DE BAI TAP PHUONG PHAP TINH

Tiểu luận

PHƯƠNG PHÁP TÍNH
-----------------

------------------

Chương 1.

Sai Số

Bài 1:

Hãy xác định giá trị của hàm số với sai số tuyệt đối và sai số tương đối tương ứng với
những giá trị của các đối số đã cho.
1) u = tg ( x 2 y + yz )
, x = 0,983, y = 1,032, z = 2,114.
2) u = zesin( xy )

, x = 0,133, y = 4,732, z = 3, 015.

3) u = x cos( yz )

, x = 1,132; y = 2,18; z = 0,145.

4) u = z ln( xy )

, x = 0,123; y = 1,734; z = 2,015.

5) u = x sin( yz )

, x = 1,113; y = 0,102; z = 2,131.

6) u = ze

, x = 0,162; y = 4,531; z = 1,91.

2

2

2

7) u = 2

ln( xy )

x +2 y2

8) u = (1 + zx )

, x = 0,085; y = 0, 055; z = 2,152.
, x = 0,192; y = 1,034; z = 5,174.

y

9) u = (1 + xyz ) x
10) u = (2 yz − x )

, x = 2, 918; y = 1, 032; z = 2,114.
sin( xy )

, x = 0,151; y = 1, 236; z = 2,015.

Bài 2: Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt đối, biết rằng đường kính đo được

d = 1,112m và sai số của phép đo là 1 mm.
Bài 3: Hãy xác định sai số tương đối giới hạn và sai số tuyệt đối giới hạn và chữ số đáng
tin của cạnh hình vng a. Biết rằng diện tích hình vng là S = 16, 45cm 2 , ∆ S = 0, 01.
Chương 2.

Giải phương trình Đại Số và phương trình Siêu Việt
Bài 1:

Dùng phương pháp chia đơi giải các phương trình sau, và tính số lần lặp với ε = 10−3
;

x0 ∈ [1, 2 ] .

x − cos x = 0 ;

x0 ∈ [ 0,1] .

1) x sin x = 1
2)

3) x = tgx

;

x0 ∈ [ 4, 4.5]

;

x0 ∈ [ 0,1] .

5) x − 3 x − 2 = 0 ;

x0 ∈ [ 3, 4 ] .

4) tg ( x + 1) = x
6) x = 4sin x
2

2

;

x0 ∈ [1, 3] .

7) x − 1.3 − cos 3x = 0 ; x0 ∈ [ 0,1]

8) x 2 − 4sin x − 5 = 0

;

9) ln x − 3x sin x + 2 = 0

;

10) ln x − 3 x sin x + 2 = 0

x0 ∈ [ 2;3] .

x0 ∈ [ 0.25;1] .
;

11) x ln( x − 1) − x sin 3x+1 = 0 ;
12) x ln( x + 1) − 3 x cos e x − 2 = 0;

x0 ∈ [ 0.1;0.7] .

x0 ∈ [1,1;2] .
x0 ∈ [1;2] .

-Trang 1-


13) x 3 − 7x 2 + 14x − 6 = 0 trong (0;1), (1; 3.2) và (3.2, 4) , ε = 10−2
14) x 4 − 2x 3 − 4x 2 + 4x + 4 = 0 trong ( −2; −1) , (0;2), (2,3) và ( −1;0) , ε = 10−2
15) 2 + cos(e x − 2) − e x = 0 trong (0,5;1,5), ε = 10−3
16) x − 2 − x = 0 trong (0;1), ε = 10−3
17) e x − x 2 + 3x − 2 = 0 trong (0;1), ε = 10−3
18) 2x cos(2x) − (x + 1)2 = 0 trong ( −3; −2) ) và ( −1;0) , ε = 10−3
19) x cos x − 2x 2 + 3x − 1 = 0 trong (0,2;0,3) và (1,2;1,3), ε = 10−3
20) x 3 + x − 4 = 0 trong (1;4), ε = 10−2
21) x − sin x = 1 trong (1;2), ε = 10−3
22) tg(x + 1) = x 2 trong (0;1), ε = 10−3

