Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PT MŨ
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Mẫu 1: Phương trình bậc hai, bậc ba theo một hàm số mũ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:
Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 .
2

Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.
t = 5
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔ 
t = 25
x
+) Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 .
+) Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 .
Hướng dẫn giải:

3x = 1 = 30
x = 0
1
x 2
x
Ta có 3 + 3 = 10 ⇔ 9.3 + x = 10 ⇔ 9.( 3 ) − 10.3 + 1 = 0 ⇔  x 1
⇔

−2

3
3 = =3
 x = −2

9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.
x+2

−x

x

Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1) 5

x

− 51−

x

x

+4=0

2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0

3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0

Hướng dẫn giải:

1) 5

x

− 51−

x

+ 4 = 0, (1) .

Điều kiện: x ≥ 0.
5 x = 1
 x =0
x = 0
+ 4.5 − 5 = 0 
→
⇔
⇔
(1) ⇔ 5 − x + 4 = 0 ⇔ 5
x
5
x = 1
5 = 5  x = 1
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
 3 x =3
x
2x

x
x = 2

2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0 
→
⇔
 x = log 5 = log 25
x
3
3
 3 =5 

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25.
x

5

( )
x

( )

2

x

( )
( )

( )

3x + 4 = 3 ⇒ x = −3
3) 32 x +8 − 4.3x + 5 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 4.3x + 4.3 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 12.3x + 4 + 27 = 0 
→  x+4
2
3 = 9 = 3 ⇒ x = −2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.

Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x

2

−x

− 22+ x − x = 3.
2

Hướng dẫn giải:

Đặt 2 x

2

−x

= t (t > 0). . Phương trình trở thành t −

Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải phương trình 4 x −

x2 −5

t = 4
 x = −1
4
=3⇔ 
⇒
t
t = −1 ( L)  x = 2

− 12.2 x −1−

x 2 −5

+8= 0.

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Hướng dẫn giải:
Đặt 2

x − x 2 −5

x = 3
2
t = 2  x − x − 5 = 1

= t (t > 0) ⇒ 
⇒
⇔
2
x = 9
t
4
=


x
−
x
−
=
5
2


4

Mẫu 2: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
Hướng dẫn giải:
 3  x 2
  = ⇒ x = −1
2x
x
3
2

3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3.   + 7.   − 6 = 0 ⇔ 
.
x

2
2
3


  = −3 < 0
 2 
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
−

x

1
x

−

1
x

−

1
x

b) 4 + 6 = 9
d) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0

a) 64.9 − 84.12 + 27.16 = 0
c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0
x

x

Hướng dẫn giải:
x

a) Chia cả hai vế của (1) cho 9 ta được
 4  x 4
  =
12
16
4
4
3
3
x =1
→   x
⇔
(1) ⇔ 64 − 84.  + 27.  = 0 ⇔ 27.   − 84.  + 64 = 0 
2


9
9
3
3
x = 2
 
 
 
 
 4  16  4 
  = =  
9 3
 3 
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b) Điều kiện: x ≠ 0.
 3 t 1 + 5
  =
t
t
t
2t
1
9
6
3
3
2
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4t + 6t = 9t ⇔   −   − 1 = 0 ⇔   −   − 1 = 0 ⇔  2 t

x

4
4
2
2
   
 
 
 3  1− 5
<0
  =
2
 2 
x

x

2x

x

t
1+ 5 
1
 3  1+ 5
3
Từ đó ta được   =
⇔ t = log 3 
→ x = − = − log 1+ 5   .
 


2
2 
t
2
2
2
2

c) 32 x +4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0
 3  x 4  3  −2
  = =  
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81.   + 45.   − 36 = 0 ⇔ 81.  + 45.   − 36 = 0 ⇔ 

→ x = −2.
x

4
4
2
2

3



= −1 < 0
 2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
d) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
  3 x 3
.  =
x
x
x
x
3x
2x
2
2
 12   18 
 27 
3
3
3

⇔ 3 + 4.   −   − 2.   = 0 ⇔ 2.   +   − 4.  − 3 = 0 ⇔

→ x = 1.
x

8 8

 8 
2
2
2
3


.
= −2 < 0
  2 
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

Mẫu 3: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Do ab = 1 ⇔ ( ab )

f ( x)

Facebook: LyHung95

1

= 1 
→ b f ( x) =

a

f ( x)

1
t

Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0) 
→ b f ( x) =

Chú ý:

(
(

Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:

)(
5 + 2 )(

) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...

