Kĩ năng sử dụng máy tính Casio trong giải toán

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

K ộĂộG S D ộG CỌSIO
TROộG GI I TOỦộ
Bùi Th Vi t THPT Chuyên Thái Bình)
Trong các d ng c h c t p đ c phép mang vào phòng thi trong các k thi
đ i h c k thi THPT Qu c Gia thì máy tính c m tay là d ng c không th
thi u giúp chúng ta tính toán nhanh chóng
Tuy nhiên máy tính c m tay s là tr th đ c l c đ gi i toán đ c bi t là
gi i Ph ng Trình H Ph ng Trình ” t Ph ng Trình
hay k c là ” t
Đ ng Th c
Mình (tác giá - ”ùi Th Vi t là m t ng i r t đam mê v i nh ng k năng
th thu t s d ng máy tính c m tay trong gi i toán. Mình đã áp d ng nó
vào đ thi THPT Qu c Gia
Ch trong
5 phút, mình đã đ a ra l i
gi i chính xác cho câu Ph ng Trình Vô T và c)ng ch g n gi mình đã
hoàn thành xong bài làm v i đi m s tuy t đ i là trong
ng i
đ c đi m t i đa
V y s d ng sao cho hi u qu Hãy đ n v i chuyên đ K ộăng S D ng
CỌSIO Trong Gi i Toán.
Chuyên đ này ch a ph i là t t c nh ng Th Thu t mà mình đ a t i cho
b n đ c Tuy không nhi u nh ng các th thu t d i đây s mang t i s k
di u mà chi c máy tính C“SIO có th mang l i

Chuyên đ s gi i thi u th thu t C“SIO hay dùng trong vi c gi i toán
 Th thu t s d ng C“SIO đ rút g n bi u th c
 Th thu t s d ng C“SIO đ gi i ph ng trình b c 4
 Th thu t s d ng C“SIO đ tìm nghi m ph ng trình

 Th thu t s d ng C“SIO đ phân tích đa th c thành nhân t m t n
 Th thu t s d ng C“SIO đ phân tích đa th c thành nhân t hai n
 Th thu t s d ng C“SIO đ gi i h ph ng trình
 Th thu t s d ng C“SIO đ tích nguyên hàm, tích phân
 Th thu t s d ng CASIO đ gi i b t đ ng th c


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

TH

THU T 1 : TH THU T S D NG CASIO
Đ RÚT G N BI U TH C

Bài 1: Gi i Ph

ng trình:

2x  1  x2  3x  1  0
đ thi Đ i H c kh i D năm

1

Đi u ki n xác đ nh: x   ;   .
2

Thông th ng v i d ng toán này, ta s bình ph
ph ng trình b c 4.
 H ng ”ình ph ng hai v

ng ho c đ t n đ đ a v

2x  1  x 2  3x  1  0
 2x  1  ( x 2  3x  1)2  0



H

ng

 x 4  6x3  11x 2  8x  2  0
t2  1
Đ t n ph Đ t t  2x  1  0  x 
ta đ
2
2x  1  x 2  3x  1  0

c

2

 t2  1 
 t2  1 
 t

3


 1  0

2
2




1
t4
  t2  t   0
4
4
Làm th nào đ rút g n bi u th c m t cách nhanh chóng :
2x  1  (x2  3x  1)2  x4  6x3  11x2  8x  2
2

 t2  1 
 t2  1 
1
t4 2
3
1
t



t t



4

4
 2 
 2 
N u b n ch a bi t Th Thu t S D ng Casio Đ Rút G n ọi u Th c,
ch c h n b n s ph i k công ng i nháp Và đôi khi b n c)ng s g p nh ng
sai sót.
Tuy nhiên n u b n s d ng C“SIO m i chuy n s đ n gi n h n b n nghĩ
Ý t ng :
Ta s xét bi u th c khi x  1000 D a vào ch s hàng đ n v hàng nghìn
hàng tri u hàng t
ta s tìm đ c h s t ng ng v i h s t do h s
x h s x2 h s x3 , ...


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ví d xét f(x)  ax3  bx2  cx  d thì f (1000)  a 00b00c00d  109 a
Suy ra a 

f 1000 

.
109
Làm th nào đ tính giá tr bi u th c khi x  1000 .
Cách nhanh nh t là s d ng phím C“LC đ gán giá tr
Ví d khi ta nh p m t bi u th c n X , ta n CALC và cho X  1000 và n
thì máy tính s hi n th k t qu c a bi u th c khi X  1000
Đ hi u rõ h n vui lòng xem cách làm d i đây
Th c hi n :
a) Ta mu n rút g n bi u th c f(x)  2x  1  (x2  3x  1)2 ta l n l t

tính nh sau
Ta có :

f 1000   9 , 94010992 1011  1012  x 4
f 1000   x 4  5989007998  6 109  6x3
f 1000   x 4  6x3  10992002  11 106  11x 2
f 1000   x 4  6x3  11x 2  7998  8 103  8x
f 1000   x 4  6x3  11x 2  8x  2
 f  x   x 4  6x3  11x 2  8x  2
V y đáp s





