Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng trong chương trình trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thu Hiền

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Thị Thu Hiền

MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC
VỀ KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán
Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNGDẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN ÁI QUỐC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Ái Quốc,
người đã tận tình hướng dẫn và động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô: PGS. TS. Lê Văn Tiến, PGS.TS.
Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh về
những bài giảng didactic bổ ích. Tôi cũng xin chân thành gởi lời cảm ơn đến các
thầy cô của trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh tham gia giảng dạy lớp Cao
Học khóa 21 chúng tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot
và TS. Alain Birebent về những lời góp ý cho đề cương luận văn, quý thầy cô trong
hội đồng bảo vệ luận văn vì lời góp ý chân tình, sâu sắc.
Xin kính chúc quý thầy cô luôn dồi dào sức khỏe và hạnh phúc.
Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học,
khoa Toán – Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện
học tập tốt nhất cho chúng tôi.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn và các anh chị cùng lớp didactic
toán khóa 21 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn,
đặc biệt là các em Vũ, Tú và Trang.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và những người bạn vì những
sự quan tâm và động viên giúp tôi hoàn thành khóa học. Luận văn này là món quà
đặc biệt tôi dành tặng cho hai cô con gái nhỏ Nguyễn Phương Bảo Tâm và Nguyễn
Phương Bảo Phúc mới vừa chào đời.
Người thực hiện:
Trần Thị Thu Hiền

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................. 3
MỤC LỤC ........................................................................................ 4
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT............................................. 6
MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu ............................................................... 1
2. Khung lí thuyết tham chiếu .............................................................................. 4
3. Mục đích nghiên cứu ......................................................................................... 4
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ...................................... 5

Chương I KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÔNG
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10 ............. 6
1. Khái niệm tích vô hướng trong sách giáo khoa Hình học 10 ........................ 6
2. Khái niệm công trong sách giáo khoa Vật lí 10 ............................................ 16
3. Kết luận chương I ............................................................................................ 26

CHƯƠNG II THỰC NGHIỆM ................................................... 28
1.Mục đích thực nghiệm...................................................................................... 28
2. Hình thức thực nghiệm .................................................................................. 28
3. Xây dựng tình huống thực nghiệm ............................................................... 28
3.1. Tiểu đồ án didactic.....................................................................................28
3.2.Dàn dựng kịch bản .......................................................................................29
4. Phân tích tiên nghiệm..................................................................................... 31
4.1. Biến didactic, biến tình huống và giá trị của chúng ..................................31
4.1.1. Biến tình huống ...................................................................................31
4.1.2. Biến didactic .......................................................................................31
4.2. Các chiến lược ............................................................................................32
4.3. Phân tích kịch bản ......................................................................................34

5. Phân tích hậu nghiệm..................................................................................... 35
Pha 1 ..................................................................................................................35
Pha 2 ..................................................................................................................37
Pha 3 ..................................................................................................................41
Pha 4 ..................................................................................................................42

KẾT LUẬN .................................................................................... 46
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................. 1


PHỤ LỤC 1 ...................................................................................... 2
PHỤ LỤC 2: BÀI LÀM CỦA HỌC SINH ................................... 9


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK

: Sách giáo khoa.

SGV

: Sách giáo viên.

KNV

: Kiểu nhiệm vụ.

TVH

: Tích vô hướng.

THPT

: Trung học phổ thông.

HS

: Học sinh


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài và câu hỏi ban đầu
Là giáo viên dạy Toán ở trường THPT, chúng tôi nhận thấy rằng đa số học sinh
cảm thấy áp lực khi đến trường vì bài vở quá nhiều, bài học của môn này chồng
chéo môn kia, các kiến thức chưa thật sự có sự liên kết chặt chẽ, liên thông. Ngoài
ra kiến thức môn Toán thực sự có ứng dụng thực tế không, hay ít nhất, các em nghe
nói là Toán học là môn học cơ bản và nhờ sử dụng các kết quả Toán học người ta
coi nó là công cụ đắc lực để giải quyết các vấn đề trong Vật Lý, trong Hóa học…
vấn đề này thể hiện như thế nào qua các bài học trong SGK? Hoặc theo như tinh
thần cải cách SGK của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo được viết trong Những vấn đề
chung về đổi mới giáo dục THPT môn Toán, NXB Giáo Dục 2007, trang 7 ghi:
“tích hợp nội dung để tiến tới giảm số môn học…tinh giản nội dung và tăng cường
mối liên hệ giữa các nội dung…” , hay trang 27 ghi: yêu cầu đổi mới SGK phải
“đảm bảo tính liên môn… các môn học hỗ trợ lẫn nhau, tránh trùng lặp, mâu
thuẫn”.Một vài lý do trên và cùng với sự tò mò của bản thân, mỗi khi giới thiệu
một kiến thức mới được giới thiệu cho các em, chúng tôi thường phải tìm hiểukiến
thức này có ứng dụng gì, từ đâu mà người ta nghĩ ra nó… Và với câu trả lời thỏa
đáng, đó thực sự là niềm vui lớn lao của chúng tôi và là niềm vui, động lực chính
đáng cho HS khi đến trường.Với khái niệm TVH của hai vec tơ ở năm lớp 10 cũng
vậy, chúng tôi rất muốn có câu trả lời thỏa đáng cho các câu hỏi đó của các em.

