ĐỊNH lý DẠNG RIEMANN ROCH CHO đồ THỊ và CÁCH TÍNH HẠNG TRÊN một số đồ THỊ đặc BIỆT

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN TOÁN HỌC
------

VŨ NAM PHONG

ĐỊNH LÝ DẠNG RIEMANN-ROCH CHO ĐỒ THỊ VÀ CÁCH TÍNH
HẠNG TRÊN MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN

VIỆN TOÁN HỌC

VŨ NAM PHONG

ĐỊNH LÝ DẠNG RIEMANN-ROCH CHO ĐỒ THỊ VÀ CÁCH TÍNH
HẠNG TRÊN MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT

Chuyên ngành : Toán ứng dụng

Mã số

: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phan Thị Hà Dương

Hà Nội - 2015


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

6

2 CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ

19

2.1

Cấu hình và các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . .

19

2.2

Các mô hình CF G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.3

Một số loại cấu hình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.4

Cấu hình trên đồ thị đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.5

Từ Dyck và sự liên hệ với cấu hình trên đồ thị đầy đủ . .

37

3 HẠNG CỦA CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ

45

3.1

Các khái niệm cơ bản và tính chất của hạng . . . . . . .

45

3.2

Định lý dạng Riemann-Roch cho đồ thị . . . . . . . . . .

50

3.3

Tính hạng của cấu hình trên đồ thị đầy đủ không dùng
từ Dyck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Thuật toán tính hạng của cấu hình trên đồ thị đầy đủ .

56

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.4

1


Lời nói đầu
Trong những năm gần đây, mô hình CF G (Chip-firing game) đã thu
hút sự chú ý của rất nhiều nhà nghiên cứu, nhiều công trình đã được
công bố. Trong đó, M. Baker và S. Norine đã đưa ra một khái niệm mới,
đó là hạng của cấu hình trên đồ thị ở [2] vào năm 2007. Bài toán tính
hạng của cấu hình trên đồ thị bất kì là khó, luận văn này sẽ trình bầy
một số tính chất chính về hạng của cấu hình trên đồ thị tổng quát và
đưa ra cách tính hạng của cấu hình trên đồ thị đầy đủ, một loại đồ thị
có tính đối xứng cao.
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1 trình bày một số định nghĩa và kết quả sẽ được sử dụng
trong Chương 2 và Chương 3. Đó là các khái niệm và tính chất cơ bản
của đồ thị.
Chương 2 trình bày các định nghĩa, các tính chất của cấu hình trên
đồ thị và các dạng của mô hình CF G. Các kết quả được trình bầy cho
đồ thị tổng quát và một dạng đồ thị đặc biệt, đồ thị đầy đủ.
Chương 3 trình bày định nghĩa, tính chất và cách tính của hạng của
cấu hình trên đồ thị, cả trong đồ thị tổng quát và trong một số dạng đồ
thị đặc biệt: đồ thị cây, đơn đồ thị 2-chính quy, đồ thị đầy đủ; trong đó,
2

Lời nói đầu

việc tính hạng cho đồ thị đầy đủ sẽ được trình bầy chi tiết.
Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Phan Thị
Hà Dương. Tác giả chân thành cảm ơn cô Phan Thị Hà Dương đã tận
tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình làm luận văn.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô, các anh chị và các
bạn trong nhóm nghiên cứu của cô Phan Thị Hà Dương, các thầy cô và
cán bộ công nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Viện.
Hà Nội, ngày 31 tháng 08 năm 2015

Vũ Nam Phong

3


Danh mục kí hiệu
CF G

mô hình Chip-firing game

Kn

đồ thị đầy đủ n đỉnh

∀i = 1, n ∀i ∈ {1, 2, ..., n}
ei,j

số cạnh có hai đầu là xi , xj

deg(v)

bậc của đỉnh v

di

bậc của đỉnh xi

d−
i

bậc đi vào của đỉnh xi

deg(f )

bậc của cấu hình f

∆

ma trận Laplace

∆′

ma trận Laplace thu gọn

0

cấu hình có tất cả các vị trí đều là 0

ε(i)

