CHUYÊN đề PT, BPT, HPT MU và LOGARIT
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.84 MB, 82 trang )
Phân lo i và ph
Chương
ng pháp gi i toán 12
2
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Bài 1: LŨY THỪA – CÁC PHÉP TÍNH VỀ LŨY THỪA VỚI HÀM SỐ THỰC
1. Kiến thức cơ bản
Gọi a và b là những số thực dương, x và y là những số thực tùy ý
x
x
a
= a
bx
b
a n = a.a.a.....a
n số a
x
y
a x .a y = a x +y
0
u (x ) = 1 ⇒ x 0 = 1 , ∀u (x )
x ≠ 0
ax
1
x −y
−n
a
a
=
⇒
=
ay
an
y
(a )
x
x
( )
= ay
x
(a.b )
y
a = ax
n
= a x .y
a .n b = n ab
m
( a)
= a x .b x
n
= n am
2. Lưu ý
Nếu a < 0 thì a x chỉ xác định khi ∀x ∈ ℤ .
Nếu a > 1 thì a α > a β ⇔ α > β .
Nếu 0 < a < 1 thì a α > a β ⇔ α < β .
n
1
e = lim 1 + ≃ 2, 718281828459045...
x →∞
n
s1
Để so sánh
a và
s2
(n ∈ ℕ ) .
b . Ta sẽ đưa 2 căn đã cho về cùng bậc n (với n là bội số chung của s1 và s2 ) ⇒ Hai
n
s1
n
s2
số so sánh mới lần lượt là A và B . Từ đó so sánh A và B ⇒ kết quả so sánh của a và b .
Công thức lãi kép: Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì ⇒ Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi)
(
là: C = A 1 + r
N
)
.
3. Bài tập áp dụng
Bài 1. Với a, b là các số thực dương. Hãy rút gọn các biểu thức sau:
9
2
6
4
1/ A = 8 7 : 8 7 − 3 5.3 5
2/ B =
−
Ch
1
3
−2
0
)
: 10−2 − (0, 25)
−
4/ D = 81−0,75
2
2
2
( )
− (−2) .64 3 − 8 3 + 90
ng II. Hàm s m
(10
−3
−4
3
−2
3/ C = 5 5 + (0,2)4
5/ E = 0, 001
23.2−1 + 5−3.54
Hàm s l y th a
2−3 5
6/ F = 2
Hàm s Logarit
1
+
125
.8
1
3
−
1
−
32
3
5
5
www.mathvn.com - 1 -
Ths. Lê Văn Đoàn
2
3
3. 3 :
7/ G =
(
9/ I = 0, 04
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
−1,5
)
4
3
−
− (0,125)
102+
8/ H =
ng pháp gi i toán 12
7
22+ 7.51+ 7
5
1 −0,75
−
+ (0, 25) 2
10/ J =
16
2
3
−4
2
1 −0,75 1 3
−1,5
−
+ . (0,04) −(0,125) 3
9
1
3
8
16
1
1 1 2 a 4 −a 4 b−2 −b2
b
b
− 1
12/ L = 1 − 2 + : a 2 −b2 . 1
11/ K =
5
1
−5
−4
−
a a
6 4 5
9 2
3
4
a −a 4 b2 −b 2
87 : 87 − 35.35 . 5−2 + 0,24
4
1
1
1
1
63+ 5 1+ 2 2 2 −1−2 2
3
6
3
3
3
2
3
13/ M = a : a : a . a + a a . a . a : a 6 14/ N =43+ 2.21− 2.2−4−2 2 +
: 25 −5 .5
22+ 5.31+ 5
2
3 2 3 2
−1
3
a b − ab
a +b 6
4
6
16/ P =
−
−
+6a
15/ O =
3. 3 :
3
a
b
3 2
3 2
3 2
3
a − 3 b2
a −2 ab + b
(
)
(
)
Bài 2. Hãy so sánh các cặp số sau:
− 3
− 2
1/ 4
và 4
1 1,4
5/ và
2
9/
4
1
2
3
5 và
2/ 2
2
3
và 21,7
1 3,14
9
1 π
6/ và
9
7
17 và
10/
2
(
− 2
)
13/ 0, 01
(
−3
)
15/ 0, 001
và
3
3
16/ 4
100
2
11/
và 50
4
5
13 và
−1
(0, 013)
và 1
3
8/
3
10 và
5
5
20
7
23
12/ 4
và 4
−3 2
14/ 5300 và 8300
6
(
−2 3
15/ 5
− 2
)
và 0,125
10
3
π 2
π
20/ và
2
2
11
19/ 0, 02
2
28
5
−10
4/
1
1
7/ và
3
3
π
π
14/ và
4
4
− 2
( )
và 10
3/ 2−2 và 1
và 5
−3
17/
−5
( 2)
và
− 2
3
21/
5
( 2)
−4
5
4
5
18/ và
4
5
− 2
2
và
2
22/
(
1
4
) (
3 − 1 và
)
3 −1
2
2
Bài 3. So sánh hai số m, n nếu:
1/ 3, 2m < 3,2n
5/
(
2/
m
) (
5 −1 <
)
n
n
( 2) > ( )
n
5 −1
m
1
1
2 3/ và
9
9
m
6/
(
m
) (
2 −1 <
m
n
3 3
4/
>
2 2
n
)
2 −1
Bài 4. Có thể kết luận gì về cơ số a nếu:
1/
−
(a − 1)
2
3
−
< (a − 1)
- 2 - www.mathvn.com
1
3
−0,2
2/
−3
(2a + 1)
Ch
−1
> (2a + 1)
ng II. Hàm s m
1
3/
a
< a2
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
1
4/
−
(1 − a )
3
1
3
−
> (1 − a )
1
2
5/
7
7/ a < a
Bài 5. Đơn giản các biểu thức sau:
3
7
1/ A = (−1) . −
8
3
(2 − a )
8/ a
−
1
17
3
4
> (2 − a )
−
1
8
9/ a −0,25 < a −
2
2
2
7
.− .(−7 ).−
7
14
−
1 2 1
6/ >
a
a
2
2/
6
(−3) .(−15) .8
B=
9 .(−5) . (−6)
6
2
1
2
3
4
4
2
3
2
3/ C = 4 + 8
3 − 5
4/ D = 32 2
2
3
7
5/
3
3
(−18) .2 .(−50)
E=
(−25) .(−4)
4
4
6/ F =
5
2
25 . (−5)
4
3
−2
23.2−1 + 5−3.54 − (0, 01)
7/ G =
3
1256.(−16) .(−2)
1
1 1
1
1
3
3
3
3
8/ H = 4 − 10 + 25 2 + 5 3
−3
0
10−3 : 10−2 − (0,25) + 10−2. (0, 01)
4
5
9/ I =
3
4. 4 64. 2
3
5
10/ J =
32
81. 5 3. 5 9. 12
2
3
3 . 18. 5 27. 6
Bài 6. Viết các biểu thức sau với dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:
1/ A =
4
4/ D =
3
x 2 . 3 x , (x ≥ 0)
2 33 2
. .
3 2 3
b 3a
.
, (a, b ≠ 0)
a b
2/ B =
5
5/ E =
4 3
a
8
3/ C =
5
2. 2 2
5
b2 b
6/ F =
3
3
b b
Bài 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a 1,5 + b 1,5
− a 0,5 .b 0,5
0,5
0,5
2.b 0,5
a
+
b
1/ A =
+ 0,5
a −b
a + b 0,5
Ch
a 0,5 + 2
a 0,5 − 2 a 0,5 + 1
.
2/ B =
−
a + 2a 0,5 + 1
a − 1 a 0,5
1
1
1
1
1
1
x 2 + 3y 2
x 2 − 3y 2 x 2 − y 2
+
.