Với câu hỏi thứ nhất: nguồn gốc xuất hiện của khái niệm TVH, đây là một câu
hỏi lớn mà chúng tôi không đủ điều kiện để nghiên cứu vì không đủ thời gian và
không tìm được tài liệu và chúng tôi cũng rất tiếc vì điều này. Tuy nhiên, SGK Hình
Học 10 Nâng cao trang 46có viết:
Héc-man Grat-xơ-man (Hermann Grassmann 1808- 1877), nhà toán học người
Đức, là cha đẻ của tích vô hướng của hai vec tơ mà ông ký hiệu là 𝑢
�⃗
việc nghiên cứu thủy triều dẫn ông tới các khảo sát về vec tơ.

Trần Thị Thu Hiền

�⃗. Chính
𝑣

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Vì vậy chúng tôi có nhận xét rằng khái niệm công là “nguồn cảm hứng” để hình
thành khái niệm TVH và khái niệm TVH ra đời xuất phát từ nhu cầu tìm một công
cụ để giải quyết các vấn đề trong vật lý? Nhận xét này chỉ có thể làm rõ bằng cách
đi tìm lịch sử hình thành khái niệm TVH. Tuy nhiên, chúng tôi không thực hiện
được vì các lý do như trên. Mặc dù vậy chúng tôi vẫn rất muốn tìm ra mối liên hệ,
các cách thể hiện của khái niệm TVH trong chương trình THPT.
Chúng ta đều nhận thấy Tích vô hướng của hai vectơ là một khái niệm quan
trọng trong chương trình trung học phổ thông môn Toán hiện hành ở Việt
Nam.Trong luận văn của mình, tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012) đã chỉ ra rõ vai
trò công cụ của tích vô hướng của hai vectơ trong việc dạy học môn Hình học lớp
10. Đó là TVH dùng để:
Chứng minh công thức hình chiếu
Chứng minh định lý côsin trong tam giác thường

Xây dựng phương trình tổng quát của đường thẳng
Chứng minh một vectơ là vectơ chỉ phương của đường thẳng
Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng
Ngoài ra, nó còn được sử dụng để giải các bài toán hình học phẳng như:
Chứng minh các tính chất hình học: chứng minh hai đường thẳng vuông góc
với nhau, chứng minh tam giác vuông cân, chứng minh bốn điểm cùng nằm
trên một đường tròn,…
Tính toán: tính diện tích của hình phẳng, tính số đo một góc trong tam giác,
tính số đo góc của hai đường thẳng,…
Tìm quĩ tích
Tuy nhiên, tác giả này chỉ mới đề cập về vai trò công cụ cũng như những điều
kiện sinh thái cho phép khái niệm tích vô hướng của hai vectơ được sống trong
chương trình Hình học 10. Chúng tôi muốn đề cập đến vai trò là công cụ của khái
niệm tích vô hướng của hai vectơ trong cả chương trình trung học phổ thông nhằm
làm rõ hơn khái niệm này. Điều này khiến chúng tôi chọn đề tài “Một nghiên cứu
didactic về khái niệm tích vô hướng trong chương trình trung học phổ

