BÀI TOÁN ổn ĐỊNH LYAPUNOV hệ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Hoa

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH LYAPUNOV
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM
KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Hoa

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH LYAPUNOV
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát

Hà Nội – Năm 2015


Mục lục

Lời mở đầu

2

1 Cơ sở toán học

5

1.1

Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Định nghĩa nghiệm ổn định . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Phương pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . .

11

1.2.3

Một số định lý cơ bản về ổn định . . . . . . . .

15

Các bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3

2 Ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân

26

2.1

Ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính . . . . . .

26

2.2

Ổn định hệ phương trình vi phân phi tuyến . . . . . .

31

2.2.1

Ổn định hệ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.2

Ổn định hệ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Ổn định hệ phương trình vi phân có trễ . . . . . . . . .

40

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.3

i


Ký hiệu toán học

R+

Tập tất cả các số thực không âm.

Rn

Không gian thực n− chiều với tích vô hướng x y.

Rn×r

Không gian các ma trận thực cỡ (n × r).

A−1

Nghịch đảo của ma trận vuông A.

A

Ma trận chuyển vị của ma trận A.

L2 ([0, t], Rn )

Không gian các hàm xác định trên đoạn [0, t],
bình phương khả tích nhận giá trị trong Rn .

λ(A)

Tập các giá trị riêng của ma trận A.
λmax (A) = max{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}.
λmin (A) = min{Re(λ) : λ ∈ λ(A)}.

C([−h, 0], Rn )

Tập các hàm liên tục trên [−h, 0], nhận giá trị trong Rn .

C 1 ([a, b], Rn )

Tập các hàm khả vi trên [a, b], nhận giá trị trong Rn .

I+

Lớp các hàm dương khả tích trong R+ .

A ≥ 0, A > 0

Ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương.

E

Toán tử đơn vị.

BM + (0, ∞)

Tập các ma trận hàm đối xứng nửa xác định dương
bị chặn trên t ≥ 0.

σ(A)

Tập các giá trị phổ của A.

L(X, Y )

Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X tới Y.

1


Lời mở đầu

Nghiên cứu tính ổn định là nội dung chính của lý thuyết định tính các
hệ động lực, được bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX với những công trình
xuất sắc của nhà toán học Nga A.M.Lyapunov. Mỗi khi phân tích và
thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc mô hình kinh tế mô tả bằng các
phương trình toán học người ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ
thống đó. Cho đến nay, tính ổn định đã được nghiên cứu và phát triển
như một lý thuyết toán học độc lập và có rất nhiều ứng dụng trong
kinh tế, khoa học, kỹ thuật... Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên
cứu tính ổn định các hệ điều khiển.
Bài toán ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những
bài toán có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải các bài toán xuất
phát từ thực tế, đòi hỏi phải sử dụng nhiều lý thuyết và công cụ
toán học hiện đại. Có nhiều phương pháp nghiên cứu tính ổn định

của hệ phương trình vi phân, có thể kể ra đây một số phương pháp
chính như phương pháp thứ nhất Lyapunov ( hay còn gọi là phương
pháp số mũ đặc trưng) phương pháp Lyapunov thứ hai (hay còn gọi
là phương pháp hàm Lyapunov), phương pháp xấp xỉ, phương pháp
so sánh...Trong khuôn khổ của luận văn này tác giả xin đề cập đến
bài toán ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân trong đó sử dụng
2


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

công cụ chủ yếu là phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình
vi phân thường và hệ phương trình vi phân có trễ.
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 "Cơ sở toán học", giới thiệu về phương trình vi phân,
trong đó trình bày công thức nghiệm cơ bản của các dạng phương
trình vi phân tương ứng và điều kiện tồn tại nghiệm. Từ đó giới thiệu
bài toán ổn định, các định nghĩa liên quan tới ổn định nghiệm của hệ
phương trình vi phân. Trình bày phương pháp hàm Lyapunov để xét
tính ổn định của hệ phương trình vi phân và các định lý cơ bản chỉ ra
điều kiện ổn định của các hệ tương ứng, cũng như các bổ đề cần thiết
cho việc chứng minh tính ổn định ở chương sau.
Chương 2 "Ổn định Lyapunov hệ phương trình vi phân ", trong
chương này tác giả trình bày về bài toán ổn định cho các loại hệ
phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình vi phân phi tuyến
và hệ phương trình vi phân có trễ, đưa ra các ví dụ minh họa cho các
bài toán ổn định.
Tác giả luận văn chân thành cảm ơn thầy giáo GS. TSKH. Vũ Ngọc

