Dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông

THƯ
VIỆN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

LÊ THÀNH ĐẠT

DẠY HỌC GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2010


LỜI CẢM ƠN


T

ôi xin trân trọng cảm ơn PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS. TS. Lê Văn Tiến, TS.
Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã bỏ nhiều thời gian và

công sức để giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những tri thức cần thiết và quan

trọng của bộ môn didactic Toán, giúp chúng tôi có đủ hành trang để tiếp thu bộ môn didactic Toán
này.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:


Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Khoa học công nghệ - Sau đại học Trường ĐHSP

Thành phố Hồ Chí Minh.


Ban chủ nhiệm và các giảng viên Khoa Toán Trường ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh.



Tất cả những học viên cùng khóa đã giúp đỡ tôi học tập và nghiên cứu về bộ môn

didactic Toán trong suốt khóa học.


Ban Giám hiệu cùng các Thầy Cô trong tổ Toán Trường THPT Bù Đăng đã tạo nhiều

điều kiện và giúp đỡ tôi có thời gian học tập và tiến hành nghiên cứu thực hành giảng dạy
giới hạn hữu hạn của hàm số của giáo viên.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung,
người đã nhiệt tình hướng dẫn tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin được chia sẻ niềm hạnh phúc đến những người thân yêu trong gia đình,
những người đã và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập.

TÔI XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN
Lê Thành Đạt


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BT

: Bài tập

CLHN

: Chỉnh lí hợp nhất

CT

: Chương trình

GD & ĐT

: Giáo dục và Đào tạo

GV

: Giáo viên

HS

: Học sinh

THPT

: Trung học phổ thông

SGK

: Sách giáo khoa

SGK. M

: Sách giáo khoa Mỹ

SGK 11.CB

: Sách giáo khoa 11 cơ bản

SGK 11.CLHN

: Sách giáo khoa 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000

SGK 11.NC

: Sách giáo khoa 11 nâng cao

SGK 12.CB

: Sách giáo khoa 12 cơ bản

SGK 12.NC

: Sách giáo khoa 12 nâng cao

VD

: Ví dụ


ĐẶT VẤN ĐỀ

I. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas, approche heuristique de l’analyse.
Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” (Nhóm AHA, 1999), một câu hỏi được đặt ra : “ Giải
tích toán học là gì? ”. Theo các tác giả của Group AHA :
“Giải tích được xây dựng qua nhiều thế kỷ và thông qua nhiều vấn đề khác nhau, trong
đó phần lớn các vấn đề liên quan đến Vật lí (vận tốc tức thời, gia tốc…) và Hình học (bài
toán tiếp tuyến, tiệm cận, diện tích và thể tích). Đồng thời được nhìn nhận theo hai
hướng : có thể được nhìn rất gần (qua vấn đề tiếp tuyến), có thể nhìn rất xa (qua việc
nghiên cứu các hành vi tiệm cận). Suy cho cùng chính là khái niệm giới hạn […]. Như
vậy, khái niệm giới hạn chính là khái niệm cơ bản của Giải tích thực”
Khẳng định này cũng được thể hiện một cách khá rõ ràng ở chương trình toán học phổ thông
Việt Nam với vai trò là công cụ để nghiên cứu các khái niệm cơ sở của Giải tích như : khái niệm
hàm số liên tục, khái niệm đạo hàm, khái niệm đường tiệm cận …
Trong chương trình hiện hành hoàn toàn vắng mặt ngôn ngữ  ;   khi định nghĩa giới hạn
của dãy số và giới hạn của hàm số. Bên cạnh đó chúng tôi ghi nhận sự có mặt của những hoạt động
và kiểu bài toán xấp xỉ khi nghiên cứu khái niệm giới hạn trong bộ sách giáo khoa cơ bản, đồng thời
máy tính bỏ túi được chương trình hiện hành sử dụng một cách chính thức để tính các giá trị gần
đúng.
Trong luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả đã xây dựng một đồ án
didactic với mục tiêu giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan điểm xấp xỉ và trong môi
trường máy tính bỏ túi với giả thuyết công việc :

“Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa topo
có mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng  ;   : quan điểm xấp xỉ được xuất
hiện nhờ các thực nghiệm số.” (trang 33)
Trong thực tế dạy học ở trường phổ thông, giáo viên và học sinh chắc chắn gặp nhiều khó
khăn khi tổ chức dạy và học khái niệm giới hạn thông qua các bài toán xấp xỉ có mặt trong chương
trình hiện hành, vì đây là một trong những điểm mới so với các chương trình trước đó.
Những nhận xét trên dẫn chúng tôi tới câu hỏi khởi đầu sau :
-

Nếu không sử dụng ngôn ngữ  ;   để định nghĩa giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, thì


việc giới thiệu khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số được thể chế hiện hành tổ chức thực hiện
như thế nào ?
-

Những bài toán xấp xỉ nào được xuất hiện trong các sách giáo khoa hiện hành khi xây dựng

và trình bày khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ? Những khó khăn và thuận lợi nào giáo viên và
học sinh có thể gặp phải khi làm việc trên những bài toán này ?
Các nội dung liên quan đến tri thức giới hạn hàm số được chương trình hiện hành sắp xếp
trình bày một cách rõ ràng với hai chủ đề riêng biệt : “giới hạn hữu hạn của hàm số - giới hạn vô
cực của hàm số” thông qua các hoạt động cụ thể để xây dựng và hình thành các khái niệm.
Trong giới hạn về thời gian và khuôn khổ của một luận văn thạc sỹ và để nghiên cứu có thể
hoàn thành tốt, chúng tôi giới hạn phạm vi nghiên cứu của mình vào khái niệm giới hạn hữu hạn của
hàm số.
II. Khung lí thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán. Cụ thể, điểm tựa lý
thuyết sẽ là những khái niệm cơ bản của lý thuyết nhân chủng học. Sau đây chúng tôi trình bày một
cách tóm tắt những khái niệm lý thuyết cơ bản mà chúng tôi sử dụng cho nghiên cứu của mình trong