2

2x  1  x 2  3x  1  x 4  6x3  11x 2  8x  2 .
2

 x2  1 
 x2  1 
b) Ta mu n rút g n bi u th c f  x   x  
  3
  1 ta s
2
2





nhân bi u th c trên v i 4 đ h s c a f ( x) đ u là s nguyên

Ta có :

4f 1000   9, 99996004 1011  1012  x 4
4f 1000   x 4  3996001  4  106  4x 2
4f 1000   x 4  4x 2  3999  4  103  4x
4f 1000   x 4  4x 2  4x  1
 4f  x   x 4  4x 2  4x  1
 f  x 

1
x4
 x2  x 
4
4
2

V y đáp s

 x2  1 
 x2  1 
x4
1
x
 x2  x  .
  3
 1 
4

4
 2 
 2 


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Phân tích h ng gi i
Làm th nào đ gi i quy t n t bài toán trên ?
Hãy t t đ c h t chuyên đ này r i xem l i bài toán trên, ch c ch n b n
đ c s có cái nhìn hoàn toàn khác v nh ng bài t p d ng này.
Hãy th xem qua các l i gi i sau
Cách Nhân liên h p hoàn toàn:
Ta có :
2x  1  x 2  3x  1  0
  x  1 x  2  





2x  1  1  0

2


  x  1  x  2 
0
2
1

1
x





2x  1  1 
  x  1  x  1 
  0
2
1
1
x






2
2

  x  1 1 
0
2 


2x  1  1



Cách 2 : Nhân liên h p không hoàn toàn
Ta có :



2x  1  x 2  3x  1  0
  x  1 x  2  








 
 













2x  1  1  0







1
2x  1  1 2x  1  1  x  2   2x  1  1  0
2
1

2x  1  1
2x  1  1  x  2   2  0
2
1

2x  1  1
2x  1  1  x  1  2x  1  1  0
2
1
2



2x  1  1  x  1  2x  1  1 
0
2

2x  1  1 

1

2x  1  1  x  1 2x  1  1  2
2x  1  1  2  0
2
Cách Phân tích thành nhân t không hoàn toàn













2x  1  x 2  3x  1  0


Cách





2x  1  x  1





2x  1  x  0

Phân tích thành nhân t hoàn toàn


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2x  1  x 2  3x  1  0
2
1

2x  1  x  1 2x  1  1  0
2
Cách 5 Bình ph ng hai v
2x  1  x 2  3x  1  0











 2x  1  x 2  3x  1





2

  x 2  4 x  2  x  1  0
2

Cách 6 Đ t n ph hoàn toàn

t2 1
Đ t t  2x 1  x 
V y ta có
2
2

 t2  1 
 t2  1 
2x  1  x  3x  1  0  t  
3



 1  0
2

2




1
2
 t 2  2 t  1  t  1  0
4
Cách 7 Đ t n ph không toàn toàn
2





Đ t t  2 x  1 V y ta có

2x  1  x 2  3x  1  0
 x2  t 2  x  t
  t  x  t  x  1  0
Cách 8 Đ t n ph đ a v h ph
Đ t y  2 x  1 . Ta có h ph

ng trình

ng trình
 x 2  3x  1  y  0
 2
 y  2 x  1  0

L y PT (1)  PT (2) ta đ

x

c
2

 



 3x  1  y  y2  2x  1  0

  x  y  1 x  y   0

cách làm trên tuy có khác nhau v cách trình bày nh ng v b n ch t thì
gi ng nhau Đó là cùng xu t phát t m t th g i là nhân t
Khi có nhân
t chúng ta bi t đ c bi u th c nào c n nhóm đ đ t n ph nhân liên
h p phân tích nhân t Đ hi u rõ h n b n đ c hãy đ c các th thu t ti p
theo r i quay l i xem bài toán này và th làm nh ng bài t p t ng t
M t s bài t p t ng t :
1. x2  2x  2  x x  1  0


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2.

2 x2  15 x  2   6 x  11 2 x  1

3.

x2  24 x  35  4 2 x  7  x  2

4.

