Vai trò của tham số tự do trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ

Dương Nhật Huy

VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG
PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG
TỬ PHI ĐIỀU HÒA

Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
Mã số: 102

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
ThS. Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011


MỤC LỤC

MỤC LỤC............................................................................................................................. 2
T
2

2T

LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................................... 3
T
2

2T

LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 4
T
2

2T

Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG .................................................................. 7
T
2

T
2

1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger và phương pháp nhiễu loạn dừng: ................................... 7
T
2

T
2

1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa: ............................................................................... 9
T
2

T
2

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN

DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU
HÒA BẬC BỐN ............................................................................................................................ 13
T
2

T
2

2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn: .......................... 13
T
2

T
2

2.2 Kết quả: ..................................................................................................................... 16
T
2

2T

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA
VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN ................................................ 19
T
2

T
2

3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng: .................................................... 19

T
2

T
2

Vnn2
3.2 Kết quả khảo sát thực tế và phương pháp dùng tỉ số 2 : ......................................... 22
H nn
T
2

T
2

T
2

T
2

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI .............................................................. 31
T
2

T
2

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................... 32
T

2

2T

PHỤ LỤC ............................................................................................................................ 33
T
2

T
2


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận này, tôi đã nhận được sự quan tâm hỗ trợ rất
lớn từ phía các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh.
Xin được được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc
Trầm, người đã không chỉ hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này mà còn truyền đạt cho
tôi nhiều bài học quý báu. Ngoài ra cũng xin được gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Văn Hoàng
nói riêng cũng như các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết nói chung đã đóng góp cho tôi
nhiều ý kiến, kinh nghiệm quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình đã luôn ở bên cạnh và động viên tôi trong suốt
những năm học đại học cũng như trong trong quá trình hoàn thành khóa luận.
Xin chân thành cảm ơn.

Dương Nhật Huy


LỜI MỞ ĐẦU

Nhân loại bước vào thế kỷ XXI với những thành tựu vĩ đại của khoa học công nghệ, trong đó
phải kể đến những bước tiến lớn trong lĩnh vực tiến công vào thế giới vi mô. Trong thời gian gần
đây, hoạt động nghiên cứu và ứng dụng các công nghệ ở cấp độ nguyên tử và hạ nguyên tử ngày
một phát triển mạnh, điều này đòi hỏi phải có một công cụ đủ mạnh để giải quyết các bài toán về
những hệ lượng tử với độ chính xác ngày càng cao. Như chúng ta đã biết, việc giải phương trình
Schrödinger là nhiệm vụ quan trọng của các bài toán về hệ lượng tử. Tuy nhiên trong đa số các
trường hợp, việc tìm nghiệm chính xác là không thể và ta phải tìm nghiệm của phương trình
Schrödinger bằng các phương pháp gần đúng. Một trong các phương pháp gần đúng mạnh và được
biết đến nhiều nhất là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn. Ý tưởng chính của phương pháp này là
tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần: một thành phần có thể tìm nghiệm chính
xác, thành phần còn lại được gọi là nhiễu loạn. Điều kiện để áp dụng phương pháp này là thành
phần nhiễu loạn phải “nhỏ” so với thành phần có thể tìm nghiệm chính xác. Đây cũng chính là một
trong những hạn chế lớn của phương pháp này, vì trong thực tế có nhiều bài toán thành phần được
tách ra lại không đủ “nhỏ” để được xem như là thành phần nhiễu loạn. Do đó, phương pháp này chỉ
áp dụng được cho một số ít các bài toán. Vì vậy, việc tìm ra một phương pháp để giải quyết các bài
toán phi nhiễu loạn là hết sức cần thiết.
Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử (Operator Method) là một trong
các phương pháp mạnh để giải các bài toán phi nhiễu loạn được nêu ở trên [6],[8]. Phương pháp
toán tử được nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng vào
những năm 80 [6] và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý
nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2]. Qua các bài toán đã được giải
quyết, phương pháp toán tử đã cho thấy những điểm ưu việt và hiệu quả của nó so với phương pháp
nhiễu loạn cũng như các phương pháp tính gần đúng đã biết khác như:
-

Đơn giản hóa việc tính toán do trong suốt quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép tính
thuần đại số. Vì vậy, ta có thể sử dụng các chương trình lập trình tính toán như Matlab,
Mathematica, Fortran,… để tự động hóa quá trình tính toán.

