Phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NGỌC CHI

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hùng

HÀ NỘI, 2015


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà
Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn tới thầy giáo TS.Nguyễn Văn Hùng, người
đã luôn quan tâm động viên, tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình làm luận
văn.
Tác giả trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Bắc Ninh, trường
THPT Lý Thái Tổ, gia đình, bạn bè đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2015

Nguyễn Thị Ngọc Chi


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan bản luận văn này là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Ngọc Chi


MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN.......................................................... 3
1.1. Sai phân ............................................................................................ 3
1.1.1. Định nghĩa ................................................................................... 3
1.1.2. Tính chất của sai phân ................................................................. 5
1.2. Phương trình sai phân tuyến tính ................................................... 8
1.2.1. Định nghĩa ................................................................................... 8
1.2.2. Nghiệm......................................................................................... 9
1.3. Tuyến tính hoá .................................................................................. 21
1.4. Sai số ................................................................................................ 25
1.4.1. Định nghĩa.................................................................................... 25
1.4.2. Quy tắc làm tròn .......................................................................... 26
1.4.3. Sai số tính toán ............................................................................. 27
1.4.4. Bài toán ngược của bài toán sai số .............................................. 29
CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG .................................................... 31
2.1. Phương pháp sai phân giải phương trình Elliptic .......................... 31
2.1.1. Bài toán biên Dirichlet ................................................................. 31
2.1.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán biên
Dirichlet ................................................................................................. 31
2.2. Phương pháp sai phân giải phương trình Parabolic .................... 46
2.2.1. Bài toán biên của phương trình Parabolic ................................. 46
2.2.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán (2.45),
(2.46)......................................................................................................... 47
2.3. Phương pháp sai phân giải phương trình Hyperbolic ................... 57


2.3.1. Bài toán ....................................................................................... 57

2.3.2. Những bước đi chính trong việc sai phân hoá bài toán Hyperbolic.
............................................................................................................... 58
CHƯƠNG 3: GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
BẰNG MÁY TÍNH..................................................................................... 61
Ví dụ 3.1. Giải bài toán: ............................................................................ 61
Ví dụ 3.2. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet ........................................... 64
Ví dụ 3.3. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: .................................. 68
Ví dụ 3.4. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình Parabolic: .................. 69
Ví dụ 3.5. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: .................................. 72
Ví dụ 3.6. Giải phương trình Hyperbolic................................................... 76
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.......................................................................78
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................79


1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng thường xuyên xuất hiện trong các bài toán
ứng dụng của lí thuyết thủy động học, cơ học lượng tử, điện học- từ trường.
Đa số các bài toán này rất phức tạp, không có phương pháp giải đúng. Nhiều
bài toán không có nghiệm theo nghĩa cổ điển. Vấn đề tìm nghiệm đúng của
các phương trình đạo hàm riêng không thể và cũng không cần trong mọi
trường hợp. Bởi vậy ta dẫn đến việc tìm nghiệm gần đúng của các phương
trình đạo hàm riêng và cũng từ đó xuất hiện các phương pháp giải gần đúng
các phương trình đó. Trong số các phương pháp giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng thì phương pháp sai phân (còn gọi là phương pháp lưới) được
sử dụng phổ biến nhất.
Mục đích chính của phương pháp sai phân là đưa bài toán phương trình
đạo hàm riêng về bài toán rời rạc trên các điểm lưới, đặc biệt là xung quanh
các điểm kì dị hoặc các điểm biên để đưa bài toán đang xét về hệ phương

trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số của bài toán chuyển về việc giải hệ
phương trình đại số bằng các phương pháp đúng hoặc gần đúng.
Tuy nhiên ngày nay chúng ta ngày càng tăng cường việc ứng dụng công
nghệ thông tin vào việc dạy và học toán. Và một trong những công cụ hữu
hiệu để giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng là phần mềm Maple.
Từ nhu cầu thực tiễn như vậy với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về
phương pháp sai phân và phần mềm Maple giải gần đúng phương trình đạo
hàm riêng, được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hùng em đã chọn đề tài
nghiên cứu: “PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.