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


thông”làm chủ đề cho luận văn của mình. Chúng tôi mong muốn tìm hiểu các nghĩa
của tích vô hướng của hai vectơ có được HS khắc sâu sau khi họ học về khái niệm
này hay không.
Tuy nhiên, vì thời gian hạn hẹp nên chúng tôi không thể thực hiện việc nghiên
cứu một đề tài rộng lớn và thú vị như vậy. Hơn nữa, khái niệm TVH của hai vectơ
trong không gian ở các lớp trên chỉ là sự mở rộng tự nhiên của khái niệm TVH của
hai vectơ trong mặt phẳng ở lớp 10 và không tạo thêm thay đổi về bản chất khái
niệm. Chúng tôi xin hạn chế lại việc tìm hiểu của mình trong chương trình lớp 10

nhưng vẫn với mong muốn như trên với những vấn đề được đặt ra dưới đây.
Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến mối liên hệ giữa hai khái niệm tích vô hướng
của hai vectơ và công vì chúng thể hiện được tính liên môn trong việc dạy học hai
môn: Toán(mà cụ thể là môn Hình học)và Vật lí ở trường phổ thông. Chúng tôi
quan sát được vấn đề xảy ra trong môn Hình học 10 và Vật lí 10 như sau:
Khái niệm tích vô hướng của hai vectơ được đưa vào trong dạy học môn Hình
học 10 ở bài §2 “Tích vô hướng của hai vectơ” tại chương II “Tích vô hướng của
hai vectơ và ứng dụng”. Mở đầu bài này, SGK Hình học 10 đề cập:
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực 𝐹⃗ tác động lên một vật tại điểm
O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của
lực 𝐹⃗ được tính theo công thức:

�������⃗� cosφ
𝐴 = �𝐹⃗ �. �𝑂𝑂′

Trong đó �𝐹⃗ � là cường độ của lực 𝐹⃗ tính bằng Niutơn (viết tắt là N),
�������⃗� là độ dài của vectơ 𝑂𝑂′
�������⃗ tính bằng mét (m),
�𝑂𝑂′

là góc giữa hai vectơ

�������⃗
𝑂𝑂′ và 𝐹⃗ , còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J).

Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được
gọi là tích vô hướng của hai vectơ 𝐹⃗ và �������⃗
𝑂𝑂′.
(Hình học 10, tr.41)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Khi quan sát các SGK môn Vật lí cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông,
chúng tôi nhận thấy khái niệm công cơ học đã được đưa vào trong dạy học ở môn
Vật lí lớp 8. Tuy nhiên, SGV Vật lí 8 nói rõ:
trưng của công cơ học thông qua các ví dụ cụ thể. Công thức tính công A
= F.s học ở lớp 8 chỉ là một trường hợp đặc biệt (phương của lực tác dụng
trùng với phương Ở lớp 8, không đưa ra định nghĩa công cơ học mà chỉ
nêu dấu hiệu đặc chuyển dịch).
(SGV Vật lí 8, tr.72)
Phải đến lớp 10, HS được học định nghĩa khái niệm công cơ học của một lực và
có xét tất cả các trường hợp về công trong các SGK Vật lí lớp 10. Vậy tại sao tác
giả SGK lại không định nghĩa công bằng khái niệm TVH.
Từ đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi ban đầu sau:
- HS lớp 10 có thực sự nhận ra mối liên hệ giữa hai khái niệm tích vô hướng và
công cơ học sau khi họ được học định nghĩa khái niệm công cơ học?
2. Khung lí thuyết tham chiếu
Chúng tôi lựa chọn phạm vi của chuyên ngành Didactic Toán để thực hiện việc
nghiên cứu của mình. Cụ thể, chúng tôi sử dụng các khái niệm “quan hệ thể chế”,
“quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học” của lí thuyết nhân chủng học và các khái
niệm “tiểu đồ án”, “phân tích tiên nghiệm”, “phân tích hậu nghiệm” của lí thuyết
tình huống.
3. Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi xác định các khái niệm:
- Mối quan hệ thể chế R(I,O 1 ),R(I,O 2 ) với I là thể chế dạy học phổ thông môn
Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam, O 1 là đối tượng tích vô hướng của
hai vectơ, O 2 là đối tượng công cơ học. Trong luận văn này, đôi khi chúng tôi gọi

thay cụm từ “thể chế dạy học phổ thông môn Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở
Việt Nam” là “thể chế” hay “thể chế dạy học phổ thông lớp 10”. Ngoài ra,cũng
trong luận văn này, các cụm từ “công cơ học” và “công” được sử dụng như nhau về