2 +1

2 − 1 = 1;

( 2 ± 1)
3 = (2 ± 3)

3± 2 2 =

2

7±4

2

Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:

Ví dụ minh họa: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a)

(

2+ 3

) +(
x

2− 3

)

x

=4

b)

c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x

(

3

...

3+ 8

d) ( 2 + 3 )

x

) +(
x

( x −1) 2

3

3− 8

)

+ (2 − 3)

x

=6

x 2 − 2 x −1

=

4
2− 3

Hướng dẫn giải:

a)

(

Do

Đặt

2+ 3

) +(
x

(

2+ 3

(

2+ 3

2− 3

)

x

)(

2 − 3 =1⇔

)

)

= t , (t > 0) 
→

x

(1) .

= 4,

(

2+ 3

(

) .(
x

2− 3

)

x

)

2− 3

x

= 1 
→

(

2− 3

)

x

=

1

(

2+ 3

)

x

1
= .
t

t = 2 + 3
1
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0 
→
t
t = 2 − 3

(
3⇔(

)
3) =2−

Với t = 2 + 3 ⇔

2+ 3

Với t = 2 −

2+

x

=2+ 3 =

(
(

x

) → x = 2.
3) = ( 2 + 3 )
2

2+ 3

3 = 2+

−2

−1


→ x = −2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.

b)

(

Do

Đặt

3+ 8

3

(

3

(

3

) +(

3+ 8

x

)(

3+ 8

)

3

x

3

3− 8

)

x

( 2).

= 6,

) (

)(

(

)

3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔

= t ,(t > 0) 
→

(

3

3− 8

)

x

3

3+ 8

) .(
x

3

3− 8

)

x

= 1 
→

(

3

3− 8

)

x

=

1

(

3

3+ 8

)

x

1
= .
t

t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0 

→
t
t = 3 − 8

(
8⇔(

)
8) =3−

Với t = 3 + 8 ⇔

3

3+ 8

Với t = 3 −

3

3+

x

x

(

= 3+ 8 ⇔ 3+ 8

(

8 = 3− 8

)

)

x
3

−1

= 3 + 8 
→ x = 3.

(

⇔ 3+ 8

x
3

) = (3 − 8 )

−1


→ x = −3.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
c) ( 5 −

21 )

x

+ 7 (5 +

21 )

x

x

x

=2

x+ 3

x

 5 − 21 
 5 + 21 

⇔
 + 7.
 = 8,
 2 

2 

x

Facebook: LyHung95

( 3) .

x

x

 5 − 21   5 + 21   5 − 21 5 − 21 
 5 − 21 
1
.
Ta có 
→
 
 = 
 = 1 
 =
x
2   2
2 

 2  
 2 
 5 + 21 



2 
x

x

 5 + 21 
 5 − 21  1
Đặt 
→
 = t ,(t > 0) 
 = .
 2 

2 
t

t = 1
1
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t 2 − 8t + 1 = 0 
→ 1
t
t =
 7
x

 5 + 21 
Với t = 1 ⇔ 
→ x = 0.
 = 1 

2 
x

 5 + 21 
1
1
Với t = ⇔ 
→ x = log 5+
 = 
7

2 
7

21
2

1
 .
7

x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm  x = log


5 + 21  
7

2

d) ( 2 + 3 )

+ (2 − 3)

( x −1)2

(2 − 3 )(2 +

3 )( 2 + 3 )

Đặt t = ( 2 + 3 )

x2 − 2 x

x 2 − 2 x −1

x2 − 2 x

=

(

)

(

)

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

x 2 − 2 x +1
x 2 − 2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3

+ (2 − 3)

x2 − 2 x

, (t > 0) 
→(2 − 3)

= 4 ⇔ (2 + 3)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

= 4,

( 4 ).

1
= .
t

(
(


t = 2 + 3
 2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0 
→
⇔
t
t = 2 − 3
 2+ 3


)
)

x2 − 2 x

x2 − 2 x

=2+ 3

 x2 − 2 x = 1
⇔ 2
 x − 2 x = −1
=2− 3

Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm 
x = 2 ± 2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 25 x − 30.5 x + 125 = 0 .
x

b) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 .
c) 4 x

2

+2

− 9.2 x

2

+2

+8 = 0.

d) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0 .