-

Cho phép tính toán trên các cơ hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ.

-

Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi
tham số trường ngoài.

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử nằm trong bốn bước sau:


-

Biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử sinh hủy của Dirac H ( x, p) → H (aˆ , aˆ + , ω ) ;

-

Tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: trung hòa H 0 (aˆ + aˆ , ω ) và không trung hòa
V (aˆ + , aˆ , ω ) ;

-

Chọn tham số ω sao cho thành phần trung hòa là thành phần chính của toán tử Hamilton
và nghiệm riêng của H 0 (aˆ + aˆ , ω ) chính là năng lượng gần đúng bậc không của bài toán;

-

Xem thành phần không trung hòa V (aˆ + , aˆ , ω ) là thành phần “nhiễu loạn” và tính các bổ
chính bậc cao của bài toán bằng các sơ đồ thích hợp.

Một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể chọn tham số ω để điều chỉnh
tốc độ hội tụ của bài toán. Trong các công trình trước [6], [8], [9], chúng tôi đã sử dụng điều kiện
()
cực tiểu hóa năng lượng, tức xác định ω thông qua điều kiện ∂En = 0 . Cách chọn này đã cho thấy
∂ω
0

sự hiệu quả trong một số bài toán [6], tuy nhiên vẫn cho thấy sự hạn chế trong một số trường hợp
phức tạp hơn [8]. Do đó, trong luận văn này chúng tôi tiến hành khảo sát riêng tham số ω để tìm
được cách chọn ω tốt nhất nhằm tối ưu hóa tốc độ tính toán.
Mục tiêu của luận văn này là:
-

Tìm hiểu về phương pháp nhiễu loạn và phương pháp toán tử, so sánh hai phương pháp
trên thông qua ví dụ về bài toán dao động tử phi điều hòa;

-

Khảo sát sự hội tụ của bài toán dao động tử phi điều hòa theo tham số ω, từ đó kiểm tra
một phương pháp mới để chọn tham số tự do ω là dựa vào sự thay đổi của biểu thức

Vnn2
H nn2

, tức là dựa vào mối quan hệ giữa V nn và H nn .
R

R

R

R

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng
Giới thiệu các ý tưởng của phương pháp nhiễu loạn dừng thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger. Áp dụng sơ đồ trên để giải bài toán dao động tử phi điều hòa, từ các kết quả thu được
tác giả sẽ phân tích các điểm còn hạn chế của phương pháp trên. Mặc dù còn nhiều hạn chế nhưng
các ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là nền tảng quan trọng để xây dựng nên phương
pháp toán tử được sử dụng trong luận văn này.
Chương 2: Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn.


Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quát về phương pháp toán tử: sự hình thành, các ý
tưởng chính, ưu điểm và nhược điểm. Ngoài ra, tác giả cũng sẽ áp dụng phương pháp toán tử cho
một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn để thấy được những ưu điểm của
phương pháp này so với phương pháp nhiễu loạn đã được nêu ở trên.
Chương 3: Vai trò của tham số ω trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao
động tử phi điều hòa bậc bốn.
Chương này sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình
tính toán dựa trên kết quả một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn. Ngoài
ra, tác giả cũng sẽ đề xuất và kiểm tra một phương pháp mới để chọn tham số ω là phương pháp dựa
vào tỉ số

Vnn2
. Với các kết quả so sánh, tác giả sẽ phân tích các trường hợp đáp ứng tốt cũng như
H nn2

chưa tốt của phương pháp trên để từ đó đưa ra các kết luận, đề xuất cải tiến phương pháp sao cho
hiệu quả hơn.
Phần kết luận và hướng phát triển đề tài:

Phương pháp khảo sát dựa vào tỉ số

Vnn2
áp dụng tốt cho các trường hợp ở trạng thái kích
H nn2

thích. Riêng với trạng thái cơ bản, phương pháp trên chỉ đáp ứng tốt khi hệ số phi điều hòa bé. Do
đó, tác giả đề xuất cần khảo sát kỹ hơn trường hợp cơ bản với các hàm sóng bậc cao hơn. Ngoài ra,
để không mất tính tổng quát, cần áp dụng các kết quả có được trong luận văn này để khảo sát các
bài toán khác phức tạp hơn như bài toán exciton, bài toán nguyên tử Hidro.


Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG

Trong chương này, tác giả sẽ giới thiệu về lý thuyết nhiễu loạn thông qua sơ đồ RayleighSchrödinger, sơ đồ thông dụng nhất được trình bày trong phần lớn các sách giáo khoa về Cơ học
lượng tử. Ngoài ra, tác giả cũng sẽ giới thiệu và phân tích các kết quả cụ thể của phương pháp nhiễu
loạn trên bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 để cho thấy những điểm còn hạn chế của phương
pháp trên.
1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger và phương pháp nhiễu loạn dừng:
Như chúng ta đã biết, phương trình Schrödinger là phương trình động học của Cơ học lượng
tử và việc giải quyết các bài toán trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình trên. Tuy
nhiên, phương trình Schrödinger lại là một phương trình phức tạp mà ta chỉ có thể tìm được nghiệm
chính xác của nó trong một số ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử Hidro, bài toán dao
động tử điều hòa, chuyển động của hạt vi mô trong hố thế vuông góc,…Do đó, khi xét đến các hệ
lượng tử thực với độ phức tạp cao hơn thì việc tìm nghiệm chính xác là điều không thể và ta phải
dùng đến các phương pháp gần đúng để tìm hàm riêng và trị riêng của nó. Mặc dù vẫn còn nhiều
hạn chế nhưng phương pháp nhiễu loạn là một trong những phương pháp tính gần đúng quan trọng
hiện nay của Cơ học lượng tử. Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp nhiễu loạn
dừng dựa trên một trong những sơ đồ được sử dụng thông dụng nhất của phương pháp này là sơ đồ
Rayleigh-Schrödinger.

Xét phương trình Schrödinger:

Hˆ Ψ ( x) =E Ψ ( x) .

(1.1)

Ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là ta tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai
thành phần:

ˆ Hˆ + βVˆ ;
H
=
0

(1.2)

trong đó thành phần Hˆ 0 là toán tử Hamilton có nghiệm riêng chính xác:

Hˆ 0ψ n = ε nψ n ,

(1.3)

trong khi thành phần Vˆ còn lại được gọi là thành phần nhiễu loạn, điều kiện để được xem là nhiễu
loạn ta sẽ xét trong trường hợp cụ thể sau. Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu


loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Hˆ 0 , Vˆ = Hˆ 0 . Khi đó, nghiệm của phương
trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1). Lúc này chúng ta xem ε n và ψ n là nghiệm
gần đúng bậc zero của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh
hưởng của Vˆ thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng. Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn

β để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ
tính toán qua số mũ của β .
Giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng ψ n
của Hˆ 0 là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng ε n , với n = 0,1, 2,... . Khi đó, chúng ta tìm nghiệm
+∞

của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của Hˆ 0 như sau: Ψ ( x) =
∑ Ck ψ k ( x) . Không mất
k =0

tính tổng quát ta có thể giả thuyết hàm sóng cho trạng thái n như sau:
Ψ n ( x )= ψ n ( x ) +

+∞

∑C

k =0
(k ≠n)

k

ψ k ( x) .

(1.4)

Thế vào phương trình (1.1) ta có:
+∞
+∞





( Hˆ 0 + β Vˆ ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  =
En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x)  . (1.5)
k=
0, k ≠ n
k=
0, k ≠ n





Nhân hai vế của (1.5) với ψ n* ( x) rồi tích phân theo toàn miền biến số x ta được:
H nn + β Vnn + β

+∞

∑

=
k 0 (k ≠n)

Ck Vnk =
En .