4 x2  13 x  14  4 x  2  3 x  2

Bài 2: Gi i ph

ng trình

 x  4 2  6

x3  3x  13

đ thi th Đ i H c l n kh i B THPT Ngô Gia T

B c Ninh năm

Đi u ki n xác đ nh x  0,   .
Ý t ng
T ng t bài ta c)ng s s d ng máy tính C“SIO đ rút g n ph
trình b c sau
2



2
f  x    x  4   13  36 x3  3x



Th c hi n
Ta làm các b
Ta có :

ng



c nh bài

f 1000   9, 8006994  1011  1012  x 4
f 1000   x 4  1, 993005999  1010  20  109  20x3
f 1000   x 4  20x3  69940009  70  106  70x 2
f 1000   x 4  20x3  70x 2  59991  60  103  60x
f 1000   x 4  20x3  70x 2  60x  9
 f 1000   x 4  20x3  70x 2  60x  9
2





2
K t lu n  x  4   13  36 x3  3x  x 4  20x3  70x 2  60x  9



Phân tích h ng gi i :
V y bài toán đã cho ch đ n gi n là vi c gi i ph ng trình b c
x4  20x3  70x2  60x  9  0
Cách gi i ph ng trình b c b ng máy tính c m tay các th thu t ti p
theo.
Ngoài ra có vô vàn cách gi i khác t ng t nh bài Tuy nhiên chúng ta
nên đ
cách gi i ph ng trình này b ng vi c phân tích nhân t vì đó là
t ng ra đ c a r t nhi u bài toán khó
Cách 1 : Bình ph ng hai v :
Ta có :


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 x  4 2  6

x3  3x  13



2



2
  x  4   13  36 x3  3x  0



4
3
 x  20x  70x 2  60x  9  0





  x  1 x  3 x 2  16x  3  0

Cách
Ta có :

Phân tích thành nhân t

 x  4

M t s bài t p t



2



x2  3  4 x



x2  3  2 x



ng t :

1.

x2  15 x  1  8 x3  x

2.

x2  2 x  3  x3  3 x

3.

7 x2
 13 x  8  8 2 x  1 x  1  0
8

4.

4 x2  6 x  1  4 x2  1 x2  2 x

Bài 3: Gi i ph



 6 x x2  3  13

ng trình

x5  6 x 4  7 x3  29 x 2  16 x  2  0

Đi u ki n xác đ nh x  .
Ý t ng :
Thông th ng nh ng bài t p gi i ph ng trình ki u này th ng có m t
h ng gi i nhanh g n Đó là Phân Tích Thành Nhân T
Mu n phân tích đ c thì ta ph i bi t đ c nhân t c a bài toán.
Làm th nào đ tìm ra nhân t c a bài toán ?
B ng th thu t CASIO, ta d dàng tìm ra nhân t c a bài toán này là

x

2

 6x  2



Nh ng đ tìm đ

c thì b n đ c hãy đ i t i các th thu t sau

Tóm l i là ta mu n tìm nhân t còn l i c a bài toán hay chính là th
c a phép chia
x5  6 x 4  7 x3  29 x 2  16x  2
f  x 
x 2  6x  2
Th c hi n:

ng

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x5  6 x 4  7 x3  29 x 2  16 x  2
Ta coi bi u th c
ch là m t đa th c n x và
x 2  6x  2
làm t ng t bài

f 1000   999995001  109  x3

f 1000   x3  4999  5 103  5x
f 1000   x3  5x  1

V y ta đ

c

x5  6 x 4  7 x3  29 x 2  16 x  2
 x3  5x  1
2
x  6x  2
Phân tích h ng gi i
Sau khi chia đa th c ta đ

c





x5  6 x 4  7 x3  29 x 2  16 x  2  x3  5x  1 x 2  6 x  2



Đ gi i ph ng trình b c
x3  5x  1  0 thì hãy đón xem th thu t gi i
ph ng trình b c
d i
V y ta có l i gi i nh sau
L i gi i
Ta có :
x5  6 x 4  7 x3  29 x 2  16 x  2  0







 x3  5x  1 x 2  6 x  2  0

Xét đa th c :

g  x   x3  5x  1

Vì g ( x) b c 3 nên g ( x)  0 có t i đa nghi m. Ch ra 3 nghi m này là :






1
 3 15  
2
15cos  arccos  
 
3
3
0
5



1
 3 15  2
2
15cos  arccos  
x2 
 
3
3
0
5

 3

1
 3 15  2

2
x3 
15cos  arccos  
 
3
3
0
5

 3


x1 

”ài toán đ










c gi i quy t hoàn toàn.

Hy v ng qua bài toán c b n trên, b n đ c hình dung đ c l i ích c a
vi c s d ng máy tính c m tay trong vi c rút g n bi u th c khi gi i toán.
M t s bài t p t ng t :

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x4  2 x3  6 x2  x  2  0
2. x5  x4  3x2  x  2  0
3. 2 x5  2 x4  5 x3  2 x2  4 x  2  0
4. x6  6 x5  7 x4  24 x3  72 x2  64 x 16  0
1.