2
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu phương pháp sai phân giải gần đúng phương trình
đạo hàm riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
- Các kiến thức cơ bản về sai phân.
- Ứng dụng của sai phân trong việc giải gần đúng phương trình đạo hàm
riêng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các kiến thức cần thiết về sai phân, phương trình đạo hàm riêng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kiến thức của giải tích số và phương trình đạo hàm riêng để
nghiên cứu
6. Đóng góp của luận văn
Trình bày một cách có hệ thống về ứng dụng sai phân trong việc giải
phương trình đạo hàm riêng.
Sử dụng phần mềm Maple giải gần đúng một số phương trình đạo hàm

riêng.


3
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Sai phân
Xét dãy số {

}; dạng khai triển của nó là:
{ ,

,

Thí dụ, dãy số tự nhiên kí hiệu là

, … }.

,…,

có dạng

{ } = {0,1,2, … , , … },
có dạng { } = {1,2, … , , … }; dãy số điều hoà

dãy số nguyên dương

1

1
1

= 1, , … , , … .
2

Có thể xem dãy số là một hàm của đối số nguyên .
Kí hiệu ( ) =

.

1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm số ( ) =
: { } = {0, ±1, ±2, … , ± , … } (hoặc

với

∆
Thí dụ, hàm

=

, hoặc

−

cho dưới dạng bảng

0

1

2

3

4

1

3

4

7

6

Có sai phân hữu hạn cấp 1 là
∆

=

−

= 3 − 1 = 2;

∆

=

−

= 4 − 3 = 1;

∆

=

−

= 7 − 4 = 3;

∆

=

−

= 6 − 7 = −1;

) là hiệu:


4
Từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn với tỷ sai phân, ta gọi tắt sai
phân hữu hạn cấp

là sai phân cấp , còn sai phân cấp 1 gọi tắt là sai phân.

Định nghĩa 1.1.2. Ta gọi sai phân cấp 2 của hàm
phân cấp 1 của
phân cấp

, và nói chung, sai phân cấp

∆

)=∆

= ∆(∆

=

là sai phân của sai

= ∆(∆

)=∆

−∆

=
+

−

−(

−

−2

+

là
−∆
−2

+

−(

=

−3

+3

−

= ∆(∆

)

;

=

Nói chung, sai phân cấp

=

là

−2

Sai phân cấp 3 của hàm

∆

của hàm

− 1 của hàm số đó.

Như vậy, sai phân cấp 2 của hàm

∆

là sai phân của sai

của hàm

)=∆

)

.

là

−∆

=

(−1)

(1.1)

trong đó
=

!
! ( − )!

Từ công thức (1.1), suy ra một số tính chất của sai phân sau đây.


5
1.1.2. Tính chất của sai phân
Tính chất 1.1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của
hàm số.
Chứng minh. Để chứng minh tính chất 1.1.1, ta chứng minh công thức
(1.1).
Thật vậy, với

= 1, ta có ∆

=

−

=

−

Giả sử (1.1) đúng với , có nghĩa là
∆

=

ta chứng minh (1.1) đúng với
∆

=∆
=

(−1)

+ 1 tức là

−∆

=

(−1)

−

Trong tổng thứ hai ta đổi chỉ số =
(−1)

=

=−

;

(−1)

− 1, sau đó thay

(−1)

(−1)

bằng , ta được
=

.

Bởi vậy

∆

=

(−1)

+

(−1)

+ (−1)


6

=

(−1)

+
+ (−1)

+

(−1)

=

=

(−1)

=

(−1)

+

=

(−1)

.

