Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa tham số Lê Bá Bảo

Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016

CHUYấN :

BI TON THAM S TRONG PHNG TRèNH,
BT PHNG TRèNH V H PHNG TRèNH
I- Lí THUYT: Mt s dng toỏn v phng phỏp tng ng:

Cho hm số y f (x ) liên tục trên tập D. Gi s trờn D tn ti min f x ; max f x , nu khụng
xD

xD

ta cn lp bng bin thiờn v a ra kt lun.
Dng 1:

Phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt min f x m max f x
xD

Dng 2:

xD

Bât phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt min f x m
xD

Dng 3:

Bât phương trình f x m nghiệm đúng x D

Phng phỏp: ycbt m max f x
xD

Dng 4:

Bât phương trình f x m có nghiệm x D

Phng phỏp: ycbt m max f x
xD

Dng 5:

Bât phương trình f x m nghiệm đúng x D

Phng phỏp: ycbt min f x m
xD

Dng 6:

Cho hm số y f x đơn điệu trên tập D

f u f v u v

Khi đó:

* THUT TON: gii cỏc bi toỏn tỡm giỏ tr tham s m phng trỡnh (PT), bt phng
trỡnh (BPT) cú nghim ta cú th thc hin theo cỏc bc sau:
Thuật ton 1:
i vi bi toỏn khụng cn t n ph





Bc 1: Bin i a PT v dng f x g m hoặc f x g m ; hoặc f x g m
Bc 2: Lp bng bin thiờn ca hm s y f x , có tập xc định Df .
Suy ra: min f x , max f x . (nu cú)
xD

xD

Bc 3: S dng cỏc nhn xột v phng phỏp ó nờu phn trờn, a ra kt lun.
Thuật ton 2:
i vi bi toỏn t n ph
Bc 1: t n ph t x . T iu kin rng buc ca x suy ra min giỏ tr t x .

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-1-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
Gi s: x Df t X .
Bc 1: Lỳc ny, bin i a PT v dng f t h m ,

hoặc f t h m ; hoặc f t h m .
Lỳc ny bin lun iu kin cú nghim ca PT f t h m vi t X .
Cỏc bc cũn li tng t thut toỏn 1.
* Vi h phng trỡnh cú cha tham s, t duy, hoc l da vo iu kin cú nghim ca cỏc
dng h c thự, hoc a v phng trỡnh cha 1 n (cú th l n ph) v xột iu kin cú
nghim trờn min giỏ tr ca n (hoc n ph) ú.

II- CC BI TP MINH HO:
Bi tp 1: Tìm cc gi trị của m để phương trình: x 9 x x 2 9x m có nghiệm.
Bi gii: Điều kiện: 0 x 9

Pt x 9 x 2 x (9 x ) x 2 9x m 9 2 x (9 x ) x 2 9x m (*)

Đặt t x (9 x )

0 x 9

* Tỡm iu kin ca t :
Cỏch 1: Theo BDT Cauchy: t x (9 x )
Cỏch 2: Ta cú t /

2x 9
2

2 x 9x

x 9x
9
9
0 t
2
2
2

0x 9

2

BBT:

Do đó: 0 t 9

2

* Lúc đó phương trình (*) trở thnh: 9 2t t 2 m t 2 2t 9 m (**)

Xét hm số f (t ) t 2 2t 9

0 t 9 2 . Ta có: f (t) 2t 2 0 t 1
/

Lp bng bin thiờn:

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-2-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
KÕt luËn: Ph­¬ng tr×nh ®± cho cã nghiÖm x  0; 9 khi chØ khi PT (**) cã nghiÖm t  0; 9 
2

ycbt   9  m  10.
4
Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

4

x2 1  x  m .

Bài giải: Điều kiện: x  0 .
Xét hàm số f x   4 x 2  1  x trên 0;  .


x

Ta có: f / x  

2





4

2

x 1



3



1
2 x

0x x 



4

x2 1



3



3

 x 6  x 2  1  x 2  x 2  1 (vô nghiệm)
Suy ra, f / x  không đổi dấu trên 0;  , mà

f / 1 

1
4

2 8



1
 0  f / x   0, x  0;  . Do đó f x  nghịch biến trên
2

0;  .