3/ C =
2
1
x − y
2
1
x 2 − y 2
1
1
1
3 1
1
x 2 − y 2
2
2
x 2y 2
+
x
y
2y
.
+ 1
−
4/ D = 1
1
1
x + y x − y
xy 2 + x 2y xy 2 − x 2y
2 2
1 2
4
1
3
3
3
3
3
3
5/ E = a − b . a + a a + b
1 1
1 1
1
1
4
4
4
4
2
6/ F = a − b . a + b . a + b 2
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 3 -
Ths. Lê Văn Đoàn
1
1
1
a 2 + 2 a 2 − 2 a 2 + 1
.
−
7/ G =
1
1
a − 1
a + 2a 2
a 2
9/ I =
3
a − 3b
6
a − 6b
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
ng pháp gi i toán 12
−1
8/ H =
a−1 + (b + c)
b2 + c2 − a2
−2
1 +
(a + b + c)
.
−1
2bc
a−1 − (b + c)
10/ J = ab −
3
a +x
4
a 2 4 x + x a
− a 2 + x + 2a x
11/ K =
4
a x + ax
x
x
x
−
13/ M =
4 3
4 3
x − 1 − x x + 1 − x
4
4
x + 1
x − 1
5
3
3
2 2 + 27.y 5
15/ O =
+ 3.10 32y 5 − 2 .3−2
2 + 3 y
4 ab − b
: a − b
a + ab
ab
3
12/ L =
3
a2 − x 2
+
3
ax 2 − a 2x
3
3
a 2 − 2 3 ax + x 2 − 6 x
6
a−6x
3
3
3
3 2
3
a a − 2a 3 b + a 2b 2
a b − ab 2 3
14/ N =
+
: a
3
3 2
a − 3 b
a − 3 ab
1 1
1
1
3
3
3
8b − a a b
a − 2b 3
16/ P =
+
1
1
2
1
1
2
− −
−
−
6 −3
2a − b 3 4a 3 + 2a 3b 3 + b 3
1
3
1
a 3 b 2 a 2 1
+
: a 4 + b 4
17/ Q =
8
b 3 a
a b 3
(
18/ R = 2 a + b
−1
)
1
(ab )2
2 2
1 a
b
1 +
−
4 b
a
Bài 8. Giải các phương trình sau:
x +1
5
x
1/ 4 = 1024
2x
4/
(3 3 )
2/
x −2
1
=
9
5 2
.
2 5
x
2
5/
9
=
−x
8
.
27
0, 25 −x
1
2x −8
.32
=
7/
0,125
8
8/ 0, 2 =
10/ 5x.2x = 0, 001
11/
8
125
27
=
64
1
32
1−3x
=
3/ 8
x 2 −5 x +6
3
6/
2
=1
3 x −7
x
9
9/
49
0, 008
x
x
( 12 ) ( 3 )
=
1
6
7 x −3
7
=
3
1−x 1−x
=
12/ 7 .4
1
28
Bài 9. Giải các bất phương trình sau:
x
x
1/ 0,1 > 100
1
2/ > 3 0, 04
5
x +2
4/ 7
1
5/
3
x +2
. 49
x
7/ 3.
( 3)
1
>
27
- 4 - www.mathvn.com
x
1
<9
27
1−x
8/ 27 .3
6/ 3x <
100
9
1
9 3
x
1
<
3
Ch
3/ 0, 3x >
9/
ng II. Hàm s m
3
1
2 > 1
64
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
Bài 10. Giải các phương trình sau:
Ch
1/ 2x + 2x +2 = 20
2/ 3x + 3x +1 = 12
3/ 5x + 5x −1 = 30
4/ 4x −1 + 4x + 4x +1 = 84
5/ 42x − 24.4x + 128 = 0
6/ 4x +1 + 22x +1 = 48
7/ 3.9x − 2.9−x + 5 = 0
8/ 3
ng II. Hàm s m
x 2 −5x +6
Hàm s l y th a
=1
Hàm s Logarit
9/ 4x + 2x +1 − 24 = 0
www.mathvn.com - 5 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
ng pháp gi i toán 12
Bài 2: LOGARIT
1. Kiến thức cơ bản
a/ Định nghĩa
a > 0, a ≠ 1
log
b
Với a > 0, a ≠ 1, b > 0 ta có: loga b = α ⇔ a = b . Chú ý:
có nghĩa khi
a
b > 0
α
Logarit thập phân: lg b = log b = log10 b
Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b
b/ Tính chất
Cho a > 0, a ≠ 1 và b, c > 0 . Khi đó:
Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c
loga 1 = 0
Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c
loga a b = b
loga a = 1
a
loga b
=b
c/ Các qui tắc tính logarit
Cho a > 0, a ≠ 1 và b, c > 0 . Ta có:
loga (b.c ) = loga b + loga c
b
loga = loga b − loga c
c
loga b β = β. loga b
loga b 2 = 2 loga b
d/ Các công thức đổi cơ số
Cho a, b, c > 0 và a, b ≠ 1 . Ta có:
logb c =
loga c
loga b
loga b =
⇒ loga b. logb c = loga c
log 1 b = − loga b
1
. loga b , (β ≠ 0)
β
loga β b =
a
1
logab c =
ln b
1
, loga b =
logb a
ln a
1
1
+
loga c logb c
a
log c
log a
b =c b
2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:
2/ B = log5
1/ A = log2 4. log 1 2
4
4/ D = 4
7/ G =
log2 3
+9
log
3
2
loga 3 a . loga 4 a
log 1 a
7
5/ E = log
1
. log27 9
25
2 2
3/ C = loga
6/ F = 27
8
3
log9 2
a
+4
log8 27
1
3
8/ H = log 3 6. log 8 9. log6 2
9/ I = 9
2 log3 2 + 4 log81 5
a
- 6 - www.mathvn.com
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
log3 5
10/ J = 81
13/ M = 9
ng pháp gi i toán 12
+ 27
1
log6 3
log9 36
www.MATHVN.com
log5 6
4 log9 7
+3
11/ K = 25
1
log8 4
+4
15/ P = lg (tan10 ) + lg (tan20 ) + ... + lg(tan890 )
17/ R = 3
5 log3 2
+ log 3 (log 28)
+ 49
Ths. Lê Văn Đoàn
log7 8
12/ L = 5
1+log9 4
14/ N = 3
2−log 3
log
3−2 log5 4
27
+ 4 2 + 5 125
16/ Q = log 8 log 4 (log2 16) . log2 log 3 (log4 64)
1
3
18/ S = 2 log 1 6 − log 1 400 + 3 log 1 45
2
3
3
3
Bài 2. Thực hiện phép biến đổi theo yêu cầu bài toán.
1/ Cho log12 27 = a . Tính log6 16 theo a .
2/ Cho log2 14 = a . Tính log
49 7
32 và log49 32 theo a .
3/ Cho log2 5 = a; log2 3 = b . Tính log3 135 theo a, b .
4/ Cho log15 3 = a . Tính log25 15 theo a .
3
5/ Cho loga b =
3 . Tính log
b
a
b
a
(
)
6/ Cho lg 3 = 0, 477 . Tính lg 9000; lg 0, 000027 ;
7/ Cho loga b =
5 . Tính log
1
log 81 100
.
b
ab
a
8/ Cho log 7 2 = a . Tính log 1 28 theo a .
2
9/ Cho loga b = 13 . Tính log b
3
ab 2 .
a
49
theo a, b .
8
11/ Cho lg 3 = a; lg 2 = b . Tính log125 30 theo a, b .
10/ Cho log25 7 = a; log2 5 = b . Tính log 3
5
12/ Cho log30 3 = a; log30 5 = b . Tính log30 1350 theo a, b .
13/ Cho log14 7 = a ; log14 5 = b . Tính log35 28 theo a, b .
14/ Cho log2 3 = a; log3 5 = b; log7 2 = c . Tính log140 63 theo a, b, c .