+

+ (−1)

+

+ (−1)

=

=

Theo quy luật quy nạp, công thức (1.1) đúng với mọi giá trị

nguyên

dương.
Tính chất 1.1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính.
Chứng minh. Ta phải chứng minh
∆ (

+

)= ∆

+ ∆

,

= 1, 2, …

Thật vậy theo (1) ta có

∆ (

+

=

(−1)

)=

(−1)

+

(

(−1)

)

+

=

7

=

(−1)

(−1)

+

Tính chất 1.1.3. Sai phân cấp
1. Đa thức bậc

−

2. Hằng số nếu

=
>

3. Bằng 0 khi

nếu

= ∆

của đa thức bậc

+ ∆

.

là

<

.

Chứng minh. Theo tính chất 1.1.2, sai phân mọi cấp là toán tử tuyến tính,
( )=

nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức
= ( + 1) −

1. Ta có, ∆

=

+

=

+⋯+

+⋯+

Giả sử tính chất này đúng với
= +1<

+

là đủ.

=

=

<

−

=

( ).

, ta chứng minh nó đúng với

.

Thật vậy,
∆
2. Khi

) = ∆ ( + 1) − ∆

= ∆(∆
=

, theo chứng minh trên ta có
∆

3. Khi

>

( )=

=∆

=

( )=

( )=

=

;

, ta có
∆

=∆

∆

=∆

=∆

∆ = 0.

Tính chất 1.1.4.

∆

=∆

−∆

ớ

∈ℤ .

( )


8
Chứng minh.

∆

=∆
−∆

=

∆(∆

)=

−∆

+∆

=∆

−∆

−∆

+ ⋯+ ∆

.

Đặc biệt lưu ý trường hợp k=1, ta có

∆

=

−

.

1.2. Phương trình sai phân tuyến tính
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.2.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến

tính giữa sai phân các cấp:
(
trong đó,

,∆

,∆

,…,∆

hiểu là sai phân cấp 0 của hàm

)=0
; cấp lớn nhất của sai phân (ở

đây là bằng ), là bậc của phương trình sai phân tuyến tính.
Do tính chất 1.1.1 của sai phân, sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua
các giá trị của hàm số, nên người ta thường dùng định nghĩa 1.2.2 sau đây
tương đương với định nghĩa1.2.1, nhưng thuận tiện hơn.
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm
=

+

+ ⋯+

là một

tại các điểm khác nhau:

=

(1.2)


9
trong đó

là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm

lưới có bước lưới ℎ;

,

,…,

≠ 0,

với

, xác định trên

≠ 0 là các hằng số hoặc các

hàm số của , được gọi là các hệ số của phương trình sai phân;
số của , được gọi là vế phải;

là một hàm

là giá trị cần tìm được gọi là ẩn.

Phương trình (1.2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc , vì
để tính được tất cả các giá trị

, ta phải cho trước

giá trị liên tiếp của

rồi tính các giá trị còn lại của

theo công thức truy hồi.

,

≡ 0 thì (1.2) được gọi là phương trình sai phân

Định nghĩa 1.2.3. Nếu
tuyến tính thuần nhất.
Nếu

≢ 0 thì (1.2) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần

nhất.
Nếu

≡ 0 và

,

,…,

≠ 0,

là các hằng số,

≠ 0 thì phương

trình (1.2) trở thành
=

+

+ ⋯+

=0

(1.3)

và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc

với các hệ số

hằng số.
1.2.2. Nghiệm
Hàm số

biến , thoả mãn (1.2) được gọi là nghiệm của phương trình

sai phân tuyến tính (1.2).
Hàm số

phụ thuộc

tham số, thoả mãn (1.3) được gọi là nghiệm tổng

quát của (1.3); nếu với mọi tập giá trị ban đầu
định được duy nhất các tham số

,

riêng của (1.3), tức là vừa thoả mãn

,…,
=

,

,…,

để nghiệm
,

=

,…,

, ta đều xác
trở thành nghiệm
=

.