cấu hình có vị trí thứ i là 1, các vị trí còn lại là 0

δ

cấu hình thỏa mãn δi = di − 1 ∀i = 1, n

κ

cấu hình thỏa mãn κi = di − 2 ∀i = 1, n

∆(i)

cấu hình Laplace

f ∼ LG g

f, g là hai cấu hình tương đương

f ≁ LG g

f, g là hai cấu hình không tương đương

x

i
f −→
g

cấu hình f bắn chip tại đỉnh xi thì được cấu hình g

4


Danh mục kí hiệu
∗

f → g cấu hình f sau một loạt các phép bắn chip thì được cấu hình g
|w|x

số lần xuất hiện của chữ cái x trong từ w

|w|

độ dài của từ w

An

tập hợp các từ có đúng n − 1 chữ cái a và n chữ cái b

P

tập hợp các cấu hình hiệu quả trên đồ thị G

E

tập hợp các cấu hình hiệu quả-LG trên đồ thị G

ρ(f )

hạng của cấu hình f

5


Chương 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Phần này trình bày cơ bản một số kiến thức về đồ thị, các kiến thức
này được tham khảo từ [1], đó là kiến thức cơ sở được sử dụng trong các
phần tiếp theo của luận văn.
Định nghĩa 1.0.1. (Đồ thị vô hướng)
Một đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), với V là một
tập, còn E là tập với các phần tử là các đa tập lực lượng hai trên V. Các
phần tử của V được gọi là đỉnh, còn các phần tử của E được gọi là các
cạnh của đồ thị vô hướng G. Nếu e = {a, b} là một cạnh của G thì a,b
được gọi là các đỉnh liên thuộc với e. Cạnh có dạng {a, a} với a ∈ V
được gọi là khuyên.
Định nghĩa 1.0.2. (Đồ thị có hướng)
Một đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), với V là một
tập, còn E là một tập con của tích Đề các V × V . Các phần tử của V
được gọi là các đỉnh của đồ thị có hướng G, còn các phần tử của E được
6


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

gọi là các cung của đồ thị có hướng G. Cụ thể, nếu (a, b) ∈ E thì (a,b)
được gọi là cung của G với đỉnh đầu là a, đỉnh cuối là b và có hướng đi

từ a đến b.
Nếu (a, b) ∈ E thì các đỉnh a và b được gọi là liên thuộc với cung (a,b)
cũng được gọi là kề nhau. Cung có dạng (a,a) với a ∈ V được gọi là
khuyên. Đỉnh không liên thuộc với cung nào được gọi là đỉnh cô lập. Số
các đỉnh của G được gọi là cấp của đồ thị G, còn số cung của G được
gọi là cỡ của đồ thị G.

Hình 1.1: Đồ thị vô hướng G

Hình 1.2: Đồ thị có hướng G

Định nghĩa 1.0.3. (Đa đồ thị)
Một đa đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), trong đó V
7


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

là một tập còn E là một đa tập với các phần tử đều là các đa tập lực
lượng hai trên V. Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần
tử của E được gọi là các cạnh của đa đồ thị G.
Một đa đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự G = (V, E), trong đó V
là một tập, còn E là một đa tập với các phần tử đều thuộc tích Đề các
V × V . Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E
được gọi là các cung của đa đồ thị có hướng G.

Hình 1.3: Đa đồ thị vô hướng G

Hình 1.4: Đa đồ thị có hướng G

Định nghĩa 1.0.4. (Bậc của đỉnh của đồ thị)
Cho G = (V, E) là một (đa) đồ thị vô hướng. Với đỉnh v ∈ V , đặt
NG (v) = {{v, u} ∈ E : u ∈ V }. Lực lượng của NG (v) được gọi là bậc
8


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

của đỉnh v trong G, được ký hiệu bởi deg(v) = |NG (v)| với |A| là kí hiệu
số phần tử của tập A.
Cho G = (V, E) là một (đa) đồ thị có hướng. Với đỉnh v ∈ V , đặt
N + (v) = {(v, x) ∈ E : x ∈ V }, và N − (v) = {(y, v) ∈ E : y ∈ V }. Khi
đó lực lượng của N + (v) được gọi là bậc đi ra của v, và được ký hiệu là
deg + (v) = |N + (v)|. Còn lực lượng của N − (v) được gọi là bậc đi vào của
v, và được ký hiệu là deg − (v) = |N − (v)|.
Định lý sau đây cho một tính chất cơ bản về bậc của đồ thị.
Định lý 1.0.1. [1] Cho G = (V, E) là một (đa) đồ thị vô hướng. Khi đó
deg(v) = 2|E|
v∈V

Cho G = (V, E) là một (đa) đồ thị có hướng, khi đó:
deg− (v) = |E|

deg+ (v) =
v∈V

v∈V

Định nghĩa 1.0.5. (Hành trình, đường, chu trình)
Cho (đa) đồ thị có hướng G = (V, E).