15/ Cho loga b =
7 . Tính loga
a
b
b3
16/ Cho log27 5 = a; log 8 7 = b; log2 3 = c . Tính log6 35 theo a, b, c .
121
theo a, b .
8
Bài 3. Cho a > 0, a ≠ 1 . Chứng minh rằng: loga (a + 1) > log a +1 (a + 2)
( )
17/ Cho log 49 11 = a; log2 7 = b . Tính log 3
HD: Xét A =
log(a +1) (a + 2)
loga (a + 1)
7
= log(a +1) (a + 2) . log(a +1) a ≤
(∗)
log(a +1) (a + 2) + log(a +1) a
2
2
log(a +1) a (a + 2)
log(a +1) (a + 1)
<
=
= 1 ⇒ (Đpcm).
2
2
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 7 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
ng pháp gi i toán 12
Bài 4. So sánh các cặp số sau:
1
3
2/ log 0,1 2 và log 0,2 0, 34
1
1
và log 1
80
2
2 15 +
5/ log13 150 và log17 290
6/ 2
8/ log2 3 và log3 4
9/ log9 10 và log10 11
1/ log3 4 và log4
4/ log 1
3
3
3/ log 3
4
7/ log7 10 và log11 13
log6 3
2
3
và log 5
5
4
2
và 3
log6
1
2
1
1
< 4 < log 1
80
2
3
2 15 +
5/ CM: log13 150 < 2 < log17 290
HD: 4/ CM: log 1
7/ Xét A = log7 10 − log11 13 =
=
log7 10. log7 11 − log7 13
log7 11
1
10.11.7
10
11
+ log7 . log7 > 0
log7
log 7 11
7.7.13
7
7
8/, 9/ Sử dụng Bất đẳng thức (∗) bài tập 3.
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa)
1/ b
loga c
=c
loga b
( )
2/ logax bx =
loga b + loga x
1 + loga x
3/ loga c + logb c =
4/
loga c
logab c
loga c. logb c
logab c
= 1 + loga b
a +b
1
= (logc a + logc b ), với a 2 + b 2 = 7ab
3
2
1
6/ loga (x + 2y ) − 2 loga 2 = (loga x + loga y ), với x 2 + 4y 2 = 12xy
2
3a + b
1
= (lg a + lg b ) , với 9a 2 + b 2 = 10ab
7/ lg
4
2
8/ log b +c a + log c −b a = 2 log c +b a. log c −b a với a 2 + b 2 = c 2
( )
( )
( )
( )
5/ logc
9/
k (k + 1)
1
1
1
1
1
+
+
+
+ ... +
=
loga x loga 2 x loga 3 x loga 4 x
loga k x
2 loga x
10/ loga N . logb N + logb N . logc N + logc N . loga N =
11/ x = 10
12/
1
1−lg z
với y = 10
1
1−lg x
và z = 10
loga N . logb N . logC N
logabc N
1
1−lg y
1
1
1
1
+
+ ... +
=
log2 N
log 3 N
log2009 N
log2009 ! N
- 8 - www.mathvn.com
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
13/
Ch
ng pháp gi i toán 12
loga N − logb N
logb N − logc N
ng II. Hàm s m
=
loga N
logc N
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
với a, b, c lần lượt theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 9 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
ng pháp gi i toán 12
Bài 3: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
1. Kiến thức cơ bản
1.1/ Khái niệm
a/ Hàm số lũy thừa y = x α ( α là hằng số)
Hàm số y = x α
Tập xác định D
α = n ( n nguyên dương)
y = xn
D=ℝ
α = n ( n nguyên dương âm hoặc n = 0 )
y = xn
D = ℝ \ {0}
α là số thực không nguyên
y = xα
D = (0, +∞)
Số mũ α
1
Lưu ý: Hàm số y = x n không đồng nhất với hàm số y =
(
n
x , (n ∈ ℕ *)
)
b/ Hàm số mũ y = a x , a > 0, a ≠ 1
Tập xác định: D = ℝ
Tập giá trị: T = 0, +∞
(
)
○ Khi a > 1 hàm số đồng biến.
Tính đơn điệu
○ Khi 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến.
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Dạng đồ thị:
y
y = ax
y = ax
y
0
a >1
1
1
x
O
(
x
O
)
c/ Hàm số logarit y = loga x , a > 0, a ≠ 1
(
Tập xác định: D = 0, +∞
)
Tập giá trị: T = ℝ
○ Khi a > 1 hàm số đồng biến.
Tính đơn điệu
○ Khi 0 < a < 1 : hàm số nghịch biến.
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
Dạng đồ thị:
y
y
0
a >1
y = loga x
O 1
1
x
x
O
y = loga x
- 10 - www.mathvn.com
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
1.2/ Giới hạn đặc biệt
ln (1 + x )
x
1
= lim 1 + = e
x →±∞
x
1
x
lim (1 + x )
x →0
lim
x
x →0
ex − 1
lim
=1
x →0
x
=1
1.3/ Đạo hàm
Đạo hàm hàm số sơ cấp
'
Đạo hàm hàm số hợp
'
(x ) = α.x , (x > 0)
(a ) = a . ln a
(e ) = e
α
'
x
x
( )
⇒ (a ) = a . ln u.u '
⇒ (e ) = e .u '
α −1
⇒ u α = α.u α−1.u '
x
'
u
u
x
(log x ) = x ln1 a
'
1
'
( )
n
x
=
'
u
(
) = u uln' a
'
'
(ln x ) = x , (x > 0)
L u ý:
u
⇒ loga u
a
'
'
⇒ (ln u ) =
1
Với x > 0 nếu n chẳn.
Với x < 0 nếu n lẻ.