luận văn.
Một số yếu tố của thuyết nhân học – Những thuật ngữ cơ bản

O : đối tượng
X : cá nhân
I : thể chế
R(X, O) : quan hệ cá nhân của X với O
R(I, O) : quan hệ thể chế với O
Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại ít nhất đối với một cá nhân hay với một thể chế.
Quan hệ của cá nhân X với một đối tượng tri thức O, ký hiệu R(X, O) là tập hợp những tác
động qua lại mà X có thể có với O như: thao tác nó, sử dụng nó, nghĩ về nó, nói về nó, … R(X, O)
chỉ rõ cách thức mà X biết về O, và tùy theo thời gian và hoàn cảnh mà mối quan hệ R(X, O) này có
thể thay đổi.
“Theo thời gian, hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển : những đối tượng
trước đây không tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác ngừng tồn tại, đối
với những đối tượng khác thì quan hệ các nhân của X thay đổi. Trong sự tiến triển này,


cái bất biến là cá nhân, cái thay đổi là con người” (Chavallard 1992)
Theo quan điểm này, việc học tập của cá nhân X về đối tượng tri thức O là sự điều chỉnh mối
quan hệ của X đối với O. Hoặc quan hệ này bắt đầu được thiết lập (nếu nó chưa từng tồn tại), hoặc
bị biến đổi (nếu nó đã tồn tại). Sự học tập này làm thay đổi con người.
Thế nhưng, một cá nhân không thể tồn tại độc lập ở đâu đó mà luôn luôn phải ở trong ít nhất
một thể chế I, từ đó dẫn đến việc thiết lập hay biến đổi mối quan hệ R(X,O) phải được đặt trong một
thể chế I nào đó có sự tồn tại của X, như vậy giữa I và O cũng phải có một quan hệ xác định gọi là
quan hệ thể chế với đối tượng O, ký hiệu là R(I, O). Quan hệ này là một ràng buộc (thể chế) đối với
quan hệ của một cá nhân với cùng đối tượng O, khi cá nhân là chủ thể của thể chế I và nó phụ thuộc
vào vị trí mà cá nhân chiếm trong thể chể I.
Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O), để chỉ tập hợp
các mối ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O. R(I, O) cho biết O xuất hiện ở đâu, bằng cách nào,

tồn tại ra sao, đóng vai trò gì trong I. Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi
dưới các ràng buộc của R(I,O).
Tổ chức toán học
Theo Chavallard, mỗi praxéologie là một bộ gồm 4 thành phần T ,  ,  ,  trong đó : T là
một kiểu nhiệm vụ phải giải quyết,  là kỹ thuật cho phép giải quyết T,  là công nghệ cho phép
giải thích kỹ thuật  ,  là lý thuyết giải thích cho  , nghĩa là công nghệ của công nghệ  .
Một praxéologie mà trong đó T là kiểu nhiệm vụ toán học được gọi là một tổ chức toán học
(organisation mathématique), ký hiệu là OM. Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối
quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua nghiên cứu các tổ
chức toán học gắn liền với O.
“Mối quan hệ thể chế với một đối tượng […] được định hình và biến đổi bởi một tập hợp
những nhiệm vụ mà cá nhân [chiếm một vị trí nào đó trong thể chế này] phải thực hiện,
nhờ vào những kỹ thuật xác định” (Bosch. M và Chevallard Y., 1999).
Hơn thế, cũng theo Bosch. M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền
với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X tồn tại
trong O, bởi vì :
“ Chính việc thực hiện những nhiệm vụ khác nhau mà cá nhân phải làm trong suốt cuộc
đời mình trong những thể chế khác nhau, ở đó nó là một chủ thể (lần lượt hay đồng thời),
dẫn tới làm nảy sinh mối quan hệ cá nhân của nó với đối tượng nói trên ”.


Tổ chức didactic
Tổ chức didactic là một praxéologie, trong đó kiểu nhiệm vụ cấu thành nên nó là kiểu nhiệm
vụ thuộc loại nghiên cứu. Cụ thể hơn, một tổ chức didactic là một câu trả lời cho câu hỏi thuộc kiểu
“nghiên cứu tác phẩm O như thế nào ?”.
Theo Chevallard, để phân tích thực hành của giáo viên, nhà nghiên cứu cần phải trả lời hai
câu hỏi :
 Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức toán học được xây dựng trong một lớp học cụ
thể ?
 Làm thế nào để mô tả và phân tích một tổ chức didactic mà một giáo viên đã triển khai để

