Giao an so 2 070306

GIÁO ÁN ĐH A2

Số tiết 6

TÊN BÀI GIẢNG:

CHƯƠNG II: MA TRẬN (TT)
CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC
 MỤC ĐÍCH:
-

Có kó năng thực hiện các phép toán trên ma trận.

-

Nhận biết được ma trận bậc thang.

-

Biết sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng để biến đổi một ma trận về dạng bậc thang.

-

Biết cách giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.

-

Biết được ma trận khả nghòch và biết tìm ma trận nghòch đảo của một ma trận vuông
bằng thuật toán Gauss-Jordan. Biết cách giải hệ phương trình đại số tuyến tính n phương
trình, n ẩn bằng cách sử dụng ma trận nghòch đảo.

-

Hiểu được đònh thức của một ma trận, hiểu và vận dụng được công thức Laplace để tính
đònh thức. Nắm được các tính chất cơ bản của đònh thức.

TT

NỘI DUNG GIẢNG DẠY
TG P.PHÁP
Bài tập: 13, 15, 17, 23, 28, 30 trang 44, 45, 46.
45’ Hướng dẫn
giải.
Phương pháp Gauss-Jordan để giải hệ phương trình đại số tuyến
tính.
10’ Diễn giải.
Hệ Phương trình đại số tuyến tính.

4
4.1

a1 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a + ... + a x = b
 21 1
22
2n n
2
* Dạng: 

a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bn

(1)

* Dạng ma trận: AX = B
Trong đó:
a11 a12 ...a1n 
a a ...a 
21 22
2n 
A = 




a m1 a m 2 ...a mn 

(2)
 x1 
x 
2
, X =  

 
xn 

b1 
b 
2
, B =  

 

bm 

A gọi là ma trận hệ số, X là ma trận ẩn số, B là ma trận hằng số.
Ngoài ra ta còn thiết lập ma trận A’ = [A | B] gọi là ma trận mở rộng
của hệ phương trình.
Các ví dụ 1, 2 trang 27.
1


4.2

4.3

4.4

5
5.1

5.2

5.3

+ Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: b1 = b2 = … = bm = 0
+ Nghiện của hệ (1).
+ Hệ phương trình tương thích, ẩn số tự do, ẩn số cơ sở.
+ Hệ phương trình tương đương.
10’ Diễn giải.
Các phép toán sơ cấp trên hàng của ma trận.
1) Hoán vò hai hàng Ri ↔ Rj
2) Thay một hàng bằng chính hàng đó sau khi nhân với một số khác 0:

λRi → Ri (λ ≠ 0).
3) Thay một hàng bằng chính hàng đó cộng với một hàng khác sau khi
đã nhân với một số bất kì: λRj + Ri → Ri
Ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang chính tắc
10’ Diễn giải
Sử dụng các phép toán sơ cấp trên hàng ta có thể đưa ma trận mở
minh họa
rộng của một hệ phương trình tuyến tính về dạng bậc thang chính tắc
là ma trận mở rộng của một hệ phương trình mới tương đương với hệ
phương trình đã cho.
+ Giới thiệu ma trận có dạng bậc thang chính tắc (GT trang 28)
Phương pháp Gauss-Jordan.
30’ Diễn giải.
Để giải một hệ phương trình đại số tuyến tính ta dùng phương pháp
Hướng dẫn
Gauss-Jordan theo các bước sau:
giải.
* B1: Thiết lập ma trận mở rộng.
* B2: Dùng các phép toán sơ cấp trên dòng để đưa ma trận A’ về
dạng bậc thang chính tắc A’’.
* B3: Giải hệ phương trình với ma trận mở rộng A’’.
Ví dụ: 1, 2, 3 trang 29, 30, 31.
30’ Diễn giải.
Ma trận Nghòch đảo.
Hướng dẫn
Đònh nghóa: Cho A∈Mn(|R), A được gọi là khả nghòch (không suy
biến), nếu tồn tại ma trận B∈Mn(R), sao cho A.B = BA = In
B gọi là ma trận nghòch đảo của A, kí hiệu là A-1, ta có:
AA-1 = A-1A = In
Nếu A không khả nghòch ta nói A là ma trận suy biến.

Đònh lí: * Nếu A là ma trận khả nghòch thì ma trận nghòch đảo A -1 là
duy nhất.
* (A-1)-1 = A
* (A1A2)-1 = A2-1A1-1
* (AT)-1 = (A-1)T
[Giáo trình trang 32]
Thuật toán Gauss-Jordan để tìm ma trận nghòch đảo của một ma
trận vuông cấp n.
* B1: Lập ma trận M = [A | In]
* B2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để biến đổi [A | I n]
2


5.4

1
1.1

về dạng bậc thang [In| B].
* Kết luận: A-1 = B
Các ví dụ: 1, 2, 3 trang 34, 35, 36 giáo trình.
Giải hệ phương trìnhđại số tuyến tính bằng cách sử dụng ma trận
nghòch đảo.
* Đònh lý: Cho hệ phương trình n phương trình, n ẩn số AX = B.
Nếu A không suy biến thì phương trình đã cho có một nghiệm duy
nhất X = A-1B.
(Giáo trình trang 37)
* Ví dụ: trang 37.
* Bài tập: 73, 74 trang 48; 77, 80 trang 49.
45’ Hướng dẫn

giải.
CHƯƠNG III: ĐỊNH THỨC
Hoán vò cấp n.
Hoán vò cấp n.
* Đònh nghóa 1: Cho X là một tập hợp có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi cách 10’ Diễn giải
Minh họa
sắp xếp n phân( tử của X theo một thứ tự nhất đònh được gọi là hoán
vò của X.
Ví dụ: X = {a, b, c}
Có 6 cách sắp xếp:
a b c 


a b c 
a b c 


b c a 

,

a b c 

,
a c b 

a b c 


b a c 

,

a b c 

,
c a b 

a b c 


c b a 

Theo ngôn ngữ ánh xạ ta có đònh nghóa sau:
* Đònh nghóa 2: Cho X là một tập hợp có n phần tử, một hoán vò cấp n
là một song ánh từ X lên chính nó.
Không mất tính tổng quát, bằng cách đánh số các phần tử; một
hoán vò cấp n thường được viết như sau:


2
3  n 
1


σ =

σ (1) σ (2) σ (3)  σ (n)






Chú ý: Nếu X có n phần tử thì ta có n! hoán vò cấp n của X. Tập tất cả
các hoán vò cấp n được kí hiệu là Sn. Như vậy Sn có phần tử.
3


1.2

Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ.
10’ Diễn giải.
a) Nghòch thế: Cho σ ∈ Sn. Một cặp phần tử (i, j) được gọi là nghòch
thế. Nếu ta có i < j => σ(i) > σ(j).
b) Hoán vò chẵn, hoán vò lẻ:
Gọi S(σ) là tổng tất cả các nghòch thế của σ.
* Nếu S(σ) là số chẵn, ta nói σ là hoán vò chẵn.
* Nếu S(σ) là số lẻ, ta nói σ là hoán vò lẻ.
1 2 3 4 5

2 4 3 1 5

Ví dụ: Cho σ = 

σ có 4 nghòch thế, S(σ) = 4, vậy σ lá hoán vò chẵn.
2
2.1

Đònh thức:
Đònh nghóa: Cho ma trận vuông cấp n (n ≥ 1)

15’ Diễn giải.
Hướng dẫn
tính.

a11 a12  a1n 


a 21 a 22  a 2 n 
A= 



a a  a 
nn 
 11 12

Đònh thức của ma trận A, kí hiệu det A, D(A) hoặc |A| được
xác đònh như sau:
det A =

∑ (−1)
σ

S (σ )

∈S n

a1σ (1) a 2σ ( 2 )  a nσ ( n )

(1)

(Tổng này có dạng n! số hạng)
Chẳng hạn:
a11 a12 

a 21 a 22 

*A= 

1 2
1 2
 và σ 2  
2 1
1 2

n = 2 ta có 2 hoán vò σ 1 

Trong đó có 1 hoán vò lẻ là σ2 ; từ (1) ta có:
S (σ )
a11 a12 + (−1) S (σ 0 ) a12 a 21
det A = (−1)
det A = a11 a 22 − a 12 a 21
1

2

a11 a12 a13 



* A = a 21 a 22 a 23 


a 31 a 32 a 33 

n = 3 ta có 6 hoán vò σ1, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6. Trong đó có 3 hoán vò
σ1, σ2, σ3 chẵn, có 3 hoán vò σ4, σ5, σ6 lẻ.
Từ (1) ta có:
S (σ )
a11 a 22 a 33 + (−1) S (σ 0) a12 a 23 a 31 + (−1) S (σ 0 ) a13 a 31 a 23
det A = (−1)
1

2

2

4


(−1) S (σ 1 ) a11 a 22 a 33 + (−1) S (σ 2 0) a 22 a 31 a13 + (−1) S (σ 2 0 ) a 33 a 21 a12

=> det A = a11 a 22 a 33 + a12 a 23 a 31 + a13 a 32 a 21
− a11 a 23 a 32 − a 22 a13 a 31 − a 33 a12 a 21

Để dễ nhớ ta dùng qui tắc Sarrus sau:
* Tổng của tích các phần tử trên đường chéo chính mang dấu cộng.
* Tổng của tích các phần tử trên đường chéo phụ mang dấu trừ.
3

20’ Diễn giải.
Tính chất cơ bản của đònh thức.
Minh họa.
1) Ta có D(A) = D(AT) ; D(AB) = D(A) D(B) = D(BA)
2) Nếu đổi chổ 2 hàng (cột) bất bì cho nhau thì đònh thức đổi dấu.
Đặc biệt: Nếu 1 ma trận có 2 hàng (2 cột) giống nhau thì đònh
thức bằng 0.
3) Nếu có một hàng (cột) của đònh thức mà mỗi phần tử trên hàng đều
là một tổng của hai số thì ta có thể tách đònh thức đã cho thành tổng
của hai đònh thức.
4) Nếu có một hàng (cột) của đònh thức mà mỗi phần tử đều là tích
của λ với một số thì ta có thể đưa λ ra ngoài dấu đònh thức.
5) Đònh thức không đổi khi ta cộng vào một hàng với một hàng khác
sau khi đã nhân với một hằng số.
Cho các ví dụ minh họa.

4

Đònh lý Laplace.
Đònh thức con bù, phần bù đại số.

4.1

a11 a12  a1n 


a 21 a 22  a 2 n 
Cho ma trận A = 




a a  a 
nn 
 n1 n 2

15’

* Đònh thức con bù của phần tử aij, kí hiệu Mij là đònh thức của
ma trận con có được từ A bằng cách bỏ hàng i, cột j.
1 2 3 


Ví dụ: cho A = 6 5 4
7 8 9 


12
= 8 − 14 = −6
M23 =
7 8

* Phần bù đại số của phần tử a ij. Kí hiệu Aij là một số được xác
đònh như sau:
Aij = (-1) i+j Mij
Ví dụ: A23 = (-1)2+3 M23 = -M23 = 6
5


Đònh lý Laplacce:

4.2

[ ]

Cho A = aij

15’
i =1,n
i =1,n

Ta có:
* det A =
* det A =

n

∑a
j =1

ij

Aij

(khai triển theo hàng thứ i)

ij

Aij

(khai triển theo cột thứ i)

n

∑a
i =1

Ví dụ: Giáo trình trang70.

 TỔNG KẾT: (5 phút).
-

Ma trận nghòch đảo, thuật toán Gauss để tìm ma trận nghòch đảo, để giải hệ phương trình
đại số tuyến tính.

-

Cách tính đònh thức cấp 2, cấp 3, công thức Laplace.

-

Bài tập về nhà trang 48, 49, bài 92, 93 trang 50; bài 105, 106 trang 51.

 RÚT KINH NGHIỆM:
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Ngày

tháng năm 2006
Khoa

Ngày
Tổ bộ môn

tháng năm 2006
Giảng viên

6