Ta có BBT: lim f x   0 .
x 

Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán  0  m  1 .
Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x2  x 1  x2 x 1  m .

Bài giải:
Xét hàm số f x   x 2  x  1  x 2  x  1 trên  .
Ta có:

f / x  

2x  1
2

2 x x 1



2x  1
2

2 x x 1

 0  2x  1 x 2  x  1  2x  1 x 2  x  1



2x  12x  1  0



2x  12x  1  0

2
2












vô nghiệm.
2 
2 


1
3
1
3


x     2x  1 x   


x

0
2
x


1












2 
4
2 
4










Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-3-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Suy ra, f / x  không đổi dấu trên 0;  , mà f / 0  1  0  f / x   0, x   . Do đó

f x  đồng biến trên  .
Ta có BBT: lim f x   1; lim f x   1 .
x 

x 

Dựa vào BBT ta có yêu cầu bài toán  0  m  1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x x  x  12  m





5 x  4 x .

Bài giải: Điều kiện: x  0; 4 .
 
Phương trình  m 



x x  x  12
5x  4 x

Xét hàm số f x   x x  x  12





 m  x x  x  12



5x  4 x





5  x  4  x , x  0; 4

Ta có:

3
1

f / x    x 

 2

2 x  12 
Dễ thấy




1
1 
, x  0; 4
5  x  4  x  x x  x  12 

 
 2 4  x 2 5  x 

 



5  x  4  x , x  0; 4  f / x   0, x   0; 4 . Do đó f x  đồng biến trên

0; 4 . Suy ra phương trình f x   m có nghiệm trên
 
 f 0  m  f 4  2 3





0; 4
 

5  2  m  12.

Nhận xét: Ta có thể giải như sau:

x x  x  12

. Ta có hàm số g x   x x  x  12 đồng biến và
5x  4 x
nhận giá trị dương trên 0; 4 , hàm số h x   5  x  4  x nghịch biến và nhận giá trị
x x  x  12
dương trên 0; 4 . Suy ra f x  
đồng biến trên 0; 4 . Suy ra phương trình
5x  4 x
f x   m có nghiệm trên 0; 4  f 0  m  f 4  2 3 5  2  m  12.
Phương trình  m 



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-4-



CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt: m x 2  2  x  m .
Bài giải: Vì

m



x 2  2  0, x   nên phương trình



Xét hàm số f x  
Ta có: f

x

x2  2 1  x  m 

/

x
x2  2 1

x2  2 1

2

x 2



x 2  2  1  0, x  .

, x  .

2  x2  2

x  

do



2

x  2 1

2

x  2

0
.
x   2


BBT: lim f x   1; lim f x   1 .
x 

x 

Yêu cầu bài toán   2  m  2 .
Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3  3x  4  m





x  x 1 1 .

Bài giải: Điều kiện: x  1 .
Phương trình  m 
Xét hàm số f x  

Ta có: f

/

x  



x 3  3x  4
x  x 1  1
x 3  3x  4
x  x 1  1

do

x  x  1  1  0, x  1 .

, x  1;  .

 1
1 

x  x  1  1 3x 2  3  x 3  3x  4 

 2 x 2 x  1 



 







x  x 1  1

2

.

Với x  1 thì x  x  1  1  0 , 3x 2  3  0 , x 3  3x  4  0 (xét biến thiên) và
1
1


 0 . Suy ra f / x   0, x  1 . Do đó f x  đồng biến trên 1;  .
2 x 2 x 1
BBT: lim f x    .
x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-5-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Yêu cầu bài toán  m  1 .
Bài tập 6: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

4 x  x  5  m .

Bài giải: Điều kiện: x  5; 4 .


Xét hàm số f x   4  x  x  5, x  5; 4 .


Ta có: f / x  

1

1



2 4 x



2 x 5

4 x  x  5
2 4 x. x  5

 0.


x  5; 4
1
 4 x  x  5  
x  .