truyền bá một tổ chức toán học cụ thể trong một lớp học cụ thể?
Công cụ lý thuyết mà Chevallard đưa ra để giúp nhà nghiên cứu trả lời hai câu hỏi trên chính
là khái niệm các thời điểm nghiên cứu. Theo ông, dù không phải là mọi tổ chức toán học đều được
tổ chức nghiên cứu theo một cách thức duy nhất, thì vẫn có một số những thời điểm nghiên cứu nhất
thiết phải có mặt cho dù dưới những hình thức rất khác nhau. Cụ thể, ông cho rằng một tình huống
học tập nói chung bao gồm 6 thời điểm nghiên cứu (moment d’étude) hay thời điểm didactic
(moment didactique).
Thời điểm thứ nhất : là thời điểm gặp gỡ lần đầu tiên với tổ chức toán học OM được diễn ra dưới
hình thức thông báo hoặc dưới hình thức giải quyết một kiểu nhiệm vụ cụ thể. Đó chính là mục tiêu
đặt ra cho việc học tập liên quan đến đối tượng O.
Sự gặp gỡ như vậy có thể xảy ra theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, có một cách gặp (hay
« gặp lại ») hầu như không thể tránh khỏi là cách gặp thông qua một hay nhiều kiểu nhiệm vụ Ti cấu
thành nên O (trừ khi người ta chưa thực sự quan tâm đến việc nghiên cứu O). Sự « gặp gỡ lần đầu
tiên » với kiểu nhiệm vụ Ti có thể xảy ra qua nhiều lần tùy vào môi trường toán học và didactic tạo
ra sự gặp gỡ này, cụ thể : người ta có thể khám phá lại một kiểu nhiệm vụ giống như khám phá lại
một người mà người ta nghĩ rằng mình đã biết rõ. Có hai câu hỏi cần xem xét trong thời điểm này :
 Cái gì được gặp trong lần gặp đầu tiên với tổ chức toán học liên quan đến O?
 Lần gặp đầu tiên có thể xảy ra dưới những hình thức nào?
Thời điểm thứ hai : là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Ti và xây dựng nên một kỹ thuật i cho
phép giải quyết kiểu nhiệm vụ này được diễn ra dưới các hình thức: giáo viên thông báo kỹ thuật và
học sinh giải quyết nhiệm vụ, học sinh tự xây dựng kỹ thuật để giải quyết nhiệm vụ, … Như thế,
nghiên cứu một bài toán cá biệt, làm mẫu cho kiểu nhiệm vụ cần nghiên cứu, là một cách thức tiến


hành để triển khai việc xây dựng kỹ thuật tương ứng. Kỹ thuật này lại là phương tiện và công cụ để
giải quyết mọi bài toán “cùng kiểu”.
Thời điểm thứ ba : là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ - lý thuyết [/] liên quan đến
 i , nghĩa là tạo ra những yếu tố lý thuyết cho phép giải thích kỹ thuật đã được thiết lập.

Thời điểm thứ tư : là thời điểm làm việc với kỹ thuật.

Thời điểm này là thời điểm hoàn thiện kỹ thuật bằng cách làm cho nó trở nên hiệu quả nhất,
có khả năng vận hành tốt nhất trong việc giải quyết kiểu nhiệm vụ liên quan, điều này nói chung
thường đòi hỏi chỉnh sửa lại công nghệ đã được xây dựng cho đến lúc đó. Đồng thời đây cũng là
thời điểm làm tăng khả năng làm chủ kỹ thuật bằng cách cho học sinh làm việc với một số nhiệm vụ
khác nhau thuộc kiểu nhiệm vụ này, để làm được điều này đòi hỏi phải xét một tập hợp thích đáng
cả về số lượng lẫn chất lượng các nhiệm vụ.
Thời điểm thứ năm : là thời điểm thể chế hóa.
Mục đích của thời điểm này là chỉ ra một cách rõ ràng các kiểu bài toán liên quan đến
kiểu nhiệm vụ, các kỹ thuật được ưu tiên giải, các yếu tố công nghệ - lý thuyết của kỹ thuật đó,
… Đặc biệt, phải phân biệt những yếu tố của tổ chức toán học đã tham gia vào quá trình xây
dựng này với những yếu tố của tổ chức toán học thực sự muốn nhắm đến, sự phân biệt này được
thể hiện qua việc học sinh tìm cách làm rõ sự cần thiết “phải biết” hay không một kết quả của
một bài toán hay một quy trình nào đó.
Thời điểm thứ sáu : là thời điểm đánh giá. Thời điểm này có mục đích xem xét tầm ảnh hưởng
của các kỹ thuật liên quan với kiểu nhiệm vụ : kỹ thuật nào có thể giải quyết được phần lớn các
nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ trên ? Kỹ thuật nào dễ sử dụng ?
Thời điểm đánh giá nối khớp với thời điểm thể chế hóa. Trong thực tế, việc dạy học phải
đi đến một thời điểm mà ở đó người ta phải «điểm lại tình hình» : cái gì đã học được, cái gì có
giá trị,…
Sáu thời điểm nghiên cứu nêu trên cho phép mô tả kỹ thuật thực hiện kiểu nhiệm vụ T : dạy

một tổ chức toán học như thế nào ?
Phân tích một tổ chức didactic có nghĩa là phân tích cách thức mà sáu thời điểm nghiên
cứu trên đã được thực hiện (hay không được thực hiện). Trong đó ba thời điểm đầu tương ứng
với giai đoạn nghiên cứu bài học của học sinh.
Đánh giá một tổ chức toán học
Đánh giá các kiểu nhiệm vụ : việc đánh giá dựa trên các tiêu chuẩn


 Tiêu chuẩn xác định: các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nêu rõ chưa, đặc biệt đã được thể hiện

qua tập hợp số lượng mẫu đủ nhiều và sẵn có để sử dụng chưa ? Hay ngược lại, chúng chỉ
được biết đến qua một vài mẫu tiêu biểu?
 Tiêu chuẩn về lý do tồn tại : lý do tồn tại của các kiểu nhiệm vụ Ti đã được nói rõ chưa ?
Hay ngược lại, chúng dường như không có lý do gì để tồn tại ?
 Tiêu chuẩn thỏa đáng : những kiểu nhiệm vụ được xem xét có thỏa đáng với nhu cầu toán
học của học sinh trong hiện tại và trong tương lai hay không ? Hay ngược lại, dường như
chúng rất biệt lập với các nhu cầu toán học của học sinh ?
Đánh giá kỹ thuật : Kỹ thuật được đề nghị để giải quyết kiểu nhiệm vụ Ti đã thực sự được xây
dựng chưa, hay chỉ mới là phác thảo ? Nó có dễ sử dụng và dễ hiểu không ? Nó có giải quyết
được phần lớn các nhiệm vụ thuộc kiểu nhiệm vụ cụ thể không ? Tương lai của nó ra sao và nó
có thể tiến triển theo một cách thức thích hợp hay không ?
Đánh giá công nghệ : Với một thông báo được đưa ra giải thích cho kỹ thuật thì vấn đề giải
thích nó có được đặt ra hay không ? Hay người ta thừa nhận thông báo này một cách hiển nhiên,
đã được biết rõ ? Các hình thức giải thích mà người ta đã sử dụng có gần gũi và dễ hiểu với các
hình thức chuẩn trong toán học không ? Cách giải thích đó có phù hợp với hoàn cảnh và điều
kiện sử dụng nó không ? …
III. Phương pháp nghiên cứu
Với khung lý thuyết tham chiếu ở trên, phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi lựa chọn là :
-

Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về khoa học luận lịch sử của khái niệm giới hạn để làm

rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm này, qua đó ghi nhận một số kết quả nghiên cứu thể
chế đối với khái niệm giới hạn trước đây để dùng làm cơ sở tham chiếu cho việc nghiên cứu thể chế
hiện hành.
-

Phân tích và so sánh chương trình - SGK hiện hành với chương trình - SGK chỉnh lí hợp nhất

năm 2000 để làm rõ những tiến triển của thể chế hiện hành trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của

hàm số so với các thể chế trước kia. Bên cạnh đó phân tích một bộ SGK Mỹ để làm cơ sở tham
chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam,
nhằm làm rõ những lựa chọn sư phạm khác có thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn
hữu hạn của hàm số ở trường phổ thông. Từ đó cho phép xây dựng và bổ sung tổ chức toán học mới
cho thể chế Việt Nam dưới ánh sáng của kết quả phân tích tri thức luận.
-

Tiến hành quan sát và xây dựng protocol những tiết dạy của giáo viên có nội dung liên quan

đến việc giảng dạy giới hạn hữu hạn của hàm số (ở góc độ là đối tượng nghiên cứu), sau đó phân


tích và đánh giá các tổ chức toán học, tổ chức didactic của các tiết học được quan sát. Trong phần
này chúng tôi sẽ làm rõ các vấn đề :
 Các tổ chức toán học được giáo viên xây dựng trong tiết dạy.
 Các thời điểm nghiên cứu cấu thành nên tổ chức didactic mà giáo viên triển khai để xây
dựng các tổ chức toán học đó.
 Đánh giá các tổ chức toán học được giáo viên xây dựng trong lớp học.
IV. Tổ chức của luận văn
Luận văn gồm 5 phần :
PHẦN ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong phần này chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát, khung lý
thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức nghiên cứu của luận văn.
CHƯƠNG 1
Trình bày tóm tắt các kết quả nghiên cứu khoa học luận đã có của khái niệm giới hạn, qua đó
làm rõ các đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn trong lịch sử tiến triển của nó. Đồng thời
nêu lên các tổ chức toán học tham chiếu liên quan đến khái niệm giới hạn của hàm số. Trong
chương gồm các mục :
1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn
1.2 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn trong chương trình cải cách

giáo dục và chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000
1.3 Nghiên cứu các đồ án didactic đã được xây dựng
1.4 Một số kết luận và câu hỏi nghiên cứu Q1

CHƯƠNG 2
Phân tích chương trình và sách giáo khoa Toán phổ thông để làm rõ mối quan hệ thể chế với
khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số. Đầu tiên, chúng tôi phân tích bộ sách giáo khoa của chương
trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000 và hai bộ sách giáo khoa của chương trình hiện hành, qua đó làm
rõ mối quan hệ thể chế với giới hạn hữu hạn của hàm số, đồng thời cũng làm rõ những tiến triển
trong việc dạy học giới hạn hữu hạn của hàm số ở thể chế hiện hành so với các thể chế trước kia.
Tiếp theo, chúng tôi đi phân tích một bộ sách giáo khoa Mỹ để làm rõ các ràng buộc của thể
chế và hợp đồng didactic gắn liền với giới hạn hữu hạn của hàm số. Đồng thời so sánh và tổng hợp


với việc nghiên cứu thể chế Việt Nam, qua đó đề ra các giả thuyết nghiên cứu như là hệ quả của
việc phân tích khoa học luận trong chương 1 và phân tích quan hệ thể chế trong chương 2.
Trong chương này gồm các mục :
2.1 Phân tích chương trình
2.2 Phân tích sách giáo khoa
2.3 Kết luận và so sánh
2.4 Câu hỏi nghiên cứu Q2 và giả thuyết nghiên cứu

CHƯƠNG 3
Trình bày việc nghiên cứu thực tế giảng dạy giới hạn hữu hạn hàm số của giáo viên Việt
Nam thông qua việc : phân tích tổ chức toán học cần giảng dạy và tổ chức didactic mà giáo viên sử
dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn. Qua đó kiểm chứng tính thỏa đáng của các giả
thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 2.
Trong chương gồm các mục :
3.1 Các tổ chức toán học cần xây dựng
3.2 Tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn

3.3 Đánh giá tổ chức toán học
3.4 Một số kết luận

KẾT LUẬN
Tóm tắt những kết quả đạt được ở chương 1, chương 2, chương 3. Đề xuất hướng nghiên cứu
có thể mở ra từ luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC


CHƯƠNG 1
TỔNG HỢP CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ CÁC VẤN
ĐỀ ĐẶT RA

Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu là : tóm lại vắn tắt những đặc trưng khoa học luận của khái niệm
giới hạn trong lịch sử đã được tổng hợp từ các công trình nghiên cứu trước đây; Ghi nhận một số kết
quả nổi bật từ việc phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn của hàm số trong chương
trình chỉnh lí hợp nhất. Từ đó chúng tôi sử dụng các kết quả này làm cơ sở tham chiếu cho việc
nghiên cứu thể chế hiện hành và đặt ra các câu hỏi định hướng cho nghiên cứu trong chương 2.
Chúng tôi tập trung tham khảo và phân tích hai công trình nghiên cứu trong nước về khái
niệm giới hạn (2004) : Một là luận văn thạc sĩ của Lê Thái Bảo Thiên Trung; Hai là luận văn thạc sĩ
của Nguyễn Thành Long. Ghi nhận các kết quả về sự vô hạn trong luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị
Phương Mai (2005), các kết quả liên quan đến khái niệm giới hạn trong luận án của Lê Thái Bảo
Thiên Trung (2007).
1.1 Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn
1.1.1 Chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm giới hạn
Đó chính là khía cạnh vô tận (vô hạn) trong khái niệm này. Tiến trình vô hạn trong khái

niệm giới hạn chỉ là một trường hợp đặc biệt của khái niệm vô hạn nói chung. Như vậy có những
quan niệm thế nào về sự vô hạn ?
Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả của một số công trình nghiên cứu về khoa học
luận lịch sử của khái niệm vô hạn, trong luận văn của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), tác giả đã
rút ra những quan điểm khác nhau về vô hạn :
« Vô hạn chỉ một dạng vật chất không xác định là cơ sở đầu tiên của thế giới
Vô hạn đối với các số là một số lớn hơn tất cả các số hoặc nhỏ hơn tất cả các số
Vô hạn là một quá trình liên tục, không có điểm kết thúc
Vô hạn là phủ định của hữu hạn
Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả những giới hạn đã biết,
không xác định được ranh giới
Vô hạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một đường thẳng
Vô hạn là đại lượng dùng để chỉ lực lượng của một tập hợp vô hạn »
[8, tr.19-20]


Đối với một tiến trình vô hạn thì các quy tắc đại số đối với các tiến trình hữu hạn không
còn hợp thức. Việc vận dụng vô tình những quy tắc của hữu hạn vào quá trình vô hạn đã dẫn đến sai
lầm thể hiện qua một số nghịch lí như :
« Nghịch lý Asin đuổi rùa : Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa chạy với vận tốc
1km/h. Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường là 100km. Hỏi nếu A-sin và rùa xuất
phát cùng một lúc thì A-sin có đuổi kịp rùa không? D. Zenon lý giải rằng, khi A-sin chạy
đến vị trí A (100km) thì rùa đã chạy đến vị trí A1 (1km), khi A-sin chạy đến A1 thì rùa đã
chạy đến vị trí A2 (

1
km ), … Do vậy A-sin không bao giờ đuổi kịp rùa. Nghịch lí này
100

xuất phát từ quan niệm cho rằng tổng của một dãy số vô hạn không thể là một số hữu

hạn. » [8, tr.10]
« Nghịch lí chia đôi : Nếu có thể cắt đôi một đối tượng, bằng cách lặp quy trình này một
cách vô hạn, thì về mặt Toán học luôn còn lại một đoạn nào đó. Ngược lại về mặt vật lý
ta biết rằng sẽ có một thời điểm ta không còn có thể cắt đôi được nữa! Khó khăn là ở chỗ
ta không thể trừ một số vô hạn các độ dài ngày càng bé và khó khăn để quan niệm tổng
này có thể là một số hữu hạn. » [8, tr.7]
« Nghịch lí 1 = 0 : Xét S = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
Ta có : S = (1 – 1) + (1 – 1) + … + (1 – 1) + … = 0 (1)
S = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + … + (-1 + 1) + … = 1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1 = 0!
Nghịch lý -2 là số dương: Cho
2

3

n

3
3
x  1      ...     ... (3)
2 2
2


3
2

x

3

n
3
3
    ...     ... (4)
2 2
2
3

x là tổng các số dương nên x > 0. Nhưng lấy (3) – (4) ta có x = -2 hay -2 là số dương! »
[6, tr.121]
Các nghịch lí trên chỉ ra rằng các phép toán và quy tắc đại số không hoàn toàn hợp thức cho
việc nghiên cứu các quy trình vô hạn. Trong luận văn của mình, tác giả Nguyễn Thị Phương Mai
cũng đưa ra một nhận định : “Với khái niệm giới hạn thì vô hạn có vai trò vừa như một chướng ngại
vừa như một động cơ. Không thể hiểu được khái niệm giới hạn nếu không có quan niệm thỏa đáng
về vô hạn.” [8, tr.9]


1.1.2 Các quan điểm khoa học luận về khái niệm giới hạn của hàm số
Dựa vào việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu về lịch sử hình thành và phát
triển khái niệm giới hạn của các tác giả trong nước, có ba quan điểm khoa học luận về khái niệm
giới hạn của hàm số

lim f ( x)  l đã được trình bày trong luận án của Lê Thái Bảo Thiên Trung
xa

(2007), sau khi tác giả tổng hợp các kết quả nghiên cứu của Cornu B (1983) và Trouche (1996) :
« Quan điểm đại số : Theo quan điểm này khái niệm giới hạn chỉ là việc tính toán các
giới hạn bằng các quy tắc đại số. Thật vậy, quan điểm này cho phép thao tác trên các
định lí và sử dụng các kết quả liên quan đến các “giới hạn thông dụng” mà không cần
làm rõ bản chất của khái niệm. Quan điểm này là kết quả của việc mô hình hóa các quy

tắc đại số về sự chuyển qua giới hạn trong các phép toán hàm số. Nó cho phép tránh vấn
đề vô hạn của khái niệm giới hạn và gắn ký hiệu lim f ( x) hoặc với một số thực hoặc
xa
với vô cùng.
Quan ñieåm xấp xỉ x : Theo quan điểm này, sự xấp xỉ x đến a kéo theo sự xấp xỉ f  x 
đến l . “Nếu một đại lượng biến thiên x tiến về một giá trị a (theo nghĩa là nó lấy những
giá trị ngày càng gần giá trị a), thì một đại lượng y phụ thuộc vào x (y là một hàm số của
đại lượng x) tiến về một giá trị l. Nếu x dần dần xích lại gần a kéo theo đại lượng y xích
lại gần l” (BKOUCHER 1996).
Quan điểm xấp xỉ f  x  : Theo quan điểm này, độ xấp xỉ f  x  với l mong muốn sẽ quyết
định độ xấp xỉ x với a. Định nghĩa theo (