Phát đã tận tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu, góp ý luận văn
và tập dượt nghiên cứu. Tác giả cũng xin được cảm ơn các thầy cô ở
Viện Toán học - Viện hàn lâm KHCN Việt Nam đã tận tình truyền
đạt những kiến thức quý báu trong quá trình học tập cũng như tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành được luận văn này. Tác giả
cũng xin cảm ơn các bạn trong lớp K21 viện toán, đặc biệt là bạn
Phạm Thị Hương đã góp ý cho tác giả trong quá trình soạn thảo bày
luận văn này.
3


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng do thời gian thực hiện
không nhiều và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý và những
ý kiến phản biện chân thành từ quý thầy cô và bạn đọc.

Hà Nội, ngày 27/08/2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hoa

4


Chương 1
Cơ sở toán học

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về phương
trình vi phân, các định nghĩa về nghiệm ổn định, phương pháp hàm
Lyapunov, các định lý và bổ đề liên quan việc chứng minh tính ổn
định của hệ phương trình vi phân. Nội dung chủ yếu được lấy từ tài
liệu [1], [2], [3].

1.1

Hệ phương trình vi phân

Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá hoàn chỉnh các quá trình
chuyển động, biến đổi trong tự nhiên và kỹ thuật. Để nghiên cứu
phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng nghiên
cứu định tính và giải số. Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm
năm, nhưng do còn nhiều bài toán cần giải quyết nên phương trình
vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán
học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.

5


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Xét phương trình vi phân dạng:


x(t)
˙

= f (t, x(t)),

t ≥ t0 ,

(1.1)

t0 ≥ 0,


x(t0 ) = x0 ,

trong đó f (t, x) : R+ × Rn −→ Rn , với t ≥ t0 , x(t) ∈ Rn .
Khi đó ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1. Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) là hàm số
x(t) khả vi liên tục thỏa mãn:
(i)

(t, x(t)) ∈ R+ × Rn .

(ii)

x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1).

Giả sử hàm f (t, x) liên tục thì nghiệm của phương trình vi phân (1.1)
cho bởi công thức tích phân sau:
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s)ds.
t0

Nếu vế phải của (1.1) không phụ thuộc t thì ta nói hệ (1.1) là hệ
ô-tô-nôm, ngược lại ta nói hệ không ô-tô-nôm.
Cho g : [0, +∞) −→ Rn là hàm liên tục, xét hệ phương trình vi phân
tuyến tính ô-tô-nôm:


x(t)
˙

= Ax(t) + g(t),

t ≥ 0,
(1.2)

t0 ≥ 0,


x(t0 ) = x0 ,

6


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

trong đó A là ma trận hằng số cấp n × n.

Khi đó hệ (1.2) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức Cauchy
t

x(t) = eA(t−t0 ) x0 +

eA(t−s) g(s)ds.
t0

Đối với hệ phương trình vi phân tuyến tính không ô-tô-nôm dạng:


x(t)
˙

= A(t)x(t) + g(t),

t ≥ 0,
(1.3)


x(t0 ) = x0 ,

t0 ≥ 0,

trong đó A(t) là ma trận các hàm số liên tục trên R+ , g : R+ −→ Rn
là hàm liên tục. Nghiệm của hệ (1.3) biểu diễn thông qua ma trận
nghiệm cơ bản Φ(t, s) của hệ tuyến tính thuần nhất
x(t)
˙
= A(t)x(t),

t ≥ 0,

được cho bởi công thức:
t

Φ(t, s)g(s)ds,

x(t) = Φ(t, t0 )x0 +
t0

trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất thỏa
mãn


 d Φ(t, s) = A(t)Φ(t, s),
dt

Φ(t, t)

= I.