Baøi 2:

Dùng phương pháp lặp giải các phương trình sau với xn+1 − xn < 10−5 , ñánh giá sai số:
1) x 3 − x − 1 = 0

;

x0 ∈ [1;2]

2) x − 3 x − 3 = 0

;

x0 ∈ [1;2]

3) x − 2 x − 4 = 0

;

4

2

4

4)

3

x − tgx = 0
x
=x

2
=0

5) π +0,5sin

6) x − 2 − x

x0 ∈ [ 2;3]

;

x0 ∈ [ 0.2;1]

;

x0 ∈ [ 0;2π ]

; x 0 ∈ [0.3;1]

7) 3x 2 − e x = 0

; x 0 ∈ [0;1]

8) x − cos x = 0

; x 0 ∈ [0;1]

9) x+ ln x − 5 = 0

; x 0 ∈ [3;5]

x − x +1 = 0
3

10)

11) esin x − x 4 + 3 = 0
x
− e2 x −1 − x 2 + 10 = 0
2
13) x 2 − 3cos x − 4 = 0

12) tg

14)
15)

x − 2 cos x − 3 = 0

( x − 1)

3

x0 ∈ [1;2 ]

;

− 3ln x − 2 = 0

;

x0 ∈ [1;2 ]

;

x0 ∈ [ 3;4]

;

x0 ∈ [1;2] .

;

x0 ∈ [ 2;3] .
x0 ∈ [ 2;3] .

;

16) x ln( x 2 + 1) − 2 cos ( x 2 + 2 ) − 2.92 = 0 ; x0 ∈ [ 0.8;1.3] .

17) arcsin x + 4 x 2 − 3 = 0

;

18) arccos x − 3x + 1 = 0

;

2

x0 ∈ [ 0;1] .

x0 ∈ [ 0;1] .

19)

1 +arccos x + x − 2 = 0

;

x0 ∈ [ 0;1] .

20)

1 −arcsin

x
+ x4 − 4 = 0
3

;

x0 ∈ [1;2] .

2

Baøi 3:

Dùng phương pháp Newton (tiếp tuyến) giải các phương trình sau với xn+1 − xn < 10−5 ,
ñánh giá sai số.

1) x 3 − 2 x 2 − 5 = 0

; x0 ∈ [1 ;4] .

2) x 3 + 3 x 2 − 1 = 0
-Trang 2-

; x0 ∈ [ −3; −2] .



; x0 0; .
2
x
x
5) e + 2 + 2 cos x 6 = 0 ; x0 [1;2 ] .


; x0 0; .
2
2
6) 2 x cos(2 x ) ( x 2) = 0 ; x0 [ 2;3] ; [ 3;4] .

7) 2 x 2 s inx = 0

8) 3 x 2 e x = 0

3) x cos x = 0

x

9) x 2 xe + e
2

2 x

; x0 [1;2]

= 0 ; x0 [ 0;1]

1
=0
x2
x
13) 2 ln x + 1 = 0
2
x
15) 2 ln x + 1 = 0
2
11) ln x

x
ln( x 2 + 1)

10) sin x e

x

=0

; x0 [ 0;1] ; [ 3;5] .

; x0 [ 0;1] ; [ 3;4] ; [ 6;7] .

; x0 [1; 2 ]

12) ( x 2) 2 ln x = 0 ; x0 [1;2] ; [ e;4 ] .

; x0 [ 0.2;1]

x
14) cos( x + 2) + x ( + 2) = 0 ; x0 [ 2; 1]
2
1
16) ln x 2 = 0
; x0 [1;2 ] .
x

; x0 [ 0,1 ;1] .
; x0 [ 2;3] .