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


mặt nghĩa, các cụm từ “tích vô hướng của hai vectơ” và “tích vô hướng” cũng được
sử dụng như nhau về mặt nghĩa.
- Mối quan hệ cá nhân R(X,O 1 ), R(X,O 2 ) với X là HS.
Dựa theo khung lý thuyết tham chiếu đã chọn vàcâu hỏi được đặt ra ban đầu,
chúng tôi đặt lại những câu hỏi nghiên cứu sau mà việc tìm kiếm các yếu tố cho
phép trả lời chúng chính là mục đích nghiên cứu của luận văn này:
CH1. Các khái niệm tích vô hướng của hai vectơ và công được trình bày như thế
nào trong thể chế dạy học môn Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam?
Chúng có mối liên hệ với nhau như thế nào?
CH2. HS hiểu như thế nào về mối liên hệ giữa hai khái niệm tích vô hướng và
công sau khi họ được học định nghĩa khái niệm công ở lớp 10?
4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn
Nhằm đạt được mục đích nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi xác định phương pháp
nghiên cứu như sau:
Để trả lời cho câu hỏi CH1, chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với các
đối tượng tích vô hướng của hai vectơ và côngthông qua việc phân tích chương
trình và các SGKVật lí, Hình học lớp 10 hiện hành ở Việt Nam. Chúng tôi sẽ chỉ ra
mối liên hệ cũng như những chênh lệch trong việc học tậpliên môn Hình học và Vật
lí lớp 10. Những điều này sẽ được trình bày trong chương I “Tích vô hướng và
công trong thể chế dạy học phổ thông lớp 10”.
Để trả lời câu hỏi CH2, chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng HS

lớp 10 nhằm làm rõ những suy nghĩ của họvề mối liên hệ giữa tích vô hướng và
công thông qua phiếu thực nghiệm. Từ đó, nếu không có sự hiện diện ở họ nghĩa
hình hoc (tích vô hướng của hai vectơ)của khái niệm công, chúng tôi sẽ thiết kế một
dãy các tình huống để giúp họ hiểu rõ nghĩa này và khi đó, phần nào đảm bảo được
tính liên môn giữa hai môn Hình học và Vật lí lớp 10. Những điều này sẽ được trình
bày trong chương II “Thực nghiệm”.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Chương I
KHÁI NIỆM TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ CÔNG
TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC PHỔ THÔNG LỚP 10
Mục đích của chương này là trả lời cho các câu hỏi CH1: “Các khái niệm
tích vô hướng của hai vectơ và công được trình bày như thế nào trong thể chế dạy
học phổ thông môn Hình học và Vật lí lớp 10 hiện hành ở Việt Nam? Chúng có mối
liên hệ với nhau như thế nào?”
Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi tiến hành phân tích chương trình và các sách
giáo khoa hiện hành. Tài liệu phân tích của chúng tôi gồm có: Chương trình giáo
dục phổ thông môn Toán (2006); Chương trình giáo dục phổ thông môn Vật lí
(2006); sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Hình học; sách giáo khoa Vật
lí 8, sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Vật lí 10. Chúng tôi cũng tiến
hành đối chiếu, so sánh với sách giáo khoa, sách bài tập và sách giáo viên Hình học
10 và Vật lí 10 Nâng cao.
1. Khái niệm tích vô hướng trong sách giáo khoa Hình học 10
Trong SGK Hình học 10, khái niệm tích vô hướng của hai vectơ được trình
bày ở bài §2 “Tích vô hướng của hai vectơ” tại chương II “Tích vô hướng của hai
vectơ và ứng dụng” (học kì I lớp 10). Nội dung bài §2 được trình bày thông qua 4

đề mục:
-

Định nghĩa

-

Các tính chất của tích vô hướng

-

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

-

Ứng dụng

Mục đích của bài §2:
- Học sinh nắm được định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ và các tính

chất của tích vô hướng cùng với ý nghĩa vật lí của tích vô hướng.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


- Học sinh biết sử dụng biểu thức tọa độ của tích vô hướng để tính độ dài
của một vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ và
chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau.

(Sách Giáo viên Hình học 10, tr.41)
Ứng dụng của biểu thức tọa độ của tích vô hướng đã được trình bày khá chi
tiết trong luận văn của tác giả Đỗ Thị Hoàng Linh (2012). Trong khuôn khổ của
luận văn này, chúng tôi chỉ quan tâm đến định nghĩa và tính chất của tích vô hướng.
1.1. Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng
SGK Hình học 10 mở đầu bài học bằng ví dụ, một ứng dụng của tích vô
hướng trong thực tế:
Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực 𝐹⃗ tác động lên một vật tại điểm
O và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường s = OO’ thì công A của
lực 𝐹⃗ được tính theo công thức:

�������⃗� cosφ
𝐴 = �𝐹⃗ �. �𝑂𝑂′

Trong đó �𝐹⃗ � là cường độ của lực 𝐹⃗ tính bằng Niutơn (viết tắt là N),
�������⃗� là độ dài của vectơ �������⃗
�𝑂𝑂′
𝑂𝑂′ tính bằng mét (m),

là góc giữa hai vectơ

�������⃗
𝑂𝑂′ và 𝐹⃗ , còn công A được tính bằng Jun (viết tắt là J).

Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị đo) được
gọi là tích vô hướng của hai vectơ 𝐹⃗ và �������⃗
𝑂𝑂′.
(Hình học 10, tr.41)

Ngay sau ví dụ mở đầu, SGK đưa ra định nghĩa tích vô hướng:

Định nghĩa
�⃗. Tích vô hướng của 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ là một số,
Cho hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ khác vectơ 0
kí hiệu là 𝑎⃗. 𝑏�⃗, được xác định bởi công thức sau:
(Hình học 10, tr.41)

Trần Thị Thu Hiền

𝑎⃗. 𝑏�⃗ = |𝑎⃗|. �𝑏�⃗�. cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗�.

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


trong đó, khái niệm góc giữa hai vectơ, kí hiệu �𝑎⃗, 𝑏�⃗� đã được trình bày ở bài §1

“Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ Oo đến 180o”. Cụ thể, SGK định nghĩa:

Cho hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ đều khác vectơ �0⃗ . Từ một điểm O bất kì, ta vẽ

�����⃗
� với số đo từ 0o đến 180o được gọi là góc
𝑂𝐴 = 𝑎⃗ và �����⃗
𝑂𝐵 = 𝑏�⃗. Góc 𝐴𝑂𝐵

giữa hai vectơ𝑎⃗ và 𝑏�⃗. Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ là �𝑎⃗, 𝑏�⃗�. Nếu

���⃗ hoặc
�𝑎⃗, 𝑏�⃗� = 90° thì ta nói 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ vuông góc với nhau, kí hiệu 𝑎⃗ ⊥ 𝑏
𝑏�⃗ ⊥ 𝑎⃗.

(Hình học 10, tr.38)
Sau khi định nghĩa tích vô hướng, SGK chú ý:
���⃗khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0 ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗
a)Với 𝑎⃗ và 𝑏

b) Khi 𝑎⃗ = 𝑏�⃗ tích vô hướng 𝑎⃗. 𝑎⃗ được kí hiệu là 𝑎⃗2 và số này được gọi là
bình phương vô hướng của vectơ 𝑎⃗.
Ta có 𝑎⃗2 = |𝑎⃗|. |𝑎⃗|. cos 0° = |𝑎⃗|2 .
(Hình học 10, tr.41)

Tiếp theo là ví dụ củng cố định nghĩa:
Ví dụ. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Khi đó ta
có (h.2.9)
1 2
𝑎 ,
2
1
�����⃗
𝐴𝐶 . �����⃗
𝐶𝐵 = 𝑎. 𝑎. cos120° = − 𝑎2 ,
2

�����⃗
𝐴𝐵 . �����⃗
𝐴𝐶 = 𝑎. 𝑎. cos60° =

������⃗
𝐴𝐻 . �����⃗
𝐵𝐶 = 𝑎. 𝑎. cos90° = 0.
(Hình học 10, tr.42)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Ngoài ví dụ nói trên, SGK còn có hoạt động 1 “nhằm củng cố định nghĩa tích
vô hướng của hai vectơ, đồng thời kết hợp ôn về các giá trị lượng giác của góc giữa
hai vectơ” (Sách Giáo viên Hình học 10, tr.58). Tuy nhiên, trong SGK, hoạt động 1
lại nằm trong mục2. Các tính chất của tích vô hướng.
Về các tính chất của tích vô hướng, SGK thừa nhận 4 tính chất sau đây:
Với ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏�⃗, 𝑐⃗ bất kì và mọi số k ta có:
𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 𝑏�⃗. 𝑎⃗ (tính chất giao hoán);

𝑎⃗. �𝑏�⃗ + 𝑐⃗� = 𝑎⃗. 𝑏�⃗ + 𝑎⃗. 𝑐⃗ (tính chất phân phối);
(𝑘𝑎⃗). 𝑏�⃗ = 𝑘. �𝑎⃗. 𝑏�⃗� = 𝑎⃗. (𝑘𝑏�⃗);
𝑎⃗2 ≥ 0, 𝑎⃗2 = 0 ⟺ 𝑎⃗ = �0⃗.
(Hình học 10, tr.42)