n
n. x n −1
⇒
u'
u
'
( )
n
u =
u'
n
n. u n −1
2. Bài tập áp dụng
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
x
x
1/ lim
x →+∞
1 + x
3x − 4
4/ lim
3x + 2
x →+∞
1
2/ lim 1 +
x →+∞
x
x +1
3
x
x
2x + 1
6/ lim
x − 1
x →+∞
e 2x − 1
x →0
3x
ex − e
x →1 x − 1
1
12/ lim x e x − 1
x →+∞
8/ lim
e x − e −x
x →0
sin x
11/ lim
x →e
2x −1
x + 1
3/ lim
x →+∞
x − 2
x + 1
5/ lim
2x − 1
x →+∞
ln x − 1
x −e
7/ lim
x +1
x
9/
e sin 2x − e sin x
x →0
x
10/ lim
lim
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
4x 2 − 3x − 1
1/ y =
3
4/ y = x + x + x
Ch
7/ y =
3
10/ y =
3
2
(
2/ y = x 2 + x − 4
5/ y =
1
1
+
+
x
x
8/ y =
sin (2x + 1)
11/ y = cot 3 1 + x 2
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
(
)
3/ y = x 2 − 3x + 2
1
3
x +1
x −1
x +x +1
4
)
1
4
Hàm s Logarit
6/ y =
(m +n )
m
3
n
(1 − x ) .(1 + x )
x
9/ y =
12/ y =
5
x2 + x − 2
x2 + 1
1 − 3 2x
1 + 3 2x
www.mathvn.com - 11 -
Ths. Lê Văn Đoàn
13/ y =
x +3
4
sin
3
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
14/ y =
11
5
9+6 x
9
ng pháp gi i toán 12
15/ y =
4
x2 + x + 1
x2 − x + 1
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
(
)
(
4/ y = e 2x +x
)
3/ y = e −2x sin x
2/ y = x 2 + 2x e −x
1/ y = x 2 − 2x + 2 e x
2
5/ y = xe
7/ y = 2x e cos x
8/ y =
1
x− x
3
6/ y =
3x
x2 − x + 1
e 2x + e x
e 2x − e x
9/ y = cos x .e cot x
Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
(
)
(
1/ y = ln 2x 2 + x + 3
2/ y = log2 cos x
) (
(
4/ y = 2x − 1 ln 3x 2 + x
)
)
(
( )
(cos x )
3/ y = e x . ln cos x
5/ y = log 1 x 3 − cos x
)
6/ y = log3
2
7/ y =
ln (2x + 1)
8/ y =
2x + 1
ln (2x + 1)
(
9/ y = ln x + 1 + x 2
x +1
)
Bài 5. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1/ y = x .e
−
x2
2
(
)
(
; xy ' = 1 − x 2 y
)
2/ y = x + 1 e x ; y '− y = e x
3/ y = e 4 x + 2e −x ; y '''+ 2y '− 12y = 0
4/ y = a.e −x + b.e −2x ; y ''+ 3y '+ 2y = 0
5/ y = e −x sin x ; y ''+ 2y '+ 2y = 0
6/ y = e −x cos x ; y
7/ y = e
9/ y =
sin x
; y ' cos x − y sin x − y '' = 0
8/ y = e
1 2 x
x e ; y ''− 2y '+ y = e x
2
2x
(4)
+ 4y = 0
sin 5x ; y ''− 4y + 29y = 0
10/ y = e 4 x + 2e −x ; y '''− 13y − 12y = 0
Bài 6. Chứng minh các hàm số đã cho thỏa mãn các hệ thức được chỉ ra:
1
y
1 + x ; xy '+ 1 = e
1/ y = ln
(
)
(
2/ y =
)
3/ y = sin ln x + cos ln x ; y + xy '+ x 2y '' = 0
5/ y =
4/ y =
x2 1
+ x x2 +1 + ln x + x2 +1 ; 2y = xy '+ lny '
2 2
1
; xy ' = y (y ln x − 1)
1 + x + ln x
1 + ln x
x (1 − ln x )
(
)(
; 2x 2y ' = x 2y 2 + 1
)
6/ y = x2 +1 ex +2010 ; y ' =
2xy
+ex x2 +1
2
x +1
(
)
Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau với các hàm số được chỉ ra:
(
)
1/ f '(x ) = 2 f (x ) ; f (x ) = e x x 2 + 3x + 1
(
)
1
f (x ) = 0 ; f (x ) = x 3 ln x
x
4/ f '(x ) = 0 ; f (x ) = e2x −1 + 2e1−2x + 7x − 5
2/ f '(x ) +
(
)
3/ f '(x) > g '(x) ; f (x) = x + ln x − 5 ; g(x) = ln x −1
1
2
5/ f '(x ) < g '(x ) ; f (x ) = .52x +1 ; g(x ) = 5x + 4x ln 5
Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1/ y = x
−4
- 12 - www.mathvn.com
2/ y = x
1
4
3/ y = x
Ch
−
1
2
ng II. Hàm s m
4/ y = x
Hàm s l y th a
5
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
x
( 2)
8/ y = 1
5/ y = x −5
6/ y = 2x
7/ y = 4−x
9/ y = log2 x
10/ y = log 1 x
11/ y = ln x + 1
(
)
(
12/ y = ln 1 − 3x
)
2
Bài 4: PHƯƠNG TRÌNH MŨ
1. Cơ sở lý thuyết
1.1/ Phương trình mũ cơ bản
b > 0
x = loga b
Với a > 0, a ≠ 1 thì a x = b ⇔
1.2/ Phương pháp giải một số phương trình mũ thường gặp
ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ & LOGARIT HÓA
Dùng các công thức mũ và lũy thừa đưa về dạng a f (x ) = a g (x )
Với a > 0, a ≠ 1 thì a f (x ) = a g (x ) ⇔ f (x ) = g(x )
Trường hợp cơ số a có chứa ẩn thì:
a = 1
a M = a N ⇔ (a − 1)(M − N ) = 0 ⇔
M =N
(
)
Logarit hóa: a f (x ) = b g (x ) ⇔ f (x ) = loga b .g(x )
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đưa về cùng cơ số)
x
1/
(0, 04)
= 625. 3 5
2
1−x
( )
2
3/ 28−x .58−x = 0, 001. 105
5/ 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x
8
32
(1)
2/ 0,125.161−x =
( 3)
(5)
4/ 32x −1.153x .5−3x =
3
(2)
9
6/ 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2
(4 )
(6)
Bài giải tham khảo
x
(0, 04)
1/ Giải phương trình:
x
(1) ⇔ (5 )
−2
1
3
4
3
= 625. 5
−2 x
= 5 .5 ⇔ 5
=5
2/ Giải phương trình: 0,125.161−x =
13
3
8
32
(1)
⇔ −2x =
13
13
⇔ x =−
3
6
(2)
3
1−x
(2) ⇔ 2 .(2 )
−3
4
1
−
22
1
9
= 5 ⇔ 24−4 x = 2 2 ⇔ 4 − 4x = − ⇔ x =
2
8
2
2
2
8−x 2
(3) ⇔ (2.5)
Ch
1−x
( )
3/ Giải phương trình: 28−x .58−x = 0, 001. 105
( 3)
2
= 10−3.105−5x ⇔ 108−x = 102−5x ⇔ 8 − x 2 = 2 − 5x ⇔ x = −1; x = 6
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 13 -
Ths. Lê Văn Đoàn
3
4/ Giải phương trình: 32x −1.153x .5−3x =
(4 ) ⇔ 3
2 x −1
3x
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
(
3x
−3 x
.3 . 5 .5
)= 3
2
3
⇔3
(4 )
9
5x −1
2
3
= 3 ⇔ 5x − 1 =
2
1
⇔ x=
3
3
(5)
5/ Giải phương trình: 5.3x + 3.2x = 7.2x − 4.3x
−2
x
3
3
(5) ⇔ 3 (5 + 4) = 2 (7 − 3) ⇔ 3 .9 = 2 .4 ⇔ 2 = 2
x
x
x
x
6/ Giải phương trình: 5x + 5x −1 + 5x −2 = 3x +1 + 3x −1 + 3x −2
x −2
(6) ⇔ 5 (5
x −2
2
)
x −2
+ 5+1 = 3
(
ng pháp gi i toán 12
(6)
0
5
3 + 3 + 1 ⇔
3
5
= 1 = ⇔ x = 2
3
)
3
⇔ x = −2
Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (logarit hóa)
x
x
(1)
1/ 35 = 53
(
3/ x + 2
)
x −1
x −3
= (x + 2)
(2)
2/ 3x = 25−2x
(
( 3)
)
4/ x 2 + 3
2
x −5 x +4
(
x +4
)
= x2 + 3
(4 )
Bài giải tham khảo
x
x
1/ Giải phương trình: 35 = 53
(1)
x
(1) ⇔ log
(3 ) = log (5 )
5x
3
3x
3
(
x −3
)
2/ Giải phương trình: x + 1
5
⇔ 5 = 3 log 3 5 ⇔ = log 3 5 ⇔ x = log 5 (log 3 5)
3
x
x
3
= 1 (2)
(2) ⇔ log (3 ) = log (2 ) ⇔ x = (5 − 2x ) log
5−2x
x
3
3
(
3/ Giải phương trình: x + 2
x −1
)
x −3
= (x + 2)
3
2 ⇔ x (1 + 2 log3 2) = 5 log3 2 ⇔ x =
5 log3 2
1 + 2 log3 2
( 3)
0 < x + 2 ≠ 1
−2 < x ≠ −1
Điều kiện:
⇔
⇔ x ≥1
x − 1 ≥ 0
(3) ⇔ (x + 2) − 1 .