4 x  x  5
2



BBT:

x

-1
2

-5
+

f'(x)

0

4
_

3 2

f(x)

3

3

Yêu cầu bài toán  m  3 2 .
Bài tập 7: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx  x  3  m  1 .
Bài giải: Điều kiện: x  3 .
Bất phương trình  m 
Xét hàm số f x  
Ta có: f

/

x  

x 3 1
do x  1  0, x  3 .
x 1

x 3 1
, x  3;  .
x 1


5  x  0
 0  x 3  5x  

2  x  4.

x

3

5

x



x 3




5x  x 3
2 x  1

2

BBT: lim f x   0 .
x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-6-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

2
Yêu cầu bài toán  m  .
3
Đề 13: (Dự bị- 2004) Chứng minh rằng với mọi m  0 thì phương trình sau luôn có nghiệm:

5
x 2  m 2   x 2  4  2  m 3  0

3 

Bài giải: TXĐ: D   .
Đặt

x2  4  t  2.


5
Phương trình đã cho tương đương với: t 2  4  m 2   t  2  m 3  0

3 

(1)


5
Xét hàm số f t   t 2  4  m 2   t  2  m 3 , ta có f t  liên tục trên 2;  và


3 
4
lim f t    . Ta sẽ chứng minh f 2  0, m  0 . Thật vậy: f 2  m 3  2m 2  .
3
m  0

4
3
2
/
2
Xét hàm số g m   m  2m  , m  0 . Ta có: g m   3m  4m  0  

.
m  4
3

3
t 

BBT:

Dựa vào BBT, ta suy ra f 2  g m   0, m  0 . Suy ra điều phải chứng minh.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x  3  6x 

x  36  x   m .

Bài giải: Điều kiện: x  3; 6 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-7-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Đặt t  x  3  6  x  t 2  9  2 x  36  x .
Ta có: t / 

1
2 x 3

1





6x  x  3

0

2 6 x
2 6 x x  3


x  3; 6  x  3 .
 6x  x  3  

6 x  x  3
2



 3 
   3 2, min t  t 3  t 6  3 hay x  3; 6  t  3; 3 2  .
Suy ra: max
t


t




3;6
3;6
 2 




t2  9
Lúc đó phương trình trở thành: t 
 m  t 2  2t  9  2m .
2
Xét hàm số f t   t 2  2t, t  3; 3 2  . Ta có: f / t   2t  2  0  t  1  3; 3 2 .


BBT:



t



3 2

3

f'(t)

+
18-6 2

f(t)
3

 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  f 3  9  2m  f 3 2 
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 x 2  2x  3  m  1



6 2 9
 m  3.
2



x  3  1x m 1  0 .

Bài giải: Điều kiện: x  3;1 .
Đặt t  x  3  1  x  t 2  4  2 x  31  x .
Ta có: t / 

1
2 x 3



1



1x  x  3

2 1x
2 1x x  3

x  3;1
 1x  x  3  
 x  1 .


1x  x  3




0

Suy ra: max
t  t 1  2 2, min
t  t 3  t 1  2 hay x  3;1  t  2;2 2  .
3;1

3;1






Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-8-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Hoặc: Do t 2  4  2 x  31  x   4  t  2
và t  x  3  1  x  2

x  3  1  x   2

2  t  2;2 2  .



Lúc đó phương trình trở thành: t 2  m  1t  m  3  0  m 

t2  t  3
t 1

do t  1  0, t  2;2 2  .







t2  t  3
t 2  2t  2


/
Xét hàm số f t  
, t  2;2 2  . Ta có: f t  
 0, t  2;2 2 .
2


t 1
t

1
 
BBT:
t

2 2

2

f'(t)

+
12 2+13
7

f(t)
3

12 2  13
.
7
Bài tập 3: (CĐ 2011) Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  3  m 

6  x  2 4  x 2x  2  m  4





4  x  2x  2 .

Bài giải: Điều kiện: x  1; 4 .
Đặt t  4  x  2x  2  t 2  2  x  2 4  x 2x  2.
Ta có: t / 

1
2 4 x



1
2x  2



2 4  x  2x  2
4  x . 2x  2

 0  2 4  x  2x  2



x  1; 4

 x  3.