Một hành trình có hướng trong G là một dãy v0 e1 v1 e2 v2 ...en vn sao cho
vi ∈ V ∀i = 1, n, còn ei ∈ E ∀i = 1, n và ei = (vi−1 , vi ). Khi đó, v0 được
gọi là đỉnh đầu, vn được gọi là đỉnh cuối và n được gọi là độ dài của
hành trình.
Một hành trình vô hướng trong G là một dãy v0 e1 v1 e2 v2 ...en vn sao cho
vi ∈ V ∀i = 1, n, còn ei ∈ E ∀i = 1, n và có một trong hai điều sau
9


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

ei = (vi−1 , vi ) hoặc ei = (vi , vi−1 ). Khi đó v0 được gọi là đỉnh đầu, vn
được gọi là đỉnh cuối và n được gọi là độ dài của hành trình
Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) được gọi là khép kín nếu
đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau
Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) mà trong đó các đỉnh
đều khác nhanh được gọi là một đường có hướng (tương ứng, vô hướng).
Một hành trình có hướng (tương ứng, vô hướng) khép kín mà khi xóa
đỉnh cuối thì nó trở thành một đường có hướng (tương ứng, vô hướng)
được gọi là chu trình có hướng (tương ứng, vô hướng).
Hành trình, đường và chu trình của đồ thị vô hướng được định nghĩa
tương tự.

Hình 1.5: (a) Đa đồ thị vô hướng G (trái) và (b) Đa đồ thị có hướng G (bên phải)

Ví dụ 1.0.1.
Trong đa đồ thị vô hướng G như Hình 1.5 (a)
(a) v1 e1 v2 e4 v3 e6 v4 e3 v2 là một hành trình của G.
(b) v1 e2 v2 e4 v3 e7 v4 là một đường của G.
(c) v1 e1 v2 e4 v3 e5 v1 là một chu trình của G.

10


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Trong đa đồ thị có hướng G như Hình 1.5 (b)
(a) v1 e10 v5 e8 v4 e6 v1 e5 v3 là một hành trình có hướng của G.
(b) v1 e5 v3 e4 v2 là một đường có hướng của G.
(c) v1 e1 v2 e3 v3 e7 v5 là một đường vô hướng của G.
(d) v1 e10 v5 e8 v4 e6 v1 là một chu trình có hướng của G.
Định nghĩa 1.0.6. (Đồ thị con)
Đồ thị vô hướng H = (V ′ , E ′ ) được gọi là đồ thị con của đồ thị vô hướng
G = (V, E) nếu V ′ ⊆ V và E ⊆ E ′
Đồ thị con H = (V ′ , E ′ ) của đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị con
bao trùm của G nếu V ′ =V.
Đồ thị con cảm sinh bởi tập đỉnh V ′ ⊆ V của G, được ký hiệu là G[V ′ ],
là một đồ thị con của G với tập đỉnh là V ′ và các cạnh là tất cả các cạnh
của G có hai đầu mút thuộc V ′ .
Đồ thị con, đồ thị con bao trùm và đồ thị con cảm sinh của đồ thị có
hướng được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa 1.0.7. (Tính liên thông)
Đồ thị (đa đồ thị) vô hướng G được gọi là liên thông nếu có đường đi
giữa hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị G.
Đồ thị (đa đồ thị) có hướng G được gọi là liên thông mạnh nếu có đường
đi có hướng giữa hai đỉnh bất kỳ trong đồ thị G.
Tập S ⊆ V được gọi là thành phần liên thông của đồ thị vô hướng
G = (V, E) nếu G[S] là liên thông và với mọi S ′
11

S thì G[S ′ ] không

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

liên thông.
Tập S ⊆ V được gọi là thành phần liên thông mạnh của đồ thị có hướng
G = (V, E) nếu G[S] là liên thông mạnh và với mọi S ′

S thì G[S ′ ]

không liên thông mạnh.

Hình 1.6: (a) Đồ thị vô hướng G có hai thành phần liên thông S1 = {v1 , v2 , v3 } và
S2 = {v4 , v5 , v6 , v7 , v8 } (trái) và (b) Đồ thị có hướng G có hai thành phần liên thông
yếu S1 = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 , v7 }, S2 = {v8 , v9 , v10 , v11 , v12 , v13 , v14 } và có bốn thành
phần liên thông mạnh V1 = {v1 , v2 , v3 }, V2 = {v4 , v5 , v6 , v7 }, V3 = {v8 , v9 , v10 , v11 },
V4 = {v12 , v13 , v14 } (bên phải)

Định nghĩa 1.0.8. (Cây)
Cây là đồ thị vô hướng liên thông, không có khuyên, không có chu trình.
Ta thấy rằng, trong một cây thì có số đỉnh nhiều hơn số cạnh là 1.
Hơn nữa, ta còn có các điều kiện tương đương với định nghĩa cây thường
được sử dụng để chứng minh tính chất cây như sau:
Định lý 1.0.2. Cho G = (V, E) là một đồ thị vô hướng, không khuyên.
Các mệnh đề sau là tương đương:
(1) G là một cây.
(2) G là liên thông và |E| = |V | − 1.
12

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

(3) G không có chu trình và |E| = |V | − 1.
(4) Giữa hai đỉnh của G tồn tại duy nhất một đường đi.
(5) Không có chu trình và nếu thêm bất kỳ một cạnh nối hai đỉnh không
kề nhau trong G thì đồ thị nhận được có đúng một chu trình.
(6) G liên thông và nếu xóa bỏ bất kỳ cạnh nào của G thì đồ thị nhận
được không còn liên thông nữa.
Định nghĩa 1.0.9. (Cây bao trùm)
Cây bao trùm của đồ thị liên thông G là một đồ thị con của G chứa tất
cả các đỉnh của G, liên thông và không có chu trình.
Ví dụ 1.0.2.

Hình 1.7: (a) Đa đồ thị vô hướng G (trên) và (b) Các cây bao trùm của G (dưới)

Định nghĩa 1.0.10. Cho G = (V, E) là một đa đồ thị vô hướng, không
có khuyên, với V = {v1 , v2 , . . . , vn } và E = {e1 , e2 , . . . , em }. Ta xác định
một hướng tùy ý O trên G, tức là với mỗi cạnh e nối hai đỉnh vi với vj
chúng ta chọn một hướng cho e. Nếu hướng từ vi đến vj thì ta nói vi là
13


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

đỉnh đầu còn vj là đỉnh cuối.
Ma trận liên thuộc M của G (tương ứng với hướng O đã chọn) là ma
trận cỡ n × m với các phần tử được xác định như sau:




1
nếu vi là đỉnh đầu của cạnh ej




Mij = −1 nếu vi là đỉnh cuối của cạnh ej





0
nếu vi không liên thuộc với cạnh ej
với 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Ma trận kề A của G là ma trận cấp n × n với các phần tử Aij = ei,j ,
trong đó ei,j là số cạnh nối hai đỉnh vi với vj , 1 ≤ i, j ≤ n.
Ma trận Laplace ∆ của đồ thị G là ma trận cỡ n × n mà các phần tử
của nó được xác định bởi

∆ij =



−ei,j

nếu i = j



deg(v )
i

,

nếu i = j

trong đó ei,j là số cạnh của G nối hai đỉnh vi và vj .
Cho s là một đỉnh của G. Ma trận Laplace thu gọn ∆′ ứng với đỉnh s
của đồ thị G là ma trận cấp (n − 1) × (n − 1) có được từ ma trận Laplace
∆ của G bằng cách xóa hàng và cột tương ứng với đỉnh s.
Nhận xét.
(1) Mỗi cột của ma trận liên thuộc M của G đều chứa một phần tử 1,
một phần tử -1 và n − 2 phần tử 0 nên tổng các phần tử của mỗi cột
bằng 0. Do đó, các véc tơ dòng của ma trận M có tổng bằng véc tơ
14