Các tính chất này được chứng minh chi tiết trong SGV. Từ 4 tính chất này, SGK
suy ra 3 tính chất hệ quả:
(𝑎⃗ + 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 + 2𝑎⃗. 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ 2 ;
(𝑎⃗ − 𝑏�⃗)2 = 𝑎⃗2 − 2𝑎⃗. 𝑏�⃗ + 𝑏�⃗ 2 ;
�𝑎⃗ + 𝑏�⃗��𝑎⃗ − 𝑏�⃗� = 𝑎⃗ 2 − 𝑏�⃗ 2 .
(Hình học 10, tr.42)

Tới đây, SGK đưa ra hoạt động 1. Ngoài ra, SGK không có hoạt động nào để
củng cố các tính chất này. Chúng tôi tự hỏi, liệu có phải do các tính chất của tích vô
hướng có sự tương tự với các tính chất của phép nhân hai số thực mà SGK lại trình
bày “gọn nhẹ” như vậy hay không.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Sau khi giới thiệu các tính chất của tích vô hướng, SGK trình bày lại ứng dụng
của tích vô hướng trong vật lí:
Ứng dụng. Một xe goòng chuyển động từ A đến B dưới tác dụng của lực
𝐹⃗ . Lực 𝐹⃗ tạo với hướng chuyển động một góc 𝛼, tức là �𝐹⃗ , �����⃗
𝐴𝐵� = 𝛼
(h.2.10)

���⃗1 và ���⃗
���⃗1 vuông
Lực 𝐹⃗ được phân tích thành hai thành phần 𝐹
𝐹2 trong đó 𝐹
góc với �����⃗
𝐴𝐵 , còn ���⃗
𝐹2 là hình chiếu của 𝐹⃗ lên đường thẳng AB. Ta có

���⃗2 . CôngAsinh ra lực 𝐹⃗ là A= 𝐹⃗ . �����⃗
���⃗1 + 𝐹
���⃗2 �. �����⃗
𝐴𝐵 =
𝐹⃗ = ���⃗
𝐹1 + 𝐹
𝐴𝐵 = �𝐹
���⃗
���⃗2 . �����⃗

𝐹1 . �����⃗
𝐴𝐵 + 𝐹
𝐴𝐵 = ���⃗
𝐹2 . �����⃗
𝐴𝐵.

���⃗1 không làm cho xe goòng chuyển động nên
Như vậy lực thành phần 𝐹
không sinh công. Chỉ có thành phần ���⃗
𝐹2 của lực 𝐹⃗ sinh công làm cho xe
goòng chuyển động từ A đến B.

Công thức A= 𝐹⃗ . �����⃗
𝐴𝐵là công thức tính công của lực 𝐹⃗ làm vật di chuyển từ
A đến B mà ta đã biết trong vật lí.
(Hình học 10, tr.43)
Ứng dụng sử dụng các kết quả sau: phân tích một vectơ theo hai vectơ không
cùng phương (cụ thể là hai vectơ vuông góc), tính chất kết hợp của tích vô hướng
và Chú ý “Với 𝑎⃗ và ���⃗
𝑏 khác vectơ �0⃗ ta có 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0 ⇔ 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗”.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là: Tại sao lại phải phân tích lực 𝐹⃗ thành hai thành phần
���⃗
���⃗2 ?
𝐹1 và 𝐹

Đối chiếu với SGK Hình học 10 Nâng cao, chúng tôi nhận thấy phần định

nghĩa và các tính chất của tính vô hướng được trình bày tương tự. Một số điểm khác
biệt có thể kể ra như sau:
- Khái niệm góc giữa hai vectơ được trình bày ngay trong bài §2 “Tích vô
hướng của hai vectơ”.
- SGK Hình học 10 - Nâng cao không trình bày chú ý sau định nghĩa tích vô
hướng. Thay vào đó, SGK đưa ra hoạt động 2 “Trường hợp nào thì tích vô
hướng của hai vectơ 𝑎⃗và𝑏�⃗ bằng 0?”

- Các tính chất của tích vô hướng được phát biểu thành định lí. Ngoài 4 tính
chất đã gặp trong SGK Hình học 10, SGKHình học 10 - Nâng cao giới thiệu
thêm tính chất phân phối đối với phép trừ: 𝑎⃗. �𝑏�⃗ − 𝑐⃗� = 𝑎⃗. 𝑏�⃗ − 𝑎⃗. 𝑐⃗.