x ≥ 1
x − 1 − (x − 3)
x = − 1
(L )
x + 2 = 1
= 0 ⇔
⇔ x − 3 ≥ 0
x
−
1
=
x
−
3
2
x − 1 = (x − 3)
x ≥ 3
x ≥ 3
⇔ 2
⇔ x = 2 ⇒ x = 5
x − 7x + 10 = 0
x = 5
(
)
4/ Giải phương trình: x 2 + 3
x 2 −5 x +4
(
x +4
)
= x2 + 3
(4 )
x 2 + 2 = 0
(VN )
2
2
(4) ⇔ x + 3 − 1 x − 5x + 4 − (x + 4) = 0 ⇔ x 2 − 5x + 4 − x − 4 = 0
(
)
- 14 - www.mathvn.com
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
x ∈ 1; 4
( )
x ∈ (1; 4)
2
VN
−x + 5x − 4 − x − 4 = 0
⇔
⇔
⇔ x = 0; x = 6
x ∈ (−∞;1 ∪ 4; +∞)
x ∈ (−∞;1 ∪ 4; +∞)
x 2 − 5x + 4 − x − 4 = 0
x = 0; x = 6
ĐẶT ẨN SỐ PHỤ
(
Dạng 1: P a
f (x )
)
t = a f (x ), t > 0
=0⇔
P (t ) = 0
f (x )
( )
Dạng 2: α.a 2 f (x ) + β. ab
+ λ.b 2 f (x ) = 0
f (x )
⇒ Chia hai vế cho b
2 f (x )
a
, rồi đặt ẩn phụ t =
b
> 0 (chia cơ số lớn nhất).
Dạng 3: a f (x ) + b f (x ) = m với a.b = 1 . Đặt t = a f (x ) ⇒ b f (x ) =
1
.
t
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn số phụ dạng 1, loại đặt ẩn phụ hoàn toàn)
1/ 9x − 5.3x + 6 = 0
2/ 21+2x + 15.2x − 8 = 0
1
4/ 5
5/ 32−2x − 2.32−x − 27 = 0
()
( 3)
(5)
7/ 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103
(7)
8/
(9)
10/ 41−2 sin
3/ 5x +1 − 52−x = 124
2
9/ 9sin
2
+ 9cos
x
x
=6
x
− 51−
x
+4=0
6/ 5x + 251−x = 6
x
x
(7 + 4 3 ) + (2 + 3 )
2
x
+ 9.4−2 cos
2
x
=6
=5
(2)
(4 )
(6)
(8 )
(10)
Bài giải tham khảo
(1)
1/ Giải phương trình: 9x − 5.3x + 6 = 0
x
(1) ⇔ (3 )
2
2
( )
(1')
t = 2 (N )
− 5t + 6 = 0 ⇔
t = 3 (N )
− 5.3x + 6 = 0 ⇔ 3x
( )
Đặt t = 3x > 0 . Khi đó: 1' ⇔ t 2
− 5.3x + 6 = 0
Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ x = log 3 2 .
Với t = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = log 3 3 = 1 .
2/ Giải phương trình: 21+2x + 15.2x − 8 = 0
(2) ⇔ 2.2
2x
2
( )
+ 15.2x − 8 = 0 ⇔ 2. 2x
(2)
+ 15.2x − 8 = 0
(2 ')
t = 1
Đặt t = 2 > 0 . Khi đó: (2 ') ⇔ 2t + 15t − 8 = 0 ⇔
2
t = −8
x
Ch
ng II. Hàm s m
2
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
(N )
(L)
www.mathvn.com - 15 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
ng pháp gi i toán 12
1
1
1
⇒ 2x = ⇔ x = log2 ⇔ x = −1
2
2
2
Với t =
3/ Giải phương trình: 5x +1 − 52−x = 124
(3) ⇔ 5.5
x
−
25
− 124 = 0
5x
( 3)
(3 ' )
( )
Đặt t = 5x > 0 . Khi đó: 3 ' ⇔ 5t −
25
− 124 = 0 ⇔ 5t 2 − 124t − 25 = 0 ⇔
t
t = 25 (N )
t = −0, 2 L
( )
Với t = 25 ⇒ 5x = 25 ⇔ x = log5 25 = 2
4/ Giải phương trình: 5
x
− 51−
x
+4=0
(4 )
Điều kiện: x ≥ 0
(4 ) ⇔ 5
x
Đặt t = 5
−
x
5
5
x
(4 ' )
+4=0
> 0 . Khi đó: (4 ') ⇔ t −
Với t = 1 ⇒ 5
x
=1⇔ 5
x
5
+ 4 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔
t
= 50 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0
(5)
5/ Giải phương trình: 32−2x − 2.32−x − 27 = 0
(5) ⇔ 3 (
2 1−x )
t = 1 (N )
t = −5 L
( )
2
( )
− 2.3.31−x − 27 = 0 ⇔ 31−x
− 6.31−x − 27 = 0
t = −3
Đặt t = 31−x > 0 . Khi đó: 5 ' ⇔ t 2 − 6t − 27 = 0 ⇔
( )
t =9
(5 ')
(L)
(N )
Với t = 9 ⇒ 31−x = 9 ⇔ 31−x = 32 ⇔ 1 − x = 2 ⇔ x = −1
6/ Giải phương trình: 5x + 251−x = 6
(6) ⇔ 5
x
+
(6)
25
25
25
− 6 = 0 ⇔ 5x +
− 6 = 0 ⇔ 5x +
−6 = 0
x
x
2
25
52
5x
( )
( )
(6 ')
Đặt t = 5x > 0 . Khi đó:
t = 5
25
3
2
t = 1 + 21
6
'
⇔
+
−
6
=
0
⇔
−
6
+
25
=
0
⇔
−
5
−
−
5
=
0
⇔
t
t
t
t
t
t
( )
(
)
2
2
t
1
−
21
t =
2
(
)
(N )
(N )
(L )
Với t = 5 ⇒ 5x = 1 ⇔ x = 0 .
Với t =
1 + 21
1 + 21
1 + 21
.
⇒ 5x =
⇔ x = log5
2
2
2
7/ Giải phương trình: 33+3x + 33−3x + 34+x + 34−x = 103
- 16 - www.mathvn.com
Ch
(7)
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
(7) ⇔ 27.3
ng pháp gi i toán 12
3x
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
27
81
x
3
33x + 1 + 81. 3x + 1 = 103
+
+
=
⇔
81.3
10
27.
3 3x
3x
33x
3x
+
(7 ')
1 Côsi
1
≥ 2 3x . x = 2
x
3
3
Đặt t = 3x +
3
1
1
1
1
1
⇒ t = 3x + x = 33x + 3.32x . x + 3.3x . 2x + 3x ⇔ 33x + 3x = t 3 − 3t
3
3
3
3
3
3
(
( )
)
Khi đó: 7 ' ⇔ 27 t 3 − 3t + 81t = 103 ⇔ t 3 =
10
1
10
⇒ 3x + x =
3
3
3
Với t =
103
10
⇔t =
>2
27
3
(N )
(7 '')
y = 3 (N )
1 10
2
⇔ 3y − 10y + 3 = 0 ⇔
Đặt y = 3 > 0 . Khi đó: (7 '') ⇔ y + =
y = 1 (N )
y
3
3
x
Với y = 3 ⇒ 3x = 3 ⇔ x = 1
1
1
⇒ 3x = ⇔ x = − 1
3
3
Với y =
x
(
8/ Giải phương trình: 7 + 4 3
x
x
) + (2 + 3 )
2
(8) ⇔ 2 + 3 + 2 + 3
(
)
(
)
x
Đặt t = 2 + 3
=6
(8 )
2
x
x
−6 = 0 ⇔ 2+ 3 + 2+ 3 −6 = 0
t = 2
(N )
2
> 0 . Khi đó: (8 ') ⇔ t + t − 6 = 0 ⇔
t = −3 (L )
(
x
)
(
)
(
)
( 8 ')
x
(
Với t = 2 ⇒ 2 + 3
)
2
9/ Giải phương trình: 9sin
= 2 ⇔ x = log
(2+ 3 )
x
2
+ 9cos
x
2
(9)
=6
Cách 1: Phương pháp đặt ẩn phụ với 1 ẩn.