4
4

x

2
x

2






Suy ra: max
t  t 3  3, min
t  t 1  3 hay x  1; 4  t   3; 3 .
1;4
1;4


 
 
Lúc đó phương trình trở thành: t 2  4t  4  m .
Xét hàm số f t   t 2  4t  4, t   3; 3 . Ta có: f / t   2t  4  0  t  2  2;2 2 .


BBT:



Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-9-



CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t

3

2

3
_

f'(t)

0

+
1

f(t)

7-4 3
0

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  0  m  1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

x2  7  m x2  x 1  x4  x2 1  m
Bài giải: Điều kiện: x   .

Phương trình  x 2 

x

2





 x 1 x2 x 1 m

Đặt t  x 2  x  1  x 2  x  1  t / 







x2 x 1 2 .



x2  x 1  x2 x 1  2  7  0

2x  1
2

2 x x 1



2x  1
2

2 x x 1

.

Ta có: t /  0  2x  1 x 2  x  1  2x  1 x 2  x  1



2x  12x  1  0


2
2

2x  1 x 2  x  1  2x  1 x 2  x  1






2x  12x  1  0






2 
2
2 
2
2x  12x  1  0 vô nghiệm.










 


1  
1
3 
1  
1
3


x 0

x   x      x   x    




 

 


2
2
4
2
2
4





















Suy ra t / x  không đổi dấu trên  , mà t / 0  1  0 suy ra t / x   0, x   vậy t x  đồng
biến trên  .
Ta có lim t x   1; lim t x   1 . Vậy t  1;1 .
x 

x 







Lúc đó: t 2  2x 2  2  2 x 2  x  1 x 2  x  1 nên phương trình trở thành:

t2  2
t 2  12
do t  2  0, t  1;1 .
 m t  2  7  0  2m 
2
t 2
t 2  12
t 2  4t  12

/
Xét hàm số f t  
0
, t  1;1. Ta có: f t  
2
t 2
t

2
 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-10-

t  2

t  6 .


CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
BBT:
t

-1

1
_

f'(t)
13

f(t)

13
3

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 

13
13
13
 2m  13    m   .
3
2
6
x  2  2 4 x 2  2x  m x  0 .

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Bài giải: Điều kiện: x  2 .
Phương trình 

x 2
x 2
 24

 m  0 (do x  2 )
x
x

x 2
x 2
x 2
2
, khi đó 0  t  4
)
 4 1   1, x  1 (hoặc khảo sát u x  
x
x
x
x
Phương trình trở thành: t 2  2t  m  0  m  t 2  2t, t  0;1 .

2
/
Xét hàm số f t   t  2t, t  0;1  f t   2t  2  0  t  1  0;1 .


BBT:
Đặt t 

4

t

0

1
_

f'(t)
f(t)

0
-1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  1  m  0  0  m  1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

m





x  2  24 x2  4  x  2  24 x2  4 .

Bài giải: Điều kiện: x  2 .
+ Ta thấy x  2 không phải là nghiệm của phương trình.
 x 2

x 2
 4
+ Xét x  2 , phương trình  m 
 2  4
 2 (do x  2 )

 x  2
x 2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-11-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

x 2
4
x 2
x 2
, khi đó
)
 1
 1, x  2  t  1 (hoặc khảo sát u x  
x 2
x 2
x 2
x 2
1

t 2  2t


Phương trình trở thành: m   2  t  2  m 
, t  1;  .
 t
2t  1


Đặt t 

4

t 2  2t
2t 2  2t  2
/
Xét hàm số f t  
, t  1;   f t  
 0, t  1;  .
2
2t  1
2
t

1


BBT: lim f t    .
t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  1  m  0  0  m  1 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 5x 2  6x  7  m x  1 x 2  2 .
Bài giải: Điều kiện: x   .





Để ý rằng 5x 2  6x  7  3 x  1  2 x 2  2 .
2

Phương trình  2





2

x 2  2  3 x  1  m x  1 x 2  2 (*)
2

Do x  1 không là nghiệm của phương trình (*), nên (*) tương đương:

2

x2  2
x 1
 3.
m
x 1
x2  2

Đặt t 

x 1
x2  2

, khi đó t / 

2x



2

x 2



3

 0  x  2.