- SGK Hình học 10 - Nâng cao chứng minh tính chất hệ quả số 3 và yêu cầu
học sinh chứng minh hai tính chất còn lại.
- Sau khi trình bày các tính chất của tích vô hướng, SGK Hình học 10 - Nâng
cao giới thiệu 4 bài toán, trong đó có 3 bài ứng dụng tích vô hướng để chứng
minh các tính chất hình học và 1 bài ứng dụng tích vô hướng để tìm tập hợp
�����⃗ . Gọi B’ là hình chiếu
điểm. Đặc biệt, từ bài toán 3. “Cho hai vectơ������⃗
𝑂𝐴, 𝑂𝐵

của B lên đường thẳng OA. Chứng minh rằng �����⃗
𝑂𝐴. �����⃗
𝑂𝐵 = �����⃗
𝑂𝐴. �������⃗
𝑂𝐵′”,SGK còn

thể chế hóa thành công thức hình chiếu:

�������⃗ được gọi là hình chiếu của vectơ �����⃗
Vectơ 𝑂𝐵′
𝑂𝐵 trên đường thẳng OA.
�������⃗ gọi là công thức hình chiếu.
Công thức �����⃗
𝑂𝐴. �����⃗
𝑂𝐵 = �����⃗
𝑂𝐴. 𝑂𝐵′
(Hình học 10 - Nâng cao, tr.49)

1.2. Các tổ chức toán học liên quan đến tích vô hướng
Trong phần này, chúng tôi phân tích các ví dụ và bài tập được đưa vào sách
giáo khoa và sách bài tập Hình học 10. Việc phân tích hệ thống bài tập cho phép chỉ
ra sự hiện diện của các tổ chức toán học gắn liền với khái niệm tích vô hướng.

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


1.2.1. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 1 : Tính tích vô hướng của hai
vectơ
�����⃗ .
Ví dụ. Tam giác ABC vuông tại C có AC = 9, CB = 5. Tính �����⃗
𝐴𝐵. 𝐴𝐶
GIẢI

�����⃗

�����⃗ �. �𝐴𝐶
�����⃗ �. cos (𝐴𝐵
�����⃗ , 𝐴𝐶
�����⃗ ),
𝐴𝐵 . �����⃗
𝐴𝐶 = �𝐴𝐵
𝐴𝐶
�����⃗ , �����⃗
trong đó cos�𝐴𝐵
𝐴𝐶 � = (h.2.8)

�����⃗ = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶.
Vậy �����⃗
𝐴𝐵. 𝐴𝐶

𝐴𝐵

𝐴𝐶

𝐴𝐵

= 𝐴𝐶 2 = 92 = 81.

(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79)

Kĩ thuật 𝝉𝟏 : Áp dụng công thức của định nghĩa 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = |𝑎⃗|. �𝑏�⃗�. cos�𝑎⃗, 𝑏�⃗�.
Công nghệ 𝜽𝟏 : Định nghĩa tích vô hướng.

1.2.2. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 2 :Chứng minh đẳng thức chứa
tích vô hướng 1

Ví dụ. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là một điểm tùy ý.
������⃗ = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2
Chứng minh rằng ������⃗
𝑀𝐴. 𝑀𝐵
GIẢI

������⃗. 𝑀𝐵
������⃗ + �����⃗
������⃗ + 𝑂𝐵
�����⃗ �
������⃗ = �𝑀𝑂
Ta có 𝑀𝐴
𝑂𝐴�. �𝑀𝑂

�����⃗ ) + �����⃗
�����⃗
�����⃗
= ������⃗
𝑀𝑂2 + ������⃗
𝑀𝑂. (𝑂𝐴
��
���
+ ��
𝑂𝐵
𝑂𝐴. 𝑂𝐵
�0⃗

�����⃗ = �0⃗ và �����⃗
�����⃗2 ).
(vì �����⃗

𝑂𝐴 + 𝑂𝐵
𝑂𝐴. �����⃗
𝑂𝐵 = −𝑂𝐴

Vậy ������⃗
𝑀𝐴. ������⃗
𝑀𝐵 = 𝑂𝑀2 − 𝑂𝐴2 (vì �����⃗
𝑂𝐴2 = 𝑂𝐴2 , ������⃗
𝑀𝑂2 = 𝑂𝑀2 ).
(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.79)
Kĩ thuật 𝝉𝟐 :

trong đó, vế trái của đẳng thức là một biểu thức liên quan đến tích vô hướng, vế phải là một số thực hoặc
một biểu thức liên quan đến độ dài vectơ.
1

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


-

Phân tích các vectơ thành hai vectơ không cùng phương.