7

t ≥ s ≥ 0,


Luận văn Thạc sĩ toán học

1.2

Nguyễn Thị Hoa

Bài toán ổn định

Trong các hệ động học chúng ta luôn kỳ vọng rằng hệ đó ổn định để
tiện cho việc nghiên cứu và ứng dụng nó. Tuy nhiên không phải lúc
nào hệ cũng ổn định mà phải đạt được trạng thái hay điều kiện nào
đó.Trong phần bài toán ổn định chúng tôi trình bày các khái niệm,
tiêu chuẩn để xét tính ổn định cho các hệ phương trình vi phân tương
ứng,được trích trong [2].
1.2.1

Định nghĩa nghiệm ổn định

Xét hệ phương trình vi phân (1.1) trong đó x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng
thái của hệ,
f : R+ × Rn −→ Rn
là hàm véc tơ cho trước. Giả sử f (t, x) thỏa mãn điều kiện bài toán
Cauchy (1.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 , t0 > 0 luôn có nghiệm
dạng tích phân cho bởi công thức
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Bằng phép đổi biến (x − y) := z, (t − t0 ) := τ hệ phương trình (1.1)
được đưa về dạng

z˙ = F (τ, z),

(1.4)

trong đó F (τ, 0) = 0. Nên khi nói về sự ổn định của nghiệm x(t)
nào đó của hệ (1.1) ta luôn đưa được về nghiên cứu tính ổn định của
8


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

nghiệm 0 của hệ (1.4). Vậy ta xét hệ (1.1) với giả thiết có nghiệm 0
tức là f (t, 0) = 0, t > 0. Ta nói hệ (1.1) ổn định thay vì nói nghiệm 0
của hệ ổn định.
Định nghĩa 1.2. ( xem [2], trang 108 ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định
nếu với bất kì

> 0, t0 ∈ R+ , tồn tại số δ > 0 (phụ thuộc vào , t0 )

sao cho bất kỳ nghiệm x(t) với điều kiện đầu x(t0 ) = x0 thỏa mãn
x0 < δ thì
x(t) < ,

∀t ≥ t0 .

Định nghĩa 1.3.( xem [2], trang 108 ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định
tiệm cận nếu hệ ổn định và có một số δ > 0 sao cho nếu

x0 < δ thì

lim x(t) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.4.(xem [2], trang 108 ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định
mũ nếu tồn tại các số M > 0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1)
với x(t0 ) = x0 thỏa mãn
x(t)

M.e−δ(t−t0 )

x0 ,

∀t

t0 .

Khi đó nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm
của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm mũ.
Ví dụ 1.2.1.(xem [2], trang 108 )
Xét hệ phương trình vi phân sau trong R
x˙ = ax,

9

t ≥ 0.

Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức
x(t) = x0 ea(t−t0 ) ,

t ≥ 0.

Nếu a < 0 hệ ổn định tiệm cận, mũ.
Nếu a = 0 hệ ổn định.
Nếu a > 0 hệ không ổn định.
Ví dụ 1.2.2.(xem [2], trang 109 ) Xét hệ phương trình vi phân
x(t)
˙
= a(t)x,

t ≥ 0,

trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều
kiện ban đầu x(t0 ) = x0 cho bởi
t

a(τ )dτ

x(t) = x0 et0

.

Hệ là ổn định nếu

t

a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞.
t0

Hệ là ổn định tiệm cận nếu
t

a(τ )dτ = −∞.

lim

t→∞
t0

Trong phần trên ta định nghĩa tính ổn định cho các hệ với thời gian
liên tục. Sau đây là định nghĩa tương tự cho hệ với thời gian rời rạc.