) không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan

điểm xấp xỉ này. (BKOUCHER 1996)»
[13, tr.1-2]
1.1.3 Tổ chức Toán học tham chiếu
Trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), tác giả tóm tắt một vài kết quả từ
nghiên cứu của Bosch, Espinoza và Gascon (2002) về hai tổ chức toán học địa phương tham chiếu
OM1 và OM2 của khái niệm giới hạn như sau :
« OM1 : Xoay quanh vấn đề đại số của các giới hạn, được thể hiện qua kiểu nhiệm vụ T1
: “Tính

lim f ( x) ” (ở đây a là một số thực, hoặc là vô cực). Kỹ thuật liên quan đến
xa

kiểu nhiệm vụ này là việc sử dụng các định lý và các giới hạn thông dụng để tính giới
hạn. Yếu tố công nghệ để giải thích cho các kỹ thuật được xây dựng qua hệ thống các
định lí tổng, hiệu, tích, thương và khai căn cùng một số các kết quả của giới hạn đặc biệt.
OM2 : Xoay quanh bản chất tôpô của khái niệm giới hạn, để trả lời chủ yếu cho câu hỏi

về sự tồn tại giới hạn của một biểu thức xác định hàm số. Câu hỏi này được xử lý qua
kiểu nhiệm vụ T2 : Chứng minh tồn tại (hay không tồn tại) lim f ( x) . Kỹ thuật và yếu tố
xa
công nghệ liên quan đến kiểu nhiệm vụ T2 là việc vận dụng định nghĩa khái niệm giới
hạn. »
[12, tr.4-5]
Từ các kết quả nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn, cho phép các tác giả đặt ra
các câu hỏi định hướng cho việc nghiên cứu thể chế chỉnh lí hợp nhất : Trong chương trình chỉnh lí
hợp nhất tồn tại những quan điểm khoa học luận nào của khái niệm giới hạn ? Quan điểm nào
chiếm ưu thế ? Các kiểu nhiệm vụ là vết của các tổ chức Toán học OM1 và OM2 xuất hiện như thế
nào ? Đặc biệt vết của OM2 có sống được trong thể chế của chương trình hay không ? Có những
quy tắc hợp đồng nào trong việc dạy học khái niệm giới hạn ?
1.2 Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn trong chương trình chỉnh lí hợp
nhất năm 2000
Từ việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu về khái niệm giới hạn của hai tác giả
: Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) và Nguyễn Thành Long (2004) cho phép chúng tôi rút ra một số
kết luận để trả lời cho các câu hỏi được nêu ở phần trên :
 Quan điểm xấp xỉ f  x  xuất hiện trong định nghĩa giới hạn của dãy số, quan điểm
xấp xỉ x thể hiện trong định nghĩa giới hạn của hàm số, quan điểm đại số thể hiện hầu hết trong
chương trình qua việc tính giới hạn của dãy số (hàm số) bằng các quy tắc đại số. Và nhìn một cách
tổng thể, quan điểm đại số được thể hiện một cách rõ ràng và chiếm vị trí gần như tuyệt đối trong
việc dạy học khái niệm giới hạn. Điều này thể hiện qua những nhận định của hai tác giả :
« Việc xây dựng và tổ chức các kiến thức cần giảng dạy về khái niệm giới hạn dựa gần
như tuyệt đối trên quan điểm đại số hóa. » [7, tr.49]
« Sách giáo khoa hiện hành chỉ tạo thuận lợi cho việc thiết lập quan điểm đại số về khái
niệm giới hạn ở học sinh. Chỉ có vài dấu vết nhỏ của các quan điểm khoa học luận khác
trong sách giáo khoa này. » [12, tr.19]
 Kiểu nhiệm vụ chỉ dùng đến phép toán đại số giới hạn chiếm hầu hết trong chương

trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, theo thống kê của tác giả Nguyễn Thành Long « kiểu nhiệm vụ
này chiếm 80,6% trong các ví dụ và 87% trong phần bài tập; Số kiểu nhiệm vụ cho phép thao tác
các kỹ thuật bản chất giải tích chiếm 16,1% trong các ví dụ và 9,1% trong phần bài tập ; Kiểu
nhiệm vụ cho phép đề cập vài yếu tố của quan điểm xấp xỉ x giữ vị trí yếu nhất, chiếm 3,2% trong