TH

THU T 2 : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ
TÌM NGHI Ộ PH
ộG TRÌộH

Bài 1: Gi i B t Ph

ng Trình:
300x 2  40x  2  10x  1  3  10x
0
1 x  1 x  2
(đ thi th Đ i H c l n THPT Qu nh L u
Ngh An năm

1 3
Đi u ki n xác đ nh x   ;  / 0 .
 10 10 
Ý t ng
1 3

Ta luôn có : 1  x  1  x  2 1  x  1  x   2x   ; 
10 10 
Quan tr ng nh t bây gi là gi i quy t b t ph ng trình
300x2  40x  2  10x  1  3  10x  0
Thông th ng v i d ng toán này ta s nhân liên h p v i nghi m c a bài
toán.
Làm th nào đ tìm các nghi m c a ph ng trình
300x2  40x  2  10x  1  3  10x  0
S d ng phím SOLVE đ tìm nghi m nh ng có l v i m t s b n, phím
SOLVE cho ta đúng m t nghi m c a bài toán. V y v i bài toán có nhi u
nghi m thì sao ? Làm th nào đ bi t bài toán ch có m t nghi m duy nh t ?
Đ hi u rõ h n b n đ c hãy xem cách làm d i đây
Th c hi n



Ta vi t bi u th c 300x2  40x  2  10x  1  3  10x  0 lên máy
tính
n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ? .



Nh p



1
1
đ tìm nghi m g n
nh t

10
10


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com






Máy cho nghi m x  0.2 

1
5

n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ? .

3
3
đ tìm nghi m g n
nh t
10
10
1
Máy cho nghi m x  0.2 
5
Nh p

V y ta có th k t lu n Ph

ng trình

300x2  40x  2  10x  1  3  10x  0 có nghi m duy nh t x 
Phân tích h
Khi bi t x 

1
.
5

ng gi i

1
là nghi m duy nh t c a ph
5

ng trình ta ch c ch n s d ng

đ c ph ng pháp nhân liên h p Ngoài ra n u b n đ c th thu t gi i
ph ng trình vô t b ng C“SIO ta có th có thêm nh ng cách làm khác
Cách Nhân liên h p hoàn toàn
Ta có :
300x 2  40x  2  10x  1  3  10x  0

1
1


 10x  2   30x  2 


0
10x  1  1
3  10x  1 



10x  1
1
 10x  2   30x  1 

  0
10x  1  1
3  10x  1 

Cách 2 : Phân tích thành nhân t
Ta có :
300x 2  40x  2  10x  1  3  10x  0
 300x 2  40x  3  3  10x 



 1  3  10 x

 30x  2





10x  1  1  0

 

3  10 x  30 x  3 

  30 x  2  3  10 x  30 x  3

1
 10x  2  

0

1  3  10 x
10x  1  1 

  30 x  1 3  10 x  30 x  2
10x  1 
 10x  2  

0




x
x
1
3
10

10
1
1




M t s bài t p t ng t :

1.

x2  2 x  2  2 2 x  1  2  x  0



10x  1  1  0


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

2.

x3  2 x  7  2 x  3  3 2 x  5  0

3.

x2  11x  12  3 x  2  4 x  1  11 x  2  0

4.

x3  x  14  6 x2  5  2 10  x2  0

Bài 2: Gi i Ph

ng Trình:
2x  x  2   3 x3  1

(đ thi th Đ i H c l n Kh i D THPT Tuy Ph

c Bình Đ nh năm

Đi u ki n xác đ nh x   1,   .
Ý t ng
T ng t bài ta s tìm nghi m đ nhân liên h p th xem
Th c hi n


Ta vi t bi u th c 2x  x  2   3 x3  1  0 lên máy tính



n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ? .
Nh p 1 đ tìm nghi m g n 1 nh t
Máy cho nghi m x  0.541381265
L u nghi m này vào “ b ng cách n X Shift STO “
T ng t tìm nghi m g n 10 nh t
Máy cho nghi m x  5.541381265
L u nghi m này vào ” b ng cách n X Shift STO ”
T ng t tìm nghi m g n 2.5 nh t
Máy cho nghi m x  5.541381265

Đây chính là nghi m ”











V y ta có th k t lu n Ph

ng trình 2x  x  2   3 x3  1  0 có hai nghi m

là x  A và x  B .
Làm th nào đ vi t nghi m A, B d i d ng vô t ?
Đ n gi n ch c n làm m t trong hai cách sau :
A  B  5
 Cách ta th y 
.


AB
3



 A,B là nghi m c a ph ng trình : X2  5X  3  0

Cách ta th y A  B nên ta luôn có :
A  B  A  B
5  37
5  37


A
và B 
2
2
2
2
5  37
5  37
c nghi m c a bài toán này là :
và
.
2
2
AB

Ta đ

 A  B 2

2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Phân tích h ng gi i
Làm th nào đ nhân liên h p v i nghi m vô t ?
R t đ n gi n hãy xem cách làm d i đây
Ta th y : khi x 

5  37
thì
2

V y ta ch c n nhân liên h p
Cách
Ta có :

x3  1  86  14 37  7  37  2x  2





x3  1  2x  2 .

Nhân liên h p hoàn toàn

2x  x  2   3 x3  1
 2 x 2  10 x  6  3



x 3  1  2x  2

 2 x 2  10 x  6  3 x  1





x2  x  1  2 x  1





3 x 1
 x 2  5x  3  2 
  0

2
x  x 1  2 x 1 










 x 2  5x  3



x2  x  1  x  1  0

Cách 2 : Phân tích thành nhân t
Ta có :
2x  x  2   3 x3  1



 2 x2  x  1  x  1

M t s bài t p t





x2  x  1  2 x  1  0

ng t :

1.

x2  16 x  14  2 x3  1  0

2.

2 x2  5 x  1  7 x3  1  0

3.

x2  5 x  1  x4  x2  1  0

4
4. 8 x  4 3  3 x  4 x 3  1  0

Bài 3: Gi i Ph

ng Trình:





x 4x 2  1   x  3  5  2x  0

(đ thi th Đ i H c l n Kh i A A THPT Tuy Ph


5
Đi u ki n xác đ nh x   ;  .
2

Ý t ng

c

Bình Đ nh năm

T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

T

ng t bài
Th c hi n

ta v n s tìm nghi m đ nhân liên h p







Ta vi t bi u th c x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 lên máy tính



n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ? .
Nh p 10 đ tìm nghi m g n 10 nh t
Máy cho nghi m x  0.895643923
L u nghi m này vào “ b ng cách n X Shift STO “
T ng t tìm nghi m g n 2.5 nh t
Máy cho nghi m x  0.895643923
T ng t tìm nghi m g n 6 nh t
Máy v n cho nghi m x  0.895643923














ng trình x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 ch có

V y ta có th k t lu n Ph

nghi m duy nh t là x  A.
Làm th nào đ vi t nghi m A d i d ng vô t ?
T ng t bài ta c)ng s tìm s vô t B đ th a mãn A B 
Nh ng
B s không th a mãn ph ng trình ban đ u mà th a mãn ph ng trình
khi đã đ i d u tr c căn T c B là nghi m c a ph ng trình





x 4x 2  1   x  3  5  2x  0

V y ta s đi gi i ph





ng trình x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 đ tìm B ,

gi ng nh m t hành trình đ đi tìm ng





i thân



Ta vi t bi u th c x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 lên máy tính



n SOLVE đ tìm nghi m máy h i X ? .
Nh p 10 đ tìm nghi m g n 10 nh t
Máy cho nghi m x  1.395643924
L u nghi m này vào ” b ng cách n X Shift STO ”
T ng t tìm nghi m g n 2.5 nh t
Máy cho nghi m x  1.395643924
T ng t tìm nghi m g n 6 nh t
Máy v n cho nghi m x  1.395643924










V y ph





ng trình x 4x 2  1   x  3 5  2x  0 ch có nghi m duy nh t là

x  B.
Đ ki m ch ng A, B có ph i h hàng v i nhau không ta thành th th y
1
AB 
2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

A  B  (A  B)2

1  21
2
4
2

K t lu n Nghi m c a ph ng trình x 4x  1   x  3 5  2x  0 là

Mà A  B nên A 







1  21
4
Phân tích h

x

ng gi i
1  21
1  21
Ta th y Khi x 
thì 5  2x 
 2x
4
2
V y ta ch c n nhân liên h p 5  2x  2x .



Cách
Ta có :



Nhân liên h p hoàn toàn





x 4x 2  1   x  3 5  2x  0





 x 4 x 2  2 x  5   x  3





5  2x  2x  0

x3


 4x2  2x  5  x 
0
5  2x  2x 












 4x2  2x  5 2x2  x  3  x 5  2x  0
Ta d dàng th y r ng
2

2
 27
1   5  2x

2
2x  x  3  x 5  2x   x    
 x 
0
 16
4  
2


V y bài toán đ c gi i quy t hoàn toàn
Cách 2 : Phân tích thành nhân t

Ta có :





x 4x 2  1   x  3  5  2 x  0








5  2 x  2x 2 x 2  x  3  x 5  2 x  0

Sau đó t ng t làm nh cách
M t s bài t p t ng t :
1.

4 x2  2 x  3  4 x 2 x  3

2.

2 x3  16 x2  48 x  13 x2  5 x  15

3.

4 x3  3 x2  6 x  2 2 x2  x  1









x3

x 2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

TH

THU T 3 : TH
GI I PH

Bài 1: Gi i Ph

THU T S D ộG CỌSIO Đ
ộG TRÌộH ọ C 4

ng Trình:

4x2  8x  2x  3  1
(đ thi th Đ i H c THPT L u Hoàng

ng Hoàng Hà N i năm

 3

Đi u ki n xác đ nh x    ;   .
 2

Ý t ng
Ta c n gi i ph ng trình b c sau

(4x2  8x  1)2  2x  3  0
Th c hi n
 S d ng Th Thu t Rút G n ọi u Th c ta đ

 4x







2



c

2

 8x  1  2x  3  0

 16x 4  64x3  56x 2  14x  2  0
S d ng Th Thu t Tìm ộghi m Ph ng Trình ta đ
nghi m đ c gán vào A, B, C nh sau
A  0.280776406

 B  2.395643924
 C  0.1043560763


c các

Tìm trong A, B, C c p nào là h hàng v i nhau b ng cách thành
th các t ng A B, B  C, C  A :
 A  B  2,114867518

5

BC 

2

C  A  0,1764203298
V y B, C là h hàng v i nhau r i.
V y thành th ti p ta th y
5

B  C  2


 BC  1

4
Suy ra B, C là nghi m c a ph ng trình


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

5
1
x 2  x   0  4x 2  10x  1  0
2
4
 S d ng Th Thu t Rút G n ọi u Th c ta đ c
16x 4  64x3  56x 2  14x  2
 4x 2  6x  2
2
4x  10x  1
K t lu n
16x 4  64x3  56x 2  14x  2




 3x  1 4x



 4x 2  6x  2 4x 2  10x  1



 2 2x 2

Phân tích h ng gi i
” ng vi c s d ng k t h p các th thu t
nh sau
Cách 1 : Bình ph ng hai v :
Ta có :

2



 10x  1

trên ta có đ

c l i gi i ng n g n

4x 2  8x  2x  3  1





2

 4x 2  8x  1  2x  3  0
 16x 4  64x3  56x 2  14x  2  0







 2 2x 2  3x  1 4x 2  10x  1  0

Cách 2 : Phân tích thành nhân t
Ta có :

4x 2  8x  2x  3  1







 2x  2  2x  3 2x  1  2x  3  0
M t s bài t p t

ng t :

1.

4 x  12 x  9  2 2 x  1 x  1

2.

2 x2  9 x  12   4 x  7  x  3

3.

6 x2  9 x  1   7 x  5  x  2

4.

x2  3 x  14  10 2  x  0

2

Bài 2: Gi i Ph

ng Trình:

2 2x  4  4 2  x  9x 2  16
(đ thi th Đ i H c l n 3 THPT Qu nh L u

Ngh An năm

3)


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 3

Đi u ki n xác đ nh x    ;   .

 2

Ý t ng
Ta l n l t bình ph ng hai v đ đ

c ph

ng trình b c

2 2x  4  4 2  x  9x 2  16
 4  2x  4   16  2  x   16 8  2x 2  9x 2  16
 16 8  2x 2  9x 2  8x  32



 

 256 8  2x 2  9x 2  8x  32
V y công vi c c a chúng ta là gi i ph





2

ng trình b c

 

256 8  2x 2  9x 2  8x  32



2

sau

0

Th c hi n
 Không nh bài ta có th b qua b c rút g n bi u th c
 S d ng Th Thu t Tìm ộghi m Ph ng Trình ta đ c các
nghi m đ c gán vào A, B nh sau

A  1.885618083

B  1.885618083





D th y A  B  0 nên A, B r t có th là h hàng v i nhau r i
V y thành th ti p ta th y
A  B  0

32

AB




9
Suy ra A, B là nghi m c a ph ng trình
32
x2 
 0  9x 2  32  0
9
S d ng Th Thu t Rút G n ọi u Th c ta đ c



 

256 8  2x 2  9x 2  8x  32



2

9x  32
2

K t lu n



 
 32  9x

 9x 2  16x  32

256 8  2x 2  9x 2  8x  32



 9x 2

2

 16x  32





Phân tích h ng gi i
Ta v n s có hai cách gi i cho bài toán trên nh sau
Cách 1 : Bình ph ng hai v :

2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ta có :
2 2x  4  4 2  x  9x 2  16
 4  2x  4   16  2  x   16 8  2x 2  9x 2  16
 16 8  2x 2  9x 2  8x  32



 

 256 8  2x 2  9x 2  8x  32









2

 9x 2  32 9x 2  16x  32  0

Cách 2 : Phân tích thành nhân t
Ta có :

2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16
 4  2x  4   16  2  x   16 8  2x 2  9x 2  16
 16 8  2x 2  9x 2  8x  32







 2 8  2x2  x  8 2 8  2x2  x  0
M t s bài t p t

ng t :

1.

3 x  1  6 x  1  9 x2  60 x  29

2.

2 2 x  2 x 

3.
4.

34
 5x
5

9 2
x  4x  3 1  2 x 1
7
27
1  x  1  x  16 x2 
2
x 2 

Bài 3: Gi i Ph

ng Trình:
x3
5
(đ thi th Đ i H c THPT Phan B i Châu
4x  1  3x  2 

 3

Đi u ki n xác đ nh x    ;   .
 2

Ý t ng
Ta l n l t bình ph ng hai v đ đ

c ph

Phú Yên năm 2013)

ng trình b c


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

5





4x  1  3x  2  x  3

 x 2  169x  34  50 4x  1 3x  2



 x 2  169x  34



2

 2500  4x  1 3x  2 

V y công vi c c a chúng ta là gi i ph

x

2

 169x  34



2

ng trình b c

sau

 2500  4x  1 3x  2   0

Th c hi n
 S d ng Th Thu t Tìm ộghi m Ph ng Trình ta đ
là :
A  3

B  2


V y nhân t c a bài toán s là



Ta c n tìm th

 x  3 x  2 

ng c a bi u th c

x
f  x 

2

c nghi m

 169x  34



2

 2500  4x  1 3x  2 

 x  3 x  2 

Tuy nhiên s d ng Th Thu t Rút G n ọi u Th c l i không đ c
n vì h s c a đa th c quá to
N u không gán giá tr cho x  1000 đ c thì ta s d ng lim đ
ch c ch n nh t
Cách tìm lim b ng máy tính C“SIO ch đ n gi n là gán cho x là
m t s c c to Ví d nh x  1010 .
Ta th y f ( x) s là m t tam th c b c nên ta có th đ t
f  x   ax 2  bx  c



Ta tìm h s a , b, c b ng cách l y
Tìm a :
a  lim

f  x
x2

x 



Tìm b :
b  lim

x 



Tìm c :

K t lu n

f  x   ax 2
x

1

 339

c  f  x   ax 2  bx  1026


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x

2

 169x  34



2

 2500  4x  1 3x  2 

 x  3 x  2 

Phân tích h
L u r ng

 x 2  339x  1026

ng gi i
x 2  339x  1026   x  3 x  342 

Do đó ta c)ng s có hai cách gi i cho bài toán trên nh sau
Cách 1 : Bình ph ng hai v :
Ta có :

5





4x  1  3x  2  x  3

 x 2  169x  34  50 4x  1 3x  2



 x 2  169x  34



2

 2500  4x  1 3x  2 

  x  2  x  342  x  3  0
2

Cách 2 : Phân tích thành nhân t
Ta có :
x3
4x  1  3x  2 
5
 4x  1 




3x  2 

4 x  1  3x  2



4 x  1  3x  2



5





1
4 x  1  3x  2
4 x  1  3x  2  5  0
5
L i gi i chi ti t dành cho b n đ c.
M t s bài t p t ng t :


1.

x  3  2x 1  x  2  0

2.

3 x2  x  2  25 x  1  56  0

3.

x  6  6 2 x  3  2 3x 1  0

4.

5  7 x  6  13 2 x  2  0

TH THU T 4 : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ
PHỨộ TÍCH ĐỌ TH C THÀNH NHÂN T M T N


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Bài 1: Gi i B t Ph

ng Trình:
1
log 2  2  x   log 1 4  4 18  x  0
2
2





(đ thi th Đ i H c kh i A l n THPT Chuyên ĐH Vinh Ngh An năm

)

Đi u ki n xác đ nh x   2;18  .
Ý t ng
Ta có:
1
log 2  2  x   log 1 4  4 18  x  0
2

2







 log 2 2  x  log 2 4  4 18  x



 2  x  4  4 18  x
 20  t 4  4  t
v i t  4 18  x và t  0 ; 4 20
Ta c n phân tích thành nhân t bi u th c



 4  t 2  20  t 4
Th c hi n
 S d ng Th Thu t Tìm ộghi m Ph ng Trình ta đ
nghi m nh sau
A  0.466823165

B  2

 t  2



Ch c ch n bi u th c s có nhân t



S d ng Th Thu t Rút G n ọi u Th c ta đ

4  t

2

 20  t 4

t2

K t lu n

 4  t 2  20  t 4



c các

c

 t 3  2t 2  5t  2



 t 3  2t 2  5t  2  t  2 

Phân tích h

ng gi i

V i đi u ki n 0  t  4 20 nên t 3  2t 2  5t  2  0t  0; 4 20
gi i nh sau
L i gi i : Bình ph

ng hai v :
Đ t t  4 18  x v i t  0 ; 4 20 Khi đó





V y ta có l i


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com





1
log 2  2  x   log 1 4  4 18  x  0
2
2



 log 2 2  x  log 2 4  4 18  x



 2  x  4  4 18  x
 20  t 4  4  t
 4  t 2  20  t 4  0

t  4
 t 3  2t 2  5t  2  t  2   0

t  4
2t4
 2  x  2
ng t :



M t s bài t p t



5x 1  x 1

1.

4

2.

2 4 2 x2  x  6  x  6

3.

3

4.