10


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Xét hệ rời rạc
k ∈ Z+ ,

x(k + 1) = f (k, x(k)),

(1.5)

trong đó f (.) : Z+ × X → X là hàm cho trước.
Định nghĩa 1.5.(xem [2], trang 109) Hệ rời rạc (1.5) gọi là ổn định
nếu với mọi > 0, k0 ∈ Z+ , tồn tại số δ > 0 ( phụ thuộc vào k0 , ) sao
cho mọi nghiệm x(k) của hệ với

x(0) < δ thì

x(k) < ,

∀k ≥ k0 .

Hệ ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số δ > 0 sao cho
lim

k→∞

với mọi nghiệm x(k) với
1.2.2

x(k) = 0,

x(0) < δ.

Phương pháp hàm Lyapunov

Trước tiên ta xét hệ phương trình phi tuyến ô-tô -nôm :
x(t)
˙

= f (x(t)),

t ≥ 0.

(1.6)

Định nghĩa 1.6.( xem [2], trang 130) Hàm V (x) : Rn → R+ , gọi là
hàm Lyapunov của hệ (1.6) nếu V (x) là hàm khả vi liên tục trên Rn
và thỏa mãn điều kiện:
(i)

V (x) là hàm xác định dương tức: V (x) ≥ 0, ∀x ∈ Rn ,
V (x) = 0 ⇔ x = 0.
11


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

∂V
f (x) ≤ 0, ∀x ∈ Rn .
∂x
Hàm V (x) gọi là hàm Lyapunov chặt nếu nó là hàm Lyapunov và điều
(ii)

Df V (x) :=

kiện (ii) được thay bằng điều kiện
(iii)

x(t) < 0, với mọi x(t) ∈ Rn \ {0}

∃c > 0 : Df V (x(t)) ≤ −c

của hệ (1.6).
Định lý 1.2.1.( xem [2],trang 130) Nếu hệ (1.6) có hàm Lyapunov
thì ổn định, hơn nữa nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ ổn định tiệm
cận.
Ví dụ 1.2.3. Xét tính ổn định của hệ sau bằng phương pháp hàm
Lyapunov.

 x. = x2 x − 2x ,
2
1
2 1
.
 x = −x2 x + 2x .
2
1
1 2
Chọn được hàm V (x) = x1 2 + x2 2 , ta thấy V (x) là hàm khả vi liên tục
trên R2 và thoả mãn điều kiện (i).
Xét điều kiện (ii)
Df V (x) :=

∂V
f (x) = 2x1 x˙1 + 2x2 x˙2
∂x

=2x1 (x2 2 x1 − 2x2 ) + 2x2 (−x1 2 x2 + 2x1 ) = 0,
vậy hệ tồn tại hàm Lyapunov nên ổn định.
Ví dụ 1.2.4. Xét tính ổn định của hệ sau bằng phương pháp hàm
Lyapunov.

 x. = x − 4x ,
1
2
1
.
 x = −x − 4x .
2
1
2
12


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

1
1
Chọn được hàm V (x) = x1 2 + x2 2 .
2
2
2
V (x) khả vi liên tục trên R và thỏa mãn điều kiên (i).
Xét điều kiện (ii)
Df V (x) :=

∂V
f (x) = x1 x˙1 + x2 x˙2
∂x

=x1 (x2 − 4x1 ) + x2 (−x1 − 4x2 )
= − 4(x1 2 + x2 2 ).
Tồn tại c = 2 : Df V (x) < −2

x < 0,

∀x ∈ R2 \ {0}.

Nên hệ ổn định tiệm cận.
Ví dụ 1.2.5. Xét tính ổn định của phương trình sau bằng phương
pháp hàm Lyapunov, với a > 0.
1
..
.
x +a x + x = 0.
2
Đặt x = x1 ,

x˙ = x2 , ta có hệ sau:

 x.1 = x2 ,
 x.2 = −ax2 − 1 x1 .
2

Chọn hàm V (x) = x1 2 + 2x2 2 .

V (x) khả vi trên R2 và thỏa mãn điều kiện (i).