1−cos2 x
(9) ⇔ 9
2
2
+ 9cos
(
x
=6⇔
9
9
2
cos2 x
+ 9cos x − 6 = 0
( )
)
Đặt t = 9cos x , 1 ≤ t ≤ 9 . Khi đó: 9 ' ⇔
Với t = 3 ⇒ 9cos
2
x
2
= 3 ⇔ 32 cos
x
(9 ')
9
+ t − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 9 = 0 ⇔ t = 3
t
= 31 ⇔ 2 cos2 x − 1 = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =
π kπ
+
, (k ∈ ℤ)
4
2
Cách 2: Phương pháp đặt ẩn phụ với 2 ẩn dẫn đến hệ phương trình.
u = 9sin2 x
u + v = 6
Đặt
.
Khi
đó:
, (1 ≤ u, v ≤ 9)
2
2
2
2
2
v = 9cos x
u.v = 9sin x .9cos x = 9sin x +cos x = 9
Theo định lí Viét, thì u, v chính là nghiệm của phương trình: X 2 − SX + P = 0
⇔ X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 − 6X + 9 = 0 ⇔ u = v = 3
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 17 -
Ths. Lê Văn Đoàn
⇔ 9sin
2
x
= 9cos
2
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
x
2
= 3 ⇔ 9cos
x
=3⇔ x =
ng pháp gi i toán 12
π kπ
+
, (k ∈ ℤ)
4
2
Cách 3: Phương pháp ước lượng 2 vế (dùng bất đẳng thức Cauchy).
2
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 9sin
2
Dấu “=” xảy ra khi: 9sin
- 18 - www.mathvn.com
x
2
= 9cos
x
x
2
+ 9cos
Côsi
x
2
≥ 2 9sin x .9cos
2
x
= 2. 9 = 6
⇔ sin2 x = cos2 x ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x =
Ch
ng II. Hàm s m
π kπ
+
, (k ∈ ℤ)
4
2
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
10/ Giải phương trình: 41−2 sin
2
x
+ 9.4−2 cos
www.MATHVN.com
2
x
(10)
=5
2
(10) ⇔ 4
−1+2 cos2 x
2
Đặt t = 42 cos
x
( )
42 cos
−5 = 0 ⇔
4
x
+
9
2
42 cos
−5 = 0
x
(10 ')
, (ÐK : 1 ≤ t ≤ 16) .
Khi đó: 10 ' ⇔
Với t = 2 ⇒ 4
+ 9.4
−2 cos2 x
Ths. Lê Văn Đoàn
t = 18
t = 2
t
9
+ − 5 = 0 ⇔ t 2 − 20t + 36 = 0 ⇔
4 t
2 cos2 x
1
2
= 2 = 4 ⇔ 2 cos2 x =
(L )
(N )
1
1
π
⇔ cos x = ± ⇔ x = ± + k π , (k ∈ ℤ)
2
2
3
Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 2: Chia hai vế cho cơ số lớn nhất hoặc nhỏ nhất)
1/ 25x + 15x = 2.9x
2/ 9x +1 − 13.6x + 4x +1 = 0
1
2
()
3/ 49x − 2.35x − 7.52x +1 = 0
()
1
( 3)
1
1
(4 )
4/ 2.4 x + 6 x = 9 x
Bài giải tham khảo
(1)
1/ Giải phương trình: 25x + 15x = 2.9x
2
x
x
3
15x
9x
3
(1) ⇔ 1 + 25x = 2. 25x ⇔ 2. 5 − 5 + 1 = 0
(1')
t = 1
x
3
2
Đặt: t = > 0 . Khi đó: (1') ⇔ 2t − t − 1 = 0 ⇔
t = − 1
5
2
x +1
x
x +1
= 0 (2)
2/ Giải phương trình: 9 − 13.6 + 4
(N )
3
. Với t = 1 ⇒
5
(L)
x
=1⇔ x = 0
2
x
x
x
x
9
6
3
3
(2) ⇔ 9.9 − 13.6 + 4.4 = 0 ⇔ 9. 4 − 13. 4 + 4 = 0 ⇔ 9. 2 − 13. 2 + 4 = 0
x
3
t = 1 (N )
2
Đặt: t = > 0 . Khi đó: (2 ') ⇔ 9t − 13t + 4 = 0 ⇔
t = 4 (N )
2
9
x
x
x
(2 ')
x
3
Với t = 1 ⇒ = 1 ⇔ x = 0
2
x
3
4
4
Với t = ⇒ = ⇔ x = −2
9
9
2
3/ Giải phương trình: 49x − 2.35x − 7.52x +1 = 0
( 3)
2
x
x
x
x
49
35
7
7
(3) ⇔ 49 − 2.35 − 35.25 = 0 ⇔ 25 − 2. 25 − 35 = 0 ⇔ 5 − 2. 5 − 35 = 0
x
Ch
x
ng II. Hàm s m
x
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
( 3 ')
www.mathvn.com - 19 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
x
7
Đặt: t = > 0 . Khi đó: (3 ') ⇔ t 2 − 2t − 35 = 0 ⇔
5
t = 7
t = −5
ng pháp gi i toán 12
(N )
(L)
x
7
Với t = 7 ⇒ = 7 ⇔ x = log 7 7
5
5
1
1
1
(4 )
4/ Giải phương trình: 2.4 x + 6 x = 9 x
Điều kiện: x ≠ 0
1
x
4
(4) ⇔ 2. 9
x
2
Đặt: t =
3
2
1
x
2 x
6
2
+ − 1 = 0 ⇔ 2. + − 1 = 0 (4 ')
3
9
3
t = −1 (L )
2
> 0 . Khi đó: (4 ') ⇔ 2t + t − 1 = 0 ⇔
t = 1 (N )
2
1
x
x
2
1
1
1
Với t = ⇒ = ⇔ x = log 2
2
2
2
3
3
Thí dụ 3. Giải các phương trình mũ sau (đặt ẩn phụ dạng 3)
x
x
x
(
) + (2 − 3 ) = 4
3/ (5 − 21 ) + 7 (5 + 21 ) = 2
1/ 2 + 3
x
x
x +3
x
(1)
3
3
2/ 5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10
( 3)
4/
(
sin x
8+3 7
)
(2)
sin x
(
+ 8−3 7
)
(4 )
= 16
Bài giải tham khảo
x
x
(
) + (2 − 3 ) = 4 (1)
Nhận xét: (2 + 3 ). (2 − 3 ) = 1 ⇔ (2 + 3 ). (2 − 3 ) = 1 = 1 ⇔ (2 + 3 ) . (2 − 3 )
1
1
1
Đặt: t = (2 + 3 ) > 0 ⇒ (2 − 3 ) =
= >0⇒t =
= (2 − 3 )
t
(2 + 3 )
(2 − 3 )
1/ Giải phương trình: 2 + 3
x
x
x
x
x
=1
−x
x
x
x
1
t = 2 + 3 > 0 (N )
2
(1) ⇔ t + t = 4 ⇔ t − 4t + 1 = 0 ⇔
t = 2 − 3 > 0 (N )
x
(
)
3 ⇒ (2 − 3 )
Với t = 2 + 3 ⇒ 2 + 3
=2+ 3 ⇔ x =1
−x
Với t = 2 −
= 2 − 3 ⇔ x = −1
x
x
3
3
2/ Giải phương trình: 5 + 2 6 + 5 − 2 6 = 10
(
(2) ⇔ 5 + 2 6
)
x
3
(
+ 5−2 6
- 20 - www.mathvn.com
)
x
3
− 10 = 0
(2)
(2 ')
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
x
(
)(
)
(
Đặt: t = (5 + 2 6 ) > 0 ⇒ (5 − 2 6 )
Nhận xét: 5 + 2 6 . 5 − 2 6 = 1 ⇔ 5 + 2 6
x
x
) (
3
. 5−2 6
)
x
Ths. Lê Văn Đoàn
3
x
= 13 = 1
−x
1
3
⇒ t = 5−2 6
t
t = 5 + 2 6 > 0 N
( )
1
2
(2 ') ⇔ t + t − 10 = 0 ⇔ t − 10t + 1 = 0 ⇔
t = 5 − 2 6 > 0 (N )
x
x
3
Với t = 5 + 2 6 ⇒ 5 + 2 6
= 5+2 6 ⇔ =1⇔ x = 3
3
−x
x
3
= 5 − 2 6 ⇔ − = 1 ⇔ x = −3
Với t = 5 − 2 6 ⇒ 5 − 2 6
3
3
(
(
(
=
x
(
)
x
(
+ 7 5 + 21
)(
)
)
= 2x + 3
( 3)
x
(
) (
Nhận xét: 5 + 21 . 5 − 21 = 4 ⇔ 5 + 21 . 5 − 21
x
(
Đặt: t = 5 + 21
)
)
)
)
3/ Giải phương trình: 5 − 21
(
3
x
(
> 0 ⇒ 5 − 21
)
=
x
)
(
= 4x ⇔ 5 − 21
4x
x
)
=
x
(5 + 21)
4x
>0
t
4x
+ 7.t = 2x +3 ⇔ 7t 2 − 8.2x t + 4x = 0
t
x
x
t = 4.2 + 3.2 = 2x > 0
2
7
∆ ' = 16.4x − 7.4x = 9.4x = 3.2x ⇒
2x
>0
t =
7
( 3) ⇔
(
x
(
Với t = 2 ⇒ 5 + 21
(
)
(N )
x
x
= 2 ⇔
x
2x
2
= 7 ⇔ x = log
=
⇔
7
2
5 + 21
7
5+ 21
)
2x
Với t =
⇒ 5 + 21
7
(N )
)
x
= 1 ⇔ x = 0
5 + 21
2
x
sin x
sin x
(8 + 3 7 ) + (8 − 3 7 ) = 16 (4)
Nhận xét: (8 + 3 7 ). (8 − 3 7 ) = 1 ⇔ (8 + 3 7 ) . (8 − 3 7 )
1
Đặt: t = (8 + 3 7 )
> 0 ⇒ ( 8 − 3 7 ) = ⇒ (8 − 3 7 )
t
4/ Giải phương trình:
sin x
sin x
sin x
sin x
= 1sin x = 1
− sin x
=t
t = 8 + 3 7 > 0 N
( )
1
2
(4) ⇔ t + t = 16 ⇔ t − 16t + 1 = 0 ⇔
t = 8 − 3 7 > 0 (N )
sin x
(
Với t = 8 + 3 7 ⇒ 8 + 3 7
(
ng II. Hàm s m
= 8 + 3 7 ⇔ sin x = 1 ⇔ x =
π
+ k 2π , (k ∈ ℤ )
2
− sin x
Với t = 8 − 3 7 ⇒ 8 − 3 7
Ch
)
)
= 8 − 3 7 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
π
+ l π , (l ∈ ℤ)
2
www.mathvn.com - 21 -
Ths. Lê Văn Đoàn
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
ng pháp gi i toán 12
SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Xét phương trình: f (x ) = g (x )
(1)
()
Đoán nhận xo là một nghiệm của phương trình 1 (thông thường là những số lân cận số 0).
Dựa vào tính đồng biến và nghịch biến của f (x ) và g (x ) để kết luận xo là nghiệm duy nhất:
o f (x ) đồng biến và g (x ) nghịch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
o f (x ) đơn điệu và g (x ) = c (hằng số).
Nếu f (x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) thì f (u ) = f (v ) ⇔ u = v .
Lưu ý:
Hàm số bậc nhất: y = ax + b , a ≠ 0
(
)
+ Đồng biến khi: a > 0
+ Nghịch biến khi : a < 0
Hàm số mũ: y = a x
+ Đồng biến khi: a > 1
+ Nghịch biến khi: 0 < a < 1
Thí dụ 1. Giải các phương trình mũ sau (sử dụng tính đơn điệu của hàm số)
1/ 3x = 5 − 2x
2/ 4x + 3x = 5x
3/ 22x −1 + 32x + 52x +1 = 2x + 3x +1 + 5x +2
5/ 36. 2x + 3x
(
3
3
) = 9.8
x
+ 4.27x
Bài giải tham khảo
(1)
x
1/ Giải phương trình: 3 = 5 − 2x
()
Ta có: x = 1 là một nghiệm của phương trình 1
()
()
Mà f x = 3x đồng biến trên ℝ và g x = 5 − 2x đồng biến trên ℝ .
⇒ Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x = 1 .
2/ Giải phương trình: 4x + 3x = 5x
(2)
()
Ta có: x = 2 là một nghiệm của phương trình 2
x
x
4
3
(2) ⇔ 5 + 5 = 1
x
x
x
4
3
(2 ') . Xét hàm số: y = f (x ) = 5 + 5 , ∀x ∈ ℝ
x
4
4 3
3
y ' = f ' (x ) = . ln + . ln < 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ y = f (x ) nghịch biến trên ℝ và f (2) = 0 .
5 5
5
5
() ()
( )
Với x < 2 ⇔ f (x ) > f (2) = 1 ⇒ (2 ') :
Với x > 2 ⇔ f x < f 2 = 1 ⇒ 2 ' : vô nghiệm.
vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 2
3/ Giải phương trình: 22x −1 + 32x + 52x +1 = 2x + 3x +1 + 5x +2
( 3) ⇔ 2
2x −1
( 3)
22 x
+ 32x + 5.52x = 2x + 3x +1 + 5.5x +1
2
x +1
dạng f (u ) = f ( v)
+ 10.5
(3 ' )
+ 32x + 52x +1 = 2x + 3x +1 + 5x +2 ⇔
⇔ 22x + 2.32x + 10.52x = 2x +1 + 2.3x +1
- 22 - www.mathvn.com
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
()
Xét hàm số: f t = 2t + 2.3t + 10.5t , ∀t ∈ ℝ
()
()
Ta có: f ' t = 2t. ln 2 + 2.3t. ln 3 + 10.5t .ln 5 > 0 ⇒ f t đồng biến trên ℝ .
( )
( )
(
)
Phương trình 3 ' có dạng: f 2x = f x + 1 ⇔ 2x = x + 1 ⇔ x = 1
(
3
4/ Giải phương trình: 36. 2x + 3x
3
) = 9.8
x
+ 4.27x
(4 )
3
3
8x
27 x
+
⇔ 2x + 3x = 23x −2 + 33x −2
4
9
t
t
Xét hàm số f (t ) = 2 + 3 , ∀t ∈ ℝ
3
3
(4) ⇔ 2x + 3x =
()
(4 ')
()
()
dạng f u = f v
()
Ta có: f ' t = 2t. ln 2 + 3t . ln 3 > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ y = f x đồng biến trên ℝ
( )
( )
Phương trình 4 ' có dạng: f x
3
x =1
= f (3x − 2) ⇔ x = 3x − 2 ⇔ x − 3x + 2 = 0 ⇔
x = −2
3
3
Thí dụ 2. Giải phương trình mũ (đặt ẩn phụ dạng 1, loại không hoàn toàn và kết hợp tính đơn điệu)
1/
(x + 4).9
x
(
2
− (x + 5).3x + 1 = 0
)
2
2/ 4x + x 2 − 7 .2x + 12 − 4x 2 = 0
Bài giải tham khảo
(
)
(
)
> 0 . Khi đó: (1) ⇔ (x + 4).t
x
(1)
x
1/ Giải phương trình: x + 4 .9 − x + 5 .3 + 1 = 0
Đặt: t = 3x
2
− (x + 5).t + 1 = 0
2
2
∆ = (x + 5) − 4 (x + 4) = x 2 + 6x + 9 = (x + 3)
t = x + 5 + x + 3 = 1
2 (x + 4)
⇒
x +5−x −3
1
=
t = 2 x + 4
x +4
(
)
Với t = 1 ⇒ 3x = 1 ⇔ x = 0
x + 4 > 0
x > −4
1
Với t =
>0⇔ x
⇔ x
1
3 =
3 . x + 4) = 1
x +4
(
x +4
Phương trình (1') có một nghiệm là x = −1 .