10
Định lí 1.2.1. Nghiệm tổng quát

của (1.2) bằng tổng

và

∗

, với

∗

là một nghiệm riêng bất kì của (1.2).
Chứng minh. Thật vậy, giả sử

và
=

Do

là 2 nghiệm của (1.2), tức là
∗

,

=

.

tuyến tính, nên
∗

−
tức là

∗

∗

−

=

(

−

∗

) = 0,

thoả mãn (1.3) và do đó nghiệm tổng quát
=

−
,

Định lí 1.2.2. Nếu

∗

,…,

=


là

+

∗

..

nghiệm độc lập tuyến tính của

(1.3), tức là từ hệ thức
+
suy ra

=

=⋯=

,

,…,

+

,

là các hằng số tuỳ ý.

=

Vậy

của (1.3) có dạng

+ ⋯+

Chứng minh. Theo tính chất tuyến tính của

vì theo giả thiết

=0

= 0, thì nghiệm tổng quát
=

trong đó

+ ⋯+

là nghiệm, tức là

là nghiệm của (1.3).

=

, ta có

=0
= 0.


11
,

Giả sử,

,…,

là các giá trị ban đầu tuỳ ý. Ta chứng minh rằng,
,

có thể xác định duy nhất các hằng số
,…,

=

,…,

=

để

,

=

. Điều này có nghĩa là hệ
+
+ ⋯+
=
+
+⋯+
=
… … … … … … … … … … … … … … … ….
, +
, + ⋯+
, =

có nghiệm duy nhất

,

,…,

với mọi vế phải

,

,…,

.

Muốn vậy, định thức
…
∆= … … … … … … … … … … … ……… … … … .
…
,
,
,
phải khác 0. Điều này suy ra từ tính độc lập tuyến tính của các vectơ nghiệm
,

,…,

.

Bây giờ ta chuyển sang tìm nghiệm

của (1.3) và

phương trình thuần nhất (1.3) luôn có nghiệm
tổng quát, ta tìm

của (1.3) dưới dạng

∗

của (1.2). Vì

= 0, nên để tìm nghiệm

= l ,

≠ 0, l ≠ 0. Thay

= l vào (1.3) và ước lược cho l ≠ 0 ta được

l=

l +

l

+ ⋯+

=0

(1.4)

Phương trình (1.4) được gọi là phương trình đặc trưng của (1.3) (người ta
cũng xem là phương trình đặc trưng của (1.2)). Nghiệm
của (1.2) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (1.4).

của (1.3) và

∗


12
1.2.2.1. Nghiệm tổng quát
Định lý 1.2.3. Nếu (1.4) có

nghiệm tổng quát

của (1.3) có dạng

=

trong đó

,,

nghiệm thực khác nhau là l , l , … , l thì

l +

= 1, … ,

l + ⋯+

l =

l

là các hằng số tuỳ ý.

Chứng minh.
Ta có

=

vì

l =l

l +

l

+ ⋯+

l =0

= 0 (theo (1.4))

Ta lại có
… 1
… l
l
∆= l … … … … …
……………………
… l
l
l
1

1

=∏

(l − l ) ≠ 0.

Vì l ≠ l ∀ , . Định thức ∆ trong trường hợp này là định thức Văng-đécmông cấp .
Theo định lý 1.2.2,
=
là nghiệm tổng quát của (1.3).

l


13
Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm thực l bội , thì ngoài
nghiệm l , ta lấy thêm các vectơ bổ sung l ,

l ,…,

l , cũng là các

nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3) và do đó

=

trong đó

và

l +

l ,

là các hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Phương trình sai phân
−7

+ 16

− 12

=0

có phương trình đặc trưng là

l − 7l + 16l − 12 = 0
có các nghiệm l = 2 (kép) và l = 3. Đối với l = 2 (kép) ngoài nghiệm

l = 2 , ta bổ sung thêm nghiệm l = 2 và được nghiệm tổng quát là
=(
trong đó

,

,

+

)2 +

3

là các hằng số tuỳ ý.