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

không, suy ra rank(M ) < n.
(2) Gọi M T là ma trận chuyển vị của ma trận M , khi đó M M T = ∆.
(3) Ma trận kề A và ma trận Laplace ∆ của G không phụ thuộc vào
hướng O. Ma trận A và ∆ là các ma trận đối xứng, ma trận ∆ có tổng
các véc tơ dòng bằng véc tơ không.
Ví dụ 1.0.3. Cho đa đồ thị vô hướng G như Hình 1.8.

Hình 1.8: Đa đồ thị vô hướng G

Ma trận kề A, ma trận Laplace ∆ và ma trận Laplace thu gọn ∆′ ứng

với đỉnh v4 của

0 3 1


3 0 1
A=

1 1 0

2 0 1

G là:


2





0
,∆ = 



1


0

6

−3 −1 −2






6 −3 −1



−3 4 −1 0  ′ 
 , ∆ =  −3 4 −1 
.




−1 −1 3 −1

−1 −1 3
−2 0 −1 3

Định nghĩa 1.0.11. Cho đa đồ thị có hướng G = (V, E), trong đó
V = {v1 , v2 , ..., vn } và E = {e1 , e2 , . . . , em }. Ma trận liên thuộc M của G

15

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

là ma trận cấp n × m có các phần tử được xác định như sau:




1
nếu vi là đỉnh đầu của cạnh ej



Mij = −1 nếu vi là đỉnh cuối của cạnh ej





0
nếu vi không liên thuộc với cạnh ej
với 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m.

Ma trận kề A của G là ma trận cấp n × n, với các phần tử Aij = ei,j ,
trong đó ei,j là số cạnh đi từ đỉnh vi đến đỉnh vj , 1 ≤ i, j ≤ n.
Ma trận Laplace ∆ của G là ma trận cỡ n × n với các phần tử của nó
được xác định bởi

∆ij =



−ei,j

nếu i = j


deg + (v ) − e
i

i,i

,

nếu i = j

Trong đó ei,j là số cạnh đi từ đỉnh vi đến đỉnh vj và deg + (vi ) là số bậc
đi ra của đỉnh vi . Cho s là một đỉnh của G. Ma trận Laplace thu gọn ∆′
ứng với đỉnh s của G là ma trận cỡ n × n có được từ ma trận Laplace ∆
bằng cách xóa dòng và cột tương ứng với đỉnh s.
Nhận xét. Các phần tử trong cùng một hàng của ma trận Laplace của
đồ thị G có tổng bằng 0. Nếu đỉnh vi là đỉnh không có bậc đi ra của đồ
thị G thì dòng thứ i của ma trận Laplace là không.
Ví dụ 1.0.4. Cho đa đồ thị G như Hình 1.9.
Ma trận liên thuộc M , ma trận kề A, ma trận Laplace ∆ và ma trận
16


Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Hình 1.9: Đa đồ thị G

Laplace thu

 1

 −1


M =
 0

 0


0







∆=






gọn ∆′ ứng với đỉnh v5 của đa đồ thị G trong Hình


0 0 1 −1 0 0 0 1 
0 1


0 0
1 1 0 0 0 0 0 0 





0 0
,
A
=
0 0 0 0 1 1 −1 −1 



1 0
0 0 0 1 0 −1 1 0 




−1 −1 −1 0 −1 0 0 0

0 0
3

−1 −1

0

2

0

0

−1

0

0

0



1.9 là:
1 0 1

0 0 2


0 1 1

,

1 0 0


0 0 0



−1 
3 −1 −1 0




0 0 −2 


 ′  0 2 0 0 
.

2 −1 −1 
,∆ = 


 0 0 2 −1 


−1 2 0 



−1 0 −1 2
0 0 0
0

Định nghĩa 1.0.12. (Đồ thị đầy đủ)

Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu Kn là đơn đồ thị mà hai đỉnh bất kì trong
đồ thị luôn có cạnh nối chúng.
Trong luận văn này chủ yếu xét Kn với n ≥ 3.