()
(
)
(
Xét hàm số: f x = 3x . x + 4 , ∀x ∈ −4; +∞
(1')
)
Ta có: f ' x = 3x . x + 4 . ln 3 + 3x = 3x . x + 4 .ln 3 + 1 > 0, ∀x ∈ −4; +∞
()
(
)
(
)
(
)
⇒ f (x ) đồng biến ∀x ∈ (−4; +∞) và g (x ) = 1 là hàm không đổi.
⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1')
()
Vậy phương trình 1 có hai nghiệm là x = 0; x = −1
2
(
)
2
2/ Giải phương trình: 4x + x 2 − 7 .2x + 12 − 4x 2 = 0
2
()
(
(2)
)
Đặt: t = 2x > 0 . Khi đó: 2 ⇔ t 2 + x 2 − 7 .t + 12 − 4x 2 = 0
Ch
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 23 -
Ths. Lê Văn Đoàn
2
(
Phân lo i và ph
www.MATHVN.com
)
(
2
) ( )
∆ = x 2 − 7 − 4 12 − 4x 2 = x 2
7 − x2
t
=
2
+ 2x 2 + 1 = x 2 + 1 ⇒
7 − x2
t =
(
)
ng pháp gi i toán 12
+ x2 + 1
=4
2
− x2 −1
= 3 − x2
2
2
Với t = 4 ⇒ 2x = 4 = 22 ⇔ x 2 = 2 ⇔ x = ± 2
3 − x 2 > 0
x ∈ − 3; 3
Với t = 3 − x > 0 ⇔ x 2
⇔ 2
2
2 = 3 − x 2
x
2 + x = 3
(
2
(
2
()
Xét hàm số f x = 2x + x 2 , ∀x ∈ − 3; 3
(
2
)
(2 ')
)
)
2
f ' (x ) = 2x .2x . ln 2 + 2x = 2x 2x .ln 2 + 2 .
2x = 0
Cho f ' (x ) = 0 ⇔ x 2
⇔x =0
x2
2 . ln 2 + 2 = 0 VN do : 2 .ln 2 + 2 > 0, ∀x ∈ ℝ
(
)
Bảng biến thiên:
x
− 3
−∞
f ' (x )
0
0
–
3
+∞
+
11
11
f (x )
1
(
)
()
()
Nếu x < −1 ⇔ f (x ) > f (−1) = 3 ⇒ (2 ') : vô nghiệm.
Nếu x > −1 ⇔ f (x ) < f (−1) = 3 ⇒ (2 ') : vô nghiệm.
⇒ x ∈ (− 3; 0) thì phương trình (2 ') có nghiệm duy nhất là x = −1 .
Với x ∈ (0; +∞) ⇒ f ' (x ) > 0 : f (x ) đồng biến.
Nếu x < 1 ⇔ f (x ) < f (1) = 3 ⇒ (2 ') : vô nghiệm.
Nếu x > 1 ⇔ f (x ) > f (1) = 3 ⇒ (2 ') : vô nghiệm.
⇒ x ∈ (0; +∞) thì phương trình (2 ') có nghiệm duy nhất là x = 1 .
Với x ∈ − 3; 0 ⇒ f ' x < 0 : f x nghịch biến.
()
Vậy phương trình 2 có 4 nghiệm là: x = ±1; x = ± 2
ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH, TỔNG HAI SỐ KHÔNG ÂM VÀ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
A = 0
Phương trình tích: A.B = 0 ⇔
B = 0
A = 0
Tổng hai số không âm: A + B = 0 ⇔
B = 0
Phương pháp đối lập: Xét phương trình: f (x ) = g (x )
2
- 24 - www.mathvn.com
2
(1)
f (x ) ≥ M
f (x ) = M
s l y th a
Hàm
Nếu ta chứng minhCh
đượcng
II. Hàm s thìm 1 ⇔
g(x ) ≤ M
()
g(x ) = M
Hàm s Logarit
Phân lo i và ph
ng pháp gi i toán 12
www.MATHVN.com
Ths. Lê Văn Đoàn
Thí dụ 1. Giải phương trình (đưa về phương trình tích số)
1/ 25.2x − 10x + 5x = 25
2/ 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20
1
()
(2)
Bài giải tham khảo
(1)
1/ Giải phương trình: 25.2x − 10x + 5x = 25
(1) ⇔ 25.2
(
x
)
(
)
(
)(
)
− 25 − 2x .5x + 5x = 0 ⇔ 25 2x − 1 − 5x 2x − 1 = 0 ⇔ 2x − 1 25 − 5x = 0
2x − 1 = 0
2x = 1
x = 0
⇔
⇔
⇔
x
x
25 − 5 = 0
5 = 25
x = 2
2/ Giải phương trình: 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 (2)
(2) ⇔ 12.3
(
x
)
(
)
+ 3.3x .5x − 5.5x − 20 = 0 ⇔ 3.3x 4 + 5x − 5 5x + 4 = 0
5x + 4 = 0 : VN do 5x + 4 > 0, ∀x ∈ ℝ
5
5
x
x
⇔ 5 + 4 3.3 − 5 = 0 ⇔ x
⇔ 3x = ⇔ x = log 3
3.3 − 5 = 0
3
3
(
)(
)
Thí dụ 2. Giải các phương trình mũ sau (đưa về phương trình tích hoặc nghiệm của phương trình bậc 2)
(
)
(
(
)
1/ 2 x 2 − 3x +1 = 3x 1 − 4.3x − 1
(
)
)
2/ x 2 .5x −1 − 3x − 3.5x −1 x + 2.5x −1 − 3x = 0
(
)
1/ Giải phương trình: 2 x 2 − 3x +1 = 3x 1 − 4.3x − 1
(1)
Cách 1: Nghiệm của phương trình bậc 2 (theo x )
(1) ⇔ 2x
2
(
)
+ 16.9 ) − 8 (−6.3
− 3 1 − 4.3x .x − 6.3x + 1 = 0
(
∆ = 9 1 − 8.3x
x
x
)
(
+ 12.3x − 1
x = 1
=1
4
2
⇔
x
− 12.3 + 1
3x = 1 − x
= 1 − 6.3x
4
6 6
Ta có: x = −1 là một nghiệm của phương trình (1')
x
x = 3 − 12.3
⇒
3 − 12.3x
x
=
()
Hàm số f x = 3x đồng biến ∀x ∈ ℝ
1 x
Hàm số y = − nghịch biến ∀x ∈ ℝ
6 6
2
)
+ 1 = 144.9x − 24.3x + 1 = 12.3x − 1
(1')
⇒ x = −1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1')
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = −1; x =
1
2
Cách 2: Đưa về phương trình tích loại phân tích thành nhân tử
(1) ⇔ 2x
Ch
2
1
− 3x + 1 + 6.3x . (2x − 1) = 0 ⇔ 2 (x − 1)x − + 6.3x . (2x − 1) = 0
2
ng II. Hàm s m
Hàm s l y th a
Hàm s Logarit
www.mathvn.com - 25 -