Đ/s: x = 1 ∨ x = 2 .
Đ/s: x = 2 ∨ x = log 3 25 .
Đ/s: x = ±1 .
−3
Đ/s: x =
∨ x = −1 .
2

Câu 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

a)

8x + 2 x
=5.
4x − 2

(
)
c) ( 3 + 2 2 )
b) 7 + 4 3

Đ/s: x = 1 ∨ x = log 2

(
= 2(

x

)
2 − 1)

−3 2− 3

x

x

+2 = 0.

Đ/s: x = 0 .

x

+ 3.

Đ/s: x = log

d) 32 x + 2 x +1 − 28.3x + x + 9 = 0 .
Câu 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
2

a) 9 x

2

2

−1

− 36.3x

2

−3
2

1

2.

Đ/s: x = 1 ∨ x = −2 .

π
+ kπ ( k ∈ ℤ ) .
2
1
Đ/s: x = ln 2 ∨ x = 0 .
3

c) 4cot x + 2 cos x − 3 = 0 .

2

2 +1

3 + 39
.
2

Đ/s: x = ±1 ∨ x = ± 2 .
π
Đ/s: x = + kπ ( k ∈ ℤ ) .
2

+3= 0.

b) 2sin x + 4.2cos x = 6 .
2

Facebook: LyHung95

Đ/s: x =

2

d) e6 x − 3.e3 x + 2 = 0 .

Câu 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
x−2

a) 4

b) 4 x +

+ 16 = 10.2

x2 −2

− 5.2 x −1+

x2 −2 x − x

c) 9

− 7.3

x−2

Đ/s: x = 3 ∨ x = 11 .

.

x2 − 2

= 6.

x 2 − 2 x − x −1

Đ/s: x = 2 .
−1
Đ/s: x =

.
4

=2.

x

1
d)   = 25− x + 9 .
4
Câu 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1
a)  
6

Đ/s: x = log 2

4
.
9

x −3

= 65− 2 x − 12 .

Đ/s: x = 3 − log12 6 .

1
325 x
+ 22 x + 1 =

.2 .
x
2
16
 1

c) 53 x + 27  3 x + 5− x  + 9.5 x = 64 .
5

b) 23 x +

Đ/s: x = log 2

15 ± 161
.
8

Đ/s: x = 0 ∨ x = log 5 2 .

Câu 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 .

Đ/s: x = 0 .

b) −8 x = 2.4 x + 2 x − 2 = 0 .

Đ/s: x = 0 ∨ x = 1 .

c) 8 − 3.4 − 3.2
x

x

x +1

+8 = 0 .

Đ/s: x = 0 ∨ x = 2 .

LỜI GIẢI BÀI TẬP
Câu 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) 25 x − 30.5 x + 125 = 0 .
x
2

b) 3x − 8.3 + 15 = 0 .
c) 4

x2 + 2

− 9.2

x2 + 2

+8 = 0.

d) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0 .

Đ/s: x = 1 ∨ x = 2 .
Đ/s: x = 2 ∨ x = log 3 25 .

Đ/s: x = ±1 .
−3
Đ/s: x =
∨ x = −1 .
2
Lời giải:

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

a) 25 x − 30.5 x + 125 = 0 .
Đặt 5 x = t với t > 0

t = 25  x = 1
Phương trình tương đương t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔ 
⇒
t = 5
x = 2
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2
x
2

b) 3 − 8.3 + 15 = 0 .
x

x

2

Đặt t = 3 , ( t > 0 ) . Phương trình tương đương t 2 − 8t + 15 = 0

 2x
t = 5 3 = 5  x = log 3 25
⇔
⇒ x
⇒
t = 3  2
x = 2
3 = 3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 2 ∨ x = log 3 25 .

− 9.2 x + 2 + 8 = 0 .
2
2
Đặt 2 x + 2 = t , vì 2 x + 2 ≥ 22 = 4 ⇒ t ≥ 4

c) 4 x

2

+2

2

2
t = 8
Phương trình tương đương t 2 − 9t + 8 = 0 ⇔ 

⇒ 2 x + 2 = 8 ⇒ x 2 + 2 = 3 ⇒ x = ±1
t = 1 < 4
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = ±1 .
d) 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = 0 .
 1
 2x 1
t=
 x = −1

3 = 9
9
2x
8 2
5
Đặt t = 3 , ( t > 0 ) . Phương trình tương đương 3 .t − 4.3 t + 27 = 0 ⇔ 
⇔
⇔
 x = −3
t = 1
32 x = 1

2
 27

27
−3
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x =
∨ x = −1 .
2
Câu 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

8x + 2 x
3 + 39
a) x
=5.
Đ/s: x = 1 ∨ x = log 2
.
4 −2
2

(
)
c) ( 3 + 2 2 )
b) 7 + 4 3

d) 32 x

2

+ 2 x +1

x

x

(
= 2(

)
2 − 1)

−3 2− 3

− 28.3x

2

+x

x

+2 = 0.