13


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Xét điều kiện (ii)
∂V
f (x) = 2x1 x˙1 + 4x2 x˙2
∂x
1
= 2x1 x2 + 4x2 (−ax2 − x1 )
2

Df V (x) : =

= −4ax2 2 ≤ 0, ∀ x ∈ R2 .
Phương trình đã cho ổn định nếu a > 0.
Đối với hệ phương trình vi phân không ô-tô-nôm tổng quát dạng
t ≥ 0,

x˙ = f (t, x(t)),

(1.7)

thì hàm Lyapunov được định nghĩa cho hai biến V (t, x).
Trước hết xét lớp hàm

là tập các hàm liên tục tăng chặt

a(.) : R+ −→ R+ , a(0) = 0.
Định nghĩa 1.7.( xem [2], trang 134) Hàm V (t, x) : R+ × Rn −→ R
gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.7) nếu V (t, x) khả vi liên tục theo
(t, x) và thỏa mãn điều kiện sau:
(i)

V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa
∃a(.) ∈

: V (t, x) ≥ a( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

∂V
∂V
+
f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × Rn .
∂t
∂x
Trường hợp V (t, x) là hàm Lyapunov và thỏa mãn thêm điều kiện:
(ii)

Df V (x) :=

(iii) ∃b(.) ∈
(iv)

∃γ(.) ∈

: V (t, x) ≤ b( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

: Df V (t, x) ≤ −γ( x ),

thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.

14

t ∈ R+ ,

∀x ∈ Rn \ {0},


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Định lý 1.2.2.( xem [2], trang 135) Hệ phi tuyến không ô-tô-nôm
(1.7) có hàm Lyapunov thì ổn định. Nếu hàm Lyapunov là chặt thì hệ
ổn định tiệm cận.
1.2.3

Một số định lý cơ bản về ổn định

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một vài định lý đặc trưng cho việc chỉ
ra tính ổn định của hệ phương trình vi phân.

Xét hệ tuyến tính:
x(t)
˙
= Ax(t),

t ≥ 0,

(1.8)

trong đó A là ma trận hằng cấp n × n.
Định nghĩa 1.8. Ma trận A được gọi là ma trận ổn định nếu phần
thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm.
Ta đã biết một tiêu chuẩn cơ bản đầu tiên để hệ (1.8) là ổn định tiệm
cận khi và chỉ khi A là ma trận ổn định. Tuy nhiên, có một tiêu chuẩn
khác có thể dễ kiểm chứng hơn dựa trên giải phương trình ma trận
tuyến tính Lyapunov
AT X + XA = −Y.

(LE)

Định lý 1.2.3.( xem [2], trang 113) Hệ (1.8) là ổn định tiệm cận khi
và chỉ khi tồn tại ma trận Y đối xứng xác định dương, phương trình
(LE) có nghiệm là ma trận đối xứng xác định dương X.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh hệ (1.8) là ổn định tiệm cận với
giả thiết phương trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định
dương X với ma trận Y đối xứng, xác định dương.
15


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Thật vậy, giả sử (LE) có nghiệm là ma trận X > 0 với Y > 0, x(t)
là nghiệm tùy ý của phương trình (1.7) với x(t0 ) = x0 , t0 ∈ R+ .
Xét hàm số:
V (x(t)) = Xx(t), x(t) ,

∀t ≥ t0 ,

Đạo hàm hai vế ta có
d
V (x(t)) = X x(t),
˙
x(t) + Xx(t), x(t)
˙
dt
= (XA + AT X)x(t), x(t)
= − Y x(t), x(t) .
t

Do đó V (x(t)) − V (x(t0 )) = −

Y x(s), x(s) ds.
t0

Vì X là xác định dương nên V (x(t)) ≥ 0, ∀t ≥ t0 suy ra
t

Y x(s), x(s) ds ≤ V (x0 ) = Xx0 , x0 .

(∗)

t0

Mặt khác vì Y > 0 nên tồn tại số α > 0 sao cho
Y x, x ≥ α x

2

,

∀x ∈ Rn .

(∗∗)

Lấy tích phân hai vế của (**) cận từ t0 đến t ta có bất đẳng thức sau
t

t

Y x(s), x(s) ds ≥ α
t0

x(s)
t0

16

2

ds.