18)

3

x + 5sin(ln( x + 2)) 1,1 = 0 ; x0 [ 1;0] .

x 2 2 = 0 ; x0 [ 0;1] .

20)

3

cos x 3ln( x 2) 1,12 = 0 ; x0 [ 2,15;3] .

17) xln5x x 3 + 6 = 0
19)

4) x 0,8 0, 2sin x = 0

x

21). Tỡm nghim dng ln nht ca phng trỡnh : e 2 2x = 0
x

22). Tỡm nghim dng nh nht ca phng trỡnh : e 2 2x = 0
23). Tỡm nghim dng ln nht ca phng trỡnh : x 4 + 2x 3 7x 2 + 3 = 0
24). Tỡm nghim õm nh nht ca phng trỡnh : x 4 + 2x 3 7x 2 + 3 = 0
25). Tỡm nghim dng ca phng trỡnh : 1,8x 2 sin(10x) = 0
26). Tỡm nghim ca phng trỡnh : x 2 sin x = 0
27). Tỡm nghim ca phng trỡnh : x 2 cosx = 0
28). Tỡm nghim dng nh nht ca phng trỡnh : 2 x 4x = 0
29). Tỡm nghim ca phng trỡnh : 4x 5ln x = 5
30). Tỡm nghim ca phng trỡnh : x 2 10 ln x = 3

Chửụng 3.

Heọ phửụng trỡnh Tuyeỏn tớnh
Baứi 1:
Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp lp qua 3 bc

1, 02 x 0, 05 y 0,1z = 0, 795

1/ . 0,11x + 1, 03 y 0, 05 z = 0,849
0,11x 0,12 y + 1, 04 z = 1, 398


6,1x + 2, 2 y + 1, 2 z = 16,55
1,5

0
2 / . 2, 2 x + 5,5 y 1,5 z = 10,55; vụự
i X = 2, 0
2,5
1, 2 x 1,5 y + 7, 2 z = 16,80



Baứi 2:
Gii h phng trỡnh tuyn tớnh bng phng phỏp Seidel qua 3 bc:
x + 0,1 y + 0,1z = 1, 2
0

0
1/ . 0,1x + y + 0,1z = 1, 2 ; vụự
i X = 0
0
0,1x + 0,1 y + z = 1, 2

-Trang 3-


6,1x + 2, 2 y + 1, 2 z = 16,55
 1.5 

0
2 / . 2, 2 x + 5,5 y − 1,5z = 10,55 vôù
i X =  2, 0 
 2,5 
1, 2 x − 1,5 y + 7, 2 z = 16,80



Baøi 3:
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp lặp ñơn với sai số 10-5 .

 1, 02x − 0,05y − 0,1z = 0,795

1/.  −0,11x + 1, 03y − 0, 05z = 0,849
 −0,11x − 0,12y + 1,04z = 1,398


6,1x + 2, 2y + 1, 2z = 16,55

2/. 2, 2x + 5,5y − 1,5z = 10,55
1, 2x − 1,5y + 7, 2z = 16,80


 1, 02x − 0, 25y − 0,30z = 0,515


3/.  −0, 41x + 1,13y − 0,15z = 1,555
 −0, 25x − 0,14y + 1, 21z = 2, 780


4x − y + z = 8

4/. 2x + 5y + 2z = 3
 x + 2y + 4z = 11


4x + y + 2z = 9

5/. 2x + 4y − z = −5
 x + y − 3z = −9


3x − y + z = 1

6/. 3x + 6y + 2z = 0
3x + 3y + 7z = 4


=9
10x − y

7/.  − x + 10y − 2z = 7

− 2y + 10z = 6


= 24
4x + 3y

8/. 3x + 4y − z = 30

 − y + 4z = −24

 0, 42x − 5, 05y − 0,11z = 0, 215
2,1x + 2, 2y + 7,5z = 14, 65


10/. 5, 2x + 0,5y − 1,5z = 20,15
9/.  12,5x + 1,02y − 0,05z = 0,743
 −0,11x − 0,12y + 2,09z = 1,395
1, 6x − 4,5y + 1, 2z = −6,18


Baøi 4:
1/. Giải lại các hệ phương trình ở bài 1 bằng phương pháp Seidel với sai số 10-5 .
2/. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Seidel sai số 10-5 .
 1, 42x1 − 0,5x 2 − 0,1x 3 + 0, 2x 4 = 2,525
 0,5x + 5, 02x − 1,15x − 0,3x = 0, 741

1
2
3
4
a/ 
0,17x

+
2,12x
+
13,5x
+
0,
4x
1
2
3
4 = 5,190

 −0,18x1 − 0,12x 2 + 1, 05x 3 − 20,7x 4 = 1,824
 0, 42x1 − 5, 05x 2 − 0,11x 3 + 0,1x 4 = 0, 215
 12,5x + 1, 02x − 0,05x − 0,5x = 0, 743

1
2
3
4
b/ 
 −0,11x1 − 0,12x 2 + 2,09x 3 + 0, 4x 4 = 1, 395
 −0,11x1 − 0,12x 2 + 1,05x 3 − 5, 2x 4 = 2,092
 8x1 − x 2 + 2x 3 + x 4 + 2x 5 = 24
 2x + 12x − x − 2x + x = 72
2
3
4
5
 1

c/  − x1 + 5x 2 + 23x 3 + x 4 + 3x 5 = 46
 3x + 2x − 5x − 35x − x = 70
2
3
4
5
 1
 4x1 − x 2 + x 3 + 2x 4 − 72x 5 = 144

-Trang 4-


25x1 − x 2 + 3x 3 + 2x 4 + x 5 = 75
 x + 17x − x − 3x − 4x = 170
1
2
3
4
5

d/  −3x1 + 2x 2 + 35x 3 + x 4 − 5x 5 = 105
 4x − 5x − x + 55x + 7x = 330
2
3
4
5
 1
 − x1 − x 2 + x 3 + 2x 4 + 29x 5 = 580
Chöông 4.

Noäi Suy Lagrange - Newton
Baøi 1:
Cho các mốc nội suy sau :
x
1,5
f(x)
3,873

1,54
3,924

1,56
3,950

1,60
4

1,63
4,037

a/. Viết ña thức Lagrange với các mốc nội suy trên.
b/. Tính giá trị của ña thức tại : x = 1,52 ; x = 1,58 ; x = 1, 615.

Baøi 2:
Xây dựng ña thức nội suy Lagrange, tính gần ñúng giá trị và tính sai số
1/.
x
8,1
8,3
8,6

8,7
f(x)
16,94410 17,56492 18,50515 18,82091
f(0,84) = ?
2/.
x
-0,75
-0,5
-0,25
0
f(x)
-0,071812 -0,024750 0,334938 1,101000
f(-1/3) = ?
3/.
x
0,1
0,2
0,3
0,4
f(x)
0,62049 -0,28398
0,00660 0,24842
f(0,25) = ?
4/.
x
0,6
0,7
0,8
1,0
f(x)

- 0,176944 0,013752 0,223633 0,650892
f(0,9) = ?
Baøi 3:
Xây dựng ña thức nội suy Lagrange cho các hàm sau và tính sai số tuyệt ñối trong [x 0 ; x n ]
1/. f (x) = e2x cos3x , x 0 = 0
; x1 = 0, 3 ; x 2 = 0, 6 ; n = 2 .
2/. f (x) = sin(lnx) , x 0 = 2,0 ; x1 = 2, 4 ; x 2 = 2, 6 ; n = 2 .
3/. f (x) = ln x
, x 0 = 1 ; x1 = 1,1 ; x 2 = 1, 3 ; x 3 = 1, 4 ; n = 3 .
4. f (x) = cosx + s inx , x 0 = 0 ; x1 = 0, 25 ; x 2 = 0,5 ; x 3 = 1,0 ; n = 3 .

Baøi 4:
Cho các mốc nội suy sau :
x
f(x)

0
-1

3
3

4
2

5
1

7
4

1/. Viết ña thức Newton tiến, tính giá trị tại x = 2,5 ; x = 3,15.
2/. Viết ña thức Newton lùi, tính giá trị tại x = 5,5 ; x = 6,82.

Baøi 5:
Cho các mốc nội suy cách ñều :
-Trang 5-


x
f(x)

1
2

2
-1

3
1

4
0

5
3

1/. Viết ña thức Newton tiến bằng Pp các mốc nội suy cách ñều và tính f (1,5) = ?
2/. Viết ña thức Newton lùi bằng Pp các mốc nội suy cách ñều và tính f (4,5) = ?

Baøi 6:
Xây dựng ña thức nội suy Newton
1/.
x
8,1
8,3
8,5
8,7
f(x)
16,94410 17,56492 18,18572 18,82091
a/. tiến, tính gần ñúng f(0,82) ?
b/. lùi , tính gần ñúng f(0,865) ?
2/.
x
f(x)

-0,75
-0,071812

-0,5
-0,024750

-0,25
0,334938

0
1,101000

a/. tiến, tính gần ñúng f(-0,7) ?
b/. lùi, tính gần ñúng f(-0,1) ?

3/.
x
0,1
0,2
f(x)
0,62049 -0,28398
a/. tiến, tính gần ñúng f(0,15) ?
b/. lùi, tính gần ñúng f(0,38) ?

0,3
0,00660

0,4
0,24842

4/.
x
f(x)

0,6
-0,176944

0,7
0,8
1,0
0,013752 0,223633 0,650892

a/. tiến, tính gần ñúng f(0,62) ?
b/. lùi, tính gần ñúng f(0,96) ?
5/.

x
f(x)

0,0
1,00000

0,2
1,22140

0,4
1,49182

0,6
1,82212

0,8
2,22554

a/. tiến, tính gần ñúng f(0,05) ?
b/. lùi, tính gần ñúng f(0,75) ?
6/. Cho bảng nội suy
x
f(x)

0,0
-6,00000

0,1
-5,89483

0,3
0,6
1,0
-5,65014 -5,17788 -4,28172

a/. Xây dựng ña thức nội suy Newton tiến cấp 4.
b/. Thêm giá trị f(1,1) = - 3,99583, xây dựng ña thức nội suy Newton tiến cấp 5.
7/. Cho bảng dữ liệu sau, ñổi biến số rồi dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất
tìm các hàm số
1 / y = a + bx ; y = a + bx + cx 2 ; y = a + b cos x + csin x;

y = ae bx ; y = ax b (a > 0)
2/ y=

1
ax 2 + bx + c
1
, y=
, y = ax 2 + b, y =
, y=
2
ax + b
x
1 + a + bx

a/.
-Trang 6-

3

( b + ax )

2


x
y

1
6,62

1,5
3,94

2
2,17

2,4
1,35

3
0,89

x
y

0,2
0,1960

0,4

0,7830

0,6
1,7665

0,8
3,1405

1,0
4,9075

x
y

1,0
1,84

1,1
1,96

1,9
2,94

2,1
3,18

x
y

0

1,000

0,15
1,004

b/.

c/.
1,3
2,21

1,5
2,45

d.
0,31
1,031

0,5
1,117

0,6
1,223

0,75
1,442

Chöông 5.

Tích phaân Soá

Baøi 1:
Tính các tích phân sau bằng công thức hình thang với n = 10.
0,5
1,5
1
2
1. ∫ x 4dx
2. ∫
3. ∫ x 2 ln xdx
dx
x−4
0,5
0
1
1,6

∫

5.

1

2x
dx
2
x −4

0,35

∫

6.

0

π
2

1

∫ x + cos x dx
1

sin x 2dx
∫0 ln ( 2 + x )

xdx

0
1

2

x dx

16.

0

e x dx

∫0 sin (1 + x )

1.2

∫

19.

0

1

12. ∫ x 3 dx

∫ sin (1 + x )

15.

1

18.

1

1
dx
x

1

0

0

17.

10

11. ∫

∫ ln ( 2 + x )

14.

1 + xdx

0

1

1

∫

8.

0

1
π

dx

0,1

7. ∫ e3x sin 2xdx

x
∫ e dx

10.

0

13.

2
dx
2
x −4

2 −x

∫x e
0

π
4

1,5

9. ∫ sin 2 xdx

1

4.

x arcsin xdx
2x + 1

∫
0

tgxdx
e

1
1+ x

1

20.

e 2x
∫0 1 + cos 3x dx

Baøi 2: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 1/3 với n = 10.
Baøi 3: Giải lại bài 1 bằng cách sử dụng công thức Simpson 3/8 với n = 9.
Baøi 4: Sử dụng công thức cầu phương cấp 2 và cấp 3 tính các tích phân sau :
1,5

1.

∫x

1

2

ln xdx

2.

1

dx

3.

0

π
4

5. ∫ e3x sin 2xdx

2 −x

∫x e

0,35

1,6

6.

0

∫x
1

∫
0

2x
dx
−4

2

π
4

2
dx
x −4
2

7. ∫ cos2 xdx
0

π
4

4. ∫ x 2 sin xdx
0
π
4

8. ∫ cos3 2xdx
0

Baøi 5:
1

sin x
dx
x
0
a) Hỏi phải chia ñoạn [0,1] thành mấy (n = ?) ñoạn bằng nhau ñể khi tính I bằng công
thức hình thang ñảm bảo ñược sai số tuyệt ñối nhỏ hơn 3.10-4.
b) Với n ấy khi tính theo công thức Simpson 1/3 thì sai số là bao nhiêu?
c) Hãy tính I với n ñã chọn bằng công thức hình thang và công thức Simpson 1/3 ñến 6
chữ số thập phân.
1. Cho tích phân I = ∫

-Trang 7-


3,1

2. ðể tính gần ñúng I =

x3
∫ x − 1 dx bằng công thức simpson 1/3, cần chia ñoạn [2,1;3,1]
2,1

thành bao nhiêu ñoạn bằng nhau ñể ñạt ñược sai số nhỏ hơn 10-4.
1
x2 + 1
3. ðể tính gần ñúng I = ∫
dx bằng công thức simpson 1/3, cần chia ñoạn [0;1] thành
x+2
0
bao nhiêu ñoạn bằng nhau ñể ñạt ñược sai số nhỏ hơn 0,75.10-4.

Chöông 6.

Phöông trình vi phaân
Baøi 1:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Euler cải tiến. Cho ε = 10 −4
a ) y / = x 2 − y ; y (0) = 1 trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.
b) y / = − xy 2 ; y (0) = 2 trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25.
y
c ) y / = x 2 − ; y (0) = 1 trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.
2
/
d ) y = 2 − 3 xy 2 ; y (0) = 1.5 trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,125.

x2 − 2 y

; y (0) = 1 trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,125.
xy + 1
1
f ) y / = + x − 3x 2 y 3 ; y (0) = 2 trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,125.
2

e) y / =

Baøi 2:
Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp Runge-kutta .
a ) y / = x 2 − y ; y (0) = 1 trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.
b) y / = − xy 2 ; y (0) = 2 trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25.
y
c) y / = −
; y (0) = 1 trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.
1 + x2
d ) y / = 1 + 3xy 2 ; y (0) = 2 trên ñoạn [0;1], với bước h = 0,25.

e) y / =

x2 − y
; y (0) = 1 trên ñoạn [0;0,5], với bước h = 0,25.
1 + 2 xy
-------------------------------

-Trang 8-