các ví dụ và 3,9% trong phần bài tập » [7, tr.48]. Cũng trong nhận xét này, chúng tôi ghi nhận thêm
không có loại bài tập nào liên quan đến yếu tố đồ thị của biểu thức hàm số cần tính giới hạn, đây là
một trong những điểm khác biệt giữa chương trình hiện hành so với các chương trình mà cả hai tác
giả nghiên cứu.
 Ngoài ra với việc sử dụng hai tổ chức toán học địa phương tham chiếu OM1 và OM2
để giải thích cho các tổ chức toán học cần giảng dạy, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung nhận định :
« Vết của OM2 trong chương trình chỉnh lí hợp nhất giai đoạn 2000 – 2005 rất yếu so với vết của
OM1 (8 nhiệm vụ so với 43 nhiệm vụ). Từ đó dự đoán khả năng sống được của các nội dung toán
học là vết của OM2 gần như không có. » [12, tr.18]
 Đồng thời cả hai tác giả cũng nhất trí với các quy tắc hợp đồng didactic : « Trong các
bài toán liên quan đến giới hạn hữu hạn, học sinh không có trách nhiệm khảo sát hàm số phải tính
giới hạn, không phải dự đoán giới hạn, không xem xét hàm số và không quan tâm đến tính thích
đáng của bài toán, nhiệm vụ của họ là tính giới hạn bằng cách nhận dạng chúng, sau đó thực hiện
các quy tắc hành động thích ứng để tính giới hạn của hàm số. Thể chế đảm bảo giới hạn đó tồn
tại. » [7, tr.50], [12, tr.21]
Qua việc phân tích và tổng hợp các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi : Với
việc phân tích mối quan hệ thể chế đối với khái niệm giới hạn được giảng dạy trong chương trình,
các tác giả đã xây dựng những đồ án didactic dạy học khái niệm giới hạn nhằm hình thành quan
điểm xấp xỉ ở học sinh dựa trên những yếu tố nào ? Hiệu quả của các đồ án didactic đó ra sao ?
Các vấn đề nào còn đặt ra ? Để trả lời, chúng tôi đi vào nghiên cứu các đồ án didactic.
1.3 Nghiên cứu các đồ án didactic đã được xây dựng
1.3.1 Đồ án didactic trong luận văn của Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004)
Qua tổng hợp các nghiên cứu về vấn đề sử dụng máy tính bỏ túi trong giảng dạy Giải tích
nói chung và trong giảng dạy khái niệm giới hạn nói riêng ở Pháp, và qua kết quả nghiên cứu thể

chế trong nước về mối quan hệ cá nhân của học sinh với máy tính bỏ túi. Tác giả Lê Thái Bảo Thiên
Trung xây dựng một đồ án didactic với mục tiêu là giảng dạy khái niệm giới hạn hàm số trong quan
điểm xấp xỉ và trong môi trường máy tính bỏ túi với các giả thuyết công việc :
- Các vấn đề xấp xỉ số cho phép hiểu được nghĩa của khái niệm giới hạn theo nghĩa
topo có mặt một cách hình thức trong định nghĩa bằng (ε ; δ) : quan điểm xấp xỉ được
xuất hiện nhờ các thực nghiệm số.
- Trong một số trường hợp, các kiến thức toán học được xây dựng một các đồng thời


với việc nảy sinh công cụ. [12, tr.40]
Trên cơ sở giả thiết công việc, tác giả xây dựng đồ án didactic với nội dung: Cho hàm số
f  x 

x 2  0,1x  0, 02
. Được tổ chức qua 3 hoạt động :
0, 25 x 2  0, 01

 Hoạt động 1 với yêu cầu : Giải phương trình f  x   3
 Hoạt động 2 với 2 yêu cầu được ghi trên
Phiếu 2A : Tìm ba giá trị của x sao cho 2,99  f  x   3,01
Phiếu 2B : Tìm ba giá trị của x sao cho 2,99  f  x   3,01
 Hoạt dộng 3 với 2 yêu cầu ghi trên
Phiếu 3A : Hãy đề nghị một cặp số  x; f ( x)  sao cho giá trị f ( x ) gần số 3 nhất
mà em có thể tìm được và x  0, 2
Phiếu 3B : Hãy đề nghị một cặp số  x; f ( x)  sao cho giá trị f ( x ) gần số 3 nhất
mà em có thể tìm được và x  0, 2
Tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung tiến hành thực nghiệm ở lớp 11 sau khi học sinh đã học
xong khái niệm giới hạn của hàm số. Kết quả của việc thực hiện đồ án didactic chứng tỏ rằng :
« Việc giảng dạy khái niệm giới hạn có lẽ là cơ hội cho sự trở lại cần thiết trên tập hợp các số thực,
trên bản chất của các số thực, trên ý nghĩa của sự thập phân hóa chúng và ý nghĩa của các yếu tố

lân cận và khoảng cách. » [12, tr.55] Từ đó tác giả cũng đặt ra các vấn đề để thực hiện một đồ án
didactic khác : « xác định những đầu tư cần thiết và các yếu tố đặc trưng để hoàn thành đồ án
didactic (dưới những ràng buộc của thể chế Việt Nam), sao cho sự kiểm soát các kết quả hiển thị
trong máy tính bỏ túi được thực hiện bằng cách điều chỉnh các kiến thức về số thực sẽ đi kèm với
việc giảng dạy khái niệm giới hạn trên quan điểm xấp xỉ. » [12, tr.55]
1.3.2 Đồ án didactic trong luận văn của tác giả Nguyễn Thành Long
Dựa vào kết quả nghiên cứu khoa học luận về khái niệm giới hạn, tác giả Nguyễn Thành
Long cho rằng tính diện tích hình phẳng là một trong những động cơ hình thành nghĩa của khái
niệm giới hạn hàm số từ quan điểm xấp xỉ f  x  . Từ đó tác giả đưa ra giả thuyết công việc : « Về
mặt toán học vấn đề tính diện tích hình phẳng là cơ sở của việc thiết lập những tình huống cho phép
nảy sinh một số yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ f(x). » [7,
tr.6]


Trên cơ sở giả thuyết công việc và những ràng buộc của mối quan hệ thể chế, tác giả Nguyễn
Thành Long xây dựng những tình huống và công đoạn didactic về tính diện tích hình phẳng dựa trên
tình huống cơ sở : « Cho hàm số y  f  x  liên tục và không âm trên đoạn  a; b  với a  0 . Tính
diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số đã cho, trục hoành Ox và hai đường thẳng
và

xa

x b »

[7, tr.6]. Mục đích nhằm kiểm định tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu : « Các tình huống tính
diện tích hình phẳng cho phép làm nảy sinh ở học sinh một vài yếu tố cấu thành nên nghĩa của khái
niệm giới hạn từ quan điểm xấp xỉ f(x), trong sự vắng mặt của định nghĩa hình thức theo ngôn ngữ