17




Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Nhận xét. Dễ thấy ma trận Laplace ∆ của Kn có:


n − 1 nếu i = j
.
∆ij =

−1
nếu i = j
Ví dụ 1.0.5. Hình sau là một đồ thị đầy đủ.

Hình 1.10: Đồ thị đầy đủ 5 đỉnh K5

Ma trận Laplace của K5 là:

 4

 −1


∆=
 −1

 −1


−1



−1 −1 −1 −1 

4 −1 −1 −1 


−1 4 −1 −1 
.

−1 −1 4 −1 


−1 −1 −1 4

18


Chương 2
CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ
Chương này trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của cấu
hình và các mô hình CF G. Ngoài ra còn có các mệnh đề, định lý quan
trọng về một số cấu hình đặc biệt được sử dụng trong chương tiếp theo.
Phần lớn các kiến thức trong chương này được lấy từ [8].

2.1

Cấu hình và các khái niệm liên quan

Ta chỉ xem xét G = (X, E) là một đa đồ thị vô hướng với n đỉnh,
X = {x1 , x2 , ..., xn } là tập các đỉnh và E = (ei,j )i,j=1,n là ma trận đối
xứng có ei,j là số cạnh có hai đầu là xi , xj (đồ thị vô hướng thì hiển
nhiên là ei,j = ej,i ). Trong luận văn này, n là kí hiệu số đỉnh, m là kí
hiệu số cạnh của đồ thị G; di =

n
j=1 ei,j

là bậc của đỉnh xi ; ta cũng chỉ

xem xét G là liên thông và không có khuyên, tức là ei,i = 0 ∀i.
Định nghĩa 2.1.1. Cấu hình f trên đồ thị G có n đỉnh là một vector
f = (f1 , f2 , ..., fn ) ∈ Zn , trong đó fi (có thể dương hoặc âm hoặc bằng
19

Chương 2. CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ

không) là số chip tại đỉnh xi .
Cấu hình f được gọi là hiệu quả nếu fi ≥ 0 ∀i = 1, n.
Cấu hình f được gọi là "sandpile" nếu fi ≥ 0 ∀i = 1, n − 1.
Nhận xét. f là hiệu quả ⇒ f là "sandpile".
Kí hiệu ε(i) sẽ dùng để biểu thị cấu hình có fi = 1 và fj = 0 ∀j = i.
Ví dụ 2.1.1. Cấu hình f = (7, 1, 8, 9) trên đồ thị G ở Hình 2.1, đây là
cấu hình hiệu quả và cũng là cấu hình "sandpile".

Hình 2.1: Cấu hình trên đồ thị

Định nghĩa 2.1.2. Bậc của cấu hình f , kí hiệu deg(f ) = f1 +f2 +...+fn .
Nhận xét. Hiển nhiên bậc của cấu hình là tổng số chip trên đồ thị và
deg(f + g) = deg(f ) + deg(g) với mọi cấu hình f, g trên đồ thị G.
Ví dụ 2.1.2. Cấu hình f ở Hình 2.1 có:
deg(f ) = f1 + f2 + f3 + f4 = 7 + 1 + 8 + 9 = 25.
Định nghĩa 2.1.3. (Luật bắn chip)
Cho f = (f1 , f2 , ..., fn ) là cấu hình trên G, khi đỉnh xi bắn chip thì ta
20


Chương 2. CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ

được một cấu hình mới là g = (g1 , g2 , ..., gn ) có:


 fi − di

nếu j = i
gj =
.

f + e
nếu j = i
j
i,j
x

i
Ta kí hiệu f −→
g nếu cấu hình f bắn chip tại đỉnh xi được cấu hình g.

Ví dụ 2.1.3. Cấu hình f ở Hình 2.1, bắn chip tại đỉnh x1 thì được cấu
x

1
hình g = (3, 2, 10, 10), kí hiệu: f −→
g; bắn chip tại đỉnh x2 thì được cấu

hình h = (8, −1, 9, 9).