BBT: lim t x   1; lim t x   1 .
x 

x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-12-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

6 

Vậy x    t  1;
.

2 



2
6 

.
 3t  m, t  1;

t
2 


Phương trình trở thành:


2

6 
3t 2  2

/
 f t  
0
Xét hàm số f t    3t, t  1;
2

t
2 
t



6

t  3

.

6
t  

3

BBT: lim f t   ; lim f t    .
t 0

t 0





Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  ; 2 6   2 6;  .
 
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:


1
x  x  1 m x 
 4 x x  1  1 .


x 1





Bài giải: Điều kiện: x  1 .

Phương trình 

m x 

 x 1 
Đặt t 

4



x  x 1





1
x  x  1 m x 
 4 x x  1


x 1





1
x 1

x  x 1



1

 4 x x  1  x  x  1

1
x 1

 4 x x  1  1  m  x 

x
x 1

4

x 1
 1m .
x

x 1
, khi đó t  0;1 .
x

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-13-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

1
1
Phương trình trở thành: 2  t  1  m  m   2  t  1, t  0;1 .
t
t
1
2
Xét hàm số f t    2  t  1, t  0;1  f / t   2  1  0, t  0;1 .
t
t
BBT: lim f t    .
t 0

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  1.
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x  2 

2

x 1

x2 1



2



18 x 2  1
2

x 2  x 1

m.

Bài giải: Điều kiện: x   .
2

 x 2
18



Phương trình  
 1 
 m (*)

x 2

 x 2  1
1
2
x 1
Đặt t 

x 2
x2 1

, khi đó t / 

1  2x



x2 1



3

0x 

1
.
2

BBT: lim t x   1; lim t x   1 .
x 

x 



Vậy x    t  1; 5  .

Phương trình trở thành: t  1 
2



18
 m, t  1; 5  .

t 1

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-14-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
2
18
18
Xét hàm số f t   t  1 
 0  t  2.
, t  1; 5   f / t   2 t  1 
2

t 1
t 1







BBT: lim f t   .
t 1

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  7 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: tan2 x  cot2 x  m tan x  cot x   3  0 .
Bài giải: Điều kiện: x  k


.
2

Đặt t  tan x  cot x  t  tan x 

1
1
 tan x 
2
tan x
tan x

suy ra: t 2  2  tan2 x  cot2 x .

t2  1
, t  2.
Phương trình trở thành: t  mt  1  0  m 
t

2

Xét hàm số f t  

t2  1
t2 1
, t  2  f / t   2  0,  t  2 .
t
t

BBT: lim f t   ; lim f t    .
t 

t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  

5
5
hoặc m  .
2
2

Bài tập 3: T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh 3 tan x  1 sin x  2 cos x   m sin x  3 cos x  (1) cã

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-15-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016

nghiệm duy nhất x 0; .
2


Bi gii: Xét x 0; , khi đó sin x 0, cos x 0, tan x 0 v sin x 3 cos x 0.
2
(sin x 2 cos x )
tan x 2
m 3 tan x 1
m (2)
(sin x 3 cos x )
tan x 3
t 2
Đặt t tan x t 0 x 0;
. Lúc đó, PT (2) trở thnh: 3 t 1
m (3)
2
t 3
3
t 2
t 2 3 t 1
Xét hm số f (t ) 3 t 1
.
0, t 0

t 0. Ta có: f / (t )


2
t 3
2 t 1 t 3 (t 3)
PT (1) 3 tan x 1







Lp bng bin thiờn: lim f t .
t



Ta có, ứng với mỗi t 0 tho mn PT (3), ta được đúng một nghiệm x 0;



có nghiệm duy nhất x 0;
suy ra ycbt l m 2.

2

. Do đó, PT (1)
2
khi v chỉ khi PT (3) có nghiệm duy nhất t 0. Dựa vo BBT,

Bi tp 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú ỳng hai nghim phõn bit:

x 6 2x 5 3x 4 mx 3 3x 2 2x 1 0 (1)
Bi gii:
+ Rừ rng x 0 khụng l nghim ca phng trỡnh (1).



