Bài giảng hàm số

Bài

giảng

về

hàm

số

(1)
Nguyễn Song Minh
27/1/2007
Mở đầu
Cuộc sống đ

ợc chúng ta nhận thức qua sự vận động của các thành tố trong
nó, khi tồn tại và vận động để phát triển các đối t

ợng tác động lên nhau theo
những quy luật đ

ợc xác định để rồi có những ảnh h

ởng về giá trị của l

ợng và
chất t

ơng ứng... Toán Học với nghĩa vụ giúp con ng

ời chiêm bái và
nghiệm xét đời sống vì thế mà cần đến một khái niệm về các quy luật tác
động t

ơng ứng đ

ợc l

ợng hóa giữa các đối t

ợng trong đời sống. Nó ắt hẳn
là một khái niệm quan trọng số một trong Toán Học!
1 Khái

niệm

Hàm

Số:
1.1 định nghĩa1
M
ột

quy

tắc

tác

động

t

ơng

ứng

g
iữ
a

h
a
i

t
ậ
p

hợ
p

số

g
ọi

l
à

m
ột

hàm

số.
Giả

sử

có

hai

tập

số

X

;

Y
ký

hiệu:
f

:

X
R

khi

đó

một

hàm

số

giữa

chúng
ẵ
Y
và

đ

ợc

hiểu

rằng

với
Ă

m
!
ỗi

giá

trị

x
X

(biến

số)

xác

định

một

y
Y

t

ơng

ứng
theo,

ta

viết

y

=

f

(
x
)

có

nghĩa

là

quy
2
tắc

f

đã

tác

động

lên

x

để

cho
2
ta

giá

trị

t

ơng
ứng

y
.

Ngoài

tên

gọi

là

giá

trị

hàm

số

f

tại

điểm

x

(t

ơng

ứng)

ta

cũng

còn

gọi

y
là

ảnh

của

x

(
x

gọi

là

tạo

ảnh

của

y
)

qua

f

.
1.2 Vài nhận xét về cấu trúc một hàm số
Tập

X

trong

định

nghĩa

trên

gọi

là

tập

nguồn

với

ý

nó

chính

là

nơi

khởi

sinh


(gây

sự)

nên

sự

tác

động

của

quy

tắc

còn

Y

gọi

là

tập

đích

của

hàm

với

ý

nó
là

nơi

hứng

đỡ

những

giá

trị

sản

phẩm

(hậu

quả)

của

sự

tác

động

(bắn

phá)
của

f

lên

X

.

Với

một

tập

nguồn

X

cho

tr

ớc

có

rất

nhiều

quy

tắc

t

ơng
ứng có

thể

tác

động

lên,

tuy

nhiên

với

một

quy

tắc

f

xác

định

tr

ớc

thì

không
phải phần

tử

của

một

tập

bất

kỳ

cứ

thích

là

có

thể

khiêu

gợi

cho

f
thèm

tác
động

vào.
Vì

thế

ta

rất

cần

quan

tâm

tới

tập

các

giá

trị

biến

số

để

f

cho

tr

ớc

có

thể

xác
định

tác

động

vào,

th

ờng

ta

hay

ký

hiệu

là

D
f

và

đ

ợc

gọi

là

tập

xác

định
của

hàm

f

.

Nếu

đã

viết

f

:

X
Y

thì

dĩ

nhiên

ta

cần

hiểu

tập

nguồn

X

là
một

bộ

phận

(tập

con)

của

tập

x
Ă
á
!
c

định

cho

f

.
1
rsin
Sau

khi

đ

ợc

phép

thỏa

mái

(xác

định)

tác

động

lên

khắp

X

,

quy

tắc

f

sẽ

sinh


ra

t

ơng

ứng

theo

các

giá

trị

f

(
x
)

để

ta

phải

đi

gom

lại

thành

một

tập.

L

u

ý
rằng

tập

đó

là

một

tập

con

của

Y

,

và

ta

gọi

nó

là

tập

giá

trị

của

hàm

số

(nh

chắc

hẳn

tên

nó

phải

thế!).
Chú ý:


Nếu

có

một

x
X

mà

y
1

=

y
2
Y

thỏa

mãn

y
1

=

f

(
x
)

và

y
2

=

f

(
x
)

thì

f
gọi

là

hàm

đa
2
trị

(tại

đ
9
iểm

x),

tr
2
ong

ch

ơng

trình

phổ

thông

cũng

nh


phạm
vi

bài

viết

này

ta

không

xét

đến

những

hàm

bệnh

hoạn

nh


vậy.

Nói

khác

đi
chúng

ta

chỉ

xét

những

hàm

đơn

trị

tức

là:

hễ

f

(
x
)

=

y
1

và

f

(
x
)

=

y
2

thì

y
1

=

y
2

.
Quy

tắc

(f)

của

một

hàm

là

một

luật

tác

động

mà

nhờ

nó

ta

xác

định

đ

ợc


t

ơng

ứng

giữa

giá

trị

biến

và

hàm.

Thông

th

ờng

với

chúng

ta

các

hàm

số
(sơ

cấp)

có

quy

tắc

(tác

động

t

ơng

ứng)

đ

ợc

hình

thành

trên

các

phép

toán
(sơ

cấp)

cơ

bản

trên

các

tập

số.

Nói

khác

đi

quy

tắc

hàm

sơ

cấp

là

một

công
thức

tổ

hợp

của

các

phép

toán

d

ới

bảng

sau.
bảng

các

phép

toán

sơ

cấp:
Pt

xuôi Pt

ng

ợc
(ng

ợc) (xuôi)
(+) (-)
(.) (:)
(
:::
)
n
n

(
:::
)
cos(...) arcos(...)
sin(...) a

p

(...)
a
(
:::
)
l
o
g
a

(
:::
)
Tùy

theo

câú

trúc

hàm

hình

thành

bởi

những

phép

toán

nào

mà

ta

sẽ

có

tên gọi

mặc

định

cho

nó.
Sau

mỗi

tác

động

t

ơng

ứng

của

hàm

(lên

một

giá

trị

x
X D
f

)

chúng

ta


xác

định

đ

ợc

một

cặp

giá

trị

(
x
;

f

(
x
))

t

ơng

ứng

với

mộ
2
t

cặp
ẵ
tọa

độ

của

một
điểm

trong

hệ

tọa

độ

hai

chiều

O
x
y

.

Tập

hợp

các

điểm

này

lại

chúng

ta

có một

định

nghĩa

cho

một

đối

t

ợng

hình

học

cơ

bản

và

quan

trọng.
định nghĩa:
Tập

hợp

điểm

M

(
x
;

f

(
x
))
O
x
y

:

x
X
gọi

là

đồ

thị

của

hàm

số
f

:

X
Y

tro
f
ng

tài

liệu

này
2
tôi

sẽ

ký

hiệ
2

u

là

g
G
f

(
x
)
Ă
!
Nhận

xét:
Nhờ

khái

niệm

đồ

thị

ta

mô

tả

đ

ợc

sự

t

ơng

ứng

giữa

giá

trị

biến

và

giá

trị
hàm

bằng

trực

quan

hình

học.
2
1.3 Các phép toán trên hàm số
Bản

thân

mỗi

hàm

số

là

một

quy

tắc

tác

động

t

ơng

ứng

lên

các

đối

t

ợng

là
các số,

tuy

nhiên

mỗi

hàm

số

lại

là

một

đối

t

ợng

trên

tập

hợp

các

hàm

số,

trên
không gian

ấy

chúng

lại

có

các

quan

hệ

và

tác

động

lên

nhau

qua

các

phép

toán...
Có

các

phép

toán

cơ

bản

trên

các

hàm

số

nh


sau:
Các

phép

quan

hệ

Những

phép

toán

đ

ợc

kể

ra

sau

là

t

ơng

tác

giữa

các

hàm

có

cùng

cả

tập nguồn

và

tập

đích

và

sản

phẩm

sau

t

ơng

tác

ấy

cũng

là

một

hàm

có

chung
tập

đích

và

nguồn

tức

là

với

f
;

g

:

X
(1)

Phép

cộng:
Y

ta

có
Ă
!
f

+

g

=

h

:

X
Y

gọi

là

hàm

tổng

với

sự

xác

định

giá

trị

cụ

thể

là
h
(
x
)

=

f

(
x
)

+

g
(
x
Ă
)
!
x
X
8

2
(2)Phép

trừ:
f
g

=

h

:

X
Y

gọi

là

hàm

hiệu

với

sự

xác

định

giá

trị

cụ

thể

là
h
(
Ă
x
)

=

f

(
x
)
g
(
x
Ă
)
!
x
X
Ă
8

2
(3)Phép

nhân

một

hàm

số

với

hằng

số:
k
:
f

=

h

:

X
Y

ở

đây

k

:

const

với

sự

xác

định

giá

trị

cụ

thể

là
h
(
x
)

=

k

:
f

(
x
)
x
Ă
!
X
8

2
(4)Phép

nhân

hai

hàm

số

:
f
:
g

=

h

:

X
Y

gọi

là

hàm

tíchvới

sự

xác

định

giá

trị

cụ

thể

là

h
(
x
)

=

f

(
x
)
:
g
(
x
)
Ă
!
x
X
8

2
(5)Phép

chia:
f

=

g

=

h

:

X
f

(
x
)
Y

gọi

là

hàm

th

ơng

với

sự

xác

định

giá

trị

cụ

thể

là
Ă
!
h
(
x
)

=
;

x
g
(
x
)

8

X

cùng

với

điều

kiện

g
(
x
)

=

0
;

x
X
2
8

2
3
Buy Now to Create PDF without Trial Watermark!!
Phép

tác

động

có

thứ

tự

kết

hợp

Với

ba

tập

số

X
;

Y

và

Z

ta

luôn

có

thể

xác

định

các

hàm

từ

tập

này

đến

tập
kia

vấn

đề

đặt

ra

là

một

quy

tắc

hàm

trên

hai

tập

sẽ

xác

định

ra

sao

qua

các
quy

tắc

hàm

với

một

tập

trung

gian.
(6)Phép

hợp

hai

hàm
Cho

hai

hàm

f

:

X
Y
;

g

:

Y
Z

khi

đó

ứng

mỗi

x
X

có

y

=

f

(
x
)
Y

do

đó

xác

định

g
Ă
(
!
y
)

=

g

(
f

(
x
Ă
))
!
=

z
Z

.

Tức

là

ta

có
2

một

luật

tác

độn
2
g
trực

tiếp

h

:

X
Z

xác

định

bởi

h
(
x
)
2
=

g
(
f

(
x
))

có

tính

kết

hợp

có

thứ

tự
hai

quy

tắc

f

v
Ă
à

!
g

kia,

quy

tắc

h

ấy

gọi

là

quy

tắc

hợp

hai

quy

tắc

hai

hàm
f

:

X
Y

và

g

:

Y
Z
ký

hiệu
Ă
:
!
f
g

(với

ý

f
Ă
t
!
ác

động

tr

ớc

g

tác

động

sau)

quy

tắc

h

ấy

và

hai

tập
X

:

tập

ngu

ồn

và

Z

:

tập

đích

tạo

nên

một

hàm

số

gọi

là

hàm

hợp

của

hai

hàm
f

:

X
Y
;

g

:

Y
Z

.
Ă
!
Ă
!
Chú

ý:

Các

hàm

số

sơ

cấp

của

chúng

ta

nhờ

các

phép

toán

hàm

cơ

bản

kể

trên

hoàn
toàn

đ

ợc

xác

định

qua

các

quy

tắc

hàm

sơ

cấp

cơ

bản
1.4 Mô tả một hàm số
Mục

đích

của

phần

này

chỉ

là

nói

đến

cách

mô

tả

hình

thức

một

hàm

số,

hẳn

phải
thế

thôi

chứ

mà

đặt

ra

âm

m

u

tả

t

ờng

minh

một

hàm

bất

kỳ

là

không

t

ởng.

Con
ng

ời

ta

nh


nhau

cả

thôi

có

ai

biết

tận

hiểu

cùng

cái

gì

bao

giờ

mà

tả

rõ

hết
nó, mà

thế

nào

là

tả

rõ

hết

một

đối

t

ợng

Toán

Học

thì

tôi

cũng

chịu!

Tất
nhiên

ăn nói

AQ

chút

vậy

chứ

ta

cũng

có

những

cách

thức

ngiêm

túc

về

việc

cho
(mô

tả)

một hàm.

Có

những

kiểu

thông

th

ờng

cho

một

hàm

nh


sau

(nh


tôi
biết).
Mô

tả

kiểu

liệt

kê

giá

trị

t

ơng

ứng

Mô

tả

kiểu

t

ờng

thuật

quy

tắc

Mô

tả

theo

bảng

biến

thiên

Mô

tả

kiểu

hình

học

qua

đồ

thị

Mô

tả

qua

ph

ơng

trình

hàm

Mô

tả

kiểu

công

thức

t

ơng

ứng

giá

trị

Kiểu

này

là

phổ

biến

hơn

cả

khi

ng

ời

ta

muốn

cho

một

hàm

sơ

cấp,

với

kiểu
mô

tả

này

quy

tắc

t

ơng

ứng

giá

trị

sẽ

là

một

công

thức

gồm

tổ

hợp

các

phép
toán

cơ

bản

tác

động

vào

biến

số

và

các

phép

toán

với

hàm

số.
4
Created by eDocPrinter PDF Pro!!