Hình 2.2: Minh họa luật bắn chip

2.2

Các mô hình CF G

Mục này trình bầy định nghĩa về các mô hình CF G liên quan đến

luận văn. Các mô hình này khác nhau một chút ở tập các cấu hình mà
mô hình hoạt động và luật bắn chip có bị ràng buộc (chỉ được bắn tại
các đỉnh có số chip không nhỏ hơn bậc của đỉnh đó) hay không.
Định nghĩa 2.2.1. (Mô hình CFG bình thường)
Mô hình CFG bình thường là một hệ động lực rời rạc mà cấu hình là
21


Chương 2. CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ

các cấu hình hiệu quả được xác định từ Định nghĩa 2.1.1 và luật hoạt
động theo Định nghĩa 2.1.3 nhưng kèm điều kiện chỉ được bắn chip tại
các đỉnh thỏa mãn fi ≥ di , tức là số chip tại đỉnh xi lớn hơn bậc của
đỉnh xi (đỉnh xi như thế gọi là bắn được).
Định nghĩa 2.2.2. (Mô hình CFG mở rộng)
Mô hình CFG mở rộng là một hệ động lực rời rạc mà cấu hình được xác
định từ Định nghĩa 2.1.1, luật hoạt động như Định nghĩa 2.1.3 và không
có ràng buộc gì thêm.
Định nghĩa 2.2.3. (Mô hình CFG có đỉnh hút)
Ta xét mô hình CFG trên đồ thị G có một đỉnh q chỉ bắn khi tất cả các
đỉnh khác của G không bắn được. Đỉnh q được gọi là đỉnh hút, nó được
coi là một hố đen có thể hút toàn bộ số chip trên các đỉnh còn lại của G.
Chúng ta không quan tâm đến số chip tại đỉnh q.
Mô hình CFG có đỉnh hút (thường chọn đỉnh hút là đỉnh xn ) là một hệ
động lực rời rạc mà cấu hình là các cấu hình "sandpile" được xác định
từ Định nghĩa 2.1.1 và luật hoạt động như Định nghĩa 2.1.3 nhưng kèm
điều kiện chỉ được bắn chip tại các đỉnh thỏa mãn fi ≥ di , tức là số chip
tại đỉnh xi lớn hơn bậc của đỉnh xi .

2.3

Một số loại cấu hình đặc biệt

Mục này trình bầy định nghĩa, tính chất của một số loại cấu hình đặc
biệt. Những kiến thức này giúp ích rất nhiều cho việc tính hạng của đồ
22


Chương 2. CẤU HÌNH TRÊN ĐỒ THỊ

thị ở chương sau.
Định nghĩa 2.3.1. Cấu hình Laplace của đồ thị G có n đỉnh, kí hiệu
n
(j)
j=1 (ei,j ε )

∆(i) = di ε(i) −

= (−ei,1 , ..., −ei,i−1 , di , −ei,i+1 , ..., −ei,n ).

Nhận xét. Dễ thấy deg(∆(i) ) = 0 và Định nghĩa 2.1.3 về luật bắn chip
có thể viết lại là: khi bắn chip tại đỉnh xi thì ta được cấu hình mới
x

i
g = f − ∆(i) hay f −→
g = f − ∆(i) .

Ví dụ 2.3.1. Cấu hình Laplace của đồ thị G trong Hình 2.1 là:
∆(1) = (4, −1, −2, −1), ∆(2) = (−1, 2, −1, 0),

∆(3) = (−2, −1, 4, −1), ∆(4) = (−1, 0, −1, 2).
n

Kí hiệu LG =

(ai ∆(i) )|a1 , a2 , ..., an ∈ Z là nhóm con của Zn được

i=1

sinh bởi các ∆ .
(i)

Định nghĩa 2.3.2. Hai cấu hình f , g được gọi là tương đương nếu
f − g ∈ LG , kí hiệu f ∼LG g. Nếu f, g không tương đương với nhau, ta
kí hiệu f ≁LG g.
Nhận xét. Hiển nhiên f ∼LG g ⇒ deg(f ) = deg(g) và với hai cấu hình
f, g cho trước trên G, để biết f và g có tương đương hay không thì ta
chỉ cần giải hệ (các ẩn u1 , u2 , ..., un ∈ R):
n

(ui ∆(i) ) = f − g.
i=1

Nếu hệ này có nghiệm nguyên (u1 , u2 , ..., un ) ∈ Zn thì f ∼LG g, nếu
không thì f ≁LG g.
23