Nếu phương trình đặc trưng (1.4) có nghiệm phức

l =
trong đó

=| |=√

+

+
,

= (
=

(1.4) cũng có nghiệm liên hợp phức l =
ta có l =
của (1.3).

(

+

); l =

),

+

l , có nghĩa là

−
(

= (
−

−

=

, thì

). Khi đó

) là các nghiệm


14

Ta lấy

=

l +l

=

=

l +l

=

làm các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.3), khi đó

=

trong đó

,

,

l +

(

+

)

là các hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Phương trình sai phân
−5

+8

−6

=0

có phương trình đặc trưng

l − 5l + 8l − 6 = 0
phương trình đặc trưng có các nghiệm l = 3, l = 1 + , l = 1 − ; với
= −1, ta có

= √1 + 1 = √2,
=

trong đó

,

,

=1

3 + (√2) (

4

= , do vậy
4
+

4

)

là các hằng số tuỳ ý.

Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức l bội s, thì nó cũng có
nghiệm liên hợp phức l bội s; trong trường hợp này, ngoài nghiệm l =
,l =

ta cần lấy thêm 2 − 2 vectơ nghiệm bổ sung

l =

,l =

,…,l =

l =

,l =

,…,l =


15
và theo định lí 1.2.2, ta có

=

l +
+(

trong đó

,

,

,…,

,

[(
+

,

+

)

+ ⋯+
,…,

)

+⋯+

]

là các hằng số tuỳ ý.

Ví dụ: Phương trình sai phân
−3

+4

−6

+5

−3

+2

=0

có phương trình đặc trưng

l − 3l + 4l − 6l + 5l − 3l + 2 = 0.
Phương trình đặc trưng có các nghiệm l = 3, l = 2, l =

l = − (kép), với
= 1,

Ta có

=
trong đó

,

= −1.
= , và
2

+
,

(kép),

,

.2 +(
,

1.2.2.2. Nghiệm riêng

,

+

)

2

+(

)

+

2

,

là các hằng số tuỳ ý.

∗

Phương pháp chung để tìm nghiệm riêng

∗

của phương trình sai phân

tuyến tính không thuần nhất (1.2) là xây dựng hàm Grin.
Sau đây là một số trường hợp đặc biệt, có thể tìm
nhanh hơn. Các dạng đặc biệt này của

∗

∗

đơn giản hơn và

là chuyển tương ứng từ các dạng

đặc biệt của phương trình vi phân thường. Để xác định các tham số trong các


16

dạng nghiệm này, người ta dùng phương pháp hệ số bất định (còn gọi là
phương pháp chọn).
a. Trường hợp

là đa thức bậc m của n;
( ),

=

1. Nếu các nghiệm l , l , … , l là các nghiệm thực khác 1 của phương
trình đặc trưng (1.4), thì
∗

( ),

=

( ) là đa thức cùng bậc m với

.

2. Nếu có nghiệm l = 1 bội s, thì
∗

trong đó

( ) là đa thức của

Ví dụ: Tìm nghiệm riêng
1.

−7

2.

−

+ 16
−3

( ),

=

cùng bậc m với
∗

.

của các phương trình sai phân:
− 12

+5

=

+1

−2

= 1.

Lời giải
1. Phương trình đặc trưng l − 7l + 16l − 12 = 0 có nghiệm l = 2
(kép), l = 3 đều khác 1. Do vậy ta tìm

∗

=

+

vì

=

+ 1 là đa

thức bậc 1.
Để xác định

và

, ta thay

hệ số của các luỹ thừa của

∗

vào phương trình sai phân rồi so sánh các

ở 2 vế:

( + 3) + − 7[ ( + 2) + ] + 16[ ( + 1) + ] − 12(
=
Từ đó với hệ số

+1
ta có
−2 = 1 ⇒

=−

1
2

+ )


17
với hệ số tự do ta có
7
=− .
4

5 −2 =1 ⇒
Vậy
∗

=−

1
7
− .
2
4

2. Phương trình đặc trưng l − l − 3l + 5l − 2 = 0, có các nghiệm

l = 1 (bội 3) và l = −2, nên do
nghiệm
Thay

∗

=
∗

= 1 là đa thức bậc 0, ta phải tìm

. .

vào phương trình sai phân, ta được

( + 4) − ( + 3) − 3 ( + 2) + 5 ( + 1) − 2

= 1.

Vì 2 đa thức bằng nhau, khi chúng bằng nhau với mọi giá trị của đối số,
nên cho

= 0, ta được 18 = 1 ⇒

b. Trường hợp

=

( )

=

1
. Vậy
18

∗

=

1
18

.

( ) là đa thức bậc m của n;

, trong đó

.
1. Nếu các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) đều là các nghiệm

thực khác , thì

∗

có dạng
∗

trong đó

( )

,

bội , thì tìm

∗

( ) là đa thức cùng bậc với

2. Nếu (1.4) có nghiệm

=

∗

trong đó

=

( ) là đa thức của

Ví dụ: Tìm các nghiệm riêng
thuần nhất sau đây:

=

.

( )

cùng bậc với
∗

dưới dạng
,

.

của các phương trình sai phân không


18
1.

− 10

2.

−7

+ 35

− 50

+ 16

+24

− 12

= 48. 5

= 2 (24 − 24 ).
Lời giải

1. Phương trình đặc trưng l − 10l + 35l − 50l + 24 = 0 có các
nghiệm l = 1, l = 2, l = 3, l = 4 đều khác 5;
∗

nên tìm

( ) là đa thức bậc 0,

= . 5 . Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho

5 ≠ 0, ta được
. 5 − 10 . 5 + 35 . 5 − 50 . 5 + 24 = 24 = 48 ⇒
Vậy

∗

= 2.

= 2. 5 .

2. Phương trình đặc trưng l − 7l + 16l − 12 = 0 có nghiệm l = 2
( ) = 24 − 24

(kép), l = 3;
(

là đa thức bậc 1, do vậy phải tìm

∗

=

+ ). 2 . Thay vào phương trình sai phân và giản ước 2 vế cho 2 ≠

0, ta được
8[ ( + 3) + ]( + 3) − 28[ ( + 2) + ]( + 2)
+ 32[ ( + 1) + ]( + 1) − 12[

+ ]

= 24 − 24

so sánh các hệ số của các luỹ thừa n ở 2 vế ta được:
−24 = −24
24 − 8 = 24

giải hệ này ta được
c. Trường hợp

= 1,

= 0 và

=

∗

=

.2 .

+

Trong trường hợp này nghiệm riêng
∗

=

với ,
∗

là hằng số

được tìm dưới dạng
+

19
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng
−2

∗

của phương trình sai phân:

−

+2

= 2 − √2

4

+2

4

.

Lời giải
Tìm

∗

dưới dạng:
∗

Thay

∗

2 − √2

=

4

+

4

vào phương trình sai phân và rút gọn, ta được
−2

4

+ + 2 + 2 − √2

= 2 − √2
So sánh hệ số của

4 và

+2

4

=

+

d. Trường hợp

= 0 và

∗

+⋯+

=2

=

∗

∗

4

.

.

Trong trường hợp này ta tìm nghiệm riêng
1, 2, … , ; Nghiệm riêng

.

− 2 = 2 − √2

2 + 2 − √2
= 1,

4

=

4 ở 2 vế, ta được

2 − √2

Giải hệ này, ta được

4

ứng với hàm

∗

ứng với từng hàm

sẽ là

∗

=

, do tính tuyến tính của phương trình sai phân.
Ví dụ: Tìm nghiệm riêng
−3

∗

của phương trình sai phân:
+3

−3

+2

=

∗

+

∗

, =
+ …+