-

Sử dụng tích chất phân phối của tích vô hướng, tính chất của bình
phương vô hướng của một vectơ để biến đổi biểu thức liên quan đến
tích vô hướng ở vế trái thành số thực hoặc biểu thức liên quan đến độ

dài vectơ ở vế phải.

Công nghệ 𝜽𝟐 : kĩ thuật phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương,

tính chất phân phối của tích vô hướng, tính chất của bình phương vô hướng của một
vectơ.

�⃗ và �𝒃⃗
1.2.3. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụ T 3 :Chứng minh hai vectơ 𝒂
vuông góc với nhau

Ví dụ. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = 𝑎√2. Gọi K là trung
������⃗ vuông góc với �����⃗
điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng 𝐵𝐾
𝐴𝐶 .
GIẢI

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
Ta có 𝐴𝐵 = 𝑎, 𝐴𝐶 = 𝐵𝐷 = √2𝑎2 + 𝑎2 = 𝑎√3.
�����⃗ = 0 (h.2.12).
Cần chứng minh ������⃗
𝐵𝐾 . 𝐴𝐶
1
������⃗ = �����⃗
������⃗ = �����⃗
Ta có 𝐵𝐾
𝐵𝐴 + 𝐵𝑀
𝐵𝐴 + �����⃗
𝐴𝐷
2

�����⃗
𝐴𝐶 = �����⃗
𝐴𝐵 + �����⃗
𝐴𝐷 .

�����⃗ = �𝐵𝐴
�����⃗ + 1 �����⃗
�����⃗ + �����⃗
������⃗ . 𝐴𝐶
Vậy 𝐵𝐾
𝐴𝐷 � . �𝐴𝐵
𝐴𝐷 �
2

1
1
= �����⃗
𝐵𝐴. �����⃗
𝐴𝐵 + �����⃗
𝐵𝐴. �����⃗
𝐴𝐷 + �����⃗
𝐴𝐷 . �����⃗
𝐴𝐵 + �����⃗
𝐴𝐷 . �����⃗
𝐴𝐷
1

2

2

= −𝑎⃗2 + 0 + 0 + �𝑎√2� = 0.
2

2

�����⃗ = 0. Ta có ������⃗
������⃗ . 𝐴𝐶
Do đó 𝐵𝐾
𝐵𝐾 vuông góc với �����⃗
𝐴𝐶 .
(Ví dụ 2, Bài tập Hình học 10, tr.82)

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…


Kĩ thuật 𝝉𝟑 :
-

Phân tích các vectơ thành hai vectơ không cùng phương.

-

Chứng minh 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0.

-

Kết luận hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏�⃗ vuông góc với nhau.

Công nghệ 𝜽𝟑 : kĩ thuật phân tích vectơ thành hai vectơ không cùng phương, tính

chất của tích vô hướng: 𝑎⃗ ⊥ 𝑏�⃗ ⟺ 𝑎⃗. 𝑏�⃗ = 0.

�⃗ và
1.2.4. Tổ chức toán học gắn với kiểu nhiệm vụT 4 : Tính tích vô hướng���⃗.
𝒂𝒃

�⃗, �𝒃⃗)
suy ra giá trị của góc (𝒂

Ví dụ. Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
Tính �����⃗
𝐴𝐵. �����⃗
𝐴𝐶 rồi suy ra giá trị của góc A. (Bài tập 2.16a, Bài tập Hình học
10, tr.85)

GIẢI
�����⃗ − �����⃗
Ta có 𝐵𝐶 2 = �����⃗
𝐵𝐶 2 = (𝐴𝐶
𝐴𝐵 )2

�����⃗ . �����⃗
= �����⃗
𝐴𝐶 2 + �����⃗
𝐴𝐵2 − 2𝐴𝐶
𝐴𝐵

�����⃗ =
Do đó �����⃗
𝐴𝐵 . 𝐴𝐶

�����⃗ 2 +𝐴𝐵
�����⃗ 2 −𝐵𝐶 2
𝐴𝐶
2

=

82 +52 −72
2

= 20.

�����⃗ = 𝐴𝐵. 𝐴𝐶. cos 𝐴 = 5.8. cos𝐴 = 20,
Mặt khác �����⃗
𝐴𝐵 . 𝐴𝐶
suy ra cos𝐴 =

20
40

1
= ⟹ 𝐴̂ = 60°.
2

(Bài tập Hình học 10, tr.103)

Kĩ thuật 𝝉𝟒 :
-

Sử dụng các công thức tính chất hệ quả của tích vô hướng để tính 𝑎⃗. 𝑏�⃗

Trần Thị Thu Hiền

Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng…