
δ
α
− y
∗
 ≤ O(
√
δ).
20
2.2 Phương pháp hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich
2.2.1 Mô tả phương pháp
Xét phương trình toán tử loại 1:
A(x) = f, f ∈ R(A) ⊂ X, (2.9)
trong đó A : D(A) = X → X là toán tử phi tuyến m-đơn điệu; X là
không gian Banach, X
∗
là không gian liên hợp của X, lồi đều, X có tính
xấp xỉ; D(A) và R(A) lần lượt là miền xác định và miền giá trị của A.
Để đơn giản ta ký hiệu chuẩn của X và X
∗
là . và viết x, x
∗
 thay
cho x
∗
(x) với x
∗
∈ X
∗
và x ∈ X. Nếu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của

X liên tục và liên tục yếu thì điều kiện:
A(x) −f, J(x) > 0, x > ˜r, (2.10)
với ˜r là hằng số dương là điều kiện đủ để tồn tại nghiệm của phương
trình (2.9). Bài toán (2.9) là bài toán đặt không chỉnh. Trong trường
hợp A là toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert X một dạng toán
tử hiệu chỉnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov được xét trong tài
liệu của Ya.I.Al’ber và I.P.Ryazantseva. Sau đó, các kết quả này được
tổng quát hóa cho các phương trình toán tử đơn điệu trong không gian
Banach.
Hiệu chỉnh lặp Newton-Kantorovich:
x
0
∈ X, A(x
n
) + α
n
x
n
+

A

(x
n
) + α
n
I

(x
n+1

− x
n
) = f (2.11)
được nghiên cứu trong tài liệu của A.B.Bakushinskii với toán tử đơn
điệu A trong không gian Hilbert X. Ở đây, I là toán tử đồng nhất trong
X và {α
n
} là dãy số dương. Khi đó thuật toán (2.11) được phát triển
lên cho trường hợp toán tử đơn điệu A từ không gian Banach X vào
không gian liên hợp X
∗
với sự cải biên bởi công thức:
x
0
∈ X, A(x
n
) + A

(x
n
)(x
n+1
− x
n
) + α
n
J
s
(x
n+1

) = f, (2.12)
ở đây J
s
: X → X
∗
là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X.
21