Đ/s: x = 0 .

x

+ 3.

Đ/s: x = log

+9 = 0.

2 +1

2.

Đ/s: x = 1 ∨ x = −2 .
Lời giải:

8x + 2 x

=5.
4x − 2
1
ĐK: x ≠ . Phương trình tương đương 23 x + 2 x = 5 22 x − 2
2
x
Đặt t = 2 , ( t > 0 ) ta được
a)

(

)

t = 2
x =1

t + t = 5 ( t − 2 ) ⇔ ( t − 2 ) ( t − 3t − 5 ) = 0 ⇔
⇒
t = 3 + 29
 x = log 3 + 29
2


2
2
3 + 29
Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 ∨ x = log 2
.
2
3

2

(

b) 7 + 4 3

2

)

x

(

−3 2− 3

)

x

+2 = 0.

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

( 4 + 2.2 3 + 3) − 3 ( 2 − 3 )
3 ) − 3( 2 − 3 ) + 2 = 0 ⇔

x

Phương trình tương đương

(

⇔ 2+

(

2x

x

+2=0
1

x

(2 − 3)

)

Facebook: LyHung95

2x

(

−3 2− 3

(
) = 1 ⇔ x = 0 . Vậy phương trình có nghiệm: x = 0 .
c) ( 3 + 2 2 ) = 2 ( 2 − 1) + 3 .
Phương trình tương đương ( 2 + 2 2 + 1) = 2 ( 2 − 1) + 3
1
⇔ ( 2 + 1) = 2 ( 2 − 1) + 3 ⇔
( 2 − 1)
x

x

x

x

2x

x

2x

=2

(

)

(

)

x

− 28.3x

2

+x

+x

)

x

2 −1 =

1
⇔ x = log
2

2 +1

2

+ 2 x +1

2

+ 2 x +1

− 28.3x

2

+x

− 28.3x

2

+x

+9 = 0

(

2 x2 + x

)

− 28.3x + x + 9 = 0
2
3 x + x = 9
t = 9
x =1
(t > 0) . Phương trình viết lại thành 3t 2 − 28t + 9 = 0 ⇔  1 ⇔  x2 + x 1 ⇔ 
3
t =

=
 x = −2
 3
3

⇔ 32 x

2

(

+9 = 0.

Phương trình tương đương 32 x

Đặt t = 3x

x

2 −1 + 3

 1
t=
1
Đặt t = 2 − 1 , phương trình viết lại thành 2 = 2t + 3 ⇔  2
⇒

t
 t = −1 < 0
Vậy phương trình có nghiệm: x = log 2 +1 2 .

+ 2 x +1

+2=0

x

⇒ 2− 3

2

x

1
− 3t + 2 = 0 ⇔ −3t 3 + 2t 2 + 1 = 0 ⇒ t = 1
2
t

Đặt 2 − 3 = t với t > 0 , phương trình viết lại thành

d) 32 x

)

+ 9 = 0 ⇔ 3.3

2

1
không có nghiệm thỏa mãn do x 2 + x = −1 vô nghiệm..
3

Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 1 ∨ x = −2 .
Câu 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:

Vì 3x

a) 9 x

2

2

+x

−1

=

− 36.3x

2

−3

Đ/s: x = ±1 ∨ x = ± 2 .
π
Đ/s: x = + kπ ( k ∈ ℤ ) .
2
π
Đ/s: x = + kπ ( k ∈ ℤ ) .
2

1
Đ/s: x = ln 2 ∨ x = 0 .
3
Lời giải:

+3= 0.

b) 2sin x + 4.2cos x = 6 .
2

c) 4

cot 2 x

2

+2

1
cos 2 x

−3= 0.