(3∗)


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Từ (*)(**)(3*) suy ra
t

x(s)

2

ds ≤

Xx0 , x0
,
α

t0

cho t → +∞ ta được
∞

x(s)

2

ds < +∞.

(1.9)

t0

Từ đó ta sẽ chứng minh rằng Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Giả sử có một số
λ0 ∈ λ(A) mà Reλ0 ≥ 0.
Lấy x0 ∈ Rn ứng với nghiệm λ0 , khi đó nghiệm của (1.8) cho bởi công
thức x1 (t) = eλ0 t x0 . Do đó
∞

∞

x1 (t)

2

dt =

t0

x0

2

e2Reλ0 t dt = +∞.

t0

Điều này mâu thuẫn với điều kiện (1.9). Vậy Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A) nên
A là ổn định, hay hệ (1.8) ổn định tiệm cận.
Ngược lại, với giả thiết hệ ổn định tiệm cận ta chứng minh phương
trình (LE) có nghiệm là ma trận X đối xứng, xác định dương.
Vì A ổn định nên Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A). Với Y bất kì đối xứng xác định
dương xét phương trình ma trận sau :


˙
Z(t)

= AT Z(t) + Z(t)A,

t ≥ 0,
(1.10)


Z(t0 ) = Y.
T

Ta tìm được một nghiệm riêng Z(t) = eA t Y eAt .
17


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

∞

Đặt X(t) =

Z(s)ds.
t

∞

Z(s)ds < ∞ là xác định và do Y là đối xứng

A là ổn định nên X =
t

nên X cũng đối xứng. Mặt khác, lấy tích phân phương trình (1.10) từ
t đến t0 ta có
Z(t) − Y = AT X(t) + X(t)A,

∀t ≥ t0 .

Cho t → +∞ thì Z(t) → 0 và vì A ổn định, nên ta được
−Y = AT X + XA,
hay X, Y là các ma trận đối xứng thỏa mãn (LE).
Tiếp theo ta chứng minh X xác định dương.
Thật vậy, do Y > 0 và eAt là không suy biến nên
∞

Y eA t x, eAt x dt > 0,

Xx, x =

∀x = 0.

t0

Vậy X xác định dương.
Ví dụ 1.2.6. Xét hệ
x(t)
˙
= Ax(t),

trong đó A = 

−1

2

t ≥ 0,



 . Chứng minh hệ ổn định tiệm cận bằng
1 −4
cách chỉ ra nghiệm của phương trình (LE).
Lời giải. Theo Định lý 1.2.3, ta chỉ ra cặp ma trận (X, Y ) đối xứng
xác định dương thỏa mãn phương trình (LE) thì hệ ổn định tiệm cận.
18


Luận văn Thạc sĩ toán học


Ta chọn Y = I = 

Nguyễn Thị Hoa

1 0
0 1


.


Đặt ma trận nghiệm X = 

a b



 là ma trận cần tìm. Thay vào
c d

phương trình (LE)
AT X + XA = −Y,
ta có:



−2a + b + c = −1







2a − 5b + d = 0



2b + 2c − 8d = −1





2a − 5c + d = 0.
Nghiệm của hệ là (a, b, c, d) = (0.95; 0.45; 0.45; 0.35), vậy ma trận

0.95 0.45
,
X=
0.45 0.35


là ma trận đối xứng xác định dương thỏa mãn phương trình (LE).
Nên hệ đã cho ổn định tiệm cận.
Xét hệ tuyến tính không ô-tô-nôm
x(t)
˙
= A(t)x(t),

t ≥ 0.

(1.11)

Với hệ (1.11) thì việc nghiên cứu tính ổn định gặp khó khăn hơn vì
nghiệm của bài toán Cauchy lúc đó không tìm được dưới dạng hiển
qua ma trận A mà phải tìm qua ma trận nghiệm cơ bản Φ(t, s).
19


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Hệ (1.11) có nghiệm x(t) = Φ(t, t0 )x0 . Nếu A là ma trận hằng số thì
ta có Φ(t, s) = eA(t−s) .
Định lý sau dây đưa ra tiêu chuẩn ổn định cho hệ (1.11).
Định lý 1.2.4.(xem [2], trang 117 ) Xét hệ (1.11) trong đó
A(t) = A + C(t). Giả sử A là ma trận ổn định và C(t) là khả tích trên
R+ và
C(t) ≤ a,

a > 0.

Khi đó hệ ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ.
Chứng minh. Ta biểu diễn lại phương trình (1.11) dưới dạng:
x(t)
˙
= Ax(t) + C(t)x(t),

t ≥ 0,

do đó nghiệm của hệ với x(t0 ) = x0 cho bởi
t

eA(t−s) C(s)x(s)ds.

x(t) = eA(t−t0 ) x0 +
t0

Vì A ổn định nên hệ x(t)
˙
= Ax(t) là ổn định mũ.
Theo định nghĩa ổn định mũ sẽ có µ > 0, δ > 0 sao cho:
eAt ≤ µe−δt ,

∀t ≥ 0.

Ta có đánh giá sau:
t

x(t) ≤ µe−δ(t−t0 )

x0

µe−δ(s−t0 ) a

+
t0

20

x(s)

ds.


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

Đặt
u(t) = eδ(t−t0 )

x(t) ,

C=µ

x0 ,

a(t) = µa,

áp dụng bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân được trích ở phần
sau trong trang 23, ta có
eδ(t−t0 )

x(t) ≤ µ

eµa(t−t0 ) ,

x0

∀t ≥ t0 .

Do đó
x(t) ≤ µ

e(µa−δ)(t−t0 ) ,

x0

∀t ≥ t0 .

δ
, thì hệ sẽ ổn định tiệm cận.
µ
Ví dụ 1.2.7. Xét hệ tuyến tính
Ta chọn a <

x(t)
˙
= A(t)x(t),


−1

1
5

2

cos (t)

t ≥ 0,



.
3 −4 − sin (t)
Dùng Định lý 1.2.4 để chứng minh hệ ổn định.
trong đó A(t) = 

1
5

2

Lời giải. Ta viết lại hệ dưới dạng:
x(t)
˙
= Ax(t) + C(t)x(t),

t ≥ 0,

trong đó


−1 0
,

A=
3 −4




1
2
0 5 cos (t) 
C=
1 2 .
0 − sin (t)
5

Ta thấy rằng A là ma trận ổn định vì
λ(A) = {−1; −4}
21


Luận văn Thạc sĩ toán học

Nguyễn Thị Hoa

1
, Tồn tại µ = 1, δ = , C(t) là ma trận khả tích và
4
C(t) ≤

1
δ

1
=a< = .
5
4 µ

Vậy theo Định lý 1.2.4 hệ ổn định.
Định lý 1.2.5.( xem [2],trang 119) Xét hệ (1.11) với A(t) liên tục
theo t. Giả sử tồn tại các số M > 0, δ > 0, K > 0 sao cho:
(i)

eA(s)t ≤ Ke−δt ,

(ii) supt∈R+

∀t, s ≥ 0.

A(t) ≤ M.

δ
.
2K
Chứng minh. Ta viết lại phương trình(1.11) dưới dạng:

Khi đó hệ ổn định tiệm cận nếu M <

x(t)
˙
= A(t0 )x(t) + [A(s) − A(t0 )]x(t),

t ≥ t0 .

Nghiệm x(t) với x(t0 ) = x0 cho bởi
t

x(t) = eA(t0 )(t−t0 ) x0 +

eA(t0 )(t−s) [A(s) − A(t0 )]x(s)ds.
t0

Ta có đánh giá sau
t

x(t) ≤ Ke−δ(t−t0 )

x0

2KM e−δ(t−s)

+

x(s)

ds.

t0

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall trích ở phía sau trang 23, đánh giá
tương tự như (Định lý 1.2.4.) ta có:
x(t) ≤ K

x0

e(2KM −δ)(t−t0 ) ,
22

t ≥ t0 .