(1.6)

Bây giờ làm tương tự như trên cho ψ j * ( x), j ≠ n ta có:
C j H jj + β V jn + β

+∞

∑

=
k 0 (k ≠n)

Ck V jk =
En C j .

(1.7)

Ta viết (1.6) và (1.7) lại như sau:
En =H nn + β Vnn + β

+∞

∑

=
k 0, k ≠ n

CkVnk ,

(1.8)

+∞

( En − H jj )C j =β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n )

(1.9)

k =0
k ≠n

với ký hiệu các yếu tố ma trận:
+∞
H kk = ∫ ψ k * ( x) Hˆ 0 ψ k ( x)dx ,

+∞
V jk = ∫ ψ j * ( x) Vˆ ψ k ( x) dx .

−∞

−∞

(1.10)

Hệ phương trình đại số (1.8) - (1.9) có thể xem tương đương với phương trình Schrödinger
(1.1). Giải hệ phương trình này ta thu được năng lượng En và các hệ số C j , nghĩa là tìm được hàm
sóng Ψ n ( x) qua công thức (1.4). Ta có thể sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho hệ phương trình này
bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau:

En = En

C j =C j

+∞

(0)

+ ∑ β s ∆E ( s ) ,

(1.11)

s =1

+∞

(0)

+ ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n

(1.12)

s =1

Ở đây ta ký hiệu En (0) , C j (0) là năng lượng và hệ số gần đúng bậc zero, còn ∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ 1 là
các bổ chính vào năng lượng và hệ số hàm sóng. Đem (1.11) và (1.12) thế vào (1.9), (1.10) sau đó
đồng nhất hai vế theo bậc s ta được:
(0)
=
En (0) H=
0,
nn , C j

V jn

∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) =

s ≥ 2:

∆En ( s ) =

En (0) − H jj

+∞

∑V
k =0
k ≠n

nk

( j ≠ n) ;

∆Ck ( s −1) ,

 +∞

s −1
1
( s −1)
( s −t )
(t ) 


=
∆C j
∑V jk ∆Ck −∑ ∆En ∆C j  ( j ≠ n) .
En (0) − H jj  k 0=t 1
=

 k ≠n

(s)

Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sẽ sử dụng trong các phần sau.
1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa:

(1.13)


Ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều với toán tử Hamilton có dạng sau:

1 d2 1 2
ˆ
H=
−
+ x + λ x4
2
2 dx
2

(1.14)

với hệ số phi điều hòa λ > 0 . Bài toán này có dạng chuyển động trong hố thế và có các mức năng

lượng gián đoạn.
Phương pháp nhiễu loạn được sử dụng cho bài toán này trong hầu hết các sách giáo khoa về
cơ học lượng tử [1],[5]. Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần như sau:

1 d2 1 2
Hˆ 0 =
−
+ x ,
2 dx 2 2
Vˆ = λ x 4 .

(1.15)

Cách chia này phù hợp với lý thuyết nhiễu loạn là toán tử Hamilton gần đúng Hˆ 0 có nghiệm
riêng chính xác là các hàm sóng của dao động tử điều hòa:

 x2
ψ n An exp  −
=
 2


 Hn ( x) ,


(1.16)

với H n ( x ) là đa thức Hermit được định nghĩa như sau:

d n − x2

H n ( x ) = (−1) e
e ;
dx n
n

x2

hàm sóng này ứng với trị riêng là năng lượng gần đúng bậc zero ε n= n + 1/ 2 .
Các yếu tố ma trận của các toán tử Hˆ 0 và Vˆ ứng với các hàm số (1.16) có thể tính được như
sau:

1
H nn= n + ,
2
Vn ,n+4 =

λ
4

Vn ,n+2 =

(n + 4)(n + 3)(n + 2)(n + 1) ,

λ
(2n + 3) (n + 2)(n + 1) ,
2