5 4 6 x  2  x  13

x4  17 x  11  x  2

Bài 2: Gi i B t Ph

ng Trình:



x3  3x 2  4x  4



x 1  0

(đ thi th Đ i H c kh i A + B l n THPT Ba Đình Hà N i năm

Đi u ki n xác đ nh x   1;   .
Ý t ng
Thông th ng ta có hai cách đ đ a v đa th c b c

Cách ”ình ph ng hai v
 Cách này không kh quan l m vì chúng ta ch a th bình ph
ngay đ c do bài toán này là b t ph ng trình
Cách Đ t n ph y  x  1 .
Cách này khá là n vì chúng ta không c n đ
ph ng trình
V y ta đ c


)

ng

l mđ nd uc ab t


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x3  (3x 2  4x  4) x  1  0







3





2













 y2  1  3 y2  1  4 y2  1  4 y  0

Ta c n phân tích thành nhân t bi u th c

y

2





3



2

 1  3 y2  1  4 y2  1  4 y

Th c hi n
 S d ng Th Thu t Tìm ộghi m Ph ng Trình ta đ
nghi m nh sau
A  2.414213562

 B  1.618033988
 C  0.414213562



A  B  2
Thành th th y 
nên nhân t c a bài toán này là
AB  1

y



2



 2y  1

S d ng Th Thu t Rút G n ọi u Th c ta đ c
3
2
y 2  1  3 y 2  1  4 y 2  1  4  y


 y 4  y3  4y 2  y  1
2
y  2y  1





c các









S d ng Th Thu t Gi i Ph



ng Trình ọ c





ta đ

c



y 4  y3  4y 2  y  1  y 2  y  1 y 2  2y  1

K t lu n

y

2



3







2





 1  3 y 2  1  4 y 2  1  4 y  (y 2  y  1)(y 2  2y  1)2

Phân tích h ng gi i
Ta có l i gi i nh sau
Cách 1 : Đ t n ph hoàn toàn:
Đ t y  x  1 v i y  0 Khi đó b t ph

y

2



3







2

ng trình tr thành







 1  3 y2  1  4 y2  1  4 y  0

 (y 2  y  1)(y 2  2y  1)2  0
 y  1  2

 1  5
1 5


y
 2
2
0y

1 5
2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Cách 2 : Đ t n ph không hoàn toàn:
Đ t y  x  1 v i y  0 Khi đó b t ph ng trình tr thành



x3  3x 2  4x  4





x 1  0



 x3  3x 2  4 y 2 y  0
  x  y  x  2 y   0
2

 x  2y  0

x  y
Cách 3 : Phân tích thành nhân t :
Ta có :



x3  3x 2  4x  4





x 1  0



 x  x 1 x  2 x 1

M t s bài t p t

2

0

x  2 x  1  0

 x  x  1
ng t :





1.

 x  3

2.

x3  2 x2  7 x  9  x2  x  6

3.

2 x 4 x  3  4 x2  2  16 x  3  0

4.

2 x3  14  2 x2  13

3



 3  x2  x  13







x3  0



x 1

x2  1  0

TH THU T 5 : TH THU T S D ộG CỌSIO Đ
PHỨộ TÍCH ĐỌ TH C THÀNH NHÂN T HAI N
Bài 1: Gi i H Ph

Ýt

ng

ng Trình:
x3  3x 2  9x  22  y3  3y 2  9y


1
x2  y2  x  y 

2

(đ thi Đ i H c kh i A A năm

)


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Đa ph n các bài t p h ph ng trình mà có ph ng trình là đa th c b c
n x ho c y không ch a các h ng t nh xy, x2 y, xy2 ,... thì ph ng trình
đó r t có th phân tích thành nhân t đ c
Ta s th phân tích thành nhân t ph ng trình sau





x3  3x 2  9x  22  y3  3y 2  9y  0

Coi nh đây là ph

y  1000

ng trình b c

n x ta s gi i ph

ng trình khi

Th c hi n
 Gán y  1000


Vào tính năng gi i ph



L nl



ng trình b c

trong MODE EQN

t nh p h s c a ph

ng trình b c

1 ;  3 ;  9 ; 22  y3  3y 2  9y 
Coi nh ta gi i ph ng trình b c
x3  3x2  9 x 1002990978  0



Máy tính tr v các nghi m
x1  1002

x2  499.5  886.8845I
x  499.5  886.8845I
 3
Vì 1002  y  2 nên ta đ c  x  y  2  là nhân t c a bài toán



Th c hi n phép chia đa th c



f  x 

n b ng dùng lim :



x3  3x 2  9x  22  y3  3y 2  9y



xy2



Nh n th y f ( x) s là m t tam th c b c 2 nên f  x  s có d ng



ax2  bx  c v i

f  x
a  lim 2  1

x  x


f  x   x2
 999  y  1
b  lim

x 
x

c  f  x   x 2   y  1 x  1000989  y 2  y  11


V y ta đ c