1
1
1
+ Vi x 0 , phng trỡnh (1) x 3 3 2 x 2 2 3 x m 0 (2)

x
x
x


t t x

1
1
1
t x x 2 t 2.

x
x
x









Phng trỡnh (2) tr thnh: t t 2 3 2 t 2 2 3t m 0 t 3 2t 2 6t 4 m 0 (3)

Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-16-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

1
, ta có với mỗi t  2 cho ta 1 giá trị của x ; với mỗi t thoả mãn t  2
x
cho ta 2 giá trị x . Do đó, (1) có đúng hai nghiệm phân biệt  (3) chỉ có các nghiệm t1  2 và
Từ phép đặt t  x 

t2  2 , hoặc (3) có đúng 1 nghiệm t thoả mãn t  2 . Ta xét hai trường hợp:

8  m  0
TH 1: (3) có đúng hai nghiệm t1  2 và t2  2  
không tồn tại m .


m

0


TH 2: (3) có đúng một nghiệm t và thoả mãn t  2 .
Ta có (3)  m  t 3  2t 2  6t  4 .


t  2  22

3
Xét hàm số f t   t 3  2t 2  6t  4, t  2  f / t   3t 2  4t  6  0  
.



2
22
t 

3

BBT: lim f t   ; lim f t    .
t 

t 





m  f  2  22 
16  44 22



m




3
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  
.
27

  

m  0
m  f 2



Bài tập 3: (ĐH A - 2002) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 1; 3 3  :



log23 x  log23 x  1  2m  1  0 .
Bài giải: Điều kiện: x  0 .
Đặt t  log23 x  1  x  1; 3 3   0  log3 x  3  0  log23 x  3


2
 1  log3 x  1  4  t  1;2 .
Phương trình trở thành: t 2  t  2  2m  2m  t 2  t  2, t  1;2 .
Xét hàm số f t   t 2  t  2, t  1;2  f / t   2t  1  0, t  1;2 .
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-17-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  0  2m  4  0  m  2 .
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;1 :
 





41x  41x  m  1 22x  22x  2m .
Bài giải: Điều kiện: x   .









Phương trình đã cho  4 4x  4x  4 m  1 2x  2x  2m



Đặt t  2x  2x , x  0;1  t / x   2x  2x





min
t x   t 0  0

0;1

 


ln 2  0, x  0;1  
3

max
t
x

t
1







 
2

 0;1

 3
 x  0;1 : t  0; 
 2







Phương trình trở thành: 2 t 2  2  2 m  1t  m 

 3
m t2 t  2

, t  0;  .
 2
2
2t  1



 3
t2 t  2
, t  0;  .
 2
2t  1



t  1  11
2

2t  2t  5
2

 f / t  


0

2
 

t  1  11  0; 3 
2t  1
 2 

2

BBT:
Xét hàm số f t  

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-18-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tỡm ti liu Toỏn ? Chuyn nh - www.toanmath.com

Phng trỡnh - Bt phng trỡnh - H phng trỡnh cha tham s Luyn thi THPT Quc gia 2016
Da vo bng bin thiờn, yờu cu bi toỏn

2 11 m
2 2 11 m 4 .
2
2

Bi tp 3: Cho phương trình: log22 x log 1 x 2 3 m log2 x 3 (1)
2

Tìm cc gi trị của m để có phương trình nghiệm x 32; .
Bi gii: Từ điều kiện bi ra, ta thấy log2x 5, suy ra log2x 3 2 nên m 0.

PT (1) log22 x 2 log2 x 3 m log2 x 3
log22 x 2 log2 x 3 m 2 log2 x 3

2

Đặt t log2 x

t 5. PT (2) trở thnh:

Xét hm số f t

t 1
t 3

(2)

t 2 2t 3 m 2 t 3 m 2
2

t 5. Ta có: f t
/

4

t 3

2

t 1
(3)
t 3

0 t 5

Lp bng bin thiờn:

Lúc đó, phương trình (1) có nghiệm x 32; khi chỉ khi PT (3) có nghiệm t 5;
ycbt 1 m 2 3. Kết hợp m 0, suy ra: 1 m 3.
Bi tp 3: Tỡm m phng trỡnh sau cú nghim:

4m 3

x 3 3m 4 1 x m 1 0 (1)

Bi gii: iu kin: x 3;1 .







(1) m 4 x 3 3 1 x 1 3 x 3 4 1 x 1 m

Vỡ




2

x 3

1x



2

3 x 3 4 1x 1
4 x 3 3 1x 1




x 3 2 sin
4 nờn ta cú th t
, 0; .

2

1 x 2 cos

Khi ú ta cú phng trỡnh: m


6 sin 8 cos 1
(2). t t tan , khi ú t 0;1
2
8 sin 6 cos 1

2t
1 t2
7t 2 12t 9
v sin
, (2) tr thnh: m 2
, t 0;1 .
; cos
1 t2
1 t2
5t 16t 7
Giỏo viờn: Lấ B BO...0935.785.115...

-19-

CLB Giỏo viờn tr TP Hu

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
7t 2  12t  9
52t 2  8t  60
Xét hàm số f t   2
, t  0;1  f / t   
 0, t  0;1 .
2
2
5t  16t  7
5t  16t  7



Do đó, f t  nghịch biến trên



0;1 .
 

BBT:

t

0

1
_

f'(t)
9
7

f(t)

7
9
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán 

7
9
m  .
9
7

Nhận xét: Hoàn toàn ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số g x  

3 x  3  4 1x 1
4 x  3  3 1x 1

trên

3;1 để tìm điều kiện có nghiệm của phương trình.


Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:
m2

3

x2



 2m  1 3  5



3

x2



 3 5



3

x2

 0 (1)

Bài giải: Điều kiện: x   .

 3  5 



(1)  2m  2m  1
 2 
 3  5 


Đặt t  
 2 

3

3

x2

 3  5 


 
 2 

3

x2

 0.

x2

 t  1, x   .

1
t2 1
Khi đó phương trình trở thành: 2m  2m  1  t  0  2m 
, t  1.
t
t 2
3

 3  5 

Với t  1 : t  

 2 
t  1 thì ta có 2 giá trị x .

x2

 x   log33 5 t . Do đó với t  1 ta có duy nhất x  0 , với

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

2

-20-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
t2 1
t 2  4t  1
Xét hàm số f t  
, t  1  f / t  
 0, t  1 .
2
t 2
t  2
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  2m  0  m  0 .

1
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thoả mãn x  :
2

92x

2

x

 2 m  1 62x

2

x

 m  1 42x

2

x

 0.

Bài giải: Điều kiện: x   .
2x 2 x

9
Chia 2 vế của bất phương trình cho 42x x , ta được:  
 4 
2

2x 2 x

3
Đặt t   
 2 

. Ta có: x 

2x 2 x

 3
 2 m  1 
 2 

m 1  0

1
 2x 2  x  0  t  1 .
2

t 2  2t  1
, t  1;  .
Bất phương trình trở thành: t  2 m  1t  m  1  0  m 
2t  1
2

Xét hàm số f t  

t 2  2t  1
2t 2  2t  4
, t  1;   f / t  
 0  t  2  1;  .
2
2t  1
2t  1

BBT: lim f t    .
t 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  3 .
Bài tập 3: (Cao Đẳng - 2013) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x  2  m 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

x 1  m  4 .
-21-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Bài giải: Điều kiện: x  1 .
Đặt t  x  1  x  1  t  0

t3 t  4
Bất phương trình trở thành: t  1  m t  m  4  m 
, t  0. .
t 1



2







t  1 2t 2  5t  5
t3 t  4

/
Xét hàm số f t  
, t  0  f t  
 0  t  1  0;  .
2
t 1
t  1
BBT:

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  2 .
Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x  1;1

m 1  x  12 1  x 2  16x  3m 1  x  2m  15 .
Bài giải: Điều kiện: x  1;1 .


Bất phương trình  m





1  x  3 1  x  16x  12 1  x 2  2m  15 .








 2 9 1  x   6 1  x 1  x   1  x   m 3 1  x  1  x  2  5  0


Đặt t  3 1  x  1  x  t / x  

3
2 1x



1
2 1x

 0, x  1;1

suy ra min
t x   t 1   2; max
t x   t 1  3 2  x  1;1  t   2; 3 2 




x 1;1
x 1;1



2t 2  5
Bất phương trình trở thành: 2t  m t  2  5  0  m 
, t   2; 3 2  .



t 2
2

Xét hàm số f t  

2t 2  5
2t 2  8t  5
, t   2; 3 2   f / t  
 0, t   2; 3 2  .
2




t 2
t  2

BBT:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-22-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

 

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m   min  f t   f 3 2 
t  2;3 2 



Bài tập 3: T×m m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh: m



31
3 2 2

.



x 2  2x  2  1  x (2  x )  0 (1) cã

nghiÖm x  0;1  3  .







Bài giải: §Æt t  x 2  2x  2 x  0;1  3  . Ta cã t / 



x 1
2

x  2x  2

 0  x  1.

Ta cã b°ng biÕn thiªn:

Tõ ®ã: 1  t  2.
Víi 1  t  2, ta biÕn ®æi: t  x 2  2x  2  t 2  x 2  2x  2  x (2  x )  t 2  2.
t2  2
BPT (1) trë th¯nh: m(t  1)  t  2  m 
(2)
t 1
t2  2
t 2  2t  2
/
XÐt h¯m sè f (t ) 
1

t

2
.
Ta

cã:
f
(
t
)

 0, t  1;2 .


2
t 1
(t  1)


Suy ra h¯m sè f (t ) ®ång biÕn trªn 1;2 .
XÐt b°ng biÕn thiªn:
2

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-23-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016
Lóc ®ã, BPT (1) cã nghiÖm x  0;1  3  khi chØ khi BPT (2) cã nghiÖm t  1;2 .



 f (2)  2 .
§iÒu n¯y x±y ra khi m  max
t 1;2
3
Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu tìm m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng x  0;1  3 


1
thì yêu cầu bài toán  m  f 1   .
2


x  2y  xy  0
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
.


x

1

2
y

1

m





1
Bài giải: Điều kiện x  1; y  .
2

 x 2 y




(1)
x y
x 2 y  0


x  4y


Hệ  





4y  1  2y  1  m (2)
x  1  2y  1  m








 x  1  2y  1  m




(do





1
x  y  0, x  1; y  )
2

Từ (1) ta thấy với mỗi y 
(2) có nghiệm y 

1
sẽ cho ta một x  1 . Vì vậy hệ đã cho có nghiệm  phương trình
2

1
.
2

1

Xét hàm số f y   4y  1  2y  1, y   ;  .
2



2
1
3 1

 0  y    ;  .
Ta có: f / y  

4  2
4y  1
2y  1
BBT: lim f y    .
y 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

-24-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế


Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

Phương trình - Bất phương trình - Hệ phương trình chứa tham số Luyện thi THPT Quốc gia 2016

1
Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m 
.
2


2x  y  m  0 (1)
Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
.

y

xy

2
(2)



Bài giải: Điều kiện xy  0 .



y 2



Phương trình (2)  xy  2  y  
y 2  4y  4 (do y  0 không thoả mãn phương trình)


x



y


y 2  4y  4
4y  4
Thay vào phương trình (1) ta được:
y  m  0  m 
, y  2.
y
y
Xét hàm số f y  
Ta có: f / y  

4y  4
, y  ;2 .
y

4
 0, y  ;2 \ 0 .
y2

BBT: lim f y   4; lim f y   ; lim f y    .
y 

y 0

y 0

Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu bài toán  m  4 hoặc m  2 .
2



3
x

1
 y  m  0 (1)


Bài tập 1: Tìm m để hệ phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
.


x  xy  1
(2)



Bài giải: Điều kiện xy  0 .



x 1



Phương trình (2)  xy  1  x  
x 2  2x  1 (do x  0 không thoả mãn phương trình)

y



x


Thay vào phương trình (1) ta được: 3x 2  6x 

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...

x 2  2x  1
 m  3.
x

-25-

CLB Giáo viên trẻ TP Huế