 ;  . » [7, tr.7]
Thực nghiệm được tác giả Nguyễn Thành Long triển khai vào cuối tháng 11/2003 ở lớp 11

trước khi đề cập đến chương giới hạn. Qua phân tích tác giả thấy xuất hiện ở học sinh các yếu tố sau
:
- Xấp xỉ hình học.
- Tổng hữu hạn xấp xỉ một đại lượng : xấp xỉ diện tích một hình (chưa tính được) với
tổng một số rất lớn các hình rất nhỏ (đã có thể tính được).
- Vô cùng bé : thể hiện trong yêu cầu sai số và tính gần đúng. [7, tr.81]
Kết thúc luận văn nghiên cứu của mình, tác giả Nguyễn Thành Long nhận định : « Đại số
hóa và xấp xỉ là hai mặt biện chứng về khái niệm giới hạn nói riêng và về giải tích nói chung. Trong
ràng buộc thể chế dù nhấn mạnh đến quan điểm đại số hóa vẫn có thể tiếp cận được quan điểm xấp
xỉ » [7, tr.88]. Từ quan điểm đó, tác giả mạnh dạn đặt vấn đề : « có thể nghiên cứu để xây dựng một
hệ thống các tình huống nhằm tăng cường quan điểm xấp xỉ trong dạy học giải tích ở trường THPT
»
1.4 Một số kết luận và câu hỏi nghiên cứu Q1
Trên cơ sở của việc tổng hợp các kết quả nghiên cứu và phân tích các đồ án didactic dạy học
khái niệm giới hạn của hàm số trong chương trình chỉnh lí hợp nhất năm 2000, chúng tôi rút ra một
số kết luận sau :
 Trong các nghiên cứu về khái niệm giới hạn, các tác giả thật sự quan tâm đến việc dạy
học khái niệm giới hạn theo quan điểm xấp xỉ thông qua các bài toán hoặc liên quan đến
xấp xỉ số (nghiên cứu của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung), hoặc liên quan đến xấp xỉ
hình học (nghiên cứu của tác giả Nguyễn Thành Long), điều này hoàn toàn trùng khớp với
hướng tiếp cận bộ môn Giải tích trong lời tựa của tác phẩm “Vers l’infini pas à pas,
approche heuristique de l’analyse. Manuel pour l’élève. Bruxelles : De Boeck” mà chúng


tôi đã đề cập trong phần đầu của luận văn.
 Các đồ án dạy học đã xây dựng và thực hiện chỉ tập trung đến việc dạy học giới hạn của
hàm số tại một điểm và không xét đến khía cạnh đồ thị của biểu thức hàm số cần tính giới
hạn.
Qua đó cho phép chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu cần giải quyết trong chương sau,
cụ thể :

 Q1: Mối quan hệ thể chế với khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số trong chương
trình hiện hành đã được xây dựng như thế nào? Và có những tiến triển gì so với
chương trình chỉnh lí hợp nhất ở trường THPT ? Đặc biệt, sự xuất hiện của những
bài toán xấp xỉ số và xấp xỉ hình học ảnh hưởng như thế nào đến sự tiến triển này
?


CHƯƠNG 2
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TRONG DẠY
HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG THPT
Mục đích của chương
Nghiên cứu mối quan hệ của thể chế hiện hành đối với việc dạy học giới hạn hữu hạn của
hàm số ở trường THPT và so sánh với các chương trình trước kia để làm rõ những tiến triển của thể
chế hiện hành liên quan đến việc dạy học khái niệm giới hạn của hàm số.
Phân tích khả năng “ sống được ” của những kiểu bài toán xấp xỉ số và xấp xỉ hình học liên
quan đến giới hạn hữu hạn của hàm số có mặt trong thể chế hiện hành.
Phân tích một bộ SGK Mỹ để làm cơ sở tham chiếu so sánh việc xây dựng và trình bày tri
thức giới hạn hữu hạn với các bộ SGK ở Việt Nam. Qua đó nhằm làm rõ những lựa chọn sư phạm
khác có thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ
thông. Các tài liệu dùng trong phân tích của chương bao gồm :
1. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (11.CLHN)
2. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (cơ bản) năm 2007 (11.CB)
3. Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) năm 2007 (11.NC)
4. Tài liệu hướng dẫn giảng dạy toán 11. Bộ giáo dục và đào tạo, NXBGD 2001
5. Chương trình giáo dục phổ thông. Boä GD & ĐT, NXBGD 2005 (CT)
6. Sách giáo viên Đại số và Giải tích 11 (chương trình chuẩn) năm 2007
7. Sách bài tập Đại số và Giải tích 11 (chương trình chuẩn) năm 2007
8. Sách giáo khoa Giải tích 12 chỉnh lí hợp nhất năm 2000 (12.CLHN)
9. Sách giáo khoa Giải tích 12 (cơ bản) năm 2008 (12.CB)
10. Sách giáo khoa Giải tích 12 (nâng cao) năm 2008 (12.NC)

11. Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic – year 12 (SGK.M)
2.1 PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH
Trong chương trình hiện hành, hai khái niệm cơ sở của Giải tích là giới hạn và đạo hàm được
đưa vào trong chương IV và chương V của bộ sách giáo khoa lớp 11. Trong chương trình chỉnh lí
hợp nhất thì tri thức đạo hàm của hàm số mãi đến lớp 12 mới bắt đầu được trình bày.
Về khái niệm giới hạn, trong phần kiến thức, chương trình hiện hành yêu cầu:
«Biết khái niệm giới hạn của dãy số (thông qua ví dụ cụ thể) và khái niệm giới hạn của hàm
số (thông qua ngôn ngữ giới hạn của dãy số), không dùng ngôn ngữ    để định nghĩa giới hạn ;