d) e6 x − 3.e3 x + 2 = 0 .
a) 9 x

2

−1

− 36.3x

2

−3

+3= 0.
2

32 x 36 x2
Phương trình viết lại thành 3
− 36.3 + 3 = 0 ⇔
− .3 + 3 = 0
9
27
x2
t = 9 3 = 9  x = ± 2
t 2 36
x2
Đặt t = 3 (t > 0) . Phương trình viết lại thành − t + 3 = 0 ⇔ 
⇒ 2
⇒
9 27
t = 3 3x = 3  x = ±1
Vậy phương trình có 4 nghiệm: x = ±1 ∨ x = ± 2 .
2( x 2 −1)

x 2 −3

b) 2sin x + 4.2cos x = 6

2

2

Phương trình tương đương 21− cos x + 4.2cos x = 6 ⇔
2

2

2
2cos

+ 4.2cos x = 6
2

2

x

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !

2


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

t = 1
2

Đặt : 2
= t , (t > 1) . Phương trình viết lại thành + 4t = 6 ⇔  1
t = < 1
t
 2
2
π
⇒ 2cos x = 1 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ x = + kπ, ( k ∈ ℤ )
2
π
Vậy phương trình có nghiệm: x = + kπ, ( k ∈ ℤ ) .
2
cos 2 x

1

c) 4cot x + 2 cos x − 3 = 0 .
cos x ≠ 0
ĐK: 
⇔ sin 2 x ≠ 0
sin x ≠ 0
2

2

cos 2 x

Phương trình viết lại thành 4

1

+2

1− cos 2 x

cos 2 x

−3 = 0 ⇔

1

⇔

1

4 cos

2

x

−1

+2

+2

1− cos 2 x

4

1
cos 2 x

1

1

cos2 x

−3 = 0

2

cos x

4

−3= 0 ⇔

1

4 cos

2

x

−1

+2

1
cos 2 x

−3 = 0

1
cos 2 x

1

4
2
Đặt: 2
= t (t ≥ 2) . Phương trình viết lại thành 2 + t − 3 = 0 ⇒ t = 2 ⇒ 2 cos x = 2 ⇔ cos 2 x = 1
t
Điều này khiến phân thức không xác định, vậy phương trình vô nghiệm.
.
6x
3x
d) e − 3.e + 2 = 0 .
1

3x
x = ln 2
t = 2  e = 2
3x
2

Đặt e = t > 0 . Phương trình viết lại thành t − 3t + 2 = 0 ⇔ 

⇒  3x
⇔
3

e
=
1
t = 1

x
=
0


1
Vậy phương trình có nghiệm x = ln 2; x = 0 .
3
Câu 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
x−2

a) 4
b) 4

+ 16 = 10.2

x+ x2 −2

c) 9

− 5.2

x −2 x − x
2

x−2

x −1+ x 2 − 2

− 7.3

Đ/s: x = 3 ∨ x = 11 .

.

Đ/s: x = 2 .
−1
Đ/s: x =
.
4

= 6.

x − 2 x − x −1
2

=2.

x

1

d)   = 25− x + 9 .
4

Đ/s: x = log 2

a) ĐK : x ≥ 2 , ta có phương trình tương đương

(

⇔ 2

x−2

)

2

+ 16 = 10.2

x−2

(

⇔ 2

x−2

)

2

− 10.2

x−2

4
.
9

Lời giải:
2
+ 16 = 0 ⇔ 
 2

x −2
x −2

=2

x = 3
⇔
 x = 11
=8

Kết hợp đk , vậy nghiệm của PT là x = 3, x = 11
b) ĐK : x 2 ≥ 2 , có phương trình tương đương
⇔4

x + x2 − 2

5
− .2 x +
2

x2 − 2

(

=6⇔ 2

⇒ x + x2 − 2 = 2 ⇔ x =

x + x2 − 2

)

2

5
− .2 x +
2

x2 −2

2 x+

−6= 0 ⇔ 
x+
 2

x2 − 2

= 4 ( nhan )

x2 − 2

=

−3
( loai )
2

3
2

Kết hợp đk , vậy nghiệm của PT là x =

3
2

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

c) ĐK : x 2 − 2 x ≥ 0 , có phương trình tương đương
⇔9

x −2 x − x
2

7
− .3
3

x −2 x − x
2

(

=2⇔ 3

⇒ x2 − 2x − x = 1 ⇔ x =

x −2 x − x
2

)

2

3
7 x −2 x − x

− .3
−2 = 0 ⇔ 
3
3

x2 − 2 x − x

= 3 ( nhan )

x2 − 2 x − x

=

2

−2
( loai )
3

−1
4

−1
4
d) ĐK : x ∈ R , ta có phương trình tương đương
x
 2− x = 16 + 265 ( nhan )
25
1
−x 2
5 −x
⇔   = x + 9 ⇔ ( 2 ) − 2 .2 − 9 = 0 ⇔ 
2
4

 2− x = 16 − 265 ( loai )
1


⇒ x = log 2 

 16 + 265 

Kết hợp đk , vậy nghiệm của PT là x =

1


Kết hợp đk, vậy nghiệm của PT là x = log 2 

 16 + 265 
Câu 5: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1
a)  
6

x −3

= 65− 2 x − 12 .

Đ/s: x = 3 − log12 6 .

1
325 x
+ 22 x + 1 =

.2 .
x
2
16
 1

c) 53 x + 27  3 x + 5− x  + 9.5 x = 64 .
5


b) 23 x +

Đ/s: x = log 2

Đ/s: x = 0 ∨ x = log 5 2 .

a) ĐK : x ∈ R , ta có PT tương đương
1
⇔ 
6

x −3

( )

= 65− 2 x − 12 ⇔ 65. 6 − x

⇒ x = log 6 (18 )

2

15 ± 161
.
8

Lời giải:

 −x 1
 6 = 18 ( nhan )
3 −x
− 6 .6 − 12 = 0 ⇔ 
 6− x = − 1 ( loai )

36

Kết hợp điều kiện , vậy nghiệm PT là x = log 6 (18 )
1
325 x
325 x
+ 22 x + 1 =
.2 ⇔ 23 x + 22 x −
.2 + 2− x + 1
x
2
16
16
325
1
325
Đặt: t = 2 x > 0 ta có t 3 + t 2 −

t + +1 = 0 ⇔ t4 + t3 −
t2 + t +1 = 0
16
t
16
 1
t = ( nhan )
 x 1
 4
 x = −2
2 =
⇔ t = 4 ( nhan )
⇒
4⇔

x = 2
2 x = 4

 −21 ± 377
( loai )
t =
8
b) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương 23 x +

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm PT là x = 2, x = −2
 1

c) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương ⇔ 53 x + 27  3 x + 5− x  + 9.5 x = 64
5


 1 1
Đặt: t = 5 x > 0 ta được ⇔ t 3 + 9t + 27  3 +  = 64 ⇔ t 6 + 9t 4 − 64t 3 + 27t 2 + 27 = 0
t t 
Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !


Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

t = 2 x = 3
 x = log 2 3
⇔ ( t − 1)( t − 3) t 4 + 4t 3 + 22t 2 + 12t + 9 = 0 ⇒ 
⇔

x
t = 2 = 1
x = 0
Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm PT là x = 0, x = log 2 3
Câu 6: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
Đ/s: x = 0 .
a) 4 x +1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 .
x
x
x
b) −8 = 2.4 + 2 − 2 = 0 .
Đ/s: x = 0 ∨ x = 1 .
x
x
x+1

Đ/s: x = 0 ∨ x = 2 .
c) 8 − 3.4 − 3.2 + 8 = 0 .
Lời giải:
a) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương
2x = 1
x = 0
⇔ 4 x+1 + 2 x + 4 = 2 x + 2 + 16 ⇔ 4.22 x + 12.2 x − 16 = 0 ⇔  x
⇔
 2 = 4  x = 2
Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm PT là x = 0, x = 2
b) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương
⇔ −8x = 2.4 x + 2 x − 2 = 0 ⇔ 23 x − 2.22 x + 2 x − 2 = 0 ⇔ 2 x = 2 ⇔ x = 1
Kết hợp điều kiện , vậy nghiệm PT là x = 1
c) ĐK : x ∈ R ta có PT tương đương
 2 x = −2 ( loai )

x = 0
⇔ 8 x − 3.4 x − 3.2 x +1 + 8 = 0 ⇔ 23 x − 3.22 x − 6.2 x + 8 = 0 ⇔  2 x = 1( nhan ) ⇒ 
x = 2
 x
2
4
=
nhan
(
)

Kết hợp điều kiện, vậy nghiệm PT là x = 0, x = 2

(

)

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–E TOÁN 2017 tại Moon.vn – Tự tin hướng đến kì thi THPTQG 2017 !